ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦੇ ਸਿਖਰ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ।
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਨਾ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ।
ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਲਾਗੂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਧੂਮਕੇਤੂਆਂ ਦੇ ਮਾਰਗ, ਸੁਪਰਸੋਨਿਕ ਧਮਾਕੇ, ਪ੍ਰਾਚੀਨ ਯੂਨਾਨੀ ਥੰਮ੍ਹ, ਅਤੇ ਕੁਦਰਤੀ ਡਰਾਫਟ ਕੂਲਿੰਗ ਟਾਵਰਾਂ ਵਿੱਚ ਕੀ ਸਾਂਝਾ ਹੈ? ਇਹ ਸਭ ਇੱਕੋ ਕਿਸਮ ਦੇ ਸ਼ੰਕੂ ਦੁਆਰਾ ਮਾਡਲ ਕੀਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜਦੋਂ ਕੋਈ ਚੀਜ਼ ਆਵਾਜ਼ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਤੋਂ ਤੇਜ਼ ਚਲਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਸ਼ੰਕੂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਦਮਾ ਤਰੰਗ ਬਣਦੀ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਤਰੰਗ ਜ਼ਮੀਨ ਨੂੰ ਕੱਟਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਹਿੱਸਾ ਬਣਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਇੱਕ ਧੁਨੀ ਧਮਾਕਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 1 ਵੇਖੋ।
ਚਿੱਤਰ 1: ਜ਼ਮੀਨ ਨੂੰ ਕੱਟਣ ਵਾਲੀ ਸਦਮਾ ਤਰੰਗ ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਹਿੱਸਾ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਧੁਨੀ ਧਮਾਕਾ ਪੈਦਾ ਕਰਦੀ ਹੈ।
ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਲੋਕ ਸੁਪਰਸੋਨਿਕ ਜਹਾਜ਼ਾਂ ਦੁਆਰਾ ਪੈਦਾ ਕੀਤੇ ਗਏ ਧੁਨੀ ਧਮਾਕੇ ਤੋਂ ਜਾਣੂ ਹਨ, ਪਰ ਮਨੁੱਖ ਪਹਿਲੀ ਸੁਪਰਸੋਨਿਕ ਉਡਾਣ ਤੋਂ ਬਹੁਤ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਆਵਾਜ਼ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨੂੰ ਤੋੜ ਰਹੇ ਸਨ। ਕੋਰੜੇ ਦੀ ਆਵਾਜ਼ ਇਸ ਲਈ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਸ ਦਾ ਸਿਰਾ ਆਵਾਜ਼ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਹਥਿਆਰਾਂ ਤੋਂ ਚਲਾਈਆਂ ਗਈਆਂ ਗੋਲੀਆਂ ਵੀ ਆਵਾਜ਼ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨੂੰ ਤੋੜਦੀਆਂ ਹਨ, ਹਾਲਾਂਕਿ ਬੰਦੂਕ ਦੀ ਗੋਲੀ ਦੀ ਆਵਾਜ਼ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਧੁਨੀ ਧਮਾਕੇ ਦੀ ਆਵਾਜ਼ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਆਉਂਦੀ ਹੈ।
ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦੇ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣਾਤਮਕ ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਵਿੱਚ, ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਸੱਜੇ ਚੱਕਰੀ ਸ਼ੰਕੂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਨਾਲ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕੱਟਣ ਨਾਲ ਬਣਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸ਼ੰਕੂ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਅੱਧੇ ਕੱਟੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਕਟੌਤੀ ਦੋ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਅਸੀਮਤ ਵਕਰ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਹਨ। ਚਿੱਤਰ 2 ਵੇਖੋ।
ਚਿੱਤਰ 2: ਇੱਕ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ
ਇੱਲਿਪਸ ਵਾਂਗ, ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਨੂੰ ਵੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਕਿਸੇ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ (x,y) ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ ਨਾਭੀਆਂ ਤੋਂ (x,y) ਤੱਕ ਦੀਆਂ ਦੂਰੀਆਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਇੱਕ ਧਨ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਇੱਲਿਪਸ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੇ ਬਹੁਤ ਸਮਾਨ ਹੈ। ਅੰਤਰ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਨੂੰ ਦੋ ਦੂਰੀਆਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਇੱਲਿਪਸ ਨੂੰ ਦੋ ਦੂਰੀਆਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਇੱਲਿਪਸ ਵਾਂਗ, ਹਰ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੇ ਦੋ ਅਕਸ਼ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਟ੍ਰਾਂਸਵਰਸ ਅਕਸ਼ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਹੈ ਜੋ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਜਿਸਦੇ ਸਿਖਰ ਇਸਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਨਾਭੀਆਂ ਉਸ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜੋ ਟ੍ਰਾਂਸਵਰਸ ਅਕਸ਼ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਸੰਯੁਕਤ ਅਕਸ਼ ਟ੍ਰਾਂਸਵਰਸ ਅਕਸ਼ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਸਹਿ-ਸਿਖਰ ਇਸਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਦੋਵੇਂ ਟ੍ਰਾਂਸਵਰਸ ਅਤੇ ਸੰਯੁਕਤ ਅਕਸ਼ਾਂ ਦਾ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ ਉਹ ਕੱਟਦੇ ਹਨ। ਹਰ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਵਿੱਚ ਦੋ ਅਸੀਮਟੋਟ ਵੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਇਸਦੇ ਕੇਂਦਰ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦੇ ਹਨ। ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ ਦੂਰ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਇਸਦੀਆਂ ਸ਼ਾਖਾਵਾਂ ਇਹਨਾਂ ਅਸੀਮਟੋਟਾਂ ਦੇ ਨੇੜੇ ਆਉਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਕੇਂਦਰੀ ਆਇਤ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਪਾਸੇ ਹਰ ਸਿਖਰ ਅਤੇ ਸਹਿ-ਸਿਖਰ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦੇ ਹਨ; ਇਹ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਅਸੀਮਟੋਟਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਉਪਯੋਗੀ ਸਾਧਨ ਹੈ। ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦੇ ਅਸੀਮਟੋਟਾਂ ਨੂੰ ਸਕੈਚ ਕਰਨ ਲਈ, ਕੇਂਦਰੀ ਆਇਤ ਦੇ ਵਿਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਕੈਚ ਕਰੋ ਅਤੇ ਵਧਾਓ। ਚਿੱਤਰ 3 ਵੇਖੋ।
ਚਿੱਤਰ 3: ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦੀਆਂ ਮੁੱਖ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦੀ ਚਰਚਾ ਨੂੰ ਉਹਨਾਂ ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਕਰਾਂਗੇ ਜੋ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਲੰਬਕਾਰੀ ਜਾਂ ਖਿਤਿਜੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਥਿਤ ਹਨ; ਅਕਸ਼ ਜਾਂ ਤਾਂ x- ਅਤੇ y-ਅਕਸ਼ਾਂ 'ਤੇ ਹੋਣਗੇ ਜਾਂ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੋਣਗੇ। ਅਸੀਂ ਦੋ ਮਾਮਲਿਆਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਾਂਗੇ: ਉਹ ਜੋ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹਨ, ਅਤੇ ਉਹ ਜੋ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹਨ।
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨਾ
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ( -c,0 ) ਅਤੇ ( c,0 ) ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦੀਆਂ ਨਾਭੀਆਂ ਹਨ। ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ (x,y) ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ ਨਾਭੀਆਂ ਤੋਂ (x,y) ਤੱਕ ਦੀਆਂ ਦੂਰੀਆਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਸਥਿਰ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 4 ਵੇਖੋ।
ਜੇਕਰ ( a,0 ) ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਇੱਕ ਸਿਖਰ ਹੈ, ਤਾਂ ( -c,0 ) ਤੋਂ ( a,0 ) ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ a−(−c)=a+c ਹੈ। ( c,0 ) ਤੋਂ ( a,0 ) ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ c−a ਹੈ। ਨਾਭੀਆਂ ਤੋਂ ਸਿਖਰ ਤੱਕ ਦੀਆਂ ਦੂਰੀਆਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਹੈ
ਜੇਕਰ ( x,y ) ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਰਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਨੁਸਾਰ, d 2 − d 1 ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ 'ਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ (x,y) ਲਈ ਸਥਿਰ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹਨਾਂ ਦੂਰੀਆਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਸਿਖਰ (a,0) ਲਈ 2a ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ 'ਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਲਈ d 2 − d 1 =2a ਹੈ। ਇੱਲਿਪਸ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਪ੍ਰਾਪਤੀ ਦੇ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਦੂਰੀ ਸੂਤਰ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਾਂਗੇ। ਪ੍ਰਾਪਤੀ ਦਾ ਬਾਕੀ ਹਿੱਸਾ ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ ਹੈ। ਇਸ ਪ੍ਰਾਪਤੀ ਦੀ ਪਿਛਲੇ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਇੱਲਿਪਸ ਲਈ ਪ੍ਰਾਪਤੀ ਨਾਲ ਤੁਲਨਾ ਕਰੋ।
ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਨੂੰ ਸਿਖਰਾਂ (±a,0) ਅਤੇ ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ (0±b) ਨਾਲ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ (hyperbola) ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਜਿਸਦਾ ਕੇਂਦਰ (0,0) ਹੈ
ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਜਿਸਦਾ ਕੇਂਦਰ (0,0) ਹੈ ਅਤੇ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰਾ x-ਧੁਰੇ ਉੱਤੇ ਹੈ, ਉਹ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ
ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2a ਹੈ
ਸਿਖਰਾਂ (vertices) ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (±a,0) ਹਨ
ਸੰਯੁਗਮ ਧੁਰੇ (conjugate axis) ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2b ਹੈ
ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ (co-vertices) ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (0,±b) ਹਨ
ਨਾਭੀਆਂ (foci) ਵਿਚਕਾਰਲਾ ਫਾਸਲਾ 2c ਹੈ, ਜਿੱਥੇ c² = a² + b²
ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (±c,0) ਹਨ
ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ (asymptotes) ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ y=±(b/a)x ਹਨ
ਚਿੱਤਰ 5a ਵੇਖੋ।
ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਜਿਸਦਾ ਕੇਂਦਰ (0,0) ਹੈ ਅਤੇ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰਾ y-ਧੁਰੇ ਉੱਤੇ ਹੈ, ਉਹ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ
ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2a ਹੈ
ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (0,±a) ਹਨ
ਸੰਯੁਗਮ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2b ਹੈ
ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (±b,0) ਹਨ
ਨਾਭੀਆਂ ਵਿਚਕਾਰਲਾ ਫਾਸਲਾ 2c ਹੈ, ਜਿੱਥੇ c² = a² + b²
ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (0,±c) ਹਨ
ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ y=±(a/b)x ਹਨ
ਚਿੱਤਰ 5b ਵੇਖੋ।
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ, ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ c² = a² + b² ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹਨ। ਜਦੋਂ ਸਾਨੂੰ ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਸਬੰਧ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਇਸਦੇ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨ ਲਈ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਚਿੱਤਰ 5: (a) ਖੱਬੇ-ਸੱਜੇ ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ ਜਿਸਦਾ ਕੇਂਦਰ (0,0) ਹੈ (b) ਉੱਪਰ-ਥੱਲੇ ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ ਜਿਸਦਾ ਕੇਂਦਰ (0,0) ਹੈ
ਕਿਵੇਂ
ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ (hyperbola) ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ, ਇਸਦੇ ਸਿਖਰ (vertices) ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ (foci) ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ ਕਿ ਅਨੁਪ੍ਰਸਥ ਧੁਰਾ (transverse axis) x- ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਹੈ ਜਾਂ y- ਧੁਰੇ 'ਤੇ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ $a^2$ ਹਮੇਸ਼ਾ ਉਸ ਚਲ (variable) ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਗੁਣਾਂਕ (coefficient) ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਦੂਜੇ ਚਲ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਅੰਤਰਖੰਡਾਂ (intercepts) ਨੂੰ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹੋ। ਉਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਜਦੋਂ ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ (origin) 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅੰਤਰਖੰਡ ਸਿਖਰਾਂ ਨਾਲ ਮਿਲ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਜੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਰੂਪ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਨੁਪ੍ਰਸਥ ਧੁਰਾ x- ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸਿਖਰ $(\pm a, 0)$ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ $(\pm c, 0)$ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਜੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਰੂਪ $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਨੁਪ੍ਰਸਥ ਧੁਰਾ y- ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸਿਖਰ $(0, \pm a)$ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ $(0, \pm c)$ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।
ਸਮੀਕਰਨ $a = \sqrt{a^2}$ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ $a$ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਸਮੀਕਰਨ $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ $c$ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ ਦੇ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦਾ ਸਥਾਨ ਨਿਰਧਾਰਨ
ਸਮੀਕਰਨ $\frac{y^2}{49} - \frac{x^2}{32} = 1$ ਵਾਲੇ ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ ਦੇ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਰੂਪ $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਨੁਪ੍ਰਸਥ ਧੁਰਾ y- ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਹੈ। ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸਿਖਰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ y-ਅੰਤਰਖੰਡਾਂ ਵਜੋਂ ਕੰਮ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਸਿਖਰਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ, $x=0$ ਸੈੱਟ ਕਰੋ ਅਤੇ $y$ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਨਾਭੀਆਂ $(0, \pm c)$ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। $c$ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨਾ,
ਇਸ ਲਈ, ਸਿਖਰ $(0, \pm 7)$ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ $(0, \pm 9)$ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ #1
ਸਮੀਕਰਨ $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{25} = 1$ ਵਾਲੇ ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ ਦੇ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣਾ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅੰਡਕੋਸ਼ਾਂ (ellipses) ਨਾਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ ਲਈ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣ ਨਾਲ ਸਾਨੂੰ ਇਸਦੇ ਮੁੱਖ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ: ਇਸਦੇ ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ (co-vertices), ਨਾਭੀਆਂ, ਅਨੰਤ-ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ (asymptotes), ਅਤੇ ਅਨੁਪ੍ਰਸਥ ਅਤੇ ਸੰਯੁਗਮ ਧੁਰਿਆਂ (conjugate axes) ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ ਅਤੇ ਸਥਿਤੀਆਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਮਿਲਦੀ ਹੈ। ਇਸਦੇ ਉਲਟ, ਮੁੱਖ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯਾਂ ਲਈ ਮਿਆਰੀ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਣ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਾਂਗੇ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯਾਂ ਲਈ ਮਿਆਰੀ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਣ ਵੱਲ ਆਪਣਾ ਧਿਆਨ ਮੋੜਾਂਗੇ।
