ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਉਲਟ ਸਾਈਨ, ਕੋਸਾਈਨ, ਅਤੇ ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਸਮਝੋਗੇ ਅਤੇ ਵਰਤੋਂਗੇ।
ਉਲਟ ਸਾਈਨ, ਕੋਸਾਈਨ, ਅਤੇ ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋਗੇ।
ਉਲਟ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋਗੇ।
ਉਲਟ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਾਲੇ ਸੰਯੁਕਤ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋਗੇ।
ਕਿਸੇ ਵੀ ਸੱਜੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਲਈ, ਇੱਕ ਹੋਰ ਕੋਣ ਅਤੇ ਇੱਕ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦਿੱਤੀ ਹੋਵੇ, ਅਸੀਂ ਦੂਜੇ ਕੋਣਾਂ ਅਤੇ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਪਰ ਜੇ ਸਾਨੂੰ ਸੱਜੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੀਆਂ ਸਿਰਫ਼ ਦੋ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਜਾਣ ਤਾਂ ਕੀ ਹੋਵੇਗਾ? ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਤੋਂ ਕੋਣ ਤੱਕ ਲੈ ਜਾਵੇ। ਇੱਥੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਉਲਟ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਸਾਹਮਣੇ ਆਉਂਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਉਲਟ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰਾਂਗੇ।
ਉਲਟ ਸਾਈਨ, ਕੋਸਾਈਨ, ਅਤੇ ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਸਮਝਣਾ ਅਤੇ ਵਰਤਣਾ
ਉਲਟ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਸਮਝਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਉਲਟ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਉਸ ਨੂੰ "ਅਨਡੂ" ਕਰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਅਸਲ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ "ਕਰਦਾ" ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਉਸਦੇ ਉਲਟ ਨਾਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਰੇਂਜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਉਲਟ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 1 ਵਿੱਚ ਸੰਖੇਪ ਵਿੱਚ ਦੱਸਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ f(x)=sinx, ਤਾਂ ਅਸੀਂ f −1 (x)= sin −1 x ਲਿਖਾਂਗੇ। ਧਿਆਨ ਰਹੇ ਕਿ sin −1 x ਦਾ ਮਤਲਬ 1/sinx ਨਹੀਂ ਹੈ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਉਲਟ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ:
ਕਿਉਂਕਿ sin( π/6 )= 1/2, ਤਾਂ π/6 = sin −1 ( 1/2 )।
ਕਿਉਂਕਿ cos( π )=−1, ਤਾਂ π= cos −1 ( −1 )।
ਕਿਉਂਕਿ tan( π/4 )=1, ਤਾਂ π/4 = tan −1 ( 1 )।
ਪਿਛਲੇ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਕੋਣਾਂ 'ਤੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕੀਤਾ ਸੀ, ਪਰ ਕਈ ਵਾਰ ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਜਾਣਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਕਿਹੜਾ ਕੋਣ ਇੱਕ ਖਾਸ ਸਾਈਨ, ਕੋਸਾਈਨ, ਜਾਂ ਟੈਂਜੈਂਟ ਮੁੱਲ ਦੇਵੇਗਾ। ਇਸ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ, ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ, ਜੇ f(a)=b, ਤਾਂ ਇੱਕ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ f −1 (b)=a ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰੇਗਾ।
ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖੋ ਕਿ ਸਾਈਨ, ਕੋਸਾਈਨ, ਅਤੇ ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਹਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਲਾਈਨ ਟੈਸਟ ਵਿੱਚ ਅਸਫਲ ਹੋ ਜਾਵੇਗਾ। ਦਰਅਸਲ, ਕੋਈ ਵੀ ਪੀਰੀਅਡਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ ਕਿਉਂਕਿ ਇਸਦੀ ਰੇਂਜ ਵਿੱਚ ਹਰ ਆਊਟਪੁੱਟ ਹਰ ਪੀਰੀਅਡ ਵਿੱਚ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਇਨਪੁੱਟ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਪੀਰੀਅਡਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਗਿਣਤੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਹੋਰ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਾਂਗ ਜੋ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਹਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਸੀਮਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੋਵੇਗੀ ਜੋ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਹੋਵੇ। ਅਸੀਂ ਹਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਇੱਕ ਡੋਮੇਨ ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਨੰਬਰ 0 ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 2 ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ [−π/2, π/2] ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ [0,π] ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 2: (a) ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਸੀਮਤ ਡੋਮੇਨ [−π/2, π/2] 'ਤੇ; (b) ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਸੀਮਤ ਡੋਮੇਨ [0,π] 'ਤੇ
ਚਿੱਤਰ 3 ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ (−π/2, π/2) ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 3: ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਸੀਮਤ ਡੋਮੇਨ (−π/2, π/2) 'ਤੇ
