ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਮਕਸਦ
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਸਿਖਰ ਵਾਲੇ ਪਰਵਲਿਆਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓਗੇ।
ਪਰਵਲਿਆਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋਗੇ।
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਹੋਰ ਸਥਾਨ 'ਤੇ ਸਿਖਰ ਵਾਲੇ ਪਰਵਲਿਆਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓਗੇ।
ਪਰਵਲਿਆਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਯੋਗ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋਗੇ।
ਚਿੱਤਰ 1: ਕੈਥਰੀਨ ਜੌਹਨਸਨ ਦਾ ਪਰਵਲਈ ਅਤੇ ਹੋਰ ਕਕਸ਼ੀ ਗਣਨਾਵਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ ਮੋਹਰੀ ਗਣਿਤਿਕ ਕੰਮ ਅਮਰੀਕੀ ਪੁਲਾੜ ਉਡਾਣ ਦੇ ਵਿਕਾਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਭੂਮਿਕਾ ਨਿਭਾਈ। (ਸਿਹਰਾ: NASA)
ਕੈਥਰੀਨ ਜੌਹਨਸਨ ਮੋਹਰੀ NASA ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਹੈ ਜੋ ਕਈ ਮਨੁੱਖੀ ਮਿਸ਼ਨਾਂ ਅਤੇ ਉਪਗ੍ਰਹਾਂ ਦੀ ਸਫਲ ਅਤੇ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਉਡਾਣ ਅਤੇ ਵਾਪਸੀ ਲਈ ਅਨਿੱਖੜਵੀਂ ਸੀ। ਹਿਡਨ ਫਿਗਰਜ਼ ਫਿਲਮ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਕੰਮ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਉਸਨੇ ਪੁਲਾੜ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਵਿੱਚ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਵੱਡਾ ਯੋਗਦਾਨ ਪਾਇਆ ਸੀ। ਉਸਨੇ ਮਰਕਰੀ ਮਿਸ਼ਨ ਲਈ ਟ੍ਰੈਜੈਕਟਰੀ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕੀਤਾ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਐਲਨ ਸ਼ੈਪਰਡ ਪੁਲਾੜ ਵਿੱਚ ਪਹੁੰਚਣ ਵਾਲਾ ਪਹਿਲਾ ਅਮਰੀਕੀ ਬਣਿਆ, ਅਤੇ ਉਸਨੇ ਅਤੇ ਇੰਜੀਨੀਅਰ ਟੇਡ ਸੋਪਿੰਸਕੀ ਨੇ ਇੱਕ ਵਸਤੂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਹੀ ਕਕਸ਼ੀ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ਅਤੇ ਉਸਨੂੰ ਧਰਤੀ 'ਤੇ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਵਾਪਸ ਲਿਆਉਣ ਬਾਰੇ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਪੇਪਰ ਲਿਖਿਆ। ਉਸ ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਈ ਕਕਸ਼ ਪਰਵਲਿਆਂ ਦੇ ਬਣੇ ਹੋਏ ਸਨ, ਅਤੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਗਣਿਤ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਦੀ ਉਸਦੀ ਯੋਗਤਾ ਨੇ ਅਨੁਪਮ ਪੱਧਰ ਦੀ ਸ਼ੁੱਧਤਾ ਨੂੰ ਸਮਰੱਥ ਬਣਾਇਆ। ਜੌਹਨਸਨ ਨੇ ਕਿਹਾ, "ਤੁਸੀਂ ਮੈਨੂੰ ਦੱਸੋ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਕਦੋਂ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹੋ ਅਤੇ ਕਿੱਥੇ ਲੈਂਡ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹੋ, ਅਤੇ ਮੈਂ ਇਸਨੂੰ ਪਿੱਛੇ ਵੱਲ ਕਰਾਂਗੀ ਅਤੇ ਤੁਹਾਨੂੰ ਦੱਸਾਂਗੀ ਕਿ ਕਦੋਂ ਉਡਾਣ ਭਰਨੀ ਹੈ।"
ਜੌਹਨਸਨ ਦੇ ਪਰਵਲਈ ਕਕਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਹੋਰ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਗਣਿਤ 'ਤੇ ਕੰਮ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਸਫਲ ਕਕਸ਼, ਚੰਦਰਮਾ 'ਤੇ ਉਤਰਨਾ, ਅਤੇ ਸਪੇਸ ਸ਼ਟਲ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਦਾ ਵਿਕਾਸ ਹੋਇਆ। ਪਰਵਲਿਆਂ ਦੀਆਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿਗਿਆਨ ਦੇ ਹੋਰ ਖੇਤਰਾਂ ਲਈ ਵੀ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹਨ। ਪਰਵਲਈ ਸ਼ੀਸ਼ੇ (ਜਾਂ ਰਿਫਲੈਕਟਰ) ਊਰਜਾ ਨੂੰ ਕੈਪਚਰ ਕਰਨ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਕਰਨ ਦੇ ਸਮਰੱਥ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਗੁਣ ਦੇ ਫਾਇਦੇ ਪਰਵਲਈ ਵਸਤੂਆਂ ਦੀ ਵਿਸ਼ਾਲ ਸੂਚੀ ਦੁਆਰਾ ਸਾਬਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਅਸੀਂ ਹਰ ਰੋਜ਼ ਵਰਤਦੇ ਹਾਂ: ਸੈਟੇਲਾਈਟ ਡਿਸ਼, ਸਸਪੈਂਸ਼ਨ ਬ੍ਰਿਜ, ਦੂਰਬੀਨ, ਮਾਈਕ੍ਰੋਫੋਨ, ਸਪਾਟਲਾਈਟ, ਅਤੇ ਕਾਰ ਹੈੱਡਲਾਈਟ, ਕੁਝ ਨਾਮ ਦੱਸਣ ਲਈ। ਪਰਵਲਈ ਰਿਫਲੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਵਿਕਲਪਕ ਊਰਜਾ ਯੰਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਵੀ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਸੋਲਰ ਕੁਕਰ ਅਤੇ ਵਾਟਰ ਹੀਟਰ, ਕਿਉਂਕਿ ਉਹਨਾਂ ਦਾ ਨਿਰਮਾਣ ਸਸਤਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਬਹੁਤ ਘੱਟ ਰੱਖ-ਰਖਾਅ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਪਰਵਲਿਆਂ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਉਪਯੋਗਾਂ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰਾਂਗੇ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਘੱਟ-ਲਾਗਤ, ਊਰਜਾ-ਕੁਸ਼ਲ ਸੋਲਰ ਡਿਜ਼ਾਈਨ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ।
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਪਰਵਲਿਆਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣਾ
ਦਿ ਇਲਿਪਸ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਿਆ ਕਿ ਇੱਕ ਦੀਰਘ-ਵ੍ਰਿੱਤ ਉਦੋਂ ਬਣਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਇੱਕ ਸੱਜੇ ਚੱਕਰੀ ਕੋਨ ਵਿੱਚੋਂ ਕੱਟਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਸਮਤਲ ਕੋਨ ਦੇ ਕਿਨਾਰੇ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਵਕਰ ਬਣਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਵਕਰ ਇੱਕ ਪਰਵਲਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 2 ਦੇਖੋ।
ਚਿੱਤਰ 2: ਪਰਵਲਾ
ਦੀਰਘ-ਵ੍ਰਿੱਤ ਅਤੇ ਅਤਿ-ਪਰਵਲਏ ਵਾਂਗ, ਪਰਵਲਿਆਂ ਨੂੰ ਵੀ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਪਰਵਲਾ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ (x,y) ਦਾ ਉਹ ਸਮੂਹ ਹੈ ਜੋ ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਰੇਖਾ, ਜਿਸਨੂੰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬਿੰਦੂ (ਫੋਕਸ) ਜੋ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕਾ 'ਤੇ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤੋਂ ਸਮਾਨ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਹੈ।
ਕਵਾਡ੍ਰੇਟਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਜ਼ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪਰਵਲੇ ਦੇ ਸਿਖਰ ਅਤੇ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਬਾਰੇ ਸਿੱਖਿਆ। ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਪਰਵਲੇ ਦੀਆਂ ਹੋਰ ਮੁੱਖ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਲਈ ਚਰਚਾ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਚਿੱਤਰ 3 ਦੇਖੋ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਫੋਕਸ ਅਤੇ ਸਿਖਰ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕਾ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਸਿਖਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕਾ ਅਤੇ ਫੋਕਸ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਮੱਧ-ਬਿੰਦੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਫੋਕਸ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕਾ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਨੂੰ ਲੈਟਸ ਰੈਕਟਮ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਲੈਟਸ ਰੈਕਟਮ ਦੇ ਸਿਰੇ ਵਕਰ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਨੁਸਾਰ, ਫੋਕਸ ਤੋਂ ਪਰਵਲੇ 'ਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ P ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ P ਤੋਂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕਾ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 3: ਪਰਵਲੇ ਦੀਆਂ ਮੁੱਖ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ
ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਪਰਵਲਿਆਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਦੋ ਮਾਮਲਿਆਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: ਉਹ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਸਿਖਰ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਹੈ ਅਤੇ ਉਹ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਸਿਖਰ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਵਾਲੇ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਮੰਨ ਲਓ (x,y) ਪਰਵਲੇ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਸਿਖਰ (0,0), ਫੋਕਸ (0,p), ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕਾ y = -p ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 4 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਨਿਰਦੇਸ਼ਕਾ 'ਤੇ ਬਿੰਦੂ (x,-p) ਤੋਂ ਬਿੰਦੂ (x,y) ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ y-ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਹੈ: d = y+p। ਫੋਕਸ (0,p) ਤੋਂ ਬਿੰਦੂ (x,y) ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਵੀ d ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ ਅਤੇ ਦੂਰੀ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
d ਲਈ ਦੋਨੋਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਕਰੋ ਅਤੇ y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ ਤਾਂ ਕਿ ਪਰਵਲੇ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਇਸ ਲਈ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿਉਂਕਿ (x,y) ਤੋਂ (0,p) ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ (x,y) ਤੋਂ (x, -p) ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਨੋਂ ਪਾਸੇ ਵਰਗ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਵਰਗ ਕੀਤੇ ਗਏ ਪਦਾਂ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਸਰਲ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।
ਸਿਖਰ (0,0) ਵਾਲੇ ਪਰਵਲਿਆਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ y^2 = 4px ਹਨ ਜਦੋਂ x-ਧੁਰਾ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ x^2 = 4py ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਦੋਂ y-ਧੁਰਾ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ, ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਆਮ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਅਤੇ ਮੁੱਖ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਦੇ ਨਾਲ।
ਸਿਖਰ (0, 0) ਵਾਲੇ ਪਰਵਲਿਆਂ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ
ਸਾਰਣੀ 1 ਅਤੇ ਚਿੱਤਰ 5 ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਸਿਖਰ ਵਾਲੇ ਪਰਵਲਿਆਂ ਦੀਆਂ ਮਿਆਰੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਦਾ ਸਾਰ ਦਿੰਦੇ ਹਨ।
ਸਫ: ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ | ਸਮੀਕਰਨ | ਫੋਕਸ | ਨਿਰਦੇਸ਼ਕਾ | ਲੈਟਸ ਰੈਕਟਮ ਦੇ ਸਿਰੇ
row: x-axis | y 2 =4px y 2 =4px | ( p,0 ) ( p,0 ) | x=−p x=−p | ( p,±2p ) ( p,±2p )
row: y-axis | x 2 =4py x 2 =4py | ( 0,p ) ( 0,p ) | y=−p y=−p | ( ±2p,p ) ( ±2p,p )
Figure 5: (a) When p>0 p>0 and the axis of symmetry is the x-axis, the parabola opens right. (b) When p<0 p<0 and the axis of symmetry is the x-axis, the parabola opens left. (c) When p>0 p>0 and the axis of symmetry is the y-axis, the parabola opens up. (d) When p<0 p<0 and the axis of symmetry is the y-axis, the parabola opens down.
The key features of a parabola are its vertex, axis of symmetry, focus, directrix, and latus rectum. See Figure 5. When given a standard equation for a parabola centered at the origin, we can easily identify the key features to graph the parabola.
A line is said to be tangent to a curve if it intersects the curve at exactly one point. If we sketch lines tangent to the parabola at the endpoints of the latus rectum, these lines intersect on the axis of symmetry, as shown in Figure 6.
How To
Given a standard form equation for a parabola centered at (0, 0), sketch the graph.
Determine which of the standard forms applies to the given equation: y 2 =4px y 2 =4px or x 2 =4py. x 2 =4py.
Use the standard form identified in Step 1 to determine the axis of symmetry, focus, equation of the directrix, and endpoints of the latus rectum. If the equation is in the form y 2 =4px, y 2 =4px, then the axis of symmetry is the x-axis, y=0 y=0 set 4p 4p equal to the coefficient of x in the given equation to solve for p. p. If p>0, p>0, the parabola opens right. If p<0, p<0, the parabola opens left. use p p to find the coordinates of the focus, ( p,0 ) ( p,0 ) use p p to find the equation of the directrix, x=−p x=−p use p p to find the endpoints of the latus rectum, ( p,±2p ). ( p,±2p ). Alternately, substitute x=p x=p into the original equation. If the equation is in the form x 2 =4py, x 2 =4py, then the axis of symmetry is the y-axis, x=0 x=0 set 4p 4p equal to the coefficient of y in the given equation to solve for p. p. If p>0, p>0, the parabola opens up. If p<0, p<0, the parabola opens down. use p p to find the coordinates of the focus, ( 0,p ) ( 0,p ) use p p to find equation of the directrix, y=−p y=−p use p p to find the endpoints of the latus rectum, ( ±2p,p ) ( ±2p,p )
Plot the focus, directrix, and latus rectum, and draw a smooth curve to form the parabola.
Example 1
Graphing a Parabola with Vertex (0, 0) and the x-axis as the Axis of Symmetry
Graph y 2 =24x. y 2 =24x. Identify and label the focus, directrix, and endpoints of the latus rectum.
Solution
The standard form that applies to the given equation is y 2 =4px. y 2 =4px. Thus, the axis of symmetry is the x-axis. It follows that:
24=4p, 24=4p, so p=6. p=6. Since p>0, p>0, the parabola opens right
the coordinates of the focus are ( p,0 )=( 6,0 ) ( p,0 )=( 6,0 )
the equation of the directrix is x=−p=−6 x=−p=−6
the endpoints of the latus rectum have the same x-coordinate at the focus. To find the endpoints, substitute x=6 x=6 into the original equation: ( 6,±12 ) ( 6,±12 )
Next we plot the focus, directrix, and latus rectum, and draw a smooth curve to form the parabola. Figure 7
Try It #1
Graph y 2 =−16x. y 2 =−16x. Identify and label the focus, directrix, and endpoints of the latus rectum.
Example 2
Graphing a Parabola with Vertex (0, 0) and the y-axis as the Axis of Symmetry
x 2 =−6y. x 2 =−6y। ਕੇਂਦਰ, ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਰੇਖਾ, ਅਤੇ ਨਾਭੀ-ਲੰਬ ਦੇ ਸਿਰਿਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਲਗਾਓ।
ਹੱਲ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੋਣ ਵਾਲਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ x 2 =4py ਹੈ। x 2 =4py। ਇਸ ਲਈ, ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ y-ਧੁਰੀ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਪਤਾ ਲੱਗਦਾ ਹੈ:
−6=4p, −6=4p, ਇਸ ਲਈ p=− 3 2 । p=− 3 2 । ਕਿਉਂਕਿ p<0, p<0, ਪਰਵਲਯ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ।
ਕੇਂਦਰ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ( 0,p )=( 0,− 3 2 ) ( 0,p )=( 0,− 3 2 ) ਹਨ
ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ y=−p= 3 2 y=−p= 3 2 ਹੈ
ਨਾਭੀ-ਲੰਬ ਦੇ ਸਿਰਿਆਂ ਨੂੰ ਮੂਲ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ y= 3 2 y= 3 2 ਨੂੰ ਬਦਲ ਕੇ ਪਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ( ±3,− 3 2 ) ( ±3,− 3 2 )
ਅੱਗੇ ਅਸੀਂ ਕੇਂਦਰ, ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਰੇਖਾ, ਅਤੇ ਨਾਭੀ-ਲੰਬ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਪਰਵਲਯ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
x 2 =8y। x 2 =8y। ਕੇਂਦਰ, ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਰੇਖਾ, ਅਤੇ ਨਾਭੀ-ਲੰਬ ਦੇ ਸਿਰਿਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਲਗਾਓ।
ਪਰਵਲਯਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣਾ
ਪਿਛਲੇ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪਰਵਲਯ ਦੀਆਂ ਮੁੱਖ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਦੇ ਸਥਾਨਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਪਰਵਲਯ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ। ਅਸੀਂ ਇਸਦੇ ਉਲਟ ਗਣਨਾਵਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਵੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਦੋਂ ਇਸਦੀਆਂ ਮੁੱਖ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹੋਣ ਤਾਂ ਪਰਵਲਯ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣ ਲਈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਇਸਦੇ ਕੇਂਦਰ ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ, ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪਰਵਲਯ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।
ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ x- ਜਾਂ y-ਧੁਰੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਕੇਂਦਰ ਦੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ( p,0 ), ( p,0 ) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹਨ, ਤਾਂ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ x-ਧੁਰੀ ਹੈ। ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ y 2 =4px ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। y 2 =4px। ਜੇਕਰ ਕੇਂਦਰ ਦੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ( 0,p ), ( 0,p ) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹਨ, ਤਾਂ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ y-ਧੁਰੀ ਹੈ। ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ x 2 =4py ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। x 2 =4py।
4p ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। 4p।
ਕਦਮ 2 ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਕਦਮ 1 ਵਿੱਚ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪਰਵਲਯ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਕੇਂਦਰ ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ ਲਿਖਣਾ
ਕੇਂਦਰ ( − 1 2 ,0 ) ( − 1 2 ,0 ) ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਰੇਖਾ x= 1 2 x= 1 2 ਵਾਲੇ ਪਰਵਲਯ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਕੀ ਹੈ?
ਹੱਲ
ਕੇਂਦਰ ( p,0 ) ( p,0 ) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ y 2 =4px ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇਗਾ। y 2 =4px।
4p ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ 'ਤੇ, 4p, ਸਾਡੇ ਕੋਲ 4p=4( − 1 2 )=−2 ਹੈ। 4p=4( − 1 2 )=−2।
4p, 4p, ਲਈ ਬਦਲਣ 'ਤੇ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ y 2 =4px=−2x ਹੈ। y 2 =4px=−2x।
Therefore, the equation for the parabola is y 2 =−2x. y 2 =−2x.
Try It #3
What is the equation for the parabola with focus ( 0, 7 2 ) ( 0, 7 2 ) and directrix y=− 7 2 ? y=− 7 2 ?
Graphing Parabolas with Vertices Not at the Origin
Like other graphs we’ve worked with, the graph of a parabola can be translated. If a parabola is translated h h units horizontally and k k units vertically, the vertex will be ( h,k ). ( h,k ). This translation results in the standard form of the equation we saw previously with x x replaced by ( x−h ) ( x−h ) and y y replaced by ( y−k ). ( y−k ).
To graph parabolas with a vertex ( h,k ) ( h,k ) other than the origin, we use the standard form ( y−k ) 2 =4p( x−h ) ( y−k ) 2 =4p( x−h ) for parabolas that have an axis of symmetry parallel to the x-axis, and ( x−h ) 2 =4p( y−k ) ( x−h ) 2 =4p( y−k ) for parabolas that have an axis of symmetry parallel to the y-axis. These standard forms are given below, along with their general graphs and key features.
Standard Forms of Parabolas with Vertex (h, k)
Table 2 and Figure 9 summarize the standard features of parabolas with a vertex at a point ( h,k ). ( h,k ).
row: Axis of Symmetry | Equation | Focus | Directrix | Endpoints of Latus Rectum
row: y=k y=k | ( y−k ) 2 =4p( x−h ) ( y−k ) 2 =4p( x−h ) | ( h+p,k ) ( h+p,k ) | x=h−p x=h−p | ( h+p,k±2p ) ( h+p,k±2p )
row: x=h x=h | ( x−h ) 2 =4p( y−k ) ( x−h ) 2 =4p( y−k ) | ( h,k+p ) ( h,k+p ) | y=k−p y=k−p | ( h±2p,k+p ) ( h±2p,k+p )
Figure 9: (a) When p>0, p>0, the parabola opens right. (b) When p<0, p<0, the parabola opens left. (c) When p>0, p>0, the parabola opens up. (d) When p<0, p<0, the parabola opens down.
How To
Given a standard form equation for a parabola centered at (h, k), sketch the graph.
Determine which of the standard forms applies to the given equation: ( y−k ) 2 =4p( x−h ) ( y−k ) 2 =4p( x−h ) or ( x−h ) 2 =4p( y−k ). ( x−h ) 2 =4p( y−k ).
Use the standard form identified in Step 1 to determine the vertex, axis of symmetry, focus, equation of the directrix, and endpoints of the latus rectum. If the equation is in the form ( y−k ) 2 =4p( x−h ), ( y−k ) 2 =4p( x−h ), then: use the given equation to identify h h and k k for the vertex, ( h,k ) ( h,k ) use the value of k k to determine the axis of symmetry, y=k y=k set 4p 4p equal to the coefficient of ( x−h ) ( x−h ) in the given equation to solve for p. p. If p>0, p>0, the parabola opens right. If p<0, p<0, the parabola opens left. use h,k, h,k, and p p to find the coordinates of the focus, ( h+p,k ) ( h+p,k ) use h h and p p to find the equation of the directrix, x=h−p x=h−p use h,k, h,k, and p p to find the endpoints of the latus rectum, ( h+p,k±2p ) ( h+p,k±2p ) If the equation is in the form ( x−h ) 2 =4p( y−k ), ( x−h ) 2 =4p( y−k ), then: use the given equation to identify h h and k k for the vertex, ( h,k ) ( h,k ) use the value of h h to determine the axis of symmetry, x=h x=h set 4p 4p equal to the coefficient of ( y−k ) ( y−k ) in the given equation to solve for p. p. If p>0, p>0, the parabola opens up. If p<0, p<0, the parabola opens down. use h,k, h,k, and p p to find the coordinates of the focus, ( h,k+p ) ( h,k+p ) use k k and p p to find the equation of the directrix, y=k−p y=k−p use h, k, h, k, and p p to find the endpoints of the latus rectum, ( h±2p,k+p ) ( h±2p,k+p )
Plot the vertex, axis of symmetry, focus, directrix, and latus rectum, and draw a smooth curve to form the parabola.
Example 4
Graphing a Parabola with Vertex (h, k) and Axis of Symmetry Parallel to the x-axis
Graph ( y−1 ) 2 =−16( x+3 ). ( y−1 ) 2 =−16( x+3 ). Identify and label the vertex, axis of symmetry, focus, directrix, and endpoints of the latus rectum.
Solution
The standard form that applies to the given equation is ( y−k ) 2 =4p( x−h ). ( y−k ) 2 =4p( x−h ). Thus, the axis of symmetry is parallel to the x-axis. It follows that:
the vertex is ( h,k )=( −3,1 ) ( h,k )=( −3,1 )
the axis of symmetry is y=k=1 y=k=1
−16=4p, −16=4p, ਇਸ ਲਈ p=−4. p=−4. ਕਿਉਂਕਿ p<0, p<0, ਪਰਵਾਲਾ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ।
ਫੋਕਸ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ( h+p,k )=( −3+( −4 ),1 )=( −7,1 ) ( h+p,k )=( −3+( −4 ),1 )=( −7,1 ) ਹਨ।
ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ x=h−p=−3−( −4 )=1 x=h−p=−3−( −4 )=1 ਹੈ।
ਲੈਟਸ ਰੈਕਟਮ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ( h+p,k±2p )=( −3+( −4 ),1±2( −4 ) ), ( h+p,k±2p )=( −3+( −4 ),1±2( −4 ) ), ਜਾਂ ( −7,−7 ) ( −7,−7 ) ਅਤੇ ( −7,9 ) ( −7,9 ) ਹਨ।
ਅੱਗੇ ਅਸੀਂ ਵਰਟੈਕਸ, ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ, ਫੋਕਸ, ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ, ਅਤੇ ਲੈਟਸ ਰੈਕਟਮ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਪਰਵਾਲਾ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ। ਚਿੱਤਰ 10 ਦੇਖੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
ਗ੍ਰਾਫ ( y+1 ) 2 =4( x−8 ). ( y+1 ) 2 =4( x−8 ). ਵਰਟੈਕਸ, ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ, ਫੋਕਸ, ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ, ਅਤੇ ਲੈਟਸ ਰੈਕਟਮ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ ਤੋਂ ਪਰਵਾਲੇ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
ਗ੍ਰਾਫ x 2 −8x−28y−208=0. x 2 −8x−28y−208=0. ਵਰਟੈਕਸ, ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ, ਫੋਕਸ, ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ, ਅਤੇ ਲੈਟਸ ਰੈਕਟਮ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਪਰਵਾਲੇ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ। ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੋਣ ਵਾਲਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ( x−h ) 2 =4p( y−k ) ਹੈ। ( x−h ) 2 =4p( y−k ). ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ y-ਧੁਰੀ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੈ। ਪਰਵਾਲੇ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ x ਵੇਰੀਏਬਲ ਵਾਲੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਵਰਗ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ।
ਇਸ ਤੋਂ ਇਹ ਨਤੀਜਾ ਨਿਕਲਦਾ ਹੈ:
ਵਰਟੈਕਸ ( h,k )=( 4,−8 ) ( h,k )=( 4,−8 ) ਹੈ।
ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ x=h=4 x=h=4 ਹੈ।
ਕਿਉਂਕਿ p=7, p>0 p=7, p>0 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਪਰਵਾਲਾ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ।
ਫੋਕਸ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ( h,k+p )=( 4,−8+7 )=( 4,−1 ) ( h,k+p )=( 4,−8+7 )=( 4,−1 ) ਹਨ।
ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ y=k−p=−8−7=−15 y=k−p=−8−7=−15 ਹੈ।
ਲੈਟਸ ਰੈਕਟਮ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ( h±2p,k+p )=( 4±2( 7 ),−8+7 ), ( h±2p,k+p )=( 4±2( 7 ),−8+7 ), ਜਾਂ ( −10,−1 ) ( −10,−1 ) ਅਤੇ ( 18,−1 ) ( 18,−1 ) ਹਨ।
ਅੱਗੇ ਅਸੀਂ ਵਰਟੈਕਸ, ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ, ਫੋਕਸ, ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ, ਅਤੇ ਲੈਟਸ ਰੈਕਟਮ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਪਰਵਾਲਾ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ। ਚਿੱਤਰ 11 ਦੇਖੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5
ਗ੍ਰਾਫ ( x+2 ) 2 =−20( y−3 ). ( x+2 ) 2 =−20( y−3 ). ਵਰਟੈਕਸ, ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ, ਫੋਕਸ, ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ, ਅਤੇ ਲੈਟਸ ਰੈਕਟਮ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
ਪਰਵਾਲਿਆਂ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਲਾਗੂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਭਾਗ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਵਿੱਚ ਜ਼ਿਕਰ ਕੀਤਾ ਹੈ, ਪਰਵਾਲਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਵਰਤੋਂ ਦੀਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਨੂੰ ਡਿਜ਼ਾਈਨ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਟੈਲੀਸਕੋਪ, ਸਸਪੈਂਸ਼ਨ ਬ੍ਰਿਜ, ਮਾਈਕ੍ਰੋਫੋਨ, ਅਤੇ ਰਾਡਾਰ ਉਪਕਰਨ। ਪਰਵਾਲੇ ਦੇ ਸ਼ੀਸ਼ੇ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਓਲੰਪਿਕ ਟਾਰਚ ਨੂੰ ਰੋਸ਼ਨ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਦਾ ਇੱਕ ਬਹੁਤ ਹੀ ਵਿਲੱਖਣ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਗੁਣ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਪਰਵਾਲੇ ਦੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਦੀਆਂ ਕਿਰਨਾਂ ਸ਼ੀਸ਼ੇ ਦੀ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਤ੍ਹਾ ਵੱਲ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ, ਤਾਂ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਸਿੱਧਾ ਫੋਕਸ ਵੱਲ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 12 ਦੇਖੋ। ਇਸੇ ਕਰਕੇ ਓਲੰਪਿਕ ਟਾਰਚ ਨੂੰ ਜਦੋਂ ਪਰਵਾਲੇ ਦੇ ਸ਼ੀਸ਼ੇ ਦੇ ਫੋਕਸ 'ਤੇ ਰੱਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਉਹ ਜਗਾਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
1. ਚਿੱਤਰ 12: ਪਰਵਾਲੇ ਦਾ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਤ ਗੁਣ
2. ਪਰਵਾਲੇਦਾਰ ਸ਼ੀਸ਼ੇ ਸੂਰਜ ਦੀ ਊਰਜਾ ਨੂੰ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਕਰਨ ਦੀ ਸਮਰੱਥਾ ਰੱਖਦੇ ਹਨ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਕੁਝ ਸਕਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਸੈਂਕੜੇ ਡਿਗਰੀ ਤੱਕ ਤਾਪਮਾਨ ਵਧ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਪਰਵਾਲੇਦਾਰ ਸ਼ੀਸ਼ੇ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਘੱਟ-ਲਾਗਤ ਵਾਲੇ, ਊਰਜਾ-ਕੁਸ਼ਲ ਸੂਰਜੀ ਉਤਪਾਦਾਂ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ ਕੀਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਸੂਰਜੀ ਚੁੱਲ੍ਹੇ, ਸੂਰਜੀ ਹੀਟਰ, ਅਤੇ ਇੱਥੋਂ ਤੱਕ ਕਿ ਯਾਤਰਾ-ਆਕਾਰ ਦੇ ਅੱਗ ਲਾਉਣ ਵਾਲੇ ਯੰਤਰ।
3. ਉਦਾਹਰਨ 6
4. ਪਰਵਾਲਿਆਂ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਲਾਗੂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
5. ਯਾਤਰਾ-ਆਕਾਰ ਦੇ ਸੂਰਜੀ ਅੱਗ ਲਾਉਣ ਵਾਲੇ ਯੰਤਰ ਦੇ ਡਿਜ਼ਾਈਨ ਦਾ ਇੱਕ ਕ੍ਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨ ਚਿੱਤਰ 13 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਸੂਰਜ ਦੀਆਂ ਕਿਰਨਾਂ ਪਰਵਾਲੇਦਾਰ ਸ਼ੀਸ਼ੇ ਤੋਂ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਤ ਹੋ ਕੇ ਇਗਨਾਈਟਰ ਨਾਲ ਜੁੜੀ ਹੋਈ ਵਸਤੂ ਵੱਲ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਕਿਉਂਕਿ ਇਗਨਾਈਟਰ ਪਰਵਾਲੇ ਦੇ ਫੋਕਸ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ, ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਤ ਕਿਰਨਾਂ ਵਸਤੂ ਨੂੰ ਕੁਝ ਸਕਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਜਲਾ ਦਿੰਦੀਆਂ ਹਨ।
6. ⓐ ਅੱਗ ਲਾਉਣ ਵਾਲੇ ਯੰਤਰ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਪਰਵਾਲੇ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਪਰਵਾਲੇਦਾਰ ਸ਼ੀਸ਼ੇ ਦਾ ਸਿਖਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪਲੇਨ ਦਾ ਮੂਲ ਹੈ।
7. ⓑ ਭਾਗ ⓐ ਵਿੱਚ ਲੱਭੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅੱਗ ਲਾਉਣ ਵਾਲੇ ਯੰਤਰ ਦੀ ਡੂੰਘਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ।
8. ਚਿੱਤਰ 13: ਯਾਤਰਾ-ਆਕਾਰ ਦੇ ਸੂਰਜੀ ਅੱਗ ਲਾਉਣ ਵਾਲੇ ਯੰਤਰ ਦਾ ਕ੍ਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨ
9. ਹੱਲ
10. ⓐ ਡਿਸ਼ ਦਾ ਸਿਖਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪਲੇਨ ਦਾ ਮੂਲ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਪਰਵਾਲਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ x² = 4py, ਜਿੱਥੇ p > 0, ਅਪਣਾਏਗਾ। ਇਗਨਾਈਟਰ, ਜੋ ਕਿ ਫੋਕਸ ਹੈ, ਡਿਸ਼ ਦੇ ਸਿਖਰ ਤੋਂ 1.7 ਇੰਚ ਉੱਪਰ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ p = 1.7 ਹੈ। x² = 4py x² = 4(1.7)y x² = 6.8y
11. ⓑ ਡਿਸ਼ ਮੂਲ ਦੇ ਹਰ ਪਾਸੇ 4.5² = 2.25 ਇੰਚ ਤੱਕ ਫੈਲੀ ਹੋਈ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਡਿਸ਼ ਦੀ ਡੂੰਘਾਈ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਭਾਗ (a) ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ x ਲਈ 2.25 ਨੂੰ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। x² = 6.8y (2.25)² = 6.8y y ≈ 0.74 ਡਿਸ਼ ਲਗਭਗ 0.74 ਇੰਚ ਡੂੰਘੀ ਹੈ।
12. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #6
13. ਭਾਰਤ ਵਿੱਚ ਰਹਿਣ ਵਾਲੇ ਪਰਿਵਾਰਾਂ ਲਈ ਬਾਲਕੋਨੀ-ਆਕਾਰ ਦੇ ਸੂਰਜੀ ਚੁੱਲ੍ਹੇ ਡਿਜ਼ਾਈਨ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ। ਇੱਕ ਡਿਸ਼ ਦੇ ਉੱਪਰਲੇ ਹਿੱਸੇ ਦਾ ਵਿਆਸ 1600 ਮਿਲੀਮੀਟਰ ਹੈ। ਸੂਰਜ ਦੀਆਂ ਕਿਰਨਾਂ ਪਰਵਾਲੇਦਾਰ ਸ਼ੀਸ਼ੇ ਤੋਂ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਤ ਹੋ ਕੇ "ਚੁੱਲ੍ਹੇ" ਵੱਲ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ, ਜੋ ਕਿ ਅਧਾਰ ਤੋਂ 320 ਮਿਲੀਮੀਟਰ ਦੀ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਰੱਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।
14. ⓐ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ ਜੋ ਸੂਰਜੀ ਚੁੱਲ੍ਹੇ ਦੇ ਕ੍ਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਪਰਵਾਲੇਦਾਰ ਸ਼ੀਸ਼ੇ ਦਾ ਸਿਖਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪਲੇਨ ਦਾ ਮੂਲ ਹੈ, ਅਤੇ ਪਰਵਾਲਾ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ (ਭਾਵ, ਇਸਦਾ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦਾ ਧੁਰਾ x-ਧੁਰਾ ਹੈ)।
15. ⓑ ਭਾਗ ⓐ ਵਿੱਚ ਲੱਭੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਚੁੱਲ੍ਹੇ ਦੀ ਡੂੰਘਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ।
16. ਮੀਡੀਆ
17. ਪਰਵਾਲਿਆਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
18. ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ: ਪਰਵਾਲਾ ਭਾਗ 1/2
19. ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ: ਪਰਵਾਲਾ ਭਾਗ 2/2
20. ਲੰਬਕਾਰੀ ਧੁਰੇ ਵਾਲਾ ਪਰਵਾਲਾ
21. ਖਿਤਿਜੀ ਧੁਰੇ ਵਾਲਾ ਪਰਵਾਲਾ
22. ਸ਼ਬਦਿਕ
23. ਫੋਕਸ ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਕਾ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪਰਵਾਲੇ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ।
24. ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਪਰਵਾਲੇ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ ਅਤੇ p ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਕਾ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਰੇਖਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਸਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਾਰੇ ਕੀ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢ ਸਕਦੇ ਹਾਂ?
ਜੇਕਰ ਪਰਵਾਲੇ (parabola) ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਹੋਵੇ ਅਤੇ p ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋਵੇ ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ (directrix) ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਸਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਾਰੇ ਕੀ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢ ਸਕਦੇ ਹਾਂ?
ਜੇਕਰ ਪਰਵਾਲੇ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ p ਦੇ ਵਧਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨਾਲ ਹੋਣ ਤਾਂ ਪਰਵਾਲੇ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਤੇ ਕੀ ਅਸਰ ਪੈਂਦਾ ਹੈ?
ਜਿਵੇਂ ਜਿਵੇਂ ਪਰਵਾਲੇ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਚੌੜਾ ਹੁੰਦਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਫੋਕਸ ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਦਾ ਕੀ ਹੋਵੇਗਾ?
ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਸਮੀਕਰਨ ਇੱਕ ਪਰਵਾਲਾ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ। ਜੇਕਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
y² = 4 − x²
y = 4x²
3x² − 6y² = 12
(y−3)² = 8(x−2)
y² + 12x − 6y − 51 = 0
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖੋ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਪਰਵਾਲੇ ਦਾ ਸਿਖਰ (V), ਫੋਕਸ (F), ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ (d) ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
x = 8y²
y = (1/4)x²
y = −4x²
x = (1/8)y²
x = 36y²
x = (1/36)y²
(x−1)² = 4(y−1)
(y−2)² = (4/5)(x+4)
(y−4)² = 2(x+3)
(x+1)² = 2(y+4)
(x+4)² = 24(y+1)
(y+4)² = 16(x+4)
y² + 12x − 6y + 21 = 0
x 2 −4x−24y+28=0
5 x 2 −50x−4y+113=0
y 2 −24x+4y−68=0
x 2 −4x+2y−6=0
y 2 −6y+12x−3=0
3 y 2 −4x−6y+23=0
x 2 +4x+8y−4=0
ਚਿੱਤਰਮਈ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਫੋਕਸ ਅਤੇ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਲੇਬਲ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਪਰਵਾਲਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
x= 1 8 y 2
y=36 x 2
y= 1 36 x 2
y=−9 x 2
( y−2 ) 2 =− 4 3 ( x+2 )
−5 ( x+5 ) 2 =4( y+5 )
−6 ( y+5 ) 2 =4( x−4 )
y 2 −6y−8x+1=0
x 2 +8x+4y+20=0
3 x 2 +30x−4y+95=0
y 2 −8x+10y+9=0
x 2 +4x+2y+2=0
y 2 +2y−12x+61=0
−2 x 2 +8x−4y−24=0
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਇਸਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਾਰੇ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ ਪਰਵਾਲਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
ਸ਼ੀਰਸ਼ ( 0,0 ); ( 0,0 ); ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਰੇਖਾ y=4, y=4, ਨਾਭੀ ( 0,−4 ). ( 0,−4 ).
ਸ਼ੀਰਸ਼ ( 0,0 ); ( 0,0 ); ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਰੇਖਾ x=4, x=4, ਨਾਭੀ ( −4,0 ). ( −4,0 ).
ਸ਼ੀਰਸ਼ ( 2,2 ); ( 2,2 ); ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਰੇਖਾ x=2− 2 , x=2− 2 , ਨਾਭੀ ( 2+ 2 ,2 ). ( 2+ 2 ,2 ).
ਸ਼ੀਰਸ਼ ( −2,3 ); ( −2,3 ); ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਰੇਖਾ x=− 7 2 , x=− 7 2 , ਨਾਭੀ ( − 1 2 ,3 ). ( − 1 2 ,3 ).
ਸ਼ੀਰਸ਼ ( 2 ,− 3 ); ( 2 ,− 3 ); ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਰੇਖਾ x=2 2 , x=2 2 , ਨਾਭੀ ( 0,− 3 ). ( 0,− 3 ).
ਸ਼ੀਰਸ਼ ( 1,2 ); ( 1,2 ); ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਰੇਖਾ y= 11 3 , y= 11 3 , ਨਾਭੀ ( 1, 1 3 ). ( 1, 1 3 ).
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਇਸਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਪਰਵਾਲੇ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਵਿਸਤਾਰ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਪਰਵਾਲੇ ਦੇ ਸ਼ੀਰਸ਼ ਅਤੇ ਲੇਟਸ ਰੈਕਟਮ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ। ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
V( 0,0 ) V( 0,0 ), ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ( 2,1 )( 2,1 ), ( −2,1 ) ( −2,1 )
V( 0,0 ) V( 0,0 ), ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ( −2,4 )( −2,4 ), ( −2,−4 ) ( −2,−4 )
V( 1,2 ) V( 1,2 ), ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ( −5,5 )( −5,5 ), ( 7,5 ) ( 7,5 )
V( −3,−1 ) V( −3,−1 ), ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ( 0,5 )( 0,5 ), ( 0,−7 ) ( 0,−7 )
V( 4,−3 ) V( 4,−3 ), ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ( 5,− 7 2 )( 5,− 7 2 ), ( 3,− 7 2 ) ( 3,− 7 2 )
ਵਾਸਤਵਿਕ-ਸੰਸਾਰ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ
ਆਟੋਮੋਬਾਈਲ ਹੈੱਡਲਾਈਟ ਵਿੱਚ ਸ਼ੀਸ਼ਾ ਪਰਵਾਲੇ ਦੇ ਕ੍ਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨ ਵਾਲਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਬਲਬ ਨਾਭੀ 'ਤੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਸਕੀਮੈਟਿਕ 'ਤੇ, ਪਰਵਾਲੇ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ x 2 =4y ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਬਲਬ ਨੂੰ ਕਿਹੜੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ 'ਤੇ ਰੱਖਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ?
ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਪਿਛਲੀ ਕਸਰਤ ਤੋਂ ਸ਼ੀਸ਼ਾ ਬਣਾਉਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਨਾਭੀ ( 0,0.25 ), ( 0,0.25 ) 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਪਰਵਾਲੇ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਕੀ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ?
ਇੱਕ ਸੈਟੇਲਾਈਟ ਡਿਸ਼ ਕ੍ਰਾਂਤੀ ਦੇ ਪਰਵਾਲੇ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਇਸਨੂੰ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਇੱਕ ਪਰਵਾਲੇ ਨੂੰ ਘੁਮਾ ਕੇ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਰਿਸੀਵਰ ਨੂੰ ਨਾਭੀ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਣਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਡਿਸ਼ ਆਪਣੇ ਖੁੱਲਣ 'ਤੇ 12 ਫੁੱਟ ਚੌੜੀ ਹੈ ਅਤੇ ਆਪਣੇ ਕੇਂਦਰ 'ਤੇ 4 ਫੁੱਟ ਡੂੰਘੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਰਿਸੀਵਰ ਕਿੱਥੇ ਰੱਖਿਆ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ?
ਪਿਛਲੀ ਕਸਰਤ ਤੋਂ ਸੈਟੇਲਾਈਟ ਡਿਸ਼ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਡਿਸ਼ ਖੁੱਲਣ 'ਤੇ 8 ਫੁੱਟ ਚੌੜੀ ਹੈ ਅਤੇ 2 ਫੁੱਟ ਡੂੰਘੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਰਿਸੀਵਰ ਕਿੱਥੇ ਰੱਖਾਂਗੇ?
ਇੱਕ ਸਰਚਲਾਈਟ ਵਿੱਚ ਰਿਫਲੈਕਟਰ ਕ੍ਰਾਂਤੀ ਦੇ ਪਰਵਾਲੇ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਰੋਸ਼ਨੀ ਸਰੋਤ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਦੇ ਨਾਲ ਅਧਾਰ ਤੋਂ 1 ਫੁੱਟ ਦੂਰ ਸਥਿਤ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਸਰਚਲਾਈਟ ਦਾ ਖੁੱਲਣਾ 3 ਫੁੱਟ ਚੌੜਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਡੂੰਘਾਈ ਲੱਭੋ।
ਜੇਕਰ ਪਿਛਲੀ ਕਸਰਤ ਤੋਂ ਸਰਚਲਾਈਟ ਵਿੱਚ ਰਿਫਲੈਕਟਰ ਦਾ ਰੋਸ਼ਨੀ ਸਰੋਤ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਦੇ ਨਾਲ ਅਧਾਰ ਤੋਂ 6 ਇੰਚ ਦੂਰ ਸਥਿਤ ਹੈ ਅਤੇ ਖੁੱਲਣਾ 4 ਫੁੱਟ ਹੈ, ਤਾਂ ਡੂੰਘਾਈ ਲੱਭੋ।
ਇੱਕ ਕਮਾਨ ਪਰਵਾਲੇ ਦੇ ਆਕਾਰ ਵਿੱਚ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਸਪੈਨ 100 ਫੁੱਟ ਅਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਚਾਈ 20 ਫੁੱਟ ਹੈ। ਪਰਵਾਲੇ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ, ਅਤੇ ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ 40 ਫੁੱਟ ਦੂਰ ਕਮਾਨ ਦੀ ਉਚਾਈ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਜੇਕਰ ਪਿਛਲੀ ਕਸਰਤ ਤੋਂ ਕਮਾਨ ਦਾ ਸਪੈਨ 160 ਫੁੱਟ ਅਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਚਾਈ 40 ਫੁੱਟ ਹੈ, ਤਾਂ ਪਰਵਾਲੇ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ, ਅਤੇ ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ ਉਹ ਦੂਰੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਜਿਸ 'ਤੇ ਉਚਾਈ 20 ਫੁੱਟ ਹੈ।
ਇੱਕ ਵਸਤੂ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ ਉਹ y=− x 2 +96x, y=− x 2 +96x ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਪਰਵਾਲੇ ਦੇ ਮਾਰਗ ਦਾ ਪਾਲਣ ਕਰੇ, ਜਿੱਥੇ x x ਫੁੱਟ ਵਿੱਚ ਯਾਤਰਾ ਕੀਤੀ ਗਈ ਖਿਤਿਜੀ ਦੂਰੀ ਹੈ ਅਤੇ y y ਉਚਾਈ ਹੈ। ਵਸਤੂ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੀ ਗਈ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਚਾਈ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
1. ਪਿਛਲੀ ਕਸਰਤ ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਵਸਤੂ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਪਾਥ y=−0.5 x^2 +80x ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਵਸਤੂ ਨੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਚਾਈ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਲਈ ਖਿਤਿਜੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੀ ਦੂਰੀ ਤੈਅ ਕੀਤੀ।