ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਕੋਸਾਈਨ ਲਈ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ ਦੇ ਸੂਤਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਸਾਈਨ ਲਈ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ ਦੇ ਸੂਤਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਟੈਂਜੈਂਟ ਲਈ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ ਦੇ ਸੂਤਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਸਹਿ-ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ ਦੇ ਸੂਤਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਪਛਾਣਾਂ ਨੂੰ ਸਿੱਧ ਕਰਨ ਲਈ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ ਦੇ ਸੂਤਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਚਿੱਤਰ 1: ਡੇਨਾਲੀ, ਜਿਸਨੂੰ ਸੰਘੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਮਾਊਂਟ ਮੈਕਕਿਨਲੇ ਨਾਮ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਡੇਨਾਲੀ ਨੈਸ਼ਨਲ ਪਾਰਕ, ਅਲਾਸਕਾ ਵਿੱਚ, ਸਮੁੰਦਰ ਤਲ ਤੋਂ 20,237 ਫੁੱਟ (6,168 ਮੀਟਰ) ਉੱਪਰ ਹੈ। ਇਹ ਉੱਤਰੀ ਅਮਰੀਕਾ ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਚੀ ਚੋਟੀ ਹੈ। (ਸਿਹਰਾ: ਡੇਨੀਅਲ ਏ. ਲੀਫਹਾਈਟ, ਫਲਿੱਕਰ)
ਇੱਕ ਪਹਾੜ ਦੀ ਉਚਾਈ ਕਿਵੇਂ ਮਾਪੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ? ਧਰਤੀ ਤੋਂ ਸੂਰਜ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਬਾਰੇ ਕੀ? ਕਈ ਅਸੰਭਵ ਲੱਗਣ ਵਾਲੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਵਾਂਗ, ਅਸੀਂ ਜਵਾਬ ਲੱਭਣ ਲਈ ਗਣਿਤ ਦੇ ਸੂਤਰਾਂ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਪਛਾਣਾਂ, ਜੋ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਗਣਿਤ ਦੇ ਸਬੂਤਾਂ ਵਿੱਚ ਵਰਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ, ਸਦੀਆਂ ਤੋਂ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਰੱਖਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਲੰਬੀਆਂ ਦੂਰੀਆਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਵਿੱਚ ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਵੀ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ।
ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਪਛਾਣਾਂ ਦੀ ਅਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਜਾਂਚ ਕਰਾਂਗੇ, ਉਹ ਲਗਭਗ 950 ਈਸਵੀ ਵਿੱਚ ਰਹਿਣ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਫਾਰਸੀ ਖਗੋਲ-ਵਿਗਿਆਨੀ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਾਈਆਂ ਜਾ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ, ਪਰ ਪ੍ਰਾਚੀਨ ਯੂਨਾਨੀਆਂ ਨੇ ਇਹਨਾਂ ਸੂਤਰਾਂ ਨੂੰ ਬਹੁਤ ਪਹਿਲਾਂ ਖੋਜਿਆ ਸੀ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਕੋਰਡਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੱਸਿਆ ਸੀ। ਇਹ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਸਮੀਕਰਨ ਜਾਂ ਪੋਸਟੂਲੇਟ ਹਨ, ਜੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਦਾਖਲ ਕੀਤੇ ਗਏ ਸਾਰੇ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਸੱਚ ਹਨ, ਅਤੇ ਅਣਗਿਣਤ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਨਾਲ ਹਨ।
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਅਜਿਹੀਆਂ ਤਕਨੀਕਾਂ ਸਿੱਖਾਂਗੇ ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਉੱਪਰ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੇ ਯੋਗ ਬਣਾਉਣਗੀਆਂ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਸੂਤਰ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਅਤੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣਗੇ। ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖੋ ਕਿ, ਇਸ ਭਾਗ ਦੌਰਾਨ, ਸੂਤਰ ਸ਼ਬਦ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਪਛਾਣ ਸ਼ਬਦ ਦੇ ਸਮਾਨਾਰਥੀ ਵਜੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਕੋਸਾਈਨ ਲਈ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ ਦੇ ਸੂਤਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਕਿਸੇ ਕੋਣ ਦੇ ਸਾਈਨ, ਕੋਸਾਈਨ, ਜਾਂ ਟੈਂਜੈਂਟ ਦੇ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ ਅਕਸਰ ਆਸਾਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕੋਣ ਨੂੰ ਦੋ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖ ਸਕੀਏ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੋਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 2 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਯੂਨਿਟ ਸਰਕਲ ਵਿੱਚ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਚਿੱਤਰ 2: ਯੂਨਿਟ ਸਰਕਲ
ਅਸੀਂ ਕੋਸਾਈਨ ਲਈ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ ਦੇ ਸੂਤਰਾਂ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਾਂਗੇ, ਤਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕੋਣ ਦਾ ਕੋਸਾਈਨ ਲੱਭ ਸਕੀਏ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਦੋ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਜਾਂ ਘਟਾਓ ਵਿੱਚ ਵੰਡ ਸਕੀਏ। ਸਾਰਣੀ 1 ਦੇਖੋ।
ਸਤਰ: ਕੋਸਾਈਨ ਲਈ ਜੋੜ ਦਾ ਸੂਤਰ | cos( α+β )=cosαcosβ−sinαsinβ
ਸਤਰ: ਕੋਸਾਈਨ ਲਈ ਘਟਾਓ ਦਾ ਸੂਤਰ | cos( α−β )=cosαcosβ+sinαsinβ
ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਕੋਸਾਈਨ ਲਈ ਘਟਾਓ ਦੇ ਸੂਤਰ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰਾਂਗੇ। ਆਓ ਯੂਨਿਟ ਸਰਕਲ 'ਤੇ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ। ਚਿੱਤਰ 3 ਦੇਖੋ। ਬਿੰਦੂ P, ਸਕਾਰਾਤਮਕ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ α ਕੋਣ 'ਤੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ( cosα,sinα ) ਨਾਲ ਹੈ ਅਤੇ ਬਿੰਦੂ Q, ਸਕਾਰਾਤਮਕ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ β ਕੋਣ 'ਤੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ( cosβ,sinβ ) ਨਾਲ ਹੈ। ਕੋਣ POQ ਦਾ ਮਾਪ α−β ਹੈ।
ਦੋ ਹੋਰ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਲੇਬਲ ਕਰੋ: A, ਸਕਾਰਾਤਮਕ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ( α−β ) ਕੋਣ 'ਤੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ( cos( α−β ),sin( α−β ) ) ਨਾਲ; ਅਤੇ ਬਿੰਦੂ B, ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ( 1,0 ) ਨਾਲ। ਤ੍ਰਿਕੋਣ POQ, ਤ੍ਰਿਕੋਣ AOB ਦਾ ਇੱਕ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ P ਤੋਂ Q ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ, A ਤੋਂ B ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਦੂਰੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ P ਤੋਂ Q ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਆਈਡੈਂਟਿਟੀ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਸਰਲ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਦੂਰੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅਸੀਂ A ਤੋਂ B ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਆਈਡੈਂਟਿਟੀ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਅਤੇ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਨਾਲ ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਮਿਲਦਾ ਹੈ:
ਕਿਉਂਕਿ ਦੋਵੇਂ ਦੂਰੀਆਂ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀਆਂ ਹਨ, ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਸਰਲ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।
ਅੰਤ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਤੋਂ 2 2 ਘਟਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ −2 ਨਾਲ ਭਾਗ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ। −2।
ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਕੋਸਾਈਨ ਲਈ ਅੰਤਰ ਸੂਤਰ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਦੋ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਕੋਸਾਈਨ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮਾਨ ਤਰੀਕਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਕੋਸਾਈਨ ਲਈ ਜੋੜ ਅਤੇ ਅੰਤਰ ਸੂਤਰ
ਇਹਨਾਂ ਸੂਤਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਅਤੇ ਅੰਤਰ ਦੇ ਕੋਸਾਈਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦੋ ਕੋਣ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ, ਕੋਣਾਂ ਵਿਚਲੇ ਅੰਤਰ ਦੇ ਕੋਸਾਈਨ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
ਕੋਸਾਈਨ ਲਈ ਅੰਤਰ ਸੂਤਰ ਲਿਖੋ।
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਦੋ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਦੇ ਕੋਸਾਈਨ ਲਈ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
ਦੋ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਦੇ ਕੋਸਾਈਨ ਲਈ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, cos( 5π 4 − π 6 ) ਦਾ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। cos( 5π 4 − π 6 )।
ਹੱਲ
ਦੋ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਦੇ ਕੋਸਾਈਨ ਲਈ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ #1
cos( π 3 − π 4 ) ਦਾ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। cos( π 3 − π 4 )।
ਉਦਾਹਰਨ 2
ਕੋਸਾਈਨ ਲਈ ਦੋ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
cos( 75 ∘ ) ਦਾ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। cos( 75 ∘ )।
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ 75 ∘ = 45 ∘ + 30 ∘ , 75 ∘ = 45 ∘ + 30 ∘ , ਅਸੀਂ cos( 75 ∘ ) cos( 75 ∘ ) ਨੂੰ cos( 45 ∘ + 30 ∘ ) ਵਜੋਂ ਮੁੱਲ ਪਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। cos( 45 ∘ + 30 ∘ )। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ #2
cos( 105 ∘ ) ਦਾ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। cos( 105 ∘ )।
ਸਾਈਨ ਲਈ ਜੋੜ ਅਤੇ ਅੰਤਰ ਸੂਤਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
The sum and difference formulas for sine can be derived in the same manner as those for cosine, and they resemble the cosine formulas.
Sum and Difference Formulas for Sine
These formulas can be used to calculate the sines of sums and differences of angles.
How To
Given two angles, find the sine of the difference between the angles.
Write the difference formula for sine.
Substitute the given angles into the formula.
Simplify.
Example 3
Using Sum and Difference Identities to Evaluate the Difference of Angles
Use the sum and difference identities to evaluate the difference of the angles and show that part a equals part b.
ⓐ sin( 45 ∘ − 30 ∘ ) sin( 45 ∘ − 30 ∘ )
ⓑ sin( 135 ∘ − 120 ∘ ) sin( 135 ∘ − 120 ∘ )
Solution
ⓐ Let’s begin by writing the formula and substitute the given angles. sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ sin( 45 ∘ − 30 ∘ )=sin( 45 ∘ )cos( 30 ∘ )−cos( 45 ∘ )sin( 30 ∘ ) sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ sin( 45 ∘ − 30 ∘ )=sin( 45 ∘ )cos( 30 ∘ )−cos( 45 ∘ )sin( 30 ∘ ) Next, we need to find the values of the trigonometric expressions. sin( 45 ∘ )= 2 2 ,cos( 30 ∘ )= 3 2 ,cos( 45 ∘ )= 2 2 ,sin( 30 ∘ )= 1 2 sin( 45 ∘ )= 2 2 ,cos( 30 ∘ )= 3 2 ,cos( 45 ∘ )= 2 2 ,sin( 30 ∘ )= 1 2 Now we can substitute these values into the equation and simplify. sin( 45 ∘ − 30 ∘ )= 2 2 ( 3 2 )− 2 2 ( 1 2 ) = 6 − 2 4 sin( 45 ∘ − 30 ∘ )= 2 2 ( 3 2 )− 2 2 ( 1 2 ) = 6 − 2 4
ⓑ Again, we write the formula and substitute the given angles. sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ sin( 135 ∘ − 120 ∘ )=sin( 135 ∘ )cos( 120 ∘ )−cos( 135 ∘ )sin( 120 ∘ ) sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ sin( 135 ∘ − 120 ∘ )=sin( 135 ∘ )cos( 120 ∘ )−cos( 135 ∘ )sin( 120 ∘ ) Next, we find the values of the trigonometric expressions. sin( 135 ∘ )= 2 2 ,cos( 120 ∘ )=− 1 2 ,cos( 135 ∘ )=− 2 2 ,sin( 120 ∘ )= 3 2 sin( 135 ∘ )= 2 2 ,cos( 120 ∘ )=− 1 2 ,cos( 135 ∘ )=− 2 2 ,sin( 120 ∘ )= 3 2 Now we can substitute these values into the equation and simplify. sin( 135 ∘ − 120 ∘ )= 2 2 ( − 1 2 )−( − 2 2 )( 3 2 ) = − 2 + 6 4 = 6 − 2 4 sin( 135 ∘ − 120 ∘ )= 2 2 ( − 1 2 )−( − 2 2 )( 3 2 ) = − 2 + 6 4 = 6 − 2 4 sin( 135 ∘ − 120 ∘ )= 2 2 ( − 1 2 )−( − 2 2 )( 3 2 ) = − 2 + 6 4 = 6 − 2 4 sin( 135 ∘ − 120 ∘ )= 2 2 ( − 1 2 )−( − 2 2 )( 3 2 ) = − 2 + 6 4 = 6 − 2 4
Example 4
Finding the Exact Value of an Expression Involving an Inverse Trigonometric Function
Find the exact value of sin( cos −1 1 2 + sin −1 3 5 ). sin( cos −1 1 2 + sin −1 3 5 ).
Solution
The pattern displayed in this problem is sin( α+β ). sin( α+β ). Let α= cos −1 1 2 α= cos −1 1 2 and β= sin −1 3 5 . β= sin −1 3 5 . Then we can write
We will use the Pythagorean Identities to find sinα sinα and cosβ. cosβ.
Using the sum formula for sine,
Using the Sum and Difference Formulas for Tangent
ਦੋ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਜਾਂ ਅੰਤਰ ਦੇ ਟੈਂਜੈਂਟ ਦੇ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣੇ ਥੋੜੇ ਵਧੇਰੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹਨ, ਪਰ ਫਿਰ ਵੀ, ਇਹ ਪੈਟਰਨ ਨੂੰ ਪਛਾਣਨ ਦਾ ਮਾਮਲਾ ਹੈ।
ਟੈਂਜੈਂਟ ਲਈ ਦੋ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦਾ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲੱਭਣ ਵਿੱਚ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਲਈ ਜੋੜ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੇ ਭਾਗ ਨੂੰ ਲੈਣਾ ਅਤੇ ਸਰਲ ਕਰਨਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ, tanx = sinx/cosx, cosx ≠ 0।
ਆਓ ਟੈਂਜੈਂਟ ਲਈ ਜੋੜ ਫਾਰਮੂਲਾ ਤਿਆਰ ਕਰੀਏ।
ਅਸੀਂ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਟੈਂਜੈਂਟ ਲਈ ਅੰਤਰ ਫਾਰਮੂਲਾ ਤਿਆਰ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਟੈਂਜੈਂਟ ਲਈ ਜੋੜ ਅਤੇ ਅੰਤਰ ਫਾਰਮੂਲੇ
ਟੈਂਜੈਂਟ ਲਈ ਜੋੜ ਅਤੇ ਅੰਤਰ ਫਾਰਮੂਲੇ ਹਨ:
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦੋ ਕੋਣ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ, ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦਾ ਟੈਂਜੈਂਟ ਲੱਭੋ।
ਟੈਂਜੈਂਟ ਲਈ ਜੋੜ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ।
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕੋਣਾਂ ਨੂੰ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰੋ।
ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਟੈਂਜੈਂਟ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਐਕਸਪ੍ਰੈਸ਼ਨ ਦਾ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣਾ
tan(π/6 + π/4) ਦਾ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ। tan(π/6 + π/4)।
ਹੱਲ
ਆਓ ਪਹਿਲਾਂ ਟੈਂਜੈਂਟ ਲਈ ਜੋੜ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੀਏ ਅਤੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕੋਣਾਂ ਨੂੰ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰੀਏ।
ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੇ ਅੰਦਰ ਵਿਅਕਤੀਗਤ ਟੈਂਜੈਂਟ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਇਸ ਲਈ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
tan(2π/3 + π/4) ਦਾ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ। tan(2π/3 + π/4)।
ਉਦਾਹਰਨ 6
ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਕਈ ਜੋੜ ਅਤੇ ਅੰਤਰ ਲੱਭਣੇ
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ sinα = 3/5, 0 < α < π/2, cosβ = -5/13, π < β < 3π/2, sinα = 3/5, 0 < α < π/2, cosβ = -5/13, π < β < 3π/2, ਲੱਭੋ
ⓐ sin(α+β) sin(α+β)
ⓑ cos( α+β ) cos( α+β )
ⓒ tan( α+β ) tan( α+β )
ⓓ tan( α−β ) tan( α−β )
Solution
We can use the sum and difference formulas to identify the sum or difference of angles when the ratio of sine, cosine, or tangent is provided for each of the individual angles. To do so, we construct what is called a reference triangle to help find each component of the sum and difference formulas.
ⓐ To find sin( α+β ), sin( α+β ), we begin with sinα= 3 5 sinα= 3 5 and 0<α< π 2 . 0<α< π 2 . The side opposite α α has length 3, the hypotenuse has length 5, and α α is in the first quadrant. See Figure 4. Using the Pythagorean Theorem, we can find the length of side a: a 2 + 3 2 = 5 2 a 2 =16 a=4 a: a 2 + 3 2 = 5 2 a 2 =16 a=4 Figure 4 Since cosβ=− 5 13 cosβ=− 5 13 and π<β< 3π 2 , π<β< 3π 2 , the side adjacent to β β is −5, −5, the hypotenuse is 13, and β β is in the third quadrant. See Figure 5. Again, using the Pythagorean Theorem, we have ( −5 ) 2 + a 2 = 13 2 25+ a 2 =169 a 2 =144 a=±12 ( −5 ) 2 + a 2 = 13 2 25+ a 2 =169 a 2 =144 a=±12 Since β β is in the third quadrant, a=–12. a=–12. Figure 5 The next step is finding the cosine of α α and the sine of β. β. The cosine of α α is the adjacent side over the hypotenuse. We can find it from the triangle in Figure 5: cosα= 4 5 . cosα= 4 5 . We can also find the sine of β β from the triangle in Figure 5, as opposite side over the hypotenuse: sinβ=− 12 13 . sinβ=− 12 13 . Now we are ready to evaluate sin( α+β ). sin( α+β ). sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ =( 3 5 )( − 5 13 )+( 4 5 )( − 12 13 ) =− 15 65 − 48 65 =− 63 65 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ =( 3 5 )( − 5 13 )+( 4 5 )( − 12 13 ) =− 15 65 − 48 65 =− 63 65
ⓑ We can find cos( α+β ) cos( α+β ) in a similar manner. We substitute the values according to the formula. cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ =( 4 5 )( − 5 13 )−( 3 5 )( − 12 13 ) =− 20 65 + 36 65 = 16 65 cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ =( 4 5 )( − 5 13 )−( 3 5 )( − 12 13 ) =− 20 65 + 36 65 = 16 65
ⓒ For tan( α+β ), tan( α+β ), if sinα= 3 5 sinα= 3 5 and cosα= 4 5 , cosα= 4 5 , then tanα= 3 5 4 5 = 3 4 tanα= 3 5 4 5 = 3 4 If sinβ=− 12 13 sinβ=− 12 13 and cosβ=− 5 13 , cosβ=− 5 13 , then tanβ= −12 13 −5 13 = 12 5 tanβ= −12 13 −5 13 = 12 5 Then, tan(α+β)= tanα+tanβ 1−tanαtanβ = 3 4 + 12 5 1− 3 4 ( 12 5 ) = 63 20 − 16 20 =− 63 16 tan(α+β)= tanα+tanβ 1−tanαtanβ = 3 4 + 12 5 1− 3 4 ( 12 5 ) = 63 20 − 16 20 =− 63 16
ⓓ To find tan( α−β ), tan( α−β ), we have the values we need. We can substitute them in and evaluate. tan( α−β )= tanα−tanβ 1+tanαtanβ = 3 4 − 12 5 1+ 3 4 ( 12 5 ) = − 33 20 56 20 =− 33 56 tan( α−β )= tanα−tanβ 1+tanαtanβ = 3 4 − 12 5 1+ 3 4 ( 12 5 ) = − 33 20 56 20 =− 33 56
Analysis
A common mistake when addressing problems such as this one is that we may be tempted to think that α α and β β are angles in the same triangle, which of course, they are not. Also note that
Using Sum and Difference Formulas for Cofunctions
Now that we can find the sine, cosine, and tangent functions for the sums and differences of angles, we can use them to do the same for their cofunctions. You may recall from Right Triangle Trigonometry that, if the sum of two positive angles is π 2 , π 2 , those two angles are complements, and the sum of the two acute angles in a right triangle is π 2 , π 2 , so they are also complements. In Figure 6, notice that if one of the acute angles is labeled as θ, θ, then the other acute angle must be labeled ( π 2 −θ ). ( π 2 −θ ).
Notice also that sinθ=cos( π 2 −θ ): sinθ=cos( π 2 −θ ): opposite over hypotenuse. Thus, when two angles are complementary, we can say that the sine of θ θ equals the cofunction of the complement of θ. θ. Similarly, tangent and cotangent are cofunctions, and secant and cosecant are cofunctions.
From these relationships, the cofunction identities are formed.
Cofunction Identities
The cofunction identities are summarized in Table 2.
row: sinθ=cos( π 2 −θ ) sinθ=cos( π 2 −θ ) | cosθ=sin( π 2 −θ ) cosθ=sin( π 2 −θ )
row: tanθ=cot( π 2 −θ ) tanθ=cot( π 2 −θ ) | cotθ=tan( π 2 −θ ) cotθ=tan( π 2 −θ )
row: secθ=csc( π 2 −θ ) secθ=csc( π 2 −θ ) | cscθ=sec( π 2 −θ ) cscθ=sec( π 2 −θ )
Notice that the formulas in the table may also be justified algebraically using the sum and difference formulas. For example, using
we can write
Example 7
Finding a Cofunction with the Same Value as the Given Expression
Write tan π 9 tan π 9 in terms of its cofunction.
Solution
The cofunction of tanθ=cot( π 2 −θ ). tanθ=cot( π 2 −θ ). Thus,
Try It #4
Write sin π 7 sin π 7 in terms of its cofunction.
Using the Sum and Difference Formulas to Verify Identities
Verifying an identity means demonstrating that the equation holds for all values of the variable. It helps to be very familiar with the identities or to have a list of them accessible while working the problems. Reviewing the general rules from Simplifying and Verifying Trigonometric Identities may help simplify the process of verifying an identity.
How To
Given an identity, verify using sum and difference formulas.
Begin with the expression on the side of the equal sign that appears most complex. Rewrite that expression until it matches the other side of the equal sign. Occasionally, we might have to alter both sides, but working on only one side is the most efficient.
Look for opportunities to use the sum and difference formulas.
Rewrite sums or differences of quotients as single quotients.
If the process becomes cumbersome, rewrite the expression in terms of sines and cosines.
Example 8
Verifying an Identity Involving Sine
Verify the identity sin(α+β)+sin(α−β)=2sinαcosβ. sin(α+β)+sin(α−β)=2sinαcosβ.
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਅਤੇ ਅੰਤਰ ਦੇ ਸਾਈਨ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ।
ਅਸੀਂ ਜੋੜ ਅਤੇ ਅੰਤਰ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹਰੇਕ ਨੂੰ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਪਛਾਣ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਹੋ ਗਈ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 9
ਟੈਨਜੈਂਟ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਪਛਾਣ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਨਾ
ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਪਛਾਣ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਅੰਸ਼ ਨੂੰ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਪਛਾਣ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਹੋ ਗਈ ਹੈ। ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਟੈਨਜੈਂਟ ਪਛਾਣਾਂ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਸਫਲਤਾਪੂਰਵਕ ਟੈਨਜੈਂਟ ਨੂੰ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖ ਕੇ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5
ਪਛਾਣ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੋ: tan( π−θ )=−tanθ. tan( π−θ )=−tanθ.
ਉਦਾਹਰਨ 10
ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਜੋੜ ਅਤੇ ਅੰਤਰ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਮੰਨ ਲਓ L 1 L 1 ਅਤੇ L 2 L 2 ਦੋ ਗੈਰ-ਲੰਬਵਤ ਕੱਟਣ ਵਾਲੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ, ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ θ θ , L 1 L 1 ਅਤੇ L 2 L 2 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਤੀਬਰ ਕੋਣ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। L 2 . ਚਿੱਤਰ 7 ਦੇਖੋ। ਦਿਖਾਓ ਕਿ
ਜਿੱਥੇ m 1 m 1 ਅਤੇ m 2 m 2 ਕ੍ਰਮਵਾਰ L 1 L 1 ਅਤੇ L 2 L 2 ਦੇ ਢਲਾਨ ਹਨ। (ਸੰਕੇਤ: ਇਸ ਤੱਥ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਕਿ tan θ 1 = m 1 tan θ 1 = m 1 ਅਤੇ tan θ 2 = m 2 . tan θ 2 = m 2 . )
ਹੱਲ
ਟੈਨਜੈਂਟ ਲਈ ਅੰਤਰ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਜਿੰਨੀ ਲੱਗਦੀ ਹੈ, ਓਨੀ ਡਰਾਉਣੀ ਨਹੀਂ ਜਾਪਦੀ।
ਉਦਾਹਰਨ 11
ਗਾਈ-ਵਾਇਰ ਸਮੱਸਿਆ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨਾ
ਚੜ੍ਹਨ ਵਾਲੀ ਕੰਧ ਲਈ, ਇੱਕ ਗਾਈ-ਵਾਇਰ R R ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਪੋਲ 'ਤੇ 47 ਫੁੱਟ ਦੀ ਉੱਚਾਈ 'ਤੇ ਲਗਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇੱਕ ਹੋਰ ਗਾਈ-ਵਾਇਰ S S ਦੁਆਰਾ ਵਾਧੂ ਸਹਾਇਤਾ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਜੋ ਉਸੇ ਪੋਲ 'ਤੇ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ 40 ਫੁੱਟ ਉੱਪਰ ਲਗਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਤਾਰਾਂ ਪੋਲ ਤੋਂ 50 ਫੁੱਟ ਦੂਰ ਜ਼ਮੀਨ 'ਤੇ ਲਗਾਈਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ, ਤਾਂ ਤਾਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਣ α α ਲੱਭੋ। ਚਿੱਤਰ 8 ਦੇਖੋ।
ਹੱਲ
ਆਓ ਪਹਿਲਾਂ ਚਿੱਤਰ ਤੋਂ ਅਸੀਂ ਜੋ ਜਾਣਕਾਰੀ ਇਕੱਠੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਉਸ ਦਾ ਸਾਰ ਦੇਈਏ। ਕਿਉਂਕਿ ਸਿਰਫ ਸੱਜੇ ਕੋਣ ਦੇ ਨਾਲ ਲੱਗਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਹੀ ਜਾਣੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ, ਅਸੀਂ ਟੈਨਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ tanβ= 47 50 , tanβ= 47 50 , ਅਤੇ tan( β−α )= 40 50 = 4 5 . tan( β−α )= 40 50 = 4 5 . ਅਸੀਂ ਫਿਰ ਟੈਨਜੈਂਟ ਲਈ ਅੰਤਰ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਹੁਣ, ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ ਸਾਡੇ ਜਾਣੇ-ਪਛਾਣੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
Use the distributive property, and then simplify the functions.
Now we can calculate the angle in degrees.
Analysis
Occasionally, when an application appears that includes a right triangle, we may think that solving is a matter of applying the Pythagorean Theorem. That may be partially true, but it depends on what the problem is asking and what information is given.
Media
Access these online resources for additional instruction and practice with sum and difference identities.
Sum and Difference Identities for Cosine
Sum and Difference Identities for Sine
Sum and Difference Identities for Tangent
Verbal
Explain the basis for the cofunction identities and when they apply.
Is there only one way to evaluate cos( 5π 4 )? cos( 5π 4 )? Explain how to set up the solution in two different ways, and then compute to make sure they give the same answer.
Explain to someone who has forgotten the even-odd properties of sinusoidal functions how the addition and subtraction formulas can determine this characteristic for f(x)=sin(x) f(x)=sin(x) and g(x)=cos(x). g(x)=cos(x). (Hint: 0−x=−x 0−x=−x )
Algebraic
For the following exercises, find the exact value.
cos( 7π 12 ) cos( 7π 12 )
cos( π 12 ) cos( π 12 )
sin( 5π 12 ) sin( 5π 12 )
sin( 11π 12 ) sin( 11π 12 )
tan( − π 12 ) tan( − π 12 )
tan( 19π 12 ) tan( 19π 12 )
For the following exercises, rewrite in terms of sinx sinx and cosx. cosx.
sin( x+ 11π 6 ) sin( x+ 11π 6 )
sin( x− 3π 4 ) sin( x− 3π 4 )
cos( x− 5π 6 ) cos( x− 5π 6 )
cos( x+ 2π 3 ) cos( x+ 2π 3 )
For the following exercises, simplify the given expression.
csc( π 2 −t ) csc( π 2 −t )
sec( π 2 −θ ) sec( π 2 −θ )
cot( π 2 −x ) cot( π 2 −x )
tan( π 2 −x ) tan( π 2 −x )
sin( 2x )cos( 5x )−sin( 5x )cos( 2x ) sin( 2x )cos( 5x )−sin( 5x )cos( 2x )
tan( 3 2 x )−tan( 7 5 x ) 1+tan( 3 2 x )tan( 7 5 x ) tan( 3 2 x )−tan( 7 5 x ) 1+tan( 3 2 x )tan( 7 5 x )
For the following exercises, find the requested information.
Given that sina= 2 3 sina= 2 3 and cosb=− 1 4 , cosb=− 1 4 , with a a and b b both in the interval [ π 2 ,π ), [ π 2 ,π ), find sin(a+b) sin(a+b) and cos(a−b). cos(a−b).
Given that sina= 4 5 , sina= 4 5 , and cosb= 1 3 , cosb= 1 3 , with a a and b b both in the interval [ 0, π 2 ), [ 0, π 2 ), find sin(a−b) sin(a−b) and cos(a+b). cos(a+b).
For the following exercises, find the exact value of each expression.
sin( cos −1 (0)− cos −1 ( 1 2 ) ) sin( cos −1 (0)− cos −1 ( 1 2 ) )
cos( cos −1 ( 2 2 )+ sin −1 ( 3 2 ) ) cos( cos −1 ( 2 2 )+ sin −1 ( 3 2 ) )
tan( sin −1 ( 1 2 )− cos −1 ( 1 2 ) ) tan( sin −1 ( 1 2 )− cos −1 ( 1 2 ) )
Graphical
For the following exercises, simplify the expression, and then graph both expressions as functions to verify the graphs are identical.
cos( π 2 −x ) cos( π 2 −x )
sin(π−x) sin(π−x)
tan( π 3 +x ) tan( π 3 +x )
sin( π 3 +x ) sin( π 3 +x )
tan( π 4 −x ) tan( π 4 −x )
cos( 7π 6 +x ) cos( 7π 6 +x )
sin( π 4 +x ) sin( π 4 +x )
cos( 5π 4 +x ) cos( 5π 4 +x )
For the following exercises, use a graph to determine whether the functions are the same or different. If they are the same, show why. If they are different, replace the second function with one that is identical to the first. (Hint: think 2x=x+x. 2x=x+x. )
f( x )=sin( 4x )−sin( 3x )cosx f( x )=sin( 4x )−sin( 3x )cosx, g( x )=sinxcos( 3x ) g( x )=sinxcos( 3x )
f( x )=cos( 4x )+sinxsin( 3x ),g( x )=−cosxcos( 3x ) f( x )=cos( 4x )+sinxsin( 3x ),g( x )=−cosxcos( 3x )
f( x )=sin( 3x )cos( 6x ) f( x )=sin( 3x )cos( 6x ), g( x )=−sin( 3x )cos( 6x ) g( x )=−sin( 3x )cos( 6x )
f(x)=sin(4x) f(x)=sin(4x), g(x)=sin(5x)cosx−cos(5x)sinx g(x)=sin(5x)cosx−cos(5x)sinx
f(x)=sin(2x) f(x)=sin(2x), g(x)=2sinxcosx g(x)=2sinxcosx
f( θ )=cos( 2θ ) f( θ )=cos( 2θ ), g( θ )= cos 2 θ− sin 2 θ g( θ )= cos 2 θ− sin 2 θ
f(θ)=tan(2θ) f(θ)=tan(2θ), g(θ)= tanθ 1+ tan 2 θ g(θ)= tanθ 1+ tan 2 θ
f(x)=sin(3x)sinx f(x)=sin(3x)sinx, g(x)= sin 2 (2x) cos 2 x− cos 2 (2x) sin 2 x g(x)= sin 2 (2x) cos 2 x− cos 2 (2x) sin 2 x
f(x)=tan(−x) f(x)=tan(−x), g(x)= tanx−tan(2x) 1−tanxtan(2x) g(x)= tanx−tan(2x) 1−tanxtan(2x)
Technology
For the following exercises, find the exact value algebraically, and then confirm the answer with a calculator to the fourth decimal point.
sin( 75 ∘ ) sin( 75 ∘ )
sin( 195 ∘ ) sin( 195 ∘ )
cos( 165 ∘ ) cos( 165 ∘ )
cos( 345 ∘ ) cos( 345 ∘ )
tan( − 15 ∘ ) tan( − 15 ∘ )
Extensions
For the following exercises, prove the identities provided.
tan(x+ π 4 )= tanx+1 1−tanx tan(x+ π 4 )= tanx+1 1−tanx
tan(a+b) tan(a−b) = sinacosa+sinbcosb sinacosa−sinbcosb tan(a+b) tan(a−b) = sinacosa+sinbcosb sinacosa−sinbcosb
cos(a+b) cosacosb =1−tanatanb cos(a+b) cosacosb =1−tanatanb
cos( x+y )cos( x−y )= cos 2 x− sin 2 y cos( x+y )cos( x−y )= cos 2 x− sin 2 y
cos(x+h)−cosx h =cosx cosh−1 h −sinx sinh h cos(x+h)−cosx h =cosx cosh−1 h −sinx sinh h
For the following exercises, prove or disprove the statements.
tan(u+v)= tanu+tanv 1−tanutanv tan(u+v)= tanu+tanv 1−tanutanv
tan(u−v)= tanu−tanv 1+tanutanv tan(u−v)= tanu−tanv 1+tanutanv
tan( x+y ) 1+tanxtanx = tanx+tany 1− tan 2 x tan 2 y tan( x+y ) 1+tanxtanx = tanx+tany 1− tan 2 x tan 2 y
If α, β, α, β, and γ γ are angles in the same triangle, then prove or disprove sin( α+β )=sinγ. sin( α+β )=sinγ.
If α,β, α,β, and γ γ are angles in the same triangle, then prove or disprove tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