ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਵਿਪਰੀਤ (inverse) ਲੱਭੋਗੇ।
ਵਿਪਰੀਤ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਸੋਰਿਆ ਨੇ ਆਪਣੇ ਜੋਖਮ ਨੂੰ ਵੰਡਣ ਲਈ $10,500 ਦੋ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਬਾਂਡਾਂ ਵਿੱਚ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਨ ਦੀ ਯੋਜਨਾ ਬਣਾਈ ਹੈ। ਪਹਿਲੇ ਬਾਂਡ ਦਾ ਸਾਲਾਨਾ 10% ਰਿਟਰਨ ਹੈ, ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਬਾਂਡ ਦਾ ਸਾਲਾਨਾ 6% ਰਿਟਰਨ ਹੈ। ਦੋ ਬਾਂਡਾਂ ਤੋਂ 8.5% ਰਿਟਰਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਸੋਰਿਆ ਨੂੰ ਹਰੇਕ ਬਾਂਡ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੀ ਰਕਮ ਦਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ? ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਵਧੀਆ ਤਰੀਕਾ ਕਿਹੜਾ ਹੈ?
ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੇ ਕਈ ਤਰੀਕੇ ਹਨ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਪਿਛਲੇ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ ਦੇਖਿਆ ਹੈ, ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਅਤੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵਿੱਤ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਉਪਯੋਗੀ ਹਨ। ਇਸ ਭਾਗ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਵਿਪਰੀਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਬਾਂਡ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੇ ਸਾਧਨ ਹੋਣਗੇ।
ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਵਿਪਰੀਤ ਲੱਭਣਾ
ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ $a$ ਦਾ ਗੁਣਾਤਮਕ ਵਿਪਰੀਤ $a^{-1}$ ਹੈ, ਅਤੇ $a a^{-1} = a^{-1} a = 1$. ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, $2^{-1} = \frac{1}{2}$ ਅਤੇ $(\frac{1}{2})2 = 1$. ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਗੁਣਾਤਮਕ ਵਿਪਰੀਤ ਸੰਕਲਪ ਵਿੱਚ ਸਮਾਨ ਹੈ, ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕਿ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ $A$ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਵਿਪਰੀਤ $A^{-1}$ ਦਾ ਗੁਣਫਲ ਇਕਾਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ (identity matrix) ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਕਾਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਇੱਕ ਵਰਗਾਕਾਰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਮੁੱਖ ਵਿਕਰਣ (main diagonal) ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਅਤੇ ਬਾਕੀ ਸਾਰੀਆਂ ਥਾਵਾਂ ਉੱਤੇ ਸਿਫ਼ਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਇਕਾਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਨੂੰ $I_n$ ਦੁਆਰਾ ਪਛਾਣਦੇ ਹਾਂ ਜਿੱਥੇ $n$ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਆਕਾਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਨਿਰੀਖਣ ਕਰੋ।
ਇਕਾਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਅਲਜਬਰਾ ਵਿੱਚ 1 ਵਾਂਗ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, $AI = IA = A$.
ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਜਿਸਦਾ ਗੁਣਾਤਮਕ ਵਿਪਰੀਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਉਸਦੇ ਗੁਣ ਹੁੰਦੇ ਹਨ
ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਜਿਸਦਾ ਗੁਣਾਤਮਕ ਵਿਪਰੀਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਉਸਨੂੰ ਵਿਪਰੀਤਯੋਗ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ (invertible matrix) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਵਰਗਾਕਾਰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਗੁਣਾਤਮਕ ਵਿਪਰੀਤ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਉਲਟਾਯੋਗਤਾ, $AA^{-1} = A^{-1}A = I$, ਇੱਕ ਲੋੜ ਹੈ। ਸਾਰੇ ਵਰਗਾਕਾਰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦਾ ਵਿਪਰੀਤ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ, ਪਰ ਜੇ $A$ ਵਿਪਰੀਤਯੋਗ ਹੈ, ਤਾਂ $A^{-1}$ ਵਿਲੱਖਣ (unique) ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇੱਕ $2 \times 2$ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਵਿਪਰੀਤ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਦੋ ਤਰੀਕਿਆਂ ਅਤੇ ਇੱਕ ਤੀਜੇ ਤਰੀਕੇ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਾਂਗੇ ਜੋ $2 \times 2$ ਅਤੇ $3 \times 3$ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦੋਵਾਂ ਉੱਤੇ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਇਕਾਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਅਤੇ ਗੁਣਾਤਮਕ ਵਿਪਰੀਤ
ਇਕਾਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ, $I_n$, ਇੱਕ ਵਰਗਾਕਾਰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਮੁੱਖ ਵਿਕਰਣ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਅਤੇ ਬਾਕੀ ਸਾਰੀਆਂ ਥਾਵਾਂ ਉੱਤੇ ਸਿਫ਼ਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਜੇ $A$ ਇੱਕ $n \times n$ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੈ ਅਤੇ $B$ ਇੱਕ $n \times n$ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ $AB = BA = I_n$, ਤਾਂ $B = A^{-1}$, ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ $A$ ਦਾ ਗੁਣਾਤਮਕ ਵਿਪਰੀਤ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਇਹ ਦਰਸਾਉਣਾ ਕਿ ਇਕਾਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ 1 ਵਾਂਗ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ
ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ $A$ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ, ਇਹ ਦਰਸਾਓ ਕਿ $AI = IA = A$.
