ਸਿੱਖਿਆ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਧਰੁਵੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਸ਼ੰਕੂਆਂ ਦੇ ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਫੋਕਸ ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਕਾ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸ਼ੰਕੂਆਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ।
ਚਿੱਤਰ 1: ਸੂਰਜ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਦੇ ਗ੍ਰਹਿ ਅੰਡਾਕਾਰ ਮਾਰਗਾਂ ਦਾ ਪਾਲਣ ਕਰਦੇ ਹਨ। (ਸਰੋਤ: NASA Blueshift, Flickr)
ਸਾਡੇ ਵਿੱਚੋਂ ਬਹੁਤੇ ਚੱਕਰਵਾਤੀ ਗਤੀ ਤੋਂ ਜਾਣੂ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਸੂਰਜ ਦੁਆਲੇ ਇੱਕ ਗ੍ਰਹਿ ਦੀ ਗਤੀ ਜਾਂ ਇੱਕ ਪਰਮਾਣੂ ਨਿਊਕਲੀਅਸ ਦੁਆਲੇ ਇੱਕ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਦੀ ਗਤੀ। ਗ੍ਰਹਿ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਅੰਦਰ, ਇੱਕ ਵੱਡੇ ਖਗੋਲੀ ਪਿੰਡ ਦੁਆਲੇ ਗ੍ਰਹਿਆਂ, ਐਸਟੇਰੌਇਡਾਂ ਅਤੇ ਧੂਮਕੇਤੂਆਂ ਦੇ ਚੱਕਰ ਅਕਸਰ ਅੰਡਾਕਾਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਧੂਮਕੇਤੂ, ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇਸ ਦੀ ਬਜਾਏ ਇੱਕ ਪਰਵਲਈ ਜਾਂ ਅਤਿ-ਪਰਵਲਈ ਚੱਕਰ ਲੈ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਅਤੇ, ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਗ੍ਰਹਿਆਂ ਦੇ ਚੱਕਰਾਂ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਬਦਲ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ। ਹਰ ਚੱਕਰ ਉਸ ਖਗੋਲੀ ਪਿੰਡ ਦੇ ਸਥਾਨ ਨਾਲ ਜੁੜਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਚੱਕਰ ਲਗਾਇਆ ਜਾ ਰਿਹਾ ਹੈ ਅਤੇ ਉਸ ਪਿੰਡ ਤੋਂ ਗ੍ਰਹਿ ਜਾਂ ਹੋਰ ਵਸਤੂ ਦੀ ਦੂਰੀ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ। ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ, ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਚੱਕਰਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਧਰੁਵੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਚੱਕਰ ਵਿੱਚ, ਪੈਰੀਐਪਸਿਸ ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਜਿਸ 'ਤੇ ਦੋ ਵਸਤੂਆਂ ਸਭ ਤੋਂ ਨੇੜੇ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਅਤੇ ਏਪੀਐਪਸਿਸ ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਜਿਸ 'ਤੇ ਉਹ ਸਭ ਤੋਂ ਦੂਰ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਚੱਕਰ ਲਗਾਉਣ ਵਾਲੇ ਪਿੰਡ ਦਾ ਵੇਗ ਪੈਰੀਐਪਸਿਸ ਦੇ ਨੇੜੇ ਆਉਣ 'ਤੇ ਵਧਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਏਪੀਐਪਸਿਸ ਦੇ ਨੇੜੇ ਆਉਣ 'ਤੇ ਘਟਦਾ ਹੈ। ਕੁਝ ਵਸਤੂਆਂ ਇੱਕ ਬਚਣ ਵਾਲੇ ਵੇਗ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਿਸਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਚੱਕਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਪਿੰਡ ਇੱਕ ਸਰੀਰ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਇੱਕ ਪਰਵਲਈ ਜਾਂ ਅਤਿ-ਪਰਵਲਈ ਚੱਕਰ ਦਾ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਨ ਕਰਦੇ ਹਨ; ਚੱਕਰ ਲਗਾਉਣ ਵਾਲਾ ਪਿੰਡ ਖਗੋਲੀ ਪਿੰਡ ਦੇ ਗੁਰੂਤਾ ਖਿੱਚ ਤੋਂ ਮੁਕਤ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਪੁਲਾੜ ਵਿੱਚ ਫਾਇਰ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਧਰੁਵੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ ਦੁਆਰਾ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਧਰੁਵੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਦੀ ਪਛਾਣ
ਕਿਸੇ ਵੀ ਸ਼ੰਕੂ ਨੂੰ ਤਿੰਨ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ: ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਫੋਕਸ, ਇੱਕ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਕਾ ਨਾਮਕ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਰੇਖਾ, ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਤੱਕ ਦੂਰੀਆਂ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ। ਪਰਵਲਈ x=2+ y 2 x=2+ y 2 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਜੋ ਚਿੱਤਰ 2 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
