ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀ ਲਈ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਲੱਭੋ।
ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਦ ਲਿਖੋ।
ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀ ਲਈ ਇੱਕ ਗਣਨਾਤਮਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਰਤੋ।
ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀ ਲਈ ਇੱਕ ਸਪੱਸ਼ਟ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਰਤੋ।
ਕੰਪਨੀਆਂ ਅਕਸਰ ਵਪਾਰਕ ਵਰਤੋਂ ਲਈ ਵੱਡੀਆਂ ਖਰੀਦਾਂ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਕੰਪਿਊਟਰ ਅਤੇ ਵਾਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਸਪਲਾਈਆਂ ਦਾ ਕਿਤਾਬੀ ਮੁੱਲ ਟੈਕਸ ਦੇ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਲਈ ਹਰ ਸਾਲ ਘਟਦਾ ਹੈ। ਮੁੱਲ ਵਿੱਚ ਇਸ ਕਮੀ ਨੂੰ ਘਾਟਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਘਾਟੇ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਸਿੱਧੀ-ਰੇਖਾ ਘਾਟਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸੰਪਤੀ ਦਾ ਮੁੱਲ ਹਰ ਸਾਲ ਇੱਕੋ ਮਾਤਰਾ ਨਾਲ ਘਟਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ, ਇੱਕ ਔਰਤ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਜੋ ਇੱਕ ਛੋਟਾ ਠੇਕੇਦਾਰੀ ਕਾਰੋਬਾਰ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਉਹ $25,000 ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਟਰੱਕ ਖਰੀਦਦੀ ਹੈ। ਪੰਜ ਸਾਲਾਂ ਬਾਅਦ, ਉਹ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿ ਉਹ ਟਰੱਕ ਨੂੰ $8,000 ਵਿੱਚ ਵੇਚਣ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋਵੇਗੀ। ਇਸ ਲਈ ਟਰੱਕ ਦੇ ਮੁੱਲ ਵਿੱਚ ਕਮੀ $17,000 ਹੋਵੇਗੀ, ਜੋ ਕਿ ਪੰਜ ਸਾਲਾਂ ਲਈ ਪ੍ਰਤੀ ਸਾਲ $3,400 ਹੈ। ਟਰੱਕ ਪਹਿਲੇ ਸਾਲ ਬਾਅਦ $21,600; ਦੂਜੇ ਸਾਲ ਬਾਅਦ $18,200; ਤੀਜੇ ਸਾਲ ਬਾਅਦ $14,800; ਚੌਥੇ ਸਾਲ ਬਾਅਦ $11,400; ਅਤੇ ਪੰਜ ਸਾਲਾਂ ਦੇ ਅੰਤ ਵਿੱਚ $8,000 ਦਾ ਹੋਵੇਗਾ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਅਜਿਹੀਆਂ ਲੜੀਆਂ ਦੇ ਖਾਸ ਕਿਸਮਾਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਾਂਗੇ ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਘਾਟੇ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਇਜਾਜ਼ਤ ਦੇਣਗੀਆਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਟਰੱਕ ਦਾ ਮੁੱਲ।
ਸਾਂਝੇ ਅੰਤਰ ਲੱਭਣਾ
ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਟਰੱਕ ਦੇ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਇੱਕ ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਉਹ ਹਰ ਸਾਲ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਮਾਤਰਾ ਨਾਲ ਬਦਲਦੇ ਹਨ। ਹਰੇਕ ਪਦ ਇੱਕੋ ਸਥਿਰ ਮੁੱਲ ਨਾਲ ਵਧਦਾ ਜਾਂ ਘਟਦਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਲੜੀ ਦਾ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲੜੀ ਲਈ, ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ –3,400 ਹੈ।
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਲੜੀ ਇੱਕ ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀ ਦੀ ਇੱਕ ਹੋਰ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਸਥਿਰ ਅੰਤਰ 3 ਹੈ। ਤੁਸੀਂ ਲੜੀ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਪਦ ਨੂੰ ਚੁਣ ਸਕਦੇ ਹੋ, ਅਤੇ ਅਗਲੇ ਪਦ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ 3 ਜੋੜ ਸਕਦੇ ਹੋ।
ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀ
ਇੱਕ ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਲੜੀ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋ ਲਗਾਤਾਰ ਪਦਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦਾ ਅੰਤਰ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਸਥਿਰ ਨੂੰ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ a1 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀ ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਹੈ ਅਤੇ d ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਲੜੀ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੋਵੇਗੀ:
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਸਾਂਝੇ ਅੰਤਰ ਲੱਭਣਾ
ਕੀ ਹਰੇਕ ਲੜੀ ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਹੈ? ਜੇਕਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਲੱਭੋ।
ⓐ {1,2,4,8,16,...} {1,2,4,8,16,...}
ⓑ {−3,1,5,9,13,...} {−3,1,5,9,13,...}
ਹੱਲ
ਇਹ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕਿ ਕੀ ਕੋਈ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਮੌਜੂਦ ਹੈ, ਹਰੇਕ ਪਦ ਨੂੰ ਉਸ ਤੋਂ ਅਗਲੇ ਪਦ ਤੋਂ ਘਟਾਓ।
