ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਇੱਕ ਸਪੱਸ਼ਟ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਇੱਕ ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਪਦ ਲਿਖੋਗੇ।
ਇੱਕ ਰਿਕਾਰਸਿਵ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਇੱਕ ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਪਦ ਲਿਖੋਗੇ।
ਫੈਕਟੋਰੀਅਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋਗੇ।
ਇੱਕ ਵੀਡੀਓ ਗੇਮ ਕੰਪਨੀ ਇੱਕ ਰੋਮਾਂਚਕ ਨਵੀਂ ਇਸ਼ਤਿਹਾਰਬਾਜ਼ੀ ਮੁਹਿੰਮ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਉਹ ਆਪਣੀ ਵੈੱਬਸਾਈਟ, ਜਾਂ ਹਿੱਟਸ, 'ਤੇ ਆਨਲਾਈਨ ਵਿਜ਼ਿਟਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਹਰ ਰੋਜ਼ ਦੁੱਗਣੀ ਹੋ ਜਾਵੇਗੀ। ਉਹਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਰਿਹਾ ਮਾਡਲ ਪਹਿਲੇ ਦਿਨ 2 ਹਿੱਟ, ਦੂਜੇ ਦਿਨ 4 ਹਿੱਟ, ਤੀਜੇ ਦਿਨ 8 ਹਿੱਟ, ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅੱਗੇ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਸਾਰਣੀ 1 ਦੇਖੋ।
ਸਾਰਣੀ: ਦਿਨ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | …
ਸਾਰਣੀ: ਹਿੱਟਸ | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | …
ਜੇਕਰ ਉਹਨਾਂ ਦਾ ਮਾਡਲ ਜਾਰੀ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਮਹੀਨੇ ਦੇ ਅੰਤ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੇ ਹਿੱਟਸ ਹੋਣਗੇ? ਇਸ ਸਵਾਲ ਦਾ ਜਵਾਬ ਦੇਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਇਹ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੋਵੇਗੀ ਕਿ ਇੱਕ ਖਾਸ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਲਿਖੇ ਅੰਕਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਕਿਵੇਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨੀ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਕਿਸਮ ਦੀਆਂ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਸੂਚੀਆਂ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰਾਂਗੇ।
ਇੱਕ ਸਪੱਸ਼ਟ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਇੱਕ ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਪਦ ਲਿਖਣਾ
ਅੰਕਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਸੂਚੀ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਕ੍ਰਮ (sequence) ਕਹਿਣਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਕ੍ਰਮ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਡੋਮੇਨ ਗਿਣਤੀ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਉਪ-ਸਮੂਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਵੈੱਬਸਾਈਟ 'ਤੇ ਹਿੱਟਸ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੁਆਰਾ ਸਥਾਪਿਤ ਕ੍ਰਮ ਹੈ
ਡੌਟਸ (...) ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ ਕਿ ਕ੍ਰਮ ਅਨੰਤ ਤੱਕ ਜਾਰੀ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ। ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਹਰ ਅੰਕ ਨੂੰ ਪਦ (term) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ 2, 4, 8, 16, ਅਤੇ 32 ਹਨ।
ਕਿਸੇ ਕ੍ਰਮ ਲਈ ਸਾਰੇ ਪਦ ਲਿਖਣਾ ਮੁਸ਼ਕਲ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮਹੀਨੇ ਦੇ ਅੰਤ ਵਿੱਚ ਵੈੱਬਸਾਈਟ 'ਤੇ ਹਿੱਟਸ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭਣ ਲਈ 31 ਪਦਾਂ ਤੱਕ ਲਿਖਣ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇਗੀ। ਕਿਸੇ ਖਾਸ ਪਦ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਵਧੇਰੇ ਕੁਸ਼ਲ ਤਰੀਕਾ ਕ੍ਰਮ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖਣਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਕਿਸਮ ਦਾ ਫਾਰਮੂਲਾ ਇੱਕ ਸਪੱਸ਼ਟ ਫਾਰਮੂਲਾ (explicit formula) ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਸਪੱਸ਼ਟ ਫਾਰਮੂਲੇ ਉਦੋਂ ਮਦਦਗਾਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਸਾਰੇ ਪਿਛਲੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭੇ ਬਿਨਾਂ ਕਿਸੇ ਕ੍ਰਮ ਦਾ ਕੋਈ ਖਾਸ ਪਦ ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਕ੍ਰਮ ਦੇ nਵੇਂ ਪਦ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਿੱਥੇ n ਕੋਈ ਵੀ ਧਨਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ। ਸਾਡੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਹਰ ਅੰਕ ਪਿਛਲੇ ਅੰਕ ਦਾ ਦੁੱਗਣਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ nਵੇਂ ਪਦ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖਣ ਲਈ 2 ਦੀਆਂ ਸ਼ਕਤੀਆਂ (powers) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਕ੍ਰਮ ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪਦ 2^1 = 2 ਹੈ, ਦੂਜਾ ਪਦ 2^2 = 4 ਹੈ, ਤੀਜਾ ਪਦ 2^3 = 8 ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅੱਗੇ। ਕ੍ਰਮ ਦਾ nਵਾਂ ਪਦ 2 ਨੂੰ nਵੀਂ ਸ਼ਕਤੀ ਤੱਕ ਵਧਾ ਕੇ ਲੱਭਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਕ੍ਰਮ ਲਈ ਇੱਕ ਸਪੱਸ਼ਟ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦਾ ਨਾਮ a, b, c... ਵਰਗੇ ਛੋਟੇ ਅੱਖਰ ਨਾਲ ਸਬਸਕ੍ਰਿਪਟ n ਦੇ ਨਾਲ ਰੱਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਕ੍ਰਮ ਲਈ ਸਪੱਸ਼ਟ ਫਾਰਮੂਲਾ ਹੈ
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਕ੍ਰਮ ਦੇ nਵੇਂ ਪਦ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਵਿੱਚ ਪੁੱਛੇ ਗਏ ਸਵਾਲ ਦਾ ਜਵਾਬ ਦੇ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਸਾਨੂੰ ਮਹੀਨੇ ਦੇ ਅੰਤ ਵਿੱਚ ਹਿੱਟਸ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕਿਹਾ ਗਿਆ ਸੀ, ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ 31 ਦਿਨ ਮੰਨਾਂਗੇ। ਮਹੀਨੇ ਦੇ ਆਖਰੀ ਦਿਨ ਹਿੱਟਸ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਕ੍ਰਮ ਦਾ 31ਵਾਂ ਪਦ ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ n ਲਈ 31 ਨੂੰ ਬਦਲਾਂਗੇ।
ਜੇਕਰ ਦੁੱਗਣੀ ਹੋਣ ਦੀ ਰੁਝਾਨ ਜਾਰੀ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੰਪਨੀ ਨੂੰ ਮਹੀਨੇ ਦੇ ਆਖਰੀ ਦਿਨ 2,147,483,648 ਹਿੱਟਸ ਮਿਲਣਗੇ। ਇਹ 2.1 ਅਰਬ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹਿੱਟਸ ਹਨ! ਇਹ ਵੱਡੀ ਗਿਣਤੀ ਸ਼ਾਇਦ ਥੋੜੀ ਅਵਾਸਤਵਿਕ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਖਪਤਕਾਰਾਂ ਦੀ ਦਿਲਚਸਪੀ ਅਤੇ ਮੁਕਾਬਲੇ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਰੱਖਦੀ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇਹ ਕੰਪਨੀ ਨੂੰ ਵਪਾਰਕ ਫੈਸਲਿਆਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਦਿੰਦੀ ਹੈ।
ਕ੍ਰਮ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਅਤੇ ਕ੍ਰਮ ਦਾ nਵਾਂ ਪਦ ਸਾਰਣੀ 2 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਹਨ।
ਸਾਰਣੀ: n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | n
ਸਾਰਣੀ: ਕ੍ਰਮ ਦਾ nਵਾਂ ਪਦ, a_n | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 2^n
ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕ੍ਰਮ ਨੂੰ ਵੱਖਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਵਜੋਂ ਇੱਕ ਦ੍ਰਿਸ਼ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 1 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਹਿੱਟਸ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਘਾਤਕ ਦਰ (exponential rate) ਨਾਲ ਵੱਧ ਰਹੀ ਹੈ। ਇਹ ਖਾਸ ਕ੍ਰਮ ਇੱਕ ਘਾਤਕ ਫੰਕਸ਼ਨ (exponential function) ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਖਾਸ ਕ੍ਰਮ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
ਇੱਕ ਕ੍ਰਮ ਜੋ ਅਨੰਤ ਤੱਕ ਜਾਰੀ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ, ਉਸਨੂੰ ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਕ੍ਰਮ (infinite sequence) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਕ੍ਰਮ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਗਿਣਤੀ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਸਿਰਫ ਪਹਿਲੇ 10 ਪਦਾਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
ਇਸ ਕ੍ਰਮ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸੀਮਤ ਕ੍ਰਮ (finite sequence) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਅਨੰਤ ਤੱਕ ਜਾਰੀ ਨਹੀਂ ਰਹਿੰਦਾ।
1. ਲੜੀ
1. ਇੱਕ ਲੜੀ (sequence) ਇੱਕ ਫਲਨ (function) ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ (domain) ਧਨ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ (positive integers) ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ। ਇੱਕ ਸੀਮਤ ਲੜੀ (finite sequence) ਇੱਕ ਲੜੀ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਕੇਵਲ ਪਹਿਲੇ n ਧਨ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ (first n positive integers) ਦਾ ਬਣਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਲੜੀ ਵਿੱਚਲੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਪਦ (terms) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅੰਕ ਸਬਸਕ੍ਰਿਪਟ (subscript) ਵਾਲਾ ਚੱਲ (variable) 'a' ਲੜੀ ਵਿੱਚਲੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਅਤੇ ਲੜੀ ਵਿੱਚ ਪਦ ਦੀ ਸਥਿਤੀ (position) ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
1. ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਨੂੰ 1 ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ, ਦੂਜੇ ਪਦ ਨੂੰ 2, ਤੀਜੇ ਪਦ ਨੂੰ 3, ਅਤੇ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅੱਗੇ। nਵੇਂ ਪਦ ਨੂੰ nਵਾਂ ਪਦ, ਜਾਂ ਲੜੀ ਦਾ ਆਮ ਪਦ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰ ਲੜੀ ਦੇ nਵੇਂ ਪਦ ਨੂੰ ਪਦ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਲੜੀ ਜੋ ਅਨੰਤ ਤੱਕ ਜਾਰੀ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ, ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਲੜੀ ਹੈ।
Q&A
ਕੀ ਕੋਈ ਲੜੀ ਹਮੇਸ਼ਾ 1 ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ? 1 ਤੋਂ?