ਹੱਲ
ਇਹ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਗੁਣਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਕਿ $A$ ਅਤੇ ਇਕਾਈ ਦਾ ਗੁਣਫਲ ਇਕਾਈ ਅਤੇ $A$ ਦੇ ਗੁਣਫਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦੋ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ, ਇਹ ਦਰਸਾਓ ਕਿ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦਾ ਗੁਣਾਤਮਕ ਵਿਪਰੀਤ ਹੈ।
ਆਰਡਰ $n \times n$ ਦਾ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ $A$ ਅਤੇ ਆਰਡਰ $n \times n$ ਦਾ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ $B$ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ, $AB$ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਜੇ $AB = I$, ਤਾਂ $BA$ ਦਾ ਗੁਣਫਲ ਲੱਭੋ। ਜੇ $BA = I$, ਤਾਂ $B = A^{-1}$ ਅਤੇ $A = B^{-1}$।
ਉਦਾਹਰਨ 2
1. ਇਹ ਦਰਸਾਉਣਾ ਕਿ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ A, ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ B ਦਾ ਗੁਣਾਤਮਕ ਉਲਟ ਹੈ
2. ਦਰਸਾਓ ਕਿ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਗੁਣਾਤਮਕ ਉਲਟ ਹਨ।
3. ਹੱਲ
4. AB ਅਤੇ BA ਦਾ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਦੋਵੇਂ ਗੁਣਫਲ ਤਤਸਮ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹਨ, ਤਾਂ ਦੋ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਉਲਟ ਹਨ।
5. A ਅਤੇ B ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਉਲਟ ਹਨ।
6. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
7. ਦਰਸਾਓ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਦੋ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਉਲਟ ਹਨ।
8. ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਗੁਣਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੁਣਾਤਮਕ ਉਲਟ ਲੱਭਣਾ
9. ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੀ ਦੋ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਉਲਟ ਹਨ, ਪਰ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਉਲਟ ਕਿਵੇਂ ਲੱਭਿਆ ਜਾਵੇ? ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਅਤੇ ਉਸਦੇ ਉਲਟ ਦਾ ਗੁਣਫਲ ਤਤਸਮ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਗੁਣਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਉਲਟ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
10. ਉਦਾਹਰਨ 3
11. ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਗੁਣਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੁਣਾਤਮਕ ਉਲਟ ਲੱਭਣਾ
12. ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਉਲਟ ਲੱਭਣ ਲਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਗੁਣਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
13. ਹੱਲ
14. ਇਸ ਵਿਧੀ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਅਣਜਾਣ ਸਥਿਰਾਂਕਾਂ ਵਾਲੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨਾਲ A ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਤਤਸਮ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
15. ਬਰਾਬਰ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦੋ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਗੁਣਫਲ ਲੱਭੋ।
16. ਅੱਗੇ, ਨਵੇਂ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਪਹਿਲੀ ਕਤਾਰ, ਪਹਿਲੇ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ ਐਂਟਰੀ ਨੂੰ ਤਤਸਮ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਐਂਟਰੀ, 1 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ। ਨਵੇਂ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਦੂਜੀ ਕਤਾਰ, ਪਹਿਲੇ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ ਐਂਟਰੀ ਨੂੰ ਤਤਸਮ ਦੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਐਂਟਰੀ, ਜੋ ਕਿ 0 ਹੈ, ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰੋ।
17. ਕਤਾਰ ਕਾਰਜਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਗੁਣਾ ਅਤੇ ਜੋੜੋ: (−2) R1 + R2 → R2। ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ, ਅਤੇ c ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
18. a ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਬੈਕ-ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰੋ।
19. ਨਵੇਂ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਦੂਜੀ ਕਤਾਰ, ਦੂਜੇ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ ਐਂਟਰੀ ਨੂੰ ਤਤਸਮ ਦੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਐਂਟਰੀ, 0 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਹੋਰ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ। ਦੂਜੀ ਕਤਾਰ, ਦੂਜੇ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ ਐਂਟਰੀ ਨੂੰ ਤਤਸਮ ਦੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਐਂਟਰੀ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰੋ।