ⓐ ਲੜੀ ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਕੋਈ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ⓑ ਲੜੀ ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇੱਕ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਹੈ। ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ 4 ਹੈ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਲੜੀ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਚਿੱਤਰ 1 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਤੋਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ, ਹਾਲਾਂਕਿ ਦੋਵੇਂ ਲੜੀਆਂ ਵਾਧਾ ਦਿਖਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ, a ਰੇਖੀ ਨਹੀਂ ਹੈ ਜਦੋਂ ਕਿ b ਰੇਖੀ ਹੈ। ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਦਰ ਬਦਲਾਅ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਇਸ ਲਈ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਹਮੇਸ਼ਾ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦੇ ਬਿੰਦੂ ਹੋਣਗੇ।
Q&A
ਜੇ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਿਆ ਜਾਵੇ ਕਿ ਕੋਈ ਲੜੀ ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੀ ਸਾਨੂੰ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਹਰ ਪਦ ਨੂੰ ਉਸ ਤੋਂ ਅਗਲੇ ਪਦ ਵਿੱਚੋਂ ਘਟਾਉਣਾ ਪਵੇਗਾ?
ਨਹੀਂ। ਜੇ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਲੜੀ ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਲੜੀ ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਈ ਵੀ ਇੱਕ ਪਦ ਚੁਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਉਸਨੂੰ ਉਸ ਤੋਂ ਅਗਲੇ ਪਦ ਵਿੱਚੋਂ ਘਟਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ #1
ਕੀ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਲੜੀ ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਹੈ? ਜੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਲੱਭੋ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ #2
ਕੀ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਲੜੀ ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਹੈ? ਜੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਲੱਭੋ।
ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ ਦੇ ਪਦ ਲਿਖਣਾ
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀ ਨੂੰ ਪਛਾਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਪਦ ਲੱਭਾਂਗੇ ਜੇ ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੋਵੇ। ਪਦ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਕੇ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਵਾਰ-ਵਾਰ ਜੋੜ ਕੇ ਲੱਭੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਕੋਈ ਵੀ ਪਦ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ n ਅਤੇ d ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਪਲੱਗ ਕਰਕੇ ਵੀ ਲੱਭਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀ ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਪਹਿਲੇ ਕੁਝ ਪਦ ਲੱਭੋ।
ਦੂਜਾ ਪਦ ਲੱਭਣ ਲਈ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਵਿੱਚ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਜੋੜੋ।
ਤੀਜਾ ਪਦ ਲੱਭਣ ਲਈ ਦੂਜੇ ਪਦ ਵਿੱਚ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਜੋੜੋ।
ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਸਾਰੇ ਲੋੜੀਂਦੇ ਪਦ ਪਛਾਣੇ ਨਾ ਜਾਣ, ਜਾਰੀ ਰੱਖੋ।
ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਬਰੈਕਟਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਕਾਮਿਆਂ ਨਾਲ ਵੱਖ ਕਰਕੇ ਲਿਖੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 2
ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ ਦੇ ਪਦ ਲਿਖਣਾ
a 1 =17 ਅਤੇ d=−3 ਵਾਲੀ ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਲਿਖੋ।
ਹੱਲ
−3 ਜੋੜਨਾ 3 ਘਟਾਉਣ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਕੇ, ਅਗਲਾ ਪਦ ਲੱਭਣ ਲਈ ਹਰ ਪਦ ਵਿੱਚੋਂ 3 ਘਟਾਓ।
ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ {17,14,11,8,5} ਹਨ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਉਮੀਦ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸੀ, ਲੜੀ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਬਣਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 2 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ #3
a 1 =1 ਅਤੇ d=5 ਵਾਲੀ ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕਰੋ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ
ਕਿਸੇ ਵੀ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਅਤੇ ਅੰਕਗਣਿਤਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਪਦ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ, ਇੱਕ ਦਿੱਤਾ ਪਦ ਲੱਭੋ।
$a_1$, $a_n$, $n$ ਲਈ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ $a_n = a_1 + (n-1)d$ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ $d$ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਬਦਲੋ।
