ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
2 × 2 ਨਿਰਣਾਇਕਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋਗੇ।
ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕ੍ਰੈਮਰ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
3 × 3 ਨਿਰਣਾਇਕਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਤਿੰਨ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕ੍ਰੈਮਰ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਨਿਰਣਾਇਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਨੂੰ ਜਾਣੋ।
ਅਸੀਂ ਦੋ ਚਲਾਂ ਅਤੇ ਤਿੰਨ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਸਿੱਖਿਆ ਹੈ, ਅਤੇ ਕਈ ਢੰਗਾਂ ਦੁਆਰਾ: ਬਦਲੀ, ਜੋੜ, ਗੌਸੀਅਨ ਖਾਤਮਾ, ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਉਲਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ, ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ। ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੁਝ ਢੰਗ ਹੋਰਾਂ ਨਾਲੋਂ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਆਸਾਨ ਹਨ ਅਤੇ ਕੁਝ ਖਾਸ ਹਾਲਾਤਾਂ ਵਿੱਚ ਵਧੇਰੇ ਢੁਕਵੇਂ ਹਨ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਦੋ ਹੋਰ ਰਣਨੀਤੀਆਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਾਂਗੇ।
2×2 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਨਿਰਣਾਇਕ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ
ਨਿਰਣਾਇਕ ਇੱਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਜੋ ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਉਪਯੋਗੀ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਸਦੇ ਕਈ ਉਪਯੋਗ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਖੇਤਰਫਲ, ਆਇਤਨ, ਅਤੇ ਹੋਰ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨਾ। ਇੱਥੇ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਖੁਲਾਸਾ ਕਰਨ ਲਈ ਨਿਰਣਾਇਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ ਕਿ ਕੀ ਕੋਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਇਨਵਰਟੀਬਲ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਵਰਗ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਪ੍ਰਵੇਸ਼ਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਕੋਈ ਹੱਲ ਹੈ। ਸ਼ਾਇਦ ਸਭ ਤੋਂ ਦਿਲਚਸਪ ਉਪਯੋਗਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ, ਹਾਲਾਂਕਿ, ਕ੍ਰਿਪਟੋਗ੍ਰਾਫੀ ਵਿੱਚ ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਹੈ। ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਸਿਗਨਲ ਜਾਂ ਸੰਦੇਸ਼ ਕਈ ਵਾਰ ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵਿੱਚ ਏਨਕੋਡ ਕੀਤੇ ਭੇਜੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਡਾਟਾ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਇਨਵਰਟੀਬਲ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਅਤੇ ਨਿਰਣਾਇਕ ਨਾਲ ਹੀ ਡੀਕ੍ਰਿਪਟ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਸਾਡੇ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਇਨਵਰਟੀਬਿਲਟੀ ਦੇ ਸੰਕੇਤ ਵਜੋਂ ਨਿਰਣਾਇਕ 'ਤੇ ਧਿਆਨ ਕੇਂਦਰਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਨਿਰਣਾਇਕ ਦੀ ਗਣਨਾ ਵਿੱਚ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਖਾਸ ਪੈਟਰਨਾਂ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਨਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ।
2 × 2 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਨਿਰਣਾਇਕ ਲੱਭੋ
2×2 2×2 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਨਿਰਣਾਇਕ, ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ
ਇਸਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:
ਨੋਟਿਸ ਕਰੋ ਕਿ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਆਈ ਹੈ। ਨਿਰਣਾਇਕ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਦੇ ਕਈ ਤਰੀਕੇ ਹਨ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ det( A ) det( A ) ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ ਅਤੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵਿੱਚ ਬਰੈਕਟਾਂ ਨੂੰ ਸਿੱਧੀਆਂ ਲਾਈਨਾਂ, | A |. | A | ਨਾਲ ਬਦਲਣਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
2 × 2 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਨਿਰਣਾਇਕ ਲੱਭਣਾ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਨਿਰਣਾਇਕ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕ੍ਰੈਮਰ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਅੰਤਿਮ ਵਿਧੀ ਪੇਸ਼ ਕਰਾਂਗੇ ਜੋ ਨਿਰਣਾਇਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਕ੍ਰੈਮਰ ਦੇ ਨਿਯਮ ਵਜੋਂ ਜਾਣੀ ਜਾਂਦੀ ਇਹ ਤਕਨੀਕ 18ਵੀਂ ਸਦੀ ਦੇ ਮੱਧ ਤੱਕ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਨਵੀਨਤਾਕਾਰ, ਸਵਿਸ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਗੈਬਰੀਅਲ ਕ੍ਰੈਮਰ (1704-1752) ਦੇ ਨਾਮ 'ਤੇ ਰੱਖੀ ਗਈ ਹੈ, ਜਿਸਨੇ ਇਸਨੂੰ 1750 ਵਿੱਚ ਇੰਟਰੋਡਕਸ਼ਨ ਐਨ ਲਾਈਨਜ਼ ਕੁਰਬਸ ਐਲਜੇਬ੍ਰਿਕਸ ਵਿੱਚ ਪੇਸ਼ ਕੀਤਾ ਸੀ। ਕ੍ਰੈਮਰ ਦਾ ਨਿਯਮ ਅਣਗਿਣਤ ਅਣਜਾਣਾਂ ਵਾਲੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਦੇ ਹੱਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇੱਕ ਵਿਹਾਰਕ ਅਤੇ ਕੁਸ਼ਲ ਵਿਧੀ ਹੈ, ਬਸ਼ਰਤੇ ਕਿ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਅਣਜਾਣਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੋਵੇ।
ਕ੍ਰੈਮਰ ਦਾ ਨਿਯਮ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਵਿਲੱਖਣ ਹੱਲ ਦੇਵੇਗਾ, ਜੇਕਰ ਇਹ ਮੌਜੂਦ ਹੋਵੇ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਜੇਕਰ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ ਜਾਂ ਅਨੰਤ ਗਿਣਤੀ ਵਿੱਚ ਹੱਲ ਹਨ, ਤਾਂ ਇਹ ਸਿਫਰ ਦੇ ਨਿਰਣਾਇਕ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਵੇਗਾ। ਇਹ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕਿ ਕੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਅਸੰਗਤ ਜਾਂ ਨਿਰਭਰ ਹੈ, ਇੱਕ ਹੋਰ ਵਿਧੀ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਖਾਤਮਾ, ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨੀ ਪਵੇਗੀ।
ਕ੍ਰੈਮਰ ਦੇ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਸਮਝਣ ਲਈ, ਆਓ ਅਸੀਂ ਬੁਨਿਆਦੀ ਰੋ ਓਪਰੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਇਸ 'ਤੇ ਨੇੜਿਓਂ ਨਜ਼ਰ ਮਾਰੀਏ। ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।
ਅਸੀਂ ਰੋ ਓਪਰੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਚਲ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਜੇਕਰ ਸਮੀਕਰਨ (2) ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ (1) ਵਿੱਚ y ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਦੇ ਵਿਰੋਧੀ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਸਮੀਕਰਨ (1) ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ (2) ਵਿੱਚ y ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ y ਚਲ ਖਤਮ ਹੋ ਜਾਵੇਗਾ।
ਹੁਣ, x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
1. ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, y, y ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ x, x ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਾਂਗੇ।
2. y, y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਤੇ
3. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ x, x ਅਤੇ y, y ਦੋਵਾਂ ਲਈ ਡੀਨੋਮੀਨੇਟਰ (denominator) ਕੋਐਫੀਸ਼ੀਐਂਟ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ (coefficient matrix) ਦਾ ਡਿਟਰਮੀਨੈਂਟ (determinant) ਹੈ।
4. ਅਸੀਂ x, x ਅਤੇ y, y ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ (formulas) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਪਰ ਕ੍ਰੈਮਰ ਦਾ ਨਿਯਮ ਨਵੇਂ ਨੋਟੇਸ਼ਨ (notation) ਵੀ ਪੇਸ਼ ਕਰਦਾ ਹੈ:
5. D: D: ਕੋਐਫੀਸ਼ੀਐਂਟ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਡਿਟਰਮੀਨੈਂਟ
6. D x : D x : x x = D x D x = D x D ਦੇ ਹੱਲ ਵਿੱਚ ਨਿਊਮਰੇਟਰ (numerator) ਦਾ ਡਿਟਰਮੀਨੈਂਟ
7. D y : D y : y y = D y D y = D y D ਦੇ ਹੱਲ ਵਿੱਚ ਨਿਊਮਰੇਟਰ ਦਾ ਡਿਟਰਮੀਨੈਂਟ
8. ਕ੍ਰੈਮਰ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਕੁੰਜੀ ਦਿਲਚਸਪੀ ਵਾਲੇ ਵੇਰੀਏਬਲ (variable) ਕਾਲਮ ਨੂੰ ਸਥਿਰ ਕਾਲਮ ਨਾਲ ਬਦਲਣਾ ਅਤੇ ਡਿਟਰਮੀਨੈਂਟਸ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਫਿਰ x, x ਅਤੇ y, y ਨੂੰ ਦੋ ਡਿਟਰਮੀਨੈਂਟਸ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
9. 2×2 ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਲਈ ਕ੍ਰੈਮਰ ਦਾ ਨਿਯਮ
