ਮੁੱਖ ਸੰਕਲਪ
ਸਾਈਨ ਦਾ ਨਿਯਮ ਅਣ-ਸਿੱਧੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਾਂ, ਜੋ ਕਿ ਸਿੱਧੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਸਾਈਨ ਦੇ ਨਿਯਮ ਅਨੁਸਾਰ, ਇੱਕ ਕੋਣ ਦੇ ਮਾਪ ਦਾ ਉਸਦੇ ਸਾਹਮਣੇ ਵਾਲੀ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਨਾਲ ਅਨੁਪਾਤ, ਕੋਣ ਦੇ ਮਾਪ ਅਤੇ ਸਾਹਮਣੇ ਵਾਲੀ ਭੁਜਾ ਦੇ ਹੋਰ ਦੋ ਅਨੁਪਾਤਾਂ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਤਿੰਨ ਸੰਭਾਵੀ ਕੇਸ ਹਨ: ASA, AAS, SSA। ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਬੇਨਤੀ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੱਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਢੁਕਵੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਚੁਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਦੇਖੋ।
ਅਸਪੱਸ਼ਟ ਕੇਸ ਉਦੋਂ ਪੈਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਅਣ-ਸਿੱਧੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਨਤੀਜੇ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ।
SSA ਵਿਵਸਥਾ ਤੋਂ ਤਿੰਨ ਸੰਭਾਵੀ ਕੇਸ ਪੈਦਾ ਹੁੰਦੇ ਹਨ—ਇੱਕ ਇਕੱਲਾ ਹੱਲ, ਦੋ ਸੰਭਾਵੀ ਹੱਲ, ਅਤੇ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 3 ਦੇਖੋ।
ਸਾਈਨ ਦਾ ਨਿਯਮ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮਾਪਦੰਡਾਂ ਵਾਲੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਦੇਖੋ।
ਤ੍ਰਿਕੋਣਾਂ ਲਈ ਆਮ ਖੇਤਰਫਲ ਫਾਰਮੂਲਾ, ਪਹਿਲਾਂ ਢੁਕਵੀਂ ਉਚਾਈ ਦਾ ਮੁੱਲ ਲੱਭ ਕੇ, ਅਣ-ਸਿੱਧੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਾਂ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਦੇਖੋ।
ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਦੇ ਕਈ ਉਪਯੋਗ ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਅਕਸਰ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦਾ ਚਿੱਤਰ ਬਣਾ ਕੇ ਅਤੇ ਫਿਰ ਢੁਕਵੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਦੇਖੋ।
ਕੋਸਾਈਨ ਦਾ ਨਿਯਮ ਅਣ-ਸਿੱਧੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਾਂ ਵਿੱਚ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਮਾਪਾਂ ਅਤੇ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਜਨਰਲਾਈਜ਼ਡ ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਥਿਊਰਮ ਅਣ-ਸਿੱਧੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਾਂ ਦੇ ਦੋ ਕੇਸਾਂ: SAS ਅਤੇ SSS ਲਈ ਕੋਸਾਈਨ ਦਾ ਨਿਯਮ ਹੈ। ਇੱਕ ਕਾਲਪਨਿਕ ਲੰਬ ਸੁੱਟਣ ਨਾਲ ਅਣ-ਸਿੱਧੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਨੂੰ ਦੋ ਸਿੱਧੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਇੱਕ ਸਿੱਧਾ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਬਣਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਭੁਜਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸਬੰਧਤ ਕਰਨ ਅਤੇ ਮਾਪਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 2 ਦੇਖੋ।
ਕੋਸਾਈਨ ਦਾ ਨਿਯਮ ਕਈ ਕਿਸਮਾਂ ਦੀਆਂ ਲਾਗੂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਲਈ ਉਪਯੋਗੀ ਹੈ। ਅਜਿਹੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸਮੱਸਿਆ ਦਾ ਇੱਕ ਸਕੈਚ ਬਣਾਉਣਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਤਿੰਨ ਮਾਡਲਾਂ (ਤਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ) ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਵਿੱਚ ਫਿੱਟ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਹੱਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰੋ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 4 ਦੇਖੋ।
ਹੀਰੋਨ ਦਾ ਫਾਰਮੂਲਾ ਅਣ-ਸਿੱਧੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਾਂ ਵਿੱਚ ਖੇਤਰਫਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਹੀਰੋਨ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਲਈ ਤਿੰਨੋਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਪਤਾ ਹੋਣੀਆਂ ਚਾਹੀਦੀਆਂ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 6 ਦੇਖੋ।
ਧਰੁਵੀ ਗਰਿੱਡ ਨੂੰ ਧਰੁਵ, ਜਾਂ ਮੂਲ ਤੋਂ ਨਿਕਲਣ ਵਾਲੀਆਂ ਸਮਕੇਂਦਰੀ ਚੱਕਰਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਲੜੀ ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
( r,θ ),θ>0, ( r,θ ),θ>0 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਨ ਲਈ, ਧਰੁਵੀ ਧੁਰੇ ਤੋਂ θ ਕੋਣ ਦੁਆਰਾ ਇੱਕ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਵਧੋ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਧਰੁਵ ਤੋਂ θ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ r ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦਾ ਇੱਕ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਰੇਖਾਖੰਡ ਵਧਾਓ। ਜੇਕਰ θ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਵਧੋ, ਅਤੇ θ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ r ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦਾ ਇੱਕ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਰੇਖਾਖੰਡ ਵਧਾਓ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਦੇਖੋ।
ਜੇਕਰ r ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਤਾਂ θ ਦੀ ਵਿਰੋਧੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਰੇਖਾਖੰਡ ਵਧਾਓ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਦੇਖੋ।
ਧਰੁਵੀ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਤੋਂ ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਲਈ, x=rcosθ x=rcosθ ਅਤੇ y=rsinθ y=rsinθ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 4 ਦੇਖੋ।
ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਤੋਂ ਧਰੁਵੀ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਲਈ, ਇੱਕ ਜਾਂ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ: cosθ= x r ,sinθ= y r ,tanθ= y x , cosθ= x r ,sinθ= y r ,tanθ= y x , ਅਤੇ r= x 2 + y 2 . r= x 2 + y 2 . ਉਦਾਹਰਨ 5 ਦੇਖੋ।
ਧਰੁਵੀ ਅਤੇ ਆਇਤਾਕਾਰ ਰੂਪਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਉਪਲਬਧ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ ਢੁਕਵੇਂ ਪ੍ਰਤੀਸਥਾਪਨ ਕਰਨਾ, ਨਾਲ ਹੀ ਅਲਜਬਰਾਇਕ ਮੈਨੀਪੂਲੇਸ਼ਨ। ਉਦਾਹਰਨ 6, ਉਦਾਹਰਨ 7, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 8 ਦੇਖੋ।
ਢੁਕਵੇਂ ਪ੍ਰਤੀਸਥਾਪਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਸਮੀਕਰਨ ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣਾ ਸੰਭਵ ਹੈ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਇਸਨੂੰ ਆਇਤਾਕਾਰ ਤਲ ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨਾ। ਉਦਾਹਰਨ 9, ਉਦਾਹਰਨ 10, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 11 ਦੇਖੋ।
ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨਾ ਆਸਾਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ θ= π 2 , θ= π 2 , ਧਰੁਵੀ ਧੁਰੇ, ਜਾਂ ਧਰੁਵ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪਤਾ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰ ਸਕੀਏ।
ਤਿੰਨ ਸਮਰੂਪਤਾ ਟੈਸਟ ਹਨ ਜੋ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ ਕਿ ਕੀ ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਸਮਰੂਪਤਾ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਕਰੇਗਾ। ਜੇ ਕੋਈ ਸਮੀਕਰਨ ਸਮਰੂਪਤਾ ਟੈਸਟ ਵਿੱਚ ਅਸਫਲ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ ਸਮਰੂਪਤਾ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ ਵੀ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਦੇਖੋ।
ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ θ ਅਤੇ r ਲਈ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਬਣਾ ਕੇ ਗ੍ਰਾਫ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ θ ਦੇ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਪ੍ਰਤੀਸਥਾਪਿਤ ਕਰਕੇ ਪਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ r=0 ਰੱਖ ਕੇ ਅਤੇ θ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਕੇ ਲੱਭੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਦੇਖੋ।
ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣ ਵਾਲੇ ਕੁਝ ਫਾਰਮੂਲੇ r=acosθ ਅਤੇ r=asinθ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਦੇਖੋ।
ਕਾਰਡੀਓਇਡ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣ ਵਾਲੇ ਫਾਰਮੂਲੇ r=a±bcosθ ਅਤੇ r=a±bsinθ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ a>0, b>0, ਅਤੇ a/b =1। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ-ਲੂਪ ਲਿਮਾਸਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣ ਵਾਲੇ ਫਾਰਮੂਲੇ r=a±bcosθ ਅਤੇ r=a±bsinθ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ 1< a/b <2। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਦੇਖੋ।
ਅੰਦਰੂਨੀ-ਲੂਪ ਲਿਮਾਸਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣ ਵਾਲੇ ਫਾਰਮੂਲੇ r=a±bcosθ ਅਤੇ r=a±bsinθ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ a>0, b>0, ਅਤੇ a<b। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਦੇਖੋ।
ਲੈਮਨਿਸਕੇਟਸ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣ ਵਾਲੇ ਫਾਰਮੂਲੇ r² = a² cos2θ ਅਤੇ r² = a² sin2θ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ a≠0। ਉਦਾਹਰਨ 7 ਦੇਖੋ।
ਰੋਜ਼ ਕਰਵਜ਼ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣ ਵਾਲੇ ਫਾਰਮੂਲੇ r=acosnθ ਅਤੇ r=asinnθ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ a≠0; ਜੇ n ਸਮ ਹੈ, ਤਾਂ 2n ਪੱਤੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਅਤੇ ਜੇ n ਵਿਸ਼ਮ ਹੈ, ਤਾਂ n ਪੱਤੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 8 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 9 ਦੇਖੋ।
ਆਰਕੀਮੀਡੀਜ਼ ਸਪਾਈਰਲ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣ ਵਾਲਾ ਫਾਰਮੂਲਾ r=θ ਹੈ, θ≥0। ਉਦਾਹਰਨ 10 ਦੇਖੋ।
a+bi ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸੰਕਲਪਿਤ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਸੰਕਲਪਿਤ ਤਲ ਵਿੱਚ ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਲੋਟ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਆਇਤਾਕਾਰ ਤਲ ਵਿੱਚ ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਨੂੰ ਪਲੋਟ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਅਸਲ ਧੁਰਾ ਅਤੇ y-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਕਾਲਪਨਿਕ ਧੁਰਾ ਨਾਮ ਦਿਓ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ ਸੰਕਲਪਿਤ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਉਸਦਾ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ। ਇਹ ਮੂਲ ਤੋਂ ਬਿੰਦੂ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਹੈ: |z|=√(a²+b²)। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 3 ਦੇਖੋ।
ਸੰਕਲਪਿਤ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ x=rcosθ, y=rsinθ, ਅਤੇ r=√(x²+y²) ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ, z=r(cosθ+isinθ)। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 5 ਦੇਖੋ।
ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਤੋਂ ਆਇਤਾਕਾਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਲਈ, ਪਹਿਲਾਂ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਕੱਢੋ। ਫਿਰ, r ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 7 ਦੇਖੋ।
ਦੋ ਸੰਕਲਪਿਤ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਦੋ ਮਾਡਿਊਲੀ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਦੋ ਕੋਣਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ। ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਕੱਢੋ, ਅਤੇ ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਟਿਵ ਪ੍ਰਾਪਰਟੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। ਉਦਾਹਰਨ 8 ਦੇਖੋ।
ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੋ ਸੰਕਲਪਿਤ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਦੋ ਮਾਡਿਊਲੀ ਦਾ ਭਾਗਫਲ ਅਤੇ ਦੋ ਕੋਣਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਲੱਭੋ। ਉਦਾਹਰਨ 9 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ ਸੰਕਲਪਿਤ ਸੰਖਿਆ zⁿ ਦੀ ਘਾਤ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ, r ਨੂੰ n ਦੀ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਓ, ਅਤੇ θ ਨੂੰ n ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। ਉਦਾਹਰਨ 10 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ ਸੰਕਲਪਿਤ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਰੂਟਸ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ ਇੱਕ ਸੰਕਲਪਿਤ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਉਣ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ, ਪਰ ਇੱਕ ਰੈਸ਼ਨਲ ਐਕਸਪੋਨੈਂਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ। ਉਦਾਹਰਨ 11 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ ਕਰਵ ਨੂੰ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲ, x ਅਤੇ y, ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਤਿੰਨ ਵੇਰੀਏਬਲ, x, y, ਅਤੇ t, ਵਿੱਚ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰਨਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ। ਅਕਸਰ, ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਸੈੱਟ ਤੋਂ ਵਧੇਰੇ ਜਾਣਕਾਰੀ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1, ਉਦਾਹਰਨ 2, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 3 ਦੇਖੋ।
ਕਈ ਵਾਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਆਇਤਾਕਾਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣ ਵੇਲੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰਨਾ ਸੌਖਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। t ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਕੇ, x ਅਤੇ y ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨਤੀਜਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
t ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨ ਲਈ, ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ t ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਪ੍ਰਗਟਾਵੇ ਨੂੰ ਦੂਜੀ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰੋ। ਉਦਾਹਰਨ 4, ਉਦਾਹਰਨ 5, ਉਦਾਹਰਨ 6, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 7 ਦੇਖੋ।
ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਇੱਕ ਕਰਵ ਲਈ ਆਇਤਾਕਾਰ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਣਾ ਬੁਨਿਆਦੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ। ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ t ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਪ੍ਰਗਟਾਵੇ ਨੂੰ ਦੂਜੀ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰੋ। ਉਦਾਹਰਨ 8 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਇੱਕ ਕਰਵ ਲਈ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸੈੱਟ ਚੁਣਨ ਦੇ ਅਨੰਤ ਤਰੀਕੇ ਹਨ।
x ਲਈ ਇੱਕ ਪ੍ਰਗਟਾਵਾ ਲੱਭੋ ਤਾਂ ਜੋ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਸੈੱਟ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਅਸਲ ਆਇਤਾਕਾਰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਸਮਾਨ ਰਹੇ। ਉਦਾਹਰਨ 9 ਦੇਖੋ।
ਜਦੋਂ ਤੀਜਾ ਵੇਰੀਏਬਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇੱਕ ਤੀਜਾ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਜਿਸ 'ਤੇ x ਅਤੇ y ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲੋਟ ਕਰਕੇ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰਨ ਲਈ, t, x(t), ਅਤੇ y(t) ਲੇਬਲ ਵਾਲੇ ਤਿੰਨ ਕਾਲਮਾਂ ਨਾਲ ਇੱਕ ਟੇਬਲ ਬਣਾਓ। t ਲਈ ਵਧਦੇ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਮੁੱਲ ਚੁਣੋ। x ਅਤੇ y ਲਈ ਆਖਰੀ ਦੋ ਕਾਲਮਾਂ ਨੂੰ ਪਲੋਟ ਕਰੋ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 2 ਦੇਖੋ।
ਜਦੋਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਵਕਰ (curve) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸੰਬੰਧਿਤ t-ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਨੋਟ ਕਰੋ ਅਤੇ ਵਕਰ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ (orientation) ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਉੱਤੇ ਤੀਰ ਦਿਖਾਓ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 4 ਦੇਖੋ।
ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਉੱਤੇ ਵਕਰ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਜਾਂ ਸਥਿਤੀ (orientation) ਨੂੰ ਦਿਖਾਉਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। ਉਹ ਸਮੀਕਰਨ ਜੋ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਗਤੀ (motion) ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਉਪਯੋਗਾਂ ਵਿੱਚ ਵਰਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਦੇਖੋ।
ਪ੍ਰੋਜੈਕਟਾਈਲ ਗਤੀ ਦੋ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀ ਹੈ: x=( v 0 cosθ)t ਅਤੇ y=−16 t 2 +( v 0 sinθ)t+h। ਪ੍ਰਾਰੰਭਿਕ ਵੇਗ (initial velocity) ਨੂੰ v 0 ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। θ ਫੈਂਕੀ ਗਈ ਵਸਤੂ ਦੇ ਪ੍ਰਾਰੰਭਿਕ ਕੋਣ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ h ਉਸ ਉਚਾਈ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਉੱਤੇ ਵਸਤੂ ਨੂੰ ਪ੍ਰੋਪੈਲ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਸਥਿਤੀ ਵੈਕਟਰ (position vector) ਦਾ ਪ੍ਰਾਰੰਭਿਕ ਬਿੰਦੂ ਮੂਲ (origin) ਉੱਤੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਦੇਖੋ।
ਜੇਕਰ ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ ਲਈ ਸਥਿਤੀ ਵੈਕਟਰ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਹ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਦੇਖੋ।
ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ (magnitude) ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ (direction) ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਦੇਖੋ।
ਜੇਕਰ ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਹ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਦੇਖੋ।
ਵੈਕਟਰ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਵੈਕਟਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਸੰਬੰਧਿਤ ਤੱਤਾਂ (elements) ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਜਾਂ ਘਟਾ ਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਦੇਖੋ।
ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਾ (scalar multiplication) ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ (constant) ਨਾਲ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਸਿਰਫ਼ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਬਦਲਦਾ ਹੈ; ਦਿਸ਼ਾ ਉਹੀ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 7 ਦੇਖੋ।
ਵੈਕਟਰਾਂ ਵਿੱਚ ਦੋ ਭਾਗ (components) ਹੁੰਦੇ ਹਨ: ਸਕਾਰਾਤਮਕ x-ਧੁਰੇ (positive x-axis) ਦੇ ਨਾਲ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਕੰਪੋਨੈਂਟ, ਅਤੇ ਸਕਾਰਾਤਮਕ y-ਧੁਰੇ (positive y-axis) ਦੇ ਨਾਲ ਵਰਟੀਕਲ ਕੰਪੋਨੈਂਟ। ਉਦਾਹਰਨ 8 ਦੇਖੋ।
ਕਿਸੇ ਵੀ ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਇਕਾਈ ਵੈਕਟਰ (unit vector) ਉਸ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਉਸਦੇ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ (rectangular coordinate system) ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ | v |= a 2 + b 2 ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 9 ਦੇਖੋ।
ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ, ਇਕਾਈ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ i ਅਤੇ j ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ i ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ j ਵਰਟੀਕਲ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ, v = ai + bj ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ a ਅਤੇ b ਦੁਆਰਾ v ਦਾ ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ ਗੁਣ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 10 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 11 ਦੇਖੋ।
i ਅਤੇ j ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨਾ ਅਤੇ ਘਟਾਉਣਾ i ਦੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਗੁਣਾਂਕਾਂ (coefficients) ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਜਾਂ ਘਟਾਉਣ ਅਤੇ j ਦੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਜਾਂ ਘਟਾਉਣ ਦਾ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 12 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ v = ai + bj ਨੂੰ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ v=| v |cosθi+| v |sinθj ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 13 ਦੇਖੋ।
ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਡਾਟ ਪ੍ਰੋਡਕਟ (dot product) i ਟਰਮਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ (product) ਵਿੱਚ j ਟਰਮਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਜੋੜਨਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 14 ਦੇਖੋ।
ਅਸੀਂ ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਣ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਡਾਟ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 15 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 16।
ਡਾਟ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ (physics) ਦੇ ਕਈ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਉਪਯੋਗਾਂ ਲਈ ਉਪਯੋਗੀ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 17 ਦੇਖੋ।