1. ਨਹੀਂ। ਕੁਝ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ, 1.a^1 ਦੀ ਬਜਾਏ 0.a^0 ਨੂੰ ਇੱਕ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਪਦ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨਾ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ 0 ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ
1. ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰ ਤੋਂ, ਇੱਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ n ਪਦ ਲਿਖੋ।
1. ਹਰ n ਦੇ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ। ਪਹਿਲੇ ਪਦ, a 1 , ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ n=1 ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ।
ਦੂਜੀ ਸ਼ਰਤ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਇੱਕ 2, ਇੱਕ 2, n=2 ਵਰਤੋ। n=2।
1. ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਵਿਅਕਤੀ ਅਜਿਹਾ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਨਾਲ ਦੂਜਿਆਂ ਨੂੰ ਨੁਕਸਾਨ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਸਨੂੰ ਸਜ਼ਾ ਮਿਲਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਵਿਅਕਤੀ ਅਜਿਹਾ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਨਾਲ ਦੂਜਿਆਂ ਨੂੰ ਲਾਭ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਸਨੂੰ ਇਨਾਮ ਮਿਲਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
1. ਮਿਸਾਲ 1
1. ਸਪਸ਼ਟ ਸੂਤਰ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਲੜੀ ਦੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਲਿਖਣਾ
1. ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ, ਜੋ ਕਿ ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰ a n =−3n+8 ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹਨ: a n =−3n+8।
1. ਨਿਬੇੜਾ
1. ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ n=1, n=1 ਨੂੰ ਬਦਲੋ। n ਲਈ 2 ਤੋਂ 5 ਤੱਕ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨਾਲ ਦੁਹਰਾਓ।
ਪੰਜ ਪਦਾਰਥ ਹਨ {5,2,−1,−4,−7}। {5,2,−1,−4,−7}।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
1. ਲੜੀਵਾਰ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਵਿੱਚ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਸਾਰਣੀ 3, ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਉਪਯੋਗਤਾ ਵਿੱਚ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇਨਪੁੱਟ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਤਰੀਕਾ ਹੈ।
1. ਕਤਾਰ: ਨ ਨ | ੧ | ੨ | ੩ | ੪ | ੫
1. ਪੰਕਤੀ: ਅਨਾਨ | 5 | 2 | –1 | –4 | –7
ਇਸ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਸਾਰਣੀ ਤੋਂ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 2 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ ਲੜੀ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫਲਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ, ਪਰ ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨਿਰੰਤਰ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਡੋਮੇਨ ਸਿਰਫ਼ ਧਨਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਉੱਤੇ ਹੈ।
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #1
1. ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਲੜੀ ਦੇ, ਜੋ ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰ $t_n = 5n - 4$ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ, ਇਸ ਪ੍ਰਕਾਰ ਹਨ: $t_1 = 5(1) - 4 = 1$ $t_2 = 5(2) - 4 = 6$ $t_3 = 5(3) - 4 = 11$ $t_4 = 5(4) - 4 = 16$ $t_5 = 5(5) - 4 = 21$
ਬਦਲਵੀਆਂ ਲੜੀਆਂ ਦੀ ਪੜਤਾਲ
ਕਈ ਵਾਰ ਕ੍ਰਮਾਂ ਵਿੱਚ ਅਜਿਹੇ ਪਦ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਬਦਲਵੇਂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਦਰਅਸਲ, ਪਦ ਚਿੰਨ੍ਹ ਵਿੱਚ ਵੀ ਬਦਲਵੇਂ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਪਦ ਲੱਭਣ ਦੇ ਕਦਮ ਉਹੀ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੰਨ੍ਹ ਬਦਲਵੇਂ ਨਾ ਹੁੰਦੇ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਪਦ n ਦੇ ਵਧਣ ਨਾਲ ਵਾਧਾ ਜਾਂ ਘਾਟਾ ਨਹੀਂ ਦਿਖਾਉਣਗੇ। ਆਓ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਕ੍ਰਮ ਨੂੰ ਵੇਖੀਏ।
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਦੂਜੇ ਪਦ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੈ, ਦੂਜਾ ਪਦ ਤੀਜੇ ਪਦ ਤੋਂ ਛੋਟਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਤੀਜਾ ਪਦ ਚੌਥੇ ਪਦ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੈ। ਇਹ ਰੁਝਾਨ ਹਮੇਸ਼ਾ ਜਾਰੀ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ। ਕ੍ਰਮ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰਨ ਲਈ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਨਾ ਬਦਲੋ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਬਦਲਵੇਂ ਪਦਾਂ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਸਪੱਸ਼ਟ ਫਾਰਮੂਲਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇੱਕ ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਪਹਿਲੇ n ਪਦ ਲਿਖੋ।
n ਦੇ ਹਰੇਕ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ। ਪਹਿਲਾ ਪਦ, a1 ਲੱਭਣ ਲਈ n=1 ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ। ਪਦ ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ (−1)n ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਦੂਜਾ ਪਦ, a2, ਲੱਭਣ ਲਈ n=2 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਤੁਸੀਂ ਸਾਰੇ n ਪਦਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਨਹੀਂ ਕਰ ਲੈਂਦੇ, ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਜਾਰੀ ਰੱਖੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 2
ਸਪੱਸ਼ਟ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਬਦਲਵੇਂ ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਪਦ ਲਿਖਣਾ
ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਲਿਖੋ।
ਹੱਲ
ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ n=1, n=2, ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅੱਗੇ ਬਦਲੋ।
ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ {−1/2, 4/3, −9/4, 16/5, −25/6} ਹਨ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ, ਜੋ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 3 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਪਹਿਲਾਂ ਦੇਖੇ ਗਏ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਤੋਂ ਵੱਖਰਾ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਪਦ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਅਤੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਬਦਲਦੇ ਰਹਿੰਦੇ ਹਨ।
Q&A
ਉਦਾਹਰਨ 2 ਵਿੱਚ, ਕੀ n ਦੀ ਸ਼ਕਤੀ (−1) ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਉਤਰਾਅ-ਚੜ੍ਹਾਅ ਲਈ ਜਿੰਮੇਵਾਰ ਹੈ?