20. ਕਤਾਰ ਕਾਰਜਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਗੁਣਾ ਅਤੇ ਜੋੜੋ: (−2) R1 + R2 = R2। ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ ਅਤੇ d ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
21. ਇੱਕ ਵਾਰ ਫਿਰ, ਬੈਕ-ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰੋ ਅਤੇ b ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
22. ਤਤਸਮ ਨਾਲ ਵਧਾ ਕੇ ਗੁਣਾਤਮਕ ਉਲਟ ਲੱਭਣਾ
23. ਗੁਣਾਤਮਕ ਉਲਟ ਲੱਭਣ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਤਤਸਮ ਨਾਲ ਵਧਾ ਕੇ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ A ਨੂੰ I ਵਿੱਚ ਬਦਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਵਧਾਇਆ ਗਿਆ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ I, A⁻¹ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
24. ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ
ਏ ਏ ਨੂੰ ਪਛਾਣ ਨਾਲ ਵਧਾਓ।
ਏ ਏ ਨੂੰ ਪਛਾਣ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼ ਨਾਲ ਕਤਾਰ ਕਾਰਵਾਈਆਂ ਕਰੋ।
ਕਤਾਰ 1 ਅਤੇ ਕਤਾਰ 2 ਨੂੰ ਬਦਲੋ। [ 5 3 2 1 | 0 1 1 0 ] [ 5 3 2 1 | 0 1 1 0 ]
ਕਤਾਰ 2 ਨੂੰ −2 −2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਕਤਾਰ 1 ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ। [ 1 1 2 1 | −2 1 1 0 ] [ 1 1 2 1 | −2 1 1 0 ]
ਕਤਾਰ 1 ਨੂੰ −2 −2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਕਤਾਰ 2 ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ। [ 1 1 0 −1 | −2 1 5 −2 ] [ 1 1 0 −1 | −2 1 5 −2 ]
ਕਤਾਰ 2 ਨੂੰ ਕਤਾਰ 1 ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ। [ 1 0 0 −1 | 3 −1 5 −2 ] [ 1 0 0 −1 | 3 −1 5 −2 ]
ਕਤਾਰ 2 ਨੂੰ −1 −1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। [ 1 0 0 1 | 3 −1 −5 2 ] [ 1 0 0 1 | 3 −1 −5 2 ]
ਜੋ ਮੈਟਰਿਕਸ ਅਸੀਂ ਲੱਭਿਆ ਹੈ ਉਹ ਏ −1 ਹੈ। ਏ −1 ਹੈ।
2×2 ਮੈਟਰਿਕਸ ਦੇ ਗੁਣਾਤਮਕ ਉਲਟ ਨੂੰ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲੱਭਣਾ
ਜਦੋਂ ਸਾਨੂੰ 2×2 2×2 ਮੈਟਰਿਕਸ ਦੇ ਗੁਣਾਤਮਕ ਉਲਟ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਮੈਟਰਿਕਸ ਗੁਣਾ ਜਾਂ ਪਛਾਣ ਨਾਲ ਵਧਾਉਣ ਦੀ ਬਜਾਏ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਜੇ ਏ ਏ ਇੱਕ 2×2 2×2 ਮੈਟਰਿਕਸ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ
ਏ ਏ ਦਾ ਗੁਣਾਤਮਕ ਉਲਟ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ ad−bc≠0। ad−bc≠0। ਜੇ ad−bc=0, ad−bc=0, ਤਾਂ ਏ ਏ ਦਾ ਕੋਈ ਉਲਟ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਮੈਟਰਿਕਸ ਏ ਦੇ ਗੁਣਾਤਮਕ ਉਲਟ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਗੁਣਾਤਮਕ ਉਲਟ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ
ਹੱਲ
ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਅਸੀਂ ਉਲਟ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਹੋਰ ਤਰੀਕਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਜਾਂਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਾਡਾ ਫਾਰਮੂਲਾ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਆਓ ਏ ਏ ਨੂੰ ਪਛਾਣ ਨਾਲ ਵਧਾਈਏ।
ਏ ਏ ਨੂੰ ਪਛਾਣ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼ ਨਾਲ ਕਤਾਰ ਕਾਰਵਾਈਆਂ ਕਰੋ।
ਕਤਾਰ 1 ਨੂੰ −2 −2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਕਤਾਰ 2 ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ। [ 1 −2 0 1 | 1 0 −2 1 ] [ 1 −2 0 1 | 1 0 −2 1 ]
ਕਤਾਰ 2 ਨੂੰ 2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਕਤਾਰ 1 ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ। [ 1 0 0 1 | −3 2 −2 1 ] [ 1 0 0 1 | −3 2 −2 1 ]
ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਅਸਲ ਹੱਲ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕੀਤੀ ਹੈ।
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #2
2. ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ A ਦੇ ਉਲਟ (inverse) ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਆਈਡੈਂਟਿਟੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨਾਲ ਵਧਾ ਕੇ ਆਪਣੇ ਜਵਾਬ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੋ।
3. ਉਦਾਹਰਨ 5
4. ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਉਲਟ (inverse) ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ, ਜੇਕਰ ਇਹ ਮੌਜੂਦ ਹੋਵੇ
5. ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਉਲਟ (inverse) ਨੂੰ ਲੱਭੋ, ਜੇਕਰ ਇਹ ਮੌਜੂਦ ਹੋਵੇ।
6. ਹੱਲ
7. ਅਸੀਂ ਆਈਡੈਂਟਿਟੀ ਨਾਲ ਵਧਾਉਣ (augmenting) ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
8. ਪੰਕਤੀ 1 ਅਤੇ ਪੰਕਤੀ 2 ਨੂੰ ਬਦਲੋ। [ 1 3 3 2 | 0 1 1 0 ] [ 1 3 3 2 | 0 1 1 0 ]
9. ਪੰਕਤੀ 1 ਨੂੰ −3 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਪੰਕਤੀ 2 ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ। [ 1 2 0 0 | 1 0 −3 1 ] [ 1 2 0 0 | 1 0 −3 1 ]
