ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ।
ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਤੋਂ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਤੋਂ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
ਪੋਲਰ ਅਤੇ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਰੂਪਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਕੇ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਬੰਦਰਗਾਹ ਤੋਂ 12 ਕਿਲੋਮੀਟਰ ਤੋਂ ਵੱਧ ਦੂਰ, ਇੱਕ ਸੈਲਬੋਟ ਨੂੰ ਖਰਾਬ ਮੌਸਮ ਦਾ ਸਾਹਮਣਾ ਕਰਨਾ ਪੈਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ 16-ਨੌਟ ਹਵਾ ਦੁਆਰਾ ਕੋਰਸ ਤੋਂ ਉਡਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 1 ਦੇਖੋ)। ਨਾਵਿਕ ਤੱਟ ਰੱਖਿਅਕ ਨੂੰ ਆਪਣੀ ਸਥਿਤੀ ਕਿਵੇਂ ਦੱਸ ਸਕਦਾ ਹੈ? ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਦੇ ਇੱਕ ਤਰੀਕੇ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਾਂਗੇ ਜੋ ਇੱਕ ਮਿਆਰੀ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਗਰਿੱਡ ਤੋਂ ਵੱਖਰਾ ਹੈ।
ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਨਾ
ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਤਲ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਨ ਬਾਰੇ ਸੋਚਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਕਾਰਟੇਸੀਅਨ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਤਲ ਵਿੱਚ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (x,y) (x,y) ਬਾਰੇ ਸੋਚਦੇ ਹਾਂ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਜੋੜੇ ਲਿਖਣ ਦੇ ਹੋਰ ਤਰੀਕੇ ਅਤੇ ਗਰਿੱਡ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਦੀਆਂ ਹੋਰ ਕਿਸਮਾਂ ਹਨ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਪੇਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਕਿ (r,θ) (r,θ) ਲੇਬਲ ਕੀਤੇ ਬਿੰਦੂ ਹਨ ਅਤੇ ਪੋਲਰ ਗਰਿੱਡ 'ਤੇ ਪਲਾਟ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ। ਪੋਲਰ ਗਰਿੱਡ ਨੂੰ ਕੇਂਦਰੀ ਚੱਕਰਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਲੜੀ ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ ਜੋ ਪੋਲ, ਜਾਂ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਤਲ ਦੇ ਮੂਲ ਤੋਂ ਬਾਹਰ ਨਿਕਲਦੀ ਹੈ।
ਪੋਲਰ ਗਰਿੱਡ ਨੂੰ ਯੂਨਿਟ ਸਰਕਲ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਕੇਲ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸਕਾਰਾਤਮਕ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਹੁਣ ਪੋਲਰ ਧੁਰੇ ਵਜੋਂ ਦੇਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਮੂਲ ਨੂੰ ਪੋਲ ਵਜੋਂ। ਪਹਿਲਾ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ r r ਪੋਲ ਤੋਂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਦੀ ਰੇਡੀਅਸ ਜਾਂ ਲੰਬਾਈ ਹੈ। ਕੋਣ θ, θ, ਰੇਡੀਅਨ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਗਿਆ, r r ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਪੋਲਰ ਧੁਰੇ ਤੋਂ θ, θ ਦੇ ਕੋਣ ਦੁਆਰਾ ਘੜੀ ਦੀ ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਚਲਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ θ, θ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ r r ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦਾ ਇੱਕ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਮਾਪਦੇ ਹਾਂ। ਭਾਵੇਂ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ θ θ ਮਾਪਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਫਿਰ r, r, ਪੋਲਰ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ r-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪਹਿਲਾਂ ਲਿਖ ਕੇ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਬਿੰਦੂ (2, π/4) (2, π/4) ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਘੜੀ ਦੀ ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ π/4 π/4 ਇਕਾਈਆਂ ਚਲਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਫਿਰ ਪੋਲ ਤੋਂ 2 ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਮਾਪਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਬਿੰਦੂ ਚਿੱਤਰ 2 ਵਿੱਚ ਗਰਿੱਡ 'ਤੇ ਪਲਾਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਪੋਲਰ ਗਰਿੱਡ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਨਾ
ਬਿੰਦੂ (3, π/2) (3, π/2) ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਗਰਿੱਡ 'ਤੇ ਪਲਾਟ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਕੋਣ π/2 π/2 ਪੋਲਰ ਧੁਰੇ ਤੋਂ 90° ਘੜੀ ਦੀ ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਸਵੀਪ ਕਰਕੇ ਲੱਭਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਬਿੰਦੂ ਪੋਲ ਤੋਂ π/2 π/2 ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ 3 ਇਕਾਈਆਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 3 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
ਪੋਲਰ ਗਰਿੱਡ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ (2, π/3) (2, π/3) ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 2
ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਭਾਗ ਵਾਲੇ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਨਾ
ਪੋਲਰ ਗਰਿੱਡ 'ਤੇ ਬਿੰਦੂ (-2, π/6) (-2, π/6) ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ π/6 π/6 ਪਹਿਲੇ ਚਤੁਰਭੁਜ ਵਿੱਚ ਸਥਿਤ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, r=-2। r=-2। ਅਸੀਂ ਨਕਾਰਾਤਮਕ r r ਵਾਲੇ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਨ ਲਈ ਦੋ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਪਹੁੰਚ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਬਿੰਦੂ (2, π/6) (2, π/6) ਨੂੰ ਘੜੀ ਦੀ ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ π/6 π/6 ਚਲ ਕੇ ਅਤੇ ਪਹਿਲੇ ਚਤੁਰਭੁਜ ਵਿੱਚ 2 ਇਕਾਈਆਂ ਦਾ ਇੱਕ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਵਧਾ ਕੇ ਪਲਾਟ ਕਰੋ। ਫਿਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਨੂੰ ਪੋਲ ਰਾਹੀਂ ਵਾਪਸ ਖਿੱਚੋ, ਅਤੇ ਤੀਜੇ ਚਤੁਰਭੁਜ ਵਿੱਚ 2 ਇਕਾਈਆਂ ਤੱਕ ਜਾਰੀ ਰੱਖੋ;
ਵਾਮ-ਪ੍ਰਤਿ-ਵਾਮ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ π/6 (ਪਾਈ ਬਟਾ ਛੇ) ਘੁੰਮਾਓ, ਅਤੇ ਤੀਜੇ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ 2 ਇਕਾਈਆਂ ਤੱਕ ਪੋਲ ਤੋਂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਖਿੱਚੋ।
ਚਿੱਤਰ 4(a) ਦੇਖੋ। ਇਸਦੀ ਤੁਲਨਾ ਧਰੁਵੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (2, π/6) (2, π/6) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨਾਲ ਕਰੋ ਜੋ ਚਿੱਤਰ 4(b) ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ #2
ਧਰੁਵੀ ਗਰਿੱਡ ਉੱਤੇ ਬਿੰਦੂਆਂ (3, -π/6) (3, -π/6) ਅਤੇ (2, 9π/4) (2, 9π/4) ਨੂੰ ਅੰਕਿਤ ਕਰੋ।
ਧਰੁਵੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਤੋਂ ਆਇਤਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣਾ
ਜਦੋਂ ਸਾਨੂੰ ਧਰੁਵੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਆਇਤਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਦੀ ਲੋੜ ਪੈ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਅਜਿਹਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ x, y, r, x, y, r, ਅਤੇ θ, θ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਮੌਜੂਦ ਸਬੰਧਾਂ ਨੂੰ ਯਾਦ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ x-ਧੁਰੇ ਤੱਕ ਇੱਕ ਲੰਬ ਸੁੱਟਣ ਨਾਲ ਇੱਕ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਬਣਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 5 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਉਪਰੋਕਤ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਯਾਦ ਰੱਖਣ ਦਾ ਇੱਕ ਆਸਾਨ ਤਰੀਕਾ cosθ cosθ ਨੂੰ ਲਾਗਲੇ ਪਾਸੇ ਬਟਾ ਕ੍ਰਮ ਬਟਾ ਕ੍ਰਮ ਅਤੇ sinθ sinθ ਨੂੰ ਸਨਮੁਖ ਪਾਸੇ ਬਟਾ ਕ੍ਰਮ ਬਟਾ ਕ੍ਰਮ ਵਜੋਂ ਸੋਚਣਾ ਹੈ।
ਧਰੁਵੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਤੋਂ ਆਇਤਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣਾ
ਧਰੁਵੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ (r, θ) (r, θ) ਨੂੰ ਆਇਤਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ (x, y) (x, y) ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਲਈ, ਮੰਨੋ
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਧਰੁਵੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਆਇਤਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
ਧਰੁਵੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (r, θ) (r, θ) ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ, x = r cosθ x = r cosθ ਅਤੇ y = r sinθ ਲਿਖੋ। y = r sinθ।
cosθ cosθ ਅਤੇ sinθ sinθ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
x-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਰੂਪ ਦਾ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ cosθ cosθ ਨੂੰ r r ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
y-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਰੂਪ ਦਾ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ sinθ sinθ ਨੂੰ r r ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਧਰੁਵੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਆਇਤਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਜੋਂ ਲਿਖਣਾ
ਧਰੁਵੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (3, π/2) (3, π/2) ਨੂੰ ਆਇਤਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
ਹੱਲ
ਸਮਾਨ ਸਬੰਧਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਆਇਤਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (0,3) ਹਨ। (0,3)। ਚਿੱਤਰ 6 ਦੇਖੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਧਰੁਵੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਆਇਤਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਜੋਂ ਲਿਖਣਾ
ਧਰੁਵੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (-2,0) (-2,0) ਨੂੰ ਆਇਤਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
1. ਹੱਲ
2. ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਨੂੰ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
3. ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵੀ ( −2,0 ). ( −2,0 ). ਹਨ।
4. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #3
5. ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ( −1, 2π 3 ) ( −1, 2π 3 ) ਨੂੰ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
6. ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਤੋਂ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣਾ
7. ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਦੋ ਹੋਰ ਜਾਣੇ-ਪਛਾਣੇ ਸਬੰਧਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ। ਇਸ ਬਦਲਾਅ ਦੇ ਨਾਲ, ਹਾਲਾਂਕਿ, ਸਾਨੂੰ ਇਸ ਗੱਲ ਦਾ ਧਿਆਨ ਰੱਖਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਕਿ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਦਾ ਇੱਕ ਸੈੱਟ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਪੋਲਰ ਬਿੰਦੂ ਦੇਵੇਗਾ।
8. ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਤੋਂ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣਾ
9. ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਲਈ ਚਿੱਤਰ 8 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਇੱਕ ਜਾਂ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸਬੰਧਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
10. ਉਦਾਹਰਨ 5
11. ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣਾ
12. ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ( 3,3 ) ( 3,3 ) ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
13. ਹੱਲ
14. ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ( 3,3 ) ( 3,3 ) ਪਹਿਲੇ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਹੈ। θ ਲੱਭਣ ਲਈ, θ, ਫਾਰਮੂਲਾ tanθ= y x . tanθ= y x . ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਇਹ ਦਿੰਦਾ ਹੈ
15. r ਲੱਭਣ ਲਈ, r, ਅਸੀਂ x x ਅਤੇ y y ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਫਾਰਮੂਲਾ r= x 2 + y 2 . r= x 2 + y 2 . ਵਿੱਚ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ r r ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ π 4 π 4 ਪਹਿਲੇ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ
16. ਇਸ ਲਈ, r=3 2 r=3 2 ਅਤੇ θ= π 4 , θ= π 4 , ਸਾਨੂੰ ਪੋਲਰ ਬਿੰਦੂ ( 3 2 , π 4 ). ( 3 2 , π 4 ). ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 9 ਦੇਖੋ।
17. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
18. ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਦੇ ਹੋਰ ਸੈੱਟ ਹਨ ਜੋ ਸਾਡੇ ਪਹਿਲੇ ਹੱਲ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੋਣਗੇ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਬਿੰਦੂ ( −3 2 , 5π 4 ) ( −3 2 , 5π 4 ) ਅਤੇ ( 3 2 ,− 7π 4 ) ( 3 2 ,− 7π 4 ) ( 3 2 , π 4 ). ( 3 2 , π 4 ). ਦੇ ਮੂਲ ਹੱਲ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਣਗੇ। ਬਿੰਦੂ ( −3 2 , 5π 4 ) ( −3 2 , 5π 4 ) π 4 . π 4 . ਦੇ ਬਿਲਕੁਲ ਉਲਟ, π π ਦੁਆਰਾ ਹੋਰ ਕਾਊਂਟਰਕਲੌਕਵਾਈਜ਼ ਇੱਕ ਮੂਵ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਰੇਡੀਅਸ ਨੂੰ −3 2 . −3 2 . ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਕੋਣ 5π 4 5π 4 ਤੀਜੇ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਸਥਿਤ ਹੈ ਅਤੇ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ r r ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਨੂੰ ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ, ਪਹਿਲੇ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਵਧਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ( 3 2 , π 4 ). ( 3 2 , π 4 ). ਦੇ ਸਮਾਨ ਬਿੰਦੂ ਹੈ। ਬਿੰਦੂ ( 3 2 ,− 7π 4 ) ( 3 2 ,− 7π 4 ) π 4 . π 4 . ਤੋਂ − 7π 4 , − 7π 4 . ਦੁਆਰਾ ਹੋਰ ਕਲੌਕਵਾਈਜ਼ ਇੱਕ ਮੂਵ ਹੈ। ਰੇਡੀਅਸ, 3 2 , 3 2 , ਸਮਾਨ ਹੈ।
19. ਪੋਲਰ ਅਤੇ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਰੂਪਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲਣਾ
20. ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਪੋਲਰ ਅਤੇ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਰੂਪਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਨੂੰ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲਣਾ ਵਧੇਰੇ ਮੁਸ਼ਕਲ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਦੋਵਾਂ ਰੂਪਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਬਦਲਣ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋਣਾ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਕਈ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਹਨ ਜੋ ਕਾਰਟੇਸ਼ੀਅਨ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਪਸ਼ਟ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਨਹੀਂ ਕੀਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ, ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਉਲਟ, ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆਵਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਲਈ ਵਰਤੀਆਂ ਸਨ। ਅਸੀਂ ਫਿਰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਰੂਪ ਜਾਂ ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
21. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
22. ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ, ਇਸਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ।
23. MODE ਨੂੰ POL, ਜੋ ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਤੇ ਬਦਲੋ।
24. Y= ਬਟਨ ਦਬਾਓ ਤਾਂ ਜੋ ਛੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਇਨਪੁਟ ਕਰਨ ਦੀ ਸਕ੍ਰੀਨ ਖੁੱਲ੍ਹ ਜਾਵੇ: r 1 , r 2 ,..., r 6 . r 1 , r 2 ,..., r 6 .
Enter the polar equation, set equal to r. r.
Press GRAPH.
6. ਮਿਸਾਲ 6
2. ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣਾ
3. ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਸਮੀਕਰਨ x² + y² = 9x ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
4. ਹੱਲ
5. ਟੀਚਾ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚੋਂ x ਅਤੇ y ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨਾ ਅਤੇ r ਅਤੇ θ ਨੂੰ ਪੇਸ਼ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਆਦਰਸ਼ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ r ਨੂੰ θ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਲਿਖਾਂਗੇ। ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ (x,y) ਅਤੇ (r,θ) ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ। ਕਿਉਂਕਿ x = rcosθ ਅਤੇ y = rsinθ, ਅਸੀਂ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ r ਲਈ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
6. ਇਸ ਲਈ, x² + y² = 9, r = 3, ਅਤੇ r = −3 ਇੱਕੋ ਗ੍ਰਾਫ ਤਿਆਰ ਕਰਨੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ। ਚਿੱਤਰ 10 ਦੇਖੋ।
7. ਚਿੱਤਰ 10: (a) ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਰੂਪ x² + y² = 9 (b) ਪੋਲਰ ਰੂਪ r = 3
8. ਆਇਤਾਕਾਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਪਵੇਗਾ।
9. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਹ ਦੋ ਵੱਖਰੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ, ਕਿਉਂਕਿ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਵਰਟੀਕਲ ਲਾਈਨ ਟੈਸਟ ਵਿੱਚ ਅਸਫਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਵਿੱਚ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਅਤੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਵਰਗ ਮੂਲ ਵੱਖਰੇ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ Y₁ = √(9−x²) ਅਤੇ Y₂ = −√(9−x²) ਦਾਖਲ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ ਦਬਾਓ।
10. ਮਿਸਾਲ 7
11. ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖਣਾ
12. ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਸਮੀਕਰਨ x² + y² = 6y ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
13. ਹੱਲ
14. ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਪਿਛਲੀ ਮਿਸਾਲ ਵਰਗੀ ਲੱਗਦੀ ਹੈ, ਪਰ ਇਸਨੂੰ ਬਦਲਣ ਲਈ ਵੱਖਰੇ ਕਦਮਾਂ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।
15. ਅਸੀਂ ਅਜੇ ਵੀ ਉਹੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆਵਾਂ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਸਿੱਖੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
16. ਇਸ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ x² + y² = 6y ਅਤੇ r = 6sinθ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕੋ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ। ਚਿੱਤਰ 11 ਦੇਖੋ।
17. ਚਿੱਤਰ 11: (a) ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਰੂਪ x² + y² = 6y (b) ਪੋਲਰ ਰੂਪ r = 6sinθ
18. ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਜਾਂ ਆਇਤਾਕਾਰ ਸਮੀਕਰਨ ਆਇਤਾਕਾਰ ਗਰਿੱਡ 'ਤੇ ਪਲੋਟ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਪੋਲਰ ਗਰਿੱਡ 'ਤੇ ਪਲੋਟ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਸਪੱਸ਼ਟ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹਨ।
19. ਮਿਸਾਲ 8
20. ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖਣਾ
21. ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਸਮੀਕਰਨ y = 3x + 2 ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
22. ਹੱਲ
23. ਅਸੀਂ x = rcosθ ਅਤੇ y = rsinθ ਦੇ ਸਬੰਧਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
24. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #4
y^2 = 3 - x^2 y^2 = 3 - x^2 ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ।
ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਕੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਅਸੀਂ ਸਿੱਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਕਿਵੇਂ ਬਦਲਣਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਦੇਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਬਿੰਦੂ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਉਹੀ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਉਲਟ ਵੀ ਬਦਲਿਆ ਹੈ। ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਕਰਾਂਗੇ ਕਿ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ, ਭਾਵੇਂ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਗ੍ਰਿਡਾਂ 'ਤੇ ਬਣਾਏ ਗਏ ਹੋਣ, ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 9
ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਕੇ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ।
ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ r=2secθ r=2secθ ਨੂੰ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ, ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਬਣਾਓ।
ਹੱਲ
ਬਦਲਾਅ ਹੈ
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਪੋਲਰ ਗ੍ਰਿਡ 'ਤੇ ਬਣਾਈ ਗਈ ਸਮੀਕਰਨ r=2secθ r=2secθ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਗ੍ਰਿਡ 'ਤੇ ਬਣਾਈ ਗਈ ਲੰਬਕਾਰੀ ਰੇਖਾ x=2 x=2 ਦੇ ਬਿਲਕੁਲ ਸਮਾਨ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 12 ਦੇਖੋ)। ਜਿਵੇਂ ਕਿ x=c x=c ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਰੇਖਾ ਲਈ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਹੈ, r=csecθ r=csecθ ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਰੇਖਾ ਲਈ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 12: (a) ਪੋਲਰ ਗ੍ਰਿਡ (b) ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ
ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਚਰਚਾ ਇਹ ਦਰਸਾਏਗੀ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ r=2cscθ r=2cscθ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਹਰੀਜੱਟਲ ਰੇਖਾ y=2. y=2 ਹੋਵੇਗਾ। ਦਰਅਸਲ, r=ccscθ r=ccscθ ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਹਰੀਜੱਟਲ ਰੇਖਾ ਲਈ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਹੈ, ਜੋ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਰੂਪ y=c. y=c ਦੇ ਅਨੁਸਾਰੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 10
ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣਾ
ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ r= 3 1−2cosθ r= 3 1−2cosθ ਨੂੰ ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਸਮੀਕਰਨ ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ।
ਹੱਲ
ਟੀਚਾ θ θ ਅਤੇ r, r ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨਾ, ਅਤੇ x x ਅਤੇ y, y ਨੂੰ ਪੇਸ਼ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਭਿੰਨ ਨੂੰ ਸਾਫ਼ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। r r ਨੂੰ x x ਅਤੇ y, y ਨਾਲ ਬਦਲਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ x^2 + y^2 = r^2 x^2 + y^2 = r^2 ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ।
ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਸਮੀਕਰਨ x^2 + y^2 = (3+2x)^2 ਹੈ। x^2 + y^2 = (3+2x)^2। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇਸਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ ਲਈ, ਖਾਸ ਕਰਕੇ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਜਾਂ ਕੰਪਿਊਟਰ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ y y ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ।
ਜਦੋਂ ਸਾਡੀ ਪੂਰੀ ਸਮੀਕਰਨ r r ਅਤੇ θ θ ਤੋਂ x x ਅਤੇ y, y ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਗਈ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਰੁਕ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਦੋਂ ਤੱਕ y y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਜਾਂ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਨਾ ਕਿਹਾ ਜਾਵੇ। ਚਿੱਤਰ 13 ਦੇਖੋ।
ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ "ਘੰਟਾ-ਗਲਾਸ" ਆਕਾਰ ਨੂੰ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦੇ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਦਿਲਚਸਪ ਭੌਤਿਕੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਅਤੇ ਉਪਯੋਗ ਹਨ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਅਸੀਂ ਐਨਾਲਿਟਿਕ ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਵਿੱਚ ਹੋਰ ਜਾਂਚ ਕਰਾਂਗੇ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੋਰ ਸਰਲ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਉੱਪਰ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਨਹੀਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ। ਅਸੀਂ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣਾ ਚਾਹ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਜਿਹਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5
ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ r=2sinθ r=2sinθ ਨੂੰ ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 11
ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖਣਾ
r=sin( 2θ ) r=sin( 2θ ) ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
ਹੱਲ
ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵੀ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ
ਮੀਡੀਆ
ਧਰੁਵੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਸਿੱਖਿਆ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
ਧਰੁਵੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਦਾ ਜਾਣ-ਪਛਾਣ
ਧਰੁਵੀ ਅਤੇ ਆਇਤਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਦੀ ਤੁਲਨਾ
ਮੌਖਿਕ
ਧਰੁਵੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਵੱਖਰੇ ਹਨ?
ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਸਮਤਲ ਦੇ x- ਅਤੇ y-ਧੁਰਿਆਂ ਤੋਂ ਧਰੁਵੀ ਧੁਰੇ ਕਿਵੇਂ ਵੱਖਰੇ ਹਨ?
ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਧਰੁਵੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਕਿਵੇਂ ਗ੍ਰਾਫ ਕੀਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।
ਕੀ ਬਿੰਦੂ ( 3, π 2 ) ( 3, π 2 ) ਅਤੇ ( −3, π 2 ) ( −3, π 2 ) ਸੰਬੰਧਿਤ ਹਨ?
ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਬਿੰਦੂ ( −3, π 2 ) ( −3, π 2 ) ਅਤੇ ( 3,− π 2 ) ( 3,− π 2 ) ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਕਿਉਂ ਹਨ।
ਬੀਜਗਣਿਤ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਧਰੁਵੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਨੂੰ ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ। ਬਿੰਦੂ ਲਈ θ θ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਉਸ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ ਦਾ ਧਿਆਨ ਰੱਖੋ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਬਿੰਦੂ ਸਥਿਤ ਹੈ।
( 7, 7π 6 ) ( 7, 7π 6 )
( 5,π ) ( 5,π )
( 6,− π 4 ) ( 6,− π 4 )
( −3, π 6 ) ( −3, π 6 )
( 4, 7π 4 ) ( 4, 7π 4 )
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਨੂੰ r>0,0≤θ<2π ਨਾਲ ਧਰੁਵੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ। r>0,0≤θ<2π। ਉਸ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ ਦਾ ਧਿਆਨ ਰੱਖੋ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਬਿੰਦੂ ਸਥਿਤ ਹੈ।
( 4,2 ) ( 4,2 )
( −4,6 ) ( −4,6 )
( 3,−5 ) ( 3,−5 )
( −10,−13 ) ( −10,−13 )
( 8,8 ) ( 8,8 )
For the following exercises, convert the given Cartesian equation to a polar equation.