$a_1$, $n$, ਅਤੇ $d$ ਲਈ ਢੁਕਵੇਂ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ $a_n = a_1 + (n-1)d$ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਕੇ ਇੱਕ ਦਿੱਤਾ ਪਦ ਲੱਭੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਅੰਕਗਣਿਤਿਕ ਲੜੀਆਂ ਦੇ ਪਦ ਲਿਖਣਾ
$a_1 = 8$ ਅਤੇ $a_4 = 14$ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ, $a_5$ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਲੜੀ ਨੂੰ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਪਦ 8 ਅਤੇ ਸਾਂਝੇ ਅੰਤਰ $d$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਚੌਥਾ ਪਦ 14 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ; ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਚੌਥੇ ਪਦ ਦਾ ਰੂਪ $a_1 + 3d = 8 + 3d$ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ $d$ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਚੌਥੇ ਪਦ ਵਿੱਚ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਜੋੜ ਕੇ ਪੰਜਵਾਂ ਪਦ ਲੱਭੋ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਦੂਜਾ ਪਦ ਲੱਭਣ ਲਈ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵਾਰ, ਤੀਜਾ ਪਦ ਲੱਭਣ ਲਈ ਦੋ ਵਾਰ, ਚੌਥਾ ਪਦ ਲੱਭਣ ਲਈ ਤਿੰਨ ਵਾਰ, ਅਤੇ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਜੋੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਦਸਵਾਂ ਪਦ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਵਿੱਚ ਨੌਂ ਵਾਰ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਜੋੜ ਕੇ ਜਾਂ $a_n = a_1 + (n-1)d$ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲੱਭਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
$a_3 = 7$ ਅਤੇ $a_5 = 17$ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ, $a_2$ ਲੱਭੋ।
ਅੰਕਗਣਿਤਿਕ ਲੜੀਆਂ ਲਈ ਰਿਕਾਰਸਿਵ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਰਤਣਾ
ਕੁਝ ਅੰਕਗਣਿਤਿਕ ਲੜੀਆਂ ਨੂੰ ਰਿਕਾਰਸਿਵ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪਿਛਲੇ ਪਦ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਫਾਰਮੂਲਾ ਲੜੀ ਦੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਨਿਯਮ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਰਿਕਾਰਸਿਵ ਫਾਰਮੂਲਾ ਸਾਨੂੰ ਪਿਛਲੇ ਪਦ ਦੇ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅੰਕਗਣਿਤਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਪਦ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਹਰ ਪਦ ਪਿਛਲੇ ਪਦ ਅਤੇ ਸਾਂਝੇ ਅੰਤਰ ਦਾ ਜੋੜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ 5 ਹੈ, ਤਾਂ ਹਰ ਪਦ ਪਿਛਲਾ ਪਦ ਜਮਾ 5 ਹੈ। ਕਿਸੇ ਵੀ ਰਿਕਾਰਸਿਵ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਾਂਗ, ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਦਿੱਤਾ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਅੰਕਗਣਿਤਿਕ ਲੜੀ ਲਈ ਰਿਕਾਰਸਿਵ ਫਾਰਮੂਲਾ
ਸਾਂਝੇ ਅੰਤਰ $d$ ਵਾਲੀ ਅੰਕਗਣਿਤਿਕ ਲੜੀ ਲਈ ਰਿਕਾਰਸਿਵ ਫਾਰਮੂਲਾ ਹੈ:
ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ
ਕਿਸੇ ਅੰਕਗਣਿਤਿਕ ਲੜੀ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ, ਇਸਦਾ ਰਿਕਾਰਸਿਵ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ।
ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕਿਸੇ ਵੀ ਪਦ ਨੂੰ ਅਗਲੇ ਪਦ ਤੋਂ ਘਟਾਓ।
ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਪਦ ਦੱਸੋ ਅਤੇ ਅੰਕਗਣਿਤਿਕ ਲੜੀਆਂ ਲਈ ਰਿਕਾਰਸਿਵ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਬਦਲੋ।
1. ਮਿਸਾਲ 4
2. ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀ ਲਈ ਇੱਕ ਰਿਕਾਰਸਿਵ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖਣਾ
3. ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀ ਲਈ ਇੱਕ ਰਿਕਾਰਸਿਵ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ।
4. ਹੱਲ
5. ਪਹਿਲਾ ਪਦ -18 ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਆਮ ਅੰਤਰ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਪਦ ਵਿੱਚੋਂ ਘਟਾ ਕੇ ਪਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
6. ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ ਲਈ ਰਿਕਾਰਸਿਵ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਪਦ ਅਤੇ ਆਮ ਅੰਤਰ ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
7. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
8. ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਆਮ ਅੰਤਰ ਉਸ ਰੇਖਾ ਦਾ ਢਲਾਣ ਹੈ ਜੋ ਲੜੀ ਦੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ 'ਤੇ ਬਣਦੀ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 3 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਲੜੀ ਦੇ ਵਾਧੇ ਦਾ ਪੈਟਰਨ 11 ਇਕਾਈਆਂ ਦੇ ਸਥਿਰ ਅੰਤਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
Q&A
9. ਕੀ ਸਾਨੂੰ ਆਮ ਅੰਤਰ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਪਦ ਵਿੱਚੋਂ ਘਟਾਉਣਾ ਪਵੇਗਾ?
