ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦਾ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਲੱਭੋ।
ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਦਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਬਣਾਓ।
ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਲਈ ਇੱਕ ਰਿਕਾਰਸਿਵ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਰਤੋ।
ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਲਈ ਇੱਕ ਸਪੱਸ਼ਟ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਰਤੋ।
ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਨੌਕਰੀਆਂ ਸਾਲਾਨਾ ਜੀਵਨ-ਖਰਚੇ ਵਿੱਚ ਵਾਧਾ ਪੇਸ਼ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ ਤਾਂ ਜੋ ਤਨਖਾਹਾਂ ਨੂੰ ਮਹਿੰਗਾਈ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਬਣਾਈ ਰੱਖਿਆ ਜਾ ਸਕੇ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਹਾਲ ਹੀ ਵਿੱਚ ਕਾਲਜ ਗ੍ਰੈਜੂਏਟ ਇੱਕ ਸੇਲਜ਼ ਮੈਨੇਜਰ ਵਜੋਂ ਇੱਕ ਅਹੁਦਾ ਲੱਭਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਸਾਲਾਨਾ ਤਨਖਾਹ $26,000 ਹੈ। ਉਸਨੂੰ ਹਰ ਸਾਲ 2% ਜੀਵਨ-ਖਰਚੇ ਵਿੱਚ ਵਾਧੇ ਦਾ ਵਾਅਦਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਵੀ ਦਿੱਤੇ ਸਾਲ ਵਿੱਚ ਉਸਦੀ ਸਾਲਾਨਾ ਤਨਖਾਹ ਪਿਛਲੇ ਸਾਲ ਦੀ ਤਨਖਾਹ ਨੂੰ 102% ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਪਾਈ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਸਾਲ ਬਾਅਦ ਉਸਦੀ ਤਨਖਾਹ $26,520 ਹੋਵੇਗੀ; ਦੋ ਸਾਲਾਂ ਬਾਅਦ $27,050.40; ਤਿੰਨ ਸਾਲਾਂ ਬਾਅਦ $27,591.41; ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੀ। ਜਦੋਂ ਤਨਖਾਹ ਹਰ ਸਾਲ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਦਰ ਨਾਲ ਵਧਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਤਨਖਾਹ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਵਧਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਅਜਿਹੀਆਂ ਲੜੀਆਂ ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰਾਂਗੇ ਜੋ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵਧਦੀਆਂ ਹਨ।
ਸਾਂਝੇ ਅਨੁਪਾਤ ਲੱਭਣਾ
ਦੱਸੇ ਗਏ ਸਾਲਾਨਾ ਤਨਖਾਹ ਦੇ ਮੁੱਲ ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ ਉਹ ਹਰ ਸਾਲ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਬਦਲਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦਾ ਹਰ ਪਦ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਵਧਦਾ ਜਾਂ ਘਟਦਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਲੜੀ ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੀ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਹਰ ਪਦ 6 ਦੇ ਸਥਿਰ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਵਧਦਾ ਹੈ। ਲੜੀ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਪਦ ਨੂੰ ਸਾਂਝੇ ਅਨੁਪਾਤ 6 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਨਾਲ ਅਗਲਾ ਪਦ ਪੈਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਉਹ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੀ ਪਦ ਨੂੰ ਪਿਛਲੇ ਪਦ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਨ 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਸਥਿਰ ਨੂੰ ਲੜੀ ਦਾ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਲੜੀ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਪਦ ਨੂੰ ਪਿਛਲੇ ਪਦ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਕੇ ਪਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ $a_1$ ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਪਦ ਹੈ ਅਤੇ $r$ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਹੈ, ਤਾਂ ਲੜੀ ਹੋਵੇਗੀ
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਉਹ ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ।
ਹਰ ਪਦ ਨੂੰ ਪਿਛਲੇ ਪਦ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰੋ।
ਭਾਗਫਲਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਉਹ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਅਤੇ ਲੜੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਸਾਂਝੇ ਅਨੁਪਾਤ ਲੱਭਣਾ
ਕੀ ਲੜੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਹੈ? ਜੇਕਰ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਲੱਭੋ।
ⓐ 1,2,4,8,16,...
ⓑ 48,12,4, 2,...
ਹੱਲ
ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿ ਕੀ ਕੋਈ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਮੌਜੂਦ ਹੈ, ਹਰ ਪਦ ਨੂੰ ਪਿਛਲੇ ਪਦ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰੋ।
ⓐ 2/1 = 2, 4/2 = 2, 8/4 = 2, 16/8 = 2 ਲੜੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇੱਕ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਹੈ। ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ 2 ਹੈ।
ⓑ 12/48 = 1/4, 4/12 = 1/3, 2/4 = 1/2 ਲੜੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਕੋਈ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਨਹੀਂ ਹੈ।
1. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
2. ਹਰੇਕ ਲੜੀ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਚਿੱਤਰ 1 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਤੋਂ ਇਹ ਪ੍ਰਤੀਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ (a) ਅਤੇ (b) ਦੋਵੇਂ ਇਸ ਦ੍ਰਿਸ਼ ਵਿੰਡੋ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਰੂਪ ਧਾਰਨ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ (a) ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਵਿਆਖਿਆ ਸੱਚ ਹੈ, ਪਰ (b) ਨਹੀਂ ਹੈ।
Q&A
3. ਜੇਕਰ ਤੁਹਾਨੂੰ ਦੱਸਿਆ ਜਾਵੇ ਕਿ ਕੋਈ ਲੜੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੀ ਤੁਹਾਨੂੰ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਲੱਭਣ ਲਈ ਹਰੇਕ ਪਦ ਨੂੰ ਪਿਛਲੇ ਪਦ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਨਾ ਪਵੇਗਾ?
4. ਨਹੀਂ। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹੋ ਕਿ ਲੜੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਹੈ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਲੜੀ ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਈ ਵੀ ਇੱਕ ਪਦ ਚੁਣ ਸਕਦੇ ਹੋ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇਸਨੂੰ ਪਿਛਲੇ ਪਦ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ।
5. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #1
6. ਕੀ ਲੜੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਹੈ? ਜੇਕਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਲੱਭੋ।
7. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #2
8. ਕੀ ਲੜੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਹੈ? ਜੇਕਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਲੱਭੋ।
9. ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀਆਂ ਦੇ ਪਦ ਲਿਖਣਾ
10. ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਸਿੱਖਾਂਗੇ ਕਿ ਜੇਕਰ ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਦ ਕਿਵੇਂ ਲੱਭਣੇ ਹਨ। ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਦ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਕੇ ਅਤੇ ਸਾਂਝੇ ਅਨੁਪਾਤ ਨੂੰ ਵਾਰ-ਵਾਰ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਲੱਭੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪਦ $a_1 = -2$ ਹੈ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ $r=4$ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਅਗਲੇ ਪਦ ਲੱਭਣ ਲਈ $-2 \cdot 4$ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ $-8$ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਫਿਰ ਨਤੀਜੇ $-8 \cdot 4$ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ $-32$ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅੱਗੇ।
11. ਪਹਿਲੇ ਚਾਰ ਪਦ {-2, -8, -32, -128} ਹਨ।
12. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
13. ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਕ ਦਿੱਤਾ ਹੋਣ 'ਤੇ, ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਚਾਰ ਪਦ ਲੱਭੋ।
14. ਅਗਲੇ ਪਦ, $a_2$ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਪਦ, $a_1$ ਨੂੰ ਸਾਂਝੇ ਅਨੁਪਾਤ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
15. ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਨੂੰ ਦੁਹਰਾਓ, $a_3$ ਲੱਭਣ ਲਈ $a_2$ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਅਤੇ ਫਿਰ $a_4$ ਲੱਭਣ ਲਈ $a_3$ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਕਿ ਸਾਰੇ ਚਾਰ ਪਦਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਨਾ ਹੋ ਜਾਵੇ।
16. ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਬਰੈਕਟਾਂ ਵਿੱਚ ਕੋਮਿਆਂ ਨਾਲ ਵੱਖ ਕਰਕੇ ਲਿਖੋ।
17. ਉਦਾਹਰਨ 2
18. ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਦ ਲਿਖਣਾ
19. $a_1 = 5$ ਅਤੇ $r = -2$ ਵਾਲੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਚਾਰ ਪਦ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕਰੋ।
20. ਹੱਲ
21. $a_2$ ਲੱਭਣ ਲਈ $a_1$ ਨੂੰ $-2$ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਨੂੰ ਦੁਹਰਾਓ, $a_3$ ਲੱਭਣ ਲਈ $a_2$ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅੱਗੇ।
22. ਪਹਿਲੇ ਚਾਰ ਪਦ {5, -10, 20, -40} ਹਨ।
23. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #3
24. $a_1 = 18$ ਅਤੇ $r = \frac{1}{3}$ ਵਾਲੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕਰੋ।
ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਸੂਤ੍ਰਾਂ ਰਾਹੀਂ ਜਿਓਮੈਤ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਇੱਕ ਗਿਣਤੀ ਦਾ ਸੂਤ੍ਰ ਸਾਨੂੰ ਪਿਛਲੇ ਪਦ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਜਿਓਮੈਤ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦਾ ਪਦ ਲੱਭਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਹਰ ਪਦ ਸਾਂਝੇ ਅਨੁਪਾਤ ਅਤੇ ਪਿਛਲੇ ਪਦ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ 9 ਹੈ। ਫਿਰ ਹਰ ਪਦ ਪਿਛਲੇ ਪਦ ਦਾ ਨੌਂ ਗੁਣਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਵੀ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਸੂਤ੍ਰ ਵਾਂਗ, ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਪਦ ਦਿੱਤਾ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਜਿਓਮੈਤ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਲਈ ਗਿਣਤੀ ਦਾ ਸੂਤ੍ਰ
ਸਾਂਝੇ ਅਨੁਪਾਤ $r$ ਅਤੇ ਪਹਿਲੇ ਪਦ $a_1$ ਵਾਲੀ ਜਿਓਮੈਤ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਲਈ ਗਿਣਤੀ ਦਾ ਸੂਤ੍ਰ ਹੈ
ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ
ਜਿਓਮੈਤ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਕੁਝ ਪਦ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ, ਇਸਦਾ ਗਿਣਤੀ ਦਾ ਸੂਤ੍ਰ ਲਿਖੋ।
ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਪਦ ਦੱਸੋ।
ਕਿਸੇ ਵੀ ਪਦ ਨੂੰ ਪਿਛਲੇ ਪਦ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਕੇ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਲੱਭੋ।
ਜਿਓਮੈਤ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਲਈ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਸੂਤ੍ਰ ਵਿੱਚ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਬਦਲੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਸੂਤ੍ਰਾਂ ਰਾਹੀਂ ਜਿਓਮੈਤ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਜਿਓਮੈਤ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਲਈ ਇੱਕ ਗਿਣਤੀ ਦਾ ਸੂਤ੍ਰ ਲਿਖੋ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾ ਪਦ 6 ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਪਦ ਨੂੰ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਕੇ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਲੱਭਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਜਿਓਮੈਤ੍ਰਿਕ ਲੜੀਆਂ ਲਈ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਸੂਤ੍ਰ ਵਿੱਚ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਬਦਲੋ ਅਤੇ $a_1$ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਅੰਕੜਿਆਂ ਦੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਲੜੀ ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਅਧਾਰ ਵੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 2 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
Q&A
ਕੀ ਸਾਨੂੰ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਲੱਭਣ ਲਈ ਦੂਜੇ ਪਦ ਨੂੰ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਨਾ ਪਵੇਗਾ?
ਨਹੀਂ। ਅਸੀਂ ਲੜੀ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਪਦ ਨੂੰ ਪਿਛਲੇ ਪਦ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਦੂਜੇ ਪਦ ਨੂੰ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਨਾ ਸਭ ਤੋਂ ਆਮ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਅਕਸਰ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਲੱਭਣ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਆਸਾਨ ਤਰੀਕਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਜਿਓਮੈਤ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਲਈ ਇੱਕ ਗਿਣਤੀ ਦਾ ਸੂਤ੍ਰ ਲਿਖੋ।
ਜਿਓਮੈਤ੍ਰਿਕ ਲੜੀਆਂ ਲਈ ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤ੍ਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਕਿਉਂਕਿ ਜਿਓਮੈਤ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਡੋਮੇਨ ਧਨਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ, ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਅਧਾਰ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤ੍ਰ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਖਾਸ ਪਦ ਲੱਭਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੇ ਹਨ।
ਆਓ ਲੜੀ $\{18, 36, 72, 144, 288, ...\}$ ਨੂੰ ਦੇਖੀਏ। ਇਹ 2 ਦੇ ਸਾਂਝੇ ਅਨੁਪਾਤ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਤ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਹੈ ਅਤੇ 2 ਦੇ ਅਧਾਰ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਇਸ ਲੜੀ ਲਈ ਇੱਕ ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤ੍ਰ ਹੈ
ਚਿੱਤਰ 3 ਵਿੱਚ ਲੜੀ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਲਈ ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰ
ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦਾ n-ਵਾਂ ਪਦ ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀਆਂ ਦੇ ਪਦ ਲਿਖਣਾ
a 1 =3 ਅਤੇ a 4 =24 ਵਾਲੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ, a 2 ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਲੜੀ ਨੂੰ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਅਤੇ ਸਾਂਝੇ ਅਨੁਪਾਤ r ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਚੌਥੇ ਪਦ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਨੂੰ ਸਾਂਝੇ ਅਨੁਪਾਤ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਦੂਜਾ ਪਦ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਦੂਜਾ ਪਦ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਾਂਝੇ ਅਨੁਪਾਤ ਨੂੰ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਨਾਲ ਇੱਕ ਵਾਰ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤੀਜਾ ਪਦ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਦੋ ਵਾਰ, ਚੌਥਾ ਪਦ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਤਿੰਨ ਵਾਰ, ਅਤੇ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ। ਦਸਵਾਂ ਪਦ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਨੂੰ ਸਾਂਝੇ ਅਨੁਪਾਤ ਨਾਲ ਨੌਂ ਵਾਰ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਜਾਂ ਸਾਂਝੇ ਅਨੁਪਾਤ ਦੀ ਨੌਵੀਂ ਘਾਤ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਪਤਾ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5
a 2 =4 ਅਤੇ a 3 =32 ਵਾਲੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ, a 6 ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ n-ਵੇਂ ਪਦ ਲਈ ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰ ਲਿਖਣਾ
ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਲਈ ਇੱਕ ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰ ਲਿਖੋ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾ ਪਦ 2 ਹੈ। ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਦੂਜੇ ਪਦ ਨੂੰ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਕੇ ਪਤਾ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ 5 ਹੈ। ਲੜੀ ਦੇ ਸਾਂਝੇ ਅਨੁਪਾਤ ਅਤੇ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਨੂੰ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
ਚਿੱਤਰ 4 ਵਿੱਚ ਇਸ ਲੜੀ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਇੱਕ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਪੈਟਰਨ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #6
ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਲਈ ਇੱਕ ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰ ਲਿਖੋ।
ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀਆਂ ਨਾਲ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆ ਦੇ ਹਾਲਾਤਾਂ ਵਿੱਚ ਜਿੱਥੇ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀਵਾਰਤਾਵਾਂ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਸਾਨੂੰ $a_1$ ਦੀ ਬਜਾਏ $a_0$ ਦੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਪਦ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਪੈ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਪੱਸ਼ਟ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨੂੰ ਥੋੜ੍ਹਾ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਉਦਾਹਰਨ 6
ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀਵਾਰਤਾਵਾਂ ਨਾਲ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
2013 ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਛੋਟੇ ਸਕੂਲ ਵਿੱਚ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ 284 ਹੈ। ਇਹ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਹਰ ਸਾਲ 4% ਵਧੇਗੀ।
ⓐ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ।
ⓑ 2020 ਵਿੱਚ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਓ।
ਹੱਲ
ⓐ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ 284 ਦੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਪਦ ਨਾਲ ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀਵਾਰਤਾ ਦੁਆਰਾ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਪਿਛਲੇ ਸਾਲ ਦਾ 104% ਹੋਵੇਗੀ, ਇਸ ਲਈ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ 1.04 ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ $P_n$ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਹੈ ਅਤੇ $n$ 2013 ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਦੇ ਸਾਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ। ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀਵਾਰਤਾ ਲਈ ਸਪੱਸ਼ਟ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਨੂੰ $P_n = 284 \cdot 1.04^n$ ਮਿਲਦਾ ਹੈ।
ⓑ ਅਸੀਂ ਘਟਾ ਕੇ 2013 ਤੋਂ ਸਾਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਪਤਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। $2020 - 2013 = 7$। ਅਸੀਂ 7 ਸਾਲਾਂ ਬਾਅਦ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ 2020 ਵਿੱਚ ਆਬਾਦੀ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ $n$ ਲਈ 7 ਨੂੰ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। $P_7 = 284 \cdot 1.04^7 \approx 374$। 2020 ਵਿੱਚ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਲਗਭਗ 374 ਹੋਵੇਗੀ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #7
ਇੱਕ ਕਾਰੋਬਾਰ ਇੱਕ ਨਵੀਂ ਵੈੱਬਸਾਈਟ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਸ਼ੁਰੂ ਵਿੱਚ, ਉਤਸੁਕਤਾ ਕਾਰਨ ਹਿੱਟਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ 293 ਹੈ। ਕਾਰੋਬਾਰ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਹਿੱਟਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਪ੍ਰਤੀ ਹਫ਼ਤੇ 2.6% ਵਧੇਗੀ।
ⓐ ਹਿੱਟਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ।
ⓑ 5 ਹਫ਼ਤਿਆਂ ਵਿੱਚ ਹਿੱਟਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਓ।
ਮੀਡੀਆ
ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀਵਾਰਤਾਵਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀਵਾਰਤਾਵਾਂ
ਲੜੀਵਾਰਤਾ ਦੀ ਕਿਸਮ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ
ਲੜੀਵਾਰਤਾ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲੱਭੋ
ਮੌਖਿਕ
ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀਵਾਰਤਾ ਕੀ ਹੈ?
ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀਵਾਰਤਾ ਦਾ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਕਿਵੇਂ ਲੱਭਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ?
ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਹੈ ਕਿ ਕੋਈ ਲੜੀਵਾਰਤਾ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ?
ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀਵਾਰਤਾ ਅਤੇ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀਵਾਰਤਾ ਵਿੱਚ ਕੀ ਅੰਤਰ ਹੈ?
ਦੱਸੋ ਕਿ ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀਵਾਰਤਾਵਾਂ ਕਿਵੇਂ ਸਮਾਨ ਹਨ। ਉਹ ਕਿਵੇਂ ਵੱਖਰੇ ਹਨ?
ਬੀਜਗਣਿਤ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦਾ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਪਤਾ ਕਰੋ।
1,3,9,27,81,...
−0.125,0.25,−0.5,1,−2,...
−2,− 1 2 ,− 1 8 ,− 1 32 ,− 1 128 ,...
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਲੜੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਪਤਾ ਕਰੋ।
−6,−12,−24,−48,−96,...
5,5.2,5.4,5.6,5.8,...
−1, 1 2 ,− 1 4 , 1 8 ,− 1 16 ,...
6,8,11,15,20,...
0.8,4,20,100,500,...
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਅਤੇ ਸਾਂਝੇ ਅਨੁਪਾਤ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ, ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਲਿਖੋ।
a 1 =8, r=0.3
a 1 =5, r= 1 5
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਕੋਈ ਵੀ ਦੋ ਪਦ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ, ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਲਿਖੋ।
a 7 =64, a 10 =512
