ਸਿੱਖਿਆ ਦੇ ਮਨੋਰਥ
1. ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਦੋ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਅਤੇ ਅੰਤਰ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਾਂਕ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਦੋ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
1. ਚਿੱਤਰ ੧: (ਸਿਹਰਾ: “ਐਸ.ਡੀ. ਡਿਰਕ,” ਫਲਿੱਕਰ)
ਦੋ ਕਲੱਬ ਫੁੱਟਬਾਲ ਟੀਮਾਂ, ਵਾਈਲਡਕੈਟਸ ਅਤੇ ਮਡ ਕੈਟਸ, ਆਗਾਮੀ ਸੀਜ਼ਨ ਲਈ ਨਵੇਂ ਉਪਕਰਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੀ ਉਮੀਦ ਕਰ ਰਹੀਆਂ ਹਨ। ਸਾਰਣੀ 1 ਦੋਵਾਂ ਟੀਮਾਂ ਦੀਆਂ ਲੋੜਾਂ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ।
1. ਕੂਕਦੇ ਬਿੱਲੇ | ਗਾਰੇ ਬਿੱਲੇ
1. ਕਤਾਰ: ਟੀਚੇ | 6 | 10
1. ਕਤਾਰ: ਗੇਂਦਾਂ | 30 | 24
1. ਪੰਕਤੀ: ਜਰਸੀਆਂ | 14 | 20
ਇੱਕ ਗੋਲ ਦੀ ਕੀਮਤ 300 ਡਾਲਰ ਹੈ; ਇੱਕ ਗੇਂਦ ਦੀ ਕੀਮਤ 10 ਡਾਲਰ ਹੈ; ਅਤੇ ਇੱਕ ਜਰਸੀ ਦੀ ਕੀਮਤ 30 ਡਾਲਰ ਹੈ। ਹਰ ਟੀਮ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੇ ਸਾਜ਼ੋ-ਸਾਮਾਨ ਦੀ ਕੁੱਲ ਕੀਮਤ ਅਸੀਂ ਕਿਵੇਂ ਪਤਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ? ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਵਿਧੀ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਫੁੱਟਬਾਲ ਸਾਜ਼ੋ-ਸਾਮਾਨ ਟੇਬਲ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਡਾਟੇ ਨੂੰ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਹੋਰ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ, ਅਸੀਂ ਸਾਜ਼ੋ-ਸਾਮਾਨ ਦੀ ਕੀਮਤ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋਵਾਂਗੇ।
ਦੋ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ
1. ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੀ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਜਿਸ ਦਾ ਵਰਣਨ ਫੁੱਟਬਾਲ ਟੀਮਾਂ ਲਈ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ (matrix) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਕਿ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਵਿਵਸਥਾ ਹੈ। ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕਤਾਰ (row) ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਖਿਤਿਜੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇਕਸਾਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕਾਲਮ (column) ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਲੰਬਕਾਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇਕਸਾਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਹਰੇਕ ਸੰਖਿਆ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਇੱਕ ਅੰਕ (entry), ਜਿਸਨੂੰ ਕਈ ਵਾਰ ਤੱਤ (element) ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ (plural) ਨੂੰ [ ] ਜਾਂ ( ) ਵਿੱਚ ਬੰਦ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵੱਡੇ ਅੱਖਰਾਂ ਨਾਲ ਨਾਮ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਹੇਠਾਂ ਤਿੰਨ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਨਾਮ A, B, ਅਤੇ C ਹਨ।
1. ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਵਰਣਨ
1. ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਅਕਸਰ ਇਸਦੇ ਆਕਾਰ ਜਾਂ ਮਾਪਾਂ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ: m×n, ਜਿਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ m ਕਤਾਰਾਂ ਅਤੇ n ਕਾਲਮ। ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀਆਂ ਐਂਟਰੀਆਂ ਪਹਿਲਾਂ ਕਤਾਰ ਅਤੇ ਫਿਰ ਕਾਲਮ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ A ਵਿੱਚ a<sub>ij</sub> ਦੁਆਰਾ ਪਛਾਣੀ ਗਈ ਐਂਟਰੀ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਕਤਾਰ i, ਕਾਲਮ j ਵਿੱਚ ਐਂਟਰੀ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ। ਹੇਠਾਂ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ A ਵਿੱਚ, ਕਤਾਰ 2, ਕਾਲਮ 3 ਵਿੱਚ ਐਂਟਰੀ a<sub>23</sub> ਹੈ।
1. ਵਰਗ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਮਾਪ n×n, n×n ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕਿ ਇਸ ਵਿੱਚ ਕਾਲਮਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਕਤਾਰਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਉੱਪਰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ 3×3 3×3 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਇੱਕ ਵਰਗ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ।
ਇੱਕ ਸਤਾਰੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਅਜਿਹੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਤਾਰ ਅਤੇ 1×n ਮਾਪ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। 1×n।
ਇੱਕ ਕਾਲਮ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਅਜਿਹੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ m×1 ਮਾਪਾਂ ਵਾਲਾ ਇੱਕੋ ਕਾਲਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। m×1।
1. ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ (matrix) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਚਲਾਂ (variables) ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ (coefficients) ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਅਕਸਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਸੌਖਾ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ ਉਹ ਚਲਾਂ ਨਾਲ ਬੋਝਲ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ। ਅਸੀਂ ਅਗਲੇ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਇਸ ਵਿਚਾਰ ਦੀ ਹੋਰ ਜਾਂਚ ਕਰਾਂਗੇ, ਪਰ ਪਹਿਲਾਂ ਅਸੀਂ ਬੁਨਿਆਦੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਕਾਰਜਾਂ (operations) ਨੂੰ ਦੇਖਾਂਗੇ।
1. ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ
1. ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ (matrix) ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਵਿਵਸਥਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਇੱਕ ਵੱਡੇ ਅੱਖਰ ਦੁਆਰਾ ਨਾਮ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ: A, B, C, ਅਤੇ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ। ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਪ੍ਰਵੇਸ਼ ਨੂੰ $a_{ij}$ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ $i$ ਕਤਾਰ (row) ਅਤੇ $j$ ਕਾਲਮ (column) ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਅਕਸਰ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਆਕਾਰ (dimensions) ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ: $m \times n$, ਜੋ $m$ ਕਤਾਰਾਂ ਅਤੇ $n$ ਕਾਲਮਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
1. ਮਿਸਾਲ 1
1. ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਮਾਪ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ ਅਤੇ ਪ੍ਰਵੇਸ਼ਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ
1. ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਏ: ਏ:
2. ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਏ ਦੇ ਮਾਪ ਕੀ ਹਨ? ਏ?
3. ⓑ 31 ਅਤੇ 22 ਸਥਾਨਾਂ 'ਤੇ ਕਿਹੜੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ? 31 22 A=[ 2 1 0 2 4 7 3 1 −2 ] A=[ 2 1 0 2 4 7 3 1 −2 ]
4. ਹੱਲ
5. ⓐਮਾਪ 3×3 ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ ਤਿੰਨ ਕਤਾਰਾਂ ਅਤੇ ਤਿੰਨ ਕਾਲਮ ਹਨ।
6. ⓑ 31 ਸਥਾਨ 'ਤੇ ਸੰਖਿਆ ਤੀਜੀ ਕਤਾਰ, ਪਹਿਲੇ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ 3 ਹੈ। 22 ਸਥਾਨ 'ਤੇ ਸੰਖਿਆ ਦੂਜੀ ਕਤਾਰ, ਦੂਜੇ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ 4 ਹੈ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ, ਪਹਿਲਾਂ ਕਤਾਰ ਆਉਂਦੀ ਹੈ, ਫਿਰ ਕਾਲਮ।
7. ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ
8. ਅਸੀਂ ਡਾਟਾ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕਰਨ ਜਾਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਉਂਕਿ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਅੰਦਰ ਹਨ, ਅਸੀਂ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ 'ਤੇ ਕਾਰਵਾਈਆਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਨੂੰ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਜਾਂ ਘਟਾ ਕੇ ਜੋੜਦੇ ਜਾਂ ਘਟਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।
9. ਅਜਿਹਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਮੇਲ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ ਕੇਵਲ ਤਾਂ ਹੀ ਸੰਭਵ ਹੈ ਜਦੋਂ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦੇ ਮਾਪ ਸਮਾਨ ਹੋਣ। ਅਸੀਂ 3×3 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਅਤੇ ਦੂਜੇ 3×3 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਜੋੜ ਜਾਂ ਘਟਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਪਰ ਅਸੀਂ 2×3 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਅਤੇ 3×3 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਜੋੜ ਜਾਂ ਘਟਾ ਨਹੀਂ ਸਕਦੇ ਕਿਉਂਕਿ ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਕੁਝ ਅੰਕ ਦੂਜੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵਿੱਚ ਸੰਬੰਧਿਤ ਅੰਕ ਨਹੀਂ ਰੱਖਣਗੇ।
10. ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ
11. ਸਮਾਨ ਮਾਪ ਵਾਲੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਏ ਅਤੇ ਬੀ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ, ਏ ਅਤੇ ਬੀ ਦਾ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ ਸਮਾਨ ਮਾਪ ਵਾਲੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਸੀ ਜਾਂ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਡੀ ਪੈਦਾ ਕਰੇਗਾ।
12. ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਜੋੜ ਕਮਿਊਟੇਟਿਵ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
13. ਇਹ ਐਸੋਸੀਏਟਿਵ ਵੀ ਹੈ।
14. ਉਦਾਹਰਨ 2
15. ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
16. ਏ ਅਤੇ ਬੀ ਦਾ ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
17. ਹੱਲ
18. ਸੰਬੰਧਿਤ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ।
19. ਉਦਾਹਰਨ 3
20. ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਏ ਅਤੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਬੀ ਨੂੰ ਜੋੜਨਾ
21. ਏ ਅਤੇ ਬੀ ਦਾ ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰੋ।
22. ਹੱਲ
23. ਸੰਬੰਧਿਤ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ। ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਏ ਦੇ ਪਹਿਲੀ ਕਤਾਰ, ਪਹਿਲੇ ਕਾਲਮ, 11 ਦੇ ਅੰਕ ਨੂੰ ਬੀ ਦੇ ਪਹਿਲੀ ਕਤਾਰ, ਪਹਿਲੇ ਕਾਲਮ, 11 ਦੇ ਅੰਕ ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ। ਸਾਰੇ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਜੁੜ ਜਾਣ ਤੱਕ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਜਾਰੀ ਰੱਖੋ।
24. ਉਦਾਹਰਨ 4
ਦੋ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
A A ਅਤੇ B. B. ਦਾ ਅੰਤਰ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਐਂਟਰੀਆਂ ਨੂੰ ਘਟਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਦੋ 3 x 3 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਅਤੇ ਅੰਤਰ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ A A ਅਤੇ B: B:
ⓐ ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ⓑ ਅੰਤਰ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ⓐ ਸੰਗਤ ਐਂਟਰੀਆਂ ਜੋੜੋ। A+B=[ 2 −10 −2 14 12 10 4 −2 2 ]+[ 6 10 −2 0 −12 −4 −5 2 −2 ] =[ 2+6 −10+10 −2−2 14+0 12−12 10−4 4−5 −2+2 2−2 ] =[ 8 0 −4 14 0 6 −1 0 0 ] A+B=[ 2 −10 −2 14 12 10 4 −2 2 ]+[ 6 10 −2 0 −12 −4 −5 2 −2 ] =[ 2+6 −10+10 −2−2 14+0 12−12 10−4 4−5 −2+2 2−2 ] =[ 8 0 −4 14 0 6 −1 0 0 ]
ⓑ ਸੰਗਤ ਐਂਟਰੀਆਂ ਘਟਾਓ। A−B=[ 2 −10 −2 14 12 10 4 −2 2 ]−[ 6 10 −2 0 −12 −4 −5 2 −2 ] =[ 2−6 −10−10 −2+2 14−0 12+12 10+4 4+5 −2−2 2+2 ] =[ −4 −20 0 14 24 14 9 −4 4 ] A−B=[ 2 −10 −2 14 12 10 4 −2 2 ]−[ 6 10 −2 0 −12 −4 −5 2 −2 ] =[ 2−6 −10−10 −2+2 14−0 12+12 10+4 4+5 −2−2 2+2 ] =[ −4 −20 0 14 24 14 9 −4 4 ]
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ A A ਅਤੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ B. B. ਨੂੰ ਜੋੜੋ।
ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਾਂਕ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
ਸਾਰੀਆਂ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਅਤੇ ਘਟਾਉਣ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਕਈ ਅਜਿਹੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਸਕੇਲਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਸਕੇਲਰ ਇੱਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਮਾਤਰਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਮਾਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਦਿਸ਼ਾ ਨਹੀਂ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਸਮਾਂ, ਤਾਪਮਾਨ, ਅਤੇ ਦੂਰੀ ਸਕੇਲਰ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਹਨ। ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਾ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਹਰੇਕ ਐਂਟਰੀ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਾਂਕ ਕੋਈ ਵੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਐਂਟਰੀ ਹੈ ਜੋ ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਾ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਇੱਕ ਅਸਲ-ਦੁਨਿਆਵੀ ਦ੍ਰਿਸ਼ ਨੂੰ ਵਿਚਾਰੋ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਯੂਨੀਵਰਸਿਟੀ ਨੂੰ ਵਧੇ ਹੋਏ ਦਾਖਲੇ ਕਾਰਨ ਕੈਂਪਸ ਦੀਆਂ ਦੋ ਪ੍ਰਯੋਗਸ਼ਾਲਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਕੰਪਿਊਟਰਾਂ, ਕੰਪਿਊਟਰ ਟੇਬਲਾਂ ਅਤੇ ਕੁਰਸੀਆਂ ਦੀ ਆਪਣੀ ਵਸਤੂ ਸੂਚੀ ਵਿੱਚ ਵਾਧਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਉਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਹੈ ਕਿ ਦੋਵਾਂ ਪ੍ਰਯੋਗਸ਼ਾਲਾਵਾਂ ਵਿੱਚ 15% ਵਧੇਰੇ ਉਪਕਰਨਾਂ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਸਕੂਲ ਦੀ ਮੌਜੂਦਾ ਵਸਤੂ ਸੂਚੀ ਟੇਬਲ 2 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਈ ਗਈ ਹੈ।
ਰੋ: ਪ੍ਰਯੋਗਸ਼ਾਲਾ A | ਪ੍ਰਯੋਗਸ਼ਾਲਾ B
ਰੋ: ਕੰਪਿਊਟਰ | 15 | 27
ਰੋ: ਕੰਪਿਊਟਰ ਟੇਬਲ | 16 | 34
ਰੋ: ਕੁਰਸੀਆਂ | 16 | 34
ਡਾਟਾ ਨੂੰ ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਕੰਪਿਊਟਰ ਉਪਕਰਨਾਂ ਦੀ ਲੋੜੀਂਦੀ ਮਾਤਰਾ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ C C ਦੀਆਂ ਸਾਰੀਆਂ ਐਂਟਰੀਆਂ ਨੂੰ 0.15 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਸਾਨੂੰ ਅਗਲੇ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਨਵੇਂ ਉਪਕਰਨਾਂ ਦੀ ਲੋੜੀਂਦੀ ਮਾਤਰਾ ਹੈ
ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿਖਾਏ ਅਨੁਸਾਰ ਜੋੜਨ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਨਵੇਂ ਵਸਤੂਆਂ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ
ਇਸ ਲਈ, ਲੈਬ ਏ ਵਿੱਚ 18 ਕੰਪਿਊਟਰ, 19 ਕੰਪਿਊਟਰ ਟੇਬਲ ਅਤੇ 19 ਕੁਰਸੀਆਂ ਹੋਣਗੀਆਂ; ਲੈਬ ਬੀ ਵਿੱਚ 32 ਕੰਪਿਊਟਰ, 40 ਕੰਪਿਊਟਰ ਟੇਬਲ ਅਤੇ 40 ਕੁਰਸੀਆਂ ਹੋਣਗੀਆਂ।
ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਾ
ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਾ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਨੂੰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਹਰੇਕ ਪ੍ਰਵੇਸ਼ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ
ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਕ cA cA ਹੈ
ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਾ ਵਿਤਰਕੀ ਹੈ। ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ A,B, A,B, ਅਤੇ C C ਲਈ ਸਕੇਲਰ a a ਅਤੇ b, b ਨਾਲ,
ਉਦਾਹਰਨ 6
ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਸਕੇਲਰ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ
ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ A A ਨੂੰ ਸਕੇਲਰ 3 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
A A ਦੇ ਹਰੇਕ ਪ੍ਰਵੇਸ਼ ਨੂੰ ਸਕੇਲਰ 3 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ B, B ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, −2B −2B ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿੱਥੇ
ਉਦਾਹਰਨ 7
ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
Find the sum 3A+2B. 3A+2B.
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, 3A, 3A ਪਤਾ ਕਰੋ, ਫਿਰ 2B. 2B.
Now, add 3A+2B. 3A+2B.
ਦੋ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਸਕੇਲਰ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਅਸੀਂ ਦੋ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਦੋ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਸਿਰਫ ਉਦੋਂ ਹੀ ਸੰਭਵ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਅੰਦਰੂਨੀ ਮਾਪ ਸਮਾਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਪਹਿਲੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਕਾਲਮਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੂਜੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀਆਂ ਕਤਾਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ A A ਇੱਕ m×r m×r ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੈ ਅਤੇ B B ਇੱਕ r×n r×n ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੈ, ਤਾਂ ਗੁਣਨਫਲ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ AB AB ਇੱਕ m×n m×n ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਗੁਣਨਫਲ AB AB ਸੰਭਵ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ A A ਵਿੱਚ ਕਾਲਮਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ B B ਵਿੱਚ ਕਤਾਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅੰਦਰੂਨੀ ਮਾਪ ਮੇਲ ਨਹੀਂ ਖਾਂਦੇ, ਤਾਂ ਗੁਣਨਫਲ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ।
ਅਸੀਂ A A ਦੇ ਪ੍ਰਵੇਸ਼ਾਂ ਨੂੰ B B ਦੇ ਪ੍ਰਵੇਸ਼ਾਂ ਨਾਲ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਪੈਟਰਨ ਅਨੁਸਾਰ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦੱਸਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਗੁਣਾ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨਾਲ ਇੱਕ ਸਮੱਸਿਆ 'ਤੇ ਕੰਮ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਵਧੇਰੇ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
AB AB ਦੀ ਕਤਾਰ i i ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਵੇਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ A A ਦੀ ਕਤਾਰ i i ਦੇ ਪ੍ਰਵੇਸ਼ਾਂ ਨੂੰ B B ਦੇ ਕਾਲਮ j j ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ A A ਅਤੇ B, B ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ A A ਦੇ ਮਾਪ 2×3 2×3 ਹਨ ਅਤੇ B B ਦੇ ਮਾਪ 3×3, 3×3 ਹਨ, AB AB ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਇੱਕ 2×3 2×3 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੋਵੇਗਾ।
ਗੁਣਨਫਲ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ AB AB ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪ੍ਰਵੇਸ਼ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਗੁਣਾ ਅਤੇ ਜੋੜੋ। AB.
AB AB ਦੀ ਕਤਾਰ 1, ਕਾਲਮ 1 ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਵੇਸ਼ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, A A ਦੀ ਪਹਿਲੀ ਕਤਾਰ ਨੂੰ B, B ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਕਾਲਮ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਜੋੜੋ। [ a 11 a 12 a 13 ][ b 11 b 21 b 31 ]= a 11 ⋅ b 11 + a 12 ⋅ b 21 + a 13 ⋅ b 31 [ a 11 a 12 a 13 ][ b 11 b 21 b 31 ]= a 11 ⋅ b 11 + a 12 ⋅ b 21 + a 13 ⋅ b 31
To obtain the entry in row 1, column 2 of AB, AB, multiply the first row of A A by the second column in B, B, and add. [ a 11 a 12 a 13 ][ b 12 b 22 b 32 ]= a 11 ⋅ b 12 + a 12 ⋅ b 22 + a 13 ⋅ b 32 [ a 11 a 12 a 13 ][ b 12 b 22 b 32 ]= a 11 ⋅ b 12 + a 12 ⋅ b 22 + a 13 ⋅ b 32
To obtain the entry in row 1, column 3 of AB, AB, multiply the first row of A A by the third column in B, B, and add. [ a 11 a 12 a 13 ][ b 13 b 23 b 33 ]= a 11 ⋅ b 13 + a 12 ⋅ b 23 + a 13 ⋅ b 33 [ a 11 a 12 a 13 ][ b 13 b 23 b 33 ]= a 11 ⋅ b 13 + a 12 ⋅ b 23 + a 13 ⋅ b 33
We proceed the same way to obtain the second row of AB. AB. In other words, row 2 of A A times column 1 of B; B; row 2 of A A times column 2 of B; B; row 2 of A A times column 3 of B. B. When complete, the product matrix will be
Properties of Matrix Multiplication
For the matrices A,B, A,B, and C C the following properties hold.
Matrix multiplication is associative: ( AB )C=A( BC ). ( AB )C=A( BC ).
Matrix multiplication is distributive: C(A+B)=CA+CB, (A+B)C=AC+BC. C(A+B)=CA+CB, (A+B)C=AC+BC.
Note that matrix multiplication is not commutative.
Example 8
Multiplying Two Matrices
Multiply matrix A A and matrix B. B.
Solution
First, we check the dimensions of the matrices. Matrix A A has dimensions 2×2 2×2 and matrix B B has dimensions 2×2. 2×2. The inner dimensions are the same so we can perform the multiplication. The product will have the dimensions 2×2. 2×2.
We perform the operations outlined previously.
Example 9
Multiplying Two Matrices
Given A A and B: B:
ⓐ Find AB. AB.
ⓑ Find BA. BA.
Solution
ⓐAs the dimensions of A A are 2×3 2×3 and the dimensions of B B are 3×2, 3×2, these matrices can be multiplied together because the number of columns in A A matches the number of rows in B. B. The resulting product will be a 2×2 2×2 matrix, the number of rows in A A by the number of columns in B. B. AB=[ −1 2 3 4 0 5 ] [ 5 −1 −4 0 2 3 ] =[ −1(5)+2(−4)+3(2) −1(−1)+2(0)+3(3) 4(5)+0(−4)+5(2) 4(−1)+0(0)+5(3) ] =[ −7 10 30 11 ] AB=[ −1 2 3 4 0 5 ] [ 5 −1 −4 0 2 3 ] =[ −1(5)+2(−4)+3(2) −1(−1)+2(0)+3(3) 4(5)+0(−4)+5(2) 4(−1)+0(0)+5(3) ] =[ −7 10 30 11 ]
ⓑThe dimensions of B B are 3 × 2 3 × 2 and the dimensions of A A are 2 × 3. 2 × 3. The inner dimensions match so the product is defined and will be a 3 × 3 3 × 3 matrix. BA=[ 5 −1 −4 0 2 3 ] [ −1 2 3 4 0 5 ] =[ 5(−1)+−1(4) 5(2)+−1(0) 5(3)+−1(5) −4(−1)+0(4) −4(2)+0(0) −4(3)+0(5) 2(−1)+3(4) 2(2)+3(0) 2(3)+3(5) ] =[ −9 10 10 4 −8 −12 10 4 21 ] BA=[ 5 −1 −4 0 2 3 ] [ −1 2 3 4 0 5 ] =[ 5(−1)+−1(4) 5(2)+−1(0) 5(3)+−1(5) −4(−1)+0(4) −4(2)+0(0) −4(3)+0(5) 2(−1)+3(4) 2(2)+3(0) 2(3)+3(5) ] =[ −9 10 10 4 −8 −12 10 4 21 ]
Analysis
Notice that the products AB AB and BA BA are not equal.
This illustrates the fact that matrix multiplication is not commutative.
Q&A
Is it possible for AB to be defined but not BA?
Yes, consider a matrix A with dimension 3×4 3×4 and matrix B with dimension 4×2. 4×2. For the product AB the inner dimensions are 4 and the product is defined, but for the product BA the inner dimensions are 2 and 3 so the product is undefined.