ਸੀਮਤ ਡੋਮੇਨ ਲਈ ਇਹ ਪਰੰਪਰਾਗਤ ਚੋਣਾਂ ਕੁਝ ਹੱਦ ਤੱਕ ਮਨਮਾਨੀਆਂ ਹਨ, ਪਰ ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ, ਮਦਦਗਾਰ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਹਨ। ਹਰ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਕੁਝ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਮੁੱਲ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ, ਹਰ ਇੱਕ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਉਲਟਾਉਣਯੋਗ ਹੈ। ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸੀਮਤ ਡੋਮੇਨ ਲਈ ਪਰੰਪਰਾਗਤ ਚੋਣ ਵਿੱਚ ਇਹ ਉਪਯੋਗੀ ਗੁਣ ਵੀ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਇੱਕ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਾਈਮਪਟੋਟ ਤੋਂ ਦੂਜੇ ਤੱਕ ਫੈਲਦਾ ਹੈ ਨਾ ਕਿ ਅਸਾਈਮਪਟੋਟ ਦੁਆਰਾ ਦੋ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਇਨ੍ਹਾਂ ਸੀਮਤ ਡੋਮੇਨਾਂ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਉਲਟ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਉਲਟ ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ y= sin −1 x ਦਾ ਮਤਲਬ x=siny ਹੈ। ਉਲਟ ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਕਈ ਵਾਰ ਆਰਕਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ arcsinx ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। y= sin −1 x ਦਾ ਡੋਮੇਨ [−1,1] ਅਤੇ ਰੇਂਜ [−π/2, π/2] ਹੈ।
ਉਲਟ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ y= cos −1 x ਦਾ ਮਤਲਬ x=cosy ਹੈ। ਉਲਟ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਕਈ ਵਾਰ ਆਰਕਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ arccosx ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। y= cos −1 x ਦਾ ਡੋਮੇਨ [−1,1] ਅਤੇ ਰੇਂਜ [0,π] ਹੈ।
ਉਲਟ ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ y= tan −1 x ਦਾ ਮਤਲਬ x=tany ਹੈ। ਉਲਟ ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਕਈ ਵਾਰ ਆਰਕਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ arctanx ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। y= tan −1 x ਦਾ ਡੋਮੇਨ (−∞,∞) ਅਤੇ ਰੇਂਜ (−π/2, π/2) ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 4, ਚਿੱਤਰ 5, ਅਤੇ ਚਿੱਤਰ 6 ਵਿੱਚ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਹਨ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਆਉਟਪੁੱਟ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ, ਰੇਡੀਅਨ ਮਾਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕੋਣ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ sin −1 x ਦਾ ਡੋਮੇਨ [ −1,1 ] ਅਤੇ ਰੇਂਜ [ − π 2 , π 2 ] ਹੈ, cos −1 x ਦਾ ਡੋਮੇਨ [ −1,1 ] ਅਤੇ ਰੇਂਜ [0,π] ਹੈ, ਅਤੇ tan −1 x ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ( − π 2 , π 2 ) ਹੈ। ਉਲਟ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਨੂੰ ਬਦਲੋ। ਉਲਟ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਹਰੇਕ ਗ੍ਰਾਫ, y=x ਰੇਖਾ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 4: ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਉਲਟ ਸਾਈਨ (ਜਾਂ ਆਰਕਸਾਈਨ) ਫੰਕਸ਼ਨ
ਚਿੱਤਰ 5: ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਉਲਟ ਕੋਸਾਈਨ (ਜਾਂ ਆਰਕਕੋਸਾਈਨ) ਫੰਕਸ਼ਨ
ਚਿੱਤਰ 6: ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਉਲਟ ਟੈਂਜੈਂਟ (ਜਾਂ ਆਰਕਟੈਂਜੈਂਟ) ਫੰਕਸ਼ਨ
ਉਲਟ ਸਾਈਨ, ਕੋਸਾਈਨ, ਅਤੇ ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਸੰਬੰਧ
[ − π 2 , π 2 ] ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਕੋਣਾਂ ਲਈ, ਜੇ siny=x, ਤਾਂ sin −1 x=y।
[ 0,π ] ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਕੋਣਾਂ ਲਈ, ਜੇ cosy=x, ਤਾਂ cos −1 x=y।
( − π 2 , π 2 ) ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਕੋਣਾਂ ਲਈ, ਜੇ tany=x, ਤਾਂ tan −1 x=y।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸੰਬੰਧ ਲਿਖਣਾ
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ sin( 5π 12 )≈0.96593, ਉਲਟ ਸਾਈਨ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਇੱਕ ਸੰਬੰਧ ਲਿਖੋ।
ਹੱਲ
ਉਲਟ ਸਾਈਨ ਲਈ ਸੰਬੰਧ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਜੇ siny=x, ਤਾਂ sin −1 x=y।
ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ, x=0.96593, ਅਤੇ y= 5π 12 ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ cos(0.5)≈0.8776, ਉਲਟ ਕੋਸਾਈਨ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਇੱਕ ਸੰਬੰਧ ਲਿਖੋ।
ਉਲਟ ਸਾਈਨ, ਕੋਸਾਈਨ, ਅਤੇ ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਵਿਅਕਤਾਂ ਦੇ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣਾ
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ ਸਿੱਖਾਂਗੇ। ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਇੱਕ ਟੇਬਲ ਤੋਂ ਅੰਤਰਾਲ ਕਰਕੇ, ਜਾਂ ਕੁਝ ਹੋਰ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਤਕਨੀਕ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਉਲਟ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ ਪਵੇਗਾ। ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਅਸਲ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਕੀਤਾ ਸੀ, ਅਸੀਂ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਦੇ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੋਣਾਂ, ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ π 6 (30°), π 4 (45°), ਅਤੇ π 3 (60°), ਅਤੇ ਹੋਰ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਇੱਕ "ਵਿਸ਼ੇਸ਼" ਇਨਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇੱਕ ਉਲਟ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਉਸ ਕੋਣ x ਨੂੰ ਲੱਭੋ ਜਿਸ ਲਈ ਅਸਲ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਉਲਟ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਇਨਪੁੱਟ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਆਉਟਪੁੱਟ ਹੋਵੇ।
