ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
P(x) Q(x) P(x) Q(x) ਨੂੰ ਵਿਭਾਜਿਤ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ Q(x)Q(x) ਦੇ ਕੇਵਲ ਅਣ-ਦੁਹਰਾਈਆਂ ਰੇਖੀ ਕਾਰਕ ਹਨ।
P(x) Q(x) P(x) Q(x) ਨੂੰ ਵਿਭਾਜਿਤ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ Q(x)Q(x) ਦੇ ਦੁਹਰਾਈਆਂ ਰੇਖੀ ਕਾਰਕ ਹਨ।
P(x) Q(x) P(x) Q(x) ਨੂੰ ਵਿਭਾਜਿਤ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ Q(x)Q(x) ਦਾ ਇੱਕ ਅਣ-ਦੁਹਰਾਈਆ ਅਟੁੱਟ ਵਰਗਾਕਾਰ ਕਾਰਕ ਹੈ।
P(x) Q(x) P(x) Q(x) ਨੂੰ ਵਿਭਾਜਿਤ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ Q(x)Q(x) ਦਾ ਇੱਕ ਦੁਹਰਾਈਆ ਅਟੁੱਟ ਵਰਗਾਕਾਰ ਕਾਰਕ ਹੈ।
ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ, ਤਿੰਨ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ, ਅਤੇ ਗੈਰ-ਰੇਖੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਇੱਥੇ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਪੇਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸ ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ—ਤर्कਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਵਿਭਾਜਨ।
ਭਿੰਨਾਂ ਜਟਿਲ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ; ਹਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਚਲ ਜੋੜਨ ਨਾਲ ਉਹ ਹੋਰ ਵੀ ਜਟਿਲ ਹੋ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤੇ ਗਏ ਤਰੀਕੇ ਇੱਕ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਨਗੇ।
P(x) Q(x) P(x) Q(x) ਦਾ ਵਿਭਾਜਨ ਜਿੱਥੇ Q(x) ਦੇ ਕੇਵਲ ਅਣ-ਦੁਹਰਾਈਆਂ ਰੇਖੀ ਕਾਰਕ ਹਨ
ਤर्कਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਅਤੇ ਘਟਾਉਣ ਸੰਬੰਧੀ ਅਲਜਬਰਾ ਨੂੰ ਯਾਦ ਕਰੋ। ਇਹ ਕਾਰਜ ਇੱਕ ਸਾਂਝਾ ਹਰ ਲੱਭਣ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੇ ਹਨ ਤਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਜੋੜ ਜਾਂ ਘਟਾਓ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ, ਸਰਲ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨ ਵਜੋਂ ਲਿਖ ਸਕੀਏ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਵਿਭਾਜਨ ਨੂੰ ਦੇਖਾਂਗੇ, ਜੋ ਕਿ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਜਾਂ ਘਟਾਉਣ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਦਾ ਉਲਟਾ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਸਿੰਗਲ ਸਰਲ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨ ਤੋਂ ਅਸਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਵੱਲ ਵਾਪਸੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਅਸੀਂ ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ:
ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਇੱਕ ਸਾਂਝਾ ਹਰ, (x+2)(x−3) ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇਗੀ। (x+2)(x−3)।
ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਇਸ ਸਾਂਝੇ ਹਰ ਨਾਲ ਲਿਖਾਂਗੇ ਅਤੇ ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਪਾਵਾਂਗੇ।
ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਵਿਭਾਜਨ ਇਸ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਦਾ ਉਲਟ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਹੱਲ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਾਂਗੇ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਦੋ ਭਿੰਨਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਾਂਗੇ (ਵਿਭਾਜਿਤ ਕਰਾਂਗੇ)।
ਅਸੀਂ ਹਰ ਵਿੱਚ ਰੇਖੀ ਕਾਰਕਾਂ ਅਤੇ ਵਰਗਾਕਾਰ ਕਾਰਕਾਂ ਵਾਲੇ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਾਂਗੇ ਜਿੱਥੇ ਅੰਸ਼ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਹਰ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੈ। ਭਾਵੇਂ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਕਿਸਮ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਵਿਭਾਜਿਤ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਅਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਕੰਮ ਹਰ ਨੂੰ ਕਾਰਕੀਕਰਨ ਕਰਨਾ ਹੈ।