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ $(0,0)$ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯਾਂ ਲਈ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪਾਂ ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਿਖਰ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨ $c^2 = a^2 + b^2$ ਦੁਆਰਾ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹਨ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ $b^2 = c^2 - a^2$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੀ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਸਬੰਧ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਇਸਦੀਆਂ ਨਾਭੀਆਂ ਅਤੇ ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਦਿੱਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ $(0,0)$ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਇੱਕ ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ ਦੇ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ, ਇਸਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।
ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ ਕਿ ਅਨੁਪ੍ਰਸਥ ਧੁਰਾ x- ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਹੈ ਜਾਂ y- ਧੁਰੇ 'ਤੇ। ਜੇ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਕ੍ਰਮਵਾਰ $(\pm a, 0)$ ਅਤੇ $(\pm c, 0)$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹਨ, ਤਾਂ ਅਨੁਪ੍ਰਸਥ ਧੁਰਾ x- ਧੁਰਾ ਹੈ। ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਜੇ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਕ੍ਰਮਵਾਰ $(0, \pm a)$ ਅਤੇ $(0, \pm c)$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹਨ, ਤਾਂ ਅਨੁਪ੍ਰਸਥ ਧੁਰਾ y- ਧੁਰਾ ਹੈ। ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਸਮੀਕਰਨ $b^2 = c^2 - a^2$ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ $b^2$ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 1 ਵਿੱਚ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ $a^2$ ਅਤੇ $b^2$ ਲਈ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 2
ਇਸਦੇ ਨਾਭੀਆਂ ਅਤੇ ਸਿਖਰਾਂ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ (0,0) 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਇੱਕ ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ
1. ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ (hyperbola) ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪੀ ਸਮੀਕਰਨ ਕੀ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਸਿਖਰ ( ±6,0 ) ( ±6,0 ) ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ( ±2√10 ,0 ) ( ±2√10 ,0 ) ਹਨ?
2. ਹੱਲ
3. ਸਿਖਰ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ x-ਧੁਰੇ ਉੱਤੇ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ x²/a² − y²/b² =1 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇਗਾ। x²/a² − y²/b² =1।
4. ਸਿਖਰ ( ±6,0 ), ( ±6,0 ) ਹਨ, ਇਸ ਲਈ a=6 a=6 ਅਤੇ a²=36। a²=36।
5. ਨਾਭੀਆਂ ( ±2√10 ,0 ), ( ±2√10 ,0 ) ਹਨ, ਇਸ ਲਈ c=2√10 c=2√10 ਅਤੇ c²=40। c²=40।
6. b² ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, b² , ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
7. ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ a²=36 a²=36 ਅਤੇ b²=4 b²=4 ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ, x²/a² − y²/b² =1, ਵਿੱਚ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ। x²/a² − y²/b² =1। ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ x²/36 − y²/4 =1, x²/36 − y²/4 =1, ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 6 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
8. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
9. ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪੀ ਸਮੀਕਰਨ ਕੀ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਸਿਖਰ ( 0,±2 ) ( 0,±2 ) ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ( 0,±2√5 ) ( 0,±2√5 ) ਹਨ?
10. ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਨਾ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ
11. ਹੋਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਵਾਂਗ, ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਅਨੁਵਾਦਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ ਨੂੰ h h ਇਕਾਈ ਖਿਤਿਜੀ ਅਤੇ k k ਇਕਾਈ ਲੰਬਵਤ ਅਨੁਵਾਦਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ( h,k ) ( h,k ) ਹੋਵੇਗਾ। ਇਹ ਅਨੁਵਾਦ ਪਿਛਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ પરિણામ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ x x ਨੂੰ ( x−h ) ( x−h ) ਅਤੇ y y ਨੂੰ ( y−k ) ( y−k ) ਨਾਲ ਬਦਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
12. ਕੇਂਦਰ (h, k) ਵਾਲੇ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ
13. ਕੇਂਦਰ ( h,k ) ( h,k ) ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰੇ ਵਾਲੇ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਹੈ
14. ਜਿੱਥੇ
15. ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2a 2a ਹੈ
16. ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ( h±a,k ) ( h±a,k ) ਹਨ
17. ਸੰਯੁਗਮ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2b 2b ਹੈ
18. ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ( h,k±b ) ( h,k±b ) ਹਨ
19. ਨਾਭੀਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੀ ਦੂਰੀ 2c, 2c, ਹੈ, ਜਿੱਥੇ c² = a² + b² c² = a² + b²
20. ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ( h±c,k ) ( h±c,k ) ਹਨ
21. ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ ਦੇ ਅਨੁਗਾਮੀ (asymptotes) ਕੇਂਦਰੀ ਆਇਤ ਦੇ ਵਿਕਰਨਾਂ ਨਾਲ ਮਿਲਦੇ ਹਨ। ਆਇਤ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2a 2a ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਚੌੜਾਈ 2b 2b ਹੈ। ਵਿਕਰਨਾਂ ਦੀ ਢਲਾਣ ± b/a, ± b/a, ਹੈ, ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਵਿਕਰਨ ਕੇਂਦਰ ( h,k ) ( h,k ) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ। ਬਿੰਦੂ-ਢਲਾਣ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਇਹ ਦਿਖਾਉਣਾ ਸਰਲ ਹੈ ਕਿ ਅਨੁਗਾਮੀਆਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ y = ± b/a ( x−h ) + k ਹਨ। y = ± b/a ( x−h ) + k। ਚਿੱਤਰ 7a ਦੇਖੋ।
22. ਕੇਂਦਰ ( h,k ) ( h,k ) ਅਤੇ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰੇ ਵਾਲੇ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਹੈ
23. ਜਿੱਥੇ
24. ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2a 2a ਹੈ
( h,k±a ) ( h,k±a ) ਦੇ ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਹਨ।
ਸੰਯੁਗਮ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2b ਹੈ।
ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ( h±b,k ) ਹਨ।
ਨਾਭੀਆਂ ਵਿਚਕਾਰਲਾ ਫਾਸਲਾ 2c ਹੈ, ਜਿੱਥੇ c^2 = a^2 + b^2।
ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ( h,k±c ) ਹਨ।
ਉਪਰੋਕਤ ਤਰਕ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਨੰਤ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ y=±(a/b)(x−h)+k ਹਨ। ਚਿੱਤਰ 7b ਦੇਖੋ।
ਚਿੱਤਰ 7: (a) ਕੇਂਦਰ (h,k) ਵਾਲਾ ਖਿਤਿਜੀ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ (b) ਕੇਂਦਰ (h,k) ਵਾਲਾ ਲੰਬਵਤ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ।
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ ਵਾਂਗ, ਬਿੰਦੂ (h,k) 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ ਦੇ ਸਿਖਰ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜੋ c^2 = a^2 + b^2 ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਸਬੰਧ ਦੀ ਵਰਤੋਂ, ਮੱਧ-ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਦੂਰੀ ਸੂਤਰਾਂ ਦੇ ਨਾਲ, ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਦੋਂ ਸਿਖਰ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹੋਣ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਕੇਂਦਰ (h,k) ਵਾਲੇ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ ਦੇ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ, ਇਸਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।
ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਸੰਯੁਗਮ ਧੁਰਾ x- ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਹੈ ਜਾਂ y- ਧੁਰੇ ਦੇ। ਜੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ y-ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਸਮਾਨ ਹਨ, ਤਾਂ ਸੰਯੁਗਮ ਧੁਰਾ x- ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਹੈ। ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ (x−h)^2/a^2 − (y−k)^2/b^2 = 1 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਜੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ x-ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਸਮਾਨ ਹਨ, ਤਾਂ ਸੰਯੁਗਮ ਧੁਰਾ y- ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਹੈ। ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ (y−k)^2/a^2 − (x−h)^2/b^2 = 1 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ ਦੇ ਕੇਂਦਰ, (h,k), ਨੂੰ ਸਿਖਰਾਂ ਲਈ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕਾਂ ਅਤੇ ਮੱਧ-ਬਿੰਦੂ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪਛਾਣੋ।
a^2 ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜਿਸਦੀ ਲੰਬਾਈ ਸੰਯੁਗਮ ਧੁਰਾ, 2a ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਿਖਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੀ ਦੂਰੀ ਹੈ।
ਕਦਮ 2 ਵਿੱਚ ਲੱਭੇ ਗਏ h ਅਤੇ k ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਨਾਭੀਆਂ ਲਈ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ c^2 ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਸਮੀਕਰਨ b^2 = c^2 − a^2 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ b^2 ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 1 ਵਿੱਚ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ h, k, a^2, ਅਤੇ b^2 ਲਈ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਇਸਦੇ ਨਾਭੀਆਂ ਅਤੇ ਸਿਖਰਾਂ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ (h,k) 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ
ਉਸ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਸਮੀਕਰਨ ਕੀ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਸਿਖਰ (0,−2) ਅਤੇ (6,−2) ਹਨ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ (−2,−2) ਅਤੇ (8,−2) ਹਨ?
ਹੱਲ
ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ y-ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਸਮਾਨ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਸੰਯੁਗਮ ਧੁਰਾ x- ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਰੂਪ ਹੋਵੇਗਾ
ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਕੇਂਦਰ, (h,k), ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਕੇਂਦਰ ਸਿਖਰਾਂ (0,−2) ਅਤੇ (6,−2) ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਅੱਧਾ ਹੈ। ਮੱਧ-ਬਿੰਦੂ ਸੂਤਰ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ a^2 ਪਤਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਸੰਯੁਗਮ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ, 2a, ਸਿਖਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਿਤ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ x-ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੀ ਦੂਰੀ ਲੱਭ ਕੇ a^2 ਪਤਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਹੁਣ ਸਾਨੂੰ c^2 ਪਤਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ (h±c,k) ਹਨ। ਇਸ ਲਈ (h−c,k)=(−2,−2) ਅਤੇ (h+c,k)=(8,−2)। ਅਸੀਂ c ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਤੋਂ x-ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਬਿੰਦੂ (8,−2) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਤੇ h=3 ਨੂੰ ਬਦਲਦੇ ਹੋਏ,
1. b 2 ਦਾ ਮੁੱਲ c 2 − a 2 ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ: b 2 = c 2 − a 2 :
2. ਅੰਤ ਵਿੱਚ, h, k, a 2 , h, k, a 2 , ਅਤੇ b 2 b 2 ਲਈ ਲੱਭੇ ਗਏ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
3. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
4. ਉਸ ਅਤਿਪਰਵਲੈ (hyperbola) ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਸਮੀਕਰਨ ਕੀ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਸਿਖਰ (vertices) (1,−2) ਅਤੇ (1,8) ਹਨ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ (foci) (1,−10) ਅਤੇ (1,16) ਹਨ?
5. ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅਤਿਪਰਵਲੈ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
6. ਜਦੋਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅਤਿਪਰਵਲੈ ਲਈ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਸਦੇ ਭਾਗਾਂ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰਕੇ ਇਸਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀਆਂ ਮੁੱਖ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ: ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰ (co-vertices), ਅਨੰਤਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ (asymptotes), ਨਾਭੀਆਂ, ਅਤੇ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ (transverse) ਅਤੇ ਸੰਯੁਕਤ (conjugate) ਧੁਰਿਆਂ ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ ਅਤੇ ਸਥਿਤੀਆਂ। ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅਤਿਪਰਵਲੈ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਖਿਤਿਜੀ ਅਤਿਪਰਵਲੈ ਲਈ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ x 2 / a 2 − y 2 / b 2 = 1 ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਤਿਪਰਵਲੈ ਲਈ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ y 2 / a 2 − x 2 / b 2 = 1 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
7. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
8. (0,0) 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅਤਿਪਰਵਲੈ ਲਈ ਇੱਕ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ, ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਖਾਕਾ ਬਣਾਓ।
9. ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕਿਹੜਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
10. ਪਗ (Step) 1 ਵਿੱਚ ਪਛਾਣੇ ਗਏ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰੇ ਦੀ ਸਥਿਤੀ; ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ, ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ; ਅਤੇ ਅਨੰਤਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ। ਜੇਕਰ ਸਮੀਕਰਨ x 2 / a 2 − y 2 / b 2 = 1 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰਾ x-ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਹੈ, ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (±a, 0) ਹਨ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (0, ±b) ਹਨ, ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (±c, 0) ਹਨ, ਅਤੇ ਅਨੰਤਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ y = ±(b/a)x ਹਨ। ਜੇਕਰ ਸਮੀਕਰਨ y 2 / a 2 − x 2 / b 2 = 1 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰਾ y-ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਹੈ, ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (0, ±a) ਹਨ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (±b, 0) ਹਨ, ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (0, ±c) ਹਨ, ਅਤੇ ਅਨੰਤਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ y = ±(a/b)x ਹਨ।
11. ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ c = ±√a 2 + b 2 ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ।
12. ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਤਲ (coordinate plane) ਵਿੱਚ ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ, ਨਾਭੀਆਂ, ਅਤੇ ਅਨੰਤਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਅਤਿਪਰਵਲੈ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ (curve) ਖਿੱਚੋ।
13. ਉਦਾਹਰਨ 4
14. ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ (0,0) 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅਤਿਪਰਵਲੈ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ ਜਦੋਂ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇ
15. y 2 / 64 − x 2 / 36 = 1 ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅਤਿਪਰਵਲੈ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ, ਨਾਭੀਆਂ, ਅਤੇ ਅਨੰਤਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
16. ਹੱਲ
17. ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ 'ਤੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ y 2 / a 2 − x 2 / b 2 = 1 ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰਾ y-ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਹੈ।
18. ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (0, ±a) = (0, ±√64) = (0, ±8) ਹਨ।
19. ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (±b, 0) = (±√36, 0) = (±6, 0) ਹਨ।
20. ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (0, ±c) ਹਨ, ਜਿੱਥੇ c = ±√a 2 + b 2 । c ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ 'ਤੇ, ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ:
21. ਇਸ ਲਈ, ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (0, ±10) ਹਨ।
22. ਅਨੰਤਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ y = ±(a/b)x = ±(8/6)x = ±(4/3)x ਹਨ।
23. ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਕੇਂਦਰੀ ਆਇਤ (central rectangle) ਦਾ ਖਾਕਾ ਬਣਾਓ। ਆਇਤ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਧੁਰਿਆਂ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦੀਆਂ ਹਨ। ਕੇਂਦਰੀ ਆਇਤ ਦੇ ਵਿਕਰਨਾਂ (diagonals) ਨੂੰ ਅਨੰਤਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਨੂੰ ਦਿਖਾਉਣ ਲਈ ਖਿੱਚੋ ਅਤੇ ਵਧਾਓ। ਕੇਂਦਰੀ ਆਇਤ ਅਤੇ ਅਨੰਤਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਅਤਿਪਰਵਲੈ ਦਾ ਸਹੀ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦਾ ਢਾਂਚਾ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਨਾਭੀਆਂ ਅਤੇ ਅਨੰਤਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਨੂੰ ਲੇਬਲ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਅਤਿਪਰਵਲੈ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ ਖਿੱਚੋ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 8 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
24. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
x 2 144 − y 2 81 =1 ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ। ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ, ਨਾਭੀਆਂ ਅਤੇ ਅਨੰਤ-ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
ਉਤਪਤ ਤੋਂ ਵੱਖਰੇ ਕੇਂਦਰ ਵਾਲੇ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣਾ
ਉਤਪਤ ( h,k ) ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ ( h,k ) 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣਾ, ਉਤਪਤ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਖਿਤਿਜੀ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਲਈ ( x−h ) 2 a 2 − ( y−k ) 2 b 2 =1 ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਲਈ ( y−k ) 2 a 2 − ( x−h ) 2 b 2 =1 ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਹਨਾਂ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਤੋਂ ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀਆਂ ਮੁੱਖ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਦੀ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਗਣਨਾ ਅਤੇ ਪਲੌਟ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ: ਇਸਦੇ ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ; ਇਸਦੀਆਂ ਅਨੰਤ-ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ; ਅਤੇ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਅਤੇ ਸੰਯੁਕਤ ਧੁਰਿਆਂ ਦੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
( h, k ) 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਲਈ ਇੱਕ ਆਮ ਰੂਪ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀ ਰੂਪਰੇਖਾ ਬਣਾਓ।
ਆਮ ਰੂਪ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ। ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕਿਹੜਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਕਦਮ 1 ਵਿੱਚ ਪਛਾਣੇ ਗਏ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰੇ ਦੀ ਸਥਿਤੀ; ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ, ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ; ਅਤੇ ਅਨੰਤ-ਰੇਖਾਵਾਂ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਸਮੀਕਰਨ ( x−h ) 2 a 2 − ( y−k ) 2 b 2 =1 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰਾ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਹੈ, ਕੇਂਦਰ ( h,k ) ਹੈ, ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ( h±a,k ) ਹਨ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ( h,k±b ) ਹਨ, ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ( h±c,k ) ਹਨ, ਅਨੰਤ-ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ y=± b a ( x−h )+k ਹਨ। ਜੇਕਰ ਸਮੀਕਰਨ ( y−k ) 2 a 2 − ( x−h ) 2 b 2 =1 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰਾ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਹੈ, ਕੇਂਦਰ ( h,k ) ਹੈ, ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ( h,k±a ) ਹਨ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ( h±b,k ) ਹਨ, ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ( h,k±c ) ਹਨ, ਅਨੰਤ-ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ y=± a b ( x−h )+k ਹਨ।
ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ c=± a 2 + b 2 ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ, ਨਾਭੀਆਂ ਅਤੇ ਅਨੰਤ-ਰੇਖਾਵਾਂ ਨੂੰ ਪਲੌਟ ਕਰੋ ਅਤੇ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ ਬਣਾਓ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ (h, k) 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣਾ
9 x 2 −4 y 2 −36x−40y−388=0 ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ। ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ, ਨਾਭੀਆਂ ਅਤੇ ਅਨੰਤ-ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ। ਇੱਕੋ ਵੇਰੀਏਬਲ ਵਾਲੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਸਮੂਹਬੱਧ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਅਚੱਲ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ ਲੈ ਜਾਓ।
ਹਰੇਕ ਵਿਅੰਜਨ ਦੇ ਮੋਹਰੀ ਗੁਣਾਂਕ ਨੂੰ ਫੈਕਟਰ ਕਰੋ।
ਦੋ ਵਾਰ ਵਰਗ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰੋ। ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸੰਤੁਲਿਤ ਕਰਨਾ ਨਾ ਭੁੱਲੋ, ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਅਚੱਲ ਜੋੜ ਕੇ।
ਪੂਰਨ ਵਰਗਾਂ ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ।
ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ਲਈ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਅਚੱਲ ਪਦ ਦੁਆਰਾ ਭਾਗ ਦਿਓ।
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੋਣ ਵਾਲਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ( x−h ) 2 a 2 − ( y−k ) 2 b 2 =1 ਹੈ, ਜਿੱਥੇ a 2 =36 ਅਤੇ b 2 =81, ਜਾਂ a=6 ਅਤੇ b=9। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰਾ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਹੈ। ਇਹ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੈ:
ਡਿਫਲੈਕਸ਼ਨ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ( h,k )=( 2,−5 ) ਹੈ
ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ( h±a,k )=( 2±6,−5 ), ਜਾਂ ( −4,−5 ) ਅਤੇ ( 8,−5 ) ਹਨ
ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ( h,k±b )=( 2,−5±9 ), ਜਾਂ ( 2,−14 ) ਅਤੇ ( 2,4 ) ਹਨ
ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ( h±c,k ), ਜਿੱਥੇ c=± a 2 + b 2 ਹਨ। c ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਇਸ ਲਈ, ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ( 2−3 13 ,−5 ) ਅਤੇ ( 2+3 13 ,−5 ) ਹਨ।
y=± b a ( x−h )+k=± 3 2 ( x−2 )−5.
ਮਗਰੋਂ, ਅਸੀਂ ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰ, ਨਾਭੀਆਂ, ਅਤੇ ਅਸਮਤੋਟਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰਦੇ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਅੰਕੜੇ 9 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਅਨੁਸਾਰ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰਾਂ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5
ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉ ਜੋ ਕਿ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ( y+4 ) 2 100 − ( x−3 ) 2 64 =1 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ( y+4 ) 2 100 − ( x−3 ) 2 64 =1. ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰ, ਨਾਭੀਆਂ, ਅਤੇ ਅਸਮਤੋਟਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਲਾਗੂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਵਿੱਚ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ ਸੀ, ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦੇ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਵਿੱਚ ਉਪਯੋਗ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਖਗੋਲ ਵਿਗਿਆਨ, ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ, ਇੰਜੀਨੀਅਰਿੰਗ, ਅਤੇ ਆਰਕੀਟੈਕਚਰ। ਹਾਈਪਰਬੋਲਿਕ ਕੂਲਿੰਗ ਟਾਵਰਾਂ ਦੀ ਡਿਜ਼ਾਈਨ ਕੁਸ਼ਲਤਾ ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ ਦਿਲਚਸਪ ਹੈ। ਕੂਲਿੰਗ ਟਾਵਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਵਾਤਾਵਰਣ ਵਿੱਚ ਕੂੜੇ ਦੀ ਗਰਮੀ ਨੂੰ ਤਬਦੀਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਅਕਸਰ ਆਪਣੀ ਸ਼ਕਤੀ ਨੂੰ ਕੁਸ਼ਲਤਾ ਨਾਲ ਪੈਦਾ ਕਰਨ ਦੀ ਸਮਰੱਥਾ ਲਈ ਪ੍ਰਸ਼ੰਸਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਆਪਣੇ ਹਾਈਪਰਬੋਲਿਕ ਰੂਪ ਦੇ ਕਾਰਨ, ਇਹ ਢਾਂਚੇ ਆਪਣੇ ਆਕਾਰ ਅਤੇ ਮਜ਼ਬੂਤੀ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਹੋਰ ਰੂਪਾਂ ਨਾਲੋਂ ਘੱਟ ਸਮੱਗਰੀ ਦੀ ਲੋੜ ਪੈਂਦੇ ਹੋਏ ਅਤਿਅੰਤ ਹਵਾਵਾਂ ਦਾ ਸਾਹਮਣਾ ਕਰਨ ਦੇ ਯੋਗ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਅੰਕੜੇ 10 ਵੇਖੋ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਇੱਕ 500-ਫੁੱਟ ਟਾਵਰ ਸਿਰਫ 6 ਜਾਂ 8 ਇੰਚ ਚੌੜੀ ਇੱਕ ਮਜ਼ਬੂਤ ਕੰਕਰੀਟ ਸ਼ੈੱਲ ਤੋਂ ਬਣਾਈ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ!
ਅੰਕੜੇ 10: ਉੱਤਰੀ ਯੌਰਕਸ਼ਾਇਰ, ਯੂਨਾਈਟਿਡ ਕਿੰਗਡਮ ਵਿੱਚ ਡਰੇਕਸ ਪਾਵਰ ਸਟੇਸ਼ਨ ਦੇ ਕੂਲਿੰਗ ਟਾਵਰ (ਕ੍ਰੈਡਿਟ: ਲੇਸ ਹੇਨਜ਼, ਫਲਿੱਕਰ)
ਪਹਿਲੇ ਹਾਈਪਰਬੋਲਿਕ ਟਾਵਰਾਂ ਨੂੰ 1914 ਵਿੱਚ ਡਿਜ਼ਾਈਨ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ ਅਤੇ ਉਹ 35 ਮੀਟਰ ਉੱਚੇ ਸਨ। ਅੱਜ, ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਚੇ ਕੂਲਿੰਗ ਟਾਵਰ ਫਰਾਂਸ ਵਿੱਚ ਹਨ, ਜੋ ਕਿ ਇੱਕ ਸ਼ਾਨਦਾਰ 170 ਮੀਟਰ ਉੱਚੇ ਖੜ੍ਹੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਕੂਲਿੰਗ ਟਾਵਰ ਦੇ ਡਿਜ਼ਾਈਨ ਲੇਆਉਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਇੱਕ ਹਾਈਪਰਬੋਲਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕਰਾਂਗੇ ਜੋ ਇਸਦੇ ਪਾਸਿਆਂ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 6
ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਲਾਗੂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਇੱਕ ਕੂਲਿੰਗ ਟਾਵਰ ਦਾ ਡਿਜ਼ਾਈਨ ਲੇਆਉਟ ਅੰਕੜੇ 11 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਟਾਵਰ 179.6 ਮੀਟਰ ਉੱਚਾ ਹੈ। ਸਿਖਰ ਦਾ ਵਿਆਸ 72 ਮੀਟਰ ਹੈ। ਆਪਣੇ ਸਭ ਤੋਂ ਨੇੜੇ, ਟਾਵਰ ਦੇ ਪਾਸੇ 60 ਮੀਟਰ ਦੂਰ ਹਨ।
ਅੰਕੜੇ 11: ਇੱਕ ਕੁਦਰਤੀ ਡਰਾਫਟ ਕੂਲਿੰਗ ਟਾਵਰ ਲਈ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟ ਡਿਜ਼ਾਈਨ
ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ ਜੋ ਕੂਲਿੰਗ ਟਾਵਰ ਦੇ ਪਾਸਿਆਂ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਕੇਂਦਰ—ਜੋ ਕਿ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਟੁੱਟੀਆਂ ਲੰਬੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਕੱਟਣ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ—ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪਲੇਨ ਦਾ ਮੂਲ ਹੈ। ਅੰਤਿਮ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਚਾਰ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਮੰਨ ਰਹੇ ਹਾਂ ਕਿ ਟਾਵਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਮੂਲ 'ਤੇ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਮੂਲ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਇੱਕ ਹਰੀਜੋਂਟਲ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ: x 2 a 2 − y 2 b 2 =1, x 2 a 2 − y 2 b 2 =1, ਜਿੱਥੇ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦੀਆਂ ਸ਼ਾਖਾਵਾਂ ਕੂਲਿੰਗ ਟਾਵਰ ਦੇ ਪਾਸਿਆਂ ਦਾ ਗਠਨ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ। ਸਾਨੂੰ ਮਾਡਲ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਲਈ a 2 a 2 ਅਤੇ b 2 b 2 ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ a 2 a 2 ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦੀ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰੀ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2a ਹੁੰਦੀ ਹੈ। 2a. ਇਹ ਲੰਬਾਈ ਉਸ ਦੂਰੀ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਪਾਸੇ ਸਭ ਤੋਂ ਨੇੜੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਕਿ 60 60 ਮੀਟਰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, 2a=60. 2a=60. ਇਸ ਲਈ, a=30 a=30 ਅਤੇ a 2 =900. a 2 =900.
