ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਦੋਹਰੇ-ਕੋਣ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਦੋਹਰੇ-ਕੋਣ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪਛਾਣਾਂ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੋ।
ਘਟਾਓ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਅੱਧੇ-ਕੋਣ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਚਿੱਤਰ 1: ਉੱਨਤ ਸਵਾਰੀਆਂ ਲਈ ਸਾਈਕਲ ਰੈਂਪਾਂ ਦੀ ਢਲਾਣ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਨ ਵਾਲਿਆਂ ਲਈ ਤਿਆਰ ਕੀਤੇ ਗਏ ਰੈਂਪਾਂ ਨਾਲੋਂ ਵਧੇਰੇ ਤੇਜ਼ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਪ੍ਰਤੀਯੋਗਤਾ ਲਈ ਬਣਾਈਆਂ ਗਈਆਂ ਸਾਈਕਲ ਰੈਂਪਾਂ (ਚਿੱਤਰ 1 ਦੇਖੋ) ਨੂੰ ਪ੍ਰਤੀਯੋਗੀਆਂ ਦੇ ਹੁਨਰ ਪੱਧਰ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ ਉਚਾਈ ਵਿੱਚ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਉੱਨਤ ਪ੍ਰਤੀਯੋਗੀਆਂ ਲਈ, ਰੈਂਪ ਅਤੇ ਜ਼ਮੀਨ ਦੁਆਰਾ ਬਣਿਆ ਕੋਣ θ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ tanθ = 5/3। ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਨ ਵਾਲਿਆਂ ਲਈ ਕੋਣ ਅੱਧਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਨ ਵਾਲਿਆਂ ਲਈ ਰੈਂਪ ਦੀ ਢਲਾਣ ਕਿੰਨੀ ਹੈ? ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਤਿੰਨ ਵਾਧੂ ਸ਼੍ਰੇਣੀਆਂ ਦੀਆਂ ਪਛਾਣਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਾਂਗੇ ਜੋ ਅਸੀਂ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੇ ਪ੍ਰਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਉੱਤਰ ਦੇਣ ਲਈ ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਦੋਹਰੇ-ਕੋਣ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
ਪਿਛਲੇ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਸੀ। ਹੁਣ, ਅਸੀਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਹੀ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ 'ਤੇ ਦੁਬਾਰਾ ਨਜ਼ਰ ਮਾਰਦੇ ਹਾਂ। ਦੋਹਰੇ-ਕੋਣ ਫਾਰਮੂਲੇ ਜੋੜ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦਾ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਮਾਮਲਾ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ α = β। ਸਾਈਨ ਲਈ ਦੋਹਰੇ-ਕੋਣ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਉਤਪਤੀ ਜੋੜ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ,
ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ α = β = θ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਕੋਸਾਈਨ ਲਈ ਦੋਹਰੇ-ਕੋਣ ਦੀ ਉਤਪਤੀ ਸਾਨੂੰ ਤਿੰਨ ਵਿਕਲਪ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਪਹਿਲਾਂ, ਜੋੜ ਫਾਰਮੂਲੇ, cos(α + β) = cosαcosβ − sinαsinβ, ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਕੇ, ਅਤੇ α = β = θ ਲੈ ਕੇ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਕੋਸਾਈਨ ਲਈ ਇਸ ਦੋਹਰੇ-ਕੋਣ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਦੋ ਹੋਰ ਵਿਆਖਿਆਵਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਪਹਿਲੀ ਇਹ ਹੈ:
ਦੂਜੀ ਵਿਆਖਿਆ ਇਹ ਹੈ:
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਟੈਨਜੈਂਟ ਲਈ ਦੋਹਰੇ-ਕੋਣ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਉਤਪਤੀ ਕਰਨ ਲਈ, ਜੋੜ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ α = β = θ ਨੂੰ ਬਦਲਣ 'ਤੇ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
ਦੋਹਰੇ-ਕੋਣ ਫਾਰਮੂਲੇ
ਦੋਹਰੇ-ਕੋਣ ਫਾਰਮੂਲੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸੰਖੇਪ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ:
ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ
ਕਿਸੇ ਕੋਣ ਦੇ ਟੈਨਜੈਂਟ ਅਤੇ ਉਸਦੇ ਸਥਾਨ ਵਾਲੇ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੋਣ 'ਤੇ, ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਦੋਹਰੇ-ਕੋਣ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਬਣਾਓ।
ਸਹੀ ਦੋਹਰੇ-ਕੋਣ ਫਾਰਮੂਲਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ ਮੁੱਲ ਬਦਲੋ।
ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਦੋਹਰੇ ਕੋਣ ਦੇ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਟੈਂਜੈਂਟ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣਾ
ਇਹ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ tanθ = -3/4 ਅਤੇ θ ਦੂਜੇ ਚਤੁਰਥਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਲੱਭੋ:
ⓐ sin(2θ)
ⓑ cos(2θ)
ⓒ tan(2θ)
ਹੱਲ
ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਬਣਾਈਏ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਉਹ ਮੁੱਲ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੇ ਹਨ। ਸਾਨੂੰ tanθ = -3/4 ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ θ ਦੂਜੇ ਚਤੁਰਥਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਹੈ। ਇੱਕ ਕੋਣ ਦਾ ਟੈਂਜੈਂਟ, ਲੰਬਵਤ ਭੁਜਾ ਨੂੰ ਲਾਗਵੇਂ ਭੁਜਾ ਨਾਲ ਵੰਡਣ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਕਿਉਂਕਿ θ ਦੂਜੇ ਚਤੁਰਥਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਲਾਗਵੀਂ ਭੁਜਾ x-ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਹੈ ਅਤੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ। ਕਾਰਨ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ:
ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 2 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੇ ਸਮਾਨ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ⓐ ਆਓ ਸਾਈਨ ਲਈ ਦੋਹਰੇ ਕੋਣ ਦੇ ਸੂਤਰ ਨੂੰ ਲਿਖ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੀਏ। sin(2θ) = 2sinθcosθ ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਾਨੂੰ sinθ ਅਤੇ cosθ ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 2 ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕਾਰਨ 5 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ sinθ = 3/5, ਅਤੇ cosθ = -4/5। ਇਹਨਾਂ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ, ਅਤੇ ਸਰਲ ਕਰੋ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, sin(2θ) = 2(3/5)(-4/5) = -24/25
ⓑ ਕੋਸਾਈਨ ਲਈ ਦੋਹਰੇ ਕੋਣ ਦੇ ਸੂਤਰ ਨੂੰ ਲਿਖੋ। cos(2θ) = cos²θ - sin²θ ਦੁਬਾਰਾ, ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ, ਅਤੇ ਸਰਲ ਕਰੋ। cos(2θ) = (-4/5)² - (3/5)² = 16/25 - 9/25 = 7/25
ⓒ ਟੈਂਜੈਂਟ ਲਈ ਦੋਹਰੇ ਕੋਣ ਦੇ ਸੂਤਰ ਨੂੰ ਲਿਖੋ। tan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan²θ) ਇਸ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ, ਸਾਨੂੰ ਟੈਂਜੈਂਟ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ, ਜੋ ਸਾਨੂੰ tanθ = -3/4 ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਸੀ। ਇਸ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ, ਅਤੇ ਸਰਲ ਕਰੋ। tan(2θ) = 2(-3/4) / (1 - (-3/4)²) = -3/2 / (1 - 9/16) = -3/2 * (16/7) = -24/7
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
ਇਹ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ sinα = 5/8, ਜਿਸ ਵਿੱਚ α ਪਹਿਲੇ ਚਤੁਰਥਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਹੈ, cos(2α) ਲੱਭੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 2
ਸਹੀ ਮੁੱਲਾਂ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ ਕੋਸਾਈਨ ਲਈ ਦੋਹਰੇ ਕੋਣ ਦੇ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
cos(6x) ਨੂੰ cos(3x) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣ ਲਈ ਕੋਸਾਈਨ ਲਈ ਦੋਹਰੇ ਕੋਣ ਦੇ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਇਹ ਉਦਾਹਰਨ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਸਹੀ ਮੁੱਲਾਂ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ ਦੋਹਰੇ ਕੋਣ ਦੇ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਇਸ ਗੱਲ 'ਤੇ ਜ਼ੋਰ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜੋ ਪੈਟਰਨ ਸਾਨੂੰ ਯਾਦ ਰੱਖਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ ਕਿ ਪਛਾਣਾਂ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਸੱਚ ਹਨ।
ਪਛਾਣਾਂ ਨੂੰ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਦੋਹਰੇ ਕੋਣ ਦੇ ਸੂਤਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਦੋਹਰੇ ਕੋਣ ਦੇ ਸੂਤਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪਛਾਣਾਂ ਨੂੰ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨਾ, ਉਹੀ ਕਦਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਅਸੀਂ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ ਦੇ ਸੂਤਰਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤੇ ਸਨ। ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਵਧੇਰੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਚੁਣੋ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਉਦੋਂ ਤੱਕ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਇਹ ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ ਨਾਲ ਮੇਲ ਨਾ ਖਾਵੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਦੋਹਰੇ ਕੋਣ ਦੇ ਸੂਤਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਪਛਾਣ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨਾ
ਦੋਹਰੇ ਕੋਣ ਦੇ ਸੂਤਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਪਛਾਣ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ:
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਬਰਾਬਰ ਦੇ ਨਿਸ਼ਾਨ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਕੰਮ ਕਰਾਂਗੇ ਅਤੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਉਦੋਂ ਤੱਕ ਮੁੜ ਲਿਖਾਂਗੇ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਇਹ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਨਾਲ ਮੇਲ ਨਹੀਂ ਖਾਂਦਾ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਇਹ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਜਿੰਨਾ ਚਿਰ ਅਸੀਂ ਅਲਜਬਰਾ ਤੋਂ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਫਾਰਮੂਲਾ ਯਾਦ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ:
ਜਿੱਥੇ a=sinθ ਅਤੇ b=cosθ। ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ ਸਫਲ ਹੋਣ ਦਾ ਇੱਕ ਹਿੱਸਾ ਪੈਟਰਨਾਂ ਨੂੰ ਪਛਾਣਨ ਦੀ ਯੋਗਤਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਕਿ ਸ਼ਬਦ ਜਾਂ ਚਿੰਨ੍ਹ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਅਲਜਬਰਾ ਇਕਸਾਰ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
ਪਛਾਣ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ: cos 4 θ− sin 4 θ=cos( 2θ )।
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਟੈਨਜੈਂਟ ਲਈ ਇੱਕ ਡਬਲ-ਐਂਗਲ ਪਛਾਣ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਨਾ
ਪਛਾਣ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੋ:
ਹੱਲ
ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਾਂਗੇ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਉਦੋਂ ਤੱਕ ਸਰਲ ਬਣਾਵਾਂਗੇ ਜਾਂ ਮੁੜ ਲਿਖਾਂਗੇ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹੋ ਜਾਂਦਾ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਇੱਥੇ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਸਥਿਤੀ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਵਧੇਰੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਪਾਸਾ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਅਸੀਂ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਕੰਮ ਕਰਨਾ ਚੁਣਿਆ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਮੁੜ ਲਿਖਣ ਲਈ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਚੁਣਿਆ ਹੁੰਦਾ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਸਮਾਨਤਾ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਲਈ ਪਿੱਛੇ ਵੱਲ ਕੰਮ ਕਰ ਰਹੇ ਹੁੰਦੇ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਉਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ
ਆਓ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਕੰਮ ਕਰੀਏ।
ਜਦੋਂ ਕਿਸੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਜਾਂ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਪਛਾਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਲੋੜੀਂਦੇ ਨਤੀਜੇ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਲਈ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਕਈ ਰਸਤੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਗੱਲ ਦਾ ਕੋਈ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਨਿਯਮ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿ ਕਿਹੜੇ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਹੇਰਫੇਰ ਕੀਤਾ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਦੱਸੀਆਂ ਗਈਆਂ ਦਿਸ਼ਾ-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
ਪਛਾਣ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੋ: cos(2θ)cosθ= cos 3 θ−cosθ sin 2 θ।
ਘਟਾਓ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ
ਡਬਲ-ਐਂਗਲ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਘਟਾਓ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਅਜਿਹੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਅਸੀਂ ਸਾਈਨ ਜਾਂ ਕੋਸਾਈਨ ਦੀਆਂ ਸਮ ਪਾਵਰਾਂ ਵਾਲੇ ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਪਾਵਰ ਨੂੰ ਘਟਾਉਣ ਲਈ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਹ ਸਾਨੂੰ ਸਾਈਨ ਜਾਂ ਕੋਸਾਈਨ ਦੀਆਂ ਸਮ ਪਾਵਰਾਂ ਨੂੰ ਕੋਸਾਈਨ ਦੀ ਪਹਿਲੀ ਪਾਵਰ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਫਾਰਮੂਲੇ ਉੱਚ-ਪੱਧਰੀ ਗਣਿਤ ਕੋਰਸਾਂ, ਖਾਸ ਕਰਕੇ ਕੈਲਕੂਲਸ ਵਿੱਚ, ਬਹੁਤ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹਨ। ਪਾਵਰ-ਘਟਾਉਣ ਵਾਲੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵੀ ਕਹੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਤਿੰਨ ਪਛਾਣਾਂ ਸ਼ਾਮਲ ਕੀਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਡਬਲ-ਐਂਗਲ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਤੋਂ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ।
ਅਸੀਂ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਲਈ ਘਟਾਓ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕੋਸਾਈਨ ਲਈ ਤਿੰਨ ਡਬਲ-ਐਂਗਲ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਦੋ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਆਓ cos( 2θ )=1−2 sin 2 θ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੀਏ। sin 2 θ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ:
ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਫਾਰਮੂਲਾ cos( 2θ )=2 cos 2 θ−1 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। cos 2 θ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ:
ਆਖਰੀ ਘਟਾਓ ਫਾਰਮੂਲਾ ਟੈਨਜੈਂਟ ਨੂੰ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖ ਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:
ਘਟਾਓ ਫਾਰਮੂਲੇ
ਸੰਕੋਚਨ ਸੂਤਰਾਂ ਦਾ ਸਾਰ ਇਸ ਪ੍ਰਕਾਰ ਹੈ:
ਉਦਾਹਰਨ 5
1 ਤੋਂ ਵੱਡੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਨਾ ਰੱਖਣ ਵਾਲਾ ਤੁਲਨਾਤਮਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣਾ
cos 4 x cos 4 x ਲਈ ਇੱਕ ਤੁਲਨਾਤਮਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸਾਈਨ ਜਾਂ ਕੋਸਾਈਨ ਦੀ 1 ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਕੋਈ ਘਾਤ ਸ਼ਾਮਲ ਨਾ ਹੋਵੇ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਕੋਸਾਈਨ ਲਈ ਸੰਕੋਚਨ ਸੂਤਰ ਨੂੰ ਦੋ ਵਾਰ ਲਾਗੂ ਕਰਾਂਗੇ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਹੱਲ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਨੋਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਸੰਕੋਚਨ ਸੂਤਰ ਨੂੰ ਦੋ ਵਾਰ ਵਰਤ ਕੇ ਅਤੇ ਅਲਜਬਰਾ ਦੇ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 6
ਘਾਤ-ਘਟਾਉਣ ਵਾਲੇ ਸੂਤਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਪਛਾਣ ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ
ਘਾਤ-ਘਟਾਉਣ ਵਾਲੇ ਸੂਤਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਿੱਧ ਕਰੋ
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ 'ਤੇ ਕੰਮ ਕਰਾਂਗੇ:
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕੀਤਾ
sin 2 ( 2x ) ਲਈ। sin 2 ( 2x )। ਸੂਤਰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ
ਅਸੀਂ θ=2x, θ=2x ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ, ਇਸ ਲਈ 2θ=4x। 2θ=4x।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ 10 cos 4 x= 15 4 +5cos( 2x )+ 5 4 cos( 4x ) ਲਈ ਘਾਤ-ਘਟਾਉਣ ਵਾਲੇ ਸੂਤਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। 10 cos 4 x= 15 4 +5cos( 2x )+ 5 4 cos( 4x )।
ਅੱਧੇ-ਕੋਣ ਸੂਤਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣਾ
ਪਛਾਣਾਂ ਦਾ ਅਗਲਾ ਸਮੂਹ ਅੱਧੇ-ਕੋਣ ਸੂਤਰਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ, ਜੋ ਸੰਕੋਚਨ ਸੂਤਰਾਂ ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਜਦੋਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੋਣ ਦੇ ਅੱਧੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਕੋਣ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ θ θ ਨੂੰ α 2 , α 2 ਨਾਲ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਈਨ ਲਈ ਅੱਧੇ-ਕੋਣ ਸੂਤਰ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾ ਕੇ ਅਤੇ sin( α 2 ) ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। sin( α 2 )। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਅੱਧੇ-ਕੋਣ ਸੂਤਰਾਂ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਇੱਕ ± ± ਚਿੰਨ੍ਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਇਹ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਅਤੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਦੋਵੇਂ ਸਮੀਕਰਨ ਵੈਧ ਹਨ। ਬਲਕਿ, ਇਹ ਉਸ ਚਤੁਰਭੁਜ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ α 2 α 2 ਸਮਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਸਾਈਨ ਲਈ ਅੱਧਾ-ਕੋਣ ਸੂਤਰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:
ਕੋਸਾਈਨ ਲਈ ਅੱਧਾ-ਕੋਣ ਸੂਤਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਟੈਂਜੈਂਟ ਪਛਾਣ ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਅੱਧੇ-ਕੋਣ ਸੂਤਰ
ਅੱਧੇ-ਕੋਣ ਸੂਤਰ ਇਸ ਪ੍ਰਕਾਰ ਹਨ:
ਉਦਾਹਰਨ 7
ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਅੱਧੇ-ਕੋਣ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਅੱਧੇ-ਕੋਣ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ sin(15°) ਦਾ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ 15° = 30°/2, ਅਸੀਂ ਸਾਈਨ ਲਈ ਅੱਧੇ-ਕੋਣ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਵਰਗਮੂਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ sin(15°) ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕੋਣ ਦੇ ਟੈਂਜੈਂਟ ਅਤੇ ਜਿਸ ਚਤੁਰਭੁਜ ਵਿੱਚ ਕੋਣ ਪਿਆ ਹੈ, ਉਸ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ, ਅੱਧੇ ਕੋਣ ਦੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ।
ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਬਣਾਓ।
ਸਹੀ ਅੱਧੇ-ਕੋਣ ਸੂਤਰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ ਮੁੱਲ ਬਦਲੋ।
ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 8
ਅੱਧੇ-ਕੋਣ ਪਛਾਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣਾ
ਇਹ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ tanα = 8/15 ਅਤੇ α ਚਤੁਰਭੁਜ III ਵਿੱਚ ਪਿਆ ਹੈ, ਹੇਠ ਲਿਖਿਆਂ ਦਾ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ:
ⓐ sin(α/2)
ⓑ cos(α/2)
ⓒ tan(α/2)
ਹੱਲ
ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 3 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਕਾਰਨ ਨੂੰ 17 ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ sinα = -8/17 ਅਤੇ cosα = -15/17 ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ⓐ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਯਾਦ ਰੱਖਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ α ਚਤੁਰਭੁਜ III ਵਿੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ 180° < α < 270°, ਇਸ ਲਈ 180°/2 < α/2 < 270°/2। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ α/2 ਦਾ ਅੰਤਿਮ ਪਾਸਾ ਚਤੁਰਭੁਜ II ਵਿੱਚ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ 90° < α/2 < 135°। sin(α/2) ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸਾਈਨ ਲਈ ਅੱਧੇ-ਕੋਣ ਸੂਤਰ ਲਿਖ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 3 ਵਿੱਚ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਤੋਂ ਮਿਲੇ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਸਰਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। sin(α/2) = ±√[(1-cosα)/2] = ±√[(1-(-15/17))/2] = ±√[(32/17)/2] = ±√(16/17) = ±4/√17 = ±4√17/17। ਅਸੀਂ sin(α/2) ਦਾ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਮੁੱਲ ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿਉਂਕਿ ਕੋਣ ਚਤੁਰਭੁਜ II ਵਿੱਚ ਸਮਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਸਾਈਨ ਚਤੁਰਭੁਜ II ਵਿੱਚ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
cos α 2 , cos α 2 , ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਕੋਸਾਈਨ ਲਈ ਅੱਧੇ-ਕੋਣ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖਾਂਗੇ, ਚਿੱਤਰ 3 ਵਿੱਚ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਤੋਂ ਮਿਲੇ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਬਦਲਾਂਗੇ, ਅਤੇ ਸਰਲ ਕਰਾਂਗੇ। cos α 2 =± 1+cosα 2 =± 1+( − 15 17 ) 2 =± 2 17 2 =± 2 17 ⋅ 1 2 =± 1 17 =− 17 17 ਅਸੀਂ cos α 2 ਦਾ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਮੁੱਲ ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿਉਂਕਿ ਕੋਣ ਦੂਜੇ ਚਤੁਰਭਾਗ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਚਤੁਰਭਾਗ ਵਿੱਚ ਕੋਸਾਈਨ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
tan α 2 , tan α 2 , ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਟੈਂਜੈਂਟ ਲਈ ਅੱਧੇ-ਕੋਣ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ। ਦੁਬਾਰਾ, ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 3 ਵਿੱਚ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਤੋਂ ਮਿਲੇ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਸਰਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। tan α 2 =± 1−cosα 1+cosα =± 1−(− 15 17 ) 1+(− 15 17 ) =± 32 17 2 17 =± 32 2 =− 16 =−4 ਅਸੀਂ tan α 2 ਦਾ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਮੁੱਲ ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿਉਂਕਿ α 2 ਦੂਜੇ ਚਤੁਰਭਾਗ ਵਿੱਚ ਪੈਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਚਤੁਰਭਾਗ ਵਿੱਚ ਟੈਂਜੈਂਟ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ #5
ਇਹ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ sinα=− 4 5 ਅਤੇ α ਚਤੁਰਭਾਗ IV ਵਿੱਚ ਹੈ, cos( α 2 ) ਦਾ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 9
ਅੱਧੇ ਕੋਣ ਦਾ ਮਾਪ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
ਹੁਣ, ਅਸੀਂ ਉਸ ਸਮੱਸਿਆ 'ਤੇ ਵਾਪਸ ਜਾਵਾਂਗੇ ਜੋ ਭਾਗ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਵਿੱਚ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸੀ। ਉੱਚ-ਪੱਧਰੀ ਮੁਕਾਬਲੇ ਲਈ ਇੱਕ ਸਾਈਕਲ ਰੈਂਪ ਬਣਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਰੈਂਪ ਅਤੇ ਜ਼ਮੀਨ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਬਣਿਆ ਕੋਣ θ ਹੈ। ਨਵੇਂ ਮੁਕਾਬਲੇ ਲਈ ਅੱਧੀ ਢਲਾਨ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਰੈਂਪ ਬਣਾਇਆ ਜਾਣਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਉੱਚ-ਪੱਧਰੀ ਮੁਕਾਬਲੇ ਲਈ tanθ= 5 3 ਹੈ, ਤਾਂ ਨਵੇਂ ਮੁਕਾਬਲੇ ਲਈ ਕੋਣ ਦਾ ਮਾਪ ਕੀ ਹੈ?
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ ਨਵੇਂ ਮੁਕਾਬਲੇ ਲਈ ਕੋਣ ਉੱਚ-ਪੱਧਰੀ ਮੁਕਾਬਲੇ ਦੇ ਕੋਣ ਦੀ ਅੱਧੀ ਢਲਾਨ ਨੂੰ ਮਾਪਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਉੱਚ-ਪੱਧਰੀ ਮੁਕਾਬਲੇ ਲਈ tanθ= 5 3 ਹੈ, ਅਸੀਂ ਸੱਜੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਅਤੇ ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਥਿਊਰਮ ਤੋਂ cosθ ਪਤਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਅੱਧੇ-ਕੋਣ ਦੀਆਂ ਪਛਾਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕੀਏ। ਚਿੱਤਰ 4 ਦੇਖੋ।
ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ cosθ= 3 34 ਹੈ। ਅਸੀਂ ਟੈਂਜੈਂਟ ਲਈ ਅੱਧੇ-ਕੋਣ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਾਂ: tan θ 2 = 1−cosθ 1+cosθ । ਕਿਉਂਕਿ tanθ ਪਹਿਲੇ ਚਤੁਰਭਾਗ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ tan θ 2 ਵੀ ਪਹਿਲੇ ਚਤੁਰਭਾਗ ਵਿੱਚ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਕੋਣ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਉਲਟ ਟੈਂਜੈਂਟ ਲੈ ਸਕਦੇ ਹਾਂ: tan −1 ( 0.57 )≈ 29.7 ∘ । ਇਸ ਲਈ ਨਵੇਂ ਮੁਕਾਬਲੇ ਲਈ ਰੈਂਪ ਦਾ ਕੋਣ ≈ 29.7 ∘ ਹੈ।
ਮੀਡੀਆ
ਡਬਲ-ਐਂਗਲ, ਹਾਫ-ਐਂਗਲ, ਅਤੇ ਰਿਡਕਸ਼ਨ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਸਿੱਖਿਆ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
ਡਬਲ-ਐਂਗਲ ਪਛਾਣਾਂ
ਹਾਫ-ਐਂਗਲ ਪਛਾਣਾਂ
ਮੌਖਿਕ
ਸਮਝਾਓ ਕਿ cos( 2x )= cos 2 x− sin 2 x ਡਬਲ-ਐਂਗਲ ਪਛਾਣ ਤੋਂ ਰਿਡਕਸ਼ਨ ਪਛਾਣਾਂ ਕਿਵੇਂ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ।
ਸਮਝਾਓ ਕਿ cos(2x) ਅਤੇ sin(2x) ਲਈ ਡਬਲ-ਐਂਗਲ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ tan(2x) ਲਈ ਡਬਲ-ਐਂਗਲ ਫਾਰਮੂਲਾ ਕਿਵੇਂ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ tan( x 2 )= 1−cosx 1+cosx ਲਈ ਹਾਫ-ਐਂਗਲ ਫਾਰਮੂਲਾ sin( x 2 ) ਨੂੰ cos( x 2 ) ਨਾਲ ਭਾਗ ਦੇ ਕੇ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। tan( x 2 ) ਲਈ ਦੋ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਨ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਵਰਗਮੂਲ ਸ਼ਾਮਲ ਨਾ ਹੋਵੇ।
ਪਿਛਲੇ ਅਭਿਆਸ ਵਿੱਚ tan( x 2 ) ਲਈ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਾਫ-ਐਂਗਲ ਫਾਰਮੂਲੇ ਲਈ, ਸਮਝਾਓ ਕਿ 0 ਨਾਲ ਭਾਗ ਦੇਣਾ ਕੋਈ ਚਿੰਤਾ ਦਾ ਵਿਸ਼ਾ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ ਹੈ। (ਸੰਕੇਤ: ਹਰ ਦੇ 0 ਹੋਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੇ cosx ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।)
ਬੀਜਗਣਿਤ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, x ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ a) sin( 2x ), b) cos( 2x ), ਅਤੇ c) tan( 2x ) ਦੇ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਜੇ sinx= 1 8 , ਅਤੇ x ਚਤੁਰਭਾਗ I ਵਿੱਚ ਹੈ।
ਜੇ cosx= 2 3 , ਅਤੇ x ਚਤੁਰਭਾਗ I ਵਿੱਚ ਹੈ।
If cosx=− 1 2 , cosx=− 1 2 , and x x is in quadrant III.
If tanx=−8, tanx=−8, and x x is in quadrant IV.
For the following exercises, find the values of the six trigonometric functions if the conditions provided hold.
cos(2θ)= 3 5 cos(2θ)= 3 5 and 90 ∘ ≤θ≤ 180 ∘ 90 ∘ ≤θ≤ 180 ∘
cos(2θ)= 1 2 cos(2θ)= 1 2 and 180 ∘ ≤θ≤ 270 ∘ 180 ∘ ≤θ≤ 270 ∘
For the following exercises, simplify to one trigonometric expression.
2sin( π 4 )cos( π 4 ) 2sin( π 4 )cos( π 4 )
4sin( π 8 )cos( π 8 ) 4sin( π 8 )cos( π 8 )
For the following exercises, find the exact value using half-angle formulas.
sin( π 8 ) sin( π 8 )
cos( − 11π 12 ) cos( − 11π 12 )
sin( 11π 12 ) sin( 11π 12 )
cos( 7π 8 ) cos( 7π 8 )
tan( 5π 12 ) tan( 5π 12 )
tan( − 3π 12 ) tan( − 3π 12 )
tan( − 3π 8 ) tan( − 3π 8 )
For the following exercises, find the exact values of a) sin( x 2 ), sin( x 2 ), b) cos( x 2 ), cos( x 2 ), and c) tan( x 2 ) tan( x 2 ) without solving for x, x, when 0 ≤ x < 2 π 0 ≤ x < 2 π
If tanx=− 4 3 , tanx=− 4 3 , and x x is in quadrant IV.
If sinx=− 12 13 , sinx=− 12 13 , and x x is in quadrant III.
If cscx=7, cscx=7, and x x is in quadrant II.
If secx=−4, secx=−4, and x x is in quadrant II.
For the following exercises, use Figure 5 to find the requested half and double angles.
Find sin( 2θ ),cos(2θ), sin( 2θ ),cos(2θ), and tan(2θ). tan(2θ).
Find sin(2α),cos(2α), sin(2α),cos(2α), and tan(2α). tan(2α).
Find sin( θ 2 ),cos( θ 2 ), sin( θ 2 ),cos( θ 2 ), and tan( θ 2 ). tan( θ 2 ).
Find sin( α 2 ),cos( α 2 ), sin( α 2 ),cos( α 2 ), and tan( α 2 ). tan( α 2 ).
For the following exercises, simplify each expression. Do not evaluate.
cos 2 ( 28 ∘ )− sin 2 ( 28 ∘ ) cos 2 ( 28 ∘ )− sin 2 ( 28 ∘ )
2 cos 2 ( 37 ∘ )−1 2 cos 2 ( 37 ∘ )−1
1−2 sin 2 ( 17 ∘ ) 1−2 sin 2 ( 17 ∘ )
cos 2 (9x)− sin 2 (9x) cos 2 (9x)− sin 2 (9x)
4sin(8x)cos(8x) 4sin(8x)cos(8x)
6sin(5x)cos(5x) 6sin(5x)cos(5x)
For the following exercises, prove the identity given.
( sint−cost ) 2 =1−sin( 2t ) ( sint−cost ) 2 =1−sin( 2t )
sin( 2x )=−2sin( −x )cos( −x ) sin( 2x )=−2sin( −x )cos( −x )
cotx−tanx=2cot( 2x ) cotx−tanx=2cot( 2x )
1+cos( 2θ ) sin( 2θ ) tan 2 θ=tanθ 1+cos( 2θ ) sin( 2θ ) tan 2 θ=tanθ
For the following exercises, rewrite the expression with an exponent no higher than 1.
cos 2 (5x) cos 2 (5x)
cos 2 (6x) cos 2 (6x)
sin 4 (8x) sin 4 (8x)
sin 4 (3x) sin 4 (3x)
cos 2 x sin 4 x cos 2 x sin 4 x
cos 4 x sin 2 x cos 4 x sin 2 x
tan 2 x sin 2 x tan 2 x sin 2 x
Technology
For the following exercises, reduce the equations to powers of one, and then check the answer graphically.
ਤਨ 4 x ਤਨ 4 x
ਸਾਈਨ ਵਰਗ (2x) ਸਾਈਨ ਵਰਗ (2x)
ਸਾਈਨ ਵਰਗ x ਕੋਸ ਵਰਗ x ਸਾਈਨ ਵਰਗ x ਕੋਸ ਵਰਗ x
ਤਨ ਵਰਗ x ਸਾਈਨ x ਤਨ ਵਰਗ x ਸਾਈਨ x
ਤਨ 4 x ਕੋਸ ਵਰਗ x ਤਨ 4 x ਕੋਸ ਵਰਗ x
ਕੋਸ ਵਰਗ x ਸਾਈਨ(2x) ਕੋਸ ਵਰਗ x ਸਾਈਨ(2x)
ਕੋਸ ਵਰਗ (2x) ਸਾਈਨ x ਕੋਸ ਵਰਗ (2x) ਸਾਈਨ x
ਤਨ ਵਰਗ (x/2) ਸਾਈਨ x ਤਨ ਵਰਗ (x/2) ਸਾਈਨ x
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਫਲਨ ਲੱਭੋ, ਕੇਵਲ ਸਾਈਨ x ਅਤੇ/Or ਕੋਸ x ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਦੋਵਾਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਕੇ ਉੱਤਰ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
ਸਾਈਨ (4x) ਸਾਈਨ (4x)
ਕੋਸ (4x) ਕੋਸ (4x)
ਵਿਸਤਾਰ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਪਛਾਣਾਂ ਨੂੰ ਸਿੱਧ ਕਰੋ।
ਸਾਈਨ(2x) = 2ਤਨx / (1 + ਤਨ ਵਰਗ x) ਸਾਈਨ(2x) = 2ਤਨx / (1 + ਤਨ ਵਰਗ x)
ਕੋਸ(2α) = (1 - ਤਨ ਵਰਗ α) / (1 + ਤਨ ਵਰਗ α) ਕੋਸ(2α) = (1 - ਤਨ ਵਰਗ α) / (1 + ਤਨ ਵਰਗ α)
ਤਨ(2x) = 2ਸਾਈਨxਕੋਸx / (2 ਕੋਸ ਵਰਗ x - 1) ਤਨ(2x) = 2ਸਾਈਨxਕੋਸx / (2 ਕੋਸ ਵਰਗ x - 1)
(ਸਾਈਨ ਵਰਗ x - 1) ਵਰਗ = ਕੋਸ(2x) + ਸਾਈਨ 4 x (ਸਾਈਨ ਵਰਗ x - 1) ਵਰਗ = ਕੋਸ(2x) + ਸਾਈਨ 4 x
ਸਾਈਨ(3x) = 3ਸਾਈਨx ਕੋਸ ਵਰਗ x - ਸਾਈਨ 3 x ਸਾਈਨ(3x) = 3ਸਾਈਨx ਕੋਸ ਵਰਗ x - ਸਾਈਨ 3 x
ਕੋਸ(3x) = ਕੋਸ 3 x - 3 ਸਾਈਨ ਵਰਗ x ਕੋਸ x ਕੋਸ(3x) = ਕੋਸ 3 x - 3 ਸਾਈਨ ਵਰਗ x ਕੋਸ x
(1 + ਕੋਸ(2t)) / (ਸਾਈਨ(2t) - ਕੋਸ t) = 2ਕੋਸt / (2ਸਾਈਨt - 1) (1 + ਕੋਸ(2t)) / (ਸਾਈਨ(2t) - ਕੋਸ t) = 2ਕੋਸt / (2ਸਾਈਨt - 1)
ਸਾਈਨ(16x) = 16ਸਾਈਨxਕੋਸx ਕੋਸ(2x) ਕੋਸ(4x) ਕੋਸ(8x) ਸਾਈਨ(16x) = 16ਸਾਈਨxਕੋਸx ਕੋਸ(2x) ਕੋਸ(4x) ਕੋਸ(8x)
ਕੋਸ(16x) = (ਕੋਸ ਵਰਗ (4x) - ਸਾਈਨ ਵਰਗ (4x) - ਸਾਈਨ(8x)) (ਕੋਸ ਵਰਗ (4x) - ਸਾਈਨ ਵਰਗ (4x) + ਸਾਈਨ(8x)) ਕੋਸ(16x) = (ਕੋਸ ਵਰਗ (4x) - ਸਾਈਨ ਵਰਗ (4x) - ਸਾਈਨ(8x)) (ਕੋਸ ਵਰਗ (4x) - ਸਾਈਨ ਵਰਗ (4x) + ਸਾਈਨ(8x))