ਹਾਂ, ਸ਼ਕਤੀ n, n+1, n−1, ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਪਰ ਕੋਈ ਵੀ ਵਿਸ਼ਮ ਸ਼ਕਤੀ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਪਦ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਦੇਵੇਗੀ, ਅਤੇ ਕੋਈ ਵੀ ਸਮ ਸ਼ਕਤੀ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਪਦ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਦੇਵੇਗੀ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਲਿਖੋ।
ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਸਪੱਸ਼ਟ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨਾ
ਅਸੀਂ ਸਿੱਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਕ੍ਰਮ ਅਜਿਹੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਉੱਤੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਹੋਰ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਵੀ ਸੱਚ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਕੁਝ ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵੀ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜੋ ਕਈ ਉਪ-ਭਾਗਾਂ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਵੱਖਰਾ ਫਾਰਮੂਲਾ ਹਰੇਕ ਵਿਅਕਤੀਗਤ ਉਪ-ਭਾਗ ਨੂੰ ਦਰਸਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸਪੱਸ਼ਟ ਫਾਰਮੂਲਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇੱਕ ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਪਹਿਲੇ n ਪਦ ਲਿਖੋ।
ਉਸ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਜਿਸ 'ਤੇ n=1 ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਇੱਕ 1, ਇੱਕ 1, ਉਚਿਤ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ n=1, n=1 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਉਸ ਸੂਤਰ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਜਿਸ 'ਤੇ n=2, n=2 ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਦੂਜੇ ਪਦ, ਇੱਕ 2, ਇੱਕ 2, ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਉਚਿਤ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ n=2, n=2 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਜਾਰੀ ਰੱਖੋ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਤੁਸੀਂ ਸਾਰੇ n, n ਪਦਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਨਹੀਂ ਕਰ ਲੈਂਦੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਪਦ ਲਿਖਣਾ
ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਛੇ ਪਦ ਲਿਖੋ।
ਹੱਲ
ਉਚਿਤ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ n=1, n=2, n=1, n=2, ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅੱਗੇ ਬਦਲੋ। n^2, n^2 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਜਦੋਂ n, n, 3 ਦਾ ਗੁਣਜ ਨਾ ਹੋਵੇ। n^3, n^3 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਜਦੋਂ n, n, 3 ਦਾ ਗੁਣਜ ਹੋਵੇ।
ਪਹਿਲੇ ਛੇ ਪਦ {1,4,1,16,25,2} ਹਨ। {1,4,1,16,25,2}।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਚਿੱਤਰ 4 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਹਰ ਤੀਜਾ ਬਿੰਦੂ ਨੇੜਲੇ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਤੋਂ ਵੱਖਰਾ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਅਜਿਹਾ ਇਸ ਲਈ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਕ੍ਰਮ ਨੂੰ ਇੱਕ ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਛੇ ਪਦ ਲਿਖੋ।
ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰ ਲੱਭਣਾ
ਹੁਣ ਤੱਕ, ਸਾਨੂੰ ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਅਤੇ ਕ੍ਰਮ ਦੀ ਕੁਝ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਪਦ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕਿਹਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਕਈ ਵਾਰ, ਕ੍ਰਮ ਦੇ nਵੇਂ, nਵੇਂ ਪਦ ਲਈ ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰ ਨਹੀਂ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਦੀ ਬਜਾਏ, ਸਾਨੂੰ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚੋਂ ਕਈ ਪਦ ਦਿੱਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਜਦੋਂ ਅਜਿਹਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਕੁਝ ਪਦਾਂ ਤੋਂ ਇੱਕ ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਉਲਟਾ ਕੰਮ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇੱਕ ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰ ਲੱਭਣ ਦੀ ਕੁੰਜੀ ਪਦਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪੈਟਰਨ ਲੱਭਣਾ ਹੈ। ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖੋ ਕਿ ਪੈਟਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲਵੇਂ ਪਦ, ਅੰਸ਼ਾਂ ਲਈ ਸੂਤਰ, ਹਰਾਂ ਲਈ ਸੂਤਰ, ਘਾਤ, ਜਾਂ ਆਧਾਰ ਸ਼ਾਮਲ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ।
ਕਿਵੇਂ
ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਕੁਝ ਪਦ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ, ਕ੍ਰਮ ਲਈ ਇੱਕ ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰ ਲੱਭੋ।
ਪਦਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪੈਟਰਨ ਲੱਭੋ।
ਜੇਕਰ ਪਦ ਭਿੰਨ ਹਨ, ਤਾਂ ਅੰਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਹਰਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵੱਖਰਾ ਪੈਟਰਨ ਲੱਭੋ।
ਪਦਾਂ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪੈਟਰਨ ਲੱਭੋ।
n, n ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ a_n, a_n ਲਈ ਇੱਕ ਸੂਤਰ ਲਿਖੋ। ਆਪਣੇ ਸੂਤਰ ਨੂੰ n=1, n=2, n=1, n=2, ਅਤੇ n=3, n=3 ਲਈ ਪਰਖੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਕ੍ਰਮ ਦੇ nਵੇਂ ਪਦ ਲਈ ਇੱਕ ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰ ਲਿਖਣਾ
ਹਰੇਕ ਲੜੀ ਦੇ nਵੇਂ nਵੇਂ ਪਦ ਲਈ ਇੱਕ ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰ ਲਿਖੋ।
ⓐ { − 2 11 , 3 13 ,− 4 15 , 5 17 ,− 6 19 ,… }
ⓑ {− 2 25 ,− 2 125 ,− 2 625 ,− 2 3,125 ,− 2 15,625 ,…}
ⓒ { e 4 , e 5 , e 6 , e 7 , e 8 ,…}
ਹੱਲ
ਹਰੇਕ ਲੜੀ ਵਿੱਚ ਪੈਟਰਨ ਲੱਭੋ।
ⓐਪਦ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਅਤੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਵਿਚਕਾਰ ਬਦਲਦੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਲਈ (−1) n (−1) n ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅੰਸ਼ ਨੂੰ n+1. n+1 ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਹਰ ਨੂੰ 2n+9. 2n+9 ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। a n = (−1) n (n+1) 2n+9 a n = (−1) n (n+1) 2n+9
ⓑਪਦ ਸਾਰੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਅੰਸ਼ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਅੰਸ਼ 2 ਹੈ, ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ 5 n+1 . 5 n+1 ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। a n =− 2 5 n+1 a n =− 2 5 n+1
ⓒਪਦ e. e ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਹਨ। n=1, n=1 ਲਈ, ਪਹਿਲਾ ਪਦ e 4 e 4 ਹੈ ਇਸ ਲਈ ਘਾਤ n+3. n+3 ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ। a n = e n+3 a n = e n+3
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
ਲੜੀ ਦੇ nਵੇਂ nਵੇਂ ਪਦ ਲਈ ਇੱਕ ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰ ਲਿਖੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5
ਲੜੀ ਦੇ nਵੇਂ nਵੇਂ ਪਦ ਲਈ ਇੱਕ ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰ ਲਿਖੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #6
ਲੜੀ ਦੇ nਵੇਂ nਵੇਂ ਪਦ ਲਈ ਇੱਕ ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰ ਲਿਖੋ।
ਇੱਕ ਰਿਕਾਰਸਿਵ ਫਾਰਮੂਲਾ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਇੱਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਲਿਖਣਾ
ਲੜੀਆਂ ਨੈਟਲਸ ਸ਼ੈੱਲਾਂ, ਪਾਈਨਕੋਨਸ, ਦਰਖਤ ਦੀਆਂ ਟਾਹਣੀਆਂ ਅਤੇ ਹੋਰ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਕੁਦਰਤੀ ਢਾਂਚਿਆਂ ਦੇ ਵਿਕਾਸ ਦੇ ਪੈਟਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਕੁਦਰਤੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵਾਪਰਦੀਆਂ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਪੱਤੇ ਜਾਂ ਟਾਹਣੀ ਦੀ ਵਿਵਸਥਾ, ਫੁੱਲ ਦੀਆਂ ਪੰਖੜੀਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ, ਜਾਂ ਨੈਟਲਸ ਸ਼ੈੱਲ ਵਿੱਚ ਚੈਂਬਰਾਂ ਦੇ ਪੈਟਰਨ ਵਿੱਚ ਲੜੀ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਹਨਾਂ ਦਾ ਵਿਕਾਸ ਫਿਬੋਨਾਚੀ ਲੜੀ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਇੱਕ ਮਸ਼ਹੂਰ ਲੜੀ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਪਦ ਨੂੰ ਪਿਛਲੇ ਦੋ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਲੱਭਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਲੜੀ ਵਿੱਚ ਸੰਖਿਆਵਾਂ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,... ਹਨ। ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਸਾਰ ਤੋਂ ਹੋਰ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਜੋ ਫਿਬੋਨਾਚੀ ਲੜੀ ਨੂੰ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ, ਉਹ ਕਾਲਾ ਲਿਲੀ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਪੰਖੜੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, 13 ਪੰਖੜੀਆਂ ਵਾਲਾ ਬਲੈਕ-ਆਈਡ ਸੁਜ਼ਨ, ਅਤੇ ਡੇਜ਼ੀ ਦੀਆਂ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਕਿਸਮਾਂ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ 21 ਜਾਂ 34 ਪੰਖੜੀਆਂ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ।
ਫਿਬੋਨਾਚੀ ਲੜੀ ਦੇ ਹਰੇਕ ਪਦ ਪਿਛਲੇ ਪਦਾਂ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਫਿਬੋਨਾਚੀ ਲੜੀ ਨੂੰ ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਨਹੀਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਦੀ ਬਜਾਏ, ਅਸੀਂ ਲੜੀ ਦਾ ਵਰਣਨ ਰਿਕਾਰਸਿਵ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਇੱਕ ਸੂਤਰ ਜੋ ਪਿਛਲੇ ਪਦਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲੜੀ ਦੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਰਿਕਾਰਸਿਵ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ ਹਮੇਸ਼ਾ ਦੋ ਭਾਗ ਹੁੰਦੇ ਹਨ: ਇੱਕ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਪਦ (ਜਾਂ ਪਦਾਂ) ਦਾ ਮੁੱਲ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਜੋ ਪਿਛਲੇ ਪਦਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ a n a n ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਨੂੰ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ:
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲੜੀ ਦੇ ਅਗਲੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸ ਲਈ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਚਾਰ ਪਦ { 3,5,9,17 } { 3,5,9,17 } ਹਨ।
ਫਿਬੋਨਾਚੀ ਲੜੀ ਲਈ ਰਿਕਾਰਸਿਵ ਸੂਤਰ ਪਹਿਲੇ ਦੋ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਅਗਲੇ ਪਦ ਨੂੰ ਪਿਛਲੇ ਦੋ ਪਦਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਲੜੀ ਦਾ ਦਸਵਾਂ ਪਦ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਅੱਠਵੇਂ ਅਤੇ ਨੌਵੇਂ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੋਵੇਗੀ। ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਦੱਸਿਆ ਗਿਆ ਸੀ ਕਿ ਅੱਠਵਾਂ ਅਤੇ ਨੌਵਾਂ ਪਦ 21 ਅਤੇ 34 ਹਨ, ਇਸ ਲਈ
ਰਿਕਾਰਸਿਵ ਸੂਤਰ
ਇੱਕ ਆਵਰਤੀ ਸੂਤਰ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਸੂਤਰ ਹੈ ਜੋ ਕਿਸੇ ਲੜੀ ਦੇ ਹਰੇਕ ਪਦ ਨੂੰ ਪਿਛਲੇ ਪਦ(ਾਂ) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਆਵਰਤੀ ਸੂਤਰਾਂ ਨੂੰ ਹਮੇਸ਼ਾ ਲੜੀ ਦੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਪਦ, ਜਾਂ ਪਦਾਂ, ਨੂੰ ਦੱਸਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
Q&A
ਕੀ ਇੱਕ ਆਵਰਤੀ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ ਹਮੇਸ਼ਾ ਪਹਿਲੇ ਦੋ ਪਦ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ?
ਨਹੀਂ। ਫਿਬੋਨਾਚੀ ਲੜੀ ਹਰੇਕ ਪਦ ਨੂੰ ਪਿਛਲੇ ਦੋ ਪਦਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਪਰ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਆਵਰਤੀ ਸੂਤਰ ਹਰੇਕ ਪਦ ਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਪਿਛਲੇ ਪਦ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਲੜੀਆਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸਿਰਫ਼ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਦੇ ਨਾਲ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਇੱਕ ਆਵਰਤੀ ਸੂਤਰ ਨਾਲ, ਇੱਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ n ਪਦ ਲਿਖੋ।
ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਪਦ, $a_1$, ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ, ਜੋ ਸੂਤਰ ਦਾ ਹਿੱਸਾ ਹੈ। ਇਹ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਹੈ।
ਦੂਜਾ ਪਦ, $a_2$, ਲੱਭਣ ਲਈ, ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਪਦ ਨੂੰ $a_{n-1}$ ਲਈ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ। ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਤੀਜਾ ਪਦ, $a_3$, ਲੱਭਣ ਲਈ, ਦੂਜੇ ਪਦ ਨੂੰ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ। ਹੱਲ ਕਰੋ।
$n$ਵੇਂ ਪਦ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਤੱਕ ਦੁਹਰਾਓ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਆਵਰਤੀ ਸੂਤਰ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਲੜੀ ਦੇ ਪਦ ਲਿਖਣਾ
ਆਵਰਤੀ ਸੂਤਰ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਲਿਖੋ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਅਗਲੇ ਪਦ ਲਈ, ਅਸੀਂ $a_{n-1}$ ਨੂੰ ਪਿਛਲੇ ਪਦ ਦੇ ਮੁੱਲ ਨਾਲ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ।
ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ $\{ 9,7,1,–17,–71 \}$ ਹਨ। $\{ 9,7,1,–17,–71 \}$। ਚਿੱਤਰ 5 ਦੇਖੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #7
ਆਵਰਤੀ ਸੂਤਰ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਲਿਖੋ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦੋ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਪਦਾਂ ਵਾਲੇ ਆਵਰਤੀ ਸੂਤਰ ਨਾਲ, ਇੱਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ $n$ ਪਦ ਲਿਖੋ।
ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਪਦ, $a_1$, ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ, ਜੋ ਸੂਤਰ ਦਾ ਹਿੱਸਾ ਹੈ।
ਦੂਜਾ ਪਦ, $a_2$, ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ, ਜੋ ਸੂਤਰ ਦਾ ਹਿੱਸਾ ਹੈ।
ਤੀਜਾ ਪਦ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਪਦ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਪਦ ਨੂੰ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ। ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
$n$ਵੇਂ ਪਦ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਤੱਕ ਦੁਹਰਾਓ।
ਉਦਾਹਰਨ 6
Writing the Terms of a Sequence Defined by a Recursive Formula
Write the first six terms of the sequence defined by the recursive formula.