ਜੇ x ਉਲਟ ਦੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਰੇਂਜ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਹੋਰ ਕੋਣ y ਲੱਭੋ ਜੋ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਰੇਂਜ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇ ਅਤੇ ਜਿਸਦਾ ਸਾਈਨ, ਕੋਸਾਈਨ, ਜਾਂ ਟੈਂਜੈਂਟ x ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੋਵੇ, ਜੋ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰੀ ਹੋਵੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 2
ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਇਨਪੁੱਟ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਉਲਟ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ
1. ਹੇਠ ਲਿਖਿਆਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
2. ⓐ sin −1 ( 1 2 ) sin −1 ( 1 2 )
3. ⓑ sin −1 ( − 2 2 ) sin −1 ( − 2 2 )
4. ⓒ cos −1 ( − 3 2 ) cos −1 ( − 3 2 )
5. ⓓ tan −1 ( 1 ) tan −1 ( 1 )
6. ਹੱਲ
7. ⓐ sin −1 ( 1 2 ) sin −1 ( 1 2 ) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ ਉਸ ਕੋਣ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਸਾਈਨ ਮੁੱਲ 1 2 ਹੋਵੇਗਾ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਕਿਹੜਾ ਕੋਣ x x ਸਾਈਨ(x)= 1 2 ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰੇਗਾ? ਸਾਈਨ(x)= 1 2 ? ਕਈ ਮੁੱਲ ਹੋਣਗੇ ਜੋ ਇਸ ਸਬੰਧ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਨਗੇ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ π 6 π 6 ਅਤੇ 5π 6 , 5π 6 , ਪਰ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਾਨੂੰ [ − π 2 , π 2 ] [ − π 2 , π 2 ] ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਕੋਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਜਵਾਬ sin −1 ( 1 2 )= π 6 ਹੋਵੇਗਾ। sin −1 ( 1 2 )= π 6 । ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਇਨਵਰਸ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਹਰੇਕ ਇਨਪੁਟ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਬਿਲਕੁਲ ਇੱਕ ਆਉਟਪੁਟ ਮਿਲੇਗਾ।
8. ⓑ sin −1 ( − 2 2 ) sin −1 ( − 2 2 ) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 5π 4 5π 4 ਅਤੇ 7π 4 7π 4 ਦੋਵਾਂ ਦਾ ਸਾਈਨ ਮੁੱਲ − 2 2 , − 2 2 ਹੈ, ਪਰ ਕੋਈ ਵੀ [ − π 2 , π 2 ] [ − π 2 , π 2 ] ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ 7π 4 : 7π 4 ਦੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਕੋਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ: sin −1 (− 2 2 )=− π 4 । sin −1 (− 2 2 )=− π 4 ।
9. ⓒ cos −1 ( − 3 2 ) cos −1 ( − 3 2 ) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ [ 0,π ] [ 0,π ] ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕੋਣ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹਾਂ ਜਿਸਦਾ ਕੋਸਾਈਨ ਮੁੱਲ − 3 2 ਹੈ। − 3 2 । ਉਹ ਕੋਣ ਜੋ ਇਸਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ cos −1 ( − 3 2 )= 5π 6 ਹੈ। cos −1 ( − 3 2 )= 5π 6 ।
10. ⓓ tan −1 ( 1 ) tan −1 ( 1 ) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ( − π 2 , π 2 ) ( − π 2 , π 2 ) ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕੋਣ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹਾਂ ਜਿਸਦਾ ਟੈਂਜੈਂਟ ਮੁੱਲ 1 ਹੈ। ਸਹੀ ਕੋਣ tan −1 ( 1 )= π 4 ਹੈ। tan −1 ( 1 )= π 4 ।
11. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #2
12. ਹੇਠ ਲਿਖਿਆਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
13. ⓐ sin −1 (−1) sin −1 (−1)
14. ⓑ tan −1 ( −1 ) tan −1 ( −1 )
15. ⓒ cos −1 ( −1 ) cos −1 ( −1 )
16. ⓓ cos −1 ( 1 2 ) cos −1 ( 1 2 )
17. ਇਨਵਰਸ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
18. ਇਨਵਰਸ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਪਹਿਲਾਂ ਚਰਚਾ ਕੀਤੇ ਗਏ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੋਣ ਸ਼ਾਮਲ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਜਾਂ ਹੋਰ ਕਿਸਮ ਦੀ ਤਕਨਾਲੋਜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇਗੀ। ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਵਿਗਿਆਨਕ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰਾਂ ਅਤੇ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ-ਐਮੂਲੇਟਿੰਗ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਇਨਵਰਸ ਸਾਈਨ, ਕੋਸਾਈਨ, ਅਤੇ ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੁੰਜੀਆਂ ਜਾਂ ਬਟਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ, ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, SIN −1 −1, ARCSIN, ਜਾਂ ASIN ਵਜੋਂ ਲੇਬਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
19. ਪਿਛਲੇ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਭੁਜਾ ਅਤੇ ਇੱਕ ਵਾਧੂ ਕੋਣ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸੱਜੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ 'ਤੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕੀਤਾ ਸੀ। ਇਨਵਰਸ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਦੋ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ ਇੱਕ ਸੱਜੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੇ ਕੋਣਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਕਈ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
20. ਇਹਨਾਂ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਜਵਾਬਾਂ ਨੂੰ ਕੋਣਾਂ ਵਜੋਂ ਸਮਝਿਆ ਜਾਵੇਗਾ ਅਤੇ ਅਸੀਂ θ θ ਨੂੰ ਸੁਤੰਤਰ ਵੇਰੀਏਬਲ ਵਜੋਂ ਵਰਤਾਂਗੇ। ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ 'ਤੇ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਮੁੱਲ ਡਿਗਰੀਆਂ ਜਾਂ ਰੇਡੀਅਨਾਂ ਵਿੱਚ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਮੋਡ ਸੈੱਟ ਕਰਨਾ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਓ।