'ਪਰਵਲਈ' ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸਿੱਖਿਆ ਕਿ ਇੱਕ ਪਰਵਲਈ ਨੂੰ ਫੋਕਸ (ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬਿੰਦੂ) ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਕਾ (ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਰੇਖਾ) ਦੁਆਰਾ ਕਿਵੇਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸਿੱਖਾਂਗੇ ਕਿ ਧਰੁਵੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸ਼ੰਕੂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬਿੰਦੂ, ਪੋਲ 'ਤੇ ਫੋਕਸ P(r,θ) P(r,θ) ਅਤੇ ਇੱਕ ਰੇਖਾ, ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਕਾ, ਜੋ ਕਿ ਧਰੁਵੀ ਧੁਰੇ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਹੈ, ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਕਿਵੇਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨਾ ਹੈ।
ਜੇਕਰ F F ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬਿੰਦੂ ਹੈ, ਫੋਕਸ, ਅਤੇ D D ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਰੇਖਾ ਹੈ, ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਕਾ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ e e ਨੂੰ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਧਨ ਸੰਖਿਆ ਮੰਨ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸਨੂੰ ਉਤਕੇਂਦਰਤਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਫੋਕਸ ਤੱਕ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਕਾ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀਆਂ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ P P ਦਾ ਸਮੂਹ ਜਿਸ ਲਈ e= PF PD e= PF PD ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਨੂੰ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ P P ਦੇ ਸਮੂਹ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇਹ ਗੁਣ ਹੈ ਕਿ P P ਤੋਂ F F ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ P P ਤੋਂ D D ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸਥਿਰ e ਹੈ। e.
ਉਤਕੇਂਦਰਤਾ e ਵਾਲੇ ਸ਼ੰਕੂ ਲਈ, e,
ਜੇਕਰ 0≤e<1, 0≤e<1, ਸ਼ੰਕੂ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਹੈ
ਜੇਕਰ e=1, e=1, ਸ਼ੰਕੂ ਇੱਕ ਪਰਵਲਈ ਹੈ
ਜੇਕਰ e>1, e>1, ਸ਼ੰਕੂ ਇੱਕ ਅਤਿ-ਪਰਵਲਈ ਹੈ
ਇਸ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਕਾ, x=±p, x=±p, ਉਤਕੇਂਦਰਤਾ e, e, ਅਤੇ ਕੋਣ θ. θ. ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਹਰ ਸ਼ੰਕੂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ r r ਅਤੇ θ. θ. ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ।
ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਲਈ ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨ
ਮੂਲ 'ਤੇ ਫੋਕਸ ਵਾਲੇ ਸ਼ੰਕੂ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਕਾ x=±p, x=±p ਹੈ, ਜਿੱਥੇ p p ਇੱਕ ਧਨ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, ਅਤੇ ਉਤਕੇਂਦਰਤਾ ਇੱਕ ਧਨ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ e, e ਹੈ, ਤਾਂ ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ
ਮੂਲ 'ਤੇ ਫੋਕਸ ਵਾਲੇ ਸ਼ੰਕੂ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਕਾ y=±p, y=±p ਹੈ, ਜਿੱਥੇ p p ਇੱਕ ਧਨ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, ਅਤੇ ਉਤਕੇਂਦਰਤਾ ਇੱਕ ਧਨ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ e, e ਹੈ, ਤਾਂ ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਲਈ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨ ਤੋਂ, ਸ਼ੰਕੂ ਦੀ ਕਿਸਮ, ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਕਾ ਅਤੇ ਉਤਕੇਂਦਰਤਾ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣ ਲਈ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਹਰ ਵਿੱਚ ਸਥਿਰ ਦੇ ਉਲਟ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਉਤਕੇਂਦਰਤਾ e e ਦੀ ਪਛਾਣ ਅੰਸ਼ ਵਿੱਚ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਵਜੋਂ ਕਰੋ।
e e ਦੀ ਤੁਲਨਾ 1 ਨਾਲ ਕਰਕੇ ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਆਕਾਰ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ।
ਜੇਕਰ ਹਰ (denominator) ਵਿੱਚ ਕੋਸਾਈਨ (cosine) ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ (directrix) x=p ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ ਅਤੇ ਜੇਕਰ ਸਾਈਨ (sine) ਹੋਵੇ ਤਾਂ y=p ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ। ਸਟੈਂਡਰਡ ਫਾਰਮ (standard form) ਵਿੱਚ ਅੰਸ਼ (numerator) ਦੇ ਬਰਾਬਰ ep ep ਰੱਖ ਕੇ x ਜਾਂ y ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਪੋਲਰ ਰੂਪ (polar form) ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸ਼ੰਕੂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨਾ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲਈ, ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ (origin) ਤੇ ਫੋਕਸ (focus), ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ (directrix), ਅਤੇ ਉਤਕੇਂਦਰਤਾ (eccentricity) ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
r= 6 3+2sinθ
r= 12 4+5cosθ
r= 7 2−2sinθ
ਹੱਲ
ਤਿੰਨਾਂ ਸ਼ੰਕੂਆਂ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਟੈਂਡਰਡ ਫਾਰਮ (standard form) ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਾਂਗੇ। ਸਟੈਂਡਰਡ ਫਾਰਮ (standard form) ਵਿੱਚ ਹਰ (denominator) ਵਿੱਚ ਸਥਿਰ ਅੰਕ (constant) 1 ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਤਿੰਨਾਂ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ, ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ ਮੂਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਦੇ ਉਲਟ (reciprocal) 1/c ਨਾਲ ਅੰਸ਼ (numerator) ਅਤੇ ਹਰ (denominator) ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਹੋਵੇਗਾ, ਜਿੱਥੇ c ਉਹ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹੈ।
ਅੰਸ਼ (numerator) ਅਤੇ ਹਰ (denominator) ਨੂੰ 1/3 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। r= 6 3+2sinθ ⋅ ( 1 3 ) ( 1 3 ) = 6( 1 3 ) 3( 1 3 )+2( 1 3 )sinθ = 2 1+ 2 3 sinθ ਕਿਉਂਕਿ sinθ ਹਰ (denominator) ਵਿੱਚ ਹੈ, ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ (directrix) y=p ਹੈ। ਸਟੈਂਡਰਡ ਫਾਰਮ (standard form) ਨਾਲ ਤੁਲਨਾ ਕਰਨ 'ਤੇ, ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ e= 2 3 ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਅੰਸ਼ (numerator) ਤੋਂ, 2=ep = 2 3 p ( 3 2 )2=( 3 2 ) 2 3 p 3=p ਕਿਉਂਕਿ e<1, ਸ਼ੰਕੂ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ (ellipse) ਹੈ। ਉਤਕੇਂਦਰਤਾ (eccentricity) e= 2 3 ਹੈ ਅਤੇ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ (directrix) y=3 ਹੈ।
ਅੰਸ਼ (numerator) ਅਤੇ ਹਰ (denominator) ਨੂੰ 1/4 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। r= 12 4+5cosθ ⋅ ( 1 4 ) ( 1 4 ) = 12( 1 4 ) 4( 1 4 )+5( 1 4 )cosθ = 3 1+ 5 4 cosθ ਕਿਉਂਕਿ cosθ ਹਰ (denominator) ਵਿੱਚ ਹੈ, ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ (directrix) x=p ਹੈ। ਸਟੈਂਡਰਡ ਫਾਰਮ (standard form) ਨਾਲ ਤੁਲਨਾ ਕਰਨ 'ਤੇ, e= 5 4 ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਅੰਸ਼ (numerator) ਤੋਂ, 3=ep = 5 4 p ( 4 5 )3=( 4 5 ) 5 4 p 12 5 =p ਕਿਉਂਕਿ e>1, ਸ਼ੰਕੂ ਇੱਕ ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ (hyperbola) ਹੈ। ਉਤਕੇਂਦਰਤਾ (eccentricity) e= 5 4 ਹੈ ਅਤੇ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ (directrix) x= 12 5 =2.4 ਹੈ।
ਅੰਸ਼ (numerator) ਅਤੇ ਹਰ (denominator) ਨੂੰ 1/2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। r= 7 2−2sinθ ⋅ ( 1 2 ) ( 1 2 ) = 7( 1 2 ) 2( 1 2 )−2( 1 2 )sinθ = 7 2 1−sinθ ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਈਨ (sine) ਹਰ (denominator) ਵਿੱਚ ਹੈ, ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ (directrix) y=−p ਹੈ। ਸਟੈਂਡਰਡ ਫਾਰਮ (standard form) ਨਾਲ ਤੁਲਨਾ ਕਰਨ 'ਤੇ, e=1 ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਅੰਸ਼ (numerator) ਤੋਂ, 7 2 =ep = ( 1 )p 7 2 =p ਕਿਉਂਕਿ e=1, ਸ਼ੰਕੂ ਇੱਕ ਪਰਵਲਯ (parabola) ਹੈ। ਉਤਕੇਂਦਰਤਾ (eccentricity) e=1 ਹੈ ਅਤੇ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ (directrix) y=− 7 2 =−3.5 ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ (origin) ਤੇ ਫੋਕਸ (focus), ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ (directrix), ਅਤੇ ਉਤਕੇਂਦਰਤਾ (eccentricity) ਲਈ r= 2 3−cosθ ਦੇ ਸ਼ੰਕੂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਸ਼ੰਕੂਆਂ ਦੇ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (Cartesian coordinates) ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਂਦੇ ਸਮੇਂ, ਹਰੇਕ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ ਦਾ ਇੱਕ ਵਿਲੱਖਣ ਸਮੀਕਰਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (polar coordinates) ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਂਦੇ ਸਮੇਂ ਇਹ ਸੱਚ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਸਾਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕਿਹੜੇ ਕਿਸਮ ਦੇ ਵਕਰ (curve) ਦੀ ਚੋਣ ਕਰਨੀ ਹੈ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸ਼ੰਕੂ ਦੀ ਉਤਕੇਂਦਰਤਾ (eccentricity) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨੀ ਪੈਂਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਇਸਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਨੀਆਂ ਪੈਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ ਸ਼ੰਕੂ ਨੂੰ ਸਟੈਂਡਰਡ ਫਾਰਮ (standard form) ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਪਿਛਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਹਰ (denominator) 1 ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋਵੇ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ e ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ, ਇਸ ਲਈ, ਵਕਰ (curve) ਦਾ ਆਕਾਰ। ਅਗਲਾ ਕਦਮ θ ਲਈ ਮੁੱਲ ਬਦਲਣਾ ਅਤੇ r ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਕੇ ਕੁਝ ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਨਾ ਹੈ। θ ਨੂੰ 0, π/2, π, ਅਤੇ 3π/2 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਨ ਨਾਲ ਸਿਖਰ (vertices) ਮਿਲਦੇ ਹਨ ਤਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਇੱਕ ਮੋਟਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾ ਸਕੀਏ।
ਉਦਾਹਰਨ 2
ਪੋਲਰ ਰੂਪ (polar form) ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪਰਵਲਯ (parabola) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