10. ਅਸੀਂ ਇਸ ਤੋਂ ਅੱਗੇ ਕੁਝ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦੇ। ਪੰਕਤੀ 2 ਵਿੱਚ ਜ਼ੀਰੋ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ ਕਿ ਇਸ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਕੋਈ ਉਲਟ (inverse) ਨਹੀਂ ਹੈ।
11. 3×3 ਮੈਟ੍ਰਿਸਿਸ ਦੇ ਗੁਣਾਤਮਕ ਉਲਟ (multiplicative inverse) ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ
12. ਬਦਕਿਸਮਤੀ ਨਾਲ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ 2×2 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਰਗਾ ਕੋਈ ਫਾਰਮੂਲਾ ਨਹੀਂ ਹੈ ਜਿਸ ਨਾਲ 3×3 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਉਲਟ (inverse) ਲੱਭਿਆ ਜਾ ਸਕੇ। ਇਸ ਦੀ ਬਜਾਏ, ਅਸੀਂ ਮੂਲ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਆਈਡੈਂਟਿਟੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨਾਲ ਵਧਾਵਾਂਗੇ ਅਤੇ ਉਲਟ (inverse) ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਪੰਕਤੀ ਕਾਰਵਾਈਆਂ (row operations) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
13. ਇੱਕ 3×3 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
14. A ਨੂੰ ਆਈਡੈਂਟਿਟੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨਾਲ ਵਧਾਓ
15. ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਆਈਡੈਂਟਿਟੀ ਨੂੰ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਅਤੇ A ਨੂੰ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਰੱਖ ਕੇ ਵਧਾਇਆ ਹੋਇਆ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ। ਪ੍ਰਾਇਮਰੀ ਪੰਕਤੀ ਕਾਰਵਾਈਆਂ (elementary row operations) ਕਰਕੇ ਜਦੋਂ ਆਈਡੈਂਟਿਟੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਉਲਟ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ (inverse matrix) ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਵੇਗਾ। ਅਸੀਂ ਅਗਲੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਇਸ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਉਲਟ (inverse) ਲੱਭਾਂਗੇ।
16. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
17. ਇੱਕ 3×3 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਉਲਟ (inverse) ਲੱਭੋ
18. ਮੂਲ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਆਈਡੈਂਟਿਟੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨਾਲ ਵਧਾ ਕੇ ਲਿਖੋ।
19. ਪ੍ਰਾਇਮਰੀ ਪੰਕਤੀ ਕਾਰਵਾਈਆਂ (elementary row operations) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਤਾਂ ਜੋ ਆਈਡੈਂਟਿਟੀ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦਿਖਾਈ ਦੇਵੇ।
20. ਜੋ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਉਹ ਮੂਲ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਉਲਟ (inverse) ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
21. ਇਹ ਦਿਖਾਉਣ ਲਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਗੁਣਾ (matrix multiplication) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਕਿ A A −1 =I ਅਤੇ A −1 A=I।
22. ਉਦਾਹਰਨ 6
23. ਇੱਕ 3 × 3 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਉਲਟ (inverse) ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ
24. ਦਿੱਤੇ ਗਏ 3×3 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ A, ਦਾ ਉਲਟ (inverse) ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
A A ਨੂੰ ਤਤਸਮ ਇਕਾਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ (identity matrix) ਨਾਲ ਵਧਾਓ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਕਤਾਰ ਕਾਰਵਾਈਆਂ (row operations) ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਕਿ ਤਤਸਮ ਇਕਾਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ A A ਨੂੰ ਬਦਲ ਨਾ ਦੇਵੇ। ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਵਾਲੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ A A ਦਾ ਵਿਲੋਮ (inverse) ਹੋਵੇਗੀ।
ਇਸ ਲਈ,
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਇਹ ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿ B = A⁻¹, ਦੋ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੀ ਗੁਣਨਫਲ ਇਕਾਈ (identity) ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਜੇਕਰ AA⁻¹=I ਅਤੇ A⁻¹A=I।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
3×3 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਵਿਲੋਮ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਵਿਲੋਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਾਲ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਵਿਲੋਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਾਲ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਦੋ ਨਵੇਂ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ: X X ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਚਲਾਂ (variables) ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲਾ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੈ, ਅਤੇ B B ਸਥਿਰਾਂਕਾਂ (constants) ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲਾ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੈ। ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਗੁਣਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਚਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੋਵੇ
ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਵਿਲੋਮ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਲਈ, A A ਨੂੰ ਗੁਣਾਂਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ (coefficient matrix), X X ਨੂੰ ਚਲ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ (variable matrix), ਅਤੇ B B ਨੂੰ ਸਥਿਰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ (constant matrix) ਮੰਨੋ। ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ AX=B ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਦੇਖੋ।
ਇਸ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਤੋਂ, ਗੁਣਾਂਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੈ
ਚਲ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੈ
ਅਤੇ ਸਥਿਰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੈ
Then AX=B AX=B looks like
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਪਹਿਲਾਂ ਹੋਈ ਚਰਚਾ ਨੂੰ ਯਾਦ ਕਰੋ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਉਸਦੇ ਵਿਲੋਮ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ, (2⁻¹)2=(½)2=1। x ਲਈ ਇੱਕ ਇਕਹਿਰੀ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ax=b ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ a ਦੇ ਗੁਣਨ ਵਿਲੋਮ (reciprocal) ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਾਂਗੇ। ਇਸ ਲਈ,
ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਅਤੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੀ ਗਈ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕੋ ਇੱਕ ਅੰਤਰ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਵਿਲੋਮ ਲੱਭਣਾ ਵਧੇਰੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹੈ, ਅਤੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਗੁਣਾ ਇੱਕ ਲੰਮੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਟੀਚਾ ਉਹੀ ਹੈ—ਚਲ ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰਨਾ।
ਅਸੀਂ ਇਸ ਵਿਚਾਰ ਦੀ ਵਿਸਥਾਰ ਨਾਲ ਜਾਂਚ ਕਰਾਂਗੇ, ਪਰ 2×2 ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨਾ ਅਤੇ ਫਿਰ 3×3 ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵੱਲ ਵਧਣਾ ਮਦਦਗਾਰ ਹੈ।
ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਵਿਲੋਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ, ਗੁਣਾਂਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ A, ਚਲ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ X, ਅਤੇ ਸਥਿਰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ B ਲਿਖੋ। ਫਿਰ
ਹੱਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ A ਦੇ ਵਿਲੋਮ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
Q&A
ਜੇਕਰ ਗੁਣਾਂਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਵਿਲੋਮ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੀ ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ?
ਨਹੀਂ, ਜੇਕਰ ਗੁਣਾਂਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵਿਲੋਮਯੋਗ (invertible) ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਅਸੰਗਤ (inconsistent) ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ, ਜਾਂ ਨਿਰਭਰ (dependent) ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਅਨੰਤ ਹੱਲ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 7
ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਵਿਲੋਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਾਲ 2 × 2 ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਵਿਲੋਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਾਲ ਹੱਲ ਕਰੋ।
1. ਹੱਲ
2. ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਇੱਕ ਗੁਣਾਂਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ, ਇੱਕ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
3. ਫਿਰ
4. ਪਹਿਲਾਂ, ਸਾਨੂੰ A −1 ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। A −1 । 2x2 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਉਲਟਾ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੇ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ:
5. ਇਸ ਲਈ,
6. ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਤਿਆਰ ਹਾਂ। ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ A −1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। A −1 ।
7. ਹੱਲ ( −1,1 ) ਹੈ। ( −1,1 ) ।
Q&A
8. ਕੀ ਅਸੀਂ B A −1 ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਲੱਭ ਕੇ X ਲਈ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ? B A −1 ?
9. ਨਹੀਂ, ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਗੁਣਾ ਕਮਿਊਟੇਟਿਵ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ A −1 B ≠ B A −1 । A −1 B ≠ B A −1 । ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸਾਡੇ ਕਦਮਾਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।
10. ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਪਹਿਲੇ ਕਦਮ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ A −1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ, A −1 , ਪਰ A −1 A −1 ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ A 'ਤੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਸੀ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ B 'ਤੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਸੀ। ਕਿਉਂਕਿ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਗੁਣਾ ਕਮਿਊਟੇਟਿਵ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਕ੍ਰਮ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ।
11. ਉਦਾਹਰਨ 8
12. ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਉਲਟੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ 3x3 ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
13. ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਉਲਟੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
14. ਹੱਲ
Write the equation AX=B. AX=B.
15. ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਪਛਾਣ ਨਾਲ ਵਧਾ ਕੇ A ਦਾ ਉਲਟਾ ਲੱਭਾਂਗੇ।
16. ਪੰਕਤੀ 1 ਨੂੰ 1/5 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। 1/5 ।
17. ਪੰਕਤੀ 1 ਨੂੰ 4 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਪੰਕਤੀ 2 ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ।
18. ਪੰਕਤੀ 1 ਨੂੰ ਪੰਕਤੀ 3 ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ।
19. ਪੰਕਤੀ 2 ਨੂੰ -3 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਪੰਕਤੀ 1 ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ।
20. ਪੰਕਤੀ 3 ਨੂੰ 5 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
21. ਪੰਕਤੀ 3 ਨੂੰ 1/5 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਪੰਕਤੀ 1 ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ। 1/5
22. ਪੰਕਤੀ 3 ਨੂੰ -19/5 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਪੰਕਤੀ 2 ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ। -19/5
23. ਇਸ ਲਈ,
24. ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ A −1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। A −1 । ਅਸੀਂ A −1 AX = A −1 B ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ: A −1 AX = A −1 B:
Thus,
The solution is ( 1,2,0 ). ( 1,2,0 ).
Try It #4
Solve the system using the inverse of the coefficient matrix.
How To
Given a system of equations, solve with matrix inverses using a calculator.
Save the coefficient matrix and the constant matrix as matrix variables [ A ] [ A ] and [ B ]. [ B ].
Enter the multiplication into the calculator, calling up each matrix variable as needed.
If the coefficient matrix is invertible, the calculator will present the solution matrix; if the coefficient matrix is not invertible, the calculator will present an error message.
Example 9
Using a Calculator to Solve a System of Equations with Matrix Inverses
Solve the system of equations with matrix inverses using a calculator
Solution
On the matrix page of the calculator, enter the coefficient matrix as the matrix variable [ A ], [ A ], and enter the constant matrix as the matrix variable [ B ]. [ B ].
On the home screen of the calculator, type in the multiplication to solve for X, X, calling up each matrix variable as needed.
Evaluate the expression.
Media
Access these online resources for additional instruction and practice with solving systems with inverses.
The Identity Matrix
Determining Inverse Matrices
Using a Matrix Equation to Solve a System of Equations
Verbal
In a previous section, we showed that matrix multiplication is not commutative, that is, AB≠BA AB≠BA in most cases. Can you explain why matrix multiplication is commutative for matrix inverses, that is, A −1 A=A A −1 ? A −1 A=A A −1 ?
Does every 2×2 2×2 matrix have an inverse? Explain why or why not. Explain what condition is necessary for an inverse to exist.
Can you explain whether a 2×2 2×2 matrix with an entire row of zeros can have an inverse?
Can a matrix with an entire column of zeros have an inverse? Explain why or why not.
Can a matrix with zeros on the diagonal have an inverse? If so, find an example. If not, prove why not. For simplicity, assume a 2×2 2×2 matrix.
Algebraic
In the following exercises, show that matrix A A is the inverse of matrix B. B.