21. ਉਦਾਹਰਨ 3
22. ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ 'ਤੇ ਇਨਵਰਸ ਸਾਈਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
23. ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ sin −1 (0.97) sin −1 (0.97) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
24. ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਇੱਕ ਕੋਣ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਸਾਨੂੰ ਡਿਗਰੀ ਮੋਡ ਵਿੱਚ ਹੋਣ 'ਤੇ ਡਿਗਰੀ ਮੁੱਲ ਅਤੇ ਰੇਡੀਅਨ ਮੋਡ ਵਿੱਚ ਹੋਣ 'ਤੇ ਰੇਡੀਅਨ ਮੁੱਲ ਦੇਵੇਗਾ। ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਕੋਣਾਂ 'ਤੇ ਉਹੀ ਡੋਮੇਨ ਪਾਬੰਦੀਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ।
ਰੇਡੀਅਨ ਮੋਡ ਵਿੱਚ, sin −1 (0.97)≈1.3252। ਡਿਗਰੀ ਮੋਡ ਵਿੱਚ, sin −1 (0.97)≈75.93°। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਕੈਲਕੂਲਸ ਅਤੇ ਇਸ ਤੋਂ ਅੱਗੇ ਅਸੀਂ ਲਗਭਗ ਸਾਰੇ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ ਰੇਡੀਅਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ cos −1 ( −0.4 ) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਚਿੱਤਰ 7 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਇੱਕ ਸੱਜੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੀਆਂ ਦੋ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਹੋਣ, ਇੱਕ ਕੋਣ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਭੁਜਾ h ਲੰਬਾਈ ਦਾ ਕਾਰਨ (hypotenuse) ਹੈ ਅਤੇ ਲੋੜੀਂਦੇ ਕੋਣ ਦੇ ਨਾਲ ਲੱਗਦੀ a ਲੰਬਾਈ ਵਾਲੀ ਭੁਜਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਮੀਕਰਨ θ= cos −1 ( a h ) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਭੁਜਾ h ਲੰਬਾਈ ਦਾ ਕਾਰਨ (hypotenuse) ਹੈ ਅਤੇ ਲੋੜੀਂਦੇ ਕੋਣ ਦੇ ਸਾਹਮਣੇ p ਲੰਬਾਈ ਵਾਲੀ ਭੁਜਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਮੀਕਰਨ θ= sin −1 ( p h ) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਜੇਕਰ ਦੋ ਲੱਤਾਂ (ਸੱਜੇ ਕੋਣ ਦੇ ਨਾਲ ਲੱਗਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ) ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ, ਤਾਂ ਸਮੀਕਰਨ θ= tan −1 ( p a ) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਸੱਜੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ 'ਤੇ ਉਲਟ ਕੋਸਾਈਨ (Inverse Cosine) ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ
ਚਿੱਤਰ 8 ਵਿੱਚ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਨੂੰ ਕੋਣ θ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਕਾਰਨ (hypotenuse) ਅਤੇ ਕੋਣ ਦੇ ਨਾਲ ਲੱਗਦੀ ਭੁਜਾ ਨੂੰ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ, ਇਸ ਲਈ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਸਾਡੇ ਲਈ ਠੀਕ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
ਚਿੱਤਰ 9 ਵਿੱਚ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਨੂੰ ਕੋਣ θ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਉਲਟ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਸੰਯੁਕਤ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਸਹੀ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ
ਅਜਿਹੇ ਸਮੇਂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਦੋਂ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਉਲਟ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਾਲ ਜੋੜਨ ਦੀ ਲੋੜ ਪੈਂਦੀ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦਾ ਸਹਾਰਾ ਲਏ ਬਿਨਾਂ ਨਤੀਜੇ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਲਈ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਭਾਵੇਂ ਸੰਯੁਕਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇਨਪੁਟ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਜਾਂ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਹੋਵੇ, ਅਸੀਂ ਅਕਸਰ ਆਉਟਪੁੱਟ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਵੱਖ-ਵੱਖ ਮਾਮਲਿਆਂ ਨੂੰ ਸੁਲਝਾਉਣ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਨ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ f(x) ਅਤੇ g(x) ਦੋ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ ਜੋ { sin(x),cos(x),tan(x) } ਸਮੂਹ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹਨ ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ f −1 (y) ਅਤੇ g −1 (y) ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਉਲਟ ਹਨ।
f(f−1(y)) ਅਤੇ f−1(f(x)) ਦੇ ਰੂਪ ਦੀਆਂ ਸੰਯੋਜਨਾਂ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨਾ
ਕਿਸੇ ਵੀ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ, f( f −1 ( y ) )=y ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ y ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਸਹੀ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਹੈ। ਇਹ ਉਲਟ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਤੋਂ ਅਤੇ ਇਸ ਤੱਥ ਤੋਂ ਪੈਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ f ਦਾ ਰੇਂਜ f −1 ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਸਾਨੂੰ f −1 ( f( x ) ) ਦੇ ਰੂਪ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨਾਲ ਥੋੜਾ ਹੋਰ ਸਾਵਧਾਨ ਰਹਿਣਾ ਪਵੇਗਾ।
ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਉਲਟ ਦੀਆਂ ਸੰਯੋਜਨਾਂ
Q&A
ਕੀ ਇਹ ਸਹੀ ਹੈ ਕਿ sin −1 (sinx)=x?
ਨਹੀਂ। ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਸਹੀ ਹੈ ਜੇਕਰ x ਪ੍ਰਤਿਬੰਧਿਤ ਡੋਮੇਨ [ − π 2 , π 2 ] ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੈ, ਪਰ ਸਾਈਨ ਸਾਰੇ ਅਸਲ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ, ਅਤੇ ਪ੍ਰਤਿਬੰਧਿਤ ਅੰਤਰਾਲ ਤੋਂ ਬਾਹਰਲੇ x ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ ਸਹੀ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਸਦਾ ਉਲਟ ਹਮੇਸ਼ਾ [ − π 2 , π 2 ] ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮੁੱਲ ਵਾਪਸ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਕੋਸਾਈਨ ਅਤੇ ਟੈਂਜੈਂਟ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਉਲਟ ਲਈ ਵੀ ਅਜਿਹੀ ਹੀ ਸਥਿਤੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, sin −1 ( sin( 3π 4 ) )= π 4 ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਜੇਕਰ f(θ)=sinθ, cosθ, ਜਾਂ tanθ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ f−1(f(θ)) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਜੇਕਰ θ, f ਦੇ ਪ੍ਰਤਿਬੰਧਿਤ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ f−1(f(θ))=θ।
ਜੇਕਰ ਅਜਿਹਾ ਨਾ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ f ਦੇ ਪ੍ਰਤਿਬੰਧਿਤ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਕੋਣ ϕ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿਸ ਲਈ f(ϕ)=f(θ)। ਫਿਰ f−1(f(θ))=ϕ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਵਿਪਰੀਤ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ:
ⓐ sin−1(sin(π/3))
ⓑ sin−1(sin(2π/3))
ⓒ cos−1(cos(2π/3))
ⓓ cos−1(cos(−π/3))
ਹੱਲ
ⓐ π/3, [−π/2, π/2] ਵਿੱਚ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ sin−1(sin(π/3))=π/3।
ⓑ 2π/3, [−π/2, π/2] ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਪਰ sin(2π/3)=sin(π/3), ਇਸ ਲਈ sin−1(sin(2π/3))=π/3।
ⓒ 2π/3, [0,π] ਵਿੱਚ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ cos−1(cos(2π/3))=2π/3।
ⓓ −π/3, [0,π] ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਪਰ cos(−π/3)=cos(π/3) ਕਿਉਂਕਿ ਕੋਸਾਈਨ ਇੱਕ ਸਮ ਫਲਨ ਹੈ। π/3, [0,π] ਵਿੱਚ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ cos−1(cos(−π/3))=π/3।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5
tan−1(tan(π/8)) ਅਤੇ tan−1(tan(11π/9)) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
f−1(g(x)) ਰੂਪ ਦੀਆਂ ਸੰਯੋਜਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਨ
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨ ਨੂੰ ਉਸਦੇ ਵਿਪਰੀਤ ਨਾਲ ਸੰਯੋਜਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨ ਦੇ ਵਿਪਰੀਤ ਦੇ ਸੰਯੋਜਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਨ ਕਰਨ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ f−1(g(x)) ਦੇ ਸੰਯੋਜਨਾਂ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਾਂਗੇ। x ਦੇ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਅੰਦਰੂਨੀ ਫਲਨ ਅਤੇ ਫਿਰ ਬਾਹਰੀ, ਵਿਪਰੀਤ ਫਲਨ ਦਾ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਨ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸੱਜੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੇ ਦੋ ਨਿਊਨਤਮ ਕੋਣਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਹੋਰ ਆਮ ਪਹੁੰਚ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਿੱਥੇ ਇੱਕ θ ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਦੂਜਾ π/2−θ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 10 ਵਿੱਚ ਸੱਜੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੇ ਹਰੇਕ ਕੋਣ ਦੇ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।
ਚਿੱਤਰ 10: ਸਹਿ-ਫਲਨ ਸਬੰਧਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਸੱਜਾ ਤ੍ਰਿਕੋਣ
ਕਿਉਂਕਿ cosθ = b/c = sin(π/2−θ), ਜੇਕਰ 0≤θ≤π ਹੋਵੇ ਤਾਂ sin−1(cosθ)=π/2−θ। ਜੇਕਰ θ ਇਸ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਵਿੱਚ ਨਾ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਹੋਰ ਕੋਣ ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਕੋਸਾਈਨ θ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇ ਅਤੇ ਪ੍ਰਤਿਬੰਧਿਤ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇ; ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਇਸ ਕੋਣ ਨੂੰ π/2 ਵਿੱਚੋਂ ਘਟਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, sinθ = a/c = cos(π/2−θ), ਇਸ ਲਈ cos−1(sinθ)=π/2−θ ਜੇਕਰ −π/2≤θ≤π/2। ਇਹ ਸਿਰਫ਼ ਫਲਨ-ਸਹਿ-ਫਲਨ ਸਬੰਧ ਹਨ ਜੋ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
sin−1(cosx) ਅਤੇ cos−1(sinx) ਦੇ ਰੂਪ ਦੇ ਫਲਨਾਂ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਉਹਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਨ ਕਰੋ।
ਜੇਕਰ x, [0,π] ਵਿੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ sin−1(cosx)=π/2−x।
ਜੇਕਰ x [ 0,π ] ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ [ 0,π ] ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਹੋਰ ਕੋਣ y ਲੱਭੋ ਜਿਸ ਲਈ cos y = cos x। sin⁻¹(cos x) = π/2 - y।
ਜੇਕਰ x [ − π/2, π/2 ] ਵਿੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ cos⁻¹(sin x) = π/2 - x।
ਜੇਕਰ x [ − π/2, π/2 ] ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ [ − π/2, π/2 ] ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਹੋਰ ਕੋਣ y ਲੱਭੋ ਜਿਸ ਲਈ sin y = sin x। cos⁻¹(sin x) = π/2 - y।
ਉਦਾਹਰਨ 6
ਇੱਕ ਉਲਟ ਸਾਈਨ ਦੀ ਕੋਸਾਈਨ ਨਾਲ ਰਚਨਾ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ
sin⁻¹(cos(13π/6)) ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ
ⓐ ਸਿੱਧੀ ਗਣਨਾ ਦੁਆਰਾ।
ⓑ ਪਹਿਲਾਂ ਦੱਸੇ ਗਏ ਢੰਗ ਦੁਆਰਾ।
ਹੱਲ
ⓐ ਇੱਥੇ, ਅਸੀਂ ਰਚਨਾ ਦੇ ਅੰਦਰਲੇ ਹਿੱਸੇ ਦਾ ਸਿੱਧਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। cos(13π/6) = cos(π/6 + 2π) = cos(π/6) = √3/2। ਹੁਣ, ਅਸੀਂ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਕੀਤਾ ਸੀ। sin⁻¹(√3/2) = π/3।
ⓑ ਸਾਡੇ ਕੋਲ x = 13π/6, y = π/6 ਹੈ, ਅਤੇ sin⁻¹(cos(13π/6)) = π/2 - π/6 = π/3।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #6
cos⁻¹(sin(−11π/4)) ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
f(g⁻¹(x)) ਰੂਪ ਦੀਆਂ ਰਚਨਾਵਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ
f(g⁻¹(x)) ਰੂਪ ਦੀਆਂ ਰਚਨਾਵਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਜਿੱਥੇ f ਅਤੇ g ਸਾਈਨ, ਕੋਸਾਈਨ, ਜਾਂ ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਈ ਵੀ ਦੋ ਹਨ ਅਤੇ x, g⁻¹ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਵੀ ਇਨਪੁੱਟ ਹੈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਸਹੀ ਫਾਰਮੂਲੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ sin(cos⁻¹ x) = √(1 - x²)। ਜਦੋਂ ਸਾਨੂੰ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਪੈਂਦੀ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਫਾਰਮੂਲੇ ਇੱਕ ਸੱਜੇ ਤਿਕੋਣ ਦੇ ਕੋਣਾਂ ਅਤੇ ਭੁਜਾਵਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤਿਕ ਸਬੰਧਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਦੇ ਸਬੰਧ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਦੇ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਪਛਾਣ, sin²x + cos²x = 1, ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨਾਲ ਰਚਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਉਲਟ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 7
ਇੱਕ ਸਾਈਨ ਦੀ ਉਲਟ ਕੋਸਾਈਨ ਨਾਲ ਰਚਨਾ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ
sin(cos⁻¹(4/5)) ਦਾ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਅੰਦਰਲੇ ਹਿੱਸੇ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੋਈ ਕੋਣ θ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ θ = cos⁻¹(4/5), ਜਿਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ cos θ = 4/5, ਅਤੇ ਅਸੀਂ sin θ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਲਈ ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਪਛਾਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਕਿਉਂਕਿ θ = cos⁻¹(4/5) ਚੌਥੇ ਚਰਨ ਵਿੱਚ ਹੈ, sin θ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਹੱਲ 3/5 ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 11 ਦੇਖੋ।
ਚਿੱਤਰ 11: ਇੱਕ ਸੱਜਾ ਤਿਕੋਣ ਜੋ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ cos θ = 4/5, ਤਾਂ sin θ = 3/5।
ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਉਲਟ ਕੋਸਾਈਨ ਹਮੇਸ਼ਾ [0, π] ਅੰਤਰਾਲ 'ਤੇ ਇੱਕ ਕੋਣ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਉਸ ਕੋਣ ਦਾ ਸਾਈਨ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ; ਇਸ ਲਈ sin(cos⁻¹(4/5)) = sin θ = 3/5।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #7
cos( tan −1 ( 5 12 ) ) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। cos( tan −1 ( 5 12 ) ).
ਉਦਾਹਰਨ 8
ਸਾਈਨ ਦੀ ਇੱਕ ਉਲਟ ਟੈਂਜੈਂਟ ਨਾਲ ਰਚਨਾ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
sin( tan −1 ( 7 4 ) ) ਦਾ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। sin( tan −1 ( 7 4 ) ).
ਹੱਲ
ਹਾਲਾਂਕਿ ਅਸੀਂ ਉਦਾਹਰਨ 6 ਵਾਂਗ ਹੀ ਤਕਨੀਕ ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਇੱਥੇ ਇੱਕ ਵੱਖਰੀ ਤਕਨੀਕ ਦਾ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਨ ਕਰਾਂਗੇ। ਅੰਦਰੋਂ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਕੋਣ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ tanθ= 7 4 ਹੈ। tanθ= 7 4 । ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਸੱਜੇ ਤਿਕੋਣ ਉੱਤੇ ਸਨਮੁੱਖ ਅਤੇ ਨਾਲ ਲੱਗੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਵਜੋਂ ਕਲਪਨਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 12 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 12: ਇੱਕ ਸੱਜਾ ਤਿਕੋਣ ਜਿਸਦੀਆਂ ਦੋ ਭੁਜਾਵਾਂ ਪਤਾ ਹਨ
ਪਾਈਥਾਗੋਰਸੀਅਨ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਤਿਕੋਣ ਦੇ ਕਾਰਨ (hypotenuse) ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਹੁਣ, ਅਸੀਂ ਕੋਣ ਦੇ ਸਾਈਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਸਨਮੁੱਖ ਭੁਜਾ ਨੂੰ ਕਾਰਨ ਨਾਲ ਵੰਡ ਕੇ ਪਤਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਸਾਡੀ ਲੋੜੀਂਦੀ ਰਚਨਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #8
cos( sin −1 ( 7 9 ) ) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। cos( sin −1 ( 7 9 ) ).
ਉਦਾਹਰਨ 9
ਇੱਕ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਉਲਟ ਸਾਈਨ ਦੇ ਕੋਸਾਈਨ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ
−3≤x≤3 ਲਈ cos( sin −1 ( x 3 ) ) cos( sin −1 ( x 3 ) ) ਲਈ ਇੱਕ ਸਰਲ ਰੂਪ ਪਤਾ ਕਰੋ। −3≤x≤3.
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਕੋਣ θ θ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ sinθ= x 3 ਹੈ। sinθ= x 3 ।
ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਉਲਟ ਸਾਈਨ ਨੂੰ [ − π 2 , π 2 ] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਕੋਣ ਦੇਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, [ − π 2 , π 2 ] , ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਉਸ ਕੋਣ ਦਾ ਕੋਸਾਈਨ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #9
− 1 4 ≤x≤ 1 4 ਲਈ sin( tan −1 ( 4x ) ) sin( tan −1 ( 4x ) ) ਲਈ ਇੱਕ ਸਰਲ ਰੂਪ ਪਤਾ ਕਰੋ। − 1 4 ≤x≤ 1 4 ।
ਮੀਡੀਆ
ਉਲਟ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਵਾਧੂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਸ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
ਉਲਟ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
ਮੌਖਿਕ
1. f(x) = sin⁻¹x ਅਤੇ g(x) = cos⁻¹x ਦੇ ਫਲਨਾਂ ਦੀਆਂ ਰੇਂਜਾਂ ਵੱਖਰੀਆਂ ਕਿਉਂ ਹਨ?
2. ਕਿਉਂਕਿ y = cosx ਅਤੇ y = cos⁻¹x ਫਲਨ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਉਲਟ ਹਨ, cos⁻¹(cos(−π/6)) = −π/6 ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ ਹੈ?
3. π/6 = arcsin(0.5) ਦੇ ਅਰਥ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
4. ਬਹੁਤੇ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰਾਂ 'ਤੇ sec⁻¹(2) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕੋਈ ਬਟਨ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ ਕਿ ਇਹ ਕੋਸਾਈਨ ਫਲਨ ਜਾਂ ਉਲਟ ਕੋਸਾਈਨ ਫਲਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕਿਵੇਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
5. ਉਲਟ ਸਾਈਨ ਫਲਨ ਦੇ ਮੌਜੂਦ ਹੋਣ ਲਈ ਸਾਈਨ ਫਲਨ, sinx, ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ [−π/2, π/2] ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਕਰਨਾ ਕਿਉਂ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੈ?
6. ਇਸ ਕਥਨ ਦੀ ਗਲਤੀ ਬਾਰੇ ਚਰਚਾ ਕਰੋ: arccos(cosx) = x ਸਾਰੇ x ਲਈ।
7. ਇਹ ਕਥਨ ਸਹੀ ਹੈ ਜਾਂ ਗਲਤ, ਅਤੇ ਆਪਣੇ ਜਵਾਬ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ: arccos(−x) = π − arccos x।
8. ਬੀਜਗਣਿਤ
9. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਵਿਅੰਜਕਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
10. sin⁻¹(√2/2)
11. sin⁻¹(−1/2)
12. cos⁻¹(1/2)
13. cos⁻¹(−√2/2)
14. tan⁻¹(1)
15. tan⁻¹(−√3)
16. tan⁻¹(−1)
17. tan⁻¹(√3)
18. tan⁻¹(−1/√3)
19. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਵਿਅੰਜਕ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਜਵਾਬਾਂ ਨੂੰ ਸੌਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
20. cos⁻¹(−0.4)
21. arcsin(0.23)
22. arccos(3/5)
23. cos⁻¹(0.8)
24. tan⁻¹(6)
For the following exercises, find the angle θ θ in the given right triangle. Round answers to the nearest hundredth.