a 6 =25, a 8 =6.25
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਅਤੇ ਸਾਂਝੇ ਅਨੁਪਾਤ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ, ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਲਈ ਨਿਰਧਾਰਤ ਪਦ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਪਹਿਲਾ ਪਦ 2 ਹੈ, ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ 3 ਹੈ। 5ਵਾਂ ਪਦ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਪਹਿਲਾ ਪਦ 16 ਹੈ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ − 1 3 ਹੈ। 4ਵਾਂ ਪਦ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਪਹਿਲੇ ਚਾਰ ਪਦ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ, ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਲਈ ਨਿਰਧਾਰਤ ਪਦ ਪਤਾ ਕਰੋ।
a n ={ −1,2,−4,8,... }. a 12 ਪਤਾ ਕਰੋ।
a n ={ −2, 2 3 ,− 2 9 , 2 27 ,... }. a 7 ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਲਿਖੋ।
a 1 =−486, a n =−13a n−1
a 1 =7, a n =0.2a n−1
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਲਈ ਇੱਕ ਰਿਕਾਰਸਿਵ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ।
a n ={ −1,5,−25,125,... }
a n ={ −32,−16,−8,−4,... }
a n ={ 14,56,224,896,... }
a n ={ 10,−3,0.9,−0.27,... }
a n ={ 0.61,1.83,5.49,16.47,... }
a n ={ 3/5, 1/10, 1/60, 1/360,... }
a n ={ −2, 4/3,− 8/9, 16/27,... }
a n ={ 1/512,− 1/128, 1/32,− 1/8,... }
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਲਿਖੋ।
a n =−4⋅ 5 n−1
a n =12⋅ ( − 1/2 ) n−1
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਲਈ ਇੱਕ ਸਪੱਸ਼ਟ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ।
a n ={ −2,−4,−8,−16,... }
a n ={ 1,3,9,27,... }
a n ={ −4,−12,−36,−108,... }
a n ={ 0.8,−4,20,−100,... }
a n ={−1.25,−5,−20,−80,...}
a n ={ −1,− 4/5,− 16/25,− 64/125,... }
a n ={ 2, 1/3, 1/18, 1/108,... }
a n ={ 3,−1, 1/3,− 1/9,... }
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਲਈ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਪਦ ਲੱਭੋ।
1. ਮੰਨ ਲਓ a 1 =4, a n =−3a n−1। a 8 ਪਤਾ ਕਰੋ।
2. ਮੰਨ ਲਓ a n =−(−1/3) n−1। a 12 ਪਤਾ ਕਰੋ।
3. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸੀਮਤ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਵਿੱਚ ਪਦਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਪਤਾ ਕਰੋ।
4. a n = {−1, 3, −9, ..., 2187}
5. a n = {2, 1, 1/2, ..., 1/1024}
6. ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ
7. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਗ੍ਰਾਫ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ।
8. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
9. a 1 =1, r = 1/2
10. a 1 =3, a n =2a n−1
11. a n =27⋅0.3 n−1
12. ਵਿਸਤਾਰ
13. ਦੋ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀਆਂ ਦੇ ਉਦਾਹਰਣ ਦੇਣ ਲਈ ਰਿਕਾਰਸਿਵ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਤੀਜੇ ਪਦ 200 ਹਨ।
14. ਦੋ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀਆਂ ਦੇ ਉਦਾਹਰਣ ਦੇਣ ਲਈ ਐਕਸਪਲਿਸਿਟ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਸੱਤਵੇਂ ਪਦ 1024 ਹਨ।
15. ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ {b, 4b, 16b, ...} ਦਾ ਪੰਜਵਾਂ ਪਦ ਪਤਾ ਕਰੋ।
16. ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ {64a(−b), 32a(−3b), 16a(−9b), ...} ਦਾ ਸੱਤਵਾਂ ਪਦ ਪਤਾ ਕਰੋ।
17. ਲੜੀ {10, 12, 14.4, 17.28, ...} ਕਿਸ ਪਦ 'ਤੇ 100 ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂਦੀ ਹੈ?
18. ਲੜੀ {1/2187, 1/729, 1/243, 1/81, ...} ਕਿਸ ਪਦ 'ਤੇ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨਾ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੀ ਹੈ?
19. ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ a n =−36(2/3) n−1 ਕਿਸ ਪਦ 'ਤੇ ਪਹਿਲੀ ਵਾਰ ਗੈਰ-ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੀ ਹੈ?
20. ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਲਿਖਣ ਲਈ ਰਿਕਾਰਸਿਵ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਜਿਸਦਾ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੋਵੇ। ਪਹਿਲੇ ਚਾਰ ਪਦ ਦਿਖਾਓ, ਅਤੇ ਫਿਰ 10ਵਾਂ ਪਦ ਪਤਾ ਕਰੋ।
21. ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਲਿਖਣ ਲਈ ਐਕਸਪਲਿਸਿਟ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਜਿਸਦਾ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ 0 ਅਤੇ 1 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸੰਖਿਆ ਹੋਵੇ। ਪਹਿਲੇ 4 ਪਦ ਦਿਖਾਓ, ਅਤੇ ਫਿਰ 8ਵਾਂ ਪਦ ਪਤਾ ਕਰੋ।
22. ਕੀ ਇਹ ਸੰਭਵ ਹੈ ਕਿ ਕੋਈ ਲੜੀ ਅੰਕਗਣਿਤ ਅਤੇ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਦੋਵੇਂ ਹੋਵੇ? ਜੇਕਰ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਦਿਓ।