ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਇੱਕ ਵਕਰ ਨੂੰ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ ਕਰੋ।
ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰੋ।
ਪੈਰਾਮੀਟਰਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਵਕਰ ਲਈ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
ਆਇਤਾਕਾਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਵਕਰਾਂ ਲਈ ਪੈਰਾਮੀਟਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
ਇੱਕ ਚੰਦਰਮਾ ਦੇ ਮਾਰਗ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਇੱਕ ਗ੍ਰਹਿ ਦੀ ਪਰਿਕਰਮਾ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਇੱਕੋ ਸਮੇਂ ਸੂਰਜ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 1 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਵੀ ਪਲ, ਚੰਦਰਮਾ ਗ੍ਰਹਿ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਖਾਸ ਸਥਾਨ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਪਰ ਅਸੀਂ ਚੰਦਰਮਾ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਕਿਵੇਂ ਲਿਖੀਏ ਅਤੇ ਹੱਲ ਕਰੀਏ ਜਦੋਂ ਗ੍ਰਹਿ ਤੋਂ ਦੂਰੀ, ਗ੍ਰਹਿ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਚੰਦਰਮਾ ਦੀ ਕਲਾ ਦਾ ਵੇਗ, ਅਤੇ ਸੂਰਜ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਣ ਦਾ ਵੇਗ ਸਾਰੇ ਅਣਜਾਣ ਹਨ? ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹਾਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਾਂਗੇ ਜੋ x(t) ਅਤੇ y(t) ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ ਜਿੱਥੇ t ਸਮੇਂ ਦਾ ਸੁਤੰਤਰ ਵੇਰੀਏਬਲ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਪੈਰਾਮੀਟਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਈ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਨਾ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਖਾਸ ਸਥਿਤੀ ਬਲਕਿ ਅੰਦੋਲਨ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵੀ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ t ਦੇ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਟਰੇਸ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਵਕਰ ਦਾ ਸਥਾਨ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਪੈਰਾਮੀਟਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦੇ ਮੁੱਖ ਫਾਇਦਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਹੈ: ਅਸੀਂ ਸਮੇਂ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਇੱਕ ਵਸਤੂ ਦੀ ਗਤੀ ਨੂੰ ਟਰੇਸ ਕਰਨ ਦੇ ਯੋਗ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਪੈਰਾਮੀਟਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਮੁੱਢਲੇ ਭਾਗਾਂ ਅਤੇ ਇੱਕ ਵਕਰ ਨੂੰ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ ਕਰਨ ਦਾ ਕੀ ਅਰਥ ਹੈ, ਇਸ 'ਤੇ ਇੱਕ ਨਜ਼ਰ ਨਾਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨਾ, ਪੈਰਾਮੀਟਰਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਵਕਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਆਇਤਾਕਾਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰਨਾ, ਅਤੇ ਆਇਤਾਕਾਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਵਕਰਾਂ ਲਈ ਪੈਰਾਮੀਟਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ ਸਿੱਖਾਂਗੇ।
ਇੱਕ ਵਕਰ ਨੂੰ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ ਕਰਨਾ
ਜਦੋਂ ਕੋਈ ਵਸਤੂ ਕਿਸੇ ਵਕਰ—ਜਾਂ ਵਕਰ ਰੇਖਾਈ ਮਾਰਗ—ਦੇ ਨਾਲ ਇੱਕ ਦਿੱਤੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਅਤੇ ਦਿੱਤੇ ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ ਚਲਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਤਲ ਵਿੱਚ ਵਸਤੂ ਦੀ ਸਥਿਤੀ x-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਅਤੇ y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, x ਅਤੇ y ਦੋਵੇਂ ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਬਦਲਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਸਮੇਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ। ਇਸ ਕਾਰਨ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਹੋਰ ਵੇਰੀਏਬਲ, ਪੈਰਾਮੀਟਰ, ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸ 'ਤੇ x ਅਤੇ y ਦੋਵੇਂ ਨਿਰਭਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ। ਸੈਕਸ਼ਨ ਓਪਨਰ ਵਿੱਚ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਸਮਾਂ, t ਹੈ। ਸਮੇਂ t 'ਤੇ ਚੰਦਰਮਾ ਦੀ x ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਫੰਕਸ਼ਨ x(t) ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਤੇ ਸਮੇਂ t 'ਤੇ ਚੰਦਰਮਾ ਦੀ y ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਫੰਕਸ਼ਨ y(t) ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਕੱਠੇ, x(t) ਅਤੇ y(t) ਨੂੰ ਪੈਰਾਮੀਟਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਆਰਡਰਡ ਜੋੜਾ (x(t), y(t)) ਤਿਆਰ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਪੈਰਾਮੀਟਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਮੁੱਖ ਤੌਰ 'ਤੇ ਗਤੀ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ।
ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਵਕਰ ਨੂੰ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਸਮੀਕਰਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ x ਅਤੇ y, ਨੂੰ ਤਿੰਨ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ, x, y, ਅਤੇ t ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਰਾਬਰ ਜੋੜੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰ ਰਹੇ ਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਵਕਰ ਨੂੰ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ ਕਰਨ ਦੇ ਕਾਰਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਇਹ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਪੈਰਾਮੀਟਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਵਧੇਰੇ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦਿੰਦੀਆਂ ਹਨ: ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਵਸਤੂ ਦੀ ਗਤੀ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ।
ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਪੈਰਾਮੀਟਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ x ਅਤੇ y ਦੇ ਵਿਅਕਤੀਗਤ ਵਿਵਹਾਰਾਂ ਦਾ ਨਿਰੀਖਣ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਕਈ ਆਕਾਰ ਹਨ ਜੋ y=f(x) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਦਰਸਾਏ ਜਾ ਸਕਦੇ, ਜਿਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਉਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ, ਜੋ ਕਿ r^2 = x^2 + y^2 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ 'ਤੇ y=±√(r^2 − x^2) ਮਿਲਦਾ ਹੈ, ਜਾਂ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨ: y1 = √(r^2 − x^2) ਅਤੇ y2 = −√(r^2 − x^2)। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ y1 ਅਤੇ y2 ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ ਵਰਟੀਕਲ ਲਾਈਨ ਟੈਸਟ ਪਾਸ ਨਹੀਂ ਕਰੇਗਾ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 2 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਹਾਲਾਂਕਿ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਆਪਣੇ ਆਪ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਹਰੇਕ ਇੱਕ ਵਰਟੀਕਲ ਲਾਈਨ ਟੈਸਟ ਪਾਸ ਕਰੇਗਾ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਏਗਾ। ਕੁਝ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਤੋੜਨ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਪੈਰਾਮੀਟਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਗੈਰ-ਫੰਕਸ਼ਨ ਪੈਦਾ ਕਰਨ ਲਈ ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਅੱਗੇ ਵਧਾਂਗੇ, ਹੋਰ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੋ ਜਾਵੇਗਾ।
ਪੈਰਾਮੀਟਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ
ਮੰਨ ਲਓ t ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ, I, 'ਤੇ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ। ਆਰਡਰਡ ਜੋੜਿਆਂ ਦਾ ਸਮੂਹ, (x(t), y(t)), ਜਿੱਥੇ x=f(t) ਅਤੇ y=g(t), ਪੈਰਾਮੀਟਰ t 'ਤੇ ਆਧਾਰਿਤ ਇੱਕ ਤਲ ਵਕਰ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਸਮੀਕਰਨ x=f(t) ਅਤੇ y=g(t) ਪੈਰਾਮੀਟਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਇੱਕ ਵਕਰ ਨੂੰ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ ਕਰਨਾ
ਵਕਰ y=x^2−1 ਨੂੰ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ ਕਰੋ, ਇਹ ਮੰਨ ਕੇ ਕਿ x(t)=t। ਦੋਵੇਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਜੇਕਰ x(t)=t, ਤਾਂ y(t) ਲੱਭਣ ਲਈ ਅਸੀਂ ਵੇਰੀਏਬਲ x ਨੂੰ x(t) ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਐਕਸਪ੍ਰੈਸ਼ਨ ਨਾਲ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, y(t)=t^2−1। ਟੇਬਲ 1 ਦੇ ਸਮਾਨ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਟੇਬਲ ਬਣਾਓ, ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਸਕੈਚ ਕਰੋ।
ਰੋ: t | x(t) | y(t)
ਰੋ: −4 | −4 | y(−4) = (−4)^2 − 1 = 15
1. ਕਤਾਰ: −3 −3 | −3 −3 | y( −3 )= ( −3 ) 2 −1=8 y( −3 )= ( −3 ) 2 −1=8
ਸਤਿ: −2 −2 | −2 −2 | y( −2 )= ( −2 ) 2 −1=3 y( −2 )= ( −2 ) 2 −1=3
1. ਸਤਰ: −1 −1 | −1 −1 | y( −1 )= ( −1 ) 2 −1=0 y( −1 )= ( −1 ) 2 −1=0
1. ਪੰਕਤੀ: 0 0 | 0 0 | y( 0 )= ( 0 ) 2 −1=−1 y( 0 )= ( 0 ) 2 −1=−1
1. ਕਤਾਰ: ੧ ੧ | ੧ ੧ | y( ੧ )= ( ੧ ) ² −੧=੦ y( ੧ )= ( ੧ ) ² −੧=੦
1. ਕਤਾਰ: 2 2 | 2 2 | y( 2 )= ( 2 ) 2 −1=3 y( 2 )= ( 2 ) 2 −1=3
1. ਕਤਾਰ: 3 3 | 3 3 | y( 3 )= ( 3 ) 2 −1=8 y( 3 )= ( 3 ) 2 −1=8
1. ਕਤਾਰ: 4 4 | 4 4 | y( 4 )= ( 4 ) 2 −1=15 y( 4 )= ( 4 ) 2 −1=15
ਚਿੱਤਰ 3 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇਖੋ। ਇਹ ਦੇਖਣ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ TRACE ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ t ਵਧਦਾ ਹੈ, ਬਿੰਦੂ ਕਿਵੇਂ ਤਿਆਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
1. ਚਿੱਤਰ 3: (ੳ) ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ y( t )= t 2 −1 (ਅ) ਆਇਤਾਕਾਰ y= x 2 −1
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
1. ਤੀਰ ਉਸ ਦਿਸ਼ਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਵਕਰ ਪੈਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਵਕਰ y = x² - 1 ਦੇ ਵਕਰ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ। y = x² - 1।
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #1
1. ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਸਾਰਣੀ ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਪੈਰਾਮੀਟਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ: x( t )=t−3, y( t )=2t+4;−1≤t≤2।
2. Example 2
ਪੈਰਾਮੈਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਲੱਭਣਾ
1. y = 1 - x^2 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਜੋੜਾ ਲੱਭੋ, ਜਿੱਥੇ ਪੈਰਾਮੀਟਰ x(t) = t ਹੈ। ਕੁਝ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਓ।
1. ਨਿਬੇੜਾ
ਜੇਕਰ x(t)=t ਅਤੇ ਅਸੀਂ y y ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ x x ਲਈ t t ਨੂੰ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ y(t)=1−t^2 ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸਾਡੇ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਹੈ:
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ ਲਈ, ਪਹਿਲਾਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਸਾਰਣੀ 2 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਗਈ ਹੈ। ਅਸੀਂ t=0 ਦੇ ਆਸਪਾਸ ਮੁੱਲ ਚੁਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, t=−3 ਤੋਂ t=3 ਤੱਕ। x(t) ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ ਮੁੱਲ t ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ ਮੁੱਲਾਂ ਵਾਂਗ ਹੀ ਹੋਣਗੇ ਕਿਉਂਕਿ x(t)=t। y(t) ਕਾਲਮ ਲਈ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
1. ਕਤਾਰ: ਟੀ ਟੀ | ਐਕਸ(ਟੀ)=ਟੀ ਐਕਸ(ਟੀ)=ਟੀ | ਵਾਈ(ਟੀ)=1− ਟੀ 2 ਵਾਈ(ਟੀ)=1− ਟੀ 2
1. ਕਤਾਰ: −3 −3 | −3 −3 | y( −3 )=1− ( −3 ) 2 =−8 y( −3 )=1− ( −3 ) 2 =−8
1. ਕਤਾਰ: −2 −2 | −2 −2 | y( −2 )=1− ( −2 ) 2 =−3 y( −2 )=1− ( −2 ) 2 =−3
1. ਕਤਾਰ: −1 −1 | −1 −1 | y( −1 )=1− ( −1 ) 2 =0 y( −1 )=1− ( −1 ) 2 =0
row: 0 0 | 0 0 | y(0)=1−0=1 y(0)=1−0=1
row: 1 1 | 1 1 | y(1)=1− (1) 2 =0 y(1)=1− (1) 2 =0
row: 2 2 | 2 2 | y(2)=1− (2) 2 =−3 y(2)=1− (2) 2 =−3
row: 3 3 | 3 3 | y(3)=1− (3) 2 =−8 y(3)=1− (3) 2 =−8
The graph of y=1− t 2 y=1− t 2 is a parabola facing downward, as shown in Figure 4. We have mapped the curve over the interval [−3,3], [−3,3], shown as a solid line with arrows indicating the orientation of the curve according to t. t. Orientation refers to the path traced along the curve in terms of increasing values of t. t. As this parabola is symmetric with respect to the line x=0, x=0, the values of x x are reflected across the y-axis.
Try It #2
Parameterize the curve given by x= y 3 −2y. x= y 3 −2y.
Example 3
Finding Parametric Equations That Model Given Criteria
An object travels at a steady rate along a straight path (−5,3) (−5,3) to (3,−1) (3,−1) in the same plane in four seconds. The coordinates are measured in meters. Find parametric equations for the position of the object.
Solution
The parametric equations are simple linear expressions, but we need to view this problem in a step-by-step fashion. The x-value of the object starts at −5 −5 meters and goes to 3 meters. This means the distance x has changed by 8 meters in 4 seconds, which is a rate of 8 m 4 s , 8 m 4 s , or 2m/s. 2m/s. We can write the x-coordinate as a linear function with respect to time as x(t)=2t−5. x(t)=2t−5. In the linear function template y=mx+b,2t=mx y=mx+b,2t=mx and −5=b. −5=b.
Similarly, the y-value of the object starts at 3 and goes to −1, −1, which is a change in the distance y of −4 meters in 4 seconds, which is a rate of −4 m 4 s , −4 m 4 s , or −1m/s. −1m/s. We can also write the y-coordinate as the linear function y(t)=−t+3. y(t)=−t+3. Together, these are the parametric equations for the position of the object, where x x and y y are expressed in meters and t t represents time:
Using these equations, we can build a table of values for t,x, t,x, and y y (see Table 3). In this example, we limited values of t t to non-negative numbers. In general, any value of t t can be used.
row: t t | x(t)=2t−5 x(t)=2t−5 | y(t)=−t+3 y(t)=−t+3
row: 0 0 | x=2(0)−5=−5 x=2(0)−5=−5 | y=−(0)+3=3 y=−(0)+3=3
row: 1 1 | x=2(1)−5=−3 x=2(1)−5=−3 | y=−(1)+3=2 y=−(1)+3=2
row: 2 2 | x=2(2)−5=−1 x=2(2)−5=−1 | y=−(2)+3=1 y=−(2)+3=1
row: 3 3 | x=2(3)−5=1 x=2(3)−5=1 | y=−(3)+3=0 y=−(3)+3=0
row: 4 4 | x=2(4)−5=3 x=2(4)−5=3 | y=−(4)+3=−1 y=−(4)+3=−1
From this table, we can create three graphs, as shown in Figure 5.
Figure 5: (a) A graph of x x vs. t, t, representing the horizontal position over time. (b) A graph of y y vs. t, t, representing the vertical position over time. (c) A graph of y y vs. x, x, representing the position of the object in the plane at time t. t.
Analysis
Again, we see that, in Figure 5(c), when the parameter represents time, we can indicate the movement of the object along the path with arrows.
Eliminating the Parameter
In many cases, we may have a pair of parametric equations but find that it is simpler to draw a curve if the equation involves only two variables, such as x x and y. y. Eliminating the parameter is a method that may make graphing some curves easier. However, if we are concerned with the mapping of the equation according to time, then it will be necessary to indicate the orientation of the curve as well. There are various methods for eliminating the parameter t t from a set of parametric equations; not every method works for every type of equation. Here we will review the methods for the most common types of equations.
Eliminating the Parameter from Polynomial, Exponential, and Logarithmic Equations
For polynomial, exponential, or logarithmic equations expressed as two parametric equations, we choose the equation that is most easily manipulated and solve for t. t. We substitute the resulting expression for t t into the second equation. This gives one equation in x x and y. y.
Example 4
Eliminating the Parameter in Polynomials
Given x(t)= t 2 +1 x(t)= t 2 +1 and y(t)=2+t, y(t)=2+t, eliminate the parameter, and write the parametric equations as a Cartesian equation.
Solution
We will begin with the equation for y y because the linear equation is easier to solve for t. t.
Next, substitute y−2 y−2 for t t in x(t). x(t).
The Cartesian form is x= y 2 −4y+5. x= y 2 −4y+5.
Analysis
This is an equation for a parabola in which, in rectangular terms, x x is dependent on y. y. From the curve’s vertex at ( 1,2 ), ( 1,2 ), the graph sweeps out to the right. See Figure 6. In this section, we consider sets of equations given by the functions x( t ) x( t ) and y( t ), y( t ), where t t is the independent variable of time. Notice, both x x and y y are functions of time; so in general y y is not a function of x. x.
Try It #3
Given the equations below, eliminate the parameter and write as a rectangular equation for y y as a function of x. x.
Example 5
Eliminating the Parameter in Exponential Equations
Eliminate the parameter and write as a Cartesian equation: x(t)= e −t x(t)= e −t and y(t)=3 e t y(t)=3 e t
Solution
Isolate e t . e t .
Substitute the expression into y(t). y(t).
The Cartesian form is y= 3 x . y= 3 x .
Analysis
The graph of the parametric equation is shown in Figure 7(a). The domain is restricted to t>0. t>0. The Cartesian equation, y= 3 x y= 3 x is shown in Figure 7(b) and has only one restriction on the domain, x≠0. x≠0.
Example 6
Eliminating the Parameter in Logarithmic Equations
Eliminate the parameter and write as a Cartesian equation: x(t)= t +2 x(t)= t +2 and y(t)=log(t). y(t)=log(t).
Solution
Solve the first equation for t. t.
Then, substitute the expression for t t into the y y equation.
The Cartesian form is y=log ( x−2 ) 2 . y=log ( x−2 ) 2 .
Analysis
To be sure that the parametric equations are equivalent to the Cartesian equation, check the domains. The parametric equations restrict the domain on x= t +2 x= t +2 to t>0; t>0; we restrict the domain on x x to x>2. x>2. The domain for the parametric equation y=log(t) y=log(t) is restricted to t>0; t>0; we limit the domain on y=log ( x−2 ) 2 y=log ( x−2 ) 2 to x>2. x>2.
Try It #4
Eliminate the parameter and write as a rectangular equation.
Eliminating the Parameter from Trigonometric Equations
Eliminating the parameter from trigonometric equations is a straightforward substitution. We can use a few of the familiar trigonometric identities and the Pythagorean Theorem.
First, we use the identities:
Solving for cost cost and sint, sint, we have
Then, use the Pythagorean Theorem:
Substituting gives
Example 7
Eliminating the Parameter from a Pair of Trigonometric Parametric Equations
Eliminate the parameter from the given pair of trigonometric equations where 0≤t≤2π 0≤t≤2π and sketch the graph.
Solution
Solving for cost cost and sint, sint, we have
Next, use the Pythagorean identity and make the substitutions.
The graph for the equation is shown in Figure 8.
Analysis
Applying the general equations for conic sections (introduced in Analytic Geometry, we can identify x 2 16 + y 2 9 =1 x 2 16 + y 2 9 =1 as an ellipse centered at ( 0,0 ). ( 0,0 ). Notice that when t=0 t=0 the coordinates are ( 4,0 ), ( 4,0 ), and when t= π 2 t= π 2 the coordinates are ( 0,3 ). ( 0,3 ). This shows the orientation of the curve with increasing values of t. t.
Try It #5
Eliminate the parameter from the given pair of parametric equations and write as a Cartesian equation: x(t)=2cost x(t)=2cost and y(t)=3sint. y(t)=3sint.
Finding Cartesian Equations from Curves Defined Parametrically
When we are given a set of parametric equations and need to find an equivalent Cartesian equation, we are essentially “eliminating the parameter.” However, there are various methods we can use to rewrite a set of parametric equations as a Cartesian equation. The simplest method is to set one equation equal to the parameter, such as x( t )=t. x( t )=t. In this case, y( t ) y( t ) can be any expression. For example, consider the following pair of equations.
Rewriting this set of parametric equations is a matter of substituting x x for t. t. Thus, the Cartesian equation is y= x 2 −3. y= x 2 −3.
Example 8
Finding a Cartesian Equation Using Alternate Methods
Use two different methods to find the Cartesian equation equivalent to the given set of parametric equations.
Solution
Method 1. First, let’s solve the x x equation for t. t. Then we can substitute the result into the y y equation.
Now substitute the expression for t t into the y y equation.
Method 2. Solve the y y equation for t t and substitute this expression in the x x equation.
Make the substitution and then solve for y. y.
Try It #6
Write the given parametric equations as a Cartesian equation: x(t)= t 3 x(t)= t 3 and y(t)= t 6 . y(t)= t 6 .
Finding Parametric Equations for Curves Defined by Rectangular Equations
Although we have just shown that there is only one way to interpret a set of parametric equations as a rectangular equation, there are multiple ways to interpret a rectangular equation as a set of parametric equations. Any strategy we may use to find the parametric equations is valid if it produces equivalency. In other words, if we choose an expression to represent x, x, and then substitute it into the y y equation, and it produces the same graph over the same domain as the rectangular equation, then the set of parametric equations is valid. If the domain becomes restricted in the set of parametric equations, and the function does not allow the same values for x x as the domain of the rectangular equation, then the graphs will be different.
Example 9
Finding a Set of Parametric Equations for Curves Defined by Rectangular Equations
Find a set of equivalent parametric equations for y= ( x+3 ) 2 +1. y= ( x+3 ) 2 +1.
Solution
An obvious choice would be to let x( t )=t. x( t )=t. Then y( t )= ( t+3 ) 2 +1. y( t )= ( t+3 ) 2 +1. But let’s try something more interesting. What if we let x=t+3? x=t+3? Then we have
The set of parametric equations is
See Figure 9.
Media
Access these online resources for additional instruction and practice with parametric equations.
Introduction to Parametric Equations
Converting Parametric Equations to Rectangular Form
Verbal
What is a system of parametric equations?
Some examples of a third parameter are time, length, speed, and scale. Explain when time is used as a parameter.
Explain how to eliminate a parameter given a set of parametric equations.
What is a benefit of writing a system of parametric equations as a Cartesian equation?
What is a benefit of using parametric equations?
Why are there many sets of parametric equations to represent on Cartesian function?
Algebraic
For the following exercises, eliminate the parameter t t to rewrite the parametric equation as a Cartesian equation.
{ x( t )=5−t y( t )=8−2t { x( t )=5−t y( t )=8−2t
{ x( t )=6−3t y( t )=10−t { x( t )=6−3t y( t )=10−t
{ x( t )=2t+1 y( t )=3 t { x( t )=2t+1 y( t )=3 t
{ x( t )=3t−1 y( t )=2 t 2 { x( t )=3t−1 y( t )=2 t 2
{ x( t )=2 e t y( t )=1−5t { x( t )=2 e t y( t )=1−5t
{ x( t )= e −2t y( t )=2 e −t { x( t )= e −2t y( t )=2 e −t
{ x(t)=4log(t) y(t)=3+2t { x(t)=4log(t) y(t)=3+2t
{ x(t)=log(2t) y(t)= t−1 { x(t)=log(2t) y(t)= t−1
{ x( t )= t 3 −t y( t )=2t { x( t )= t 3 −t y( t )=2t
{ x( t )=t− t 4 y( t )=t+2 { x( t )=t− t 4 y( t )=t+2
{ x( t )= e 2t y( t )= e 6t { x( t )= e 2t y( t )= e 6t
{ x( t )= t 5 y( t )= t 10 { x( t )= t 5 y( t )= t 10
{ x(t)=4cost y(t)=5sint { x(t)=4cost y(t)=5sint
{ x( t )=3sint y( t )=6cost { x( t )=3sint y( t )=6cost
{ x(t)=2 cos 2 t y(t)=−sint { x(t)=2 cos 2 t y(t)=−sint
{ x(t)=cost+4 y(t)=2 sin 2 t { x(t)=cost+4 y(t)=2 sin 2 t
{ x(t)=t−1 y(t)= t 2 { x(t)=t−1 y(t)= t 2
{ x(t)=−t y(t)= t 3 +1 { x(t)=−t y(t)= t 3 +1
{ x(t)=2t−1 y(t)= t 3 −2 { x(t)=2t−1 y(t)= t 3 −2
For the following exercises, rewrite the parametric equation as a Cartesian equation by building an x-y x-y table.
{ x(t)=2t−1 y(t)=t+4 { x(t)=2t−1 y(t)=t+4
{ x(t)=4−t y(t)=3t+2 { x(t)=4−t y(t)=3t+2
{ x(t)=2t−1 y(t)=5t { x(t)=2t−1 y(t)=5t
{ x(t)=4t−1 y(t)=4t+2 { x(t)=4t−1 y(t)=4t+2
For the following exercises, parameterize (write parametric equations for) each Cartesian equation by setting x( t )=t x( t )=t or by setting y(t)=t. y(t)=t.
y( x )=3 x 2 +3 y( x )=3 x 2 +3
y( x )=2sinx+1 y( x )=2sinx+1
x( y )=3log( y )+y x( y )=3log( y )+y
x( y )= y +2y x( y )= y +2y
For the following exercises, parameterize (write parametric equations for) each Cartesian equation by using x( t )=acost x( t )=acost and y(t)=bsint. y(t)=bsint. Identify the curve.
x 2 4 + y 2 9 =1 x 2 4 + y 2 9 =1
x 2 16 + y 2 36 =1 x 2 16 + y 2 36 =1
x 2 + y 2 =16 x 2 + y 2 =16
x 2 + y 2 =10 x 2 + y 2 =10
Parameterize the line from (3,0) (3,0) to (−2,−5) (−2,−5) so that the line is at (3,0) (3,0) at t=0, t=0, and at (−2,−5) (−2,−5) at t=1. t=1.
Parameterize the line from (−1,0) (−1,0) to (3,−2) (3,−2) so that the line is at (−1,0) (−1,0) at t=0, t=0, and at (3,−2) (3,−2) at t=1. t=1.
Parameterize the line from (−1,5) (−1,5) to (2,3) (2,3) so that the line is at (−1,5) (−1,5) at t=0, t=0, and at (2,3) (2,3) at t=1. t=1.
Parameterize the line from (4,1) (4,1) to (6,−2) (6,−2) so that the line is at (4,1) (4,1) at t=0, t=0, and at (6,−2) (6,−2) at t=1. t=1.
Technology
For the following exercises, use the table feature in the graphing calculator to determine whether the graphs intersect.
{ x 1 (t)=3t y 1 (t)=2t−1 and { x 2 (t)=t+3 y 2 (t)=4t−4 { x 1 (t)=3t y 1 (t)=2t−1 and { x 2 (t)=t+3 y 2 (t)=4t−4
{ x 1 (t)= t 2 y 1 (t)=2t−1 and { x 2 (t)=−t+6 y 2 (t)=t+1 { x 1 (t)= t 2 y 1 (t)=2t−1 and { x 2 (t)=−t+6 y 2 (t)=t+1
For the following exercises, use a graphing calculator to complete the table of values for each set of parametric equations.
{ x 1 ( t )=3 t 2 −3t+7 y 1 ( t )=2t+3 { x 1 ( t )=3 t 2 −3t+7 y 1 ( t )=2t+3
row: t t | x x | y y
row: –1
row: 0
row: 1
{ x 1 ( t )= t 2 −4 y 1 ( t )=2 t 2 −1 { x 1 ( t )= t 2 −4 y 1 ( t )=2 t 2 −1
row: t t | x x | y y
row: 1
row: 2
row: 3
{ x 1 ( t )= t 4 y 1 ( t )= t 3 +4 { x 1 ( t )= t 4 y 1 ( t )= t 3 +4
row: t t | x x | y y
row: -1
row: 0
row: 1
row: 2
Extensions
Find two different sets of parametric equations for y= ( x+1 ) 2 . y= ( x+1 ) 2 .
Find two different sets of parametric equations for y=3x−2. y=3x−2.
Find two different sets of parametric equations for y= x 2 −4x+4. y= x 2 −4x+4.