ਜਦੋਂ ਸਰਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹਰ ਵਿੱਚ ਵੱਖਰੇ ਰੇਖੀ ਕਾਰਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਇਹ ਸੰਭਵ ਹੈ ਕਿ ਅਸਲ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਿਆ ਜਾਂ ਘਟਾਇਆ ਗਿਆ ਸੀ, ਦਾ ਹਰ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਕਾਰਕ ਸੀ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਉਪਰੋਕਤ ਉਦਾਹਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, x 2 −x−6 x 2 −x−6 ਦੇ ਕਾਰਕ ( x−3 )( x+2 ), ( x−3 )( x+2 ) ਹਨ, ਜੋ ਕਿ ਵਿਭਾਜਿਤ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹਰ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਸਰਲ ਰੂਪ ਨੂੰ ਵਿਅਕਤੀਗਤ ਭਿੰਨਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਾਂਗੇ ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਅੰਸ਼ ਲਈ ਇੱਕ ਚਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ। ਫਿਰ, ਅਸੀਂ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਵਿਭਾਜਨ ਲਈ ਉਪਲਬਧ ਕਈ ਤਰੀਕਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹਰੇਕ ਅੰਸ਼ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਾਂਗੇ।
P(x) Q(x) :Q(x) ਦਾ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਵਿਭਾਜਨ ਜਿੱਥੇ Q(x) ਦੇ ਅਣ-ਦੁਹਰਾਈਆਂ ਰੇਖੀ ਕਾਰਕ ਹਨ
P(x) Q(x) P(x) Q(x) ਦਾ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਵਿਭਾਜਨ ਜਦੋਂ Q(x) Q(x) ਦੇ ਅਣ-ਦੁਹਰਾਈਆਂ ਰੇਖੀ ਕਾਰਕ ਹਨ ਅਤੇ P(x) P(x) ਦੀ ਡਿਗਰੀ Q(x) Q(x) ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੈ, ਇਹ ਹੈ
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਹਰ ਵਿੱਚ ਵੱਖਰੇ ਰੇਖੀ ਕਾਰਕਾਂ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇਸਨੂੰ ਵਿਭਾਜਿਤ ਕਰੋ।
ਅਸਲ ਅੰਸ਼ਾਂ ਲਈ ਇੱਕ ਚਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ A, B, ਜਾਂ C, ਕਾਰਕਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ, ਹਰੇਕ ਚਲ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਕਾਰਕ ਉੱਤੇ ਰੱਖੋ। ਇਸ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੇ ਉਦੇਸ਼ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਅੰਸ਼ ਲਈ A n ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ P(x) Q(x) = A 1 ( a 1 x+ b 1 ) + A 2 ( a 2 x+ b 2 ) +⋯+ A n ( a n x+ b n ) P(x) Q(x) = A 1 ( a 1 x+ b 1 ) + A 2 ( a 2 x+ b 2 ) +⋯+ A n ( a n x+ b n )
ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨ ਲਈ ਸਾਂਝੇ ਹਰ ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰੋ ਅਤੇ ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠਾ ਕਰੋ।
ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਤੋਂ ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖੋ ਤਾਂ ਜੋ ਅੰਸ਼ਾਂ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਬਣਾਈ ਜਾ ਸਕੇ।
1. ਮਿਸਾਲ 1
2. ਵੱਖਰੇ ਰੇਖੀ ਕਾਰਕਾਂ ਵਾਲੇ ਤਰਕੀਬੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਵਿਛੋੜਾ
3. ਵੱਖਰੇ ਰੇਖੀ ਕਾਰਕਾਂ ਵਾਲੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਤਰਕੀਬੀ ਪ੍ਰਗਟਾਵੇ ਦਾ ਵਿਛੋੜਾ ਕਰੋ।
4. ਹੱਲ
5. ਅਸੀਂ ਹਰ (denominator) ਦੇ ਕਾਰਕਾਂ ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰਾਂਗੇ ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਅੰਸ਼ (numerator) ਨੂੰ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਕ ਨਾਮ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ A, B, ਜਾਂ C, ਦੇਵਾਂਗੇ।
6. ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਸਾਂਝੇ ਹਰ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ:
7. ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ
8. ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰੋ ਅਤੇ ਸਮਾਨ ਪਦ ਇਕੱਠੇ ਕਰੋ।
9. ਸੰਬੰਧਿਤ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਵਾਲੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ।
10. ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ ਅਤੇ B ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
11. ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੀਆਂ ਮੂਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਵਿੱਚ B=1 ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
12. ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨਾਂ ਦਾ ਵਿਛੋੜਾ ਹੈ
13. A ਜਾਂ B ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤਣ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਸਮੀਕਰਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕੀਤਾ ਜਾਵੇ ਅਤੇ x ਦਾ ਅਜਿਹਾ ਮੁੱਲ ਬਦਲਿਆ ਜਾਵੇ ਜੋ A- ਜਾਂ B-ਪਦ ਨੂੰ 0 ਬਣਾ ਦੇਵੇ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ x=1 ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ A-ਪਦ 0 ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ B ਲਈ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
14. ਅੱਗੇ, ਜਾਂ ਤਾਂ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ B=1 ਨੂੰ ਬਦਲੋ ਅਤੇ A ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ, ਜਾਂ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ x=−2 ਬਦਲ ਕੇ B-ਪਦ ਨੂੰ 0 ਬਣਾਓ।
15. ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ A ਅਤੇ B ਲਈ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਇਸ ਲਈ ਦੋਵਾਂ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਵਿਛੋੜੇ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹਨ।
16. ਹਾਲਾਂਕਿ ਇਹ ਤਰੀਕਾ ਪਾਠ ਪੁਸਤਕਾਂ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਜ਼ਿਆਦਾ ਨਹੀਂ ਦੇਖਿਆ ਜਾਂਦਾ, ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਬਦਲ ਵਜੋਂ ਪੇਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਕੁਝ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨਾਂ ਦੇ ਵਿਛੋੜੇ ਨੂੰ ਆਸਾਨ ਬਣਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਹੈਵਿਸਾਈਡ ਵਿਧੀ (Heaviside method) ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਨਾਮ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਨਿਕਸ ਦੇ ਅਧਿਐਨ ਦੇ ਮੋਢੀ ਚਾਰਲਸ ਹੈਵਿਸਾਈਡ (Charles Heaviside) ਦੇ ਨਾਮ 'ਤੇ ਰੱਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।
17. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #1
18. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਪ੍ਰਗਟਾਵੇ ਦਾ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਵਿਛੋੜਾ ਪਤਾ ਕਰੋ।
19. P(x)/Q(x) ਦਾ ਵਿਛੋੜਾ ਜਦੋਂ Q(x) ਵਿੱਚ ਦੁਹਰਾਏ ਗਏ ਰੇਖੀ ਕਾਰਕ ਹੋਣ
20. ਕੁਝ ਭਿੰਨਾਂ ਦਾ ਸਾਹਮਣਾ ਅਸੀਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਜੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਅਸੀਂ ਦੁਹਰਾਏ ਗਏ ਰੇਖੀ ਕਾਰਕਾਂ ਵਾਲੇ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਵਿਛੋੜ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਯਾਦ ਰੱਖਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਕਾਰਕ ਨੂੰ ਵਧਦੀਆਂ ਸ਼ਕਤੀਆਂ ਵਿੱਚ ਲਿਖ ਕੇ ਦੁਹਰਾਏ ਗਏ ਕਾਰਕਾਂ ਦਾ ਹਿਸਾਬ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ।
21. P(x)/Q(x) ਦਾ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਵਿਛੋੜਾ: ਜਦੋਂ Q(x) ਵਿੱਚ ਦੁਹਰਾਏ ਗਏ ਰੇਖੀ ਕਾਰਕ ਹੋਣ
22. P(x)/Q(x) ਦਾ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਵਿਛੋੜਾ, ਜਦੋਂ Q(x) ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਦੁਹਰਾਇਆ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਕਾਰਕ n ਵਾਰ ਆਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ P(x) ਦੀ ਡਿਗਰੀ Q(x) ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੈ, ਇਹ ਹੈ
23. ਹਰ ਦੀਆਂ ਸ਼ਕਤੀਆਂ ਨੂੰ ਵਧਦੇ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
24. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦੁਹਰਾਈਆਂ ਰੇਖੀ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਾਲੇ ਤਰਕੀਬੀ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰੋ।
ਅੰਸ਼ਾਂ ਲਈ A,B, ਜਾਂ C ਵਰਗੇ ਚਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਅਤੇ ਹਰਾਂ ਦੀਆਂ ਵਧਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਦਾ ਧਿਆਨ ਰੱਖੋ।
ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਸਾਂਝੇ ਹਰ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰੋ ਅਤੇ ਸਮਾਨ ਪਦ ਇਕੱਠੇ ਕਰੋ।
ਅੰਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਤੋਂ ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 2
ਦੁਹਰਾਈਆਂ ਰੇਖੀ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨਾਲ ਵੱਖ ਕਰਨਾ
ਦੁਹਰਾਈਆਂ ਰੇਖੀ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਾਲੇ ਦਿੱਤੇ ਤਰਕੀਬੀ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਹਰ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ x ( x−2 ) 2 ਹਨ। ( x−2 ) ਦੇ ਦੁਹਰਾਈ ਗੁਣਨਖੰਡ ਲਈ, ਵੱਖਰੇਵੇਂ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਹਰ ਸ਼ਾਮਲ ਹੋਣਗੇ: x, ( x−2 ), ਅਤੇ ( x−2 ) 2। ਇਸ ਲਈ,
ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਸਾਂਝੇ ਹਰ ਨਾਲ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ, ਅਸੀਂ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਸਮਾਨ ਪਦ ਇਕੱਠੇ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਤਿੰਨ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇਵੇਗਾ:
A ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਸਮੀਕਰਨ (1) ਵਿੱਚ A=1 ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
ਫਿਰ, C ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ (2) ਵਿੱਚ A ਅਤੇ B ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
ਇਸ ਲਈ,
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
ਦੁਹਰਾਈਆਂ ਰੇਖੀ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਾਲੇ ਵਿਅੰਜਨ ਦਾ ਅੰਸ਼ਿਕ ਭਿੰਨ ਵੱਖਰੇਵਾਂ ਪਤਾ ਕਰੋ।
P( x ) Q( x ) ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰਨਾ, ਜਿੱਥੇ Q(x) ਕੋਲ ਇੱਕ ਗੈਰ-ਦੁਹਰਾਈਯੋਗ ਅਟੁੱਟ ਵਰਗਾਕਾਰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ
ਹੁਣ ਤੱਕ, ਅਸੀਂ ਅੰਸ਼ਿਕ ਭਿੰਨ ਵੱਖਰੇਵਾਂ ਨਾਲ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਦਾ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਨ ਕੀਤਾ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਹਰ ਵਿੱਚ ਰੇਖੀ ਗੁਣਨਖੰਡ ਸਨ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਅੰਸ਼ਾਂ A, B, ਜਾਂ C ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕੀਤਾ ਹੈ ਜੋ ਸਥਿਰਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਅਜਿਹੇ ਉਦਾਹਰਨ ਨੂੰ ਦੇਖਾਂਗੇ ਜਿੱਥੇ ਹਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਇੱਕ ਵਰਗਾਕਾਰ ਵਿਅੰਜਨ ਹੈ ਜੋ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨਹੀਂ ਬਣਦਾ। ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਅਟੁੱਟ ਵਰਗਾਕਾਰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਜਿਹੇ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ Ax+B, Bx+C, ਆਦਿ ਵਰਗੇ ਰੇਖੀ ਅੰਸ਼ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
P( x ) Q( x ) ਦਾ ਵੱਖਰੇਵਾਂ: Q(x) ਕੋਲ ਇੱਕ ਗੈਰ-ਦੁਹਰਾਈਯੋਗ ਅਟੁੱਟ ਵਰਗਾਕਾਰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ
P( x ) Q( x ) ਦਾ ਅੰਸ਼ਿਕ ਭਿੰਨ ਵੱਖਰੇਵਾਂ, ਜਿੱਥੇ Q(x) ਕੋਲ ਇੱਕ ਗੈਰ-ਦੁਹਰਾਈਯੋਗ ਅਟੁੱਟ ਵਰਗਾਕਾਰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ ਅਤੇ P( x ) ਦੀ ਡਿਗਰੀ Q( x ) ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੈ, ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:
