ਮੁੱਖ ਸੰਕਲਪ
ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ (ellipse) ਬਿੰਦੂਆਂ ( x,y ) ( x,y ) ਦਾ ਉਹ ਸਮੂਹ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਸਥਿਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਦੋ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬਿੰਦੂਆਂ ਤੋਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਦੂਰੀ ਦਾ ਜੋੜ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਫੋਕਸ (focus) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ (ਬਹੁਵਚਨ: foci)।
ਜਦੋਂ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਫੋਕਸ ਅਤੇ ਸਿਖਰਾਂ (vertices) ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਦਿੱਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 2 ਵੇਖੋ।
ਜਦੋਂ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ (origin) 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਸਦੇ ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ (co-vertices), ਫੋਕਸਾਂ, ਅਤੇ ਦੀਰਘ ਅਤੇ ਲਘੂ ਧੁਰਿਆਂ (major and minor axes) ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ ਅਤੇ ਸਥਿਤੀਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਕੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 4 ਵੇਖੋ।
ਜਦੋਂ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਸਦੇ ਮੁੱਖ ਲੱਛਣਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਕੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 6 ਵੇਖੋ।
ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਨੂੰ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਫਿਰ ਧੁਰਿਆਂ ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ ਅਤੇ ਫੋਕਸਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਵਰਗੇ ਮੁੱਖ ਲੱਛਣਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 7 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ (hyperbola) ਬਿੰਦੂਆਂ ( x,y ) ( x,y ) ਦਾ ਉਹ ਸਮੂਹ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਸਥਿਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਫੋਕਸਾਂ ਅਤੇ ( x,y ) ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀਆਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਇੱਕ ਧਨ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਇਸਦੇ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਫੋਕਸਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਵੇਖੋ।
ਜਦੋਂ ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ ਦੇ ਫੋਕਸਾਂ ਅਤੇ ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਦਿੱਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 3 ਵੇਖੋ।
ਜਦੋਂ ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਸਦੇ ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ, ਫੋਕਸਾਂ, ਅਸੀਮਟੋਟਾਂ (asymptotes), ਅਤੇ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ (transverse) ਅਤੇ ਸੰਯੁਕਤ (conjugate) ਧੁਰਿਆਂ ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ ਅਤੇ ਸਥਿਤੀਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਕੇ ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 5 ਵੇਖੋ।
ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਨੂੰ ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯਾਂ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ, ਇੱਕ ਕੁਦਰਤੀ ਖਿੱਚ ਵਾਲੇ ਕੂਲਿੰਗ ਟਾਵਰ ਦੇ ਮਾਪ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਇਸਦੇ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਪਰਵਲਯ (parabola) ਬਿੰਦੂਆਂ ( x,y ) ( x,y ) ਦਾ ਉਹ ਸਮੂਹ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਰੇਖਾ, ਜਿਸਨੂੰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ (directrix) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬਿੰਦੂ (ਫੋਕਸ) ਜੋ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ 'ਤੇ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤੋਂ ਬਰਾਬਰ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ( 0,0 ) ( 0,0 ) ਵਾਲੇ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਆਪਣੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਧੁਰਾ (axis of symmetry) ਮੰਨਣ ਵਾਲੇ ਪਰਵਲਯ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਪਰਵਲਯ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ p>0, p>0, ਤਾਂ ਪਰਵਲਯ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ p<0, p<0, ਤਾਂ ਪਰਵਲਯ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਵੇਖੋ।
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ( 0,0 ) ( 0,0 ) ਵਾਲੇ ਅਤੇ y-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਆਪਣੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਧੁਰਾ ਮੰਨਣ ਵਾਲੇ ਪਰਵਲਯ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਪਰਵਲਯ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ p>0, p>0, ਤਾਂ ਪਰਵਲਯ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ p<0, p<0, ਤਾਂ ਪਰਵਲਯ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਵੇਖੋ।