r= 5 3+3cosθ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ 3 ਦੇ ਉਲਟ (reciprocal) 1/3 ਨਾਲ ਅੰਸ਼ (numerator) ਅਤੇ ਹਰ (denominator) ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਸ਼ੰਕੂ ਨੂੰ ਸਟੈਂਡਰਡ ਫਾਰਮ (standard form) ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ।
ਕਿਉਂਕਿ e=1, ਅਸੀਂ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ (origin) ਤੇ ਫੋਕਸ (focus) ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਪਰਵਲਯ (parabola) ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਾਂਗੇ। ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ cosθ ਹੈ, ਅਤੇ ਹਰ (denominator) ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਜੋੜ ਦਾ ਨਿਸ਼ਾਨ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ (directrix) x=p ਹੈ।
ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ (directrix) x= 5 3 ਹੈ।
ਮੇਜ਼ 1 ਅਨੁਸਾਰ ਕੁਝ ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਨਾਲ ਸਾਨੂੰ ਸਿਖਰਾਂ ਨੂੰ ਵੇਖਣ ਵਿੱਚ ਸਹਾਇਤਾ ਮਿਲੇਗੀ। ਅੰਕੜਾ 3 ਵੇਖੋ।
ਸਾਰਣੀ: ੳ | ਅ | ੲ | ਸ
ਸਾਰਣੀ: θ | 0 | π/2 | π | 3π/2
ਸਾਰਣੀ: r= 5/(3+3cosθ) | 5/6 ≈0.83 | 5/3 ≈1.67 | ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ | 5/3 ≈1.67
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਯੂਟਿਲਿਟੀ ਨਾਲ ਆਪਣੇ ਨਤੀਜੇ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅੰਕੜਾ 4 ਵੇਖੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
r= 8/(2−3sinθ) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਸ਼ੰਕੂ ਨੂੰ ਸਟੈਂਡਰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ, ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ 2 ਦੇ ਵਿਪਰੀਤ, ਜੋ ਕਿ 1/2 ਹੈ, ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ।
ਕਿਉਂਕਿ e= 3/2, e>1, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਫੋਕਸ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਾਂਗੇ। ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ sinθ ਪਦ ਹੈ ਅਤੇ ਹਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਘਟਾਓ ਦਾ ਨਿਸ਼ਾਨ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ y=−p ਹੈ।
ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ y=− 8/3 ਹੈ।
ਮੇਜ਼ 2 ਅਨੁਸਾਰ ਕੁਝ ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਨਾਲ ਸਾਨੂੰ ਸਿਖਰਾਂ ਨੂੰ ਵੇਖਣ ਵਿੱਚ ਸਹਾਇਤਾ ਮਿਲੇਗੀ। ਅੰਕੜਾ 5 ਵੇਖੋ।
ਸਾਰਣੀ: ੳ | ਅ | ੲ | ਸ
ਸਾਰਣੀ: θ | 0 | π/2 | π | 3π/2
ਸਾਰਣੀ: r= 8/(2−3sinθ) | 4 | -8 | 4 | 8/5 =1.6
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
r= 10/(5−4cosθ) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਸ਼ੰਕੂ ਨੂੰ ਸਟੈਂਡਰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ, ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ 5 ਦੇ ਵਿਪਰੀਤ, ਜੋ ਕਿ 1/5 ਹੈ, ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ।
ਕਿਉਂਕਿ e= 4/5, e<1, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਫੋਕਸ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਾਂਗੇ। ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ cosθ ਹੈ, ਅਤੇ ਹਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਘਟਾਓ ਦਾ ਨਿਸ਼ਾਨ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ x=−p ਹੈ।
ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ x=− 5/2 ਹੈ।
Plotting a few key points as in Table 3 will enable us to see the vertices. See Figure 6.
row: A | B | C | D
row: θ θ | 0 0 | π 2 π 2 | π π | 3π 2 3π 2
row: r= 10 5−4cosθ r= 10 5−4cosθ | 10 10 | 2 2 | 10 9 ≈1.1 10 9 ≈1.1 | 2 2
Analysis
We can check our result using a graphing utility. See Figure 7.