For the following exercises, find the exact value, if possible, without a calculator. If it is not possible, explain why.
sin −1 ( cos( π ) ) sin −1 ( cos( π ) )
tan −1 ( sin( π ) ) tan −1 ( sin( π ) )
cos −1 ( sin( π 3 ) ) cos −1 ( sin( π 3 ) )
tan −1 ( sin( π 3 ) ) tan −1 ( sin( π 3 ) )
sin −1 ( cos( −π 2 ) ) sin −1 ( cos( −π 2 ) )
tan −1 ( sin( 4π 3 ) ) tan −1 ( sin( 4π 3 ) )
sin −1 ( sin( 5π 6 ) ) sin −1 ( sin( 5π 6 ) )
tan −1 ( sin( −5π 2 ) ) tan −1 ( sin( −5π 2 ) )
cos( sin −1 ( 4 5 ) ) cos( sin −1 ( 4 5 ) )
sin( cos −1 ( 3 5 ) ) sin( cos −1 ( 3 5 ) )
sin( tan −1 ( 4 3 ) ) sin( tan −1 ( 4 3 ) )
cos( tan −1 ( 12 5 ) ) cos( tan −1 ( 12 5 ) )
cos( sin −1 ( 1 2 ) ) cos( sin −1 ( 1 2 ) )
For the following exercises, find the exact value of the expression in terms of x x with the help of a reference triangle.
tan( sin −1 ( x−1 ) ) tan( sin −1 ( x−1 ) )
sin( cos −1 ( 1−x ) ) sin( cos −1 ( 1−x ) )
cos( sin −1 ( 1 x ) ) cos( sin −1 ( 1 x ) )
cos( tan −1 ( 3x−1 ) ) cos( tan −1 ( 3x−1 ) )
tan( sin −1 ( x+ 1 2 ) ) tan( sin −1 ( x+ 1 2 ) )
Extensions
For the following exercises, evaluate the expression without using a calculator. Give the exact value.
sin −1 ( 1 2 )− cos −1 ( 2 2 )+ sin −1 ( 3 2 )− cos −1 ( 1 ) cos −1 ( 3 2 )− sin −1 ( 2 2 )+ cos −1 ( 1 2 )− sin −1 ( 0 ) sin −1 ( 1 2 )− cos −1 ( 2 2 )+ sin −1 ( 3 2 )− cos −1 ( 1 ) cos −1 ( 3 2 )− sin −1 ( 2 2 )+ cos −1 ( 1 2 )− sin −1 ( 0 )
For the following exercises, find the function if sint= x x+1 . sint= x x+1 .
cost cost
sect sect
cott cott
cos( sin −1 ( x x+1 ) ) cos( sin −1 ( x x+1 ) )
tan −1 ( x 2x+1 ) tan −1 ( x 2x+1 )
Graphical
Graph y= sin −1 x y= sin −1 x and state the domain and range of the function.
Graph y=arccosx y=arccosx and state the domain and range of the function.
Graph one cycle of y= tan −1 x y= tan −1 x and state the domain and range of the function.
For what value of x x does sinx= sin −1 x? sinx= sin −1 x? Use a graphing calculator to approximate the answer.
For what value of x x does cosx= cos −1 x? cosx= cos −1 x? Use a graphing calculator to approximate the answer.
Real-World Applications
Suppose a 13-foot ladder is leaning against a building, reaching to the bottom of a second-floor window 12 feet above the ground. What angle, in radians, does the ladder make with the building?
Suppose you drive 0.6 miles on a road so that the vertical distance changes from 0 to 150 feet. What is the angle of elevation of the road?
An isosceles triangle has two congruent sides of length 9 inches. The remaining side has a length of 8 inches. Find the angle that a side of 9 inches makes with the 8-inch side.
Without using a calculator, approximate the value of arctan( 10,000 ). arctan( 10,000 ). Explain why your answer is reasonable.
A truss (interior beam structure) for the roof of a house is constructed from two identical right triangles. Each has a base of 12 feet and height of 4 feet. Find the measure of the acute angle adjacent to the 4-foot side.
The line y= 3 5 x y= 3 5 x passes through the origin in the x,y-plane. What is the measure of the angle that the line makes with the positive x-axis?
The line y= −3 7 x y= −3 7 x passes through the origin in the x,y-plane. What is the measure of the angle that the line makes with the negative x-axis?
What percentage grade should a road have if the angle of elevation of the road is 4 degrees? (The percentage grade is defined as the change in the altitude of the road over a 100-foot horizontal distance. For example a 5% grade means that the road rises 5 feet for every 100 feet of horizontal distance.)
A 20-foot ladder leans up against the side of a building so that the foot of the ladder is 10 feet from the base of the building. If specifications call for the ladder's angle of elevation to be between 35 and 45 degrees, does the placement of this ladder satisfy safety specifications?
Suppose a 15-foot ladder leans against the side of a house so that the angle of elevation of the ladder is 42 degrees. How far is the foot of the ladder from the side of the house?