Example 10
Using Matrices in Real-World Problems
Let’s return to the problem presented at the opening of this section. We have Table 3, representing the equipment needs of two soccer teams.
row: Wildcats | Mud Cats
row: Goals | 6 | 10
row: Balls | 30 | 24
row: Jerseys | 14 | 20
We are also given the prices of the equipment, as shown in Table 4.
row: Goal | $300
row: Ball | $10
row: Jersey | $30
We will convert the data to matrices. Thus, the equipment need matrix is written as
The cost matrix is written as
We perform matrix multiplication to obtain costs for the equipment.
The total cost for equipment for the Wildcats is $2,520, and the total cost for equipment for the Mud Cats is $3,840.
How To
Given a matrix operation, evaluate using a calculator.
Save each matrix as a matrix variable [ A ],[ B ],[ C ],... [ A ],[ B ],[ C ],...
Enter the operation into the calculator, calling up each matrix variable as needed.
If the operation is defined, the calculator will present the solution matrix; if the operation is undefined, it will display an error message.
Example 11
Using a Calculator to Perform Matrix Operations
Find AB−C AB−C given
Solution
On the matrix page of the calculator, we enter matrix A A above as the matrix variable [ A ], [ A ], matrix B B above as the matrix variable [ B ], [ B ], and matrix C C above as the matrix variable [ C ]. [ C ].
On the home screen of the calculator, we type in the problem and call up each matrix variable as needed.
The calculator gives us the following matrix.
Media
Access these online resources for additional instruction and practice with matrices and matrix operations.
Dimensions of a Matrix
Matrix Addition and Subtraction
Matrix Operations
Matrix Multiplication
Verbal
Can we add any two matrices together? If so, explain why; if not, explain why not and give an example of two matrices that cannot be added together.
Can we multiply any column matrix by any row matrix? Explain why or why not.
Can both the products AB AB and BA BA be defined? If so, explain how; if not, explain why.
Can any two matrices of the same size be multiplied? If so, explain why, and if not, explain why not and give an example of two matrices of the same size that cannot be multiplied together.
Does matrix multiplication commute? That is, does AB=BA? AB=BA? If so, prove why it does. If not, explain why it does not.
Algebraic
For the following exercises, use the matrices below and perform the matrix addition or subtraction. Indicate if the operation is undefined.
A+B A+B
C+D C+D
A+C A+C
B−E B−E
C+F C+F
D−B D−B
For the following exercises, use the matrices below to perform scalar multiplication.
5A 5A
3B 3B
−2B −2B
−4C −4C
1 2 C 1 2 C
100D 100D
For the following exercises, use the matrices below to perform matrix multiplication.
AB AB
BC BC
CA CA
BD BD
DC DC
CB CB
For the following exercises, use the matrices below to perform the indicated operation if possible. If not possible, explain why the operation cannot be performed.
A+B−C A+B−C
4A+5D 4A+5D
2C+B 2C+B
3D+4E 3D+4E
C−0.5D C−0.5D
100D−10E 100D−10E
For the following exercises, use the matrices below to perform the indicated operation if possible. If not possible, explain why the operation cannot be performed. (Hint: A 2 =A⋅A A 2 =A⋅A )
AB AB
BA BA
CA CA
BC BC
A 2 A 2
B 2 B 2
C 2 C 2
B 2 A 2 B 2 A 2
A 2 B 2 A 2 B 2
(AB) 2 (AB) 2
(BA) 2 (BA) 2
For the following exercises, use the matrices below to perform the indicated operation if possible. If not possible, explain why the operation cannot be performed. (Hint: A 2 =A⋅A A 2 =A⋅A )
AB AB
BA BA
BD BD
DC DC
D 2 D 2
A 2 A 2
D 3 D 3
(AB)C (AB)C
A(BC) A(BC)
Technology
For the following exercises, use the matrices below to perform the indicated operation if possible. If not possible, explain why the operation cannot be performed. Use a calculator to verify your solution.
AB AB
BA BA
CA CA
BC BC
ABC ABC
Extensions
For the following exercises, use the matrix below to perform the indicated operation on the given matrix.
B 2 B 2
B 3 B 3
B 4 B 4
B 5 B 5
Using the above questions, find a formula for B n . B n . Test the formula for B 201 B 201 and B 202 , B 202 , using a calculator.