Figure 7: r= 10 5−4cosθ r= 10 5−4cosθ graphed on a viewing window of [ –3,12,1 ] [ –3,12,1 ] by [–4,4,1],θmin =0 [–4,4,1],θmin =0 and θmax =2π. θmax =2π.
Try It #2
Graph r= 2 4−cosθ . r= 2 4−cosθ .
Defining Conics in Terms of a Focus and a Directrix
So far we have been using polar equations of conics to describe and graph the curve. Now we will work in reverse; we will use information about the origin, eccentricity, and directrix to determine the polar equation.
How To
Given the focus, eccentricity, and directrix of a conic, determine the polar equation.
Determine whether the directrix is horizontal or vertical. If the directrix is given in terms of y, y, we use the general polar form in terms of sine. If the directrix is given in terms of x, x, we use the general polar form in terms of cosine.
Determine the sign in the denominator. If p<0, p<0, use subtraction. If p>0, p>0, use addition.
Write the coefficient of the trigonometric function as the given eccentricity.
Write the absolute value of p p in the numerator, and simplify the equation.
Example 5
Finding the Polar Form of a Vertical Conic Given a Focus at the Origin and the Eccentricity and Directrix
Find the polar form of the conic given a focus at the origin, e=3 e=3 and directrix y=−2. y=−2.
Solution
The directrix is y=−p, y=−p, so we know the trigonometric function in the denominator is sine.
Because y=−2,–2<0, y=−2,–2<0, so we know there is a subtraction sign in the denominator. We use the standard form of
and e=3 e=3 and | −2 |=2=p. | −2 |=2=p.
Therefore,
Example 6
Finding the Polar Form of a Horizontal Conic Given a Focus at the Origin and the Eccentricity and Directrix
Find the polar form of a conic given a focus at the origin, e= 3 5 , e= 3 5 , and directrix x=4. x=4.
Solution
Because the directrix is x=p, x=p, we know the function in the denominator is cosine. Because x=4,4>0, x=4,4>0, so we know there is an addition sign in the denominator. We use the standard form of
and e= 3 5 e= 3 5 and | 4 |=4=p. | 4 |=4=p.
Therefore,
Try It #3
Find the polar form of the conic given a focus at the origin, e=1, e=1, and directrix x=−1. x=−1.
Example 7
Converting a Conic in Polar Form to Rectangular Form
Convert the conic r= 1 5−5sinθ r= 1 5−5sinθ to rectangular form.
Solution
We will rearrange the formula to use the identities r= x 2 + y 2 ,x=rcosθ,and y=rsinθ. r= x 2 + y 2 ,x=rcosθ,and y=rsinθ.
Try It #4
Convert the conic r= 2 1+2cosθ r= 2 1+2cosθ to rectangular form.
Media
Access these online resources for additional instruction and practice with conics in polar coordinates.
Polar Equations of Conic Sections
Graphing Polar Equations of Conics - 1
Graphing Polar Equations of Conics - 2
Verbal
Explain how eccentricity determines which conic section is given.
If a conic section is written as a polar equation, what must be true of the denominator?
If a conic section is written as a polar equation, and the denominator involves sinθ, sinθ, what conclusion can be drawn about the directrix?
If the directrix of a conic section is perpendicular to the polar axis, what do we know about the equation of the graph?
What do we know about the focus/foci of a conic section if it is written as a polar equation?
Algebraic
For the following exercises, identify the conic with a focus at the origin, and then give the directrix and eccentricity.
r= 6 1−2cosθ r= 6 1−2cosθ
r= 3 4−4sinθ r= 3 4−4sinθ
r= 8 4−3cosθ r= 8 4−3cosθ
r= 5 1+2sinθ r= 5 1+2sinθ
r= 16 4+3cosθ r= 16 4+3cosθ
r= 3 10+10cosθ r= 3 10+10cosθ
r= 2 1−cosθ r= 2 1−cosθ
r= 4 7+2cosθ r= 4 7+2cosθ
r(1−cosθ)=3 r(1−cosθ)=3
r(3+5sinθ)=11 r(3+5sinθ)=11
r(4−5sinθ)=1 r(4−5sinθ)=1
r(7+8cosθ)=7 r(7+8cosθ)=7
For the following exercises, convert the polar equation of a conic section to a rectangular equation.
r= 4 1+3sinθ r= 4 1+3sinθ
r= 2 5−3sinθ r= 2 5−3sinθ
r= 8 3−2cosθ r= 8 3−2cosθ
r= 3 2+5cosθ r= 3 2+5cosθ
r= 4 2+2sinθ r= 4 2+2sinθ
r= 3 8−8cosθ r= 3 8−8cosθ
r= 2 6+7cosθ r= 2 6+7cosθ
r= 5 5−11sinθ r= 5 5−11sinθ
r(5+2cosθ)=6 r(5+2cosθ)=6
r(2−cosθ)=1 r(2−cosθ)=1
r(2.5−2.5sinθ)=5 r(2.5−2.5sinθ)=5
r= 6secθ −2+3secθ r= 6secθ −2+3secθ
r= 6cscθ 3+2cscθ r= 6cscθ 3+2cscθ
For the following exercises, graph the given conic section. If it is a parabola, label the vertex, focus, and directrix. If it is an ellipse, label the vertices and foci. If it is a hyperbola, label the vertices and foci.
r= 5 2+cosθ r= 5 2+cosθ
r= 2 3+3sinθ r= 2 3+3sinθ
r= 10 5−4sinθ r= 10 5−4sinθ
r= 3 1+2cosθ r= 3 1+2cosθ
r= 8 4−5cosθ r= 8 4−5cosθ
r= 3 4−4cosθ r= 3 4−4cosθ
r= 2 1−sinθ r= 2 1−sinθ
r= 6 3+2sinθ r= 6 3+2sinθ
r(1+cosθ)=5 r(1+cosθ)=5
r(3−4sinθ)=9 r(3−4sinθ)=9
r(3−2sinθ)=6 r(3−2sinθ)=6
r(6−4cosθ)=5 r(6−4cosθ)=5
For the following exercises, find the polar equation of the conic with focus at the origin and the given eccentricity and directrix.
Directrix: x=4;e= 1 5 x=4;e= 1 5
Directrix: x=−4;e=5 x=−4;e=5
Directrix: y=2;e=2 y=2;e=2
Directrix: y=−2;e= 1 2 y=−2;e= 1 2
Directrix: x=1;e=1 x=1;e=1
Directrix: x=−1;e=1 x=−1;e=1
Directrix: x=− 1 4 ;e= 7 2 x=− 1 4 ;e= 7 2
Directrix: y= 2 5 ;e= 7 2 y= 2 5 ;e= 7 2
Directrix: y=4;e= 3 2 y=4;e= 3 2
Directrix: x=−2;e= 8 3 x=−2;e= 8 3
Directrix: x=−5;e= 3 4 x=−5;e= 3 4
Directrix: y=2;e=2.5 y=2;e=2.5
Directrix: x=−3;e= 1 3 x=−3;e= 1 3
Extensions
Recall from Rotation of Axes that equations of conics with an xy xy term have rotated graphs. For the following exercises, express each equation in polar form with r r as a function of θ. θ.
xy=2 xy=2
x 2 +xy+ y 2 =4 x 2 +xy+ y 2 =4
2 x 2 +4xy+2 y 2 =9 2 x 2 +4xy+2 y 2 =9
16 x 2 +24xy+9 y 2 =4 16 x 2 +24xy+9 y 2 =4
2xy+y=1 2xy+y=1