ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
30° ਜਾਂ ( π 6 ), 45° ਜਾਂ ( π 4 ) ਅਤੇ 60° ਜਾਂ ( π 3 ) ਦੇ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੁੱਲ ਪਾਓਗੇ।
ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਰੈਫਰੈਂਸ ਐਂਗਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਚਿੱਤਰ 1: ਸਿੰਗਾਪੁਰ ਫਲਾਇਰ ਦੁਨੀਆ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਚਾ ਫੈਰਿਸ ਵ੍ਹੀਲ ਸੀ, ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਇਸਨੂੰ ਲਾਸ ਵੇਗਾਸ ਵਿੱਚ ਹਾਈ ਰੋਲਰ ਅਤੇ ਦੁਬਈ ਵਿੱਚ ਐਨ ਦੁਬਈ ਨੇ ਪਿੱਛੇ ਨਹੀਂ ਛੱਡ ਦਿੱਤਾ। (ਸਰੋਤ: “ਵਾਈਬਿਨ ਜੇਕੇ”/ਫਲਿੱਕਰ)
ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਰੋਮਾਂਚ ਦੀ ਭਾਲ ਵਿੱਚ ਹੋ? ਤਾਂ ਫਿਰ ਐਨ ਦੁਬਈ, ਦੁਨੀਆ ਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਚੇ ਫੈਰਿਸ ਵ੍ਹੀਲ ਦੀ ਸਵਾਰੀ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਦੁਬਈ ਵਿੱਚ ਸਥਿਤ, ਜੋ ਕਿ ਸੰਯੁਕਤ ਅਰਬ ਅਮੀਰਾਤ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਧ ਆਬਾਦੀ ਵਾਲਾ ਸ਼ਹਿਰ ਅਤੇ ਵਿੱਤੀ ਅਤੇ ਸੈਰ-ਸਪਾਟਾ ਕੇਂਦਰ ਹੈ, ਇਹ ਵ੍ਹੀਲ 820 ਫੁੱਟ ਉੱਪਰ ਉੱਠਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਲਗਭਗ 1.5 ਦਸਵੰਧ ਮੀਲ ਹੈ। ਇੱਕ ਆਬਜ਼ਰਵੇਸ਼ਨ ਵ੍ਹੀਲ ਵਜੋਂ ਵਰਣਿਤ, ਸਵਾਰੀਆਂ ਬੁਰਜ ਖਲੀਫਾ (ਦੁਨੀਆ ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਚੀ ਇਮਾਰਤ) ਅਤੇ ਪਾਮ ਜੁਮੇਰਾਹ (10,000 ਤੋਂ ਵੱਧ ਲੋਕਾਂ ਅਤੇ 20 ਰਿਜ਼ੋਰਟਾਂ ਦਾ ਘਰ ਇੱਕ ਮਨੁੱਖ ਦੁਆਰਾ ਬਣਾਇਆ ਗਿਆ ਦੀਪ ਸਮੂਹ) ਦੇ ਸ਼ਾਨਦਾਰ ਦ੍ਰਿਸ਼ਾਂ ਦਾ ਆਨੰਦ ਲੈਂਦੇ ਹਨ ਜਦੋਂ ਉਹ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ ਸਿਖਰ ਤੱਕ ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਇੱਕ ਦੁਹਰਾਉਣ ਵਾਲੇ ਪੈਟਰਨ ਵਿੱਚ ਯਾਤਰਾ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਇਸ ਕਿਸਮ ਦੀ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੀ ਗਤੀ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਾਂਗੇ। ਅਜਿਹਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਚੱਕਰ ਦੀ ਕਿਸਮ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਉਸ ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਇੱਕ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ 'ਤੇ ਰੱਖਣਾ ਹੋਵੇਗਾ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਜੋੜਿਆਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਚੱਕਰੀ ਗਤੀ ਬਾਰੇ ਚਰਚਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣਾ
ਆਪਣੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ (unit circle) ਬਣਾ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਕਿ ਮੂਲ (origin) 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅਤੇ 1 ਰੇਡੀਅਸ ਵਾਲਾ ਚੱਕਰ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 2 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਕੋਣ (ਰੇਡੀਅਨ ਵਿੱਚ) ਜੋ t ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ, s ਲੰਬਾਈ ਦਾ ਇੱਕ ਚਾਪ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਫਾਰਮੂਲਾ s=rt, ਅਤੇ r=1 ਨੂੰ ਜਾਣਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਲਈ, s=t ਹੈ।
ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ x- ਅਤੇ y-ਧੁਰੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪਲੇਨ ਨੂੰ ਚਾਰ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਦੇ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਚਤੁਰਭੁਜ (quadrants) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਚਤੁਰਭੁਜਾਂ ਨੂੰ ਉਸ ਦਿਸ਼ਾ ਦੀ ਨਕਲ ਕਰਨ ਲਈ ਲੇਬਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਕੋਣ ਘੁੰਮਦਾ ਹੈ। ਚਾਰ ਚਤੁਰਭੁਜਾਂ ਨੂੰ I, II, III, ਅਤੇ IV ਲੇਬਲ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਕਿਸੇ ਵੀ ਕੋਣ t ਲਈ, ਅਸੀਂ ਅੰਤਿਮ ਪਾਸੇ ਅਤੇ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਦੇ ਚੌਰਾਹੇ ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ, (x,y) ਦੁਆਰਾ ਲੇਬਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ x ਅਤੇ y ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ f(t)=cost ਅਤੇ f(t)=sint ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਹੋਣਗੇ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ x=cost ਅਤੇ y=sint।
ਚਿੱਤਰ 2: ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਜਿੱਥੇ ਕੇਂਦਰੀ ਕੋਣ t ਰੇਡੀਅਨ ਹੈ
ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ
ਇੱਕ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ (0,0) ਅਤੇ ਰੇਡੀਅਸ 1 ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਵਿੱਚ, ਕੱਟੀ ਗਈ ਚਾਪ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਕੇਂਦਰੀ ਕੋਣ t ਦੇ ਰੇਡੀਅਨ ਮਾਪ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਮੰਨ ਲਓ (x,y) ਇੱਕ ਚਾਪ ਦੀ ਲੰਬਾਈ s ਦੇ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ 'ਤੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਹੈ। ਇਸ ਬਿੰਦੂ ਦੇ (x,y) ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਕੋਣ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਜੋਂ ਵਰਣਿਤ ਕੀਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ।
ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨਾ
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਸਾਡਾ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਲੇਬਲ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਸਿੱਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ (x,y) ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਚਾਪ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ ਕੋਣ ਨਾਲ ਕਿਵੇਂ ਸਬੰਧਤ ਹਨ। ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ t ਨੂੰ ਉਸ ਬਿੰਦੂ ਦੇ y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਨਾਲ ਜੋੜਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਕੋਣ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ। ਵਧੇਰੇ ਸਹੀ ਢੰਗ ਨਾਲ, ਇੱਕ ਕੋਣ t ਦਾ ਸਾਈਨ t ਲੰਬਾਈ ਦੇ ਚਾਪ ਦੇ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ 'ਤੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਦੇ y-ਮੁੱਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 2 ਵਿੱਚ, ਸਾਈਨ y ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਸਾਰੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਾਂਗ, ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇੱਕ ਇਨਪੁੱਟ ਅਤੇ ਇੱਕ ਆਉਟਪੁੱਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਇਨਪੁੱਟ ਕੋਣ ਦਾ ਮਾਪ ਹੈ; ਇਸਦਾ ਆਉਟਪੁੱਟ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ 'ਤੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਬਿੰਦੂ ਦਾ y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਹੈ।
ਇੱਕ ਕੋਣ t ਦਾ ਕੋਸਾਈਨ t ਲੰਬਾਈ ਦੇ ਚਾਪ ਦੇ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ 'ਤੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਦੇ x-ਮੁੱਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 3 ਵਿੱਚ, ਕੋਸਾਈਨ x ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਸਮਝਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ, ਸਾਨੂੰ ਹਮੇਸ਼ਾ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਬਰੈਕਟਾਂ ਨਾਲ ਲਿਖਣ ਦੀ ਲੋੜ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ: sint sin(t) ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ ਅਤੇ cost cos(t) ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, cos 2 t (cos(t)) 2 ਲਈ ਇੱਕ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵਰਤਿਆ ਜਾਣ ਵਾਲਾ ਸੰਖੇਪ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਹੈ। ਧਿਆਨ ਰੱਖੋ ਕਿ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਅਤੇ ਕੰਪਿਊਟਰ ਸੰਖੇਪ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਨੂੰ ਨਹੀਂ ਪਛਾਣਦੇ ਹਨ। ਜਦੋਂ ਸ਼ੱਕ ਹੋਵੇ, ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਜਾਂ ਕੰਪਿਊਟਰ ਵਿੱਚ ਗਣਨਾਵਾਂ ਦਾਖਲ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਵਾਧੂ ਬਰੈਕਟਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ
ਜੇਕਰ t ਇੱਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਅਤੇ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ (x,y) t ਕੋਣ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰੀ ਹੈ, ਤਾਂ
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ P(x,y) ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਜੋ t ਕੋਣ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰੀ ਹੈ, ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਪਾਓ।
t ਦਾ ਸਾਈਨ ਬਿੰਦੂ P ਦੇ y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ: sint=y।
ਕੋਸਾਈਨ t, t ਦਾ, ਬਿੰਦੂ P ਦੇ x-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ: cos t = x. P: cos t = x.