10. ਨਹੀਂ। ਅਸੀਂ ਲੜੀ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਪਦ ਨੂੰ ਅਗਲੇ ਪਦ ਵਿੱਚੋਂ ਘਟਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਪਦ ਵਿੱਚੋਂ ਘਟਾਉਣਾ ਸਭ ਤੋਂ ਆਮ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਅਕਸਰ ਆਮ ਅੰਤਰ ਪਤਾ ਕਰਨ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਆਸਾਨ ਤਰੀਕਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
11. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #5
12. ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀ ਲਈ ਇੱਕ ਰਿਕਾਰਸਿਵ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ।
13. ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ ਲਈ ਸਪੱਸ਼ਟ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਰਤਣਾ
14. ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀ ਨੂੰ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਡੋਮੇਨ 'ਤੇ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਸੋਚ ਸਕਦੇ ਹਾਂ; ਇਹ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਸ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਦਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਆਮ ਅੰਤਰ ਸਥਿਰ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ, ਜਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਢਲਾਣ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਸਾਨੂੰ ਢਲਾਣ ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਪਤਾ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
15. ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਵਿੱਚੋਂ ਆਮ ਅੰਤਰ ਘਟਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਲੜੀ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।
16. ਆਮ ਅੰਤਰ -50 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਲੜੀ -50 ਦੇ ਢਲਾਣ ਵਾਲੇ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ। y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ 200 ਵਿੱਚੋਂ -50 ਘਟਾਉਂਦੇ ਹਾਂ: 200: 200−(−50)=200+50=250। ਤੁਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਕੇ ਅਤੇ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਕੇ ਵੀ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਪਤਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਲੰਬਕਾਰੀ ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਕਿੱਥੇ ਕੱਟੇਗੀ। ਗ੍ਰਾਫ ਚਿੱਤਰ 4 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
17. ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦਾ ਢਲਾਣ-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਰੂਪ y=mx+b ਹੈ। ਲੜੀਆਂ ਨਾਲ ਨਜਿੱਠਣ ਵੇਲੇ, ਅਸੀਂ y ਦੀ ਥਾਂ 'ਤੇ a n ਅਤੇ x ਦੀ ਥਾਂ 'ਤੇ n ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਜੇਕਰ ਸਾਨੂੰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਢਲਾਣ ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਪਤਾ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦੇ ਢਲਾਣ-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਰੂਪ ਵਿੱਚ m ਅਤੇ b ਲਈ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਢਲਾਣ ਲਈ -50 ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਲਈ 250 ਨੂੰ ਬਦਲ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
18. ਸਾਨੂੰ ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀ ਲਈ ਇੱਕ ਸਪੱਸ਼ਟ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖਣ ਲਈ ਲੰਬਕਾਰੀ ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਪਤਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਸ ਲੜੀ ਲਈ ਇੱਕ ਹੋਰ ਸਪੱਸ਼ਟ ਫਾਰਮੂਲਾ a n =200−50(n−1) ਹੈ, ਜੋ ਕਿ a n =−50n+250 ਤੱਕ ਸਰਲ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
19. ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀ ਲਈ ਸਪੱਸ਼ਟ ਫਾਰਮੂਲਾ
20. ਇੱਕ ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀ ਦੇ nth ਪਦ ਲਈ ਇੱਕ ਸਪੱਸ਼ਟ ਫਾਰਮੂਲਾ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:
21. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
22. ਇੱਕ ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਕੁਝ ਪਦ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ, ਇੱਕ ਸਪੱਸ਼ਟ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ।
23. ਆਮ ਅੰਤਰ, a 2 − a 1 ਪਤਾ ਕਰੋ।
24. a n = a 1 +d(n−1) ਵਿੱਚ ਆਮ ਅੰਤਰ ਅਤੇ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
5. ਉਦਾਹਰਨ 5
2. ਅੰਕਗਣਿਤਿਕ ਲੜੀ ਲਈ nਵੇਂ ਪਦ ਦਾ ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰ ਲਿਖਣਾ