Solution
The first two terms are given. For each subsequent term, we replace a n−1 a n−1 and a n−2 a n−2 with the values of the two preceding terms.
The first six terms are {1,2,10,38,154,614}. {1,2,10,38,154,614}. See Figure 6.
Try It #8
Write the first 8 terms of the sequence defined by the recursive formula.
Using Factorial Notation
The formulas for some sequences include products of consecutive positive integers. n n factorial, written as n!, n!, is the product of the positive integers from 1 to n. n. For example,
An example of formula containing a factorial is a n =(n+1)!. a n =(n+1)!. The sixth term of the sequence can be found by substituting 6 for n. n.
The factorial of any whole number n n is n(n−1)! n(n−1)! We can therefore also think of 5! 5! as 5⋅4!. 5⋅4!.
n Factorial
n factorial is a mathematical operation that can be defined using a recursive formula. The factorial of n, n, denoted n!, n!, is defined for a positive integer n n as:
The special case 0! 0! is defined as 0!=1. 0!=1.
Q&A
Can factorials always be found using a calculator?
No. Factorials get large very quickly—faster than even exponential functions! When the output gets too large for the calculator, it will not be able to calculate the factorial.
Example 7
Writing the Terms of a Sequence Using Factorials
Write the first five terms of the sequence defined by the explicit formula a n = 5n (n+2)! . a n = 5n (n+2)! .
Solution
Substitute n=1,n=2, n=1,n=2, and so on in the formula.
The first five terms are { 5 6 , 5 12 , 1 8 , 1 36 , 5 1,008 }. { 5 6 , 5 12 , 1 8 , 1 36 , 5 1,008 }.
Analysis
Figure 7 shows the graph of the sequence. Notice that, since factorials grow very quickly, the presence of the factorial term in the denominator results in the denominator becoming much larger than the numerator as n n increases. This means the quotient gets smaller and, as the plot of the terms shows, the terms are decreasing and nearing zero.
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #9
2. ਕ੍ਰਮ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਨੂੰ ਸਪੱਸ਼ਟ ਫਾਰਮੂਲੇ a n = (n+1)! 2n ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਪੰਜ ਸ਼ਬਦ ਲਿਖੋ।
3. ਮੀਡੀਆ
4. ਇਸ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ ਤਾਂ ਜੋ ਕ੍ਰਮਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਹਦਾਇਤਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ।
5. ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਸ਼ਬਦ ਲੱਭਣਾ
6. ਸ਼ਬਦਕ
7. ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਅਰਥ ਦੀ ਚਰਚਾ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਸੀਮਤ ਕ੍ਰਮ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਦਾ ਡੋਮੇਨ ਕੀ ਹੈ? ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਕ੍ਰਮ ਬਾਰੇ ਕੀ?
8. ਤਿੰਨ ਤਰੀਕੇ ਦੱਸੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੁਆਰਾ ਇੱਕ ਕ੍ਰਮ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
9. ਕੀ ਸਮ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਸਮੂਹ ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਕ੍ਰਮ ਹੈ? ਕੀ ਅਨੋਖੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਸਮੂਹ ਬਾਰੇ ਕੀ? ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਇਹ ਕਿਉਂ ਹੈ ਜਾਂ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ।
10. ਜਦੋਂ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਗੁਣਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਇੱਕ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ n ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਸ਼ਬਦ a n ਦਾ ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ? ਇਸ ਵਰਤਾਰੇ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿਹੜਾ ਸ਼ਬਦ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ?
11. ਫੈਕਟੋਰੀਅਲ ਕੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ? ਇਹ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਕਿ ਫੈਕਟੋਰੀਅਲ ਸੰਕੇਤ ਕਿਵੇਂ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।
12. ਅਲਜਬ੍ਰਿਕ
13. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਚਾਰ ਸ਼ਬਦ ਲਿਖੋ।
14. a n = 2 n −2
15. a n =− 16 n+1
16. a n =− ( −5 ) n−1
17. a n = 2 n n 3
18. a n = 2n+1 n 3
19. a n =1.25⋅ ( −4 ) n−1
20. a n =−4⋅ ( −6 ) n−1
21. a n = n 2 2n+1
22. a n = ( −10 ) n +1
23. a n =−( 4⋅ (−5) n−1 5 )
24. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਟੁਕੜੇ-ਟੁਕੜੇ ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਅੱਠ ਸ਼ਬਦ ਲਿਖੋ।
a n ={ (−2) n −2 if nis even (3) n−1 if nis odd a n ={ (−2) n −2 if nis even (3) n−1 if nis odd
a n ={ n 2 2n+1 if n≤5 n 2 −5 if n>5 a n ={ n 2 2n+1 if n≤5 n 2 −5 if n>5
a n ={ (2n+1) 2 if nis divisible by 4 2 n if nis not divisible by 4 a n ={ (2n+1) 2 if nis divisible by 4 2 n if nis not divisible by 4
a n ={ −0.6⋅ 5 n−1 if nis prime or 1 2.5⋅ (−2) n−1 if nis composite a n ={ −0.6⋅ 5 n−1 if nis prime or 1 2.5⋅ (−2) n−1 if nis composite
a n ={ 4( n 2 −2) if n≤3or n> 6 n 2 −2 4 if 3<n≤6 a n ={ 4( n 2 −2) if n≤3or n> 6 n 2 −2 4 if 3<n≤6
For the following exercises, write an explicit formula for each sequence.