10. ਕ੍ਰੈਮਰ ਦਾ ਨਿਯਮ ਇੱਕ ਵਿਧੀ ਹੈ ਜੋ ਡਿਟਰਮੀਨੈਂਟਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਦੀ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ (variables) ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸਮੀਕਰਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
11. ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ (variables) ਵਿੱਚ ਦੋ ਰੇਖਾਈ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।
12. ਕ੍ਰੈਮਰ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
13. ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ x, x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ x, x ਕਾਲਮ ਨੂੰ ਸਥਿਰ ਕਾਲਮ ਨਾਲ ਬਦਲ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ y, y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ y, y ਕਾਲਮ ਨੂੰ ਸਥਿਰ ਕਾਲਮ ਨਾਲ ਬਦਲ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
14. ਉਦਾਹਰਨ 2
15. 2 × 2 ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕ੍ਰੈਮਰ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
16. ਕ੍ਰੈਮਰ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੇਠ ਲਿਖੇ 2×2 2×2 ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
17. ਹੱਲ
18. x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। x.
19. y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। y.
20. ਹੱਲ ( 2,−3 ) ਹੈ। ( 2,−3 ).
21. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
22. ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ 2 × 2 ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕ੍ਰੈਮਰ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
23. 3 × 3 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ (matrix) ਦੇ ਡਿਟਰਮੀਨੈਂਟ (determinant) ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ
24. 2×2 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ (matrix) ਦਾ ਡਿਟਰਮੀਨੈਂਟ (determinant) ਲੱਭਣਾ ਸਿੱਧਾ ਹੈ, ਪਰ 3×3 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਡਿਟਰਮੀਨੈਂਟ ਲੱਭਣਾ ਵਧੇਰੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹੈ। ਇੱਕ ਵਿਧੀ 3×3 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਪਹਿਲੇ ਦੋ ਕਾਲਮਾਂ (columns) ਦੀ ਦੁਹਰਾਓ ਨਾਲ ਵਧਾਉਣਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਇੱਕ 3×5 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਬਣਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਤਿੰਨਾਂ ਡਾਇਗਨਲ (diagonals) (ਉੱਪਰ ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਹੇਠਾਂ ਸੱਜੇ) ਦੇ ਪ੍ਰਵੇਸ਼ਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਤਿੰਨਾਂ ਡਾਇਗਨਲ (ਹੇਠਾਂ ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਸੱਜੇ) ਦੇ ਪ੍ਰਵੇਸ਼ਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਨੂੰ ਘਟਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਇੱਕ ਵਿਜ਼ੂਅਲ (visual) ਅਤੇ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਨਾਲ ਵਧੇਰੇ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਸਮਝਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
Find the determinant of the 3×3 matrix.
Augment A A with the first two columns. det(A)=| a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 | a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 | det(A)=| a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 | a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 |
From upper left to lower right: Multiply the entries down the first diagonal. Add the result to the product of entries down the second diagonal. Add this result to the product of the entries down the third diagonal.
From lower left to upper right: Subtract the product of entries up the first diagonal. From this result subtract the product of entries up the second diagonal. From this result, subtract the product of entries up the third diagonal.
The algebra is as follows:
Example 3
Finding the Determinant of a 3 × 3 Matrix
Find the determinant of the 3 × 3 matrix given
Solution
Augment the matrix with the first two columns and then follow the formula. Thus,
Try It #2
Find the determinant of the 3 × 3 matrix.
Q&A
Can we use the same method to find the determinant of a larger matrix?
No, this method only works for 2×2 2×2 and 3×3 3×3 matrices. For larger matrices it is best to use a graphing utility or computer software.
Using Cramer’s Rule to Solve a System of Three Equations in Three Variables
Now that we can find the determinant of a 3 × 3 matrix, we can apply Cramer’s Rule to solve a system of three equations in three variables. Cramer’s Rule is straightforward, following a pattern consistent with Cramer’s Rule for 2 × 2 matrices. As the order of the matrix increases to 3 × 3, however, there are many more calculations required.
When we calculate the determinant to be zero, Cramer’s Rule gives no indication as to whether the system has no solution or an infinite number of solutions. To find out, we have to perform elimination on the system.
Consider a 3 × 3 system of equations.
where
If we are writing the determinant D x , D x , we replace the x x column with the constant column. If we are writing the determinant D y , D y , we replace the y y column with the constant column. If we are writing the determinant D z , D z , we replace the z z column with the constant column. Always check the answer.
Example 4
Solving a 3 × 3 System Using Cramer’s Rule
Find the solution to the given 3 × 3 system using Cramer’s Rule.
Solution
ਕਰੈਮਰ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਫਿਰ,
ਹੱਲ (1,3,−2) ਹੈ। (1,3,−2)।
ਇਸਨੂੰ #3 ਅਜ਼ਮਾਓ
3 × 3 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕਰੈਮਰ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਅਸੰਗਤ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕਰੈਮਰ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਕਰੈਮਰ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਨਿਰਣਾਇਕ D, D x , ਅਤੇ D y ਲੱਭ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। D, D x , ਅਤੇ D y।
ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜ਼ੀਰੋ ਦਾ ਨਿਰਣਾਇਕ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਜਾਂ ਤਾਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ ਜਾਂ ਇਸਦੇ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਗਿਣਤੀ ਹੈ। ਇਹ ਦੇਖਣ ਲਈ ਕਿ ਕਿਹੜਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਖਾਤਮੇ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਸਾਡਾ ਟੀਚਾ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨਾ ਹੈ।
ਸਮੀਕਰਨ (1) ਨੂੰ −2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। −2।
ਨਤੀਜਾ ਸਮੀਕਰਨ (2) ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ। (2)।
ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ 0=−8 ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, 0=−8, ਜੋ ਕਿ ਗਲਤ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨਾ ਦੋ ਸਮਾਂਤਰ ਰੇਖਾਵਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 1 ਦੇਖੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 6
ਆਸ਼ਰਿਤ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕਰੈਮਰ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ
ਅਨੰਤ ਹੱਲਾਂ ਵਾਲੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਆਓ ਪਹਿਲਾਂ ਨਿਰਣਾਇਕ ਪਤਾ ਕਰੀਏ। ਪਹਿਲੇ ਦੋ ਕਾਲਮਾਂ ਦੁਆਰਾ ਵਧਾਇਆ ਗਿਆ ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਸੈੱਟ ਕਰੋ।
ਫਿਰ,
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਨਿਰਣਾਇਕ ਜ਼ੀਰੋ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਜਾਂ ਤਾਂ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ ਜਾਂ ਅਨੰਤ ਹੱਲ ਹਨ। ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਖਾਤਮੇ ਦਾ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਨ ਕਰਨਾ ਪਵੇਗਾ।
ਸਮੀਕਰਨ (1) ਨੂੰ −2 −2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਨਤੀਜਾ ਸਮੀਕਰਨ (3) ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ: −2x+4y−6z=0 2x−4y+6z=0 0=0 −2x+4y−6z=0 2x−4y+6z=0 0=0
0=0, 0=0 ਦਾ ਜਵਾਬ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨਾ, ਇੱਕ ਕਥਨ ਜੋ ਹਮੇਸ਼ਾ ਸੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਗਿਣਤੀ ਹੈ। ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਦੋ ਤਲ ਇੱਕੋ ਹਨ ਅਤੇ ਉਹ ਦੋਵੇਂ ਤੀਜੇ ਤਲ ਨੂੰ ਇੱਕ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਕੱਟਦੇ ਹਨ। ਚਿੱਤਰ 2 ਦੇਖੋ।
ਨਿਰਣਾਇਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਨੂੰ ਸਮਝਣਾ
ਨਿਰਧਾਰਕਾਂ ਦੇ ਕਈ ਗੁਣ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇੱਥੇ ਕੁਝ ਅਜਿਹੇ ਗੁਣ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ ਜੋ ਕਿਸੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਨਿਰਧਾਰਕ ਦੀ ਗਣਨਾ ਵਿੱਚ ਸਹਾਇਕ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ।
ਨਿਰਧਾਰਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣ
ਜੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਉੱਪਰ ਤ੍ਰਿਕੋਣੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਨਿਰਧਾਰਕ ਮੁੱਖ ਵਿਕਰਣ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਦਰਜ ਹੋਈਆਂ ਐਂਟਰੀਆਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਜਦੋਂ ਦੋ ਕਤਾਰਾਂ ਨੂੰ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਿਰਧਾਰਕ ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ ਬਦਲ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਜੇ ਦੋ ਕਤਾਰਾਂ ਜਾਂ ਦੋ ਕਾਲਮ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਨਿਰਧਾਰਕ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਜੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵਿੱਚ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਦੀ ਕੋਈ ਕਤਾਰ ਜਾਂ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਦਾ ਕੋਈ ਕਾਲਮ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਨਿਰਧਾਰਕ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਉਲਟ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ A⁻¹ ਦਾ ਨਿਰਧਾਰਕ, ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ A ਦੇ ਨਿਰਧਾਰਕ ਦਾ ਵਿਪਰੀਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਜੇ ਕਿਸੇ ਕਤਾਰ ਜਾਂ ਕਾਲਮ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਅਚੱਲ ਸੰਖਿਆ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾਵੇ, ਤਾਂ ਨਿਰਧਾਰਕ ਉਸੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 7
ਨਿਰਧਾਰਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣਾ
ਨਿਰਧਾਰਕਾਂ ਦੇ ਹਰੇਕ ਗੁਣ ਨੂੰ ਦਰਸਾਓ।
ਹੱਲ
ਗੁਣ 1 ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਉੱਪਰ ਤ੍ਰਿਕੋਣੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਨਿਰਧਾਰਕ ਮੁੱਖ ਵਿਕਰਣ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਦਰਜ ਹੋਈਆਂ ਐਂਟਰੀਆਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
A ਨੂੰ ਪਹਿਲੇ ਦੋ ਕਾਲਮਾਂ ਨਾਲ ਵਧਾਓ।
ਫਿਰ
ਗੁਣ 2 ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਤਾਰਾਂ ਨੂੰ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਨਾਲ ਚਿੰਨ੍ਹ ਬਦਲ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
ਗੁਣ 3 ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜੇ ਦੋ ਕਤਾਰਾਂ ਜਾਂ ਦੋ ਕਾਲਮ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਨਿਰਧਾਰਕ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਗੁਣ 4 ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜੇ ਕੋਈ ਕਤਾਰ ਜਾਂ ਕਾਲਮ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਨਿਰਧਾਰਕ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
ਗੁਣ 5 ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਉਲਟ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ A⁻¹ ਦਾ ਨਿਰਧਾਰਕ, ਨਿਰਧਾਰਕ A ਦਾ ਵਿਪਰੀਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
ਗੁਣ 6 ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜੇ ਕਿਸੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਕੋਈ ਕਤਾਰ ਜਾਂ ਕਾਲਮ ਕਿਸੇ ਅਚੱਲ ਸੰਖਿਆ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾਵੇ, ਤਾਂ ਨਿਰਧਾਰਕ ਉਸੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
ਉਦਾਹਰਨ 8
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕ੍ਰੈਮਰ ਦੇ ਨਿਯਮ ਅਤੇ ਨਿਰਧਾਰਕ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ 3 × 3 ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਹੱਲ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਕਰੈਮਰ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਦੂਜਾ ਅਤੇ ਤੀਜਾ ਕਾਲਮ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹਨ। ਗੁਣ 3 ਅਨੁਸਾਰ, ਨਿਰਣਾਇਕ ਸਿਫ਼ਰ ਹੋਵੇਗਾ, ਇਸ ਲਈ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ ਜਾਂ ਅਨੰਤ ਹੱਲ ਹਨ। ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਖਾਤਮਾ ਕਰਨਾ ਪਵੇਗਾ।
ਸਮੀਕਰਨ (3) ਨੂੰ –2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ (1) ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ। −2x−4y−4x=−8 2x+4y+4z=2 0=−6 −2x−4y−4x=−8 2x+4y+4z=2 0=−6
ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਬਿਆਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨਾ ਜੋ ਇੱਕ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ ਹੈ, ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਮੀਡੀਆ
ਕਰੈਮਰ ਦੇ ਨਿਯਮ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਹਦਾਇਤਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
ਕਰੈਮਰ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ
ਕਰੈਮਰ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਤਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ
ਮੌਖਿਕ
ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਹਮੇਸ਼ਾ ਇੱਕ ਵਰਗ ਮੈਟਰਿਕਸ ਦੇ ਨਿਰਣਾਇਕ ਦਾ ਮੁੱਲ ਕਿਉਂ ਪਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਕਰੈਮਰ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਜਦੋਂ ਤੁਹਾਡੇ ਮੈਟਰਿਕਸ ਦਾ ਨਿਰਣਾਇਕ 0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਕੋਈ ਵਿਲੱਖਣ ਹੱਲ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਸਰਲਤਾ ਲਈ, ਇੱਕ 2×2 2×2 ਮੈਟਰਿਕਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਕਿਸੇ ਮੈਟਰਿਕਸ ਦਾ 0 ਨਿਰਣਾਇਕ ਹੋਣ ਦਾ ਇਨਵਰਸ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਕੀ ਮਤਲਬ ਹੈ।
2×2 2×2 ਮੈਟਰਿਕਸ A A ਦਾ ਨਿਰਣਾਇਕ 3 ਹੈ। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਕਤਾਰਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲਦੇ ਹੋ ਅਤੇ ਪਹਿਲੀ ਕਤਾਰ ਨੂੰ 6 ਨਾਲ ਅਤੇ ਦੂਜੀ ਕਤਾਰ ਨੂੰ 2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਨਿਰਣਾਇਕ ਕਿਵੇਂ ਲੱਭਣਾ ਹੈ ਅਤੇ ਜਵਾਬ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰੋ।
ਬੀਜਗਣਿਤ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਨਿਰਣਾਇਕ ਲੱਭੋ।
| 1 2 3 4 | | 1 2 3 4 |
| −1 2 3 −4 | | −1 2 3 −4 |
| 2 −5 −1 6 | | 2 −5 −1 6 |
| −8 4 −1 5 | | −8 4 −1 5 |
| 1 0 3 −4 | | 1 0 3 −4 |
| 10 20 0 −10 | | 10 20 0 −10 |
| 10 0.2 5 0.1 | | 10 0.2 5 0.1 |
| 6 −3 8 4 | | 6 −3 8 4 |
| −2 −3 3.1 4,000 | | −2 −3 3.1 4,000 |
| −1.1 0.6 7.2 −0.5 | | −1.1 0.6 7.2 −0.5 |
| −1 0 0 0 1 0 0 0 −3 | | −1 0 0 0 1 0 0 0 −3 |
| −1 4 0 0 2 3 0 0 −3 | | −1 4 0 0 2 3 0 0 −3 |
| 1 0 1 0 1 0 1 0 0 | | 1 0 1 0 1 0 1 0 0 |
| 2 −3 1 3 −4 1 −5 6 1 | | 2 −3 1 3 −4 1 −5 6 1 |
| −2 1 4 −4 2 −8 2 −8 −3 | | −2 1 4 −4 2 −8 2 −8 −3 |
| 6 −1 2 −4 −3 5 1 9 −1 | | 6 −1 2 −4 −3 5 1 9 −1 |
| 5 1 −1 2 3 1 3 −6 −3 | | 5 1 −1 2 3 1 3 −6 −3 |
| 1.1 2 −1 −4 0 0 4.1 −0.4 2.5 | | 1.1 2 −1 −4 0 0 4.1 −0.4 2.5 |
| 2 −1.6 3.1 1.1 3 −8 −9.3 0 2 | | 2 −1.6 3.1 1.1 3 −8 −9.3 0 2 |
| − 1 2 1 3 1 4 1 5 − 1 6 1 7 0 0 1 8 | | − 1 2 1 3 1 4 1 5 − 1 6 1 7 0 0 1 8 |
For the following exercises, solve the system of linear equations using Cramer’s Rule.
2x−3y=−1 4x+5y=9 2x−3y=−1 4x+5y=9
5x−4y=2 −4x+7y=6 5x−4y=2 −4x+7y=6
6x−3y=2 −8x+9y=−1 6x−3y=2 −8x+9y=−1
2x+6y=12 5x−2y=13 2x+6y=12 5x−2y=13
4x+3y=23 2x−y=−1 4x+3y=23 2x−y=−1
10x−6y=2 −5x+8y=−1 10x−6y=2 −5x+8y=−1
4x−3y=−3 2x+6y=−4 4x−3y=−3 2x+6y=−4
4x−5y=7 −3x+9y=0 4x−5y=7 −3x+9y=0
4x+10y=180 −3x−5y=−105 4x+10y=180 −3x−5y=−105
8x−2y=−3 −4x+6y=4 8x−2y=−3 −4x+6y=4
For the following exercises, solve the system of linear equations using Cramer’s Rule.
x+2y−4z=−1 7x+3y+5z=26 −2x−6y+7z=−6 x+2y−4z=−1 7x+3y+5z=26 −2x−6y+7z=−6
−5x+2y−4z=−47 4x−3y−z=−94 3x−3y+2z=94 −5x+2y−4z=−47 4x−3y−z=−94 3x−3y+2z=94
4x+5y−z=−7 −2x−9y+2z=8 5y+7z=21 4x+5y−z=−7 −2x−9y+2z=8 5y+7z=21
4x−3y+4z=10 5x−2z=−2 3x+2y−5z=−9 4x−3y+4z=10 5x−2z=−2 3x+2y−5z=−9
4x−2y+3z=6 −6x+y=−2 2x+7y+8z=24 4x−2y+3z=6 −6x+y=−2 2x+7y+8z=24
5x+2y−z=1 −7x−8y+3z=1.5 6x−12y+z=7 5x+2y−z=1 −7x−8y+3z=1.5 6x−12y+z=7
13x−17y+16z=73 −11x+15y+17z=61 46x+10y−30z=−18 13x−17y+16z=73 −11x+15y+17z=61 46x+10y−30z=−18
−4x−3y−8z=−7 2x−9y+5z=0.5 5x−6y−5z=−2 −4x−3y−8z=−7 2x−9y+5z=0.5 5x−6y−5z=−2
4x−6y+8z=10 −2x+3y−4z=−5 x+y+z=1 4x−6y+8z=10 −2x+3y−4z=−5 x+y+z=1
4x−6y+8z=10 −2x+3y−4z=−5 12x+18y−24z=−30 4x−6y+8z=10 −2x+3y−4z=−5 12x+18y−24z=−30
Technology
For the following exercises, use the determinant function on a graphing utility.
| 1 0 8 9 0 2 1 0 1 0 3 0 0 2 4 3 | | 1 0 8 9 0 2 1 0 1 0 3 0 0 2 4 3 |
| 1 0 2 1 0 −9 1 3 3 0 −2 −1 0 1 1 −2 | | 1 0 2 1 0 −9 1 3 3 0 −2 −1 0 1 1 −2 |
| 1 2 1 7 4 0 1 2 100 5 0 0 2 2,000 0 0 0 2 | | 1 2 1 7 4 0 1 2 100 5 0 0 2 2,000 0 0 0 2 |
| 1 0 0 0 2 3 0 0 4 5 6 0 7 8 9 0 | | 1 0 0 0 2 3 0 0 4 5 6 0 7 8 9 0 |
Real-World Applications
For the following exercises, create a system of linear equations to describe the behavior. Then, calculate the determinant. Will there be a unique solution? If so, find the unique solution.
Two numbers add up to 56. One number is 20 less than the other.
Two numbers add up to 104. If you add two times the first number plus two times the second number, your total is 208
Three numbers add up to 106. The first number is 3 less than the second number. The third number is 4 more than the first number.
Three numbers add to 216. The sum of the first two numbers is 112. The third number is 8 less than the first two numbers combined.
For the following exercises, create a system of linear equations to describe the behavior. Then, solve the system for all solutions using Cramer’s Rule.
You invest $10,000 into two accounts, which receive 8% interest and 5% interest. At the end of a year, you had $10,710 in your combined accounts. How much was invested in each account?
You invest $80,000 into two accounts, $22,000 in one account, and $58,000 in the other account. At the end of one year, assuming simple interest, you have earned $2,470 in interest. The second account receives half a percent less than twice the interest on the first account. What are the interest rates for your accounts?
A theater needs to know how many adult tickets and children tickets were sold out of the 1,200 total tickets. If children’s tickets are $5.95, adult tickets are $11.15, and the total amount of revenue was $12,756, how many children’s tickets and adult tickets were sold?
A concert venue sells single tickets for $40 each and couple’s tickets for $65. If the total revenue was $18,090 and the 321 tickets were sold, how many single tickets and how many couple’s tickets were sold?
You decide to paint your kitchen green. You create the color of paint by mixing yellow and blue paints. You cannot remember how many gallons of each color went into your mix, but you know there were 10 gal total. Additionally, you kept your receipt, and know the total amount spent was $29.50. If each gallon of yellow costs $2.59, and each gallon of blue costs $3.19, how many gallons of each color go into your green mix?
You sold two types of scarves at a farmers’ market and would like to know which one was more popular. The total number of scarves sold was 56, the yellow scarf cost $10, and the purple scarf cost $11. If you had total revenue of $583, how many yellow scarves and how many purple scarves were sold?
Your garden produced two types of tomatoes, one green and one red. The red weigh 10 oz, and the green weigh 4 oz. You have 30 tomatoes, and a total weight of 13 lb, 14 oz. How many of each type of tomato do you have?
At a market, the three most popular vegetables make up 53% of vegetable sales. Corn has 4% higher sales than broccoli, which has 5% more sales than onions. What percentage does each vegetable have in the market share?
At the same market, the three most popular fruits make up 37% of the total fruit sold. Strawberries sell twice as much as oranges, and kiwis sell one more percentage point than oranges. For each fruit, find the percentage of total fruit sold.
Three artists performed at a concert venue. The first one charged $15 per ticket, the second artist charged $45 per ticket, and the final one charged $22 per ticket. There were 510 tickets sold, for a total of $12,700. If the first band had 40 more audience members than the second band, how many tickets were sold for each band?
A movie theatre sold tickets to three movies. The tickets to the first movie were $5, the tickets to the second movie were $11, and the third movie was $12. 100 tickets were sold to the first movie. The total number of tickets sold was 642, for a total revenue of $6,774. How many tickets for each movie were sold?
For the following exercises, use this scenario: A health-conscious company decides to make a trail mix out of almonds, dried cranberries, and chocolate-covered cashews. The nutritional information for these items is shown in Table 1.
row: Fat (g) | Protein (g) | Carbohydrates (g)
row: Almonds (10) | 6 | 2 | 3
row: Cranberries (10) | 0.02 | 0 | 8
row: Cashews (10) | 7 | 3.5 | 5.5
For the special “low-carb”trail mix, there are 1,000 pieces of mix. The total number of carbohydrates is 425 g, and the total amount of fat is 570.2 g. If there are 200 more pieces of cashews than cranberries, how many of each item is in the trail mix?
For the “hiking” mix, there are 1,000 pieces in the mix, containing 390.8 g of fat, and 165 g of protein. If there is the same amount of almonds as cashews, how many of each item is in the trail mix?
For the “energy-booster” mix, there are 1,000 pieces in the mix, containing 145 g of protein and 625 g of carbohydrates. If the number of almonds and cashews summed together is equivalent to the amount of cranberries, how many of each item is in the trail mix?