3. ਅੰਕਗਣਿਤਿਕ ਲੜੀ ਲਈ ਇੱਕ ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰ ਲਿਖੋ।
4. ਹੱਲ
5. ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਪਦ ਵਿੱਚੋਂ ਘਟਾ ਕੇ ਪਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
6. ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ 10 ਹੈ। ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਅਤੇ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਨੂੰ ਬਦਲੋ ਅਤੇ ਸਰਲ ਕਰੋ।
7. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
8. ਇਸ ਲੜੀ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ, ਜੋ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 5 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, 10 ਦਾ ਢਲਾਣ ਅਤੇ −8 ਦਾ ਲੰਬਵਤ ਅੰਤਰ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।
9. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #6
10. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅੰਕਗਣਿਤਿਕ ਲੜੀ ਲਈ ਇੱਕ ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰ ਲਿਖੋ।
11. ਸੀਮਿਤ ਅੰਕਗਣਿਤਿਕ ਲੜੀ ਵਿੱਚ ਪਦਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭਣਾ
12. ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਸੀਮਿਤ ਅੰਕਗਣਿਤਿਕ ਲੜੀ ਵਿੱਚ ਪਦਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਸਾਨੂੰ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ ਹੈ ਕਿ ਅੰਤਿਮ ਪਦ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਵਿੱਚ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਕਿੰਨੀ ਵਾਰ ਜੋੜਨਾ ਪਵੇਗਾ।
13. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
14. ਸੀਮਿਤ ਅੰਕਗਣਿਤਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਤਿੰਨ ਪਦ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਪਦ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ, ਕੁੱਲ ਪਦਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭੋ।
15. ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ d ਲੱਭੋ। d।
16. ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਅਤੇ ਪਹਿਲਾ ਪਦ a n = a 1 +d(n–1) ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ। a n = a 1 +d(n–1)।
17. a n ਲਈ ਅੰਤਿਮ ਪਦ ਨੂੰ ਬਦਲੋ ਅਤੇ n ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। n।
18. ਉਦਾਹਰਨ 6
19. ਸੀਮਿਤ ਅੰਕਗਣਿਤਿਕ ਲੜੀ ਵਿੱਚ ਪਦਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭਣਾ
20. ਸੀਮਿਤ ਅੰਕਗਣਿਤਿਕ ਲੜੀ ਵਿੱਚ ਪਦਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭੋ।
21. ਹੱਲ
22. ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਪਦ ਵਿੱਚੋਂ ਘਟਾ ਕੇ ਪਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
23. ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ −7 ਹੈ। −7। ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਅਤੇ ਲੜੀ ਦੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਪਦ ਨੂੰ nਵੇਂ ਪਦ ਦੇ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ ਅਤੇ ਸਰਲ ਕਰੋ।
24. a n ਲਈ −41 ਨੂੰ ਬਦਲੋ ਅਤੇ n ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। n।
ਇਸ ਲੜੀ ਵਿੱਚ ਅੱਠ ਪਦ ਹਨ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #7
ਸੀਮਤ ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀ ਵਿੱਚ ਪਦਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭੋ।
ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀ ਨਾਲ ਅਰਜ਼ੀ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਅਰਜ਼ੀ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ, 1 ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਦੀ ਬਜਾਏ 0 ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਅਕਸਰ ਸਮਝਦਾਰੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਵਿੱਚ ਅੰਤਰ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ਲਈ ਸਪੱਸ਼ਟ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨੂੰ ਥੋੜ੍ਹਾ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਉਦਾਹਰਨ 7
ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀ ਨਾਲ ਅਰਜ਼ੀ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਇੱਕ ਪੰਜ ਸਾਲਾਂ ਦਾ ਬੱਚਾ ਹਰ ਹਫ਼ਤੇ 1 ਡਾਲਰ ਭੱਤਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਉਸਦੇ ਮਾਤਾ-ਪਿਤਾ ਉਸਨੂੰ ਪ੍ਰਤੀ ਹਫ਼ਤੇ 2 ਡਾਲਰ ਦੀ ਸਾਲਾਨਾ ਵਾਧੇ ਦਾ ਵਾਅਦਾ ਕਰਦੇ ਹਨ।
ⓐ ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਸਾਲ ਵਿੱਚ ਬੱਚੇ ਦੇ ਹਫ਼ਤਾਵਾਰੀ ਭੱਤੇ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ।
ⓑ ਜਦੋਂ ਬੱਚਾ 16 ਸਾਲਾਂ ਦਾ ਹੋਵੇਗਾ ਤਾਂ ਉਸਦਾ ਭੱਤਾ ਕਿੰਨਾ ਹੋਵੇਗਾ?
ਹੱਲ
ⓐ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ 1 ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਅਤੇ 2 ਦੇ ਸਾਂਝੇ ਅੰਤਰ ਨਾਲ ਇੱਕ ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀ ਦੁਆਰਾ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ A ਬੱਚੇ ਦੇ ਭੱਤੇ ਦੀ ਰਕਮ ਹੈ ਅਤੇ n ਉਮਰ 5 ਸਾਲਾਂ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਦੇ ਸਾਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ। ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀ ਲਈ ਬਦਲੇ ਹੋਏ ਸਪੱਸ਼ਟ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਮਿਲਦਾ ਹੈ: A n = 1 + 2 n
ⓑ ਅਸੀਂ ਘਟਾ ਕੇ 5 ਸਾਲ ਦੀ ਉਮਰ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਸਾਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। 16 − 5 = 11 ਅਸੀਂ 11 ਸਾਲਾਂ ਬਾਅਦ ਬੱਚੇ ਦੇ ਭੱਤੇ ਦੀ ਭਾਲ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ। 16 ਸਾਲ ਦੀ ਉਮਰ ਵਿੱਚ ਬੱਚੇ ਦੇ ਭੱਤੇ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ 11 ਨੂੰ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ। A 11 = 1 + 2 ( 11 ) = 23 16 ਸਾਲ ਦੀ ਉਮਰ ਵਿੱਚ ਬੱਚੇ ਦਾ ਭੱਤਾ ਪ੍ਰਤੀ ਹਫ਼ਤੇ 23 ਡਾਲਰ ਹੋਵੇਗਾ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #8
ਇੱਕ ਔਰਤ ਇਸ ਹਫ਼ਤੇ ਹਰ ਰੋਜ਼ 10 ਮਿੰਟ ਦੌੜਨ ਦਾ ਫੈਸਲਾ ਕਰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਹਰ ਹਫ਼ਤੇ ਆਪਣੀ ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਦੌੜ ਦੇ ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ 4 ਮਿੰਟ ਵਧਾਉਣ ਦੀ ਯੋਜਨਾ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ। n ਹਫ਼ਤਿਆਂ ਬਾਅਦ ਉਸਦੀ ਦੌੜ ਦੇ ਸਮੇਂ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ। ਅੱਜ ਤੋਂ 8 ਹਫ਼ਤੇ ਬਾਅਦ ਉਸਦੀ ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਦੌੜ ਕਿੰਨੀ ਲੰਬੀ ਹੋਵੇਗੀ?
ਮੀਡੀਆ
ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀਆਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਹਦਾਇਤਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਸ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀਆਂ
ਸ਼ਬਦੀ
ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀ ਕੀ ਹੈ?
ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀ ਦਾ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਕਿਵੇਂ ਲੱਭਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ?
ਅਸੀਂ ਇਹ ਕਿਵੇਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੋਈ ਲੜੀ ਅੰਕਗਣਿਤ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ?
ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ ਰਿਕਾਰਸਿਵ ਫਾਰਮੂਲੇ ਅਤੇ ਸਪੱਸ਼ਟ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮੁੱਖ ਅੰਤਰ ਕੀ ਹਨ?
ਦੱਸੋ ਕਿ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀਆਂ ਕਿਵੇਂ ਸਮਾਨ ਹਨ। ਉਹ ਕਿਵੇਂ ਵੱਖਰੇ ਹਨ?