ਵੱਖਰੇਵੇਂ ਵਿੱਚ ਰੇਖੀ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੋਣ 'ਤੇ ਹੋਰ ਤਰਕੀਬੀ ਭਿੰਨ ਸ਼ਾਮਲ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਹਰੇਕ ਰੇਖੀ ਗੁਣਨਖੰਡ ਦਾ ਇੱਕ ਵੱਖਰਾ ਸਥਿਰ ਅੰਸ਼ ਹੋਵੇਗਾ: A, B, C, ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੀ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਇੱਕ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਹਰ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਵੱਖਰੇ, ਅਟੁੱਟ ਵਰਗਾਕਾਰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹਨ, ਇਸਨੂੰ ਵਿਭਾਜਿਤ ਕਰੋ।
ਰੇਖੀ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਉੱਤੇ ਸਥਿਰ ਅੰਸ਼ਾਂ ਲਈ A, B, ਜਾਂ C ਵਰਗੇ ਚਲ ਵਰਤੋ, ਅਤੇ ਹਰ ਵਰਗਾਕਾਰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਦੇ ਅੰਸ਼ਾਂ ਲਈ A₁x + B₁, A₂x + B₂, ਆਦਿ ਵਰਗੇ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ਵਰਤੋ। P(x) / Q(x) = A / (ax+b) + (A₁x + B₁) / (a₁x² + b₁x + c₁) + (A₂x + B₂) / (a₂x² + b₂x + c₂) + ... + (A<0xE2><0x82><0x99>x + B<0xE2><0x82><0x99>) / (a<0xE2><0x82><0x99>x² + b<0xE2><0x82><0x99>x + c<0xE2><0x82><0x99>)
ਅੰਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਸਾਂਝੇ ਹਰ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰੋ ਅਤੇ ਸਮਾਨ ਪਦ ਇਕੱਠੇ ਕਰੋ।
ਸਮੀਕਰਨ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖੋ ਤਾਂ ਜੋ ਅੰਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 3
P(x) / Q(x) ਦਾ ਵਿਭਾਜਨ ਜਦੋਂ Q(x) ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਗੈਰ-ਦੁਹਰਾਉਣ ਵਾਲਾ ਅਟੁੱਟ ਵਰਗਾਕਾਰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੋਵੇ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਵਿਭਾਜਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਹਰ ਵਿੱਚ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਗੁਣਨਖੰਡ ਅਤੇ ਇੱਕ ਅਟੁੱਟ ਵਰਗਾਕਾਰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇੱਕ ਅੰਸ਼ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਹੋਵੇਗਾ ਅਤੇ ਦੂਜਾ ਅੰਸ਼ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ਹੋਵੇਗਾ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
ਅਸੀਂ ਪਿਛਲੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਵਾਂਗ ਹੀ ਕਦਮਾਂ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਪਹਿਲਾਂ, ਸਾਂਝੇ ਹਰ ਨਾਲ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਅੰਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਹਟਾਓ।
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਅਸੀਂ x ਦਾ ਇੱਕ ਮੁੱਲ ਚੁਣ ਕੇ A ਨੂੰ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੋ Bx+C ਪਦ ਨੂੰ 0 ਬਣਾ ਦੇਵੇਗਾ। x = -3 ਰੱਖੋ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ A ਦਾ ਮੁੱਲ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ, ਇਸਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਵਾਪਸ ਬਦਲੋ। ਫਿਰ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰੋ ਅਤੇ ਸਮਾਨ ਪਦ ਇਕੱਠੇ ਕਰੋ।
ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਪਦਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਪਦਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖਣ ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਬਣਦੀ ਹੈ।
ਸਮੀਕਰਨ (1) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ B ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ ਅਤੇ ਸਮੀਕਰਨ (3) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ C ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਵਿਭਾਜਨ ਹੈ
Q&A
ਕੀ ਅਸੀਂ ਉਦਾਹਰਨ 3 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸਿਰਫ਼ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਸੀ?
ਹਾਂ, ਅਸੀਂ A ਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਹੱਲ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਕੇ ਇਸਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਸੀ। ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਇਹ ਹੋਵੇਗਾ:
ਇਸ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਇਹ ਹੋਵੇਗੀ:
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
ਗੈਰ-ਦੁਹਰਾਉਣ ਵਾਲੇ ਅਟੁੱਟ ਵਰਗਾਕਾਰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਵਿਭਾਜਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
P(x) / Q(x) ਦਾ ਵਿਭਾਜਨ ਜਦੋਂ Q(x) ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਦੁਹਰਾਉਣ ਵਾਲਾ ਅਟੁੱਟ ਵਰਗਾਕਾਰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੋਵੇ
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਅਟੁੱਟ ਵਰਗਾਕਾਰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਵਾਲੇ ਸਰਲ ਕੀਤੇ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਵਿਭਾਜਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਿੱਖਾਂਗੇ ਕਿ ਜਦੋਂ ਸਰਲ ਕੀਤੇ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਦੁਹਰਾਉਣ ਵਾਲੇ ਅਟੁੱਟ ਵਰਗਾਕਾਰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਤਾਂ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਵਿਭਾਜਨ ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਵਿਭਾਜਨ ਵਿੱਚ ਵਧਦੀਆਂ ਸ਼ਕਤੀਆਂ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਹਰ ਅਟੁੱਟ ਵਰਗਾਕਾਰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਉੱਤੇ ਰੇਖੀ ਅੰਸ਼ਾਂ ਵਾਲੇ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਸ਼ਾਮਲ ਹੋਣਗੇ।
P(x) Q(x) ਦਾ ਵਿਘਟਨ P(x) Q(x) ਜਦੋਂ Q(x) ਵਿੱਚ ਦੁਹਰਾਇਆ ਗਿਆ ਅਟੁੱਟ ਵਰਗਾਕਾਰ ਗੁਣਕ ਹੋਵੇ
P(x) Q(x) ਦਾ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਵਿਘਟਨ, P(x) Q(x), ਜਦੋਂ Q(x) Q(x) ਵਿੱਚ ਦੁਹਰਾਇਆ ਗਿਆ ਅਟੁੱਟ ਵਰਗਾਕਾਰ ਗੁਣਕ ਹੋਵੇ ਅਤੇ P(x) P(x) ਦੀ ਘਾਤ Q(x) Q(x) ਦੀ ਘਾਤ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੋਵੇ, ਇਹ ਹੈ
ਹਰਾਂ ਨੂੰ ਵਧਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਤਰਕਹੀਣ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਦੁਹਰਾਇਆ ਗਿਆ ਅਟੁੱਟ ਗੁਣਕ ਹੋਵੇ, ਵਿਘਟਿਤ ਕਰੋ।
ਹਰਾਂ ਉੱਤੇ ਰੇਖੀ ਗੁਣਕਾਂ ਲਈ A,B, A,B, ਜਾਂ C C ਵਰਗੇ ਚੱਲ ਵਰਤੋ, ਅਤੇ ਹਰ ਵਰਗਾਕਾਰ ਗੁਣਕ ਲਈ ਰੇਖੀ ਵਿਅੰਜਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ A 1 x+ B 1 , A 2 x+ B 2 , A 1 x+ B 1 , A 2 x+ B 2 , ਆਦਿ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਵਧਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਹੋਵੇ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ P(x) Q(x) = A ax+b + A 1 x+ B 1 (a x 2 +bx+c) + A 2 x+ B 2 (a x 2 +bx+c) 2 +⋯+ A n + B n (a x 2 +bx+c) n P(x) Q(x) = A ax+b + A 1 x+ B 1 (a x 2 +bx+c) + A 2 x+ B 2 (a x 2 +bx+c) 2 +⋯+ A n + B n (a x 2 +bx+c) n
ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਸਾਂਝੇ ਹਰ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰੋ ਅਤੇ ਸਮਾਨ ਪਦ ਇਕੱਠੇ ਕਰੋ।
ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਤੋਂ ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖ ਕੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਬਣਾਓ ਤਾਂ ਜੋ ਅੰਸ਼ਾਂ ਲਈ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਹਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਦੁਹਰਾਏ ਗਏ ਅਟੁੱਟ ਵਰਗਾਕਾਰ ਗੁਣਕ ਵਾਲੇ ਤਰਕਹੀਣ ਫਲਨ ਦਾ ਵਿਘਟਨ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਵਿਘਟਿਤ ਕਰੋ ਜਿਸਦੇ ਹਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਦੁਹਰਾਇਆ ਗਿਆ ਅਟੁੱਟ ਗੁਣਕ ਹੋਵੇ।
ਹੱਲ
ਹਰ ਦੇ ਗੁਣਕ x,( x 2 +1), x,( x 2 +1), ਅਤੇ ( x 2 +1) 2 ਹਨ। ( x 2 +1) 2। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਜਦੋਂ ਹਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਗੁਣਕ ਇੱਕ ਵਰਗਾਕਾਰ ਹੋਵੇ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਦੋ ਪਦ ਸ਼ਾਮਲ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਅੰਸ਼ ਰੇਖੀ ਰੂਪ Ax+B ਦਾ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। Ax+B। ਇਸ ਲਈ, ਆਓ ਵਿਘਟਨ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੀਏ।
ਅਸੀਂ ਹਰਾਂ ਨੂੰ x ( x 2 +1 ) 2 ਨਾਲ ਹਰੇਕ ਪਦ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਖਤਮ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। x ( x 2 +1 ) 2। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰੋ।
ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਸਮਾਨ ਪਦ ਇਕੱਠੇ ਕਰਾਂਗੇ।
ਬਰਾਬਰ ਨਿਸ਼ਾਨ ਦੇ ਹਰੇਕ ਪਾਸੇ ਦੇ ਸੰਗਤ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਦਾ ਮੇਲ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ।
ਅਸੀਂ ਇਸ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਬਦਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਪਹਿਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ A=1 A=1 ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
ਤੀਜੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ A=1 A=1 ਅਤੇ B=0 B=0 ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
ਚੌਥੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ C=1 C=1 ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਬਰਾਬਰ ਨਿਸ਼ਾਨ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਸਾਰੇ ਅਣਜਾਣਾਂ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰ ਲਿਆ ਹੈ। ਸਾਡੇ ਕੋਲ A=1, A=1, B=0, B=0, C=1, C=1, D=−1, D=−1, ਅਤੇ E=−2 ਹਨ। E=−2। ਅਸੀਂ ਵਿਘਟਨ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
ਹਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਦੁਹਰਾਏ ਗਏ ਅਟੁੱਟ ਵਰਗਾਕਾਰ ਗੁਣਕ ਵਾਲੇ ਵਿਅੰਜਨ ਦਾ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਵਿਘਟਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਮੀਡੀਆ
ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ ਤਾਂ ਜੋ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਸਿੱਖਿਆ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ।
ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਵਿਘਟਨ
ਦੁਹਰਾਏ ਗਏ ਰੇਖੀ ਕਾਰਕਾਂ ਨਾਲ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਵਿਘਟਨ
ਰੇਖੀ ਅਤੇ ਵਰਗੀ ਕਾਰਕਾਂ ਨਾਲ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਵਿਘਟਨ
ਮੌਖਿਕ
ਕੀ ਬਹੁਪਦਾਂ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਭਾਗ ਨੂੰ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਦੋ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਵਿਘਟਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ? ਜੇਕਰ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਇਸਦਾ ਕਾਰਨ ਦੱਸੋ, ਅਤੇ ਜੇਕਰ ਨਹੀਂ, ਤਾਂ ਅਜਿਹੀ ਭਿੰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਦਿਓ।
ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਦੱਸ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਵਿਘਟਨ ਵਿਲੱਖਣ ਕਿਉਂ ਹੈ? (ਸੰਕੇਤ: ਇਸਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਜੋਂ ਸੋਚੋ।)
ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਦੱਸ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਵਿਘਟਨ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਕਿਵੇਂ ਪ੍ਰਮਾਣਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ?
ਤੁਹਾਨੂੰ ਯਕੀਨ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਨੂੰ ਸਹੀ ਢੰਗ ਨਾਲ ਵਿਘਟਿਤ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਦੱਸੋ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਆਪਣੇ ਜਵਾਬ ਦੀ ਦੋਹਰੀ ਜਾਂਚ ਕਿਵੇਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ।
ਇੱਕ ਵਾਰ ਜਦੋਂ ਤੁਹਾਡੇ ਕੋਲ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਵਿਘਟਨ ਦੁਆਰਾ ਤਿਆਰ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦਾ ਕੋਈ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਦੱਸ ਸਕਦੇ ਹੋ? ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਤੁਹਾਡੇ ਕੋਲ 7x+13 3 x 2 +8x+15 = A x+1 + B 3x+5 7x+13 3 x 2 +8x+15 = A x+1 + B 3x+5 ਹੈ, ਅਸੀਂ ਅੰਤ ਵਿੱਚ 7x+13=A(3x+5)+B(x+1) ਤੱਕ ਸਰਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। 7x+13=A(3x+5)+B(x+1)। ਦੱਸੋ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਬੁੱਧੀਮਾਨੀ ਨਾਲ ਇੱਕ x x-ਮੁੱਲ ਕਿਵੇਂ ਚੁਣ ਸਕਦੇ ਹੋ ਜੋ A A ਜਾਂ B B ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰ ਦੇਵੇ ਅਤੇ A A ਅਤੇ B B ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੇ। B।
ਬੀਜਗਣਿਤ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਗੈਰ-ਦੁਹਰਾਏ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਰੇਖੀ ਕਾਰਕਾਂ ਲਈ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਦਾ ਵਿਘਟਨ ਲੱਭੋ।
5x+16 x 2 +10x+24 5x+16 x 2 +10x+24
3x−79 x 2 −5x−24 3x−79 x 2 −5x−24
−x−24 x 2 −2x−24 −x−24 x 2 −2x−24
10x+47 x 2 +7x+10 10x+47 x 2 +7x+10
x 6 x 2 +25x+25 x 6 x 2 +25x+25
32x−11 20 x 2 −13x+2 32x−11 20 x 2 −13x+2
x+1 x 2 +7x+10 x+1 x 2 +7x+10
5x x 2 −9 5x x 2 −9
10x x 2 −25 10x x 2 −25
6x x 2 −4 6x x 2 −4
2x−3 x 2 −6x+5 2x−3 x 2 −6x+5
4x−1 x 2 −x−6
4x+3 x 2 +8x+15
3x−1 x 2 −5x+6
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦੁਹਰਾਉਣ ਵਾਲੇ ਰੇਖੀ ਕਾਰਕਾਂ ਲਈ ਅੰਸ਼ਿਕ ਭਿੰਨਾਂ ਦਾ ਵਿਛੋੜਾ ਲੱਭੋ।
−5x−19 ( x+4 ) 2
x ( x−2 ) 2
7x+14 ( x+3 ) 2
−24x−27 ( 4x+5 ) 2
−24x−27 ( 6x−7 ) 2
5−x ( x−7 ) 2
5x+14 2 x 2 +12x+18
5 x 2 +20x+8 2x ( x+1 ) 2
4 x 2 +55x+25 5x ( 3x+5 ) 2
54 x 3 +127 x 2 +80x+16 2 x 2 ( 3x+2 ) 2
x 3 −5 x 2 +12x+144 x 2 ( x 2 +12x+36 )
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਅਟੁੱਟ, ਅਦੁਹਰਾਉਣ ਵਾਲੇ ਵਰਗਾਕਾਰ ਕਾਰਕਾਂ ਲਈ ਅੰਸ਼ਿਕ ਭਿੰਨਾਂ ਦਾ ਵਿਛੋੜਾ ਲੱਭੋ।
4 x 2 +6x+11 ( x+2 )( x 2 +x+3 )
4 x 2 +9x+23 ( x−1 )( x 2 +6x+11 )
−2 x 2 +10x+4 ( x−1 )( x 2 +3x+8 )
x 2 +3x+1 ( x+1 )( x 2 +5x−2 )
4 x 2 +17x−1 ( x+3 )( x 2 +6x+1 )
4 x 2 ( x+5 )( x 2 +7x−5 )
4 x 2 +5x+3 x 3 −1
−5 x 2 +18x−4 x 3 +8
3 x 2 −7x+33 x 3 +27 3 x 2 −7x+33 x 3 +27
x 2 +2x+40 x 3 −125 x 2 +2x+40 x 3 −125
4 x 2 +4x+12 8 x 3 −27 4 x 2 +4x+12 8 x 3 −27
−50 x 2 +5x−3 125 x 3 −1 −50 x 2 +5x−3 125 x 3 −1
−2 x 3 −30 x 2 +36x+216 x 4 +216x −2 x 3 −30 x 2 +36x+216 x 4 +216x
For the following exercises, find the decomposition of the partial fraction for the irreducible repeating quadratic factor.
3 x 3 +2 x 2 +14x+15 ( x 2 +4 ) 2 3 x 3 +2 x 2 +14x+15 ( x 2 +4 ) 2
x 3 +6 x 2 +5x+9 ( x 2 +1 ) 2 x 3 +6 x 2 +5x+9 ( x 2 +1 ) 2
x 3 − x 2 +x−1 ( x 2 −3 ) 2 x 3 − x 2 +x−1 ( x 2 −3 ) 2
x 2 +5x+5 ( x+2 ) 2 x 2 +5x+5 ( x+2 ) 2
x 3 +2 x 2 +4x ( x 2 +2x+9 ) 2 x 3 +2 x 2 +4x ( x 2 +2x+9 ) 2
x 2 +25 ( x 2 +3x+25 ) 2 x 2 +25 ( x 2 +3x+25 ) 2
2 x 3 +11x2+7x+70 ( 2 x 2 +x+14 ) 2 2 x 3 +11x2+7x+70 ( 2 x 2 +x+14 ) 2
5x+2 x ( x 2 +4 ) 2 5x+2 x ( x 2 +4 ) 2
x 4 + x 3 +8 x 2 +6x+36 x ( x 2 +6 ) 2 x 4 + x 3 +8 x 2 +6x+36 x ( x 2 +6 ) 2
2x−9 ( x 2 −x ) 2 2x−9 ( x 2 −x ) 2
5 x 3 −2x+1 ( x 2 +2x ) 2 5 x 3 −2x+1 ( x 2 +2x ) 2
Extensions
For the following exercises, find the partial fraction expansion.
x 2 +4 ( x+1 ) 3 x 2 +4 ( x+1 ) 3
x 3 −4 x 2 +5x+4 ( x−2 ) 3 x 3 −4 x 2 +5x+4 ( x−2 ) 3
For the following exercises, perform the operation and then find the partial fraction decomposition.
7 x+8 + 5 x−2 − x−1 x 2 −6x−16 7 x+8 + 5 x−2 − x−1 x 2 −6x−16
1 x−4 − 3 x+6 − 2x+7 x 2 +2x−24 1 x−4 − 3 x+6 − 2x+7 x 2 +2x−24
2x² - 16 - 1 - 2x² + 6x + 8 - x - 5x² - 4x