x=3 x=3
y=4 y=4
y=4 x 2 y=4 x 2
y=2 x 4 y=2 x 4
x 2 + y 2 =4y x 2 + y 2 =4y
x 2 + y 2 =3x x 2 + y 2 =3x
x 2 − y 2 =x x 2 − y 2 =x
x 2 − y 2 =3y x 2 − y 2 =3y
x 2 + y 2 =9 x 2 + y 2 =9
x 2 =9y x 2 =9y
y 2 =9x y 2 =9x
9xy=1 9xy=1
For the following exercises, convert the given polar equation to a Cartesian equation. Write in the standard form of a conic if possible, and identify the conic section represented.
r=3sinθ r=3sinθ
r=4cosθ r=4cosθ
r= 4 sinθ+7cosθ r= 4 sinθ+7cosθ
r= 6 cosθ+3sinθ r= 6 cosθ+3sinθ
r=2secθ r=2secθ
r=3cscθ r=3cscθ
r= rcosθ+2 r= rcosθ+2
r^2 = 4 sec θ csc θ
4 = 4
2 r 2 =4 2 r 2 =4
r= 1 4cosθ−3sinθ
r= 3 cosθ−5sinθ
1. ਚਿੱਤਰਮਈ
1. ਇਹਨਾਂ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਲੱਭੋ।
1. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਪਲਾਟ ਬਣਾਓ।
( −2, π 3 ) ( −2, π 3 )
(−1, − π/2) (−1, − π/2)
( 3.5, 7π 4 ) ( 3.5, 7π 4 )
( −4, π 3 ) ( −4, π 3 )
( 5, π 2 ) ( 5, π 2 )
( 4, −5π 4 ) ( 4, −5π 4 )
( 3, 5π 6 ) ( 3, 5π 6 )
( −1.5, 7π 6 ) ( −1.5, 7π 6 )
( −2, π 4 ) ( −2, π 4 )
1. ( 1, 3π 2 ) ( 1, 3π 2 )
1. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਆਇਤਾਕਾਰ ਤੋਂ ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ ਅਤੇ ਪੋਲਰ ਧੁਰੇ ਉੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
੫ਖ - ਯ = ੬
੨ਖ + ੭ਯ = −੩ ੨ਖ + ੭ਯ = −੩
x² + (y−1)² = 1
( x+2 ) 2 + ( y+3 ) 2 =13
1. ਦੋ ਬਰਾਬਰ ਦੋ
1. x 2 + y 2 =5y
2. x 2 + y 2 =3x
3. ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਤੋਂ ਆਇਤਾਕਾਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ ਅਤੇ ਆਇਤਾਕਾਰ ਤਲ ਉੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
4. r=6
5. r=−4
6. θ=− 2π 3
7. θ= π 4
8. r=secθ
9. r=−10sinθ
10. r=3cosθ
11. ਤਕਨਾਲੋਜੀ
12. ( 2,− π 5 ) ਦੇ ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਹਜ਼ਾਰਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
13. ( −3, 3π 7 ) ਦੇ ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਹਜ਼ਾਰਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
14. ( −7,8 ) ਦੇ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਡਿਗਰੀਆਂ ਵਿੱਚ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਹਜ਼ਾਰਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
15. ( 3,−4 ) ਦੇ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਡਿਗਰੀਆਂ ਵਿੱਚ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਸੌਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
16. ( −2,0 ) ਦੇ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਰੇਡੀਅਨਾਂ ਵਿੱਚ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਸੌਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
17. ਵਿਸਤਾਰ
18. r=asecθ;a>0 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ।
19. r=asecθ;a<0 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ।
20. r=acscθ;a>0 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ।
21. r=acscθ;a<0 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ।
22. ਕਿਹੜੀਆਂ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਇੱਕ ਤਿਰਛੀ ਰੇਖਾ ਦੇਣਗੀਆਂ?
23. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਕਸਰਤ ਲਈ, ਪੋਲਰ ਅਸਮਾਨਤਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
24. r<4
0 ≤ θ ≤ π/4
θ = π/4, r ≥ 2
θ = π/4, r ≥ -3
0 ≤ θ ≤ π/3, r < 2
-π/6 < θ ≤ π/3, -3 < r < 2