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣਾ
ਬਿੰਦੂ P, t ਕੋਣ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰੀ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 4 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। cos(t) ਅਤੇ sin(t) ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ cos t, ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਉੱਤੇ ਅਨੁਸਾਰੀ ਬਿੰਦੂ ਦਾ x-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਹੈ ਅਤੇ sin t, ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਉੱਤੇ ਅਨੁਸਾਰੀ ਬਿੰਦੂ ਦਾ y-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ:
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਕੋਣ t, ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਉੱਤੇ ( − 2√2 , 2√2 ) ਬਿੰਦੂ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 5 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। cos t ਅਤੇ sin t ਲੱਭੋ।
ਧੁਰਿਆਂ ਉੱਤੇ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਲੱਭਣਾ
ਚਤੁਰਭੁਜ ਕੋਣਾਂ ਲਈ, ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਉੱਤੇ ਅਨੁਸਾਰੀ ਬਿੰਦੂ x- ਜਾਂ y-ਧੁਰੇ ਉੱਤੇ ਪੈਂਦਾ ਹੈ। ਉਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ x ਅਤੇ y ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਤੋਂ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਕੋਸਾਈਨ ਅਤੇ ਸਾਈਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 2
ਧੁਰੇ ਉੱਤੇ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਦੀ ਗਣਨਾ
cos(90°) ਅਤੇ sin(90°) ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਧਨਾਤਮਕ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਦੇ ਦੁਆਲੇ 90° ਵਾਮਪੱਖੀ ਚੱਲਣ ਨਾਲ ਸਾਨੂੰ ਚੱਕਰ ਦੇ ਸਿਖਰ ਉੱਤੇ ਪਹੁੰਚਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ (x,y) ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (0, 1) ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 6 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਕੋਸਾਈਨ ਅਤੇ ਸਾਈਨ ਦੀਆਂ ਸਾਡੀਆਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ,
90° ਦਾ ਕੋਸਾਈਨ 0 ਹੈ; 90° ਦਾ ਸਾਈਨ 1 ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
ਕੋਣ π ਦੇ ਕੋਸਾਈਨ ਅਤੇ ਸਾਈਨ ਲੱਭੋ।
ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਪਛਾਣ
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਸਿੱਖਾਂਗੇ ਕਿ ਉਹ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਨਾਲ ਅਤੇ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਨਾਲ ਕਿਵੇਂ ਸਬੰਧਤ ਹਨ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ x² + y² = 1 ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ x = cos t ਅਤੇ y = sin t, ਅਸੀਂ x ਅਤੇ y ਲਈ ਸਥਾਨਾਪੰਨ ਕਰਕੇ cos² t + sin² t = 1 ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ, cos² t + sin² t = 1, ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਪਛਾਣ ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 7 ਦੇਖੋ।
ਅਸੀਂ ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਪਛਾਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਸੇ ਕੋਣ ਦੇ ਕੋਸਾਈਨ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਸਾਈਨ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ, ਜਾਂ ਇਸਦੇ ਉਲਟ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਕਿਉਂਕਿ ਸਮੀਕਰਨ ਦੋ ਹੱਲ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਸਾਨੂੰ ਸਹੀ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨਾਲ ਹੱਲ ਚੁਣਨ ਲਈ ਵਾਧੂ ਗਿਆਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੋਣ ਕਿਸ ਚਤੁਰਭੁਜ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਸਹੀ ਹੱਲ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਚੁਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਪਛਾਣ
ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਪਛਾਣ ਦੱਸਦੀ ਹੈ ਕਿ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ t ਲਈ,
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਕਿਸੇ ਕੋਣ t ਅਤੇ ਉਸਦੇ ਚਤੁਰਥਾਂਸ਼ ਸਥਾਨ ਦੇ ਸਾਈਨ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ, t ਦਾ ਕੋਸਾਈਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
sin(t) ਦੇ ਪਤਾ ਕੀਤੇ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਪਛਾਣ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
cos(t) ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਉਸ ਚਤੁਰਥਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਜਿੱਥੇ t ਸਥਿਤ ਹੈ, x-ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਉਚਿਤ ਚਿੰਨ੍ਹ ਵਾਲਾ ਹੱਲ ਚੁਣੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਸਾਈਨ ਤੋਂ ਕੋਸਾਈਨ ਜਾਂ ਕੋਸਾਈਨ ਤੋਂ ਸਾਈਨ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
ਜੇ sin(t) = 3/7 ਅਤੇ t ਦੂਜੇ ਚਤੁਰਥਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ cos(t) ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ 'ਤੇ t ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਇੱਕ ਲੰਬ ਰੇਖਾ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸ ਤੋਂ ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਪਛਾਣ ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਥਿਊਰਮ ਦਾ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਮਾਮਲਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 8 ਦੇਖੋ।
ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਪਛਾਣ ਵਿੱਚ ਸਾਈਨ ਲਈ ਪਤਾ ਕੀਤੇ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਬਦਲ ਕੇ,
ਕਿਉਂਕਿ ਕੋਣ ਦੂਜੇ ਚਤੁਰਥਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ x-ਮੁੱਲ ਇੱਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਕੋਸਾਈਨ ਵੀ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ cos(t) = -2√10 / 7
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
ਜੇ cos(t) = 24/25 ਅਤੇ t ਚੌਥੇ ਚਤੁਰਥਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ sin(t) ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਕੁਝ ਗੁਣਾਂ ਬਾਰੇ ਸਿੱਖ ਚੁੱਕੇ ਹਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਰੇਡੀਅਨ ਤੋਂ ਡਿਗਰੀ ਵਿੱਚ ਪਰਿਵਰਤਨ। ਅਸੀਂ ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਪਛਾਣ ਅਤੇ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਬਾਰੇ ਆਪਣੇ ਗਿਆਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਵੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
45° ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ 45° ਜਾਂ π/4 ਦੇ ਕੋਣਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਾਂਗੇ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 9 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇੱਕ 45°–45°–90° ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਇੱਕ ਸਮਦੋਬਾਹੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਚੱਕਰ 'ਤੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਬਿੰਦੂ ਦੇ x- ਅਤੇ y-ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਸਮਾਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਕਿਉਂਕਿ x- ਅਤੇ y-ਮੁੱਲ ਸਮਾਨ ਹਨ, ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਮੁੱਲ ਵੀ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣਗੇ।
t = π/4 'ਤੇ, ਜੋ ਕਿ 45 ਡਿਗਰੀ ਹੈ, ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਪਹਿਲੇ ਚਤੁਰਥਾਂਸ਼ੀ ਕੋਣ ਨੂੰ ਦੋ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਦਾ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਅਰਧ ਵਿਆਸ y=x ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਪਿਆ ਹੈ। ਇੱਕ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 1 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, y=x ਰੇਖਾ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਬਣੇ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਵਿੱਚ x ਅਤੇ y (y=x) ਭੁਜਾਵਾਂ, ਅਤੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ = 1 ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 10 ਦੇਖੋ।
ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਥਿਊਰਮ ਤੋਂ ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
y=x ਨੂੰ ਬਦਲ ਕੇ, ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
ਅਤੇ x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਕੇ, ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
ਪਹਿਲੇ ਚਤੁਰਥਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ, x = 1/√2।
ਜਦੋਂ t= π 4 ਜਾਂ 45 ਡਿਗਰੀ,
ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਫਿਰ ਹਰਾਂ ਦਾ ਪਰਿਮੇਯੀਕਰਨ ਕਰੀਏ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
ਇਸ ਲਈ, 1 1 ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਉੱਤੇ 45° 45° ਦੇ ਕੋਣ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦੇ (x,y) (x,y) ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ( 2 2 , 2 2 ) ਹਨ। ( 2 2 , 2 2 )।
30° ਅਤੇ 60° ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਲੱਭਣਾ
ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ 30°, 30°, ਜਾਂ π 6 π 6 ਦੇ ਕੋਣ ਉੱਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਅਤੇ ਸਾਈਨ ਲੱਭਾਂਗੇ। ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦੇ ਅੰਦਰ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਬਣਾਵਾਂਗੇ ਜਿਸਦਾ ਇੱਕ ਪਾਸਾ 30°, 30° ਦੇ ਕੋਣ ਉੱਤੇ ਹੋਵੇਗਾ, ਅਤੇ ਦੂਜਾ -30°, -30° ਦੇ ਕੋਣ ਉੱਤੇ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 11 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਦੋ ਸਮਕੋਣੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਵੱਡੇ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਵਿੱਚ ਜੋੜਿਆ ਜਾਵੇ, ਤਾਂ ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਇਸ ਵੱਡੇ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੇ ਤਿੰਨੋਂ ਕੋਣ 60°, 60° ਹੋਣਗੇ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 12 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਰੇ ਕੋਣ ਬਰਾਬਰ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਪਾਸੇ ਵੀ ਬਰਾਬਰ ਹਨ। ਖੜਵੀਂ ਰੇਖਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2y, 2y ਹੈ, ਅਤੇ ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਰੇ ਪਾਸੇ ਬਰਾਬਰ ਹਨ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ r=2y r=2y ਜਾਂ y= 1 2 r। y= 1 2 r। ਕਿਉਂਕਿ sint=y sint=y,
ਅਤੇ ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਡੇ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਵਿੱਚ r=1 r=1 ਹੈ,
ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਸਰਬਸਮਤਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਕੋਸਾਈਨ ਮੁੱਲ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
1 1 ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਉੱਤੇ 30° 30° ਦੇ ਕੋਣ ਉੱਤੇ ਬਿੰਦੂ ਲਈ (x,y) (x,y) ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ( 3 2 , 1 2 ) ਹਨ। ( 3 2 , 1 2 )। t= π 3 t= π 3 (60°) ਉੱਤੇ, ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ, 1, ਇੱਕ 30-60-90 ਡਿਗਰੀ ਸਮਕੋਣੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ, BAD, BAD, ਦੇ ਕਾਰਨ ਦਾ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 13 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਕੋਣ A A ਦਾ ਮਾਪ 60° ਹੈ। 60°। ਬਿੰਦੂ B, B, ਉੱਤੇ ਅਸੀਂ 60° 60° ਦਾ ਮਾਪ ਵਾਲਾ ਕੋਣ ABC ABC ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਵਿੱਚ ਕੋਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 180° ਹੁੰਦਾ ਹੈ, 180°, ਇਸ ਲਈ ਕੋਣ C C ਦਾ ਮਾਪ ਵੀ 60° ਹੈ। 60°। ਹੁਣ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਸਮਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਸਮਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ABC ABC ਦਾ ਹਰ ਪਾਸਾ ਇੱਕੋ ਲੰਬਾਈ ਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਪਾਸਾ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸਾਰੇ ਪਾਸਿਆਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 1 ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ।
ਕੋਣ ABD ABD ਦਾ ਮਾਪ 30° ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਜੇ ਦੁਗਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾਵੇ, ਤਾਂ ਕੋਣ ABC ABC 60° ਹੈ। BD BD, AC, AC ਦਾ ਲੰਬ ਸਮਦੁਭਾਜਕ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਹ AC AC ਨੂੰ ਅੱਧਾ ਕੱਟਦਾ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ AD AD, ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਦਾ 1 2 1 2 ਹੈ, ਜਾਂ 1 2 । 1 2 । ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ AD AD, ਬਿੰਦੂ B, B ਦੇ x-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ 60° ਕੋਣ ਅਤੇ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਦੇ ਚੌਰਾਹੇ ਉੱਤੇ ਹੈ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਭੁਜ BAD BAD ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਕਾਰਨ 1 ਅਤੇ ਪਾਸਾ x x, 1 2 1 2 ਲੰਬਾਈ ਦਾ ਹੈ।
ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਥਿਊਰਮ ਤੋਂ, ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
x= 1 2 , x= 1 2 , ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਤੇ, ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
y, y, ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਤੇ, ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
ਕਿਉਂਕਿ t= π 3 t= π 3 ਦਾ ਅੰਤਿਮ ਪਾਸਾ ਚੌਥੇ ਭਾਗ I ਵਿੱਚ ਹੈ ਜਿੱਥੇ y-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਧਨ ਹੈ, ਅਸੀਂ y= 3 2 , y= 3 2 , ਧਨ ਮੁੱਲ ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ।
t= π 3 t= π 3 (60°) ਉੱਤੇ, 1 1 ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਉੱਤੇ 60° 60° ਦੇ ਕੋਣ ਉੱਤੇ ਬਿੰਦੂ ਲਈ (x,y) (x,y) ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ( 1 2 , 3 2 ), ( 1 2 , 3 2 ) ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਚੌਥੇ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਸਭ ਤੋਂ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਮਿਲਣ ਵਾਲੇ ਕੋਣਾਂ ਲਈ ਕੋਸਾਈਨ ਅਤੇ ਸਾਈਨ ਮੁੱਲ ਲੱਭ ਲਏ ਹਨ। ਸਾਰਣੀ 1 ਇਹਨਾਂ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਸਾਰ ਦਿੰਦੀ ਹੈ।
ਸਤਰ: ਕੋਣ | 0 | π 6 , π 6 , ਜਾਂ 30 | π 4 , π 4 , ਜਾਂ 45° | π 3 , π 3 , ਜਾਂ 60° | π 2 , π 2 , ਜਾਂ 90°
ਸਤਰ: ਕੋਸਾਈਨ | 1 | 3 2 3 2 | 2 2 2 2 | 1 2 1 2 | 0
ਸਤਰ: ਸਾਈਨ | 0 | 1 2 1 2 | 2 2 2 2 | 3 2 3 2 | 1
ਚਿੱਤਰ 14 ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਚੌਥੇ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਆਮ ਕੋਣਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੋਣਾਂ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਹੋਰ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਕੋਸਾਈਨ ਅਤੇ ਸਾਈਨ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਕੰਪਿਊਟਰ ਜਾਂ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਵੱਲ ਮੁੜਦੇ ਹਾਂ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ: ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰਾਂ ਨੂੰ "ਡਿਗਰੀ" ਜਾਂ "ਰੇਡੀਅਨ" ਮੋਡ ਵਿੱਚ ਸੈੱਟ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਨੂੰ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਲਈ ਇਕਾਈਆਂ ਦੱਸਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਉੱਤੇ cos(30) cos(30) ਦਾ ਮੁੱਲ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਇਹ 30 ਡਿਗਰੀ ਦੇ ਕੋਸਾਈਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਕੱਢੇਗਾ ਜੇਕਰ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਡਿਗਰੀ ਮੋਡ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਜਾਂ 30 ਰੇਡੀਅਨ ਦੇ ਕੋਸਾਈਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਕੱਢੇਗਾ ਜੇਕਰ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਰੇਡੀਅਨ ਮੋਡ ਵਿੱਚ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਰੇਡੀਅਨ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕੋਣ ਲਈ, ਕੋਸਾਈਨ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
If the calculator has degree mode and radian mode, set it to radian mode.
Press the COS key.
Enter the radian value of the angle and press the close-parentheses key ")".
Press ENTER.
Example 4
Using a Graphing Calculator to Find Sine and Cosine
Evaluate cos( 5π 3 ) cos( 5π 3 ) using a graphing calculator or computer.
Solution
Enter the following keystrokes:
COS (5×π÷3) (5×π÷3) ENTER
Analysis
We can find the cosine or sine of an angle in degrees directly on a calculator with degree mode. For calculators or software that use only radian mode, we can find the sine of 20°, 20°, for example, by including the conversion factor to radians as part of the input:
SIN ( 20 × π ÷ 180 ) ( 20 × π ÷ 180 ) ENTER
Try It #4
Evaluate sin( π 3 ). sin( π 3 ).
Identifying the Domain and Range of Sine and Cosine Functions
Now that we can find the sine and cosine of an angle, we need to discuss their domains and ranges. What are the domains of the sine and cosine functions? That is, what are the smallest and largest numbers that can be inputs of the functions? Because angles smaller than 0 and angles larger than 2π 2π can still be graphed on the unit circle and have real values of x, y, x, y, and r, r, there is no lower or upper limit to the angles that can be inputs to the sine and cosine functions. The input to the sine and cosine functions is the rotation from the positive x-axis, and that may be any real number.
What are the ranges of the sine and cosine functions? What are the least and greatest possible values for their output? We can see the answers by examining the unit circle, as shown in Figure 15. The bounds of the x-coordinate are [−1,1]. [−1,1]. The bounds of the y-coordinate are also [−1,1]. [−1,1]. Therefore, the range of both the sine and cosine functions is [−1,1]. [−1,1].
Finding Reference Angles
We have discussed finding the sine and cosine for angles in the first quadrant, but what if our angle is in another quadrant? For any given angle in the first quadrant, there is an angle in the second quadrant with the same sine value. Because the sine value is the y-coordinate on the unit circle, the other angle with the same sine will share the same y-value, but have the opposite x-value. Therefore, its cosine value will be the opposite of the first angle’s cosine value.
Likewise, there will be an angle in the fourth quadrant with the same cosine as the original angle. The angle with the same cosine will share the same x-value but will have the opposite y-value. Therefore, its sine value will be the opposite of the original angle’s sine value.
As shown in Figure 16, angle α α has the same sine value as angle t; t; the cosine values are opposites. Angle β β has the same cosine value as angle t; t; the sine values are opposites.
Recall that an angle’s reference angle is the acute angle, t, t, formed by the terminal side of the angle t t and the horizontal axis. A reference angle is always an angle between 0 0 and 90°, 90°, or 0 0 and π 2 π 2 radians. As we can see from Figure 17, for any angle in quadrants II, III, or IV, there is a reference angle in quadrant I.
How To
Given an angle between 0 0 and 2π, 2π, find its reference angle.
An angle in the first quadrant is its own reference angle.
For an angle in the second or third quadrant, the reference angle is | π−t | | π−t | or | 180°−t |. | 180°−t |.
For an angle in the fourth quadrant, the reference angle is 2π−t 2π−t or 360°−t. 360°−t.
If an angle is less than 0 0 or greater than 2π, 2π, add or subtract 2π 2π as many times as needed to find an equivalent angle between 0 0 and 2π. 2π.
Example 5
Finding a Reference Angle
Find the reference angle of 225° 225° as shown in Figure 18.
Solution
Because 225° 225° is in the third quadrant, the reference angle is
Try It #5
Find the reference angle of 5π 3 . 5π 3 .
Using Reference Angles
Now let’s take a moment to reconsider the Ferris wheel introduced at the beginning of this section. Suppose a rider snaps a photograph while stopped twenty feet above ground level. The rider then rotates three-quarters of the way around the circle. What is the rider’s new elevation? To answer questions such as this one, we need to evaluate the sine or cosine functions at angles that are greater than 90 degrees or at a negative angle. Reference angles make it possible to evaluate trigonometric functions for angles outside the first quadrant. They can also be used to find ( x,y ) ( x,y ) coordinates for those angles. We will use the reference angle of the angle of rotation combined with the quadrant in which the terminal side of the angle lies.
Using Reference Angles to Evaluate Trigonometric Functions
We can find the cosine and sine of any angle in any quadrant if we know the cosine or sine of its reference angle. The absolute values of the cosine and sine of an angle are the same as those of the reference angle. The sign depends on the quadrant of the original angle. The cosine will be positive or negative depending on the sign of the x-values in that quadrant. The sine will be positive or negative depending on the sign of the y-values in that quadrant.
Using Reference Angles to Find Cosine and Sine
Angles have cosines and sines with the same absolute value as cosines and sines of their reference angles. The sign (positive or negative) can be determined from the quadrant of the angle.
How To
Given an angle in standard position, find the reference angle, and the cosine and sine of the original angle.
Measure the angle between the terminal side of the given angle and the horizontal axis. That is the reference angle.
Determine the values of the cosine and sine of the reference angle.
Give the cosine the same sign as the x-values in the quadrant of the original angle.
Give the sine the same sign as the y-values in the quadrant of the original angle.
Example 6
Using Reference Angles to Find Sine and Cosine
ⓐ Using a reference angle, find the exact value of cos(150°) cos(150°) and sin(150°). sin(150°).
ⓑ Using the reference angle, find cos 5π 4 cos 5π 4 and sin 5π 4 . sin 5π 4 .
Solution
ⓐ 150° is located in the second quadrant. The angle it makes with the x-axis is 180° − 150° = 30°, so the reference angle is 30°. This tells us that 150° has the same sine and cosine values as 30°, except for the sign. We know that cos(30°)= 3 2 andsin(30°)= 1 2 . cos(30°)= 3 2 andsin(30°)= 1 2 . Since 150° is in the second quadrant, the x-coordinate of the point on the circle is negative, so the cosine value is negative. The y-coordinate is positive, so the sine value is positive. cos(150°)=− 3 2 andsin(150°)= 1 2 cos(150°)=− 3 2 andsin(150°)= 1 2
ⓑ 5π 4 5π 4 is in the third quadrant. Its reference angle is 5π 4 −π= π 4 . 5π 4 −π= π 4 . The cosine and sine of π 4 π 4 are both 2 2 . 2 2 . In the third quadrant, both x x and y y are negative, so: cos 5π 4 =− 2 2 andsin 5π 4 =− 2 2 cos 5π 4 =− 2 2 andsin 5π 4 =− 2 2
Try It #6
ⓐ Use the reference angle of 315° 315° to find cos(315°) cos(315°) and sin(315°). sin(315°).
ⓑ Use the reference angle of − π 6 − π 6 to find cos( − π 6 ) cos( − π 6 ) and sin( − π 6 ). sin( − π 6 ).
Using Reference Angles to Find Coordinates
Now that we have learned how to find the cosine and sine values for special angles in the first quadrant, we can use symmetry and reference angles to fill in cosine and sine values for the rest of the special angles on the unit circle. They are shown in Figure 19. Take time to learn the (x,y) (x,y) coordinates of all of the major angles in the first quadrant.
Figure 19: Special angles and coordinates of corresponding points on the unit circle
In addition to learning the values for special angles, we can use reference angles to find ( x,y ) ( x,y ) coordinates of any point on the unit circle, using what we know of reference angles along with the identities
First we find the reference angle corresponding to the given angle. Then we take the sine and cosine values of the reference angle, and give them the signs corresponding to the y- and x-values of the quadrant.
How To
Given the angle of a point on a circle and the radius of the circle, find the (x,y) (x,y) coordinates of the point.
Find the reference angle by measuring the smallest angle to the x-axis.
Find the cosine and sine of the reference angle.
Determine the appropriate signs for x x and y y in the given quadrant.
Example 7
Using the Unit Circle to Find Coordinates
Find the coordinates of the point on the unit circle at an angle of 7π 6 . 7π 6 .
Solution
We know that the angle 7π 6 7π 6 is in the third quadrant.
First, let’s find the reference angle by measuring the angle to the x-axis. To find the reference angle of an angle whose terminal side is in quadrant III, we find the difference of the angle and π. π.
Next, we will find the cosine and sine of the reference angle:
We must determine the appropriate signs for x and y in the given quadrant. Because our original angle is in the third quadrant, where both x x and y y are negative, both cosine and sine are negative.
Now we can calculate the ( x,y ) ( x,y ) coordinates using the identities x=cosθ x=cosθ and y=sinθ. y=sinθ.
The coordinates of the point are ( − 3 2 ,− 1 2 ) ( − 3 2 ,− 1 2 ) on the unit circle.
Try It #7
Find the coordinates of the point on the unit circle at an angle of 5π 3 . 5π 3 .
Media
Access these online resources for additional instruction and practice with sine and cosine functions.
Trigonometric Functions Using the Unit Circle
Sine and Cosine from the Unit Circle
Sine and Cosine from the Unit Circle and Multiples of Pi Divided by Six
Sine and Cosine from the Unit Circle and Multiples of Pi Divided by Four
Trigonometric Functions Using Reference Angles
Verbal
Describe the unit circle.
What do the x- and y-coordinates of the points on the unit circle represent?
Discuss the difference between a coterminal angle and a reference angle.
Explain how the cosine of an angle in the second quadrant differs from the cosine of its reference angle in the unit circle.
Explain how the sine of an angle in the second quadrant differs from the sine of its reference angle in the unit circle.
Algebraic
For the following exercises, use the given sign of the sine and cosine functions to find the quadrant in which the terminal point determined by tt lies.
sin(t)<0 sin(t)<0 and cos(t)<0 cos(t)<0
sin(t)>0 sin(t)>0 and cos(t)>0 cos(t)>0
sin(t)>0 sin(t)>0 and cos(t)<0 cos(t)<0
sin(t)<0 sin(t)<0 and cos(t)>0 cos(t)>0
For the following exercises, find the exact value of each trigonometric function.
sin π 2 sin π 2
sin π 3 sin π 3
cos π 2 cos π 2
cos π 3 cos π 3
sin π 4 sin π 4
cos π 4 cos π 4
sin π 6 sin π 6
sinπ sinπ
sin 3π 2 sin 3π 2
cosπ cosπ
cos0 cos0
cos π 6 cos π 6
sin0 sin0
Numeric
For the following exercises, state the reference angle for the given angle.
240° 240°
−170° −170°
100° 100°
−315° −315°
135° 135°
5π 4 5π 4
2π 3 2π 3
5π 6 5π 6
−11π 3 −11π 3
−7π 4 −7π 4
−π 8 −π 8
For the following exercises, find the reference angle, the quadrant of the terminal side, and the sine and cosine of each angle. If the angle is not one of the special angles on the unit circle, use a calculator and round to three decimal places.
225° 225°
300° 300°
320° 320°
135° 135°
210° 210°
120° 120°
250° 250°
150° 150°
5π 4 5π 4
7π 6 7π 6
5π 3 5π 3
3π 4 3π 4
4π 3 4π 3
2π 3 2π 3
5π 6 5π 6
7π 4 7π 4
For the following exercises, find the requested value.
If cos( t )= 1 7 cos( t )= 1 7 and t t is in the 4th quadrant, find sin(t). sin(t).
If cos( t )= 2 9 cos( t )= 2 9 and t t is in the 1st quadrant, find sin(t). sin(t).
If sin( t )= 3 8 sin( t )= 3 8 and t t is in the 2nd quadrant, find cos(t). cos(t).
If sin( t )=− 1 4 sin( t )=− 1 4 and t t is in the 3rd quadrant, find cos(t). cos(t).
Find the coordinates of the point on a circle with radius 15 corresponding to an angle of 220°. 220°.
Find the coordinates of the point on a circle with radius 20 corresponding to an angle of 120°. 120°.
Find the coordinates of the point on a circle with radius 8 corresponding to an angle of 7π 4 . 7π 4 .
Find the coordinates of the point on a circle with radius 16 corresponding to an angle of 5π 9 . 5π 9 .
State the domain of the sine and cosine functions.
State the range of the sine and cosine functions.
Graphical
For the following exercises, use the given point on the unit circle to find the value of the sine and cosine of t. t.
Technology
For the following exercises, use a graphing calculator to evaluate.
sin 5π 9 sin 5π 9
cos 5π 9 cos 5π 9
sin π 10 sin π 10
cos π 10 cos π 10
sin 3π 4 sin 3π 4
cos 3π 4 cos 3π 4
sin98° sin98°
cos98° cos98°
cos310° cos310°
sin310° sin310°
Extensions
For the following exercises, evaluate.
sin( 11π 3 )cos( −5π 6 ) sin( 11π 3 )cos( −5π 6 )
sin( 3π 4 )cos( 5π 3 ) sin( 3π 4 )cos( 5π 3 )
sin( − 4π 3 )cos( π 2 ) sin( − 4π 3 )cos( π 2 )
sin( −9π 4 )cos( −π 6 ) sin( −9π 4 )cos( −π 6 )
sin( π 6 )cos( −π 3 ) sin( π 6 )cos( −π 3 )
sin( 7π 4 )cos( −2π 3 ) sin( 7π 4 )cos( −2π 3 )
cos( 5π 6 )cos( 2π 3 ) cos( 5π 6 )cos( 2π 3 )
cos( −π 3 )cos( π 4 ) cos( −π 3 )cos( π 4 )
sin( −5π 4 )sin( 11π 6 ) sin( −5π 4 )sin( 11π 6 )
sin( π )sin( π 6 ) sin( π )sin( π 6 )
Real-World Applications
For the following exercises, use this scenario: A child enters a carousel that takes one minute to revolve once around. The child enters at the point ( 0,1 ), ( 0,1 ), that is, on the due north position. Assume the carousel revolves counter clockwise.
What are the coordinates of the child after 45 seconds?
What are the coordinates of the child after 90 seconds?
What is the coordinates of the child after 125 seconds?
When will the child have coordinates ( 0.707,–0.707 ) ( 0.707,–0.707 ) if the ride lasts 6 minutes? (There are multiple answers.)
When will the child have coordinates (−0.866,−0.5) (−0.866,−0.5) if the ride last 6 minutes?