Learning Objectives
In this section, you will:
Graph variations of y=sin(x)y=sin(x) and y=cos(x)y=cos(x) .
Use phase shifts of sine and cosine curves.
Figure 1: Light can be separated into colors because of its wavelike properties. (credit: "wonderferret"/ Flickr)
White light, such as the light from the sun, is not actually white at all. Instead, it is a composition of all the colors of the rainbow in the form of waves. The individual colors can be seen only when white light passes through an optical prism that separates the waves according to their wavelengths to form a rainbow.
Light waves can be represented graphically by the sine function. In the chapter on Trigonometric Functions, we examined trigonometric functions such as the sine function. In this section, we will interpret and create graphs of sine and cosine functions.
Graphing Sine and Cosine Functions
Recall that the sine and cosine functions relate real number values to the x- and y-coordinates of a point on the unit circle. So what do they look like on a graph on a coordinate plane? Let’s start with the sine function. We can create a table of values and use them to sketch a graph. Table 1 lists some of the values for the sine function on a unit circle.
row: x x | 0 0 | π 6 π 6 | π 4 π 4 | π 3 π 3 | π 2 π 2 | 2π 3 2π 3 | 3π 4 3π 4 | 5π 6 5π 6 | π π
row: sin( x ) sin( x ) | 0 0 | 1 2 1 2 | 2 2 2 2 | 3 2 3 2 | 1 1 | 3 2 3 2 | 2 2 2 2 | 1 2 1 2 | 0 0
Plotting the points from the table and continuing along the x-axis gives the shape of the sine function. See Figure 2.
Figure 2: The sine function
Notice how the sine values are positive between 0 and π, π, which correspond to the values of the sine function in quadrants I and II on the unit circle, and the sine values are negative between π π and 2π, 2π, which correspond to the values of the sine function in quadrants III and IV on the unit circle. See Figure 3.
Figure 3: Plotting values of the sine function
Now let’s take a similar look at the cosine function. Again, we can create a table of values and use them to sketch a graph. Table 2 lists some of the values for the cosine function on a unit circle.
row: x x | 0 0 | π 6 π 6 | π 4 π 4 | π 3 π 3 | π 2 π 2 | 2π 3 2π 3 | 3π 4 3π 4 | 5π 6 5π 6 | π π
row: cos( x ) cos( x ) | 1 1 | 3 2 3 2 | 2 2 2 2 | 1 2 1 2 | 0 0 | − 1 2 − 1 2 | − 2 2 − 2 2 | − 3 2 − 3 2 | −1 −1
As with the sine function, we can plots points to create a graph of the cosine function as in Figure 4.
Figure 4: The cosine function
Because we can evaluate the sine and cosine of any real number, both of these functions are defined for all real numbers. By thinking of the sine and cosine values as coordinates of points on a unit circle, it becomes clear that the range of both functions must be the interval [ −1,1 ]. [ −1,1 ].
In both graphs, the shape of the graph repeats after 2π, 2π, which means the functions are periodic with a period of 2π. 2π. A periodic function is a function for which a specific horizontal shift, P, results in a function equal to the original function: f( x+P )=f( x ) f( x+P )=f( x ) for all values of x x in the domain of f. f. When this occurs, we call the smallest such horizontal shift with P>0 P>0 the period of the function. Figure 5 shows several periods of the sine and cosine functions.
Looking again at the sine and cosine functions on a domain centered at the y-axis helps reveal symmetries. As we can see in Figure 6, the sine function is symmetric about the origin. Recall from The Other Trigonometric Functions that we determined from the unit circle that the sine function is an odd function because sin(−x)=−sinx. sin(−x)=−sinx. Now we can clearly see this property from the graph.
Figure 6: Odd symmetry of the sine function
ਚਿੱਤਰ 7 ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਮਿਤੀ ਹੈ। ਦੁਬਾਰਾ, ਅਸੀਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਕਿ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਸਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ cos(−x)=cosx। cos(−x)=cosx।
ਚਿੱਤਰ 7: ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਸਮਮਿਤੀ
ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ
ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀਆਂ ਕਈ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਹਨ:
ਇਹ 2π ਦੇ ਪੀਰੀਅਡ ਵਾਲੇ ਪੀਰੀਅਡਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ। 2π।
ਹਰੇਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ( −∞,∞ ) ( −∞,∞ ) ਹੈ ਅਤੇ ਰੇਂਜ [ −1,1 ] ਹੈ। [ −1,1 ]।
y=sinx ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਮੂਲ ਦੇ ਸਮਮਿਤੀ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ।
y=cosx ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਮਿਤੀ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਇੱਕ ਸਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ।
ਸਾਈਨੋਸੋਇਡਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਨਿਯਮਤ ਪੀਰੀਅਡ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਸਮੁੰਦਰੀ ਲਹਿਰਾਂ ਜਾਂ ਤਲਾਅ ਵਿੱਚ ਛੱਪੜਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਦੇਖਾਂਗੇ ਕਿ ਉਹ ਸਾਈਨ ਜਾਂ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਰਗੇ ਦਿਖਦੇ ਹਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਉਹ ਜ਼ਰੂਰੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ। ਕੁਝ ਦੂਜਿਆਂ ਨਾਲੋਂ ਲੰਬੇ ਜਾਂ ਲੰਬੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜਿਸਦਾ ਆਮ ਆਕਾਰ ਸਾਈਨ ਜਾਂ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਰਗਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਉਸਨੂੰ ਸਾਈਨੋਸੋਇਡਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਾਈਨੋਸੋਇਡਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਆਮ ਰੂਪ ਹਨ
ਸਾਈਨੋਸੋਇਡਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਪੀਰੀਅਡ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ
ਸਾਈਨੋਸੋਇਡਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਰੂਪਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਉਹ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਪਰਿਵਰਤਨ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਪੀਰੀਅਡ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਪਰਿਵਰਤਨ ਬਾਰੇ ਜੋ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਉਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਆਮ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ, B ਪੀਰੀਅਡ ਨਾਲ P= 2π | B | ਦੁਆਰਾ ਸਬੰਧਤ ਹੈ। ਜੇ | B |>1, ਤਾਂ ਪੀਰੀਅਡ 2π ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਸੰਕੁਚਨ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਜੇ | B |<1, ਤਾਂ ਪੀਰੀਅਡ 2π ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਖਿੱਚ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, f(x)=sin( x ), B=1, ਇਸ ਲਈ ਪੀਰੀਅਡ 2π ਹੈ, ਜੋ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਸੀ। ਜੇ f(x)=sin( 2x ), ਤਾਂ B=2, ਇਸ ਲਈ ਪੀਰੀਅਡ π ਹੈ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਸੰਕੁਚਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇ f(x)=sin( x 2 ), ਤਾਂ B= 1 2 , ਇਸ ਲਈ ਪੀਰੀਅਡ 4π ਹੈ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 8 ਵਿੱਚ ਦੇਖੋ ਕਿ ਪੀਰੀਅਡ | B | ਨਾਲ ਅਸਿੱਧੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਕਿਵੇਂ ਸਬੰਧਤ ਹੈ।
ਸਾਈਨੋਸੋਇਡਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਪੀਰੀਅਡ
ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਆਮ ਰੂਪ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ C=0 ਅਤੇ D=0 ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਰੂਪ ਮਿਲਦੇ ਹਨ
ਪੀਰੀਅਡ 2π | B | ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਸਾਈਨ ਜਾਂ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਪੀਰੀਅਡ ਪਛਾਣਨਾ
ਫੰਕਸ਼ਨ f( x )=sin( π 6 x ) ਦਾ ਪੀਰੀਅਡ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਆਓ ਆਮ ਰੂਪ y=Asin(Bx) ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੀਏ।
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ, B= π 6 , ਇਸ ਲਈ ਪੀਰੀਅਡ ਹੋਵੇਗਾ
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
ਫੰਕਸ਼ਨ g(x)=cos( x 3 ) ਦਾ ਪੀਰੀਅਡ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਤਰੰਗ-ਮਾਪ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ
ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਆਮ ਸੂਤਰ ਵੱਲ ਮੁੜਦਿਆਂ, ਅਸੀਂ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕੀਤਾ ਹੈ ਕਿ ਵੇਰੀਏਬਲ B B ਸਮੇਂ-ਅੰਤਰਾਲ ਨਾਲ ਕਿਵੇਂ ਸਬੰਧਤ ਹੈ। ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਵੇਰੀਏਬਲ A A ਵੱਲ ਮੁੜਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰ ਸਕੀਏ ਕਿ ਇਹ ਤਰੰਗ-ਮਾਪ, ਜਾਂ ਆਰਾਮ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਤੋਂ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਦੂਰੀ ਨਾਲ ਕਿਵੇਂ ਸਬੰਧਤ ਹੈ। A A ਲੰਬਕਾਰੀ ਖਿੱਚ ਦੇ ਕਾਰਕ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ | A | | A | ਤਰੰਗ-ਮਾਪ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਖਿਤਿਜੀ ਮੱਧ-ਰੇਖਾ, ਜੋ ਕਿ ਰੇਖਾ y=D; y=D ਹੈ, ਤੋਂ ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਦੂਰੀ | A | | A | ਹੋਵੇਗੀ; ਕਿਉਂਕਿ ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ D=0 D=0 ਹੈ, ਮੱਧ-ਰੇਖਾ x-ਧੁਰਾ ਹੈ। ਸਥਾਨਕ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੱਧ-ਰੇਖਾ ਤੋਂ ਉਸੇ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਹੋਣਗੇ। ਜੇਕਰ | A |>1, | A |>1, ਤਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, f(x)=4sinx f(x)=4sinx ਦਾ ਤਰੰਗ-ਮਾਪ f(x)=2sinx. f(x)=2sinx ਦੇ ਤਰੰਗ-ਮਾਪ ਦਾ ਦੁੱਗਣਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ | A |<1, | A |<1, ਤਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸੰਕੁਚਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 9 ਵੱਖ-ਵੱਖ ਤਰੰਗ-ਮਾਪਾਂ ਵਾਲੇ ਕਈ ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਤਰੰਗ-ਮਾਪ
ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਆਮ ਰੂਪ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ C=0 C=0 ਅਤੇ D=0 D=0 ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਰੂਪ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ
ਤਰੰਗ-ਮਾਪ |A|, |A|, ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਮੱਧ-ਰੇਖਾ ਤੋਂ ਲੰਬਕਾਰੀ ਉਚਾਈ ਹੈ। . . ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ
ਉਦਾਹਰਨ 2
ਸਾਈਨ ਜਾਂ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਤਰੰਗ-ਮਾਪ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨਾ
ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=−4sin(x)? f(x)=−4sin(x) ਦਾ ਤਰੰਗ-ਮਾਪ ਕੀ ਹੈ? ਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੰਬਕਾਰੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਖਿੱਚਿਆ ਗਿਆ ਹੈ ਜਾਂ ਸੰਕੁਚਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ?
ਹੱਲ
ਆਓ ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ y=Asin(Bx) y=Asin(Bx) ਸਰਲ ਰੂਪ ਨਾਲ ਤੁਲਨਾ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰੀਏ।
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ, A=−4, A=−4, ਇਸ ਲਈ ਤਰੰਗ-ਮਾਪ | A |=| −4 |=4 ਹੈ। | A |=| −4 |=4। ਫੰਕਸ਼ਨ ਖਿੱਚਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
A A ਦਾ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਮੁੱਲ ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਪਾਰ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 10 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= 1 2 sin(x)? f(x)= 1 2 sin(x) ਦਾ ਤਰੰਗ-ਮਾਪ ਕੀ ਹੈ? ਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੰਬਕਾਰੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਖਿੱਚਿਆ ਗਿਆ ਹੈ ਜਾਂ ਸੰਕੁਚਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ?
