1. ਅਭਿਆਸਾਂ ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ
2. ਅਨਿਯਮਿਤ ਤ੍ਰਿਕੋਣ: ਸਾਈਨ ਦਾ ਕਾਨੂੰਨ
3. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ α α ਪਾਸੇ a, β β ਪਾਸੇ b, ਅਤੇ γ γ ਪਾਸੇ c ਦੇ ਸਾਹਮਣੇ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ, ਜੇਕਰ ਸੰਭਵ ਹੋਵੇ। ਹਰੇਕ ਉੱਤਰ ਨੂੰ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਦਸਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
4. β=50°, a=105, b=45
5. α=43.1°, a=184.2, b=242.8
6. ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
7. ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
8. ਇੱਕ ਪਾਇਲਟ ਇੱਕ ਸਿੱਧੀ ਸੜਕ ਉੱਤੇ ਉੱਡ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਉਹ 2.1 ਕਿਲੋਮੀਟਰ ਦੂਰ ਦੋ ਮੀਲਪੱਥਰਾਂ ਉੱਤੇ 25° ਅਤੇ 49° ਦੇ ਅਵਨਮਨ ਕੋਣ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 1 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਜਹਾਜ਼ ਦੀ ਬਿੰਦੂ A ਤੋਂ ਦੂਰੀ ਅਤੇ ਜਹਾਜ਼ ਦੀ ਉਚਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ।
9. ਅਨਿਯਮਿਤ ਤ੍ਰਿਕੋਣ: ਕੋਸਾਈਨ ਦਾ ਕਾਨੂੰਨ
10. ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ, ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਦਸਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ α α ਪਾਸੇ a, β β ਪਾਸੇ b, ਅਤੇ γ γ ਪਾਸੇ c ਦੇ ਸਾਹਮਣੇ ਹੈ: a=4, b=6, c=8।
11. ਚਿੱਤਰ 2 ਵਿੱਚ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ, ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਦਸਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
12. 8.3, 6.6, ਅਤੇ 9.1 ਲੰਬਾਈ ਵਾਲੇ ਪਾਸਿਆਂ ਵਾਲੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
13. ਦੋ ਸ਼ਹਿਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਇੱਕ ਉਪਗ੍ਰਹਿ ਚਿੱਤਰ 3 (ਪੈਮਾਨੇ ਅਨੁਸਾਰ ਨਹੀਂ) ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈਆਂ ਗਈਆਂ ਦੂਰੀਆਂ ਅਤੇ ਕੋਣ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਸ਼ਹਿਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਉੱਤਰਾਂ ਨੂੰ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਦਸਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
14. ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ
15. ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (3, π/6) ਵਾਲੇ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ।
16. ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (5, -2π/3) ਵਾਲੇ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ।
17. (6, -3π/4) ਨੂੰ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
18. (-2, 3π/2) ਨੂੰ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
19. (7, -2) ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
20. (-9, -4) ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
21. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
22. x = -2
23. x² + y² = 64
24. x² + y² = -2y
1. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
2. r=7cosθ
3. r= −2 4cosθ+sinθ
4. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਆਇਤਾਕਾਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
5. θ= 3π 4
6. r=5secθ
7. ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ: ਗ੍ਰਾਫ
8. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਮਰੂਪਤਾ ਲਈ ਪਰਖੋ।
9. r=4+4sinθ
10. r=7
11. ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ r=1−5sinθ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। ਧੁਰੇ ਦੇ ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
12. ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ r=5sin( 7θ ) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
13. ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ r=3−3cosθ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
14. ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਪੋਲਰ ਰੂਪ
15. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
16. −2+6i
17. 4−3i
18. ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
19. 5+9i
20. 1 2 − 3 2 i
21. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਤੋਂ ਆਇਤਾਕਾਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
22. z=5cis( 5π 6 )
23. z=3cis( 40° )
24. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਗੁਣਨਫਲ z 1 z 2 ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਤਾ ਕਰੋ।
z 1 =2cis( 89° ) z 1 =2cis( 89° )
z 2 =5cis( 23° ) z 2 =5cis( 23° )
z 1 =10cis( π 6 ) z 1 =10cis( π 6 )
z 2 =6cis( π 3 ) z 2 =6cis( π 3 )
For the following exercises, find the quotient z 1 z 2 z 1 z 2 in polar form.
z 1 =12cis( 55° ) z 1 =12cis( 55° )
z 2 =3cis( 18° ) z 2 =3cis( 18° )
z 1 =27cis( 5π 3 ) z 1 =27cis( 5π 3 )
z 2 =9cis( π 3 ) z 2 =9cis( π 3 )
For the following exercises, find the powers of each complex number in polar form.
Find z 4 z 4 when z=2cis( 70° ) z=2cis( 70° )
Find z 2 z 2 when z=5cis( 3π 4 ) z=5cis( 3π 4 )
For the following exercises, evaluate each root.
Evaluate the cube root of z z when z=64cis( 210° ). z=64cis( 210° ).
Evaluate the square root of z z when z=25cis( 3π 2 ). z=25cis( 3π 2 ).
For the following exercises, plot the complex number in the complex plane.
6−2i 6−2i
−1+3i −1+3i
Parametric Equations
For the following exercises, eliminate the parameter t t to rewrite the parametric equation as a Cartesian equation.
{ x( t )=3t−1 y( t )= t { x( t )=3t−1 y( t )= t
{ x(t)=−cost y(t)=2 sin 2 t { x(t)=−cost y(t)=2 sin 2 t
Parameterize (write a parametric equation for) each Cartesian equation by using x( t )=acost x( t )=acost and y(t)=bsint y(t)=bsint for x 2 25 + y 2 16 =1. x 2 25 + y 2 16 =1.
Parameterize the line from (−2,3) (−2,3) to (4,7) (4,7) so that the line is at (−2,3) (−2,3) at t=0 t=0 and (4,7) (4,7) at t=1. t=1.
Parametric Equations: Graphs
For the following exercises, make a table of values for each set of parametric equations, graph the equations, and include an orientation; then write the Cartesian equation.
{ x( t )=3 t 2 y( t )=2t−1 { x( t )=3 t 2 y( t )=2t−1
{ x(t)= e t y(t)=−2 e 5t { x(t)= e t y(t)=−2 e 5t
{ x(t)=3cost y(t)=2sint { x(t)=3cost y(t)=2sint
A ball is launched with an initial velocity of 80 feet per second at an angle of 40° to the horizontal. The ball is released at a height of 4 feet above the ground.
ⓐ Find the parametric equations to model the path of the ball.
ⓑ Where is the ball after 3 seconds?
ⓒ How long is the ball in the air?
Vectors
For the following exercises, determine whether the two vectors, u u and v, v, are equal, where u u has an initial point P 1 P 1 and a terminal point P 2 , P 2 , and v v has an initial point P 3 P 3 and a terminal point P 4 . P 4 .
P 1 =( −1,4 ), P 2 =( 3,1 ), P 3 =( 5,5 ) P 1 =( −1,4 ), P 2 =( 3,1 ), P 3 =( 5,5 ) and P 4 =( 9,2 ) P 4 =( 9,2 )
P 1 =( 6,11 ), P 2 =( −2,8 ), P 3 =( 0,−1 ) P 1 =( 6,11 ), P 2 =( −2,8 ), P 3 =( 0,−1 ) and P 4 =( −8,2 ) P 4 =( −8,2 )
For the following exercises, use the vectors u=2i−j,v=4i−3j, u=2i−j,v=4i−3j, and w=−2i+5j w=−2i+5j to evaluate the expression.
u − v
2v − u + w
For the following exercises, find a unit vector in the same direction as the given vector.
a = 8i − 6j
b = −3i − j
For the following exercises, find the magnitude and direction of the vector.
〈 6,−2 〉 〈 6,−2 〉
〈 −3,−3 〉 〈 −3,−3 〉
For the following exercises, calculate u⋅v. u⋅v.
u = −2i + j and v = 3i + 7j
u = i + 4j and v = 4i + 3j
Given v =〈 −3,4 〉 =〈 −3,4 〉 draw v, 2v, and 1 2 1 2 v.
Given the vectors shown in Figure 4, sketch u + v, u − v and 3v.
Given initial point P 1 =( 3,2 ) P 1 =( 3,2 ) and terminal point P 2 =( −5,−1 ), P 2 =( −5,−1 ), write the vector v v in terms of i i and j. j. Draw the points and the vector on the graph.