ਬੀਜਗਣਿਤ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀ ਦਾ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਪਤਾ ਕਰੋ।
{ 5 , 11 , 17 , 23 , 29 , ... }
{ 0 , 1 2 , 1 , 3 2 , 2 , ... }
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਲੜੀ ਅੰਕਗਣਿਤ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਜਿਹਾ ਹੈ ਤਾਂ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਪਤਾ ਕਰੋ।
{ 11.4 , 9.3 , 7.2 , 5.1 , 3 , ... }
{ 4 , 16 , 64 , 256 , 1024 , ... }
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਅਤੇ ਸਾਂਝੇ ਅੰਤਰ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਲਿਖੋ।
a 1 =−25 , d=−9
a 1 =0 , d= 2 3
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਦੋ ਪਦ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਲਿਖੋ।
a 1 =17, a 7 =−31
a 13 =−60, a 33 =−160
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਅਤੇ ਸਾਂਝੇ ਅੰਤਰ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀ ਦਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਪਦ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਪਹਿਲਾ ਪਦ 3 ਹੈ, ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ 4 ਹੈ, 5ਵਾਂ ਪਦ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਪਹਿਲਾ ਪਦ 4 ਹੈ, ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ 5 ਹੈ, 4ਥਾਂ ਪਦ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਪਹਿਲਾ ਪਦ 5 ਹੈ, ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ 6 ਹੈ, 8ਵਾਂ ਪਦ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਪਹਿਲਾ ਪਦ 6 ਹੈ, ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ 7 ਹੈ, 6ਵਾਂ ਪਦ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਪਹਿਲਾ ਪਦ 7 ਹੈ, ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ 8 ਹੈ, 7ਵਾਂ ਪਦ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀ ਦੇ ਦੋ ਪਦ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਨੂੰ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਜੇਕਰ a 6 =12 ਅਤੇ a 14 =28 ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀ ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਜਾਂ a 1 ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਜੇਕਰ a 7 =21 ਅਤੇ a 15 =42 ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀ ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਜਾਂ a 1 ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਜੇਕਰ a 8 =40 ਅਤੇ a 23 =115 ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀ ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਜਾਂ a 1 ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਜੇਕਰ a 9 =54 ਅਤੇ a 17 =102 ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀ ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਜਾਂ a 1 ਪਤਾ ਕਰੋ।
Find the first term or a 1 a 1 of an arithmetic sequence if a 11 =11 a 11 =11 and a 21 =16. a 21 =16.
For the following exercises, find the specified term given two terms from an arithmetic sequence.
a 1 =33 a 1 =33 and a 7 =−15. a 7 =−15. Find a 4 . a 4 .
a 3 =−17.1 a 3 =−17.1 and a 10 =−15.7. a 10 =−15.7. Find a 21 . a 21 .
For the following exercises, use the recursive formula to write the first five terms of the arithmetic sequence.
a 1 =39; a n = a n−1 −3 a 1 =39; a n = a n−1 −3
a 1 =−19; a n = a n−1 −1.4 a 1 =−19; a n = a n−1 −1.4
For the following exercises, write a recursive formula for each arithmetic sequence.
a ={ 40,60,80,... } a ={ 40,60,80,... }
a ={17,26,35,...} a ={17,26,35,...}
a ={−1,2,5,...} a ={−1,2,5,...}
a ={12,17,22,...} a ={12,17,22,...}
a ={−15,−7,1,...} a ={−15,−7,1,...}
a ={8.9,10.3,11.7,...} a ={8.9,10.3,11.7,...}
a ={−0.52,−1.02,−1.52,...} a ={−0.52,−1.02,−1.52,...}
a ={ 1 5 , 9 20 , 7 10 ,... } a ={ 1 5 , 9 20 , 7 10 ,... }
a ={ − 1 2 ,− 5 4 ,−2,... } a ={ − 1 2 ,− 5 4 ,−2,... }
a ={ 1 6 ,− 11 12 ,−2,... } a ={ 1 6 ,− 11 12 ,−2,... }
For the following exercises, write a recursive formula for the given arithmetic sequence, and then find the specified term.
a ={7, 4, 1, ...}; a ={7, 4, 1, ...}; Find the 17th term.
a ={4, 11, 18, ...}; a ={4, 11, 18, ...}; Find the 14th term.
a ={2, 6, 10, ...}; a ={2, 6, 10, ...}; Find the 12th term.
