ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਸੰਕਲਪੀ ਤਲ ਉੱਤੇ ਸੰਕਲਪੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ।
ਸੰਕਲਪੀ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਸੰਕਲਪੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
ਸੰਕਲਪੀ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਤੋਂ ਆਇਤਾਕਾਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸੰਕਲਪੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸੰਕਲਪੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸੰਕਲਪੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸੰਕਲਪੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਮੂਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
“ਪਰਮੇਸ਼ੁਰ ਨੇ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਬਣਾਏ; ਬਾਕੀ ਸਭ ਮਨੁੱਖ ਦਾ ਕੰਮ ਹੈ।” ਉਨ੍ਹੀਵੀਂ ਸਦੀ ਦੇ ਜਰਮਨ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਲਿਓਪੋਲਡ ਕ੍ਰੋਨੇਕਰ ਦਾ ਇਹ ਕਾਫ਼ੀ ਪ੍ਰਸਿੱਧ ਕਥਨ ਸੰਕਲਪੀ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਬਾਰੇ ਇਸ ਭਾਗ ਦੀ ਪੇਸ਼ਕਾਰੀ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਸੰਕਲਪੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਆਵਿਸ਼ਕਾਰ ਮਨੁੱਖਾਂ ਦੁਆਰਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ ਅਤੇ ਇਹ ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ, ਡੇਕਾਰਟੇਸ, ਡੀ ਮੋਇਵਰੇ, ਯੂਲਰ, ਗੌਸ, ਅਤੇ ਹੋਰ ਵਰਗੇ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀਆਂ ਦੁਆਰਾ ਹਜ਼ਾਰ ਸਾਲ ਤੋਂ ਵੱਧ ਨਿਰੰਤਰ ਜਾਂਚ ਅਤੇ ਸੰਘਰਸ਼ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਸੰਕਲਪੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਪ੍ਰਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਉੱਤਰ ਦਿੱਤੇ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੇ ਸਦੀਆਂ ਤੋਂ ਵਿਗਿਆਨ ਦੇ ਮਹਾਨ ਮਨਾਂ ਨੂੰ ਹੈਰਾਨ ਕੀਤਾ ਹੋਇਆ ਸੀ।
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਸੰਕਲਪੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਸੰਕਲਪੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਸਾਹਮਣਾ ਕੀਤਾ ਸੀ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸੰਕਲਪੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਨ ਦੀਆਂ ਵਿਧੀਆਂ 'ਤੇ ਧਿਆਨ ਕੇਂਦਰਿਤ ਕਰਾਂਗੇ: ਸੰਕਲਪੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਤੋਂ ਆਇਤਾਕਾਰ ਰੂਪ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਉਲਟ ਅਨੁਵਾਦ, ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਯੋਜਨਾ ਵਿੱਚ ਸੰਕਲਪੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ, ਅਤੇ ਡੀ ਮੋਇਵਰੇ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਅਰਜ਼ੀ।
ਸੰਕਲਪੀ ਤਲ ਉੱਤੇ ਸੰਕਲਪੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਨਾ
ਸੰਕਲਪੀ ਤਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸੰਕਲਪੀ ਸੰਖਿਆ a+bi ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਨਾ, ਇੱਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਨ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ, ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕਿ ਖਿਤਿਜੀ ਧੁਰਾ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਅਸਲ ਹਿੱਸੇ, a, ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਧੁਰਾ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਕਾਲਪਨਿਕ ਹਿੱਸੇ, bi, ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਇੱਕ ਸੰਕਲਪੀ ਸੰਖਿਆ a+bi ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਇਸਨੂੰ ਸੰਕਲਪੀ ਤਲ ਵਿੱਚ ਪਲਾਟ ਕਰੋ।
ਖਿਤਿਜੀ ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਅਸਲ ਧੁਰੇ ਵਜੋਂ ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਕਾਲਪਨਿਕ ਧੁਰੇ ਵਜੋਂ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
ਖਿਤਿਜੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ a ਇਕਾਈਆਂ ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ b ਇਕਾਈਆਂ ਚਲ ਕੇ ਸੰਕਲਪੀ ਤਲ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਸੰਕਲਪੀ ਤਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸੰਕਲਪੀ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਨਾ
ਸੰਕਲਪੀ ਸੰਖਿਆ 2−3i ਨੂੰ ਸੰਕਲਪੀ ਤਲ ਵਿੱਚ ਪਲਾਟ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ, ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਖਿਤਿਜੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਦੋ ਇਕਾਈਆਂ ਅਤੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਇਕਾਈਆਂ ਚਲੋ। ਚਿੱਤਰ 1 ਦੇਖੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
1+5i 1+5i ਨੂੰ ਸੰਕ੍ਰਿਤ ਤਲ ਉੱਤੇ ਦਰਸਾਓ।
ਸੰਕ੍ਰਿਤ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
ਧਰੁਵੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸੰਕ੍ਰਿਤ ਸੰਖਿਆ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਨ ਵੱਲ ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ ਇਸਦਾ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਸੰਕ੍ਰਿਤ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਇਸਦੇ ਮਾਪ, ਜਾਂ | z |. | z |. ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਤਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਤੱਕ ਮੂਲ ਤੋਂ ਦੂਰੀ ਨੂੰ ਮਾਪਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਚਿੱਤਰ 2 ਵਿੱਚ z=2+4i, z=2+4i ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ, | z |. | z |. ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਸੰਕ੍ਰਿਤ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ z=x+yi, z=x+yi, ਇੱਕ ਸੰਕ੍ਰਿਤ ਸੰਖਿਆ, z z ਦਾ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:
ਇਹ ਬਿੰਦੂ ( x,y ). ( x,y ). ਤੱਕ ਮੂਲ ਤੋਂ ਦੂਰੀ ਹੈ।
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ 0 ਤੋਂ ਸੰਖਿਆ ਦੀ ਦੂਰੀ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਇੱਕ ਸੰਕ੍ਰਿਤ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਮੂਲ, ( 0,0 ). ( 0,0 ). ਤੋਂ ਸੰਖਿਆ ਦੀ ਦੂਰੀ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 2
ਕਰਨੀ ਵਾਲੀ ਸੰਕ੍ਰਿਤ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
z= 5 −i. z= 5 −i. ਦਾ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਚਿੱਤਰ 3 ਦੇਖੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
ਸੰਕ੍ਰਿਤ ਸੰਖਿਆ z=12−5i. z=12−5i. ਦਾ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਸੰਕ੍ਰਿਤ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ z=3−4i, z=3−4i, | z |. | z |. ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ z z 5 ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 4 ਦੇਖੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
ਦਿੱਤੇ ਗਏ z=1−7i, z=1−7i, | z |. | z |. ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਸੰਕ੍ਰਿਤ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਧਰੁਵੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣਾ
ਜਟਿਲ ਅੰਕ ਦਾ ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਇੱਕ ਅੰਕ ਨੂੰ ਕੋਣ θ ਅਤੇ ਮੂਲ ਤੋਂ ਦੂਰੀ r ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਜਟਿਲ ਅੰਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ z=x+yi ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਉਸੇ ਪਰਿਵਰਤਨ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅੰਕ ਨੂੰ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣ ਲਈ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਸਬੰਧਾਂ ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਚਿੱਤਰ 5 ਵਿੱਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਅਸੀਂ ਜਟਿਲ ਅੰਕ ਦੇ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ, ਜਾਂ ਬਿੰਦੂ (x,y) ਤੋਂ ਮੂਲ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਮੋਡਿਊਲਸ ਸ਼ਬਦ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਮੋਡਿਊਲਸ, ਫਿਰ, ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਰੇਡੀਅਸ, r, ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਦਿਸ਼ਾ ਦੇ ਕੋਣ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ θ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ (ਜਿਵੇਂ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਨਾਲ)। ਪ੍ਰਤਿਥਾਪਨ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਜਟਿਲ ਅੰਕ ਦਾ ਪੋਲਰ ਰੂਪ
ਜਟਿਲ ਅੰਕ ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣ ਵਿੱਚ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਪਰਿਵਰਤਨ ਫਾਰਮੂਲੇ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ:
ਸਿੱਧਾ ਪ੍ਰਤਿਥਾਪਨ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਜਿੱਥੇ r ਮੋਡਿਊਲਸ ਹੈ ਅਤੇ θ ਆਰਗੂਮੈਂਟ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਅਕਸਰ r(cosθ+isinθ) ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਸੰਖੇਪ rcisθ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਜਟਿਲ ਅੰਕ ਨੂੰ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨਾ
ਜਟਿਲ ਅੰਕ 4i ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਜਟਿਲ ਤਲ 'ਤੇ, ਅੰਕ z=4i, z=0+4i ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ r ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨੀ ਪਵੇਗੀ।
ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ x ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ। ਜੇਕਰ x=rcosθ, ਅਤੇ x=0, ਤਾਂ θ=π/2। ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ, ਜਟਿਲ ਅੰਕ z=0+4i ਨੂੰ z=4(cos(π/2)+isin(π/2)) ਜਾਂ 4cis(π/2) ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 6 ਦੇਖੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
z=3i ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ rcisθ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਜਟਿਲ ਅੰਕ ਦਾ ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਲੱਭਣਾ
-4+4i ਦਾ ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, r ਦਾ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ।
ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਰਤ ਕੇ ਕੋਣ θ ਲੱਭੋ:
ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਹੱਲ 4√2 cis(3π/4) ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5
z=√3+i ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
ਧਰੁਵੀ ਰੂਪ ਤੋਂ ਆਇਤਾਕਾਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਰੂਪਾਂਤਰਨ
ਧਰੁਵੀ ਰੂਪ ਤੋਂ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਆਇਤਾਕਾਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਰੂਪਾਂਤਰਨ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਅਤੇ ਵੰਡਣਯੋਗਤਾ ਦੇ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦਾ ਮਾਮਲਾ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਜੇਕਰ z=r( cosθ+isinθ ) ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ ਪਹਿਲਾਂ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ cosθ ਅਤੇ sinθ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ। ਫਿਰ, r ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 6
ਧਰੁਵੀ ਰੂਪ ਤੋਂ ਆਇਤਾਕਾਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਰੂਪਾਂਤਰਨ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਧਰੁਵੀ ਰੂਪ ਨੂੰ ਆਇਤਾਕਾਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ:
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਬਦਲਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਹੈ
ਅਸੀਂ ਵੰਡਣਯੋਗਤਾ ਦੇ ਗੁਣ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਜਟਿਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਿੰਦੂ ਦਾ ਆਇਤਾਕਾਰ ਰੂਪ 6√3 +6i ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 7
ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਆਇਤਾਕਾਰ ਰੂਪ ਲੱਭਣਾ
ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਆਇਤਾਕਾਰ ਰੂਪ ਲੱਭੋ ਜਿਸ ਲਈ r=13 ਅਤੇ tanθ= 5/12 ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸੰਖਿਆ ਪਹਿਲੇ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਹੈ।
ਹੱਲ
ਜੇਕਰ tanθ= 5/12 ਹੈ, ਅਤੇ tanθ= y/x ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ r=√(x²+y²) = √(12²+5²) = √169 = 13 ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ cosθ= x/r ਅਤੇ sinθ= y/r ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ।
ਜਟਿਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਆਇਤਾਕਾਰ ਰੂਪ 12+5i ਹੈ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ #6
ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਆਇਤਾਕਾਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ:
ਧਰੁਵੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਧਰੁਵੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਧਰੁਵੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ 'ਤੇ ਕਾਰਜ ਕਰਨਾ ਸਿੱਖਾਂਗੇ। ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਬਾਕੀ ਹਿੱਸੇ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਫ੍ਰੈਂਚ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਅਬ੍ਰਾਹਮ ਡੀ ਮੋਇਵਰੇ (1667-1754) ਦੁਆਰਾ ਵਿਕਸਿਤ ਕੀਤੇ ਗਏ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਾਂਗੇ। ਇਹ ਫਾਰਮੂਲੇ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ, ਭਾਗਾਂ, ਘਾਤਾਂ ਅਤੇ ਜੜ੍ਹਾਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਨਾ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਦਿਖਣ ਨਾਲੋਂ ਬਹੁਤ ਸੌਖਾ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਨਿਯਮ ਮਾਪਦੰਡਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਅਤੇ ਕੋਣਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ 'ਤੇ ਅਧਾਰਤ ਹਨ।
ਧਰੁਵੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਗੁਣ
ਜੇਕਰ z₁ = r₁(cos θ₁ + i sin θ₁) ਅਤੇ z₂ = r₂(cos θ₂ + i sin θ₂) ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹਨਾਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਗੁਣ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਗੁਣ ਵਿੱਚ ਮਾਪਦੰਡਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਅਤੇ ਕੋਣਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 8
ਧਰੁਵੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੋ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ
z 1 z 2 , z 1 z 2 ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ z 1 =4(cos(80°)+isin(80°)) ਅਤੇ z 2 =2(cos(145°)+isin(145°)) ਹੈ।
ਹੱਲ
ਸੂਤਰ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰੋ
ਧਰੁਵੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ
ਧਰੁਵੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੋ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਭਾਗਫਲ, ਦੋ ਮਾਪਦੰਡਾਂ ਦਾ ਭਾਗਫਲ ਅਤੇ ਦੋ ਕੋਣਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਧਰੁਵੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ
ਜੇਕਰ z 1 = r 1 (cos θ 1 +isin θ 1 ) ਅਤੇ z 2 = r 2 (cos θ 2 +isin θ 2 ), ਤਾਂ ਇਹਨਾਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਭਾਗਫਲ ਹੈ
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਮਾਪਦੰਡਾਂ ਨੂੰ ਵੰਡਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਕੋਣਾਂ ਨੂੰ ਘਟਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ
ਧਰੁਵੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੋ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ, ਭਾਗਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
r 1 ਨੂੰ r 2 ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰੋ।
θ 1 − θ 2 ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਨਤੀਜਿਆਂ ਨੂੰ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ: z=r( cosθ+isinθ )। r ਨੂੰ r 1 / r 2 ਨਾਲ ਬਦਲੋ, ਅਤੇ θ ਨੂੰ θ 1 − θ 2 ਨਾਲ ਬਦਲੋ।
ਨਵੇਂ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ ਅਤੇ r ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 9
ਦੋ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ
z 1 =2(cos(213°)+isin(213°)) ਅਤੇ z 2 =4(cos(33°)+isin(33°)) ਦਾ ਭਾਗਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #7
z 1 =2 3 (cos(150°)+isin(150°)) ਅਤੇ z 2 =2(cos(30°)+isin(30°)) ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਅਤੇ ਭਾਗਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਧਰੁਵੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ
ਡਿ ਮੋਇਵਰ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ ਬਹੁਤ ਸਰਲ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ, ਇੱਕ ਧਨ ਪੂਰਨ ਅੰਕ n ਲਈ, z n , ਮਾਪਦੰਡ ਨੂੰ n-ਵੀਂ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾ ਕੇ ਅਤੇ ਕੋਣ ਨੂੰ n ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਪਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਆਧੁਨਿਕ ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ ਵਰਤੀ ਜਾਣ ਵਾਲੀ ਮਿਆਰੀ ਵਿਧੀ ਹੈ।
ਡੀ ਮੋਇਵਰ ਦਾ ਥਿਊਰਮ
ਜੇਕਰ z=r( cosθ+isinθ ) ਇੱਕ ਸੰਕ੍ਰਿਤ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ
ਜਿੱਥੇ n ਇੱਕ ਧਨ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 10
ਡੀ ਮੋਇਵਰ ਦੇ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਵਿਅੰਜਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
ਡੀ ਮੋਇਵਰ ਦੇ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵਿਅੰਜਨ ( 1+i ) 5 ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ ਡੀ ਮੋਇਵਰ ਦਾ ਥਿਊਰਮ ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੀਆਂ ਸੰਕ੍ਰਿਤ ਸੰਖਿਆਵਾਂ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ( 1+i ) ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਆਓ r ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਈਏ।
ਫਿਰ ਅਸੀਂ θ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਈਏ। ਫਾਰਮੂਲਾ tanθ= y x ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਨਾਲ
ਵਿਅੰਜਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਡੀ ਮੋਇਵਰ ਦੇ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸੰਕ੍ਰਿਤ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਮੂਲ ਲੱਭਣਾ
ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸੰਕ੍ਰਿਤ ਸੰਖਿਆ ਦਾ n-ਵਾਂ ਮੂਲ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ n-ਵੇਂ ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ ਜਾਂ ਡੀ ਮੋਇਵਰ ਦੇ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਸੰਕ੍ਰਿਤ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਇੱਕ ਰੈਸ਼ਨਲ ਘਾਤ ਵਾਲੀ ਸ਼ਕਤੀ ਤੱਕ ਵਧਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸੰਕ੍ਰਿਤ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ n-ਵੇਂ ਮੂਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਦਰਸਾਉਣ ਦੇ ਕਈ ਤਰੀਕੇ ਹਨ।
n-ਵਾਂ ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ
ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸੰਕ੍ਰਿਤ ਸੰਖਿਆ ਦਾ n-ਵਾਂ ਮੂਲ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ
ਜਿੱਥੇ k=0,1,2,3,...,n−1। ਅਸੀਂ ਪੀਰੀਅਡਿਕ ਮੂਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ θ n ਵਿੱਚ 2kπ n ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 11
ਇੱਕ ਸੰਕ੍ਰਿਤ ਸੰਖਿਆ ਦਾ n-ਵਾਂ ਮੂਲ ਲੱਭਣਾ
z=8( cos( 2π 3 )+isin( 2π 3 ) ) ਦੇ ਘਣ ਮੂਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਤਿੰਨ ਮੂਲ ਹੋਣਗੇ: k=0,1,2। ਜਦੋਂ k=0, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਜਦੋਂ k=1, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਜਦੋਂ k=2, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿੱਚ ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਸਾਂਝਾ ਹਰ ਲੱਭਣ ਨੂੰ ਯਾਦ ਰੱਖੋ। k=1 ਲਈ, ਕੋਣ ਸਰਲੀਕਰਨ ਹੈ
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #8
2. 16(cos(120°)+isin(120°)) ਦੇ ਚਾਰ ਚੌਥੇ ਮੂਲ ਲੱਭੋ।
3. ਮੀਡੀਆ
4. ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਪੋਲਰ ਰੂਪਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਸਿੱਖਿਆ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
5. ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਅਤੇ ਭਾਗਫਲ
6. ਡੀ ਮੋਇਵਰੇ ਦਾ ਪ੍ਰਮੇਯ
7. ਸ਼ਬਦਿਕ
8. ਇੱਕ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ a+bi ਹੈ। ਹਰੇਕ ਭਾਗ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
9. ਇੱਕ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਕੀ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ?
10. ਇੱਕ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਕਿਵੇਂ ਬਦਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ?
11. ਅਸੀਂ ਦੋ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਕਿਵੇਂ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ?
12. ਡੀ ਮੋਇਵਰੇ ਦਾ ਪ੍ਰਮੇਯ ਕੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਸ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ?
13. ਬੀਜਗਣਿਤਕ
14. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ।
15. 5+3i
16. −7+i
17. −3−3i
18. 2 −6i
19. 2i
20. 2.2−3.1i
21. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
22. 2+2i
23. 8−4i
24. − 1 2 − 1 2 i
3 +i 3 +i
3i 3i
For the following exercises, convert the complex number from polar to rectangular form.
z=7cis( π 6 ) z=7cis( π 6 )
z=2cis( π 3 ) z=2cis( π 3 )
z=4cis( 7π 6 ) z=4cis( 7π 6 )
z=7cis( 25° ) z=7cis( 25° )
z=3cis( 240° ) z=3cis( 240° )
z= 2 cis( 100° ) z= 2 cis( 100° )
For the following exercises, find z 1 z 2 z 1 z 2 in polar form.
z 1 =2 3 cis( 116° ); z 2 =2cis( 82° ) z 1 =2 3 cis( 116° ); z 2 =2cis( 82° )
z 1 = 2 cis( 205° ); z 2 =2 2 cis( 118° ) z 1 = 2 cis( 205° ); z 2 =2 2 cis( 118° )
z 1 =3cis( 120° ); z 2 = 1 4 cis( 60° ) z 1 =3cis( 120° ); z 2 = 1 4 cis( 60° )
z 1 =3cis( π 4 ); z 2 =5cis( π 6 ) z 1 =3cis( π 4 ); z 2 =5cis( π 6 )
z 1 = 5 cis( 5π 8 ); z 2 = 15 cis( π 12 ) z 1 = 5 cis( 5π 8 ); z 2 = 15 cis( π 12 )
z 1 =4cis( π 2 ); z 2 =2cis( π 4 ) z 1 =4cis( π 2 ); z 2 =2cis( π 4 )
For the following exercises, find z 1 z 2 z 1 z 2 in polar form.
z 1 =21cis( 135° ); z 2 =3cis( 65° ) z 1 =21cis( 135° ); z 2 =3cis( 65° )
z 1 = 2 cis( 90° ); z 2 =2cis( 60° ) z 1 = 2 cis( 90° ); z 2 =2cis( 60° )
z 1 =15cis( 120° ); z 2 =3cis( 40° ) z 1 =15cis( 120° ); z 2 =3cis( 40° )
z 1 =6cis( π 3 ); z 2 =2cis( π 4 ) z 1 =6cis( π 3 ); z 2 =2cis( π 4 )
z 1 =5 2 cis( π ); z 2 = 2 cis( 2π 3 ) z 1 =5 2 cis( π ); z 2 = 2 cis( 2π 3 )
z 1 =2cis( 3π 5 ); z 2 =3cis( π 4 ) z 1 =2cis( 3π 5 ); z 2 =3cis( π 4 )
For the following exercises, find the powers of each complex number in polar form.
5cis( 45° )^3 5cis( 45° )^3
2cis( 70° )^4 2cis( 70° )^4
3cis( 120° )^2 3cis( 120° )^2
4cis( π 4 )^2 4cis( π 4 )^2
cis( 3π 16 )^4 cis( 3π 16 )^4
3cis( 5π 3 )^3 3cis( 5π 3 )^3
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਮੂਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
z z ਦਾ ਘਣ ਮੂਲ, ਜਦੋਂ z=27cis( 240° ) ਹੋਵੇ, ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
z z ਦਾ ਵਰਗ ਮੂਲ, ਜਦੋਂ z=16cis( 100° ) ਹੋਵੇ, ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
z z ਦਾ ਘਣ ਮੂਲ, ਜਦੋਂ z=32cis( 2π 3 ) ਹੋਵੇ, ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
z z ਦਾ ਵਰਗ ਮੂਲ, ਜਦੋਂ z=32cis( π ) ਹੋਵੇ, ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
z z ਦਾ ਵਰਗ ਮੂਲ, ਜਦੋਂ z=8cis( 7π 4 ) ਹੋਵੇ, ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਜਟਿਲ ਤਲ ਵਿੱਚ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ।
2+4i 2+4i
−3−3i −3−3i
5−4i 5−4i
−1−5i −1−5i
3+2i 3+2i
2i 2i
−4 −4
6−2i 6−2i
−2+i −2+i
1−4i 1−4i
1. ਤਕਨਾਲੋਜੀ
2. ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਸਾਰੇ ਜਵਾਬ ਸੌ ਦੇ ਨੇੜੇ ਦੇ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਵਿੱਚ ਲੱਭੋ।
3. 5+5i ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ 'ਤੇ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਤੋਂ ਪੋਲਰ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
4. 3−2i ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ 'ਤੇ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਤੋਂ ਪੋਲਰ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
5. −3−8i ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ 'ਤੇ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਤੋਂ ਪੋਲਰ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
6. 4cis( 120° ) ਨੂੰ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ 'ਤੇ ਪੋਲਰ ਤੋਂ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
7. 2cis( 45° ) ਨੂੰ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ 'ਤੇ ਪੋਲਰ ਤੋਂ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
8. 5cis( 210° ) ਨੂੰ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ 'ਤੇ ਪੋਲਰ ਤੋਂ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।