4, 7, 12, 19, 28,… 4, 7, 12, 19, 28,…
−4,2,−10,14,−34,… −4,2,−10,14,−34,…
1,1, 4 3 ,2, 16 5 ,… 1,1, 4 3 ,2, 16 5 ,…
0, 1− e 1 1+ e 2 , 1− e 2 1+ e 3 , 1− e 3 1+ e 4 , 1− e 4 1+ e 5 ,… 0, 1− e 1 1+ e 2 , 1− e 2 1+ e 3 , 1− e 3 1+ e 4 , 1− e 4 1+ e 5 ,…
1,− 1 2 , 1 4 ,− 1 8 , 1 16 ,… 1,− 1 2 , 1 4 ,− 1 8 , 1 16 ,…
For the following exercises, write the first five terms of the sequence.
a 1 =9, a n = a n−1 +n a 1 =9, a n = a n−1 +n
a 1 =3, a n =( −3 ) a n−1 a 1 =3, a n =( −3 ) a n−1
a 1 =−4, a n = a n−1 +2n a n−1 −1 a 1 =−4, a n = a n−1 +2n a n−1 −1
a 1 =−1, a n = ( −3 ) n−1 a n−1 −2 a 1 =−1, a n = ( −3 ) n−1 a n−1 −2
a 1 =−30, a n =( 2+ a n−1 ) ( 1 2 ) n a 1 =−30, a n =( 2+ a n−1 ) ( 1 2 ) n
For the following exercises, write the first eight terms of the sequence.
a 1 = 1 24 , a 2 =1, a n =( 2 a n−2 )( 3 a n−1 ) a 1 = 1 24 , a 2 =1, a n =( 2 a n−2 )( 3 a n−1 )
a 1 =−1, a 2 =5, a n = a n−2 ( 3− a n−1 ) a 1 =−1, a 2 =5, a n = a n−2 ( 3− a n−1 )
a 1 =2, a 2 =10, a n = 2( a n−1 +2 ) a n−2 a 1 =2, a 2 =10, a n = 2( a n−1 +2 ) a n−2
For the following exercises, write a recursive formula for each sequence.
−2.5,−5,−10,−20,−40,… −2.5,−5,−10,−20,−40,…
−8,−6,−3,1,6,… −8,−6,−3,1,6,…
2,4,12,48,240,… 2,4,12,48,240,…
35,38,41,44,47,… 35,38,41,44,47,…
15,3, 3 5 , 3 25 , 3 125 ,⋯ 15,3, 3 5 , 3 25 , 3 125 ,⋯
For the following exercises, evaluate the factorial.
6! 6!
( 12 6 )! ( 12 6 )!
12! 6! 12! 6!
100! 99! 100! 99!
For the following exercises, write the first four terms of the sequence.
a n = n! n 2 a n = n! n 2
a n = 3⋅n! 4⋅n! a n = 3⋅n! 4⋅n!
a n = n! n 2 −n−1 a n = n! n 2 −n−1
a n = 100⋅n n(n−1)! a n = 100⋅n n(n−1)!
Graphical
For the following exercises, graph the first five terms of the indicated sequence
a n = ( −1 ) n n +n a n = ( −1 ) n n +n
a n ={ 4+n 2n if nis even 3+n if nis odd a n ={ 4+n 2n if nis even 3+n if nis odd
a 1 =2, a n = ( − a n−1 +1 ) 2 a 1 =2, a n = ( − a n−1 +1 ) 2
a 1 =1, a n = a n−1 +8 a 1 =1, a n = a n−1 +8
a n = ( n+1 )! ( n−1 )! a n = ( n+1 )! ( n−1 )!
For the following exercises, write an explicit formula for the sequence using the first five points shown on the graph.
For the following exercises, write a recursive formula for the sequence using the first five points shown on the graph.
Technology
Follow these steps to evaluate a sequence defined recursively using a graphing calculator:
1. ਘਰ ਸਕ੍ਰੀਨ ਉੱਤੇ, ਪਹਿਲੇ ਪਦ 'a 1 a 1' ਦਾ ਮੁੱਲ ਦਰਜ ਕਰੋ ਅਤੇ [ENTER] ਦਬਾਓ।
2. ਪਿਛਲੇ ਪਦ 'a n−1' ਲਈ [2ND] ANS ਕੀ-ਸਟ੍ਰੋਕਸ ਦੇ ਨਾਲ, ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਾਰੇ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਦਰਜ ਕਰਕੇ ਰਿਅਕਰਸਿਵ ਫਾਰਮੂਲਾ ਦਾਖਲ ਕਰੋ। [ENTER] ਦਬਾਓ।
3. ਹਰੇਕ ਅਗਲੇ ਪਦ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ [ENTER] ਦਬਾਉਂਦੇ ਰਹੋ।
4. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਲੜੀ ਲਈ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਪਦ ਜਾਂ ਪਦ ਲੱਭਣ ਲਈ ਉਪਰੋਕਤ ਕਦਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
5. ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਲੱਭੋ a 1 = 87 111, a n = 4 3 a n−1 + 12 37 । ਭਿੰਨਾਂ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਦੇਣ ਲਈ >Frac ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
6. ਲੜੀ ਦਾ 15ਵਾਂ ਪਦ ਲੱਭੋ a 1 =625, a n =0.8 a n−1 +18।
7. ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਲੱਭੋ a 1 =2, a n = 2 [( a n −1)−1] +1।
8. ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਦਸ ਪਦ ਲੱਭੋ a 1 =8, a n = ( a n−1 +1 )! a n−1 ! ।
9. ਲੜੀ ਦਾ ਦਸਵਾਂ ਪਦ ਲੱਭੋ a 1 =2, a n =n a n−1
10. ਇੱਕ ਸਪੱਸ਼ਟ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਇੱਕ ਸੀਮਤ ਲੜੀ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਕਦਮਾਂ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰੋ। TI-84 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਕੰਮ ਕਰੋ।
11. ਘਰ ਸਕ੍ਰੀਨ ਉੱਤੇ, [2ND] LIST ਦਬਾਓ।
12. OPS ਵੱਲ ਸਕ੍ਰੋਲ ਕਰੋ ਅਤੇ ਡ੍ਰੌਪਡਾਊਨ ਸੂਚੀ ਵਿੱਚੋਂ "seq(" ਚੁਣੋ। [ENTER] ਦਬਾਓ।
13. "Expr:" ਸਿਰਲੇਖ ਵਾਲੀ ਲਾਈਨ ਵਿੱਚ, n ਲਈ [X,T,θ,n] ਬਟਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਸਪੱਸ਼ਟ ਫਾਰਮੂਲਾ ਟਾਈਪ ਕਰੋ।
14. "Variable:" ਸਿਰਲੇਖ ਵਾਲੀ ਲਾਈਨ ਵਿੱਚ, ਪਿਛਲੇ ਕਦਮ ਵਿੱਚ ਵਰਤੇ ਗਏ ਵੇਰੀਏਬਲ ਨੂੰ ਟਾਈਪ ਕਰੋ।
15. "start:" ਸਿਰਲੇਖ ਵਾਲੀ ਲਾਈਨ ਵਿੱਚ, ਲੜੀ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਵਾਲੇ n ਦਾ ਮੁੱਲ ਦਰਜ ਕਰੋ।
16. "end:" ਸਿਰਲੇਖ ਵਾਲੀ ਲਾਈਨ ਵਿੱਚ, ਲੜੀ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨ ਵਾਲੇ n ਦਾ ਮੁੱਲ ਦਰਜ ਕਰੋ।
17. ਘਰ ਸਕ੍ਰੀਨ ਉੱਤੇ ਵਾਪਸ ਆਉਣ ਲਈ [ENTER] 3 ਵਾਰ ਦਬਾਓ। ਤੁਹਾਨੂੰ ਸਕ੍ਰੀਨ ਉੱਤੇ ਲੜੀ ਸਿੰਟੈਕਸ ਦਿਖਾਈ ਦੇਵੇਗਾ। ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਸੀਮਤ ਲੜੀ ਦੇ ਪਦਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਦੇਖਣ ਲਈ [ENTER] ਦਬਾਓ। ਪਦਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਵਿੱਚ ਸਕ੍ਰੋਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸੱਜੇ ਤੀਰ ਕੁੰਜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
18. TI-83 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਕੰਮ ਕਰੋ।
19. ਘਰ ਸਕ੍ਰੀਨ ਉੱਤੇ, [2ND] LIST ਦਬਾਓ।
20. OPS ਵੱਲ ਸਕ੍ਰੋਲ ਕਰੋ ਅਤੇ ਡ੍ਰੌਪਡਾਊਨ ਸੂਚੀ ਵਿੱਚੋਂ “seq(” ਚੁਣੋ। [ENTER] ਦਬਾਓ।
21. ਆਈਟਮਾਂ ਨੂੰ "Expr", "Variable", "start", "end" ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ, ਕਾਮਿਆਂ ਨਾਲ ਵੱਖ ਕਰਕੇ ਦਰਜ ਕਰੋ। ਹਰੇਕ ਆਈਟਮ ਦੇ ਵਰਣਨ ਲਈ ਉਪਰੋਕਤ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖੋ।
22. ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਸੀਮਤ ਲੜੀ ਦੇ ਪਦਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਦੇਖਣ ਲਈ [ENTER] ਦਬਾਓ। ਪਦਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਵਿੱਚ ਸਕ੍ਰੋਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸੱਜੇ ਤੀਰ ਕੁੰਜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
23. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਲੜੀ ਲਈ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਪਦ ਲੱਭਣ ਲਈ ਉਪਰੋਕਤ ਕਦਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਜਦੋਂ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਹਜ਼ਾਰਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
24. ਲੜੀ a n =− 28 9 n+ 5 3 ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕਰੋ।
1. a n = n 3 −3.5 n 2 + 4.1n−1.5 2.4n ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਕ੍ਰਮ a n ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਛੇ ਅੰਕਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਬਣਾਓ।
2. a n = 15n⋅ ( −2 ) n−1 47 ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਕ੍ਰਮ a n ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਅੰਕਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਬਣਾਓ।
3. a n = 5.7 n +0.275( n−1 )! ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਕ੍ਰਮ a n ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਚਾਰ ਅੰਕਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਬਣਾਓ।
4. a n = n! n . ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਕ੍ਰਮ a n ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਛੇ ਅੰਕਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਬਣਾਓ।
5. ਵਿਸਤਾਰ
6. a n =−6−8n ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕ੍ਰਮ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਕੀ a n =−421 ਕ੍ਰਮ ਦਾ ਇੱਕ ਅੰਕ ਹੈ? ਨਤੀਜੇ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੋ।
7. a n = n 2 +4n+4 2( n+2 ) ਕ੍ਰਮ ਦਾ ਕਿਹੜਾ ਅੰਕ 41 ਮੁੱਲ ਰੱਖਦਾ ਹੈ? ਨਤੀਜੇ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੋ।
8. 1, 0, −1, −1, 0, 1, 1, 0, −1, −1, 0, 1, 1, .... ਕ੍ਰਮ ਲਈ ਇੱਕ ਰਿਕਾਰਸਿਵ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲੱਭੋ। (ਸੰਕੇਤ: ਪਹਿਲੇ ਦੋ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ a n ਦਾ ਪੈਟਰਨ ਲੱਭੋ।)
9. ਕ੍ਰਮ a n = ( n+2 )! ( n−1 )! ਅਤੇ b n = n 3 +3 n 2 +2n ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਅੱਠ ਅੰਕਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਕ੍ਰਮਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਬਾਰੇ ਇੱਕ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ।
10. ਪਿਛਲੇ ਅਭਿਆਸ ਵਿੱਚ ਕੀਤੇ ਗਏ ਅਨੁਮਾਨ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰੋ।