ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਤੁਸੀਂ:
ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਜਿਓਮੈਤਰੀਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਦੇਖੋਗੇ।
ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਲੱਭੋ।
ਵੈਕਟਰ ਜੋੜ ਅਤੇ ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਰੂਪ ਲੱਭੋ।
v ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰ ਲੱਭੋ।
ii ਅਤੇ jj ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨਾਲ ਕਾਰਵਾਈਆਂ ਕਰੋ।
ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਡਾਟ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਲੱਭੋ।
ਇੱਕ ਜਹਾਜ਼ 200 ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਦੀ ਹਵਾ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ 140° ਦੇ SE ਬੇਅਰਿੰਗ 'ਤੇ ਉੱਡ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਉੱਤਰ ਤੋਂ ਦੱਖਣ ਵੱਲ 16.2 ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ ਇੱਕ ਉੱਤਰੀ ਹਵਾ ਚੱਲ ਰਹੀ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 1 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਜਹਾਜ਼ ਦੀ ਜ਼ਮੀਨੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਅਤੇ ਅਸਲ ਬੇਅਰਿੰਗ ਕੀ ਹੈ?
ਜ਼ਮੀਨੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਜਹਾਜ਼ ਦੀ ਜ਼ਮੀਨ ਦੇ ਮੁਕਾਬਲੇ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਹਵਾ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਜਹਾਜ਼ ਦੀ ਆਪਣੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਦੀ ਹਵਾ ਦੇ ਮੁਕਾਬਲੇ ਯਾਤਰਾ ਕਰਨ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਦੋ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਹਵਾ ਦੇ ਪ੍ਰਭਾਵ ਕਾਰਨ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀਆਂ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਪਿਛਲੇ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਕਿਸ਼ਤੀਆਂ ਦੀ ਆਵਾਜਾਈ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਸਮਾਨ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਤਿਕੋਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਸੀ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਜਹਾਜ਼ ਦੀ ਜ਼ਮੀਨੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਅਤੇ ਬੇਅਰਿੰਗ ਲੱਭਾਂਗੇ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਇਸ ਕਿਸਮ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਲਈ ਇੱਕ ਹੋਰ ਪਹੁੰਚ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਾਂਗੇ। ਪਰ ਪਹਿਲਾਂ, ਆਓ ਅਸੀਂ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਬੁਨਿਆਦੀ ਸਿਧਾਂਤਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੀਏ।
ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਜਿਓਮੈਤਰੀਕ ਦ੍ਰਿਸ਼
ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਇੱਕ ਤੀਰ ਵਾਲੇ ਸੇਗਮੈਂਟ ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਈ ਗਈ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਮਾਤਰਾ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਇੱਕ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੋਂ ਇਹ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ ਇਹ ਖਤਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ, ਜਾਂ ਲਾਈਨ ਦੀ ਲੰਬਾਈ, ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਤੀਰ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਇੱਕ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਲਾਈਨ ਸੇਗਮੈਂਟ ਹੈ। ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਹੋਰ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਤੋਂ ਵੱਖ ਕਰਨ ਲਈ ਕਈ ਪ੍ਰਤੀਕ ਹਨ:
ਲੋਅਰ ਕੇਸ, ਬੋਲਡਫੇਸਡ ਟਾਈਪ, ਉੱਪਰ ਤੀਰ ਦੇ ਨਾਲ ਜਾਂ ਬਿਨਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ v, v, u, u, w, w, v →, v →, u →, w →. u →, w →.
ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ P P ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ Q, Q ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ, ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ PQ → ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। PQ →. ਉੱਪਰ ਤੀਰ ਇਹ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਲਾਈਨ ਨਹੀਂ, ਸਗੋਂ ਇੱਕ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਲਾਈਨ ਸੇਗਮੈਂਟ ਹੈ।
ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ (0,0) (0,0) ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ (ab), (ab) ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ, ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ 〈a,b〉 ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। 〈a,b〉.
ਇਹ ਆਖਰੀ ਪ੍ਰਤੀਕ 〈a,b〉 〈a,b〉 ਦਾ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਮਹੱਤਵ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਸਟੈਂਡਰਡ ਪੋਜੀਸ਼ਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਪੋਜੀਸ਼ਨ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ (0,0) (0,0) ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ (a,b) ਹੁੰਦਾ ਹੈ। (a,b). ਕਿਸੇ ਵੀ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਪੋਜੀਸ਼ਨ ਵੈਕਟਰ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ x-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲਾਅ ਅਤੇ y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲਾਅ ਬਾਰੇ ਸੋਚਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ CD → CD → ਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ C(x1, y1) C(x1, y1) ਹੈ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ D(x2, y2) ਹੈ, D(x2, y2), ਤਾਂ ਪੋਜੀਸ਼ਨ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਕੇ ਪਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:
ਚਿੱਤਰ 2 ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਅਸਲ ਵੈਕਟਰ CD → CD → ਅਤੇ ਪੋਜੀਸ਼ਨ ਵੈਕਟਰ AB → ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ। AB →.
ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਗੁਣ
ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਇੱਕ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਇੱਕ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਲਾਈਨ ਸੇਗਮੈਂਟ ਹੈ। ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ, ਜਾਂ ਲਾਈਨ ਦੀ ਲੰਬਾਈ, ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ, ਜੋ ਕਿ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਵੱਲ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਤੀਰ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਦੁਆਰਾ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਪੋਜੀਸ਼ਨ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ (0,0) (0,0) 'ਤੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਪਛਾਣ ਇਸਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ (a,b) ਦੁਆਰਾ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। (a,b).
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਪੋਜੀਸ਼ਨ ਵੈਕਟਰ ਲੱਭੋ
ਉਸ ਵੈਕਟਰ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਜਿਸਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ P(2,3) P(2,3) ਹੈ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ Q(6,4) ਹੈ। Q(6,4). ਪੋਜੀਸ਼ਨ ਵੈਕਟਰ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਸਥਿਤੀ ਵੈਕਟਰ ਦੂਜੀ x-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਤੋਂ ਪਹਿਲੀ x-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਨੂੰ ਘਟਾ ਕੇ, ਅਤੇ ਦੂਜੀ y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਤੋਂ ਪਹਿਲੀ y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਨੂੰ ਘਟਾ ਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ
ਸਥਿਤੀ ਵੈਕਟਰ (0,0) 'ਤੇ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ (4,1) 'ਤੇ ਸਮਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਦੋਵਾਂ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਚਿੱਤਰ 3 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਹਨ।
ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਥਿਤੀ ਵੈਕਟਰ 〈4,1〉 ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 2
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮਾਪਦੰਡਾਂ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਸਮਾਨ ਸਥਿਤੀ ਵੈਕਟਰ ਨਾਲ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਬਣਾਉਣਾ
ਸਥਿਤੀ ਵੈਕਟਰ ਲੱਭੋ, ਇਹ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ ਵੈਕਟਰ v ਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ (−3,2) 'ਤੇ ਹੈ ਅਤੇ ਸਮਾਪਤੀ ਬਿੰਦੂ (4,5) 'ਤੇ ਹੈ, ਫਿਰ ਦੋਵਾਂ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕੋ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਸਥਿਤੀ ਵੈਕਟਰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਗਣਨਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲੱਭਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:
ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸਥਿਤੀ ਵੈਕਟਰ (0,0) 'ਤੇ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ (7,3) 'ਤੇ ਸਮਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 4 ਦੇਖੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ v ਬਣਾਓ ਜੋ ਮੂਲ ਤੋਂ ਬਿੰਦੂ (3,5) ਤੱਕ ਜੁੜਦਾ ਹੈ।
ਮਾਪ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਲੱਭਣਾ
ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਇਸਦੇ ਮਾਪ ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਲੱਭਣ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸਦੇ ਮਾਪ ਨੂੰ ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਥਿਊਰਮ ਜਾਂ ਦੂਰੀ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਇਸਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਨੂੰ ਇਨਵਰਸ ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ।
ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਮਾਪ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਥਿਤੀ ਵੈਕਟਰ v = 〈a,b〉 ਲਈ, ਮਾਪ |v| = √a² + b² ਦੁਆਰਾ ਲੱਭਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਦਿਸ਼ਾ x-ਧੁਰੇ, ਜਾਂ y-ਧੁਰੇ ਨਾਲ ਬਣੇ ਕੋਣ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਸਥਿਤੀ ਵੈਕਟਰ ਲਈ, ਦਿਸ਼ਾ tanθ = (b/a) ⇒ θ = tan⁻¹(b/a) ਦੁਆਰਾ ਲੱਭੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 5 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਦੋ ਵੈਕਟਰ v ਅਤੇ u ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਉਹਨਾਂ ਦਾ ਮਾਪ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀ ਹੋਵੇ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਜੇਕਰ ਦੋਵਾਂ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਸਥਿਤੀ ਵੈਕਟਰ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਉਹ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਮਾਪ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਲੱਭਣਾ
ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ P(−8,1) ਅਤੇ ਸਮਾਪਤੀ ਬਿੰਦੂ Q(−2,−5) ਵਾਲੇ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਮਾਪ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਲੱਭੋ। ਵੈਕਟਰ ਬਣਾਓ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, ਸਥਿਤੀ ਵੈਕਟਰ ਲੱਭੋ।
ਅਸੀਂ ਮਾਪ ਲੱਭਣ ਲਈ ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਦਿਸ਼ਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ
ਹਾਲਾਂਕਿ, ਕੋਣ ਚੌਥੇ ਚਤੁਰਭੁਜ ਵਿੱਚ ਸਮਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਕੋਣ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ 360° ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, −45°+360°=315°। ਚਿੱਤਰ 6 ਦੇਖੋ।
4. ਮਿਸਾਲ 4
2. ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਬਰਾਬਰੀ ਦਿਖਾਉਣਾ
3. ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਵੈਕਟਰ v ਜਿਸਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ( 5,−3 ) ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ( −1,2 ) ਹੈ, ਵੈਕਟਰ u ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ( −1,−3 ) ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ( −7,2 ) ਹੈ। v ਅਤੇ u ਦੇ ਸਮਾਨ ਗਰਿੱਡ ਉੱਤੇ ਸਥਿਤੀ ਵੈਕਟਰ ਬਣਾਓ। ਅੱਗੇ, ਹਰੇਕ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਪਤਾ ਕਰੋ।
4. ਹੱਲ
5. ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 7 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਵੈਕਟਰ v ਨੂੰ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ( 5,−3 ) ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ( −1,2 ) ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਕੇ ਬਣਾਓ। ਵੈਕਟਰ u ਨੂੰ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ( −1,−3 ) ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ( −7,2 ) ਨਾਲ ਬਣਾਓ। ਹਰੇਕ ਲਈ ਮਿਆਰੀ ਸਥਿਤੀ ਪਤਾ ਕਰੋ।
6. ਅੱਗੇ, v ਅਤੇ u ਲਈ ਸਥਿਤੀ ਵੈਕਟਰ ਪਤਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਖਿੱਚੋ। ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
7. ਕਿਉਂਕਿ ਸਥਿਤੀ ਵੈਕਟਰ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹਨ, v ਅਤੇ u ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹਨ।
8. ਵੈਕਟਰ ਬਰਾਬਰੀ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਵਿਕਲਪਿਕ ਤਰੀਕਾ ਇਹ ਦਿਖਾਉਣਾ ਹੈ ਕਿ ਦੋਵੇਂ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀ ਹੈ। ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਦੀ ਬਰਾਬਰੀ ਦਿਖਾਉਣ ਲਈ, ਪਾਈਥਾਗੋਰਸੀਅਨ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
9. ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਬਰਾਬਰ ਹਨ, ਸਾਨੂੰ ਹੁਣ ਦਿਸ਼ਾ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਸਥਿਤੀ ਵੈਕਟਰ ਨਾਲ ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਨਾਲ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
10. ਹਾਲਾਂਕਿ, ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਥਿਤੀ ਵੈਕਟਰ ਦੂਜੇ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਖਤਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ 180° ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਦਿਸ਼ਾ −39.8°+180°=140.2° ਹੈ।
11. ਵੈਕਟਰ ਜੋੜ ਅਤੇ ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ
12. ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਨੂੰ ਸਮਝਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਕਾਰਜ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਜਦੋਂ ਕਿ ਵੈਕਟਰ uu =〈 x,y 〉 ਨੂੰ ਮੂਲ ਤੋਂ ਬਿੰਦੂ (x,y) ਤੱਕ ਇੱਕ ਤੀਰ ਜਾਂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਵਜੋਂ ਸੋਚਣਾ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਹੈ, ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਤਲ ਵਿੱਚ ਕਿਤੇ ਵੀ ਸਥਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ u ਅਤੇ v ਦਾ ਜੋੜ, ਜਾਂ ਵੈਕਟਰ ਜੋੜ, ਇੱਕ ਤੀਜਾ ਵੈਕਟਰ u + v, ਨਤੀਜਾ ਵੈਕਟਰ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ।
13. u + v ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਵੈਕਟਰ u ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ u ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਸਿਰੇ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਵੈਕਟਰ v ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ v ਦੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ u ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਸਿਰੇ ਨਾਲ ਮਿਲਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਸਥਿਤੀ ਇਸ ਵਿਚਾਰ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦੀ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲੇ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਨਾਲ ਚਲਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਫਿਰ, ਇਸਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਦੂਜੇ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਨਾਲ ਚਲਦੇ ਹਾਂ। ਜੋੜ u + v ਨਤੀਜਾ ਵੈਕਟਰ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਜਾਂ ਘਟਾਓ ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਨਤੀਜਾ ਵੈਕਟਰ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 8 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, u ਦੇ ਸ਼ੁਰੂ ਤੋਂ v ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ ਇੱਕ ਸਿੱਧੀ ਲਾਈਨ ਵਿੱਚ ਯਾਤਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ।
14. ਵੈਕਟਰ ਘਟਾਓ ਵੈਕਟਰ ਜੋੜ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ। u − v ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਇਸਨੂੰ u + (−v) ਵਜੋਂ ਦੇਖੋ। −v ਜੋੜਨਾ v ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਨੂੰ ਉਲਟਾਉਣਾ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ u ਦੇ ਅੰਤ ਵਿੱਚ ਜੋੜਨਾ ਹੈ। ਨਵਾਂ ਵੈਕਟਰ u ਦੇ ਸ਼ੁਰੂ ਤੋਂ −v ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਤੱਕ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵੈਕਟਰ ਜੋੜ ਅਤੇ ਵੈਕਟਰ ਘਟਾਓ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਦ੍ਰਿਸ਼ ਲਈ ਚਿੱਤਰ 9 ਦੇਖੋ।
15. ਮਿਸਾਲ 5
16. ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨਾ ਅਤੇ ਘਟਾਉਣਾ
17. ਦਿੱਤੇ ਗਏ u =〈 3,−2 〉 ਅਤੇ v =〈 −1,4 〉, ਦੋ ਨਵੇਂ ਵੈਕਟਰ u + v, ਅਤੇ u − v ਪਤਾ ਕਰੋ।
18. ਹੱਲ
19. ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਕੰਪੋਨੈਂਟਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
20. ਚਿੱਤਰ 10(a) ਦੇਖੋ।
21. ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, v ਦੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਕੰਪੋਨੈਂਟਾਂ ਨੂੰ u ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
22. ਚਿੱਤਰ 10(b) ਦੇਖੋ।
23. ਚਿੱਤਰ 10: (a) ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਜੋੜ (b) ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ
24. ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ
ਜਦੋਂ ਕਿ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਅਤੇ ਘਟਾਉਣ ਨਾਲ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਵੈਕਟਰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਵੱਖਰੀ ਮਾਤਰਾ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ, ਇੱਕ ਸਥਿਰ, ਨਾਲ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਸਿਰਫ਼ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਜਾਂ ਲਾਈਨ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਨੂੰ ਬਦਲਦੀ ਹੈ। ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਾ ਦਾ ਦਿਸ਼ਾ 'ਤੇ ਕੋਈ ਅਸਰ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਕਿ ਸਕੇਲਰ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਨਾ ਹੋਵੇ, ਜਿਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਨਤੀਜੇ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਅਸਲ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਦੇ ਉਲਟ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਾ
ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਾ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਅਤੇ ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਹਰੇਕ ਭਾਗ ਨੂੰ ਸਕੇਲਰ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, v v =〈 a,b 〉 =〈 a,b 〉 ਨੂੰ k k ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਸਿਰਫ਼ ਮਾਤਰਾ ਬਦਲਦੀ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਕਿ k k ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਨਾ ਹੋਵੇ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਵੈਕਟਰ ਦਿਸ਼ਾ ਉਲਟਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 6
ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਵੈਕਟਰ v v =〈 3,1 〉, =〈 3,1 〉, 3v, 1 2 1 2 v, v, ਅਤੇ −v ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਵਿਆਖਿਆ ਲਈ ਚਿੱਤਰ 11 ਦੇਖੋ। ਜੇਕਰ v v =〈 3,1 〉, =〈 3,1 〉, ਤਾਂ
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਵੈਕਟਰ 3v, v ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦਾ ਤਿੰਨ ਗੁਣਾ ਹੈ, 1 2 1 2 v v, v ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦਾ ਅੱਧਾ ਹੈ, ਅਤੇ –v, v ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਪਰ ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਨਫਲ 3 u u ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿਸ ਵਿੱਚ uu =〈 5,4 〉. =〈 5,4 〉।
ਉਦਾਹਰਨ 7
ਨਵੇਂ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਵੈਕਟਰ ਜੋੜ ਅਤੇ ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ u u =〈 3,−2 〉 =〈 3,−2 〉 ਅਤੇ v v =〈 −1,4 〉, =〈 −1,4 〉, ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਵੈਕਟਰ w = 3u + 2v ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, ਸਾਨੂੰ ਹਰੇਕ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਸਕੇਲਰ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਫਿਰ, ਦੋਵਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਜੋੜੋ।
ਇਸ ਲਈ, w w =〈 7,2 〉. =〈 7,2 〉।
ਭਾਗ ਰੂਪ ਲੱਭਣਾ
ਵੈਕਟਰਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਕੁਝ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ, ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਣ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋਣਾ ਸਾਡੇ ਲਈ ਮਦਦਗਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਵੈਕਟਰ ਦੋ ਭਾਗਾਂ ਨਾਲ ਬਣੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ: ਖਿਤਿਜੀ ਭਾਗ x x ਦਿਸ਼ਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਭਾਗ y y ਦਿਸ਼ਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 12 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਥਿਤੀ ਵੈਕਟਰ 〈 2,3 〉 〈 2,3 〉 ਵੈਕਟਰ v1 ਅਤੇ v2 ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਤੋਂ ਆਉਂਦਾ ਹੈ। ਸਾਡੇ ਕੋਲ v1 ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ( 0,0 ) ( 0,0 ) ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ( 2,0 ) ਹੈ। ( 2,0 )।
ਸਾਡੇ ਕੋਲ v2 ਵੀ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ( 0,0 ) ( 0,0 ) ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ( 0,3 ) ਹੈ। ( 0,3 )।
ਇਸ ਲਈ, ਸਥਿਤੀ ਵੈਕਟਰ ਹੈ
ਪਾਈਥਾਗੋਰਸੀਅਨ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, v1 ਦਾ ਮਾਪ 2 ਹੈ, ਅਤੇ v2 ਦਾ ਮਾਪ 3 ਹੈ। v ਦੇ ਮਾਪ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਸਥਿਤੀ ਵੈਕਟਰ ਨਾਲ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਰਤੋ।
v ਦਾ ਮਾਪ 13 ਹੈ। 13। ਦਿਸ਼ਾ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਟੈਨਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ tanθ = y x ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। tanθ = y x।
ਇਸ ਲਈ, v ਦਾ ਮਾਪ 13 ਹੈ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ 56.3° ਖਿਤਿਜੀ ਤੋਂ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 8
ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਭਾਗ ਲੱਭਣਾ
ਵੈਕਟਰ v ਦੇ ਭਾਗ ਲੱਭੋ ਜਿਸਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ (3,2) ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ (7,4) ਹੈ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ ਮਿਆਰੀ ਸਥਿਤੀ ਲੱਭੋ।
ਚਿੱਤਰ 13 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਈ ਗਈ ਤਸਵੀਰ ਦੇਖੋ।
ਖਿਤਿਜੀ ਭਾਗ v1 = 〈4,0〉 ਹੈ ਅਤੇ ਲੰਬਵਤ ਭਾਗ v2 = 〈0,2〉 ਹੈ।
v ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਇਕਾਈ ਵੈਕਟਰ ਲੱਭਣਾ
ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਭਾਗ ਲੱਭਣ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਇਹ ਵੀ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੈ ਕਿ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਲੱਭਿਆ ਜਾਵੇ, ਪਰ ਮਾਪ 1 ਦਾ ਹੋਵੇ। ਅਸੀਂ ਮਾਪ 1 ਵਾਲੇ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਇਕਾਈ ਵੈਕਟਰ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਫਿਰ ਅਸਲ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਨੂੰ ਬਰਕਰਾਰ ਰੱਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਦੋਂ ਕਿ ਗਣਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਇਕਾਈ ਵੈਕਟਰ ਭਾਗਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ। ਖਿਤਿਜੀ ਇਕਾਈ ਵੈਕਟਰ ii = 〈1,0〉 ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ ਧਨ ਖਿਤਿਜੀ ਧੁਰੇ ਦੇ ਨਾਲ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਲੰਬਵਤ ਇਕਾਈ ਵੈਕਟਰ jj = 〈0,1〉 ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ ਧਨ ਲੰਬਵਤ ਧੁਰੇ ਦੇ ਨਾਲ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 14 ਦੇਖੋ।
ਇਕਾਈ ਵੈਕਟਰ
ਜੇਕਰ v ਇੱਕ ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਵੈਕਟਰ ਹੈ, ਤਾਂ v / |v| v ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਇਕਾਈ ਵੈਕਟਰ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਵੀ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਉਸਦੇ ਮਾਪ ਨਾਲ ਵੰਡਣਾ ਇੱਕ ਇਕਾਈ ਵੈਕਟਰ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਮਾਪ ਹਮੇਸ਼ਾ ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ ਨਾਲ ਵੰਡਣਾ ਸਕੇਲਰ ਦੇ ਉਲਟ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 9
v ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਇਕਾਈ ਵੈਕਟਰ ਲੱਭਣਾ
v = 〈-5,12〉 ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਇਕਾਈ ਵੈਕਟਰ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਮਾਪ ਲੱਭਾਂਗੇ।
ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਭਾਗ ਨੂੰ |v| ਨਾਲ ਵੰਡਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ v ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਇਕਾਈ ਵੈਕਟਰ ਦਿੰਦਾ ਹੈ:
ਜਾਂ, ਭਾਗ ਰੂਪ ਵਿੱਚ
ਚਿੱਤਰ 15 ਦੇਖੋ।
ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ ਇਕਾਈ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਮਾਪ 1 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। -5/13 i + 12/13 j ਦਾ ਮਾਪ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
1. ਵੈਕਟਰ u = 5/13 i + 12/13 j, v = 〈−5, 12〉 ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਇਕਾਈ ਵੈਕਟਰ ਹੈ।
2. i ਅਤੇ j ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨਾਲ ਕਾਰਜ ਕਰਨਾ
3. ਹੁਣ ਤੱਕ, ਅਸੀਂ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀਆਂ ਬੁਨਿਆਦੀ ਗੱਲਾਂ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕੀਤੀ ਹੈ: ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ, ਵੈਕਟਰ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ, ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਾ, ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਕੰਪੋਨੈਂਟ, ਅਤੇ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾ। ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਨ ਦੀਆਂ ਆਮ ਰਣਨੀਤੀਆਂ ਤੋਂ ਜਾਣੂ ਹੋ ਗਏ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ i ਅਤੇ j ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਵਾਂਗੇ।
4. ਆਇਤਾਕਾਰ ਤਲ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰ
5. ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ v ਜਿਸਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ P=(x1, y1) ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ Q=(x2, y2) ਹੈ, ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:
6. (0,0) ਤੋਂ (a,b) ਤੱਕ ਦਾ ਸਥਿਤੀ ਵੈਕਟਰ, ਜਿੱਥੇ (x2 − x1) = a ਅਤੇ (y2 − y1) = b, v = ai + bj ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਵੈਕਟਰ ਜੋੜ ਨੂੰ ਵੈਕਟਰ i ਅਤੇ j ਦਾ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਸੰਯੋਜਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
7. v = ai + bj ਦਾ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ |v| = √(a² + b²) ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 16 ਦੇਖੋ।
8. ਉਦਾਹਰਨ 10
9. i ਅਤੇ j ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਲਿਖਣਾ
10. ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ v ਜਿਸਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ P=(2,−6) ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ Q=(−6,6) ਹੈ, ਨੂੰ i ਅਤੇ j ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
11. ਹੱਲ
12. ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਆਮ ਰੂਪ ਨੂੰ ਲਿਖ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ। ਫਿਰ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮੁੱਲਾਂ ਨਾਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
13. ਉਦਾਹਰਨ 11
14. ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ i ਅਤੇ j ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਲਿਖਣਾ
15. ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ P1=(−1,3) ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ P2=(2,7) ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ, ਵੈਕਟਰ v ਨੂੰ i ਅਤੇ j ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
16. ਹੱਲ
17. ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਆਮ ਰੂਪ ਨੂੰ ਲਿਖ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ। ਫਿਰ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮੁੱਲਾਂ ਨਾਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
18. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #3
19. ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ P=(−1,6) ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ Q=(7,−5) ਵਾਲੇ ਵੈਕਟਰ u ਨੂੰ i ਅਤੇ j ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
20. i ਅਤੇ j ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰਾਂ 'ਤੇ ਕਾਰਜ ਕਰਨਾ
21. ਜਦੋਂ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ i ਅਤੇ j ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਸੰਬੰਧਿਤ ਕੰਪੋਨੈਂਟਾਂ 'ਤੇ ਕਾਰਜ ਕਰਕੇ ਜੋੜ, ਘਟਾਓ ਅਤੇ ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
22. ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨਾ ਅਤੇ ਘਟਾਉਣਾ
23. v = ai + bj ਅਤੇ u = ci + dj ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ, ਤਾਂ
24. ਉਦਾਹਰਨ 12
ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ
v 1 =2i−3j ਅਤੇ v 2 =4i+5j ਦਾ ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਸੂਤਰ ਅਨੁਸਾਰ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਭਾਗ ਰੂਪ ਦੀ ਗਣਨਾ: ਦਿਸ਼ਾ
ਅਸੀਂ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂਆਂ ਅਨੁਸਾਰ ਖਿੱਚਣ ਦੇ ਤਰੀਕੇ ਅਤੇ ਸਥਿਤੀ ਵੈਕਟਰ ਲੱਭਣ ਦੇ ਤਰੀਕੇ ਵੇਖੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ i ਅਤੇ j ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ ਖਿੱਚੇ ਗਏ ਵੈਕਟਰਾਂ ਲਈ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵੀ ਜਾਂਚ ਕੀਤੀ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਵੈਕਟਰਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਲਈ ਵੀ, ਅਸੀਂ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਹੁਣ, ਅਸੀਂ ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਦੇ ਵਿਚਾਰਾਂ ਨੂੰ ਹੋਰ ਅੱਗੇ ਵੇਖਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ।
ਦਿਸ਼ਾ ਦੀ ਗਣਨਾ ਉਸੇ ਸਿੱਧੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੀ ਹੈ ਜੋ ਅਸੀਂ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਲਈ ਵਰਤੀ ਸੀ। ਅਸੀਂ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਨੂੰ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਨਾਲ ਕੋਣ ਲੱਭ ਕੇ ਪਤਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਬੁਨਿਆਦੀ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਪਛਾਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਪਰ r ਦੀ ਥਾਂ | v | ਨਾਲ।
ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰ ਭਾਗ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਥਿਤੀ ਵੈਕਟਰ v=〈 x,y 〉 ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਕੋਣ θ,
ਇਸ ਲਈ, v=xi+yj=| v |cosθi+| v |sinθj, ਅਤੇ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਨੂੰ | v |= x 2 + y 2 ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 13
ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਭਾਗ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣਾ
7 ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ 135° ਦੇ ਕੋਣ ਵਾਲੇ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਭਾਗ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
ਹੱਲ
ਸੰਚਾਰ ਸੂਤਰਾਂ x=| v |cosθ ਅਤੇ y=| v |sinθ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
ਇਸ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ v=7cos(135°)+7sin(135°) ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਸਰਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਬਿੰਦੂ ( 3,5 ) ਤੱਕ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਡਾਟ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਪਹਿਲਾਂ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ ਸੀ, ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਾ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਨਤੀਜਾ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਵੇਖਿਆ ਹੈ, ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਾ ਅਖਵਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਦੋ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ: ਡਾਟ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਅਤੇ ਕਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ। ਅਸੀਂ ਇੱਥੇ ਸਿਰਫ ਡਾਟ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਾਂਗੇ; ਤੁਸੀਂ ਵਧੇਰੇ ਉੱਨਤ ਗਣਿਤ ਕੋਰਸਾਂ ਵਿੱਚ ਕਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਦਾ ਸਾਹਮਣਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ।
ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਡਾਟ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਵਿੱਚ ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਨਤੀਜਾ ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਡਾਟ ਪ੍ਰੋਡਕਟ
ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ v=〈 a,b 〉 ਅਤੇ u=〈 c,d 〉 ਦਾ ਡਾਟ ਪ੍ਰੋਡਕਟ, ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਭਾਗਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਅਤੇ ਵਰਟੀਕਲ ਭਾਗਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦਾ ਜੋੜ ਹੈ।
ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਣ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
Example 14
Finding the Dot Product of Two Vectors
Find the dot product of v=〈 5,12 〉 v=〈 5,12 〉 and u=〈 −3,4 〉. u=〈 −3,4 〉.
Solution
Using the formula, we have
Example 15
Finding the Dot Product of Two Vectors and the Angle between Them
Find the dot product of v1 = 5i + 2j and v2 = 3i + 7j. Then, find the angle between the two vectors.
Solution
Finding the dot product, we multiply corresponding components.
To find the angle between them, we use the formula cosθ= v |v| ⋅ u |u| . cosθ= v |v| ⋅ u |u| .
See Figure 17.
Example 16
Finding the Angle between Two Vectors
Find the angle between u=〈 −3,4 〉 u=〈 −3,4 〉 and v=〈 5,12 〉. v=〈 5,12 〉.
Solution
Using the formula, we have
See Figure 18.
Example 17
Finding Ground Speed and Bearing Using Vectors
We now have the tools to solve the problem we introduced in the opening of the section.
An airplane is flying at an airspeed of 200 miles per hour headed on a SE bearing of 140°. A north wind (from north to south) is blowing at 16.2 miles per hour. What are the ground speed and actual bearing of the plane? See Figure 19.
Solution
The ground speed is represented by x x in the diagram, and we need to find the angle α α in order to calculate the adjusted bearing, which will be 140°+α. 140°+α.
Notice in Figure 19, that angle BCO BCO must be equal to angle AOC AOC by the rule of alternating interior angles, so angle BCO BCO is 140°. We can find x x by the Law of Cosines:
The ground speed is approximately 213 miles per hour. Now we can calculate the bearing using the Law of Sines.
Therefore, the plane has a SE bearing of 140°+2.8°=142.8°. The ground speed is 212.7 miles per hour.
Media
Access these online resources for additional instruction and practice with vectors.
Introduction to Vectors
Vector Operations
The Unit Vector
Verbal
What are the characteristics of the letters that are commonly used to represent vectors?
How is a vector more specific than a line segment?
What are i i and j, j, and what do they represent?
What is component form?
When a unit vector is expressed as 〈 a,b 〉, 〈 a,b 〉, which letter is the coefficient of the i i and which the j? j?
Algebraic
Given a vector with initial point ( 5,2 ) ( 5,2 ) and terminal point ( −1,−3 ), ( −1,−3 ), find an equivalent vector whose initial point is ( 0,0 ). ( 0,0 ). Write the vector in component form 〈 a,b 〉. 〈 a,b 〉.
Given a vector with initial point ( −4,2 ) ( −4,2 ) and terminal point ( 3,−3 ), ( 3,−3 ), find an equivalent vector whose initial point is ( 0,0 ). ( 0,0 ). Write the vector in component form 〈 a,b 〉. 〈 a,b 〉.
Given a vector with initial point ( 7,−1 ) ( 7,−1 ) and terminal point ( −1,−7 ), ( −1,−7 ), find an equivalent vector whose initial point is ( 0,0 ). ( 0,0 ). Write the vector in component form 〈 a,b 〉. 〈 a,b 〉.
For the following exercises, determine whether the two vectors u u and v v are equal, where u u has an initial point P 1 P 1 and a terminal point P 2 P 2 and v v has an initial point P 3 P 3 and a terminal point P 4 P 4.
P 1 =( 5,1 ), P 2 =( 3,−2 ), P 3 =( −1,3 ), P 1 =( 5,1 ), P 2 =( 3,−2 ), P 3 =( −1,3 ), and P 4 =( 9,−4 ) P 4 =( 9,−4 )
P 1 =( 2,−3 ), P 2 =( 5,1 ), P 3 =( 6,−1 ), P 1 =( 2,−3 ), P 2 =( 5,1 ), P 3 =( 6,−1 ), and P 4 =( 9,3 ) P 4 =( 9,3 )
P 1 =( −1,−1 ), P 2 =( −4,5 ), P 3 =( −10,6 ), P 1 =( −1,−1 ), P 2 =( −4,5 ), P 3 =( −10,6 ), and P 4 =( −13,12 ) P 4 =( −13,12 )
P 1 =( 3,7 ), P 2 =( 2,1 ), P 3 =( 1,2 ), P 1 =( 3,7 ), P 2 =( 2,1 ), P 3 =( 1,2 ), and P 4 =( −1,−4 ) P 4 =( −1,−4 )
P 1 =( 8,3 ), P 2 =( 6,5 ), P 3 =( 11,8 ), P 1 =( 8,3 ), P 2 =( 6,5 ), P 3 =( 11,8 ), and P 4 =( 9,10 ) P 4 =( 9,10 )
Given initial point P 1 =( −3,1 ) P 1 =( −3,1 ) and terminal point P 2 =( 5,2 ), P 2 =( 5,2 ), write the vector v v in terms of i i and j. j.
Given initial point P 1 =( 6,0 ) P 1 =( 6,0 ) and terminal point P 2 =( −1,−3 ), P 2 =( −1,−3 ), write the vector v v in terms of i i and j. j.
For the following exercises, use the vectors u = i + 5j, v = −2i− 3j, and w = 4i − j.
Find u + (v − w)
Find 4v + 2u
For the following exercises, use the given vectors to compute u + v, u − v, and 2u − 3v.
u=〈 2,−3 〉,v=〈 1,5 〉 u=〈 2,−3 〉,v=〈 1,5 〉
u=〈 −3,4 〉,v=〈 −2,1 〉 u=〈 −3,4 〉,v=〈 −2,1 〉
Let v = −4i + 3j. Find a vector that is half the length and points in the same direction as v. v.
Let v = 5i + 2j. Find a vector that is twice the length and points in the opposite direction as v. v.
For the following exercises, find a unit vector in the same direction as the given vector.
a = 3i + 4j
b = −2i + 5j
c = 10i – j
d=− 1 3 i+ 5 2 j d=− 1 3 i+ 5 2 j
u = 100i + 200j
u = −14i + 2j
For the following exercises, find the magnitude and direction of the vector, 0≤θ<2π. 0≤θ<2π.
〈 0,4 〉 〈 0,4 〉
〈 6,5 〉 〈 6,5 〉
〈 2,−5 〉 〈 2,−5 〉
〈 −4,−6 〉 〈 −4,−6 〉
Given u = 3i − 4j and v = −2i + 3j, calculate u⋅v. u⋅v.
Given u = −i − j and v = i + 5j, calculate u⋅v. u⋅v.
Given u=〈 −2,4 〉 u=〈 −2,4 〉 and v=〈 −3,1 〉, v=〈 −3,1 〉, calculate u⋅v. u⋅v.
Given u =〈 −1,6 〉 =〈 −1,6 〉 and v =〈 6,−1 〉, =〈 6,−1 〉, calculate u⋅v. u⋅v.
Graphical
For the following exercises, given v, v, draw v, v, 3v and 1 2 v. 1 2 v.
〈 2,−1 〉 〈 2,−1 〉
〈 −1,4 〉 〈 −1,4 〉
〈 −3,−2 〉 〈 −3,−2 〉
For the following exercises, use the vectors shown to sketch u + v, u − v, and 2u.
For the following exercises, use the vectors shown to sketch 2u + v.
For the following exercises, use the vectors shown to sketch u − 3v.
For the following exercises, write the vector shown in component form.
Given initial point P 1 =( 2,1 ) P 1 =( 2,1 ) and terminal point P 2 =( −1,2 ), P 2 =( −1,2 ), write the vector v v in terms of i i and j, j, then draw the vector on the graph.
Given initial point P 1 =( 4,−1 ) P 1 =( 4,−1 ) and terminal point P 2 =( −3,2 ), P 2 =( −3,2 ), write the vector v v in terms of i i and j. j. Draw the points and the vector on the graph.
Given initial point P 1 =( 3,3 ) P 1 =( 3,3 ) and terminal point P 2 =( −3,3 ), P 2 =( −3,3 ), write the vector v v in terms of i i and j. j. Draw the points and the vector on the graph.
Extensions
For the following exercises, use the given magnitude and direction in standard position, write the vector in component form.
| v |=6,θ=45° | v |=6,θ=45°
| v |=8,θ=220° | v |=8,θ=220°
| v |=2,θ=300° | v |=2,θ=300°
| v |=5,θ=135° | v |=5,θ=135°
A 60-pound box is resting on a ramp that is inclined 12°. Rounding to the nearest tenth,
ⓐ Find the magnitude of the normal (perpendicular) component of the force.
ⓑ Find the magnitude of the component of the force that is parallel to the ramp.
A 25-pound box is resting on a ramp that is inclined 8°. Rounding to the nearest tenth,
ⓐ Find the magnitude of the normal (perpendicular) component of the force.
ⓑ Find the magnitude of the component of the force that is parallel to the ramp.
Find the magnitude of the horizontal and vertical components of a vector with magnitude 8 pounds pointed in a direction of 27° above the horizontal. Round to the nearest hundredth.
Find the magnitude of the horizontal and vertical components of the vector with magnitude 4 pounds pointed in a direction of 127° above the horizontal. Round to the nearest hundredth.
Find the magnitude of the horizontal and vertical components of a vector with magnitude 5 pounds pointed in a direction of 55° above the horizontal. Round to the nearest hundredth.
Find the magnitude of the horizontal and vertical components of the vector with magnitude 1 pound pointed in a direction of 8° above the horizontal. Round to the nearest hundredth.
Real-World Applications
A woman leaves home and walks 3 miles west, then 2 miles southwest. How far from home is she, and in what direction must she walk to head directly home?
A boat leaves the marina and sails 6 miles north, then 2 miles northeast. How far from the marina is the boat, and in what direction must it sail to head directly back to the marina?
A man starts walking from home and walks 4 miles east, 2 miles southeast, 5 miles south, 4 miles southwest, and 2 miles east. How far has he walked? If he walked straight home, how far would he have to walk?
A woman starts walking from home and walks 4 miles east, 7 miles southeast, 6 miles south, 5 miles southwest, and 3 miles east. How far has she walked? If she walked straight home, how far would she have to walk?
A man starts walking from home and walks 3 miles at 20° north of west, then 5 miles at 10° west of south, then 4 miles at 15° north of east. If he walked straight home, how far would he have to the walk, and in what direction?
A woman starts walking from home and walks 6 miles at 40° north of east, then 2 miles at 15° east of south, then 5 miles at 30° south of west. If she walked straight home, how far would she have to walk, and in what direction?
An airplane is heading north at an airspeed of 600 km/hr, but there is a wind blowing from the southwest at 80 km/hr. How many degrees off course will the plane end up flying, and what is the plane’s speed relative to the ground?
An airplane is heading north at an airspeed of 500 km/hr, but there is a wind blowing from the northwest at 50 km/hr. How many degrees off course will the plane end up flying, and what is the plane’s speed relative to the ground?
An airplane needs to head due north, but there is a wind blowing from the southwest at 60 km/hr. The plane flies with an airspeed of 550 km/hr. To end up flying due north, how many degrees west of north will the pilot need to fly the plane?
An airplane needs to head due north, but there is a wind blowing from the northwest at 80 km/hr. The plane flies with an airspeed of 500 km/hr. To end up flying due north, how many degrees west of north will the pilot need to fly the plane?
As part of a video game, the point ( 5,7 ) ( 5,7 ) is rotated counterclockwise about the origin through an angle of 35°. Find the new coordinates of this point.
As part of a video game, the point ( 7,3 ) ( 7,3 ) is rotated counterclockwise about the origin through an angle of 40°. Find the new coordinates of this point.
Two children are throwing a ball back and forth straight across the back seat of a car. The ball is being thrown 10 mph relative to the car, and the car is traveling 25 mph down the road. If one child doesn't catch the ball, and it flies out the window, in what direction does the ball fly (ignoring wind resistance)?
Two children are throwing a ball back and forth straight across the back seat of a car. The ball is being thrown 8 mph relative to the car, and the car is traveling 45 mph down the road. If one child doesn't catch the ball, and it flies out the window, in what direction does the ball fly (ignoring wind resistance)?
A 50-pound object rests on a ramp that is inclined 19°. Find the magnitude of the components of the force parallel to and perpendicular to (normal) the ramp to the nearest tenth of a pound.
Suppose a body has a force of 10 pounds acting on it to the right, 25 pounds acting on it upward, and 5 pounds acting on it 45° from the horizontal. What single force is the resultant force acting on the body?
Suppose a body has a force of 10 pounds acting on it to the right, 25 pounds acting on it ─135° from the horizontal, and 5 pounds acting on it directed 150° from the horizontal. What single force is the resultant force acting on the body?
The condition of equilibrium is when the sum of the forces acting on a body is the zero vector. Suppose a body has a force of 2 pounds acting on it to the right, 5 pounds acting on it upward, and 3 pounds acting on it 45° from the horizontal. What single force is needed to produce a state of equilibrium on the body?
Suppose a body has a force of 3 pounds acting on it to the left, 4 pounds acting on it upward, and 2 pounds acting on it 30° from the horizontal. What single force is needed to produce a state of equilibrium on the body? Draw the vector.