ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਤੁਸੀਂ:
ਸਮਰੂਪਤਾ ਲਈ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਕੇ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ।
ਗ੍ਰਹਿ ਸੂਰਜ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਅੰਡਾਕਾਰ, ਆਵਰਤੀ ਕੱਕੇ ਵਿੱਚ ਘੁੰਮਦੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 1 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਉਹ ਨਿਰੰਤਰ ਗਤੀ ਵਿੱਚ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਕਿਸੇ ਵੀ ਗ੍ਰਹਿ ਦੀ ਸਹੀ ਸਥਿਤੀ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਪਲ ਲਈ ਵੈਧ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਗ੍ਰਹਿ ਦੀ ਤਤਕਾਲ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਦੀ ਇੱਕ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ (r,θ) ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਅਸੀਂ r ਨੂੰ ਸੂਰਜ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ ਦੂਰੀ ਅਤੇ θ ਨੂੰ ਗ੍ਰਹਿ ਦੇ ਕੋਣੀ ਬੇਅਰਿੰਗ, ਜਾਂ ਸੂਰਜ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ ਇਸਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਜੋਂ ਸਮਝਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪੋਲਰ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਅਤੇ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਤੋਂ ਸਿੱਧੇ ਤਿਆਰ ਕੀਤੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ 'ਤੇ ਧਿਆਨ ਕੇਂਦਰਿਤ ਕਰਾਂਗੇ।
ਚਿੱਤਰ 1: ਗ੍ਰਹਿ ਸੂਰਜ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਦੇ ਹੋਏ ਅੰਡਾਕਾਰ ਮਾਰਗਾਂ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੇ ਹਨ। (ਸਰੋਤ: NASA/JPL-Caltech ਦੁਆਰਾ ਕੰਮ ਦਾ ਸੋਧ)
ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਲਈ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਜਾਂਚ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ y= x 2 ਵਰਗਾ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਸਮੀਕਰਨ ਕਾਰਟੇਸੀਅਨ ਗਰਿੱਡ 'ਤੇ x ਅਤੇ y ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਇੱਕ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਪੋਲਰ ਗਰਿੱਡ 'ਤੇ r ਅਤੇ θ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਜੋੜਾ (r,θ) ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਪੋਲਰ ਐਕਸਿਸ (ਧਨਾਤਮਕ x-ਐਕਸਿਸ) ਤੋਂ θ ਦੇ ਕੋਣ ਦੁਆਰਾ ਘੜੀ ਦੀ ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਅੱਗੇ ਵਧਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ θ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਪੋਲ (ਮੂਲ) ਤੋਂ r ਇਕਾਈਆਂ ਤੋਂ ਇੱਕ ਕਿਰਨ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। θ। ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਹਨ।
ਸਮਰੂਪਤਾ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਹੈ ਜੋ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਪਛਾਣਨ ਅਤੇ ਪਲਾਟ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਕਿਸੇ ਐਕਸਿਸ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਉਸ ਐਕਸਿਸ ਉੱਤੇ ਅੱਧਾ ਫੋਲਡ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ। ਤਿੰਨ ਟੈਸਟਾਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਾਂਗੇ ਕਿ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ 'ਤੇ ਕਿਵੇਂ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਅਸੀਂ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮਰੂਪਤਾ (ਕੁੰਜੀ ਬਿੰਦੂਆਂ, ਜ਼ੀਰੋ, ਅਤੇ r ਦੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਪਲਾਟ ਕਰਨ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
ਪਹਿਲੇ ਟੈਸਟ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ θ= π 2 (y-ਐਕਸਿਸ) ਦੀ ਰੇਖਾ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪਤਾ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ (r,θ) ਨੂੰ (−r,−θ) ਨਾਲ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੀ ਨਵਾਂ ਸਮੀਕਰਨ ਮੂਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ r=2sinθ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ;
ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ θ= π 2 ਦੀ ਰੇਖਾ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪਤਾ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਦੂਜੇ ਟੈਸਟ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪੋਲਰ ਐਕਸਿਸ (x-ਐਕਸਿਸ) ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪਤਾ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ (r,θ) ਨੂੰ (r,−θ) ਜਾਂ (−r,π−θ) ਨਾਲ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਟੈਸਟ ਕੀਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ ਅਤੇ ਮੂਲ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸਮਾਨਤਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕੇ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ r=1−2cosθ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਪੋਲਰ ਐਕਸਿਸ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪਤਾ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਤੀਜੇ ਟੈਸਟ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪੋਲ (ਮੂਲ) ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪਤਾ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ (r,θ) ਨੂੰ (−r,θ) ਨਾਲ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੀ ਟੈਸਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸਮੀਕਰਨ ਮੂਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ r=2sin(3θ) ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਸਮੀਕਰਨ ਸਮਰੂਪਤਾ ਟੈਸਟ ਵਿੱਚ ਅਸਫਲ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਪਰ ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਇਹ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਪੋਲ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇੱਕ ਜਾਂ ਵੱਧ ਸਮਰੂਪਤਾ ਟੈਸਟਾਂ ਨੂੰ ਪਾਸ ਕਰਨਾ ਇਹ ਪ੍ਰਮਾਣਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪਤਾ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਹੋਵੇਗੀ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਸਮਰੂਪਤਾ ਟੈਸਟਾਂ ਵਿੱਚ ਅਸਫਲ ਹੋਣਾ ਜ਼ਰੂਰੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਇਹ ਸੰਕੇਤ ਨਹੀਂ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ θ= π 2 ਦੀ ਰੇਖਾ, ਪੋਲਰ ਐਕਸਿਸ, ਜਾਂ ਪੋਲ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪ ਨਹੀਂ ਹੋਵੇਗਾ। ਇਹਨਾਂ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੇ ਸਪੱਸ਼ਟ ਐਕਸਿਸ ਜਾਂ ਪੋਲ ਦੇ ਪਾਰ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਕੇ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੇ ਮੌਜੂਦ ਹੋਣ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਸਮਰੂਪਤਾ ਲਈ ਟੈਸਟਿੰਗ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਇੱਕ ਤਕਨੀਕ ਹੈ, ਪਰ ਇਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਸੰਪੂਰਨ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਸਮਰੂਪਤਾ ਟੈਸਟ
ਇੱਕ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਪੋਲਰ ਗਰਿੱਡ 'ਤੇ ਇੱਕ ਵਕਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਤਿੰਨ ਕਿਸਮਾਂ ਦੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਲਈ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 2 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 2: (a) ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ θ= π 2 (y-ਐਕਸਿਸ) ਦੀ ਰੇਖਾ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ (r,θ) ਨੂੰ (−r,−θ) ਨਾਲ ਬਦਲਣ ਨਾਲ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਲਦੀ ਹੈ। (b) ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਪੋਲਰ ਐਕਸਿਸ (x-ਐਕਸਿਸ) ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ (r,θ) ਨੂੰ (r,−θ) ਜਾਂ (−r,π−θ) ਨਾਲ ਬਦਲਣ ਨਾਲ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਲਦੀ ਹੈ। (c) ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਪੋਲ (ਮੂਲ) ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ (r,θ) ਨੂੰ (−r,θ) ਨਾਲ ਬਦਲਣ ਨਾਲ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਲਦੀ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਇੱਕ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਸਮਰੂਪਤਾ ਲਈ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
(r,θ) ਲਈ ਭਾਗਾਂ ਦੇ ਉਚਿਤ ਸੁਮੇਲ ਨੂੰ ਬਦਲੋ: θ= π 2 ਸਮਰੂਪਤਾ ਲਈ (−r,−θ); ਪੋਲਰ ਐਕਸਿਸ ਸਮਰੂਪਤਾ ਲਈ (r,−θ); ਅਤੇ ਪੋਲ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪਤਾ ਲਈ (−r,θ)।
ਜੇਕਰ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਸਮੀਕਰਨ ਇੱਕ ਜਾਂ ਵੱਧ ਟੈਸਟਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮਾਨ ਹਨ, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ ਉਮੀਦ ਅਨੁਸਾਰ ਸਮਰੂਪਤਾ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਲਈ ਜਾਂਚ ਕਰਨਾ
ਸਮੀਕਰਨ r=2sinθ r=2sinθ ਦੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਲਈ ਪਰਖ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਤਿੰਨਾਂ ਕਿਸਮਾਂ ਦੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਲਈ ਪਰਖ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: 1) (r,θ) (r,θ) ਨੂੰ (−r,−θ) (−r,−θ) ਨਾਲ ਬਦਲਣ 'ਤੇ ਉਹੀ ਨਤੀਜਾ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਗ੍ਰਾਫ਼ ਰੇਖਾ θ= π 2 . θ= π 2 . ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪ ਹੈ। | −r=2sin(−θ) −r=−2sinθ ਸਮ-ਵਿਸ਼ਮ ਪਛਾਣ r=2sinθ -1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਪਾਸ −r=2sin(−θ) −r=−2sinθ ਸਮ-ਵਿਸ਼ਮ ਪਛਾਣ r=2sinθ -1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਪਾਸ
ਸਤਰ: 2) θ θ ਨੂੰ −θ −θ ਨਾਲ ਬਦਲਣ 'ਤੇ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨਹੀਂ ਮਿਲਦੀ। ਇਸ ਲਈ, ਗ੍ਰਾਫ਼ ਪਰਖ ਵਿੱਚ ਅਸਫ਼ਲ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਧਰੁਵੀ ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪ ਹੋ ਵੀ ਸਕਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਨਹੀਂ ਵੀ। | r=2sin(−θ) r=−2sinθ ਸਮ-ਵਿਸ਼ਮ ਪਛਾਣ r=−2sinθ≠2sinθ ਅਸਫ਼ਲ r=2sin(−θ) r=−2sinθ ਸਮ-ਵਿਸ਼ਮ ਪਛਾਣ r=−2sinθ≠2sinθ ਅਸਫ਼ਲ
ਸਤਰ: 3) r r ਨੂੰ –r –r ਨਾਲ ਬਦਲਣ 'ਤੇ ਸਮੀਕਰਨ ਬਦਲ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਪਰਖ ਵਿੱਚ ਅਸਫ਼ਲ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ਼ ਧਰੁਵ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪ ਹੋ ਵੀ ਸਕਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਨਹੀਂ ਵੀ। | −r=2sinθ r=−2sinθ≠2sinθ ਅਸਫ਼ਲ −r=2sinθ r=−2sinθ≠2sinθ ਅਸਫ਼ਲ
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨ r=2sinθ r=2sinθ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਕੇਂਦਰ (0,1) (0,1) ਹੈ ਅਤੇ ਜਿਸਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ r=1 r=1 ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਰੇਖਾ θ= π 2 . θ= π 2 . ਦੇ ਸਮਰੂਪ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਧਰੁਵੀ ਧੁਰੇ ਜਾਂ ਧਰੁਵ ਨਾਲ ਸਮਰੂਪ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 3 ਦੇਖੋ।
ਪਰਖੋ ਇਹ #1
ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਲਈ ਪਰਖ ਕਰੋ: r=−2cosθ. r=−2cosθ.
ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਕੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰਨਾ
ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਅਸੀਂ x x ਅਤੇ y y ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਧਰੁਵੀ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਅਸੀਂ θ θ ਅਤੇ r r ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ θ θ ਦੇ ਮੁੱਲ ਦਾਖਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ r ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। r. ਹਾਲਾਂਕਿ, ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਅਤੇ θ θ ਅਤੇ r r ਦੇ ਮੁੱਖ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਘੱਟ ਗਣਨਾਵਾਂ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇਗੀ।
ਸਿਫ਼ਰ ਅਤੇ ਮਹੱਤਮ ਲੱਭਣਾ
ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ θ θ ਦੇ ਉਹ ਮੁੱਲ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ r=0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ। r=0. ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ, ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਜ਼ੀਰੋ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਫਿਰ x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। x. ਅਸੀਂ ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਲਈ ਵੀ ਇਹੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਵਰਤਦੇ ਹਾਂ। r=0, r=0, ਸੈੱਟ ਕਰੋ ਅਤੇ θ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। θ.
ਜਿਹੜੇ ਰੂਪ ਅਸੀਂ ਦੇਖਾਂਗੇ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਬਹੁਤਿਆਂ ਲਈ, ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮਹੱਤਮ ਮੁੱਲ ਉਹ ਮੁੱਲ ਲੱਭ ਕੇ ਪਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਤ੍ਰਿਕੋਣੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਮਹੱਤਮ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। r=5cosθ; r=5cosθ; 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ, ਵਕਰ ਅਤੇ ਧਰੁਵ ਵਿਚਕਾਰ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਦੂਰੀ 5 ਇਕਾਈਆਂ ਹੈ। ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮਹੱਤਮ ਮੁੱਲ 1 ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ θ=0, θ=0, ਇਸ ਲਈ ਸਾਡੀ ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨ 5cosθ, 5cosθ, ਹੈ ਅਤੇ ਮੁੱਲ θ=0 θ=0 ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ | r | . | r | ਦੇਵੇਗਾ।
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮਹੱਤਮ ਮੁੱਲ 1 ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ θ= π 2 , θ= π 2 , ਅਤੇ ਜੇ ਸਾਡੀ ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨ r=5sinθ, r=5sinθ, ਹੈ, ਤਾਂ ਮੁੱਲ θ= π 2 θ= π 2 ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ | r | . | r | ਦੇਵੇਗਾ। ਅਸੀਂ r r ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਕੇ ਵਾਧੂ ਜਾਣਕਾਰੀ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਦੋਂ θ=0. θ=0. ਇਹ ਬਿੰਦੂ ਧਰੁਵੀ ਧੁਰੇ ਦੇ ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਹੋਣਗੇ, ਜੋ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣ ਅਤੇ ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਵਕਰ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦਗਾਰ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 2
ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨ ਲਈ ਸਿਫ਼ਰ ਅਤੇ ਮਹੱਤਮ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣਾ
ਉਦਾਹਰਨ 1 ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, r=2sinθ. r=2sinθ. ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਅਤੇ ਮਹੱਤਮ | r | | r | ਅਤੇ, ਜੇ ਲੋੜ ਹੋਵੇ, ਧਰੁਵੀ ਧੁਰੇ ਦੇ ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਸਿਫ਼ਰ ਲੱਭਣ ਲਈ, r r ਨੂੰ ਜ਼ੀਰੋ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰੋ ਅਤੇ θ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। θ.
ਕਿਸੇ ਇੱਕ θ θ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ। ਅਸੀਂ 0 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ। 0.
ਬਿੰਦੂ (0,0) (0,0) ਅਤੇ (0,±nπ) (0,±nπ) ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਹਨ। ਇਹ ਸਾਰੇ ਇੱਕੋ ਥਾਂ 'ਤੇ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ਼ 'ਤੇ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਬਿੰਦੂ ਇਕਲੌਤਾ ਧਰੁਵੀ ਧੁਰੇ ਦਾ ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਵੀ ਹੈ।
ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮਹੱਤਮ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਤ੍ਰਿਕੋਣੀ ਫੰਕਸ਼ਨ sinθ, sinθ, ਦੇ ਮਹੱਤਮ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਦੇਖੋ, ਜੋ ਕਿ θ= π 2 ±2kπ θ= π 2 ±2kπ 'ਤੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ sin( π 2 )=1 ਹੁੰਦਾ ਹੈ। sin( π 2 )=1. θ ਲਈ π 2 π 2 ਬਦਲੋ। θ.
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਗ੍ਰਾਫ਼ ਉੱਤੇ ਸਿਖਰਲਾ ਮੁੱਲ ਬਿੰਦੂ (2, π/2) ਹੋਵੇਗਾ। ਚੱਕਰ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਨ ਲਈ ਆਓ ਕੁਝ ਹੋਰ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੀਏ। ਸਾਰਣੀ 2 ਅਤੇ ਚਿੱਤਰ 4 ਵੇਖੋ।
ਸਾਰਣੀ: θ | r=2sinθ | r
ਸਾਰਣੀ: 0 | r=2sin(0)=0 | 0
ਸਾਰਣੀ: π/6 | r=2sin(π/6)=1 | 1
ਸਾਰਣੀ: π/3 | r=2sin(π/3)≈1.73 | 1.73
ਸਾਰਣੀ: π/2 | r=2sin(π/2)=2 | 2
ਸਾਰਣੀ: 2π/3 | r=2sin(2π/3)≈1.73 | 1.73
ਸਾਰਣੀ: 5π/6 | r=2sin(5π/6)=1 | 1
ਸਾਰਣੀ: π | r=2sin(π)=0 | 0
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ #2
ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲੇ ਬਿਨਾਂ, ਸਮਰੂਪਤਾ ਲਈ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਅਤੇ |r| ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਅਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ: r=3cosθ।
ਚੱਕਰਾਂ ਦੀ ਪੜਚੋਲ
ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਵੇਖਿਆ ਹੈ। ਪਿਛਲੇ ਦੋ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਵਿੱਚ, ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਅਤੇ ਸਿਫ਼ਰ, ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ, ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣ ਵਾਲੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਦਾ ਤਰੀਕਾ ਦੱਸਣ ਲਈ ਇੱਕੋ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸੀ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਚੱਕਰ ਪੋਲਰ ਵਕਰਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਵਿੱਚ ਕੇਵਲ ਇੱਕ ਆਕਾਰ ਹੈ।
ਪੰਜ ਕਲਾਸਿਕ ਪੋਲਰ ਵਕਰ ਹਨ: ਕਾਰਡੀਓਇਡਸ, ਲਿਮਾ són, ਲੇਮਨਿਸਕੇਟਸ, ਰੋਜ਼ ਵਕਰ, ਅਤੇ ਆਰਕੀਮੇਡੀਜ਼ ਦੇ ਸਪਾਈਰਲ। ਅਸੀਂ ਕਲਾਸਿਕ ਵਕਰਾਂ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਭਿੰਨਤਾਵਾਂ ਵੱਲ ਵਧਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਚੱਕਰ ਦੇ ਪੋਲਰ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਨੂੰ ਸੰਖੇਪ ਵਿੱਚ ਛੂਹਾਂਗੇ।
ਚੱਕਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ
ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਚੱਕਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣ ਵਾਲੇ ਕੁਝ ਫਾਰਮੂਲੇ r=acosθ ਅਤੇ r=asinθ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ a ਚੱਕਰ ਦਾ ਵਿਆਸ ਹੈ ਜਾਂ ਪੋਲ ਤੋਂ ਘੇਰੇ ਉੱਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਦੂਰ ਬਿੰਦੂ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਹੈ। ਅਰਧ-ਵਿਆਸ |a|/2 ਹੈ, ਜਾਂ ਵਿਆਸ ਦਾ ਅੱਧਾ। r=acosθ ਲਈ, ਕੇਂਦਰ (a/2, 0) ਹੈ। r=asinθ ਲਈ, ਕੇਂਦਰ (a/2, π/2) ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 5 ਇਹਨਾਂ ਚਾਰ ਚੱਕਰਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਚੱਕਰ ਲਈ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣਾ
r=4cosθ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, ਸਮਰੂਪਤਾ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਪੋਲਰ ਧੁਰੇ ਦੇ ਬਾਰੇ ਸਮਰੂਪ ਹੈ। ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ r=4cosθ ਲਈ ਸਿਫ਼ਰ ਅਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ |r| ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ। ਪਹਿਲਾਂ, r=0 ਸੈੱਟ ਕਰੋ, ਅਤੇ θ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਇੱਕ ਸਿਫ਼ਰ θ=π/2 ± kπ ਉੱਤੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ। ਪਲਾਟ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂ (0, π/2) ਹੈ।
r ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ 1 ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ θ=0 ± 2kπ। ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ θ=0 ਨੂੰ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰੋ:
ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ 4 ਹੈ। ਪਲਾਟ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂ (4,0) ਹੈ।
ਕਿਉਂਕਿ r=4cosθ ਧਰੁਵੀ ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਮਿਤੀ ਰੱਖਦਾ ਹੈ, ਸਾਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ [0, π] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ θ ਲਈ r-ਮੁੱਲ ਗਿਣਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਉੱਪਰਲੇ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ ਦੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਫਿਰ ਹੇਠਲੇ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਸਾਰਣੀ 3 ਵਰਗੀ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਬਣਾਓ। ਗ੍ਰਾਫ਼ ਚਿੱਤਰ 6 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਸਾਰਣੀ: θ | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | 2π/3 | 3π/4 | 5π/6 | π
ਸਾਰਣੀ: r | 4 | 3.46 | 2.83 | 2 | 0 | -2 | -2.83 | -3.46 | -4
ਕਾਰਡੀਓਇਡਜ਼ ਦੀ ਪੜਚੋਲ
ਹਾਲਾਂਕਿ ਧਰੁਵੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਤੋਂ ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰਨਾ ਕੁਝ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ ਸਰਲ ਲੱਗ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਕਲਾਸਿਕ ਵਕਰਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ ਧਰੁਵੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਘੱਟ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹੈ। ਅਗਲੀ ਵਕਰ ਨੂੰ ਕਾਰਡੀਓਇਡ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਦਿਲ ਵਰਗੀ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਆਕਾਰ ਅਕਸਰ ਲਿਮਾਸਨ ਨਾਮਕ ਵਕਰਾਂ ਦੇ ਪਰਿਵਾਰ ਨਾਲ ਸ਼ਾਮਲ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਇੱਥੇ ਅਸੀਂ ਕਾਰਡੀਓਇਡ ਬਾਰੇ ਇਕੱਲੇ ਚਰਚਾ ਕਰਾਂਗੇ।
ਕਾਰਡੀਓਇਡ ਲਈ ਸੂਤਰ
ਕਾਰਡੀਓਇਡ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਪੈਦਾ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਸੂਤਰ r=a±bcosθ ਅਤੇ r=a±bsinθ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ ਜਿੱਥੇ a>0, b>0, ਅਤੇ a/b =1। ਕਾਰਡੀਓਇਡ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਧਰੁਵ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 7 ਵਿੱਚ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਕਾਰਡੀਓਇਡ ਦੇ ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ, ਇਸਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਓ।
ਸਮਮਿਤੀ ਦੀਆਂ ਤਿੰਨ ਕਿਸਮਾਂ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
ਜ਼ੀਰੋ ਲੱਭੋ। r=0 ਸੈੱਟ ਕਰੋ।
ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ।
r ਅਤੇ θ ਲਈ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਬਣਾਓ।
ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਓ।
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਕਾਰਡੀਓਇਡ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਉਣਾ
r=2+2cosθ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਓ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, ਸਮਮਿਤੀ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਧਰੁਵੀ ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਮਿਤੀ ਹੋਵੇਗਾ। ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਜ਼ੀਰੋ ਅਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ। r=0 ਸੈੱਟ ਕਰਨ 'ਤੇ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ θ=π+2kπ ਹੈ। ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਜ਼ੀਰੋ (0, π) 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ਼ ਇਸ ਬਿੰਦੂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ।
r=2+2cosθ ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਉਦੋਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ cosθ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ cosθ=1 ਜਾਂ ਜਦੋਂ θ=0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ θ=0 ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰੋ, ਅਤੇ r ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਬਿੰਦੂ (4,0) ਗ੍ਰਾਫ਼ 'ਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਪਾਇਆ ਹੈ ਕਿ ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨ ਧਰੁਵੀ ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਮਿਤੀ ਹੈ, ਪਰ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਸਾਰੇ ਚਾਰ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ਾਂ ਤੱਕ ਫੈਲਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ, ਸਾਨੂੰ [0, π] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਉੱਪਰਲਾ ਹਿੱਸਾ ਫਿਰ ਧਰੁਵੀ ਧੁਰੇ ਉੱਤੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਸਾਰਣੀ 4 ਵਾਂਗ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਚਿੱਤਰ 8 ਦੇਖੋ।
ਸਾਰਣੀ: θ | 0 | π/4 | π/2 | 2π/3 | π
ਸਾਰਣੀ: r | 4 | 3.41 | 2 | 1 | 0
1. ਲਿਮਾਸਨਾਂ ਦੀ ਪੜਚੋਲ
2. ਲਿਮਾਸਨ (limaçon) ਸ਼ਬਦ ਪੁਰਾਣੀ ਫਰਾਂਸੀਸੀ ਵਿੱਚ "ਘੁੰਗਰੂ" ਲਈ ਹੈ, ਇੱਕ ਨਾਮ ਜੋ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਪਹਿਲਾਂ ਦੱਸਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਕਾਰਡੀਓਇਡ (cardioid) ਲਿਮਾਸਨ ਪਰਿਵਾਰ ਦਾ ਇੱਕ ਮੈਂਬਰ ਹੈ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਸ਼੍ਰੇਣੀ ਵਿੱਚ ਹੋਰ ਚਿੱਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ-ਲੂਪ ਲਿਮਾਸਨ ਅਤੇ ਦੋ-ਲੂਪ (ਜਾਂ ਅੰਦਰੂਨੀ-ਲੂਪ) ਲਿਮਾਸਨ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। ਇੱਕ-ਲੂਪ ਲਿਮਾਸਨਾਂ ਨੂੰ ਕਈ ਵਾਰ ਡਿਮਪਲਡ ਲਿਮਾਸਨ (dimpled limaçon) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ 1 < a/b < 2 ਅਤੇ ਕਨਵੈਕਸ ਲਿਮਾਸਨ (convex limaçon) ਜਦੋਂ a/b ≥ 2।
3. ਇੱਕ-ਲੂਪ ਲਿਮਾਸਨਾਂ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ
4. ਡਿਮਪਲਡ ਇੱਕ-ਲੂਪ ਲਿਮਾਸਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਪੈਦਾ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਫਾਰਮੂਲੇ r = a ± bcosθ ਅਤੇ r = a ± bsinθ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ a > 0, b > 0, ਅਤੇ 1 < a/b < 2। ਚਾਰੇ ਗ੍ਰਾਫ ਚਿੱਤਰ 9 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਹਨ।
5. ਚਿੱਤਰ 9: ਡਿਮਪਲਡ ਲਿਮਾਸਨ
6. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
7. ਇੱਕ-ਲੂਪ ਲਿਮਾਸਨ ਲਈ ਇੱਕ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ, ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਓ।
8. ਸਮਰੂਪਤਾ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਜਾਂਚ ਵਿੱਚ ਅਸਫਲ ਹੋਣ ਦਾ ਮਤਲਬ ਇਹ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿ ਆਕਾਰ ਸਮਰੂਪਤਾ ਨਹੀਂ ਦਿਖਾਏਗਾ। ਅਕਸਰ ਸਮਰੂਪਤਾ ਉਦੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲੋਟ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
9. ਜ਼ੀਰੋ (zeros) ਲੱਭੋ।
10. ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ।
11. ਇੱਕ ਟੇਬਲ ਬਣਾਓ।
12. ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲੋਟ ਕਰੋ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਓ।
13. ਉਦਾਹਰਨ 5
14. ਇੱਕ-ਲੂਪ ਲਿਮਾਸਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਉਣਾ
15. ਸਮੀਕਰਨ r = 4 - 3sinθ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
16. ਹੱਲ
17. ਪਹਿਲਾਂ, ਸਮਰੂਪਤਾ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ ਤਿੰਨੋਂ ਸਮਰੂਪਤਾ ਟੈਸਟਾਂ ਵਿੱਚ ਅਸਫਲ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦਿਖਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ ਵੀ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਲਈ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦੇ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਹੈ ਜੋ ਸਪੱਸ਼ਟ ਤੌਰ 'ਤੇ θ = π/2 ਰੇਖਾ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪਤਾ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਫਿਰ ਵੀ ਇਹ ਤਿੰਨੋਂ ਸਮਰੂਪਤਾ ਟੈਸਟਾਂ ਵਿੱਚ ਅਸਫਲ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਤੁਰੰਤ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਤ ਗੁਣਵੱਤਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਏਗਾ।
18. ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਜ਼ੀਰੋ ਅਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਨ ਲਈ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਤ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲੋਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। r = 0 ਸੈੱਟ ਕਰਨ ਨਾਲ θ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ (undefined) ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਕੀ ਮਤਲਬ ਹੈ? θ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਕਿਵੇਂ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ? ਕੋਣ θ ਕਿਸੇ ਵੀ ਮੁੱਲ ਲਈ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ sinθ > 1। ਇਸ ਲਈ, θ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ θ ਦਾ ਕੋਈ ਮੁੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਲਈ sinθ > 1। ਸਿੱਟੇ ਵਜੋਂ, ਗ੍ਰਾਫ ਪੋਲ (pole) ਵਿੱਚੋਂ ਨਹੀਂ ਲੰਘਦਾ। ਸ਼ਾਇਦ ਗ੍ਰਾਫ ਪੋਲਰ ਧੁਰੇ (polar axis) ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਪੋਲ 'ਤੇ ਨਹੀਂ। ਅਸੀਂ θ = 0 'ਤੇ r ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਕੇ ਹੋਰ ਇੰਟਰਸੈਪਟਾਂ (intercepts) ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
19. ਇਸ ਲਈ, (4,0) 'ਤੇ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਪੋਲਰ ਧੁਰਾ ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਹੈ।
20. ਅੱਗੇ, ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ 1 ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ θ = π/2, ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ θ = π/2 ਨੂੰ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰਾਂਗੇ ਅਤੇ r ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਾਂਗੇ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, r = 1।
21. ਟੇਬਲ 5 ਦੇ ਸਮਾਨ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (coordinates) ਦਾ ਇੱਕ ਟੇਬਲ ਬਣਾਓ।
22. ਕਤਾਰ: θ | 0 | π/6 | π/3 | π/2 | 2π/3 | 5π/6 | π | 7π/6 | 4π/3 | 3π/2 | 5π/3 | 11π/6 | 2π
23. ਕਤਾਰ: r | 4 | 2.5 | 1.4 | 1 | 1.4 | 2.5 | 4 | 5.5 | 6.6 | 7 | 6.6 | 5.5 | 4
24. ਗ੍ਰਾਫ ਚਿੱਤਰ 10 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
1. ਚਿੱਤਰ 10: ਇੱਕ-ਲੂਪ ਲਿਮਾਸਨ
2. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
3. ਇਹ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਵਕਰ ਦਾ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ ਸਹੀ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਸਾਰਣੀ ਬਣਾਉਣਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ। ਸਮਰੂਪਤਾ ਟੈਸਟ ਅਸਫਲ ਹੋ ਜਾਂਦੇ ਹਨ; ਜ਼ੀਰੋ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ ਇਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ sinθ sinθ ਵਾਲਾ ਸਮੀਕਰਨ θ= π 2 , θ= π 2 ਰੇਖਾ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪ ਹੋਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ, ਹੋਰ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨਾ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਸਹੀ ਹੋਣ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਦਾ ਹੈ।
4. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
5. r=3−2cosθ. r=3−2cosθ. ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
6. ਲਿਮਾਸਨ ਦੀ ਇੱਕ ਹੋਰ ਕਿਸਮ, ਅੰਦਰੂਨੀ-ਲੂਪ ਲਿਮਾਸਨ, ਆਮ ਲਿਮਾਸਨ ਆਕਾਰ ਦੇ ਅੰਦਰ ਬਣੇ ਲੂਪ ਕਾਰਨ ਇਸਦਾ ਨਾਮ ਪਿਆ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਜਰਮਨ ਕਲਾਕਾਰ ਅਲਬ੍ਰੇਚਟ ਡਿਊਰਰ (1471-1528) ਦੁਆਰਾ ਖੋਜਿਆ ਗਿਆ ਸੀ, ਜਿਸਨੇ ਆਪਣੀ 1525 ਦੀ ਕਿਤਾਬ Underweysung der Messing ਵਿੱਚ ਅੰਦਰੂਨੀ-ਲੂਪ ਲਿਮਾਸਨ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਇੱਕ ਵਿਧੀ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤੀ। ਇੱਕ ਸਦੀ ਬਾਅਦ, ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਬਲੇਜ਼ ਪਾਸਕਲ ਦੇ ਪਿਤਾ, ਐਟੀਨ ਪਾਸਕਲ (1588-1651), ਨੇ ਇਸਨੂੰ ਮੁੜ ਖੋਜਿਆ।
7. ਅੰਦਰੂਨੀ-ਲੂਪ ਲਿਮਾਸਨਾਂ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ
8. ਅੰਦਰੂਨੀ-ਲੂਪ ਲਿਮਾਸਨਾਂ ਨੂੰ ਤਿਆਰ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਫਾਰਮੂਲੇ r=a±bcosθ r=a±bcosθ ਅਤੇ r=a±bsinθ r=a±bsinθ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ ਜਿੱਥੇ a>0, a>0, b>0, b>0, ਅਤੇ a<b. a<b. ਅੰਦਰੂਨੀ-ਲੂਪ ਲਿਮਾਸਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਪੋਲ ਵਿੱਚੋਂ ਦੋ ਵਾਰ ਲੰਘਦਾ ਹੈ: ਇੱਕ ਵਾਰ ਬਾਹਰੀ ਲੂਪ ਲਈ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਵਾਰ ਅੰਦਰੂਨੀ ਲੂਪ ਲਈ। ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਲਈ ਚਿੱਤਰ 11 ਦੇਖੋ।
9. ਉਦਾਹਰਨ 6
10. ਅੰਦਰੂਨੀ-ਲੂਪ ਲਿਮਾਸਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
11. r=2+5cosθ. r=2+5cosθ. ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
12. ਹੱਲ
13. ਸਮਰੂਪਤਾ ਲਈ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਪੋਲਰ ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪ ਹੈ। ਅੱਗੇ, ਜ਼ੀਰੋ ਲੱਭਣ ਨਾਲ ਪਤਾ ਲੱਗਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜਦੋਂ r=0, r=0, θ=1.98. θ=1.98. ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ | r | | r | ਉਦੋਂ ਮਿਲਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ cosθ=1 cosθ=1 ਜਾਂ ਜਦੋਂ θ=0. θ=0. ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਬਿੰਦੂ (7, 0) 'ਤੇ ਮਿਲਦਾ ਹੈ।
14. ਭਾਵੇਂ ਅਸੀਂ ਸਮਰੂਪਤਾ, ਜ਼ੀਰੋ, ਅਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਲੱਭ ਲਿਆ ਹੈ, ਹੋਰ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਨ ਨਾਲ ਆਕਾਰ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਮਿਲੇਗੀ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਇੱਕ ਪੈਟਰਨ ਉਭਰੇਗਾ।
15. ਸਾਰਣੀ 6 ਦੇਖੋ।
16. ਕਤਾਰ: θ θ | 0 0 | π 6 π 6 | π 3 π 3 | π 2 π 2 | 2π 3 2π 3 | 5π 6 5π 6 | π π | 7π 6 7π 6 | 4π 3 4π 3 | 3π 2 3π 2 | 5π 3 5π 3 | 11π 6 11π 6 | 2π 2π
17. ਕਤਾਰ: r r | 7 | 6.3 | 4.5 | 2 | −0.5 | −2.3 | −3 | −2.3 | −0.5 | 2 | 4.5 | 6.3 | 7
18. ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਉਮੀਦ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸੀ, ਮੁੱਲ θ=π. θ=π. ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਦੁਹਰਾਉਣ ਲੱਗਦੇ ਹਨ। ਗ੍ਰਾਫ ਚਿੱਤਰ 12 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
19. ਚਿੱਤਰ 12: ਅੰਦਰੂਨੀ-ਲੂਪ ਲਿਮਾਸਨ
20. ਲੇਮਨਿਸਕੇਟਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ
21. ਲੇਮਨਿਸਕੇਟ ਇੱਕ ਪੋਲਰ ਵਕਰ ਹੈ ਜੋ ਅਨੰਤਤਾ ਚਿੰਨ੍ਹ ∞ ∞ ਜਾਂ ਅੰਕ 8 ਵਰਗਾ ਦਿਖਦਾ ਹੈ। ਪੋਲ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ, ਇੱਕ ਲੇਮਨਿਸਕੇਟ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਨੁਸਾਰ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
22. ਲੇਮਨਿਸਕੇਟਾਂ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ
23. ਲੇਮਨਿਸਕੇਟ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਤਿਆਰ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਫਾਰਮੂਲੇ r 2 = a 2 cos2θ r 2 = a 2 cos2θ ਅਤੇ r 2 = a 2 sin2θ r 2 = a 2 sin2θ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ ਜਿੱਥੇ a≠0. a≠0. ਫਾਰਮੂਲਾ r 2 = a 2 sin2θ r 2 = a 2 sin2θ ਪੋਲ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪ ਹੈ। ਫਾਰਮੂਲਾ r 2 = a 2 cos2θ r 2 = a 2 cos2θ ਪੋਲ, ਰੇਖਾ θ= π 2 , θ= π 2 , ਅਤੇ ਪੋਲਰ ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਲਈ ਚਿੱਤਰ 13 ਦੇਖੋ।
24. ਉਦਾਹਰਨ 7
ਲੇਮਨਿਸਕੇਟ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣਾ
r 2 =4cos2θ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉ। r 2 =4cos2θ।
ਹੱਲ
ਸਮੀਕਰਨ θ= π 2 , ਧਰੁਵੀ ਧੁਰੇ ਅਤੇ ਧਰੁਵ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਆਓ ਸਿਫ਼ਰ ਲੱਭੀਏ। ਇਹ ਹੁਣ ਤੱਕ ਰੁਟੀਨ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਅਸੀਂ u=2θ ਦਾ ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਕਰਕੇ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਥੋੜ੍ਹਾ ਵੱਖਰੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਪਹੁੰਚਾਂਗੇ। u=2θ।
ਇਸ ਲਈ, ਬਿੰਦੂ ( 0, π 4 ) ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ।
ਹੁਣ ਆਓ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਲੱਭੀਏ। ਕਿਉਂਕਿ cosu=1 ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ u=0 'ਤੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, cos2θ=1 ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ 2θ=0 'ਤੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
ਸਾਡੇ ਕੋਲ (2, 0) 'ਤੇ ਇੱਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਧਰੁਵ, ਲਾਈਨ θ= π 2 , ਅਤੇ ਧਰੁਵੀ ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪ ਹੈ, ਸਾਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ ਪਹਿਲੇ ਚੌਥਾਈ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।
ਟੇਬਲ 7 ਵਰਗਾ ਇੱਕ ਟੇਬਲ ਬਣਾਓ।
ਰੋ: θ | 0 | π 6 | π 4
ਰੋ: r | ±2 | ± 2 | 0
ਗ੍ਰਾਫ਼ 'ਤੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 14 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 14: ਲੇਮਨਿਸਕੇਟ
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
u=2θ ਵਰਗਾ ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਕਰਨਾ ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਆਮ ਅਭਿਆਸ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਗਣਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਸਾਨੂੰ ਅੰਤ ਵਿੱਚ ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਪਦ ਨੂੰ ਅਸਲ ਪਦ ਨਾਲ ਬਦਲਣਾ ਨਹੀਂ ਭੁੱਲਣਾ ਚਾਹੀਦਾ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਅਣਜਾਣ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
TI-84 ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ 'ਤੇ ਟ੍ਰੇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇਸ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਕੁਝ ਬਿੰਦੂ ਦਿਖਾਈ ਨਹੀਂ ਦੇ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਟੇਬਲ ਇਹਨਾਂ ਹੀ r ਦੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਲਈ ਇੱਕ ਤਰੁੱਟੀ ਦਿਖਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਇਸ ਲਈ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹਨਾਂ θ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਕੋਈ ਅਸਲ ਵਰਗ ਮੂਲ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, 4cos(2θ) ਦੇ ਸੰਬੰਧਿਤ r-ਮੁੱਲ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ ਰੈਡੀਕਲ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਇੱਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ।
ਰੋਜ਼ ਕਰਵਜ਼ ਦੀ ਜਾਂਚ
ਅਗਲੀ ਕਿਸਮ ਦਾ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਇੱਕ ਪੱਤੇ ਵਰਗਾ ਆਕਾਰ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਰੋਜ਼ ਕਰਵ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦੇ ਹਨ, ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਪੈਟਰਨ ਤਿਆਰ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਰੋਜ਼ ਕਰਵਜ਼
ਰੋਜ਼ ਕਰਵ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਤਿਆਰ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਫਾਰਮੂਲੇ r=acosnθ ਅਤੇ r=asinnθ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ ਜਿੱਥੇ a≠0। ਜੇਕਰ n ਸਮ ਹੈ, ਤਾਂ ਕਰਵ ਵਿੱਚ 2n ਪੱਤੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਜੇਕਰ n ਵਿਸ਼ਮ ਹੈ, ਤਾਂ ਕਰਵ ਵਿੱਚ n ਪੱਤੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਚਿੱਤਰ 15 ਦੇਖੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 8
ਰੋਜ਼ ਕਰਵ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣਾ (n ਸਮ)
r=2cos4θ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉ। r=2cos4θ।
ਹੱਲ
ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦਿਆਂ, ਅਸੀਂ ਮੁੜ ਇਹ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀਆਂ ਜਾਂਚਾਂ ਸਾਰੀ ਕਹਾਣੀ ਨਹੀਂ ਦੱਸਦੀਆਂ। ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕੇਵਲ ਧਰੁਵੀ ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਹੀ ਸਮਰੂਪ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਸਗੋਂ θ= π 2 θ= π 2 ਰੇਖਾ ਅਤੇ ਧਰੁਵ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਵੀ ਹੈ।
ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਸਿਫ਼ਰ ਲੱਭਾਂਗੇ। ਪਹਿਲਾਂ u=4θ ਦਾ ਪ੍ਰਤੀਸਥਾਪਨ ਕਰੋ। u=4θ।
ਸਿਫ਼ਰ θ= π 8 ਹੈ। θ= π 8। ਬਿੰਦੂ ( 0, π 8 ) ( 0, π 8 ) ਵਕਰ ਉੱਤੇ ਹੈ।
ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ | r | ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ। | r |। ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ cosu=1 cosu=1 ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਉਦੋਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ θ=0। θ=0। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
ਬਿੰਦੂ ( 2,0 ) ( 2,0 ) ਵਕਰ ਉੱਤੇ ਹੈ।
ਗੁਲਾਬ ਵਕਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿਲੱਖਣ ਗੁਣ ਰੱਖਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਸਾਰਣੀ 8 ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਸਾਰਣੀ: θ θ | 0 | π 8 π 8 | π 4 π 4 | 3π 8 3π 8 | π 2 π 2 | 5π 8 5π 8 | 3π 4 3π 4
ਸਾਰਣੀ: r r | 2 | 0 | −2 | 0 | 2 | 0 | −2
ਜਿਵੇਂ ਕਿ r=0 r=0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ θ= π 8, θ= π 8, ਇਹ ਸਾਰਣੀ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ π 8 π 8 ਇਕਾਈਆਂ ਨਾਲ ਵੰਡਣਾ ਤਰਕਸੰਗਤ ਹੈ। ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਪੈਟਰਨ ਉੱਭਰਦਾ ਹੈ। r-ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਸੀਮਾ ਦੇਖੋ: 2, 0, −2, 0, 2, 0, −2, ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੀ। ਇਹ ਇੱਕ ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪੱਤੀ ਦੇ ਵਿਕਾਸ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। r=0, r=0 ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਕੇ, ਹਰੇਕ ਪੱਤੀ r=2, r=2 ਦੀ ਦੂਰੀ ਤੱਕ ਫੈਲਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਫਿਰ 2n 2n ਵਾਰ ਸਿਫ਼ਰ ਵੱਲ ਮੁੜਦੀ ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਕੁੱਲ ਅੱਠ ਪੱਤੀਆਂ ਬਣਦੀਆਂ ਹਨ। ਚਿੱਤਰ 16 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇਖੋ।
ਚਿੱਤਰ 16: ਗੁਲਾਬ ਵਕਰ, n n ਸਮ
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਜਦੋਂ ਇਹ ਵਕਰ ਖਿੱਚੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਪਲਾਟ ਕਰਨਾ ਸਭ ਤੋਂ ਵਧੀਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਸਾਰਣੀ 8 ਵਿੱਚ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਦੇਖਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ (ਪੱਤੀ ਦਾ ਸਿਖਰ) ਕਿਵੇਂ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ, ਧਰੁਵ ਨੂੰ ਪਾਰ ਕਰਦਾ ਹੋਇਆ ਵਾਪਸ ਮੁੜਦਾ ਹੈ, ਉਲਟੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਧਰੁਵ ਵੱਲ ਵਾਪਸ ਮੁੜਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਕਿਰਿਆ ਸਾਰੀਆਂ ਪੱਤੀਆਂ ਖਿੱਚੀਆਂ ਜਾਣ ਤੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
r=4sin( 2θ ) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ। r=4sin( 2θ )।
ਉਦਾਹਰਨ 9
ਗੁਲਾਬ ਵਕਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣਾ (n ਵਿਸ਼ਮ)
r=2sin( 5θ ) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ। r=2sin( 5θ )।
ਹੱਲ
ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ θ= π 2 ਰੇਖਾ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ। θ= π 2। ਅੱਗੇ, ਸਿਫ਼ਰ ਅਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਲੱਭੋ। ਅਸੀਂ u=5θ ਦਾ ਪ੍ਰਤੀਸਥਾਪਨ ਕਰਨਾ ਚਾਹਾਂਗੇ। u=5θ।
ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਉਸ ਕੋਣ 'ਤੇ ਗਿਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ sinθ sinθ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ,
ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ 2 ਹੈ। ਇਹ ਹਰੇਕ ਪੱਤੀ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ n ਵਿਸ਼ਮ ਲਈ ਵਕਰ n, n ਦੇ ਸਮਾਨ ਪੱਤੀਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਗ੍ਰਾਫ਼ ਉੱਤੇ ਪੰਜ ਪੱਤੀਆਂ ਹੋਣਗੀਆਂ। ਚਿੱਤਰ 17 ਦੇਖੋ।
ਚਿੱਤਰ 17: ਗੁਲਾਬ ਵਕਰ, n n ਵਿਸ਼ਮ
ਸਾਰਣੀ 9 ਵਰਗੀ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਬਣਾਓ।
ਸਾਰਣੀ: θ θ | 0 | π 6 π 6 | π 3 π 3 | π 2 π 2 | 2π 3 2π 3 | 5π 6 5π 6 | π π
1. ਕਤਾਰ: r r | 0 | 1 | −1.73 | 2 | −1.73 | 1 | 0
2. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #5
3. r=3cos(3θ) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਖਿੱਚੋ। r=3cos(3θ)।
4. ਆਰਕੀਮੇਡੀਜ਼ ਸਪਾਈਰਲ ਦੀ ਪੜਚੋਲ
5. ਅੰਤਿਮ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਜਿਸ ਬਾਰੇ ਅਸੀਂ ਚਰਚਾ ਕਰਾਂਗੇ, ਉਹ ਆਰਕੀਮੇਡੀਜ਼ ਸਪਾਈਰਲ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਨਾਮ ਇਸਦੇ ਖੋਜੀ, ਯੂਨਾਨੀ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਆਰਕੀਮੇਡੀਜ਼ (ਲਗਭਗ 287 ਈ.ਪੂ.-ਲਗਭਗ 212 ਈ.ਪੂ.) ਦੇ ਨਾਮ 'ਤੇ ਰੱਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਅਤੇ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੇ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਅਣਗਿਣਤ ਖੋਜਾਂ ਦਾ ਸਿਹਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
6. ਆਰਕੀਮੇਡੀਜ਼ ਸਪਾਈਰਲ
7. ਆਰਕੀਮੇਡੀਜ਼ ਸਪਾਈਰਲ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਤਿਆਰ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਫਾਰਮੂਲਾ r=θ, θ≥0 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਜਿਉਂ-ਜਿਉਂ θ ਵਧਦਾ ਹੈ, r ਇੱਕ ਸਦਾ ਚੌੜੇ, ਕਦੇ ਨਾ ਖ਼ਤਮ ਹੋਣ ਵਾਲੇ, ਘੁੰਮਦੇ ਮਾਰਗ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਦਰ ਨਾਲ ਵਧਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 18 ਦੇਖੋ।
8. ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ
9. [ 0,2π ] ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਆਰਕੀਮੇਡੀਜ਼ ਸਪਾਈਰਲ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਗ੍ਰਾਫ਼ ਖਿੱਚੋ।
10. ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਡੋਮੇਨ ਉੱਤੇ r ਅਤੇ θ ਲਈ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਬਣਾਓ।
11. ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਖਿੱਚੋ।
12. ਉਦਾਹਰਨ 10
13. ਆਰਕੀਮੇਡੀਜ਼ ਸਪਾਈਰਲ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਖਿੱਚਣਾ
14. [0,2π] ਉੱਤੇ r=θ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਖਿੱਚੋ। [0,2π]।
15. ਹੱਲ
16. ਕਿਉਂਕਿ r, θ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਆਰਕੀਮੇਡੀਜ਼ ਸਪਾਈਰਲ ਦਾ ਪਲਾਟ ਪੋਲ 'ਤੇ (0, 0) ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦਾ ਸੰਕੇਤ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਸਮਰੂਪਤਾ ਟੈਸਟਾਂ ਨੂੰ ਪਾਸ ਕਰਨ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਰਸਮੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਕੋਈ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਕਿ ਡੋਮੇਨ ਸੀਮਤ ਨਾ ਹੋਵੇ।
17. ਸਾਰਣੀ 10 ਵਰਗੀ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਬਣਾਓ।
18. ਕਤਾਰ: θ | π 4 | π 2 | π | 3π 2 | 7π 4 | 2π
19. ਕਤਾਰ: r | 0.785 | 1.57 | 3.14 | 4.71 | 5.50 | 6.28
20. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ r-ਮੁੱਲ ਰੇਡੀਅਨਾਂ ਵਿੱਚ ਮਾਪੇ ਗਏ ਕੋਣ ਦਾ ਦਸ਼ਮਲਵ ਰੂਪ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਚਿੱਤਰ 19 ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ਼ 'ਤੇ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
21. ਚਿੱਤਰ 19: ਆਰਕੀਮੇਡੀਜ਼ ਸਪਾਈਰਲ
22. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
23. ਇਸ ਪੋਲਰ ਵਕਰ ਦਾ ਡੋਮੇਨ [ 0,2π ] ਹੈ। ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ( −∞,∞ ) ਹੈ। ਆਰਕੀਮੇਡੀਜ਼ ਸਪਾਈਰਲ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰਨਾ ਕਾਫ਼ੀ ਸਰਲ ਹੈ, ਭਾਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ ਇਸਨੂੰ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਜਾਪਦਾ ਹੈ।
24. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #6
1. [0, 4π] ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ r = −θ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
2. ਵਕਰਾਂ ਦਾ ਸਾਰ
3. ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਕਈ ਤੌਰ 'ਤੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਪੋਲਰ ਵਕਰਾਂ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕੀਤੀ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 20 ਅਤੇ ਚਿੱਤਰ 21 ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਵਕਰ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਅਤੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਸਾਰ ਦਿੰਦੇ ਹਨ।
4. ਮੀਡੀਆ
5. ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਸਿੱਖਿਆ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
6. ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਭਾਗ 1
7. ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਭਾਗ 2
8. ਐਨੀਮੇਸ਼ਨ: ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼
9. TI-84 'ਤੇ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ
10. ਸ਼ਬਦਿਕ
11. ਪੋਲਰ ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੇ ਤਿੰਨ ਕਿਸਮਾਂ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਤਲ ਦੇ ਸਮਰੂਪਤਾ ਨਾਲ ਤੁਲਨਾ ਕਰੋ।
12. ਪੋਲਰ ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਲਈ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀਆਂ ਤਿੰਨ ਕਿਸਮਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਹੜੀਆਂ x-ਧੁਰੇ, y-ਧੁਰੇ, ਅਤੇ ਮੂਲ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪਤਾਵਾਂ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦੀਆਂ ਹਨ?
13. ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿਹੜੇ ਕਦਮਾਂ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਨੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ?
14. ਕਾਰਡੀਓਇਡਸ, ਲਿਮਾਸਨ, ਅਤੇ ਲੇਮਨਿਸਕੇਟਸ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਦੇ ਆਕਾਰਾਂ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ।
15. ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਕਿਹੜਾ ਹਿੱਸਾ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਆਕਾਰ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦਾ ਹੈ?
16. ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ
17. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਸਮਰੂਪਤਾ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
18. r = 5cos3θ
19. r = 3 − 3cosθ
20. r = 3 + 2sinθ
21. r = 3sin2θ
22. r = 4
23. r = 2θ
24. r = 4cos(θ/2)
r= 2 θ
r=3 1− cos 2 θ
r= 5sin2θ
ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। ਆਕਾਰ ਦਾ ਨਾਮ ਦੱਸੋ।
r=3cosθ
r=4sinθ
r=2+2cosθ
r=2−2cosθ
r=5−5sinθ
r=3+3sinθ
r=3+2sinθ
r=7+4sinθ
r=4+3cosθ
r=5+4cosθ
r=10+9cosθ
r=1+3sinθ
r=2+5sinθ
r=5+7sinθ
r=2+4cosθ
r=5+6cosθ
r 2 =36cos( 2θ )
r 2 =10cos( 2θ )
r 2 =4sin( 2θ )
r 2 =10sin( 2θ )
r=3sin(2θ) r=3sin(2θ)
r=3cos(2θ) r=3cos(2θ)
r=5sin(3θ) r=5sin(3θ)
r=4sin(4θ) r=4sin(4θ)
r=4sin(5θ) r=4sin(5θ)
r=−θ r=−θ
r=2θ r=2θ
r=−3θ r=−3θ
Technology
For the following exercises, use a graphing calculator to sketch the graph of the polar equation.
r= 1 θ r= 1 θ
r= 1 θ r= 1 θ
r=2sinθtanθ, r=2sinθtanθ, a cissoid
r=2 1− sin 2 θ r=2 1− sin 2 θ, a hippopede
r=5+cos( 4θ ) r=5+cos( 4θ )
r=2−sin( 2θ ) r=2−sin( 2θ )
r= θ 2 r= θ 2
r=θ+1 r=θ+1
r=θsinθ r=θsinθ
r=θcosθ r=θcosθ
For the following exercises, use a graphing utility to graph each pair of polar equations on a domain of [ 0,4π ] [ 0,4π ] and then explain the differences shown in the graphs.
r=θ,r=−θ r=θ,r=−θ
r=θ,r=θ+sinθ r=θ,r=θ+sinθ
r=sinθ+θ,r=sinθ−θ r=sinθ+θ,r=sinθ−θ
r=2sin( θ 2 ),r=θsin( θ 2 ) r=2sin( θ 2 ),r=θsin( θ 2 )
r=sin( cos(3θ) )r=sin(3θ) r=sin( cos(3θ) )r=sin(3θ)
On a graphing utility, graph r=sin( 16 5 θ ) r=sin( 16 5 θ ) on [ 0[ 0, 4π ]4π], [ 0[0, 8π ]8π], [ 0[0, 12π ] 12π], and [ 0[0, 16π ]. 16π]. Describe the effect of increasing the width of the domain.
On a graphing utility, graph and sketch r=sinθ+ ( sin( 5 2 θ ) ) 3 r=sinθ+ ( sin( 5 2 θ ) ) 3 on [ 0,4π ]. [ 0,4π ].
On a graphing utility, graph each polar equation. Explain the similarities and differences you observe in the graphs.
On a graphing utility, graph each polar equation. Explain the similarities and differences you observe in the graphs.
On a graphing utility, graph each polar equation. Explain the similarities and differences you observe in the graphs.
Extensions
For the following exercises, draw each polar equation on the same set of polar axes, and find the points of intersection.
r 1 =3+2sinθ, r 2 =2 r 1 =3+2sinθ, r 2 =2
r 1 =6−4cosθ, r 2 =4 r 1 =6−4cosθ, r 2 =4
r 1 =1+sinθ, r 2 =3sinθ r 1 =1+sinθ, r 2 =3sinθ
r 1 =1+cosθ, r 2 =3cosθ r 1 =1+cosθ, r 2 =3cosθ
r 1 =cos( 2θ ), r 2 =sin( 2θ ) r 1 =cos( 2θ ), r 2 =sin( 2θ )
r 1 = sin 2 ( 2θ ) r 1 = sin 2 ( 2θ ), r 2 =1−cos( 4θ ) r 2 =1−cos( 4θ )
r 1 = 3 , r 2 =2sin( θ ) r 1 = 3 , r 2 =2sin( θ )
r 1 2 =sinθ, r 2 2 =cosθ r 1 2 =sinθ, r 2 2 =cosθ
r 1 =1+cosθ r 1 =1+cosθ, r 2 =1−sinθ r 2 =1−sinθ