For the following exercises, use the explicit formula to write the first five terms of the arithmetic sequence.
a n =24−4n a n =24−4n
a n = 1 2 n− 1 2 a n = 1 2 n− 1 2
For the following exercises, write an explicit formula for each arithmetic sequence.
a ={3,5,7,...} a ={3,5,7,...}
a ={32,24,16,...} a ={32,24,16,...}
a ={−5, 95, 195, ...} a ={−5, 95, 195, ...}
a ={−17, −217, −417,...} a ={−17, −217, −417,...}
a ={1.8, 3.6, 5.4, ...} a ={1.8, 3.6, 5.4, ...}
a ={−18.1,−16.2,−14.3,...} a ={−18.1,−16.2,−14.3,...}
a ={15.8,18.5,21.2,...} a ={15.8,18.5,21.2,...}
a ={ 1 3 ,− 4 3 ,−3, ... } a ={ 1 3 ,− 4 3 ,−3, ... }
a ={ 0, 1 3 , 2 3 ,... } a ={ 0, 1 3 , 2 3 ,... }
a ={ −5,− 10 3 ,− 5 3 ,… } a ={ −5,− 10 3 ,− 5 3 ,… }
For the following exercises, find the number of terms in the given finite arithmetic sequence.
a ={3,−4,−11, ...,−60} a ={3,−4,−11, ...,−60}
a ={1.2,1.4,1.6,...,3.8} a ={1.2,1.4,1.6,...,3.8}
a ={ 1 2 ,2, 7 2 ,...,8 } a ={ 1 2 ,2, 7 2 ,...,8 }
Graphical
For the following exercises, determine whether the graph shown represents an arithmetic sequence.
For the following exercises, use the information provided to graph the first 5 terms of the arithmetic sequence.
a 1 =0,d=4 a 1 =0,d=4
a 1 =9; a n = a n−1 −10 a 1 =9; a n = a n−1 −10
a n =−12+5n a n =−12+5n
Technology
For the following exercises, follow the steps to work with the arithmetic sequence a n =3n−2 a n =3n−2 using a graphing calculator:
Press [MODE] Select SEQ in the fourth line Select DOT in the fifth line Press [ENTER]
Press [Y=] nMin nMin is the first counting number for the sequence. Set nMin=1 nMin=1 u(n) u(n) is the pattern for the sequence. Set u(n)=3n−2 u(n)=3n−2 u(nMin) u(nMin) is the first number in the sequence. Set u(nMin)=1 u(nMin)=1
Press [2ND] then [WINDOW] to go to TBLSET Set TblStart=1 TblStart=1 Set ΔTbl=1 ΔTbl=1 Set Indpnt: Auto and Depend: Auto
Press [2ND] then [GRAPH] to go to the TABLE
What are the first seven terms shown in the column with the heading u(n)? u(n)?
Use the scroll-down arrow to scroll to n=50. n=50. What value is given for u(n)? u(n)?
Press [WINDOW]. Set nMin=1 nMin=1, nMax=5nMax=5, xMin=0xMin=0, xMax=6xMax=6, yMin=−1yMin=−1, and yMax=14. yMax=14. Then press [GRAPH]. Graph the sequence as it appears on the graphing calculator.
For the following exercises, follow the steps given above to work with the arithmetic sequence a n = 1 2 n+5 a n = 1 2 n+5 using a graphing calculator.
What are the first seven terms shown in the column with the heading u(n) u(n) in the TABLE feature?
Graph the sequence as it appears on the graphing calculator. Be sure to adjust the WINDOW settings as needed.
Extensions
Give two examples of arithmetic sequences whose 4th terms are 9. 9.
Give two examples of arithmetic sequences whose 10th terms are 206. 206.
Find the 5th term of the arithmetic sequence {9b,5b,b,…}. {9b,5b,b,…}.
Find the 11th term of the arithmetic sequence {3a−2b,a+2b,−a+6b…}. {3a−2b,a+2b,−a+6b…}.
At which term does the sequence {5.4,14.5,23.6,...} {5.4,14.5,23.6,...} exceed 151?
At which term does the sequence { 17 3 , 31 6 , 14 3 ,... } { 17 3 , 31 6 , 14 3 ,... } begin to have negative values?
For which terms does the finite arithmetic sequence { 5 2 , 19 8 , 9 4 ,..., 1 8 } { 5 2 , 19 8 , 9 4 ,..., 1 8 } have integer values?
Write an arithmetic sequence using a recursive formula. Show the first 4 terms, and then find the 31st term.
Write an arithmetic sequence using an explicit formula. Show the first 4 terms, and then find the 28th term.