ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
y=tan x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰੋ।
y=tan x ਦੇ ਰੂਪਾਂਤਰਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
y=sec x ਅਤੇ y=csc x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰੋ।
y=sec x ਅਤੇ y=csc x ਦੇ ਰੂਪਾਂਤਰਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
y=cot x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰੋ।
y=cot x ਦੇ ਰੂਪਾਂਤਰਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਦੂਰੀਆਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਇੱਕ ਇਮਾਰਤ, ਪਹਾੜ, ਜਾਂ ਝੰਡਾ-ਖੰਭ ਦੀ ਉਚਾਈ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਪਰ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਦੂਰੀ ਦੀਆਂ ਦੁਹਰਾਈਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਮਾਪਣਾ ਚਾਹੀਏ ਤਾਂ ਕੀ ਹੋਵੇਗਾ? ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਇੱਕ ਫਾਇਰ ਟਰੱਕ ਦੀ ਕਲਪਨਾ ਕਰੋ ਜੋ ਇੱਕ ਗੋਦਾਮ ਦੇ ਕੋਲ ਖੜ੍ਹਾ ਹੈ। ਟਰੱਕ ਤੋਂ ਆਉਣ ਵਾਲੀ ਰੋਸ਼ਨੀ ਟਰੱਕ ਦੀ ਰੋਸ਼ਨੀ ਇੱਕ ਗੋਦਾਮ ਦੀ ਕੰਧ 'ਤੇ ਨਿਯਮਤ ਅੰਤਰਾਲਾਂ 'ਤੇ ਯਾਤਰਾ ਕਰੇਗੀ। ਜੇਕਰ ਇਨਪੁਟ ਸਮਾਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਆਉਟਪੁੱਟ ਰੋਸ਼ਨੀ ਦੀ ਕਿਰਨ ਦੁਆਰਾ ਯਾਤਰਾ ਕੀਤੀ ਦੂਰੀ ਹੋਵੇਗੀ। ਰੋਸ਼ਨੀ ਦੀ ਕਿਰਨ ਨਿਯਮਤ ਅੰਤਰਾਲਾਂ 'ਤੇ ਦੂਰੀ ਨੂੰ ਦੁਹਰਾਏਗੀ। ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਇਸ ਦੂਰੀ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਕਿਰਨ ਕੰਧ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਚੱਲਦੀ ਹੈ ਤਾਂ ਦੁਹਰਾਈਆਂ ਚੱਕਰਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਅਸੀਮਟੋਟਸ (asymptotes) ਦੀ ਲੋੜ ਹੋਵੇਗੀ, ਕਿਉਂਕਿ, ਜਾਪਦਾ ਹੈ, ਰੋਸ਼ਨੀ ਦੀ ਕਿਰਨ ਹਮੇਸ਼ਾ ਲਈ ਫੈਲਦੀ ਦਿਖਾਈ ਦੇ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੁਹਰਾਈਆਂ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਨੂੰ ਸਪੱਸ਼ਟ ਤੌਰ 'ਤੇ ਦਰਸਾਏਗਾ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਟੈਂਜੈਂਟ ਅਤੇ ਹੋਰ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰਾਂਗੇ।
y = tan x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਅਸੀਂ ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਾਂਗੇ, ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਕੀਤਾ ਸੀ, ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲੋਟ ਕਰਦੇ ਹੋਏ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ
ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਪੀਰੀਅਡ π ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਗ੍ਰਾਫ਼ kπ ਦੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ 'ਤੇ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨੂੰ ਦੁਹਰਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ k ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ − π 2 ਤੋਂ π 2 ਤੱਕ ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਪੂਰੇ ਚੱਕਰ 'ਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਨੂੰ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਵੱਡੇ ਅੰਤਰਾਲ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਦੇਖਾਂਗੇ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਦੁਹਰਾਈਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ।
ਅਸੀਂ ਟੈਂਜੈਂਟ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਟੈਂਜੈਂਟ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ਮ (odd) ਜਾਂ ਸਮ (even) ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ।
ਇਸ ਲਈ, ਟੈਂਜੈਂਟ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਟੇਬਲ 1 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਕੁਝ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖ ਕੇ ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਿਕਲ ਵਿਵਹਾਰ ਦਾ ਹੋਰ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਕਤਾਰ: x | − π 2 | − π 3 | − π 4 | − π 6 | 0 | π 6 | π 4 | π 3 | π 2
ਕਤਾਰ: tan( x ) | ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ | −√3 | –1 | −1/√3 | 0 | 1/√3 | 1 | √3 | ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ
ਇਹ ਬਿੰਦੂ ਸਾਨੂੰ ਸਾਡਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਨਗੇ, ਪਰ ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਕਿ ਜਿੱਥੇ ਇਹ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ, ਉੱਥੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਿਵੇਂ ਵਿਵਹਾਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ π 3 <x< π 2 ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਵਧੇਰੇ ਨੇੜੇ ਤੋਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਰੁਝਾਨ ਦੇਖਣ ਲਈ ਇੱਕ ਟੇਬਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਉਂਕਿ π 3 ≈1.05 ਅਤੇ π 2 ≈1.57, ਅਸੀਂ ਟੇਬਲ 2 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਅਨੁਸਾਰ 1.05<x<1.57 ਰੇਡੀਅਨ ਮਾਪਾਂ 'ਤੇ x ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਾਂਗੇ।
ਕਤਾਰ: x | 1.3 | 1.5 | 1.55 | 1.56
ਕਤਾਰ: tanx | 3.6 | 14.1 | 48.1 | 92.6
ਜਿਵੇਂ x, π 2 ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਵੱਡੇ ਅਤੇ ਵੱਡੇ ਹੁੰਦੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਕਿਉਂਕਿ y=tanx ਇੱਕ ਵਿਸ਼ਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਟੇਬਲ 3 ਵਿੱਚ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਅਨੁਸਾਰੀ ਟੇਬਲ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ।
ਕਤਾਰ: x | −1.3 | −1.5 | −1.55 | −1.56
ਕਤਾਰ: tanx | −3.6 | −14.1 | −48.1 | −92.6
ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ, ਜਿਵੇਂ x, − π 2 ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ, ਆਉਟਪੁੱਟ ਛੋਟੇ ਅਤੇ ਛੋਟੇ ਹੁੰਦੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ x ਦੇ ਕੁਝ ਮੁੱਲ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਲਈ cosx=0। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, cos( π 2 )=0 ਅਤੇ cos( 3π 2 )=0। ਇਹਨਾਂ ਮੁੱਲਾਂ 'ਤੇ, ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ y=tanx ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ x= π 2 ਅਤੇ 3π 2 'ਤੇ ਅਸੰਤਤਤਾਵਾਂ (discontinuities) ਰੱਖਦਾ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਮੁੱਲਾਂ 'ਤੇ, ਟੈਂਜੈਂਟ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸੀਮਟੋਟਸ (vertical asymptotes) ਰੱਖਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 1 y=tanx ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਟੈਂਜੈਂਟ 0 ਤੋਂ π 2 ਅਤੇ π ਤੋਂ 3π 2 ਤੱਕ ਧਨ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ (unit circle) ਦੇ ਚੌਥੇ ਅਤੇ ਤੀਜੇ ਭਾਗਾਂ (quadrants) ਦੇ ਅਨੁਸਾਰੀ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 1: ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼
y = tan x ਦੇ ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣਾ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਨਾਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਆਮ ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ A ਅਤੇ B ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਖਿਤਿਜੀ ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਖਿੱਚਾਂ ਅਤੇ ਸੰਕੋਚਨਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਖਿਤਿਜੀ ਖਿੱਚ ਨੂੰ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਪੀਰੀਅਡ ਤੋਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਟੈਂਜੈਂਟ ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਦੇ ਨਾਲ, ਗ੍ਰਾਫ਼ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਖਿੱਚ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ ਅਕਸਰ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਕਿਉਂਕਿ ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਕੋਈ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਸ਼ਬਦ ਨੂੰ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਾਂਗ ਨਹੀਂ ਸਮਝਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ। ਇਸ ਦੀ ਬਜਾਏ, ਅਸੀਂ ਸਥਿਰ A ਦਾ ਹਵਾਲਾ ਦਿੰਦੇ ਸਮੇਂ "ਖਿੱਚਣ/ਸੰਕੋਚਨ ਕਾਰਕ" ਵਾਕਾਂਸ਼ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
y = Atan(Bx) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ
ਖਿੱਚਣ ਵਾਲਾ ਕਾਰਕ |A| ਹੈ।
ਪੀਰੀਅਡ P = π / |B| ਹੈ।
ਡੋਮੇਨ ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ x ਹਨ, ਜਿੱਥੇ x ≠ π / (2|B|) + π / |B| k, ਜਿਸ ਵਿੱਚ k ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ।
ਰੇਂਜ (−∞, ∞) ਹੈ।
ਐਸਿੰਪਟੋਟਸ x = π / (2|B|) + π / |B| k 'ਤੇ ਵਾਪਰਦੇ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ k ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ।
y = Atan(Bx) ਇੱਕ ਵਿਸ਼ਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ।
ਖਿੱਚੇ ਜਾਂ ਸੰਕੁਚਿਤ ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਇੱਕ ਪੀਰੀਅਡ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣਾ
ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਖਿੱਚੇ ਅਤੇ/ਜਾਂ ਸੰਕੁਚਿਤ ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = Atan(Bx) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਜਲਦੀ ਸਕੈਚ ਕਰਨ ਲਈ ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਬਾਰੇ ਜੋ ਕੁਝ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ, ਉਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਮੂਲ ਸਮੇਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਪੀਰੀਅਡ 'ਤੇ ਧਿਆਨ ਕੇਂਦਰਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਕਿਉਂਕਿ ਪੀਰੀਅਡਿਕ ਗੁਣ ਸਾਨੂੰ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹੋਣ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਬਾਕੀ ਡੋਮੇਨ ਤੱਕ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਨ ਦੇ ਯੋਗ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਸਾਡਾ ਸੀਮਤ ਡੋਮੇਨ ਫਿਰ ਅੰਤਰਾਲ (−P/2, P/2) ਹੈ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿੱਚ ±P/2 'ਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਐਸਿੰਪਟੋਟਸ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ P = π/B ਹੈ। (−π/2, π/2) 'ਤੇ, ਗ੍ਰਾਫ਼ x = −π/2 'ਤੇ ਖੱਬੇ ਐਸਿੰਪਟੋਟ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਆਵੇਗਾ, ਮੂਲ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘੇਗਾ, ਅਤੇ x = π/2 'ਤੇ ਸੱਜੇ ਐਸਿੰਪਟੋਟ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਦੇ ਨਾਲ ਵਧਣਾ ਜਾਰੀ ਰੱਖੇਗਾ। ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਸਹੀ ਦਰ 'ਤੇ ਐਸਿੰਪਟੋਟਸ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਕੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸਕੇਲ ਨੂੰ ਵੀ ਸੈੱਟ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚੋਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਲੰਘੇਗਾ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
ਕਿਉਂਕਿ tan(π/4) = 1 ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = Atan(Bx) ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇੱਕ ਪੀਰੀਅਡ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰੋ।
ਖਿੱਚਣ ਵਾਲੇ ਕਾਰਕ, |A| ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
B ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਪੀਰੀਅਡ, P = π / |B| ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
x = −P/2 ਅਤੇ x = P/2 'ਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਐਸਿੰਪਟੋਟਸ ਬਣਾਓ।
AB > 0 ਲਈ, ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲਾਂ 'ਤੇ ਖੱਬੇ ਐਸਿੰਪਟੋਟ ਅਤੇ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲਾਂ 'ਤੇ ਸੱਜੇ ਐਸਿੰਪਟੋਟ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ (AB < 0 ਲਈ ਉਲਟ)।
(P/4, A), (0, 0), ਅਤੇ (−P/4, −A) 'ਤੇ ਰੈਫਰੈਂਸ ਪੁਆਇੰਟ ਪਲੋਟ ਕਰੋ ਅਤੇ ਇਹਨਾਂ ਪੁਆਇੰਟਾਂ ਰਾਹੀਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਇੱਕ ਸੰਕੁਚਿਤ ਟੈਂਜੈਂਟ ਦਾ ਸਕੈਚ
ਫੰਕਸ਼ਨ y = 0.5tan(π/2 x) ਦੇ ਇੱਕ ਪੀਰੀਅਡ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਸਕੈਚ ਕਰੋ।
1. ਹੱਲ
2. ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ A ਅਤੇ B ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
3. ਕਿਉਂਕਿ A = 0.5 ਅਤੇ B = π², ਅਸੀਂ ਖਿੱਚਣ/ਸੁੰਗੜਨ ਦੇ ਕਾਰਕ ਅਤੇ ਅੰਤਰਾਲ ਪਤਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅੰਤਰਾਲ π/|B| = π/π² = 1/π ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਮਤ ਰੇਖਾਵਾਂ x=±1/2π 'ਤੇ ਹਨ। ਅਸਲ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਇੱਕ ਚੌਥਾਈ ਅੰਤਰਾਲ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ
4. ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਵਕਰ ਨੂੰ ਬਿੰਦੂਆਂ (0.5, 0.5), (0, 0), ਅਤੇ (-0.5, -0.5) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਇਕਲੌਤਾ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂ ਮੂਲ 'ਤੇ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 2 ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।
5. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #1
6. f(x) = 3tan(π/6 x) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
7. ਖਿੱਚੇ ਹੋਏ ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
8. ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂ ਸੁੰਗੜਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਤੇ/ਜਾਂ ਖਿਤਿਜੀ (ਜਾਂ ਫੇਜ਼) ਸ਼ਿਫਟ ਜੋੜਾਂਗੇ। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ C ਅਤੇ D ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ।
9. ਇੱਕ ਪਰਿਵਰਤਿਤ ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬੁਨਿਆਦੀ ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ tanx ਤੋਂ ਕਈ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਵੱਖਰਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:
10. y = Atan(Bx−C)+D ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ
11. ਖਿੱਚਣ ਦਾ ਕਾਰਕ |A| ਹੈ।
12. ਅੰਤਰਾਲ π/|B| ਹੈ।
13. ਡੋਮੇਨ x≠ C/B + π/(2|B|) k ਹੈ, ਜਿੱਥੇ k ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ।
14. ਰੇਂਜ (−∞, ∞) ਹੈ।
15. ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਸੀਮਤ ਰੇਖਾਵਾਂ x = C/B + π/(2|B|) k 'ਤੇ ਵਾਪਰਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ k ਇੱਕ ਟਾਂਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ।
16. ਕੋਈ ਐਪਲੀਟਿਊਡ ਨਹੀਂ ਹੈ।
17. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
18. ਫੰਕਸ਼ਨ y = Atan(Bx−C)+D ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ, ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
19. ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ y = Atan(Bx−C)+D ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
20. ਖਿੱਚਣ/ਸੁੰਗੜਨ ਦੇ ਕਾਰਕ, |A|, ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
21. B ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਅੰਤਰਾਲ, P = π/|B|, ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
22. C ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਫੇਜ਼ ਸ਼ਿਫਟ, C/B, ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
23. y = Atan(Bx) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ C/B ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਅਤੇ D ਉੱਪਰ ਖਿੱਚੋ।
24. ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਸੀਮਤ ਰੇਖਾਵਾਂ ਨੂੰ ਖਿੱਚੋ, ਜੋ x = C/B + π/(2|B|) k 'ਤੇ ਵਾਪਰਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ k ਇੱਕ ਟਾਂਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ।
Plot any three reference points and draw the graph through these points.
Example 2
Graphing One Period of a Shifted Tangent Function
Graph one period of the function y=−2tan(πx+π)−1. y=−2tan(πx+π)−1.
Solution
Step 1. The function is already written in the form y=Atan( Bx−C )+D. y=Atan( Bx−C )+D.
Step 2. A=−2, A=−2, so the stretching factor is | A |=2. | A |=2.
Step 3. B=π, B=π, so the period is P= π | B | = π π =1. P= π | B | = π π =1.
Step 4. C=−π, C=−π, so the phase shift is C B = −π π =−1. C B = −π π =−1.
Step 5-7. The asymptotes are at x=− 3 2 x=− 3 2 and x=− 1 2 x=− 1 2 and the three recommended reference points are ( −1.25,1 ), ( −1.25,1 ), ( −1,−1 ), ( −1,−1 ), and ( −0.75,−3 ). ( −0.75,−3 ). The graph is shown in Figure 3. Figure 3
Analysis
Note that this is a decreasing function because A<0. A<0.
Try It #2
How would the graph in Example 2 look different if we made A=2 A=2 instead of −2? −2?
How To
Given the graph of a tangent function, identify horizontal and vertical stretches.
Find the period P P from the spacing between successive vertical asymptotes or x-intercepts.
Write f(x)=Atan( π P x ). f(x)=Atan( π P x ).
Determine a convenient point (x,f(x)) (x,f(x)) on the given graph and use it to determine A. A.
Example 3
Identifying the Graph of a Stretched Tangent
Find a formula for the function graphed in Figure 4.
Figure 4: A stretched tangent function
Solution
ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਆਕਾਰ ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਰਗਾ ਹੈ।
ਕਦਮ 1. ਇੱਕ ਚੱਕਰ –4 ਤੋਂ 4 ਤੱਕ ਫੈਲਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਪੀਰੀਅਡ P=8 ਹੈ। P=8। ਕਿਉਂਕਿ P= π | B |, P= π | B |, ਸਾਡੇ ਕੋਲ B= π P = π 8 ਹੈ। B= π P = π 8।
ਕਦਮ 2. ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਰੂਪ f(x)=Atan( π 8 x ) ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। f(x)=Atan( π 8 x)।
ਕਦਮ 3. ਵਰਟੀਕਲ ਸਟ੍ਰੈਚ A ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਬਿੰਦੂ ( 2,2 ) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ( 2,2 )। 2=Atan( π 8 ⋅2 )=Atan( π 4)। 2=Atan( π 8 ⋅2 )=Atan( π 4)।
ਕਿਉਂਕਿ tan( π 4 )=1, tan( π 4 )=1, A=2 ਹੈ। A=2।
ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਫਾਰਮੂਲਾ f(x)=2tan( π 8 x ) ਹੋਵੇਗਾ। f(x)=2tan( π 8 x)।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
ਚਿੱਤਰ 5 ਵਿੱਚ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲੱਭੋ।
y = sec x ਅਤੇ y = cscx ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰਨਾ
ਸੀਕੈਂਟ ਨੂੰ ਰੈਸੀਪ੍ਰੋਕਲ ਆਈਡੈਂਟਿਟੀ secx= 1 cosx ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ। secx= 1 cosx। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਨਡਿਫਾਈਂਡ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਕੋਸਾਈਨ 0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ π 2, π 2, 3π 2, 3π 2, ਆਦਿ 'ਤੇ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਕਿਉਂਕਿ ਕੋਸਾਈਨ ਕਦੇ ਵੀ ਸੰਪੂਰਨ ਮੁੱਲ ਵਿੱਚ 1 ਤੋਂ ਵੱਧ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ, ਸੀਕੈਂਟ, ਰੈਸੀਪ੍ਰੋਕਲ ਹੋਣ ਕਰਕੇ, ਕਦੇ ਵੀ ਸੰਪੂਰਨ ਮੁੱਲ ਵਿੱਚ 1 ਤੋਂ ਘੱਟ ਨਹੀਂ ਹੋਵੇਗਾ।
ਅਸੀਂ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਦੇਖ ਕੇ y=secx y=secx ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਦੋਵੇਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਰੈਸੀਪ੍ਰੋਕਲ ਹਨ। ਚਿੱਤਰ 6 ਦੇਖੋ। ਕੋਸਾਈਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਇੱਕ ਡੈਸ਼ਡ ਸੰਤਰੀ ਤਰੰਗ ਵਜੋਂ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਸਬੰਧ ਦੇਖ ਸਕੀਏ। ਜਿੱਥੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਘਟਦਾ ਹੈ, ਸੀਕੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਧਦਾ ਹੈ। ਜਿੱਥੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਧਦਾ ਹੈ, ਸੀਕੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਘਟਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜ਼ੀਰੋ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਸੀਕੈਂਟ ਅਨਡਿਫਾਈਂਡ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਸੀਕੈਂਟ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਹਰੇਕ x ਮੁੱਲ 'ਤੇ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿੱਥੇ ਕੋਸਾਈਨ ਗ੍ਰਾਫ਼ x-ਐਕਸਿਸ ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ; ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿੱਚ ਡੈਸ਼ਡ ਵਰਟੀਕਲ ਲਾਈਨਾਂ ਨਾਲ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਪਰ ਬਾਅਦ ਦੇ ਸੀਕੈਂਟ ਅਤੇ ਕੋਸੀਕੈਂਟ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਸਾਰੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ 'ਤੇ ਸਾਰੇ ਅਸਮਤੋਟਾਂ ਨੂੰ ਸਪੱਸ਼ਟ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਦਿਖਾਵਾਂਗੇ।
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ, ਕਿਉਂਕਿ ਕੋਸਾਈਨ ਇੱਕ ਸਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਸੀਕੈਂਟ ਵੀ ਇੱਕ ਸਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਯਾਨੀ, sec( −x )=secx। sec( −x )=secx।
ਚਿੱਤਰ 6: ਸੀਕੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼, f(x)=secx= 1 cosx f(x)=secx= 1 cosx
ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਕੀਤਾ ਸੀ, ਅਸੀਂ | A | | A | ਸਥਿਰਾਂਕ ਨੂੰ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਦੀ ਬਜਾਏ ਸਟ੍ਰੈਚਿੰਗ ਫੈਕਟਰ ਵਜੋਂ ਸੰਦਰਭਿਤ ਕਰਾਂਗੇ।
y = Asec(Bx) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ
ਸਟ੍ਰੈਚਿੰਗ ਫੈਕਟਰ | A | ਹੈ। | A |।
ਪੀਰੀਅਡ 2π | B | ਹੈ। 2π | B |।
ਡੋਮੇਨ x≠ π 2| B | k ਹੈ, x≠ π 2| B | k ਹੈ, ਜਿੱਥੇ k k ਇੱਕ ਬੇਮੇਲ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ।
ਰੇਂਜ (−∞,−| A |]∪[| A |,∞) ਹੈ। (−∞,−| A |]∪[| A |,∞)।
ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟ x= π 2| B | k, x= π 2| B | k 'ਤੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ k k ਇੱਕ ਬੇਮੇਲ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ।
ਕੋਈ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਨਹੀਂ ਹੈ।
y=Asec( Bx ) y=Asec( Bx ) ਇੱਕ ਸਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਕੋਸਾਈਨ ਇੱਕ ਸਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ।
ਸੀਕੈਂਟ ਦੇ ਸਮਾਨ, ਕੋਸੀਕੈਂਟ ਨੂੰ ਰੈਸੀਪ੍ਰੋਕਲ ਆਈਡੈਂਟਿਟੀ cscx= 1 sinx ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। cscx= 1 sinx। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਨਡਿਫਾਈਂਡ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਸਾਈਨ 0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿੱਚ 0, 0, π, π, ਆਦਿ 'ਤੇ ਇੱਕ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਈਨ ਕਦੇ ਵੀ ਸੰਪੂਰਨ ਮੁੱਲ ਵਿੱਚ 1 ਤੋਂ ਵੱਧ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ, ਕੋਸੀਕੈਂਟ, ਰੈਸੀਪ੍ਰੋਕਲ ਹੋਣ ਕਰਕੇ, ਕਦੇ ਵੀ ਸੰਪੂਰਨ ਮੁੱਲ ਵਿੱਚ 1 ਤੋਂ ਘੱਟ ਨਹੀਂ ਹੋਵੇਗਾ।
ਅਸੀਂ y=cscx ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਉਲਟ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 7 ਦੇਖੋ। ਸਾਈਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਇੱਕ ਟੁੱਟੀ ਹੋਈ ਸੰਤਰੀ ਤਰੰਗ ਵਜੋਂ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਸਬੰਧ ਦੇਖ ਸਕੀਏ। ਜਿੱਥੇ ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਘਟਦਾ ਹੈ, ਉੱਥੇ ਕੋਸੀਕੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਧਦਾ ਹੈ। ਜਿੱਥੇ ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਧਦਾ ਹੈ, ਉੱਥੇ ਕੋਸੀਕੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਘਟਦਾ ਹੈ।
ਕੋਸੀਕੈਂਟ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਹਰੇਕ x ਮੁੱਲ 'ਤੇ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਿੰਪਟੋਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿੱਥੇ ਸਾਈਨ ਗ੍ਰਾਫ਼ x-ਐਕਸਿਸ ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ; ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿੱਚ ਟੁੱਟੀਆਂ ਹੋਈਆਂ ਵਰਟੀਕਲ ਲਾਈਨਾਂ ਨਾਲ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ, ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਈਨ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਕੋਸੀਕੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵੀ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਭਾਵ, csc( −x )=−cscx।
ਕੋਸੀਕੈਂਟ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼, ਜੋ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 7 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਸੀਕੈਂਟ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 7: ਕੋਸੀਕੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ, f(x)=cscx= 1 sinx ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼
y = Acsc(Bx) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ
ਖਿੱਚਣ ਦਾ ਕਾਰਕ | A | ਹੈ।
ਅਵਧੀ 2π | B | ਹੈ।
ਡੋਮੇਨ x≠ π | B | k ਹੈ, ਜਿੱਥੇ k ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ।
ਰੇਂਜ ( −∞,−| A | ]∪[ | A |,∞ ) ਹੈ।
ਅਸਿੰਪਟੋਟ x= π | B | k 'ਤੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ k ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ।
y=Acsc( Bx ) ਇੱਕ ਵਿਸ਼ਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਈਨ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ।
y = sec x ਅਤੇ y= csc x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀਆਂ ਭਿੰਨਤਾਵਾਂ
ਸੀਕੈਂਟ ਅਤੇ ਕੋਸੀਕੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕੀਤੇ, ਸੰਕੁਚਿਤ, ਅਤੇ/ਜਾਂ ਖਿੱਚੇ ਗਏ ਸੰਸਕਰਣਾਂ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਟੈਂਜੈਂਟ ਅਤੇ ਕੋਟੈਂਜੈਂਟ ਲਈ ਵਰਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਸਮਾਨ ਵਿਧੀਆਂ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਭਾਵ, ਅਸੀਂ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਿੰਪਟੋਟਸ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਕੁਝ ਬਿੰਦੂਆਂ (ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸਥਾਨਕ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਾ) ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਵੀ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਅਵਧੀ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਅਵਧੀ ਲਈ ਅੰਤਰਾਲ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਚੁਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਸੀਕੈਂਟ ਲਈ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਬਹੁਤ ਸਮਾਨ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਕੋਫੰਕਸ਼ਨ ਪਛਾਣ ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਸੀਕੈਂਟ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਅੱਧੀ ਅਵਧੀ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕੀਤੇ ਕੋਸੀਕੈਂਟ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ। ਵਰਟੀਕਲ ਅਤੇ ਫੇਜ਼ ਸ਼ਿਫਟ ਸੀਕੈਂਟ ਅਤੇ ਹੋਰ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਾਂਗ ਹੀ ਕੋਸੀਕੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਕੀਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਸਮੀਕਰਨ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਨੁਸਾਰ ਬਣਦੇ ਹਨ।
y = Asec(Bx−C)+D ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ
ਖਿੱਚਣ ਦਾ ਕਾਰਕ | A | ਹੈ।
ਅਵਧੀ 2π | B | ਹੈ।
ਡੋਮੇਨ x≠ C B + π 2| B | k ਹੈ, ਜਿੱਥੇ k ਇੱਕ ਵਿਸ਼ਮ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ।
ਰੇਂਜ (−∞,−| A |+D]∪[| A |+D,∞) ਹੈ।
ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਿੰਪਟੋਟ x= C B + π 2| B | k 'ਤੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ k ਇੱਕ ਵਿਸ਼ਮ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ।
ਕੋਈ ਐਪਲੀਟਿਊਡ ਨਹੀਂ ਹੈ।
y=Asec( Bx-C )+D ਇੱਕ ਸਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਕੋਸਾਈਨ ਇੱਕ ਸਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ।
y = Acsc(Bx−C)+D ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ
ਖਿੱਚਣ ਦਾ ਕਾਰਕ | A | ਹੈ।
The period is 2π | B | . 2π | B | .
The domain is x≠ C B + π | B | k, x≠ C B + π | B | k, where k k is an integer.
The range is (−∞,−| A |+D]∪[| A |+D,∞). (−∞,−| A |+D]∪[| A |+D,∞).
The vertical asymptotes occur at x= C B + π |B| k, x= C B + π |B| k, where k k is an integer.
There is no amplitude.
y=Acsc( Bx-C )+D y=Acsc( Bx-C )+D is an odd function because sine is an odd function.
How To
Given a function of the form y=Asec( Bx ), y=Asec( Bx ), graph one period.
Express the function given in the form y=Asec( Bx ). y=Asec( Bx ).
Identify the stretching/compressing factor, | A |. | A |.
Identify B B and determine the period, P= 2π | B | . P= 2π | B | .
Sketch the graph of y=Acos( Bx ). y=Acos( Bx ).
Use the reciprocal relationship between y=cosx y=cosx and y=secx y=secx to draw the graph of y=Asec( Bx ). y=Asec( Bx ).
Sketch the asymptotes.
Plot any two reference points and draw the graph through these points.
Example 4
Graphing a Variation of the Secant Function
Graph one period of f(x)=2.5sec(0.4x). f(x)=2.5sec(0.4x).
Solution
Step 1. The given function is already written in the general form, y=Asec( Bx ). y=Asec( Bx ).
Step 2. A=2.5 A=2.5 so the stretching factor is 2.5. 2.5.
Step 3. B=0.4 B=0.4 so P= 2π 0.4 =5π. P= 2π 0.4 =5π. The period is 5π 5π units.
Step 4. Sketch the graph of the function g(x)=2.5cos(0.4x). g(x)=2.5cos(0.4x).
Step 5. Use the reciprocal relationship of the cosine and secant functions to draw the cosecant function.
Steps 6–7. Sketch two asymptotes at x=1.25π x=1.25π and x=3.75π. x=3.75π. We can use two reference points, the local minimum at ( 0,2.5 ) ( 0,2.5 ) and the local maximum at ( 2.5π,−2.5 ). ( 2.5π,−2.5 ). Figure 8 shows the graph. Figure 8
Try It #4
Graph one period of f(x)=−2.5sec(0.4x). f(x)=−2.5sec(0.4x).
Q&A
Do the vertical shift and stretch/compression affect the secant’s range?
Yes. The range of f( x )=Asec( Bx−C )+D f( x )=Asec( Bx−C )+D is ( −∞,−| A |+D ]∪[ | A |+D,∞ ). ( −∞,−| A |+D ]∪[ | A |+D,∞ ).
How To
Given a function of the form f( x )=Asec( Bx−C )+D, f( x )=Asec( Bx−C )+D, graph one period.
Express the function given in the form y=Asec(Bx−C)+D. y=Asec(Bx−C)+D.
Identify the stretching/compressing factor, | A |. | A |.
Identify B B and determine the period, 2π | B | . 2π | B | .
Identify C C and determine the phase shift, C B . C B .
Draw the graph of y=Asec(Bx) y=Asec(Bx), but shift it to the right by C B C B and up by D. D.
Sketch the vertical asymptotes, which occur at x= C B + π 2| B | k, x= C B + π 2| B | k, where k k is an odd integer.
Example 5
Graphing a Variation of the Secant Function
Graph one period of y=4sec( π 3 x− π 2 )+1. y=4sec( π 3 x− π 2 )+1.
Solution
Step 1. Express the function given in the form y=4sec( π 3 x− π 2 )+1. y=4sec( π 3 x− π 2 )+1.
Step 2. The stretching/compressing factor is | A |=4. | A |=4.
Step 3. The period is 2π |B| = 2π π 3 = 2π 1 ⋅ 3 π =6 2π |B| = 2π π 3 = 2π 1 ⋅ 3 π =6
Step 4. The phase shift is C B = π 2 π 3 = π 2 ⋅ 3 π =1.5 C B = π 2 π 3 = π 2 ⋅ 3 π =1.5
Step 5. Draw the graph of y=Asec(Bx), y=Asec(Bx), but shift it to the right by C B =1.5 C B =1.5 and up by D=1. D=1.
Step 6. Sketch the vertical asymptotes, which occur at x=0,x=3, x=0,x=3, and x=6. x=6. There is a local minimum at ( 1.5,5 ) ( 1.5,5 ) and a local maximum at ( 4.5,−3 ). ( 4.5,−3 ). Figure 9 shows the graph.
Try It #5
Graph one period of f( x )=−6sec(4x+2)−8. f( x )=−6sec(4x+2)−8.
Q&A
The domain of cscx cscx was given to be all x x such that x≠kπ x≠kπ for any integer k. k. Would the domain of y=Acsc(Bx−C)+Dbex≠ C+kπ B ? y=Acsc(Bx−C)+Dbex≠ C+kπ B ?
Yes. The excluded points of the domain follow the vertical asymptotes. Their locations show the horizontal shift and compression or expansion implied by the transformation to the original function’s input.
How To
Given a function of the form y=Acsc( Bx ), y=Acsc( Bx ), graph one period.
Express the function given in the form y=Acsc( Bx ). y=Acsc( Bx ).
| A |. | A |.
Identify B B and determine the period, P= 2π | B | . P= 2π | B | .
Draw the graph of y=Asin( Bx ). y=Asin( Bx ).
Use the reciprocal relationship between y=sinx y=sinx and y=cscx y=cscx to draw the graph of y=Acsc( Bx ). y=Acsc( Bx ).
Sketch the asymptotes.
Plot any two reference points and draw the graph through these points.
Example 6
Graphing a Variation of the Cosecant Function
Graph one period of f(x)=−3csc(4x). f(x)=−3csc(4x).
Solution
Step 1. The given function is already written in the general form, y=Acsc( Bx ). y=Acsc( Bx ).
Step 2. | A |=| −3 |=3, | A |=| −3 |=3, so the stretching factor is 3.
Step 3. B=4, B=4, so P= 2π 4 = π 2 . P= 2π 4 = π 2 . The period is π 2 π 2 units.
Step 4. Sketch the graph of the function g(x)=−3sin(4x). g(x)=−3sin(4x).
Step 5. Use the reciprocal relationship of the sine and cosecant functions to draw the cosecant function.
Steps 6–7. Sketch three asymptotes at x=0,x= π 4 , x=0,x= π 4 , and x= π 2 . x= π 2 . We can use two reference points, the local maximum at ( π 8 ,−3 ) ( π 8 ,−3 ) and the local minimum at ( 3π 8 ,3 ). ( 3π 8 ,3 ). Figure 10 shows the graph. Figure 10
Try It #6
Graph one period of f(x)=0.5csc(2x). f(x)=0.5csc(2x).
How To
Given a function of the form f( x )=Acsc( Bx−C )+D, f( x )=Acsc( Bx−C )+D, graph one period.
Express the function given in the form y=Acsc(Bx−C)+D. y=Acsc(Bx−C)+D.
Identify the stretching/compressing factor, | A |. | A |.
Identify B B and determine the period, 2π | B | . 2π | B | .
Identify C C and determine the phase shift, C B . C B .
Draw the graph of y=Acsc(Bx) y=Acsc(Bx) but shift it to the right by C B C B and up by D. D.
Sketch the vertical asymptotes, which occur at x= C B + π | B | k, x= C B + π | B | k, where k k is an integer.
Example 7
Graphing a Vertically Stretched, Horizontally Compressed, and Vertically Shifted Cosecant
Sketch a graph of y=2csc( π 2 x )+1. y=2csc( π 2 x )+1. What are the domain and range of this function?
Solution
Step 1. Express the function given in the form y=2csc( π 2 x )+1. y=2csc( π 2 x )+1.
Step 2. Identify the stretching/compressing factor, | A |=2. | A |=2.
Step 3. The period is 2π | B | = 2π π 2 = 2π 1 ⋅ 2 π =4. 2π | B | = 2π π 2 = 2π 1 ⋅ 2 π =4.
Step 4. The phase shift is 0 π 2 =0. 0 π 2 =0.
Step 5. Draw the graph of y=Acsc(Bx) y=Acsc(Bx) but shift it up D=1. D=1.
Step 6. Sketch the vertical asymptotes, which occur at x=0,x=2,x=4. x=0,x=2,x=4.
The graph for this function is shown in Figure 11.
Figure 11: A transformed cosecant function
Analysis
The vertical asymptotes shown on the graph mark off one period of the function, and the local extrema in this interval are shown by dots. Notice how the graph of the transformed cosecant relates to the graph of f(x)=2sin( π 2 x )+1, f(x)=2sin( π 2 x )+1, shown as the orange dashed wave.
Try It #7
Given the graph of f(x)=2cos( π 2 x )+1 f(x)=2cos( π 2 x )+1 shown in Figure 12, sketch the graph of g(x)=2sec( π 2 x )+1 g(x)=2sec( π 2 x )+1 on the same axes.
Analyzing the Graph of y = cot x
The last trigonometric function we need to explore is cotangent. The cotangent is defined by the reciprocal identity cotx= 1 tanx . cotx= 1 tanx . Notice that the function is undefined when the tangent function is 0, leading to a vertical asymptote in the graph at 0,π, 0,π, etc. Since the output of the tangent function is all real numbers, the output of the cotangent function is also all real numbers.
We can graph y=cotx y=cotx by observing the graph of the tangent function because these two functions are reciprocals of one another. See Figure 13. Where the graph of the tangent function decreases, the graph of the cotangent function increases. Where the graph of the tangent function increases, the graph of the cotangent function decreases.
The cotangent graph has vertical asymptotes at each value of x x where tanx=0; tanx=0; we show these in the graph below with dashed lines. Since the cotangent is the reciprocal of the tangent, cotx cotx has vertical asymptotes at all values of x x where tanx=0, tanx=0, and cotx=0 cotx=0 at all values of x x where tanx tanx has its vertical asymptotes.
Figure 13: The cotangent function
Features of the Graph of y = Acot(Bx)
The stretching factor is | A |. | A |.
The period is P= π | B | . P= π | B | .
The domain is x≠ π | B | k, x≠ π | B | k, where k k is an integer.
The range is (−∞,∞). (−∞,∞).
The asymptotes occur at x= π | B | k, x= π | B | k, where k k is an integer.
y=Acot( Bx ) y=Acot( Bx ) is an odd function.
Graphing Variations of y = cot x
We can transform the graph of the cotangent in much the same way as we did for the tangent. The equation becomes the following.
Features of the Graph of y = Acot(Bx−C)+D
The stretching factor is | A |. | A |.
The period is π | B | . π | B | .
The domain is x≠ C B + π | B | k, x≠ C B + π | B | k, where k k is an integer.
The range is (−∞,∞). (−∞,∞).
The vertical asymptotes occur at x= C B + π | B | k, x= C B + π | B | k, where k k is an integer.
There is no amplitude.
y=Acot(Bx) y=Acot(Bx) is an odd function because it is the quotient of even and odd functions (cosine and sine, respectively)
How To
Given a modified cotangent function of the form f( x )=Acot( Bx ), f( x )=Acot( Bx ), graph one period.
Express the function in the form f( x )=Acot( Bx ). f( x )=Acot( Bx ).
Identify the stretching factor, | A |. | A |.
Identify the period, P= π | B | . P= π | B | .
Draw the graph of y=Atan(Bx). y=Atan(Bx).
Plot any two reference points.
Use the reciprocal relationship between tangent and cotangent to draw the graph of y=Acot( Bx ). y=Acot( Bx ).
Sketch the asymptotes.
Example 8
Graphing Variations of the Cotangent Function
Determine the stretching factor, period, and phase shift of y=3cot(4x), y=3cot(4x), and then sketch a graph.
Solution
Step 1. Expressing the function in the form f( x )=Acot( Bx ) f( x )=Acot( Bx ) gives f( x )=3cot( 4x ). f( x )=3cot( 4x ).
Step 2. The stretching factor is | A |=3. | A |=3.
Step 3. The period is P= π 4 . P= π 4 .
Step 4. Sketch the graph of y=3tan(4x). y=3tan(4x).
Step 5. Plot two reference points. Two such points are ( π 16 ,3 ) ( π 16 ,3 ) and ( 3π 16 ,−3 ). ( 3π 16 ,−3 ).
Step 6. Use the reciprocal relationship to draw y=3cot(4x). y=3cot(4x).
Step 7. Sketch the asymptotes, x=0,x= π 4 . x=0,x= π 4 .
The blue graph in Figure 14 shows y=3tan( 4x ) y=3tan( 4x ) and the green graph shows y=3cot( 4x ). y=3cot( 4x ).
How To
Given a modified cotangent function of the form f( x )=Acot( Bx−C )+D, f( x )=Acot( Bx−C )+D, graph one period.
Express the function in the form f( x )=Acot( Bx−C )+D. f( x )=Acot( Bx−C )+D.
Identify the stretching factor, | A |. | A |.
Identify the period, P= π | B | . P= π | B | .
Identify the phase shift, C B . C B .
Draw the graph of y=Atan(Bx) y=Atan(Bx) shifted to the right by C B C B and up by D. D.
Sketch the asymptotes x= C B + π | B | k, x= C B + π | B | k, where k k is an integer.
Plot any three reference points and draw the graph through these points.
Example 9
Graphing a Modified Cotangent
Sketch a graph of one period of the function f( x )=4cot( π 8 x− π 2 )−2. f( x )=4cot( π 8 x− π 2 )−2.
Solution
Step 1. The function is already written in the general form f( x )=Acot( Bx−C )+D. f( x )=Acot( Bx−C )+D.
Step 2. A=4, A=4, so the stretching factor is 4.
Step 3. B= π 8 , B= π 8 , so the period is P= π | B | = π π 8 =8. P= π | B | = π π 8 =8.
Step 4. C= π 2 , C= π 2 , so the phase shift is C B = π 2 π 8 =4. C B = π 2 π 8 =4.
Step 5. We draw f( x )=4tan( π 8 x− π 2 )−2. f( x )=4tan( π 8 x− π 2 )−2.
Step 6-7. Three points we can use to guide the graph are (6,2),(8,−2), (6,2),(8,−2), and (10,−6). (10,−6). We use the reciprocal relationship of tangent and cotangent to draw f( x )=4cot( π 8 x− π 2 )−2. f( x )=4cot( π 8 x− π 2 )−2.
Step 8. The vertical asymptotes are x=4 x=4 and x=12. x=12.
The graph is shown in Figure 15.
Figure 15: One period of a modified cotangent function
Using the Graphs of Trigonometric Functions to Solve Real-World Problems
Many real-world scenarios represent periodic functions and may be modeled by trigonometric functions. As an example, let’s return to the scenario from the section opener. Have you ever observed the beam formed by the rotating light on a fire truck and wondered about the movement of the light beam itself across the wall? The periodic behavior of the distance the light shines as a function of time is obvious, but how do we determine the distance? We can use the tangent function.
Example 10
Using Trigonometric Functions to Solve Real-World Scenarios
Suppose the function y=5tan( π 4 t ) y=5tan( π 4 t ) marks the distance in the movement of a light beam from the top of a police car across a wall where t t is the time in seconds and y y is the distance in feet from a point on the wall directly across from the police car.
ⓐ Find and interpret the stretching factor and period.
ⓑ Graph on the interval [ 0,5 ]. [ 0,5 ].
ⓒ Evaluate f( 1 ) f( 1 ) and discuss the function’s value at that input.
Solution
ⓐ We know from the general form of y=Atan( Bt ) y=Atan( Bt ) that | A | | A | is the stretching factor and π B π B is the period. Figure 16 The vertical stretch factor of 5 means that the beam will have moved 5 feet in the one-quarter period before or after the half-period mark. This corresponds to the y-value of the standard tangent function being 1 at one-quarter of the period away from the center of the period, multiplied by the stretching factor of 5. The period is π π 4 = π 1 ⋅ 4 π =4. π π 4 = π 1 ⋅ 4 π =4. This means that every 4 seconds, the beam of light sweeps the wall. The distance from the spot across from the police car grows larger as the police car approaches.
ⓑ To graph the function, we draw an asymptote at t=2 t=2 and use the stretching factor and period. See Figure 17 Figure 17
ⓒ period: f(1)=5tan( π 4 (1) )=5(1)=5; f(1)=5tan( π 4 (1) )=5(1)=5; after 1 second, the beam of has moved 5 ft from the spot across from the police car.
Media
Access these online resources for additional instruction and practice with graphs of other trigonometric functions.
Graphing the Tangent
Graphing Cosecant and Secant
Graphing the Cotangent
Verbal
Explain how the graph of the sine function can be used to graph y=cscx. y=cscx.
How can the graph of y=cosx y=cosx be used to construct the graph of y=secx? y=secx?
Explain why the period of tanx tanx is equal to π. π.
Why are there no intercepts on the graph of y=cscx? y=cscx?
How does the period of y=cscx y=cscx compare with the period of y=sinx? y=sinx?
Algebraic
For the following exercises, match each trigonometric function with one of the following graphs.
f( x )=tanx f( x )=tanx
f( x )=secx f( x )=secx
f( x )=cscx f( x )=cscx
f( x )=cotx f( x )=cotx
For the following exercises, find the period and horizontal shift of each of the functions.
f( x )=2tan( 4x−32 ) f( x )=2tan( 4x−32 )
h( x )=2sec( π 4 ( x+1 ) ) h( x )=2sec( π 4 ( x+1 ) )
m( x )=6csc( π 3 x+π ) m( x )=6csc( π 3 x+π )
For the following exercises, evaluate the transformed functions.
If tanx=−1.5, tanx=−1.5, find tan( −x ). tan( −x ).
If secx=2, secx=2, find sec( −x ). sec( −x ).
If cscx=−5, cscx=−5, find csc( −x ). csc( −x ).
If xsinx=2, xsinx=2, find ( −x )sin( −x ). ( −x )sin( −x ).
For the following exercises, rewrite each expression such that the argument x x is positive.
cot( −x )cos( −x )+sin( −x ) cot( −x )cos( −x )+sin( −x )
cos( −x )+tan( −x )sin( −x ) cos( −x )+tan( −x )sin( −x )
Graphical
For the following exercises, sketch two periods of the graph for each of the following functions. Identify the stretching factor, period, and asymptotes.
f( x )=2tan( 4x−32 ) f( x )=2tan( 4x−32 )
h( x )=2sec( π 4 ( x+1 ) ) h( x )=2sec( π 4 ( x+1 ) )
m( x )=6csc( π 3 x+π ) m( x )=6csc( π 3 x+π )
j( x )=tan( π 2 x ) j( x )=tan( π 2 x )
p(x)=tan( x− π 2 ) p(x)=tan( x− π 2 )
f(x)=4tan(x) f(x)=4tan(x)
f(x)=tan( x+ π 4 ) f(x)=tan( x+ π 4 )
f(x)=πtan( πx−π )−π f(x)=πtan( πx−π )−π
f( x )=2csc( x ) f( x )=2csc( x )
f( x )=− 1 4 csc( x ) f( x )=− 1 4 csc( x )
f(x)=4sec( 3x ) f(x)=4sec( 3x )
f(x)=−3cot( 2x ) f(x)=−3cot( 2x )
f(x)=7sec( 5x ) f(x)=7sec( 5x )
f(x)= 9 10 csc( πx ) f(x)= 9 10 csc( πx )
f(x)=2csc( x+ π 4 )−1 f(x)=2csc( x+ π 4 )−1
f(x)=−sec( x− π 3 )−2 f(x)=−sec( x− π 3 )−2
f(x)= 7 5 csc( x− π 4 ) f(x)= 7 5 csc( x− π 4 )
f(x)=5( cot( x+ π 2 )−3 ) f(x)=5( cot( x+ π 2 )−3 )
For the following exercises, find and graph two periods of the periodic function with the given stretching factor, | A |, | A |, period, and phase shift.
A tangent curve, A=1, A=1, period of π 3 ; π 3 ; and phase shift ( h,k )=( π 4 ,2 ) ( h,k )=( π 4 ,2 )
A tangent curve, A=−2, A=−2, period of π 4 , π 4 , and phase shift ( h,k )=( − π 4 ,−2 ) ( h,k )=( − π 4 ,−2 )
For the following exercises, find an equation for the graph of each function.
Technology
For the following exercises, use a graphing calculator to graph two periods of the given function. Note: most graphing calculators do not have a cosecant button; therefore, you will need to input cscx cscx as 1 sinx . 1 sinx .
f(x)=| csc( x ) | f(x)=| csc( x ) |
f(x)=| cot( x ) | f(x)=| cot( x ) |
f(x)= 2 csc( x ) f(x)= 2 csc( x )
f(x)= csc( x ) sec( x ) f(x)= csc( x ) sec( x )
Graph f(x)=1+ sec 2 ( x )− tan 2 ( x ). f(x)=1+ sec 2 ( x )− tan 2 ( x ). What is the function shown in the graph?
f(x)=sec( 0.001x ) f(x)=sec( 0.001x )
f(x)=cot( 100πx ) f(x)=cot( 100πx )
f(x)= sin 2 x+ cos 2 x f(x)= sin 2 x+ cos 2 x
Real-World Applications
The function f( x )=20tan( π 10 x ) f( x )=20tan( π 10 x ) marks the distance in the movement of a light beam from a police car across a wall for time x, x, in seconds, and distance f( x ), f( x ), in feet.
ⓐ Graph on the interval [ 0,5 ]. [ 0,5 ].
ⓑ Find and interpret the stretching factor, period, and asymptote.
ⓒ Evaluate f( 1 ) f( 1 ) and f( 2.5 ) f( 2.5 ) and discuss the function’s values at those inputs.
Standing on the shore of a lake, a fisherman sights a boat far in the distance to his left. Let x, x, measured in radians, be the angle formed by the line of sight to the ship and a line due north from his position. Assume due north is 0 and x x is measured negative to the left and positive to the right. (See Figure 19.) The boat travels from due west to due east and, ignoring the curvature of the Earth, the distance d( x ), d( x ), in kilometers, from the fisherman to the boat is given by the function d( x )=1.5sec( x ). d( x )=1.5sec( x ).
ⓐWhat is a reasonable domain for d( x )? d( x )?
ⓑGraph d( x ) d( x ) on this domain.
ⓒFind and discuss the meaning of any vertical asymptotes on the graph of d( x ). d( x ).
ⓓCalculate and interpret d( − π 3 ). d( − π 3 ). Round to the second decimal place.
ⓔCalculate and interpret d( π 6 ). d( π 6 ). Round to the second decimal place.
ⓕWhat is the minimum distance between the fisherman and the boat? When does this occur?
A laser rangefinder is locked on a comet approaching Earth. The distance g( x ), g( x ), in kilometers, of the comet after x x days, for x x in the interval 0 to 30 days, is given by g( x )=250,000csc( π 30 x ). g( x )=250,000csc( π 30 x ).
ⓐ Graph g( x ) g( x ) on the interval [ 0,30 ]. [ 0,30 ].
ⓑ Evaluate g( 5 ) g( 5 ) and interpret the information.
ⓒ What is the minimum distance between the comet and Earth? When does this occur? To which constant in the equation does this correspond?
ⓓ Find and discuss the meaning of any vertical asymptotes.
A video camera is focused on a rocket on a launching pad 2 miles from the camera. The angle of elevation from the ground to the rocket after x x seconds is π 120 x. π 120 x.
ⓐWrite a function expressing the altitude h( x ), h( x ), in miles, of the rocket above the ground after x x seconds. Ignore the curvature of the Earth.
ⓑGraph h( x ) h( x ) on the interval ( 0,60 ). ( 0,60 ).
ⓒEvaluate and interpret the values h( 0 ) h( 0 ) and h( 30 ). h( 30 ).
ⓓWhat happens to the values of h( x ) h( x ) as x x approaches 60 seconds? Interpret the meaning of this in terms of the problem.