A=[ 1 0 −1 1 ],B=[ 1 0 1 1 ] A=[ 1 0 −1 1 ],B=[ 1 0 1 1 ]
A=[ 1 2 3 4 ],B=[ −2 1 3 2 − 1 2 ] A=[ 1 2 3 4 ],B=[ −2 1 3 2 − 1 2 ]
A=[ 4 5 7 0 ],B=[ 0 1 7 1 5 − 4 35 ] A=[ 4 5 7 0 ],B=[ 0 1 7 1 5 − 4 35 ]
A=[ −2 1 2 3 −1 ],B=[ −2 −1 −6 −4 ] A=[ −2 1 2 3 −1 ],B=[ −2 −1 −6 −4 ]
A=[ 1 0 1 0 1 −1 0 1 1 ],B= 1 2 [ 2 1 −1 0 1 1 0 −1 1 ] A=[ 1 0 1 0 1 −1 0 1 1 ],B= 1 2 [ 2 1 −1 0 1 1 0 −1 1 ]
A=[ 1 2 3 4 0 2 1 6 9 ],B= 1 4 [ 6 0 −2 17 −3 −5 −12 2 4 ] A=[ 1 2 3 4 0 2 1 6 9 ],B= 1 4 [ 6 0 −2 17 −3 −5 −12 2 4 ]
A=[ 3 8 2 1 1 1 5 6 12 ],B= 1 36 [ −6 84 −6 7 −26 1 −1 −22 5 ] A=[ 3 8 2 1 1 1 5 6 12 ],B= 1 36 [ −6 84 −6 7 −26 1 −1 −22 5 ]
For the following exercises, find the multiplicative inverse of each matrix, if it exists.
[ 3 −2 1 9 ] [ 3 −2 1 9 ]
[ −2 2 3 1 ] [ −2 2 3 1 ]
[ −3 7 9 2 ] [ −3 7 9 2 ]
[ −4 −3 −5 8 ] [ −4 −3 −5 8 ]
[ 1 1 2 2 ] [ 1 1 2 2 ]
[ 0 1 1 0 ] [ 0 1 1 0 ]
[ 0.5 1.5 1 −0.5 ] [ 0.5 1.5 1 −0.5 ]
[ 1 0 6 −2 1 7 3 0 2 ] [ 1 0 6 −2 1 7 3 0 2 ]
[ 0 1 −3 4 1 0 1 0 5 ] [ 0 1 −3 4 1 0 1 0 5 ]
[ 1 2 −1 −3 4 1 −2 −4 −5 ] [ 1 2 −1 −3 4 1 −2 −4 −5 ]
[ 1 9 −3 2 5 6 4 −2 7 ] [ 1 9 −3 2 5 6 4 −2 7 ]
[ 1 −2 3 −4 8 −12 1 4 2 ] [ 1 −2 3 −4 8 −12 1 4 2 ]
[ 1 2 1 2 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 ] [ 1 2 1 2 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 ]
[ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ] [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ]
For the following exercises, solve the system using the inverse of a 2×2 2×2 matrix.
5x−6y=−61 4x+3y=−2 5x−6y=−61 4x+3y=−2
8x+4y=−100 3x−4y=1 8x+4y=−100 3x−4y=1
3x−2y=6 −x+5y=−2 3x−2y=6 −x+5y=−2
5x−4y=−5 4x+y=2.3 5x−4y=−5 4x+y=2.3
−3x−4y=9 12x+4y=−6 −3x−4y=9 12x+4y=−6
−2x+3y= 3 10 −x+5y= 1 2 −2x+3y= 3 10 −x+5y= 1 2
8 5 x− 4 5 y= 2 5 − 8 5 x+ 1 5 y= 7 10 8 5 x− 4 5 y= 2 5 − 8 5 x+ 1 5 y= 7 10
1 2 x+ 1 5 y=− 1 4 1 2 x− 3 5 y=− 9 4 1 2 x+ 1 5 y=− 1 4 1 2 x− 3 5 y=− 9 4
For the following exercises, solve a system using the inverse of a 3×3 3×3 matrix.
3x−2y+5z=21 5x+4y=37 x−2y−5z=5 3x−2y+5z=21 5x+4y=37 x−2y−5z=5
4x+4y+4z=40 2x−3y+4z=−12 −x+3y+4z=9 4x+4y+4z=40 2x−3y+4z=−12 −x+3y+4z=9
6x−5y−z=31 −x+2y+z=−6 3x+3y+2z=13 6x−5y−z=31 −x+2y+z=−6 3x+3y+2z=13
6x−5y+2z=−4 2x+5y−z=12 2x+5y+z=12 6x−5y+2z=−4 2x+5y−z=12 2x+5y+z=12
4x−2y+3z=−12 2x+2y−9z=33 6y−4z=1 4x−2y+3z=−12 2x+2y−9z=33 6y−4z=1
1 10 x− 1 5 y+4z= −41 2 1 5 x−20y+ 2 5 z=−101 3 10 x+4y− 3 10 z=23 1 10 x− 1 5 y+4z= −41 2 1 5 x−20y+ 2 5 z=−101 3 10 x+4y− 3 10 z=23
1 2 x− 1 5 y+ 1 5 z= 31 100 − 3 4 x− 1 4 y+ 1 2 z= 7 40 − 4 5 x− 1 2 y+ 3 2 z= 1 4 1 2 x− 1 5 y+ 1 5 z= 31 100 − 3 4 x− 1 4 y+ 1 2 z= 7 40 − 4 5 x− 1 2 y+ 3 2 z= 1 4
0.1x+0.2y+0.3z=−1.4 0.1x−0.2y+0.3z=0.6 0.4y+0.9z=−2 0.1x+0.2y+0.3z=−1.4 0.1x−0.2y+0.3z=0.6 0.4y+0.9z=−2
Technology
For the following exercises, use a calculator to solve the system of equations with matrix inverses.
2x−y=−3 −x+2y=2.3 2x−y=−3 −x+2y=2.3
− 1 2 x− 3 2 y=− 43 20 5 2 x+ 11 5 y= 31 4 − 1 2 x− 3 2 y=− 43 20 5 2 x+ 11 5 y= 31 4
12.3x−2y−2.5z=2 36.9x+7y−7.5z=−7 8y−5z=−10 12.3x−2y−2.5z=2 36.9x+7y−7.5z=−7 8y−5z=−10
0.5x−3y+6z=−0.8 0.7x−2y=−0.06 0.5x+4y+5z=0 0.5x−3y+6z=−0.8 0.7x−2y=−0.06 0.5x+4y+5z=0
Extensions
For the following exercises, find the inverse of the given matrix.
[ 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 ] [ 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 ]
[ −1 0 2 5 0 0 0 2 0 2 −1 0 1 −3 0 1 ] [ −1 0 2 5 0 0 0 2 0 2 −1 0 1 −3 0 1 ]
[ 1 −2 3 0 0 1 0 2 1 4 −2 3 −5 0 1 1 ] [ 1 −2 3 0 0 1 0 2 1 4 −2 3 −5 0 1 1 ]
[ 1 2 0 2 3 0 2 1 0 0 0 0 3 0 1 0 2 0 0 1 0 0 1 2 0 ] [ 1 2 0 2 3 0 2 1 0 0 0 0 3 0 1 0 2 0 0 1 0 0 1 2 0 ]
[ 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 ] [ 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 ]
Real-World Applications
For the following exercises, write a system of equations that represents the situation. Then, solve the system using the inverse of a matrix.
2,400 tickets were sold for a basketball game. If the prices for floor 1 and floor 2 were different, and the total amount of money brought in is $64,000, how much was the price of each ticket?
In the previous exercise, if you were told there were 400 more tickets sold for floor 2 than floor 1, how much was the price of each ticket?
A food drive collected two different types of canned goods, green beans and kidney beans. The total number of collected cans was 350 and the total weight of all donated food was 348 lb, 12 oz. If the green bean cans weigh 2 oz less than the kidney bean cans, how many of each can was donated?
Students were asked to bring their favorite fruit to class. 95% of the fruits consisted of banana, apple, and oranges. If oranges were twice as popular as bananas, and apples were 5% less popular than bananas, what are the percentages of each individual fruit?
The nursing club held a bake sale to raise money and sold brownies and chocolate chip cookies. They priced the brownies at $1 and the chocolate chip cookies at $0.75. They raised $700 and sold 850 items. How many brownies and how many cookies were sold?
A clothing store needs to order new inventory. It has three different types of hats for sale: straw hats, beanies, and cowboy hats. The straw hat is priced at $13.99, the beanie at $7.99, and the cowboy hat at $14.49. If 100 hats were sold this past quarter, $1,119 was taken in by sales, and the amount of beanies sold was 10 more than cowboy hats, how many of each should the clothing store order to replace those already sold?
Anna, Percy, and Morgan weigh a combined 370 lb. If Morgan weighs 20 lb more than Percy, and Anna weighs 1.5 times as much as Percy, how much does each person weigh?
Three roommates shared a package of 12 ice cream bars, but no one remembers who ate how many. If Micah ate twice as many ice cream bars as Joe, and Albert ate three less than Micah, how many ice cream bars did each roommate eat?
A farmer constructed a chicken coop out of chicken wire, wood, and plywood. The chicken wire cost $2 per square foot, the wood $10 per square foot, and the plywood $5 per square foot. The farmer spent a total of $51, and the total amount of materials used was 14 ft 2 . 14 ft 2 . He used 3 ft 2 3 ft 2 more chicken wire than plywood. How much of each material in did the farmer use?
Jay has lemon, orange, and pomegranate trees in his backyard. An orange weighs 8 oz, a lemon 5 oz, and a pomegranate 11 oz. Jay picked 142 pieces of fruit weighing a total of 70 lb, 10 oz. He picked 15.5 times more oranges than pomegranates. How many of each fruit did Jay pick?