ਜਦੋਂ ਪਰਵਲਯ ਦਾ ਫੋਕਸ ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਦਿੱਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਸਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਵੇਖੋ।
( h,k ) ( h,k ) ਸਿਖਰ ਵਾਲੇ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਸਮਰੂਪਤਾ ਧੁਰਾ ਮੰਨਣ ਵਾਲੇ ਪਰਵਲਯ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਪਰਵਲਯ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ p>0, p>0, ਤਾਂ ਪਰਵਲਯ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ p<0, p<0, ਤਾਂ ਪਰਵਲਯ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਵੇਖੋ।
( h,k ) ( h,k ) ਸਿਖਰ ਵਾਲੇ ਅਤੇ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਸਮਰੂਪਤਾ ਧੁਰਾ ਮੰਨਣ ਵਾਲੇ ਪਰਵਲਯ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਪਰਵਲਯ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ p>0, p>0, ਤਾਂ ਪਰਵਲਯ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ p<0, p<0, ਤਾਂ ਪਰਵਲਯ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਵੇਖੋ।
ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਨੂੰ ਪਰਵਲਯਾਂ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ, ਇੱਕ ਪਰਵਲਯ ਰਿਫਲੈਕਟਰ ਦੇ ਕ੍ਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨ ਦੇ ਵਿਆਸ ਅਤੇ ਫੋਕਸ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਇਸਦੇ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਵੇਖੋ।
ਦੋ ਸੱਜੇ ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਨਾਂ (right circular cones) ਦੇ ਜੋੜੇ ਦੇ ਤਲ ਨਾਲ ਕੱਟਣ ਨਾਲ ਚਾਰ ਮੁੱਢਲੇ ਆਕਾਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਇਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ, ਇੱਕ ਚੱਕਰ, ਇੱਕ ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਪਰਵਲਯ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ।
ਇੱਕ ਗੈਰ-ਅਪਭ੍ਰਸ਼ਟ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ (nondegenerate conic section) ਦਾ ਆਮ ਰੂਪ A x 2 +Bxy+C y 2 +Dx+Ey+F=0 A x 2 +Bxy+C y 2 +Dx+Ey+F=0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ A,B A,B ਅਤੇ C C ਸਾਰੇ ਸਿਫ਼ਰ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ। A,B, A,B, ਅਤੇ C C ਦੇ ਮੁੱਲ ਸ਼ੰਕੂ ਦੇ ਪ੍ਰਕਾਰ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਵੇਖੋ।
xy xy ਪਦ ਵਾਲੇ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਵੇਖੋ।
ਆਮ ਰੂਪ ਨੂੰ x ′ x ′ ਅਤੇ y ′ y ′ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਅਜਿਹੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ x ′ y ′ x ′ y ′ ਪਦ ਨਾ ਹੋਵੇ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 4 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਵਿਅੰਜਨ (expression) ਨੂੰ ਅਟੱਲ (invariant) ਦੱਸਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਇਹ ਘੁਮਾਉਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਬਦਲਿਆ ਨਾ ਜਾਵੇ। ਕਿਉਂਕਿ ਵਿਵੇਚਕ (discriminant) ਅਟੱਲ ਹੈ, ਇਸਨੂੰ ਦੇਖਣ ਨਾਲ ਅਸੀਂ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਵੇਖੋ।
ਕਿਸੇ ਵੀ ਸ਼ੰਕੂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਇਕੱਲੇ ਫੋਕਸ, ਸੰਬੰਧਿਤ ਉਤਕੇਂਦਰਤਾ (eccentricity), ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬਿੰਦੂ, ਫੋਕਸ P(r,θ) P(r,θ) ਜੋ ਕਿ ਪੋਲ (pole) 'ਤੇ ਹੈ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਰੇਖਾ, ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ, ਜੋ ਕਿ ਪੋਲਰ ਧੁਰੇ (polar axis) ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਹੈ, ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
1. ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ (conic) ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ ਜਿੱਥੇ e = PF/PD, ਜਿੱਥੇ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ (eccentricity) e ਇੱਕ ਧਨ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਸ਼ੰਕੂ ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ (polar equation) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਵੇਖੋ।
2. ਸ਼ੰਕੂਆਂ ਦੇ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 2, ਉਦਾਹਰਨ 3, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 4 ਵੇਖੋ।
3. ਸ਼ੰਕੂਆਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਫੋਕਸ (focus), ਇੱਕ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ (directrix), ਅਤੇ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ (eccentricity) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 6 ਵੇਖੋ।
4. ਅਸੀਂ ਸ਼ੰਕੂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਤੋਂ ਆਇਤਾਕਾਰ ਰੂਪ (rectangular form) ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਲਈ ਸਰਬਸਮਤਾਵਾਂ r = √(x² + y²), x = rcosθ, ਅਤੇ y = rsinθ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 7 ਵੇਖੋ।