y = sin x ਅਤੇ y = cos x ਦੇ ਭਿੰਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰਨਾ
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਸਮਝਦੇ ਹਾਂ ਕਿ A A ਅਤੇ B B ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਆਮ ਰੂਪ ਸਮੀਕਰਨ ਨਾਲ ਕਿਵੇਂ ਸਬੰਧਤ ਹਨ, ਅਸੀਂ C C ਅਤੇ D D ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰਾਂਗੇ। ਆਮ ਰੂਪ ਯਾਦ ਕਰੋ:
ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ C B C B ਦਾ ਮੁੱਲ ਫੇਜ਼ ਸ਼ਿਫਟ, ਜਾਂ ਬੁਨਿਆਦੀ ਸਾਈਨ ਜਾਂ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਖਿਤਿਜੀ ਵਿਸਥਾਪਨ, ਕਹਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ C>0, C>0, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਖਿਸਕ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ C<0, C<0, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਖਿਸਕ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। | C | | C | ਦਾ ਮੁੱਲ ਜਿੰਨਾ ਵੱਡਾ ਹੋਵੇਗਾ, ਗ੍ਰਾਫ ਓਨਾ ਹੀ ਜ਼ਿਆਦਾ ਖਿਸਕੇਗਾ। ਚਿੱਤਰ 11 ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ f(x)=sin( x−π ) f(x)=sin( x−π ) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ π π ਇਕਾਈਆਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਖਿਸਕ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ f(x)=sin( x− π 4 ), f(x)=sin( x− π 4 ) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਦੇਖਣ ਵਾਲੇ ਤੋਂ ਜ਼ਿਆਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ π 4 π 4 ਇਕਾਈਆਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਖਿਸਕ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਜਦੋਂ ਕਿ C C ਖਿਤਿਜੀ ਸ਼ਿਫਟ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੈ, D D ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਆਮ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ ਮੱਧ-ਰੇਖਾ ਤੋਂ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 12 ਦੇਖੋ। ਫੰਕਸ਼ਨ y=cos( x )+D y=cos( x )+D ਦੀ ਮੱਧ-ਰੇਖਾ y=D. y=D 'ਤੇ ਹੈ।
ਸਿਫ਼ਰ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕੋਈ ਵੀ D D ਮੁੱਲ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਉੱਪਰ ਜਾਂ ਹੇਠਾਂ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 13 f(x)=sin(x) f(x)=sin(x) ਦੀ f(x)=sin(x)+2, f(x)=sin(x)+2 ਨਾਲ ਤੁਲਨਾ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ 2 ਇਕਾਈਆਂ ਉੱਪਰ ਸ਼ਿਫਟ ਹੋਇਆ ਹੈ।
ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਭਿੰਨ
f( x )=Asin( Bx−C )+D f( x )=Asin( Bx−C )+D ਜਾਂ f( x )=Acos( Bx−C )+D, f( x )=Acos( Bx−C )+D ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ ਲਈ, C B C B ਫੇਜ਼ ਸ਼ਿਫਟ ਹੈ ਅਤੇ D D ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਫੇਜ਼ ਸ਼ਿਫਟ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨਾ
f(x)=sin( x+ π 6 )−2 ਦਾ ਫੇਜ਼ ਸ਼ਿਫਟ (phase shift) ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਅਤੇ ਮਾਤਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਆਓ, ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਆਮ ਰੂਪ y=Asin(Bx−C)+D ਨਾਲ ਕਰੀਏ।
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ, ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ B=1 ਅਤੇ C=− π 6 । ਇਸ ਲਈ ਫੇਜ਼ ਸ਼ਿਫਟ ਹੈ
ਜਾਂ π 6 ਇਕਾਈ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਸਾਨੂੰ ਸਾਈਨੋਸੌਇਡਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਆਮ ਰੂਪ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਨਿਸ਼ਾਨ ਵੱਲ ਧਿਆਨ ਦੇਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਸਮੀਕਰਨ C ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਇੱਕ ਘਟਾਓ (minus) ਨਿਸ਼ਾਨ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ f(x)=sin( x+ π 6 )−2 ਨੂੰ f(x)=sin( x−( − π 6 ) )−2 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ C ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਸ਼ਿਫਟ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
f(x)=3cos( x− π 2 ) ਦਾ ਫੇਜ਼ ਸ਼ਿਫਟ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਅਤੇ ਮਾਤਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਵਰਟੀਕਲ ਸ਼ਿਫਟ (vertical shift) ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨਾ
f(x)=cos( x )−3 ਲਈ ਵਰਟੀਕਲ ਸ਼ਿਫਟ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਅਤੇ ਮਾਤਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਆਓ, ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਆਮ ਰੂਪ y=Acos(Bx−C)+D ਨਾਲ ਕਰੀਏ।
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ, D=−3 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸ਼ਿਫਟ 3 ਇਕਾਈ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
f(x)=3sin( x )+2 ਲਈ ਵਰਟੀਕਲ ਸ਼ਿਫਟ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਅਤੇ ਮਾਤਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਾਈਨੋਸੌਇਡਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f( x )=Asin( Bx−C )+D ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਮਿਡਲਾਈਨ (midline), ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ (amplitude), ਪੀਰੀਅਡ (period), ਅਤੇ ਫੇਜ਼ ਸ਼ਿਫਟ (phase shift) ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਨੂੰ | A | ਵਜੋਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਪੀਰੀਅਡ ਨੂੰ P= 2π | B | ਵਜੋਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਫੇਜ਼ ਸ਼ਿਫਟ ਨੂੰ C B ਵਜੋਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਮਿਡਲਾਈਨ ਨੂੰ y=D ਵਜੋਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
Identifying the Variations of a Sinusoidal Function from an Equation
Determine the midline, amplitude, period, and phase shift of the function y=3sin(2x)+1. y=3sin(2x)+1.
Solution
Let’s begin by comparing the equation to the general form y=Asin(Bx−C)+D. y=Asin(Bx−C)+D.
A=3, A=3, so the amplitude is | A |=3. | A |=3.
Next, B=2, B=2, so the period is P= 2π | B | = 2π 2 =π. P= 2π | B | = 2π 2 =π.
There is no added constant inside the parentheses, so C=0 C=0 and the phase shift is C B = 0 2 =0. C B = 0 2 =0.
Finally, D=1, D=1, so the midline is y=1. y=1.
Analysis
Inspecting the graph, we can determine that the period is π, π, the midline is y=1, y=1, and the amplitude is 3. See Figure 14.
Try It #5
Determine the midline, amplitude, period, and phase shift of the function y= 1 2 cos( x 3 − π 3 ). y= 1 2 cos( x 3 − π 3 ).
Example 6
Identifying the Equation for a Sinusoidal Function from a Graph
Determine the formula for the cosine function in Figure 15.
Solution
To determine the equation, we need to identify each value in the general form of a sinusoidal function.
The graph could represent either a sine or a cosine function that is shifted and/or reflected. When x=0, x=0, the graph has an extreme point, ( 0,0 ). ( 0,0 ). Since the cosine function has an extreme point for x=0, x=0, let us write our equation in terms of a cosine function.
Let’s start with the midline. We can see that the graph rises and falls an equal distance above and below y=0.5. y=0.5. This value, which is the midline, is D D in the equation, so D=0.5. D=0.5.
The greatest distance above and below the midline is the amplitude. The maxima are 0.5 units above the midline and the minima are 0.5 units below the midline. So | A |=0.5. | A |=0.5. Another way we could have determined the amplitude is by recognizing that the difference between the height of local maxima and minima is 1, so | A |= 1 2 =0.5. | A |= 1 2 =0.5. Also, the graph is reflected about the x-axis so that A=−0.5. A=−0.5.
The graph is not horizontally stretched or compressed, so B=1; B=1; and the graph is not shifted horizontally, so C=0. C=0.
Putting this all together,
Try It #6
Determine the formula for the sine function in Figure 16.
7. ਉਦਾਹਰਨ 7
2. ਗ੍ਰਾਫ਼ ਤੋਂ ਸਾਈਨੋਸੌਇਡਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਪਛਾਣ
3. ਚਿੱਤਰ 17 ਵਿੱਚ ਸਾਈਨੋਸੌਇਡਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
4. ਹੱਲ
5. 1 'ਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਅਤੇ -5 'ਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਦੇ ਨਾਲ, ਮੱਧ-ਰੇਖਾ -2 'ਤੇ ਅੱਧੀ ਹੋਵੇਗੀ। ਇਸ ਲਈ D = -2।
6. ਮੱਧ-ਰੇਖਾ ਤੋਂ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਸਭ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ 3 ਦਾ ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ ਦਿੰਦੀ ਹੈ, |A| = 3।
7. ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਪੀਰੀਅਡ 6 ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ x=1 'ਤੇ ਪੀਕ ਤੋਂ ਅਗਲੇ ਪੀਕ x=7 ਤੱਕ, ਜਾਂ ਸਭ ਤੋਂ ਘੱਟ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੀ ਦੂਰੀ ਤੋਂ ਮਾਪਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, P = 2π/|B| = 6। B ਲਈ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਮੁੱਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
8. ਹੁਣ ਤੱਕ, ਸਾਡਾ ਸਮੀਕਰਨ ਜਾਂ ਤਾਂ y = 3sin(π/3 x - C) - 2 ਹੈ ਜਾਂ y = 3cos(π/3 x - C) - 2। ਆਕਾਰ ਅਤੇ ਸ਼ਿਫਟ ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਵਿਕਲਪ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਵਜੋਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
9. ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਕੋਸਾਈਨ
10. ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਨੈਗੇਟਿਵ ਕੋਸਾਈਨ
11. ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸਾਈਨ
12. ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਨੈਗੇਟਿਵ ਸਾਈਨ
13. ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦੀ ਚੋਣ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਪੀਕ, ਜੋ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ x=0 'ਤੇ ਹੁੰਦਾ, x=1 'ਤੇ ਹੈ, ਅਤੇ π/3 ਦੇ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਕੰਪ੍ਰੈਸ਼ਨ ਫੈਕਟਰ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਸਾਨੂੰ C = 1 * π/3 = π/3 ਮਿਲਦਾ ਹੈ।
14. ਜਦੋਂ ਕਿ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਈ ਵੀ ਸਹੀ ਹੋਵੇਗਾ, ਸਾਈਨ ਸ਼ਿਫਟਾਂ ਨਾਲੋਂ ਕੋਸਾਈਨ ਸ਼ਿਫਟਾਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਨਾ ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਆਸਾਨ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਉਹਨਾਂ ਵਿੱਚ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ ਸਾਡਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
15. ਦੁਬਾਰਾ, ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਮਾਨ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਦੋਵੇਂ ਇੱਕੋ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਿੰਦੇ ਹਨ।
16. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #7
17. ਚਿੱਤਰ 18 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕੀਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ।
18. y = sin x ਅਤੇ y = cos x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਭਿੰਨਤਾਵਾਂ
19. ਇਸ ਭਾਗ ਦੌਰਾਨ, ਅਸੀਂ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀਆਂ ਭਿੰਨਤਾਵਾਂ ਦੇ ਪ੍ਰਕਾਰ ਬਾਰੇ ਸਿੱਖਿਆ ਹੈ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਤੋਂ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣ ਲਈ ਉਸ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਹੈ। ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਤੋਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਉਸੇ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
20. ਆਮ ਰੂਪ ਸਮੀਕਰਨਾਂ 'ਤੇ ਧਿਆਨ ਦੇਣ ਦੀ ਬਜਾਏ
21. ਅਸੀਂ C=0 ਅਤੇ D=0 ਮੰਨਾਂਗੇ ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਸਰਲ ਰੂਪ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਾਂਗੇ।
22. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
23. ਫੰਕਸ਼ਨ y = A sin(Bx) ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇਸਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
24. ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ, |A|, ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
1. ਪੀ = 2π √ (ਲ / ਜੀ)
1. ਮੂਲ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਵਧਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ AA ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ ਜਾਂ ਘਟਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ AA ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ।
ਜਦੋਂ x = π/2, ਤਾਂ A>0 ਲਈ A ਦਾ ਸਥਾਨਕ ਉੱਚਤਮ (maximum) ਜਾਂ A<0 ਲਈ ਨਿਊਨਤਮ (minimum) ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ y=A।
x= π | B | . x= π | B | .
1. ਏ>0 ਏ>0 ਲਈ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਨਿਊਨਤਮ (ਏ<0 ਏ<0 ਲਈ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ) x= 3π 2| ਬੀ | ਉੱਤੇ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ y=–ਏ ਹੈ।
ਬਿੰਦੂ x = 2π | B | ਉੱਤੇ ਵਕਰ ਮੁੜ ਕੇ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ।
1. ਮਿਸਾਲ 8
ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ ਅਤੇ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਅਤੇ ਪੀਰੀਅਡ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨਾ
1. f( x )=−2sin( πx 2 ) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
1. ਨਿਰਣਾ
ਆਓ, ਆਪਾਂ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਤੁਲਨਾ y=Asin(Bx) ਰੂਪ ਨਾਲ ਕਰੀਏ। y=Asin(Bx)।
1. ਸਮੀਕਰਨ ਤੋਂ ਅਸੀਂ ਵੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ A=−2, A=−2, ਇਸ ਲਈ ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ 2 ਹੈ। | A |=2 | A |=2
2. ਸਮੀਕਰਨ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ B= π 2 , B= π 2 , ਇਸ ਲਈ ਅਵਧੀ P= 2π π 2 =2π⋅ 2 π =4 ਹੈ।
3. ਕਦਮ 3. ਕਿਉਂਕਿ ਏ ਏ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਜਾਣ 'ਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਹੇਠਾਂ ਉਤਰਦਾ ਹੈ।
1. ਚਰਨ 4–7. x-ਅੰਤਰਖੰਡ ਇੱਕ ਕਾਲ ਦੇ ਸ਼ੁਰੂ ਵਿੱਚ, x=0, x=0, ਖਿਤਿਜੀ ਮੱਧਬਿੰਦੂ x=2 x=2 ਅਤੇ ਇੱਕ ਕਾਲ ਦੇ ਅੰਤ ਵਿੱਚ x=4 ਤੇ ਹਨ। x=4.
1. ਚੌਥਾਈ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿੱਚ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ x=1, x=1 ਅਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ x=3, x=3 ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਮੱਧ-ਰੇਖਾ ਤੋਂ 2 ਇਕਾਈਆਂ ਹੇਠਾਂ, x=1, x=1 'ਤੇ ਵਾਪਰੇਗਾ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੱਧ-ਰੇਖਾ ਤੋਂ 2 ਇਕਾਈਆਂ ਉੱਪਰ, x=3, x=3 'ਤੇ ਵਾਪਰੇਗਾ। ਚਿੱਤਰ 19 ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #8
1. g( x )=−0.8cos( 2x ) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ। g( x )=−0.8cos( 2x ) ਦਾ ਮੱਧ-ਰੇਖਾ, ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ, ਅਵਧੀ, ਅਤੇ ਫੇਜ਼ ਸ਼ਿਫਟ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ
ਸਾਈਨਸੌਇਡਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਫੇਜ਼ ਸ਼ਿਫਟ ਅਤੇ ਇੱਕ ਵਰਟੀਕਲ ਸ਼ਿਫਟ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਉਸਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
1. y=Asin(Bx−C)+D ਜਾਂ y=Acos(Bx−C)+D ਦੇ ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
1. ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ, | A |, | A | ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
1. ਪੀ = 2π √ (ਲੰਬਾਈ / ਗੁਰੂਤਾਕਰਸ਼ਣ) . ਪੀ = 2π √ (ਲੰਬਾਈ / ਗੁਰੂਤਾਕਰਸ਼ਣ) .
1. ਪੜਾਅ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ, ਸੀ ਬੀ। ਸੀ ਬੀ।
f(x) = A sin(Bx) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ C ਇਕਾਈਆਂ ਸੱਜੇ ਜਾਂ ਖੱਬੇ ਅਤੇ D ਇਕਾਈਆਂ ਉੱਪਰ ਜਾਂ ਹੇਠਾਂ ਖਿੱਚੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 9
ਬਦਲੇ ਹੋਏ ਸਾਈਨੋਸੌਇਡ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
f(x) = 3sin(π/4 x - π/4) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ। ਫੰਕਸ਼ਨ ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ: f(x) = 3sin(π/4 x - π/4)। ਇਸ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਆਕਾਰ ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਰਗਾ ਹੋਵੇਗਾ, ਜਿਸਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਮੱਧ-ਰੇਖਾ ਤੋਂ ਹੋਵੇਗੀ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਵਧੇਗਾ।
ਦੂਜਾ ਕਦਮ। |A| = |3| = 3। ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ 3 ਹੈ।
ਤੀਜਾ ਕਦਮ। ਕਿਉਂਕਿ |B| = |π/4| = π/4, ਅਸੀਂ ਪੀਰੀਅਡ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: P = 2π/|B| = 2π/(π/4) = 2π ⋅ 4/π = 8। ਪੀਰੀਅਡ 8 ਹੈ।
ਚੌਥਾ ਕਦਮ। ਕਿਉਂਕਿ C = π/4, ਫੇਜ਼ ਸ਼ਿਫਟ C/B = (π/4)/(π/4) = 1 ਹੈ। ਫੇਜ਼ ਸ਼ਿਫਟ 1 ਇਕਾਈ ਹੈ।
ਪੰਜਵਾਂ ਕਦਮ। ਚਿੱਤਰ 20 ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 20 ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸੰਕੁਚਿਤ, ਲੰਬਕਾਰੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਖਿੱਚਿਆ ਹੋਇਆ, ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਖਿਸਕਿਆ ਹੋਇਆ ਸਾਈਨੋਸੌਇਡ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #9
g(x) = -2cos(π/3 x + π/6) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। ਮੱਧ-ਰੇਖਾ, ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ, ਪੀਰੀਅਡ ਅਤੇ ਫੇਜ਼ ਸ਼ਿਫਟ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 10
ਸਾਈਨੋਸੌਇਡਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨਾ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ y = -2cos(π/2 x + π) + 3, ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ, ਪੀਰੀਅਡ, ਫੇਜ਼ ਸ਼ਿਫਟ, ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ। ਫਿਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਹੱਲ
ਆਮ ਰੂਪ ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 9 ਵਿੱਚ ਦੱਸੇ ਗਏ ਕਦਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ। ਫੰਕਸ਼ਨ ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ।
ਦੂਜਾ ਕਦਮ। ਕਿਉਂਕਿ A = -2, ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ |A| = 2 ਹੈ।
ਤੀਜਾ ਕਦਮ। |B| = π/2, ਇਸ ਲਈ ਪੀਰੀਅਡ P = 2π/|B| = 2π/(π/2) = 2π ⋅ 2/π = 4 ਹੈ। ਪੀਰੀਅਡ 4 ਹੈ।
ਚੌਥਾ ਕਦਮ। C = -π, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਫੇਜ਼ ਸ਼ਿਫਟ C/B = (-π)/(π/2) = -π ⋅ 2/π = -2 ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਫੇਜ਼ ਸ਼ਿਫਟ -2 ਹੈ।
ਪੰਜਵਾਂ ਕਦਮ। D = 3, ਇਸ ਲਈ ਮੱਧ-ਰੇਖਾ y = 3 ਹੈ, ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟ 3 ਉੱਪਰ ਹੈ।
ਕਿਉਂਕਿ A ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 21 ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਰੂਪਾਂਤਰਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਰੂਪਾਂਤਰਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਅਸੀਂ ਅਣਗਿਣਤ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਧਿਆਇ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਵਿੱਚ ਜ਼ਿਕਰ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਚੱਕਰੀ ਗਤੀ ਨੂੰ ਸਾਈਨ ਜਾਂ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਾਲ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 11
ਚੱਕਰੀ ਗਤੀ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਘਟਕ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ
ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਮੂਲ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ 3 ਦੀ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਦਾ ਹੈ। ਘੁੰਮਣ ਦੇ ਕੋਣ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਬਿੰਦੂ ਦੇ y-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਹੱਲ
ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ, ਅਰਧ-ਵਿਆਸ r ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਲਈ, ਬਿੰਦੂ ਦਾ y-ਨਿਰਦੇਸ਼ y=rsin(x) ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ y(x)=3sin(x) ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਸਥਿਰ 3 ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ y-ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ 3 ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਲੰਬਵਤ ਖਿੱਚ ਦਾ ਕਾਰਨ ਬਣਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 22 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਪੀਰੀਅਡ ਅਜੇ ਵੀ 2π ਹੈ; ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਚੱਕਰ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ x=2π,4π,6π,... ਲਈ ਬਿੰਦੂ (3,0) 'ਤੇ ਵਾਪਸ ਆਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਉਂਕਿ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਹੁਣ –3 ਅਤੇ 3 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਕੰਪਨ ਕਰਨਗੇ, ਸਾਈਨ ਵੇਵ ਦਾ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ 3 ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #10
ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=7cos(x) ਦਾ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਕੀ ਹੈ? ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਉਦਾਹਰਨ 12
ਚੱਕਰੀ ਗਤੀ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਘਟਕ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ
3 ਫੁੱਟ ਦੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ 4 ਫੁੱਟ ਉੱਪਰ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹੈ। ਜ਼ਮੀਨ ਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਨੇੜੇ ਦਾ ਬਿੰਦੂ P ਵਜੋਂ ਲੇਬਲ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 23 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਚੱਕਰ ਦੇ ਘੁੰਮਣ ਦੇ ਨਾਲ ਬਿੰਦੂ P ਦੀ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ ਉਚਾਈ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ; ਫਿਰ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੱਭੋ ਜੋ ਘੁੰਮਣ ਦੇ ਕੋਣ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਉਚਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਹੱਲ
ਉਚਾਈ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਨੋਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ 1 ਫੁੱਟ ਉੱਪਰ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋਵੇਗਾ, ਫਿਰ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ 7 ਫੁੱਟ ਉੱਪਰ ਵਧੇਗਾ, ਅਤੇ 4 ਫੁੱਟ ਦੇ ਕੇਂਦਰੀ ਮੁੱਲ ਤੋਂ 3 ਫੁੱਟ ਉੱਪਰ ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਕੰਪਨ ਕਰਦਾ ਰਹੇਗਾ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 24 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਹਾਲਾਂਕਿ ਅਸੀਂ ਸਾਈਨ ਜਾਂ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਰੂਪਾਂਤਰਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਨਾਲੋਂ ਵਰਤਣ ਵਿੱਚ ਆਸਾਨ ਬਣਾਉਣ ਵਾਲੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਦੀ ਭਾਲ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਆਓ ਇੱਕ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੀਏ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੇ ਜਾਂ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟੇ ਮੁੱਲ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਇੱਕ ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੱਧ ਮੁੱਲ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਸਟੈਂਡਰਡ ਕੋਸਾਈਨ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੇ ਮੁੱਲ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ ਗ੍ਰਾਫ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟੇ ਮੁੱਲ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਲੰਬਵਤ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।
ਦੂਜਾ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ 3 ਉੱਪਰ ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਕੰਪਨ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਇੱਕ ਬੇਸਿਕ ਕੋਸਾਈਨ ਦਾ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ 1 ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਸ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਆਖਰੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਾਂਗ 3 ਦੁਆਰਾ ਲੰਬਵਤ ਖਿੱਚਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਚੱਕਰ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਨੂੰ 4 ਦੀ ਉਚਾਈ ਤੱਕ ਲਿਜਾਣ ਲਈ, ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ 4 ਦੁਆਰਾ ਲੰਬਵਤ ਸ਼ਿਫਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਰੂਪਾਂਤਰਣਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਰੱਖਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #11
ਇੱਕ ਵਜ਼ਨ ਇੱਕ ਖਿੱਚੀ ਨਾਲ ਜੋੜਿਆ ਗਿਆ ਹੈ ਜੋ ਫਿਰ ਇੱਕ ਬੋਰਡ ਤੋਂ ਲਟਕਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 25 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ ਖਿੱਚੀ ਉੱਪਰ ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਕੰਪਨ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਬੋਰਡ ਦੇ ਮੁਕਾਬਲੇ ਵਜ਼ਨ ਦੀ ਸਥਿਤੀ y, -1 ਇੰਚ (ਸਮਾਂ x=0 'ਤੇ) ਤੋਂ -7 ਇੰਚ (ਸਮਾਂ x=π 'ਤੇ) ਤੱਕ ਬੋਰਡ ਤੋਂ ਹੇਠਾਂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ y ਦੀ ਸਥਿਤੀ x ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਇੱਕ ਸਾਈਨੋਸੋਇਡਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਇੱਕ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੱਭੋ ਜੋ x ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ y ਸਥਿਤੀ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 13
ਫੈਰਿਸ ਵ੍ਹੀਲ 'ਤੇ ਸਵਾਰ ਦੀ ਉਚਾਈ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ
ਲੰਡਨ ਆਈ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ਾਲ ਫੈਰਿਸ ਵ੍ਹੀਲ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਵਿਆਸ 135 ਮੀਟਰ (443 ਫੁੱਟ) ਹੈ। ਇਹ ਹਰ 30 ਮਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਪੂਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਸਵਾਰ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ 2 ਮੀਟਰ ਉੱਪਰ ਇੱਕ ਪਲੇਟਫਾਰਮ ਤੋਂ ਸਵਾਰੀ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਮਿੰਟਾਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ ਸਵਾਰ ਦੀ ਉਚਾਈ ਨੂੰ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
1. ਹੱਲ
2. 135 ਮੀਟਰ ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 67.5 ਮੀਟਰ ਹੈ। ਉਚਾਈ ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ 67.5 ਮੀਟਰ ਉੱਪਰ ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ 67.5 ਮੀਟਰ ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ ਨਾਲ ਬਦਲਦੀ ਰਹੇਗੀ।
3. ਯਾਤਰੀ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ 2 ਮੀਟਰ ਉੱਪਰ ਚੜ੍ਹਦੇ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਚੱਕਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ 67.5+2=69.5 ਮੀਟਰ ਉੱਪਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਬਦਲਾਅ ਦਾ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ 69.5 ਮੀਟਰ 'ਤੇ ਹੋਵੇਗਾ।
4. ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਵਿੱਚ 30 ਮਿੰਟ ਲੱਗਦੇ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਉਚਾਈ 30 ਮਿੰਟਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ ਨਾਲ ਬਦਲਦੀ ਰਹੇਗੀ।
5. ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਕਿਉਂਕਿ ਸਵਾਰ ਸਭ ਤੋਂ ਹੇਠਲੇ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਚੜ੍ਹਦਾ ਹੈ, ਉਚਾਈ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟੇ ਮੁੱਲ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋਵੇਗੀ ਅਤੇ ਵਧੇਗੀ, ਜੋ ਕਿ ਲੰਬਵਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਉਲਟੇ ਹੋਏ ਕੋਸਾਈਨ ਵਕਰ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰੇਗੀ।
6. ਅੰਤਰਾਲ: 67.5, 67.5, ਇਸ ਲਈ A=67.5
7. ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ: 69.5, 69.5, ਇਸ ਲਈ D=69.5
8. ਅੰਤਰਾਲ: 30, 30, ਇਸ ਲਈ B= 2π/30 = π/15
9. ਆਕਾਰ: −cos(t)
10. ਸਵਾਰ ਦੀ ਉਚਾਈ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਹੋਵੇਗਾ
11. ਜਿੱਥੇ t ਮਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਹੈ ਅਤੇ y ਮੀਟਰਾਂ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।
12. ਮੀਡੀਆ
13. ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
14. ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਦਾ ਅੰਤਰਾਲ ਅਤੇ ਪੈਰੀਅਡ
15. ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਦਾ ਟ੍ਰਾਂਸਲੇਸ਼ਨ
16. ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਟ੍ਰਾਂਸਫਾਰਮੇਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
17. ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
18. ਸ਼ਬਦਿਕ
19. ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਪੀਰੀਅਡਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਉਂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ?
20. y=sinx ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ y=cosx ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨਾਲ ਕਿਵੇਂ ਤੁਲਨਾ ਕਰਦਾ ਹੈ? ਦੱਸੋ ਕਿ ਤੁਸੀਂ y=cosx ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ y=sinx ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲੀ ਟ੍ਰਾਂਸਲੇਟ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ।
21. Acos(Bx+C)+D ਸਮੀਕਰਨ ਲਈ, ਕਿਹੜੇ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਰੇਂਜ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕਰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਉਹ ਰੇਂਜ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕਰਦੇ ਹਨ?
22. ਇੱਕ ਟ੍ਰਾਂਸਲੇਟਿਡ ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਰੇਂਜ y=Asin(Bx+C)+D ਸਮੀਕਰਨ ਨਾਲ ਕਿਵੇਂ ਸਬੰਧਤ ਹੈ?
23. f(t)=sint ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਯੂਨਿਟ ਸਰਕਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ?
24. ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ
For the following exercises, graph two full periods of each function and state the amplitude, period, and midline. State the maximum and minimum y-values and their corresponding x-values on one period for x>0. x>0. Round answers to two decimal places if necessary.
f(x)=2sinx f(x)=2sinx
f(x)= 2 3 cosx f(x)= 2 3 cosx
f(x)=−3sin x f(x)=−3sin x
f(x)=4sinx f(x)=4sinx
f(x)=2cosx f(x)=2cosx
f( x )=cos( 2x ) f( x )=cos( 2x )
f(x)=2sin( 1 2 x ) f(x)=2sin( 1 2 x )
f(x)=4cos(πx) f(x)=4cos(πx)
f(x)=3cos( 6 5 x ) f(x)=3cos( 6 5 x )
y=3sin(8(x+4))+5 y=3sin(8(x+4))+5
y=2sin(3x−21)+4 y=2sin(3x−21)+4
y=5sin(5x+20)−2 y=5sin(5x+20)−2
For the following exercises, graph one full period of each function, starting at x=0. x=0. For each function, state the amplitude, period, and midline. State the maximum and minimum y-values and their corresponding x-values on one period for x>0. x>0. State the phase shift and vertical translation, if applicable. Round answers to two decimal places if necessary.
f( t )=2sin( t− 5π 6 ) f( t )=2sin( t− 5π 6 )
f(t)=−cos( t+ π 3 )+1 f(t)=−cos( t+ π 3 )+1
f( t )=4cos( 2( t+ π 4 ) )−3 f( t )=4cos( 2( t+ π 4 ) )−3
f( t )=−sin( 1 2 t+ 5π 3 ) f( t )=−sin( 1 2 t+ 5π 3 )
f( x )=4sin( π 2 ( x−3 ) )+7 f( x )=4sin( π 2 ( x−3 ) )+7
Determine the amplitude, midline, period, and an equation involving the sine function for the graph shown in Figure 26.
Determine the amplitude, period, midline, and an equation involving cosine for the graph shown in Figure 27.
Determine the amplitude, period, midline, and an equation involving cosine for the graph shown in Figure 28.
Determine the amplitude, period, midline, and an equation involving sine for the graph shown in Figure 29.
Determine the amplitude, period, midline, and an equation involving cosine for the graph shown in Figure 30.
1. ਚਿੱਤਰ 31 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀ ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ, ਪੀਰੀਅਡ, ਮਿਡਲਾਈਨ ਅਤੇ ਸਾਈਨ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
2. ਚਿੱਤਰ 32 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀ ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ, ਪੀਰੀਅਡ, ਮਿਡਲਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
3. ਚਿੱਤਰ 33 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀ ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ, ਪੀਰੀਅਡ, ਮਿਡਲਾਈਨ ਅਤੇ ਸਾਈਨ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
4. ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ
5. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ f(x)=sinx। f(x)=sinx।
6. [ 0,2π ) ਤੇ, [ 0,2π ) ਤੇ, f( x )=0 ਹੱਲ ਕਰੋ। f( x )=0।
7. [ 0,2π ) ਤੇ, [ 0,2π ) ਤੇ, f( x )= 1 2 ਹੱਲ ਕਰੋ। f( x )= 1 2 ।
8. f( π 2 ) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। f( π 2 )।
9. [0,2π) ਤੇ, f(x)= 2 2 । [0,2π) ਤੇ, f(x)= 2 2 । x ਦੇ ਸਾਰੇ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ। x।
10. [ 0,2π ) ਤੇ, [ 0,2π ) ਤੇ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਕਿਸ x-ਮੁੱਲ (ਮੁੱਲਾਂ) ਤੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ?
11. [ 0,2π ) ਤੇ, [ 0,2π ) ਤੇ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਕਿਸ x-ਮੁੱਲ (ਮੁੱਲਾਂ) ਤੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ?
12. ਦਿਖਾਓ ਕਿ f(−x)=−f(x)। f(−x)=−f(x)। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ f(x)=sinx f(x)=sinx ਇੱਕ ਅਜੀਬ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਅਤੇ ___________ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪਤਾ ਰੱਖਦਾ ਹੈ।
13. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ f(x)=cosx। f(x)=cosx।
14. [ 0,2π ) ਤੇ, [ 0,2π ) ਤੇ, ਸਮੀਕਰਨ f(x)=cosx=0 ਹੱਲ ਕਰੋ। f(x)=cosx=0।
15. [ 0,2π ) ਤੇ, [ 0,2π ) ਤੇ, f(x)= 1 2 ਹੱਲ ਕਰੋ। f(x)= 1 2 ।
16. [ 0,2π ) ਤੇ, [ 0,2π ) ਤੇ, f(x)=cosx ਦੇ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਲੱਭੋ। f(x)=cosx।
17. [ 0,2π ) ਤੇ, [ 0,2π ) ਤੇ, ਉਹ x-ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
18. [ 0,2π ) ਤੇ, [ 0,2π ) ਤੇ, ਸਮੀਕਰਨ f(x)= 3 2 ਹੱਲ ਕਰੋ। f(x)= 3 2 ।
19. ਟੈਕਨੋਲੋਜੀ
20. [ 0,2π ] ਤੇ h(x)=x+sinx h(x)=x+sinx ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ। [ 0,2π ]। ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਅਜਿਹਾ ਕਿਉਂ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
21. [ −100,100 ] ਤੇ h(x)=x+sinx h(x)=x+sinx ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ। [ −100,100 ]। ਕੀ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਪਿਛਲੇ ਅਭਿਆਸ ਵਿੱਚ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਦਿੱਤਾ?
22. [ 0,2π ] ਤੇ f(x)=xsinx f(x)=xsinx ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ [ 0,2π ] ਅਤੇ ਜ਼ਬਾਨੀ ਦੱਸੋ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ਼ f(x)=sinx f(x)=sinx ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਵੱਖਰਾ ਹੈ।
23. [ −10,10 ] ਵਿੰਡੋ ਤੇ f(x)=xsinx f(x)=xsinx ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ [ −10,10 ] ਅਤੇ ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕੀ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।
24. [ −5π,5π ] ਵਿੰਡੋ ਤੇ f(x)= sinx x f(x)= sinx x ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ [ −5π,5π ] ਅਤੇ ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕੀ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।
1. ਅਸਲੀ-ਦੁਨੀਆ ਅਰਜ਼ੀਆਂ
2. ਇੱਕ ਫੈਰਿਸ ਵ੍ਹੀਲ ਦਾ ਵਿਆਸ 25 ਮੀਟਰ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਪਲੇਟਫਾਰਮ ਤੋਂ ਚੜ੍ਹਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ 1 ਮੀਟਰ ਉੱਪਰ ਹੈ। ਫੈਰਿਸ ਵ੍ਹੀਲ ਦੀ ਛੇ ਵਜੇ ਵਾਲੀ ਸਥਿਤੀ ਲੋਡਿੰਗ ਪਲੇਟਫਾਰਮ ਦੇ ਪੱਧਰ ਉੱਤੇ ਹੈ। ਇਹ ਵ੍ਹੀਲ 10 ਮਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ 1 ਪੂਰਾ ਚੱਕਰ ਲਗਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ h(t) ਵ੍ਹੀਲ ਦੇ ਚੱਲਣ ਤੋਂ t ਮਿੰਟ ਬਾਅਦ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਵਿਅਕਤੀ ਦੀ ਉਚਾਈ ਮੀਟਰਾਂ ਵਿੱਚ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
3. ⓐ h(t) ਦਾ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ, ਮੱਧ-ਰੇਖਾ, ਅਤੇ ਅਵਧੀ ਪਤਾ ਕਰੋ।
4. ⓑ ਉਚਾਈ ਫੰਕਸ਼ਨ h(t) ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਪਤਾ ਕਰੋ।
5. ⓒ 5 ਮਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਇੱਕ ਵਿਅਕਤੀ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ ਕਿੰਨੀ ਉੱਚਾ ਹੈ?