b 2 b 2 ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਆਪਣੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ x x ਅਤੇ y y ਲਈ ਇੱਕ ਜਾਣੇ-ਪਛਾਣੇ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਬਦਲਣਾ ਪਵੇਗਾ। ਅਜਿਹਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਟਾਵਰ ਦੇ ਮਾਪਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕੋਈ ਬਿੰਦੂ ( x,y ) ( x,y ) ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ 'ਤੇ ਪੈਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਟਾਵਰ ਦੇ ਉੱਪਰਲੇ ਸੱਜੇ ਕੋਨੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਉਸ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਕਰਾਂਗੇ। ਕਿਉਂਕਿ y-ਧੁਰੀ ਟਾਵਰ ਨੂੰ ਦੋ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਦੀ ਹੈ, ਸਾਡੇ x-ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਸਿਖਰ ਦੇ ਰੇਡੀਅਸ, ਜਾਂ 36 ਮੀਟਰ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। y-ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਮੂਲ ਤੋਂ ਸਿਖਰ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ 79.6 ਮੀਟਰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ,
ਟਾਵਰ ਦੇ ਪਾਸਿਆਂ ਦਾ ਮਾਡਲ ਹਾਈਪਰਬੋਲਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #6
ਇੱਕ ਕੂਲਿੰਗ ਟਾਵਰ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟ ਦਾ ਡਿਜ਼ਾਈਨ ਅੰਕੜੇ 12 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ ਜੋ ਕੂਲਿੰਗ ਟਾਵਰ ਦੇ ਪਾਸਿਆਂ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਕੇਂਦਰ—ਜੋ ਕਿ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਟੁੱਟੀਆਂ ਲੰਬੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਕੱਟਣ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ—ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪਲੇਨ ਦਾ ਮੂਲ ਹੈ। ਅੰਤਿਮ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਚਾਰ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
ਮੀਡੀਆ
ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
ਕੋਨਿਕ ਸੈਕਸ਼ਨ: ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਭਾਗ 1/2
ਕੋਨਿਕ ਸੈਕਸ਼ਨ: ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਭਾਗ 2/2
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ ਬਣਾਓ।
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰ ਨਾ ਹੋਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ ਬਣਾਓ।
ਮੌਖਿਕ
ਫੋਕਸ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ।
ਜੇਕਰ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ ਦੀਆਂ ਅਸੀਮਤ ਰੇਖਾਵਾਂ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੱਟਦੀਆਂ ਹਨ ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਕੀ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢ ਸਕਦੇ ਹਾਂ?
ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ ਦੇ ਫੋਕਸ ਬਾਰੇ ਕੀ ਸੱਚ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ?
ਜੇਕਰ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ ਦਾ ਟ੍ਰਾਂਸਵਰਸ ਧੁਰਾ ਲੰਬਵਤ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫ ਬਾਰੇ ਕੀ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ?
ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਇਸਦੇ ਫੋਕਸ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਕਿੱਥੇ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ?
ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਸਮੀਕਰਨ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਜੇਕਰ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
3 y 2 +2x=6
x 2 36 − y 2 9 =1
5 y 2 +4 x 2 =6x
25 x 2 −16 y 2 =400
−9 x 2 +18x+ y 2 +4y−14=0
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ, ਅਤੇ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਫੋਕਸਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਅਸੀਮਤ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।
x 2 25 − y 2 36 =1
x 2 100 − y 2 9 =1
y 2 4 − x 2 81 =1
9 y 2 −4 x 2 =1
( x−1 ) 2 9 − ( y−2 ) 2 16 =1
( y−6 ) 2 36 − ( x+1 ) 2 16 =1
( x−2 ) 2 49 − ( y+7 ) 2 49 =1
4 x 2 −8x−9 y 2 −72y+112=0
−9x^2 − 54x + 9y^2 − 54y + 81 = 0
4x^2 − 24x − 36y^2 − 360y + 864 = 0
−4x^2 + 24x + 16y^2 − 128y + 156 = 0
−4x^2 + 40x + 25y^2 − 100y + 100 = 0
x^2 + 2x − 100y^2 − 1000y + 2401 = 0
−9x^2 + 72x + 16y^2 + 16y + 4 = 0
4x^2 + 24x − 25y^2 + 200y − 464 = 0
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ (hyperbola) ਦੀਆਂ ਅਸੀਮ-ਰੇਖਾਵਾਂ (asymptotes) ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
y^2/3^2 − x^2/3^2 = 1
(x−3)^2/5^2 − (y+4)^2/2^2 = 1
(y−3)^2/3^2 − (x+5)^2/6^2 = 1
9x^2 − 18x − 16y^2 + 32y − 151 = 0
16y^2 + 96y − 4x^2 + 16x + 112 = 0
ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ (hyperbola) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਖਿੱਚੋ, ਸਿਖਰਾਂ (vertices) ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ (foci) ਨੂੰ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
x^2/49 − y^2/16 = 1
x^2/64 − y^2/4 = 1
y^2/9 − x^2/25 = 1
81x^2 − 9y^2 = 1
(y+5)^2/9 − (x−4)^2/25 = 1
(x−2)^2/8 − (y+3)^2/27 = 1
(y−3)^2/9 − (x−3)^2/9 = 1
−4x^2 − 8x + 16y^2 − 32y − 52 = 0
x^2 − 8x − 25y^2 − 100y − 109 = 0
− x 2 +8x+4 y 2 −40y+88=0
64 x 2 +128x−9 y 2 −72y−656=0
16 x 2 +64x−4 y 2 −8y−4=0
−100 x 2 +1000x+ y 2 −10y−2575=0
4 x 2 +16x−4 y 2 +16y+16=0
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ (hyperbola) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਾਰੇ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਤੋਂ, ਉਸਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਸਿਖਰ (vertices) ( 3,0 ) ਅਤੇ ( −3,0 ) 'ਤੇ ਅਤੇ ਇੱਕ ਨਾਭੀ (focus) ( 5,0 ) 'ਤੇ।
ਸਿਖਰ (vertices) ( 0,6 ) ਅਤੇ ( 0,−6 ) 'ਤੇ ਅਤੇ ਇੱਕ ਨਾਭੀ (focus) ( 0,−8 ) 'ਤੇ।
ਸਿਖਰ (vertices) ( 1,1 ) ਅਤੇ ( 11,1 ) 'ਤੇ ਅਤੇ ਇੱਕ ਨਾਭੀ (focus) ( 12,1 ) 'ਤੇ।
ਕੇਂਦਰ: ( 0,0 ); ਸਿਖਰ: ( 0,−13 ); ਇੱਕ ਨਾਭੀ: ( 0, 313 ).
ਕੇਂਦਰ: ( 4,2 ); ਸਿਖਰ: ( 9,2 ); ਇੱਕ ਨਾਭੀ: ( 4+ 26 ,2 ).
ਕੇਂਦਰ: ( 3,5 ); ਸਿਖਰ: ( 3,11 ); ਇੱਕ ਨਾਭੀ: ( 3,5+2 10 ).
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ (hyperbola) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਤੋਂ, ਉਸਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਵਿਸਥਾਰ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ (hyperbola) ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ (functions) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ y, x ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਹੋਵੇ। ਜਿੰਨਾ ਸੰਭਵ ਹੋ ਸਕੇ ਸਰਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ। ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਇੱਕੋ ਧੁਰਿਆਂ 'ਤੇ ਖਿੱਚਣ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
x 2 4 − y 2 9 =1
y 2 9 − x 2 1 =1
( x−2 ) 2 16 − ( y+3 ) 2 25 =1
−4 x 2 −16x+ y 2 −2y−19=0
4 x 2 −24x− y 2 −4y+16=0
ਸਾਜ਼ੀਨ-ਵਿਸ਼ਵ ਉਪਯੋਗ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਵਿਹੜੇ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਫੁਹਾਰੇ ਨੇੜੇ, ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ (hyperbola) ਦੇ ਆਕਾਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਹੇਜ (hedge) ਬਣਾਉਣਾ ਹੈ। ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ (hyperbola) ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
ਹੇਜ (hedge) y=x ਅਤੇ y=−x ਦੀਆਂ ਅਸੀਮ-ਰੇਖਾਵਾਂ (asymptotes) ਦਾ ਪਾਲਣ ਕਰੇਗੀ, ਅਤੇ ਕੇਂਦਰੀ ਫੁਹਾਰੇ ਤੋਂ ਇਸਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਦੂਰੀ 5 ਗਜ਼ ਹੈ।
ਹੇਜ (hedge) y=2x ਅਤੇ y=−2x ਦੀਆਂ ਅਸੀਮ-ਰੇਖਾਵਾਂ (asymptotes) ਦਾ ਪਾਲਣ ਕਰੇਗੀ, ਅਤੇ ਕੇਂਦਰੀ ਫੁਹਾਰੇ ਤੋਂ ਇਸਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਦੂਰੀ 6 ਗਜ਼ ਹੈ।
ਵਾੜ ਅਸੀਮਟੋਟਸ y= 1 2 x ਅਤੇ y=− 1 2 x ਦਾ ਪਾਲਣ ਕਰੇਗੀ, ਅਤੇ ਕੇਂਦਰੀ ਝਰਨੇ ਤੋਂ ਇਸਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਦੂਰੀ 10 ਗਜ਼ ਹੈ।
ਵਾੜ ਅਸੀਮਟੋਟਸ y= 2 3 x ਅਤੇ y=− 2 3 x ਦਾ ਪਾਲਣ ਕਰੇਗੀ, ਅਤੇ ਕੇਂਦਰੀ ਝਰਨੇ ਤੋਂ ਇਸਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਦੂਰੀ 12 ਗਜ਼ ਹੈ।
ਵਾੜ ਅਸੀਮਟੋਟਸ y= 3 4 x ਅਤੇ y=− 3 4 x ਦਾ ਪਾਲਣ ਕਰੇਗੀ, ਅਤੇ ਕੇਂਦਰੀ ਝਰਨੇ ਤੋਂ ਇਸਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਦੂਰੀ 20 ਗਜ਼ ਹੈ।
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਵਸਤੂ ਸਾਡੇ ਸੌਰ ਮੰਡਲ ਵਿੱਚ ਦਾਖਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਇਸਦੇ ਮਾਰਗ ਨੂੰ ਇੱਕ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ 'ਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸੂਰਜ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਹੋਵੇ ਅਤੇ x-ਧੁਰਾ ਵਸਤੂ ਦੇ ਮਾਰਗ ਲਈ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦਾ ਧੁਰਾ ਹੋਵੇ। ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹਰੇਕ ਵਸਤੂ ਦੇ ਉਡਾਣ ਮਾਰਗ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿਓ।
ਵਸਤੂ y=x−2 ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਮਾਰਗ 'ਤੇ ਦਾਖਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਪਹੁੰਚ 'ਤੇ ਸੂਰਜ ਤੋਂ 1 au (ਖਗੋਲਿਕ ਇਕਾਈ) ਦੇ ਅੰਦਰੋਂ ਲੰਘਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਜੋ ਸੂਰਜ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਇੱਕ ਫੋਕਸ ਹੋਵੇ। ਫਿਰ ਇਹ y=−x+2 ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਮਾਰਗ 'ਤੇ ਸੌਰ ਮੰਡਲ ਤੋਂ ਬਾਹਰ ਨਿਕਲ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਵਸਤੂ y=2x−2 ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਮਾਰਗ 'ਤੇ ਦਾਖਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਪਹੁੰਚ 'ਤੇ ਸੂਰਜ ਤੋਂ 0.5 au ਦੇ ਅੰਦਰੋਂ ਲੰਘਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸੂਰਜ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਇੱਕ ਫੋਕਸ ਹੈ। ਫਿਰ ਇਹ y=−2x+2 ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਮਾਰਗ 'ਤੇ ਸੌਰ ਮੰਡਲ ਤੋਂ ਬਾਹਰ ਨਿਕਲ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਵਸਤੂ y=0.5x+2 ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਮਾਰਗ 'ਤੇ ਦਾਖਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਪਹੁੰਚ 'ਤੇ ਸੂਰਜ ਤੋਂ 1 au ਦੇ ਅੰਦਰੋਂ ਲੰਘਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸੂਰਜ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਇੱਕ ਫੋਕਸ ਹੈ। ਫਿਰ ਇਹ y=−0.5x−2 ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਮਾਰਗ 'ਤੇ ਸੌਰ ਮੰਡਲ ਤੋਂ ਬਾਹਰ ਨਿਕਲ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਵਸਤੂ y= 1 3 x−1 ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਮਾਰਗ 'ਤੇ ਦਾਖਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਪਹੁੰਚ 'ਤੇ ਸੂਰਜ ਤੋਂ 1 au ਦੇ ਅੰਦਰੋਂ ਲੰਘਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸੂਰਜ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਇੱਕ ਫੋਕਸ ਹੈ। ਫਿਰ ਇਹ y=− 1 3 x+1 ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਮਾਰਗ 'ਤੇ ਸੌਰ ਮੰਡਲ ਤੋਂ ਬਾਹਰ ਨਿਕਲ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਵਸਤੂ y=3x−9 ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਮਾਰਗ 'ਤੇ ਦਾਖਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਪਹੁੰਚ 'ਤੇ ਸੂਰਜ ਤੋਂ 1 au ਦੇ ਅੰਦਰੋਂ ਲੰਘਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸੂਰਜ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਇੱਕ ਫੋਕਸ ਹੈ। ਫਿਰ ਇਹ y=−3x+9 ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਮਾਰਗ 'ਤੇ ਸੌਰ ਮੰਡਲ ਤੋਂ ਬਾਹਰ ਨਿਕਲ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।