ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਜੋੜ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗਿਣਤੀ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਗੁਣਾ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗਿਣਤੀ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
n ਵੱਖਰੀਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਪਰਮਿਊਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗਿਣਤੀ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਸੰਯੋਜਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗਿਣਤੀ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੂਹ ਦੇ ਉਪ-ਸਮੂਹਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭੋ।
n ਇੱਕੋ ਜਿਹੀਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਪਰਮਿਊਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗਿਣਤੀ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਨਵੀਂ ਕੰਪਨੀ ਟੈਬਲੇਟਾਂ ਅਤੇ ਸਮਾਰਟਫੋਨਾਂ ਲਈ ਅਨੁਕੂਲਿਤ ਕੇਸ ਵੇਚਦੀ ਹੈ। ਹਰ ਕੇਸ ਕਈ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੇ ਰੰਗਾਂ ਵਿੱਚ ਆਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਵਾਧੂ ਫੀਸ ਲਈ ਚਿੱਤਰਾਂ ਜਾਂ ਮੋਨੋਗ੍ਰਾਮ ਨਾਲ ਨਿੱਜੀ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਗਾਹਕ ਨਿੱਜੀਕਰਨ ਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਚੋਣ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਇੱਕ, ਦੋ, ਜਾਂ ਤਿੰਨ ਚਿੱਤਰਾਂ ਜਾਂ ਇੱਕ ਮੋਨੋਗ੍ਰਾਮ ਰੱਖਣ ਦੀ ਚੋਣ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਗਾਹਕ ਚਿੱਤਰਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਅਤੇ ਮੋਨੋਗ੍ਰਾਮ ਵਿੱਚ ਅੱਖਰਾਂ ਦੀ ਚੋਣ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਕੰਪਨੀ ਇੱਕ ਏਜੰਸੀ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰ ਰਹੀ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਉਹਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੇ ਗਏ ਵਿਕਲਪਾਂ ਦੀ ਭਾਰੀ ਗਿਣਤੀ 'ਤੇ ਧਿਆਨ ਕੇਂਦਰਿਤ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਇੱਕ ਮਾਰਕੀਟਿੰਗ ਮੁਹਿੰਮ ਵਿਕਸਤ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕੇ। ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਕਰਨਾ ਚੁਣੌਤੀਪੂਰਨ ਹੈ!
ਅਸੀਂ ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਕਈ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਗਿਣਤੀ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਦਾ ਸਾਹਮਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਗਣਿਤ ਦੀ ਇੱਕ ਸ਼ਾਖਾ ਹੈ ਜੋ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਗਿਣਤੀ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਦੇ ਅਧਿਐਨ ਲਈ ਸਮਰਪਿਤ ਹੈ। ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਹੋਰ ਉਪਯੋਗ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਪਾਸਵਰਡ, ਘੋੜ ਦੌੜ ਦੇ ਨਤੀਜੇ, ਅਤੇ ਕਾਲਜ ਸ਼ਡਿਊਲਿੰਗ ਵਿਕਲਪਾਂ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਇਸ ਕਿਸਮ ਦੇ ਗਣਿਤ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਾਂਗੇ।
ਜੋੜ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਕਸਟਮਾਈਜ਼ੇਬਲ ਕੇਸ ਵੇਚਣ ਵਾਲੀ ਕੰਪਨੀ ਟੈਬਲੇਟਾਂ ਅਤੇ ਸਮਾਰਟਫੋਨਾਂ ਲਈ ਕੇਸ ਪੇਸ਼ ਕਰਦੀ ਹੈ। 3 ਸਮਰਥਿਤ ਟੈਬਲੇਟ ਮਾਡਲ ਅਤੇ 5 ਸਮਰਥਿਤ ਸਮਾਰਟਫੋਨ ਮਾਡਲ ਹਨ। ਜੋੜ ਦਾ ਸਿਧਾਂਤ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਕੁੱਲ ਵਿਕਲਪਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭਣ ਲਈ ਟੈਬਲੇਟ ਵਿਕਲਪਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨੂੰ ਸਮਾਰਟਫੋਨ ਵਿਕਲਪਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਵਿੱਚ ਜੋੜ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਜੋੜ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਦੁਆਰਾ, ਕੁੱਲ 8 ਵਿਕਲਪ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 1 ਵਿੱਚ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਜੋੜ ਦਾ ਸਿਧਾਂਤ
ਜੋੜ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ, ਜੇ ਇੱਕ ਘਟਨਾ m ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਵਾਪਰ ਸਕਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਦੂਜੀ ਘਟਨਾ ਜਿਸਦੇ ਕੋਈ ਸਾਂਝੇ ਨਤੀਜੇ ਨਹੀਂ ਹਨ, n ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਵਾਪਰ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਪਹਿਲੀ ਜਾਂ ਦੂਜੀ ਘਟਨਾ m+n ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਵਾਪਰ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਜੋੜ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਇੱਕ ਡਿਨਰ ਮੀਨੂ 'ਤੇ 2 ਸ਼ਾਕਾਹਾਰੀ ਐਂਟਰੀ ਵਿਕਲਪ ਅਤੇ 5 ਮੀਟ ਐਂਟਰੀ ਵਿਕਲਪ ਹਨ। ਐਂਟਰੀ ਵਿਕਲਪਾਂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਗਿਣਤੀ ਕਿੰਨੀ ਹੈ?
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਕੁੱਲ ਐਂਟਰੀ ਵਿਕਲਪਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭਣ ਲਈ ਸ਼ਾਕਾਹਾਰੀ ਵਿਕਲਪਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨੂੰ ਮੀਟ ਵਿਕਲਪਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਵਿੱਚ ਜੋੜ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਕੁੱਲ 7 ਵਿਕਲਪ ਹਨ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
ਇੱਕ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਨਵਾਂ ਕੰਪਿਊਟਰ ਖਰੀਦ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਉਹ 3 ਡੈਸਕਟਾਪ ਕੰਪਿਊਟਰਾਂ ਅਤੇ 4 ਲੈਪਟਾਪ ਕੰਪਿਊਟਰਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਫੈਸਲਾ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਕੰਪਿਊਟਰ ਵਿਕਲਪਾਂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਗਿਣਤੀ ਕਿੰਨੀ ਹੈ?
ਗੁਣਾ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਗੁਣਾ ਦਾ ਸਿਧਾਂਤ ਉਦੋਂ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਚੋਣ ਕਰ ਰਹੇ ਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਐਪੀਟਾਈਜ਼ਰ, ਇੱਕ ਐਂਟਰੀ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਡੇਜ਼ਰਟ ਚੁਣ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਜੇ ਇੱਕ ਫਿਕਸਡ-ਪ੍ਰਾਈਸ ਡਿਨਰ ਮੀਨੂ 'ਤੇ 2 ਐਪੀਟਾਈਜ਼ਰ ਵਿਕਲਪ, 3 ਐਂਟਰੀ ਵਿਕਲਪ, ਅਤੇ 2 ਡੇਜ਼ਰਟ ਵਿਕਲਪ ਹਨ, ਤਾਂ ਚਿੱਤਰ 2 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਟ੍ਰੀ ਡਾਇਗ੍ਰਾਮ ਵਾਂਗ ਹਰੇਕ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਦੀ ਕੁੱਲ 12 ਸੰਭਵ ਚੋਣਾਂ ਹਨ।
1. ਸੰਭਵ ਚੋਣਾਂ ਹਨ:
2. ਸੂਪ, ਚਿਕਨ, ਕੇਕ
3. ਸੂਪ, ਚਿਕਨ, ਪੁਡਿੰਗ
4. ਸੂਪ, ਮੱਛੀ, ਕੇਕ
5. ਸੂਪ, ਮੱਛੀ, ਪੁਡਿੰਗ
6. ਸੂਪ, ਸਟੀਕ, ਕੇਕ
7. ਸੂਪ, ਸਟੀਕ, ਪੁਡਿੰਗ
8. ਸਲਾਦ, ਚਿਕਨ, ਕੇਕ
9. ਸਲਾਦ, ਚਿਕਨ, ਪੁਡਿੰਗ
10. ਸਲਾਦ, ਮੱਛੀ, ਕੇਕ
11. ਸਲਾਦ, ਮੱਛੀ, ਪੁਡਿੰਗ
12. ਸਲਾਦ, ਸਟੀਕ, ਕੇਕ
13. ਸਲਾਦ, ਸਟੀਕ, ਪੁਡਿੰਗ
14. ਅਸੀਂ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਸੰਭਵ ਡਿਨਰਾਂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਗਿਣਤੀ ਵੀ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
15. ਅਸੀਂ ਗੁਣਾ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ ਸਿਰਫ਼ 12 ਸੰਭਵ ਡਿਨਰ ਚੋਣਾਂ ਦਾ ਸਿੱਟਾ ਵੀ ਕੱਢ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
16. ਗੁਣਾ ਦਾ ਸਿਧਾਂਤ
17. ਗੁਣਾ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਅਨੁਸਾਰ, ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਘਟਨਾ m ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਵਾਪਰ ਸਕਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਦੂਜੀ ਘਟਨਾ ਪਹਿਲੀ ਘਟਨਾ ਵਾਪਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ n ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਵਾਪਰ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਦੋ ਘਟਨਾਵਾਂ m×n ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਵਾਪਰ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸਨੂੰ ਬੁਨਿਆਦੀ ਗਿਣਤੀ ਸਿਧਾਂਤ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
18. ਉਦਾਹਰਨ 2
19. ਗੁਣਾ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ
20. ਡਾਇਨ ਨੇ ਆਪਣੀ ਵਪਾਰਕ ਯਾਤਰਾ ਲਈ 2 ਸਕਰਟਾਂ, 4 ਬਲਾਊਜ਼ ਅਤੇ 2 ਸਵੈਟਰ ਪੈਕ ਕੀਤੇ। ਉਸਨੂੰ ਹਰ ਪਹਿਰਾਵੇ ਲਈ ਇੱਕ ਸਕਰਟ ਅਤੇ ਇੱਕ ਬਲਾਊਜ਼ ਚੁਣਨਾ ਪਵੇਗਾ ਅਤੇ ਸਵੈਟਰ ਪਹਿਨਣ ਦਾ ਫੈਸਲਾ ਕਰਨਾ ਪਵੇਗਾ। ਸੰਭਵ ਪਹਿਰਾਵਿਆਂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭਣ ਲਈ ਗੁਣਾ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
21. ਹੱਲ
22. ਕੁੱਲ ਪਹਿਰਾਵਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਸਕਰਟ ਵਿਕਲਪਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ, ਬਲਾਊਜ਼ ਵਿਕਲਪਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਅਤੇ ਸਵੈਟਰ ਵਿਕਲਪਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਲੱਭੋ।
23. 16 ਸੰਭਵ ਪਹਿਰਾਵੇ ਹਨ।
24. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
ਇੱਕ ਰੈਸਟੋਰੈਂਟ ਇੱਕ ਨਾਸ਼ਤੇ ਦਾ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਪੇਸ਼ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨਾਸ਼ਤੇ ਦਾ ਸੈਂਡਵਿਚ, ਇੱਕ ਸਾਈਡ ਡਿਸ਼, ਅਤੇ ਇੱਕ ਪੀਣ ਵਾਲਾ ਪਦਾਰਥ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਨਾਸ਼ਤੇ ਦੇ ਸੈਂਡਵਿਚਾਂ ਦੀਆਂ 3 ਕਿਸਮਾਂ, 4 ਸਾਈਡ ਡਿਸ਼ ਵਿਕਲਪ, ਅਤੇ 5 ਪੀਣ ਵਾਲੇ ਪਦਾਰਥਾਂ ਦੀਆਂ ਚੋਣਾਂ ਹਨ। ਸੰਭਵ ਨਾਸ਼ਤੇ ਦੇ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਾਂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਗਿਣਤੀ ਪਤਾ ਕਰੋ।
n ਵੱਖ-ਵੱਖ ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ-ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭਣਾ
ਗੁਣਾ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਈ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਕਿਸਮ ਦੀ ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ ਵਸਤੂਆਂ ਨੂੰ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਰੱਖਣਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਅੱਖਰਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ ਅਤੇ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਫੋਟੋਗ੍ਰਾਫਾਂ ਲਈ ਲਾਈਨ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਕਮਰਿਆਂ ਨੂੰ ਸਜਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਹੋਰ ਵੀ। ਵਸਤੂਆਂ ਦੀ ਇੱਕ ਵਿਵਸਥਾ ਨੂੰ ਪਰਿਵਰਤਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਗੁਣਾ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ n ਵੱਖ-ਵੱਖ ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ-ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭਣਾ
ਪਰਿਵਰਤਨ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਵਿਕਲਪ ਲਈ ਲਾਈਨ ਸੈਗਮੈਂਟ ਖਿੱਚਣਾ ਅਕਸਰ ਮਦਦਗਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਹਰੇਕ ਵਿਕਲਪ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਗੁਣਾ ਕਰ ਸਕੀਏ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਚਾਰ ਪੇਂਟਿੰਗਾਂ ਹਨ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਕੰਧ 'ਤੇ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਪੇਂਟਿੰਗਾਂ ਨੂੰ ਲਟਕਾਉਣ ਦੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਕੰਧ 'ਤੇ ਤਿੰਨ ਥਾਵਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਤਿੰਨ ਲਾਈਨਾਂ ਖਿੱਚ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਪਹਿਲੀ ਜਗ੍ਹਾ ਲਈ ਚਾਰ ਵਿਕਲਪ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲੀ ਲਾਈਨ 'ਤੇ 4 ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ।
ਪਹਿਲੀ ਜਗ੍ਹਾ ਭਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਦੂਜੀ ਜਗ੍ਹਾ ਲਈ ਤਿੰਨ ਵਿਕਲਪ ਹਨ ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਦੂਜੀ ਲਾਈਨ 'ਤੇ 3 ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ।
ਦੂਜੀ ਜਗ੍ਹਾ ਭਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਤੀਜੀ ਜਗ੍ਹਾ ਲਈ ਦੋ ਵਿਕਲਪ ਹਨ ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਤੀਜੀ ਲਾਈਨ 'ਤੇ 2 ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ। ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਗੁਣਨਫਲ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ।
ਪੇਂਟਿੰਗਾਂ ਦੇ 24 ਸੰਭਵ ਪਰਿਵਰਤਨ ਹਨ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
n ਵੱਖ-ਵੱਖ ਵਿਕਲਪਾਂ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕਿੰਨੇ ਪਰਿਵਰਤਨ ਹਨ।
ਪਹਿਲੀ ਸਥਿਤੀ ਲਈ ਕਿੰਨੇ ਵਿਕਲਪ ਹਨ, ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਦੂਜੀ ਸਥਿਤੀ ਲਈ ਕਿੰਨੇ ਵਿਕਲਪ ਬਚੇ ਹਨ, ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਸਾਰੀਆਂ ਥਾਵਾਂ ਭਰ ਨਾ ਜਾਣ, ਜਾਰੀ ਰੱਖੋ।
ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਗੁਣਾ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭਣਾ
ਤੈਰਾਕੀ ਮੁਕਾਬਲੇ ਵਿੱਚ, ਨੌਂ ਤੈਰਾਕ ਇੱਕ ਦੌੜ ਵਿੱਚ ਹਿੱਸਾ ਲੈਂਦੇ ਹਨ।
ⓐ ਉਹ ਕਿੰਨੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਪਹਿਲਾ, ਦੂਜਾ ਅਤੇ ਤੀਜਾ ਸਥਾਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਨ?
ⓑ ਉਹ ਕਿੰਨੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਪਹਿਲਾ, ਦੂਜਾ ਅਤੇ ਤੀਜਾ ਸਥਾਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਨ ਜੇਕਰ ਏਰੀਅਲ ਨਾਮ ਦੀ ਤੈਰਾਕ ਪਹਿਲਾ ਸਥਾਨ ਜਿੱਤਦੀ ਹੈ? (ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਏਰੀਅਲ ਨਾਮ ਦਾ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਯੋਗੀ ਹੈ।)
ⓒ ਸਾਰੇ ਨੌਂ ਤੈਰਾਕ ਫੋਟੋ ਲਈ ਕਿੰਨੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਲਾਈਨ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਨ?
ਹੱਲ
ⓐ ਹਰੇਕ ਸਥਾਨ ਲਈ ਲਾਈਨਾਂ ਖਿੱਚੋ। ਪਹਿਲੇ ਸਥਾਨ ਲਈ 9 ਵਿਕਲਪ ਹਨ। ਇੱਕ ਵਾਰ ਜਦੋਂ ਕੋਈ ਪਹਿਲਾ ਸਥਾਨ ਜਿੱਤ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਦੂਜੇ ਸਥਾਨ ਲਈ 8 ਬਾਕੀ ਵਿਕਲਪ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ ਵਾਰ ਪਹਿਲਾ ਅਤੇ ਦੂਜਾ ਸਥਾਨ ਜਿੱਤਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਤੀਜੇ ਸਥਾਨ ਲਈ 7 ਬਾਕੀ ਵਿਕਲਪ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਤੈਰਾਕਾਂ ਦੇ ਸਥਾਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੇ 504 ਤਰੀਕੇ ਲੱਭਣ ਲਈ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ⓑ ਹਰੇਕ ਸਥਾਨ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ ਲਾਈਨਾਂ ਖਿੱਚੋ। ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਏਰੀਅਲ ਨੂੰ ਪਹਿਲਾ ਸਥਾਨ ਜਿੱਤਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਪਹਿਲੇ ਸਥਾਨ ਲਈ ਸਿਰਫ 1 ਵਿਕਲਪ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸਥਾਨ ਲਈ 8 ਬਾਕੀ ਵਿਕਲਪ ਹਨ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਤੀਜੇ ਸਥਾਨ ਲਈ 7 ਬਾਕੀ ਵਿਕਲਪ ਹਨ। ਜੇ ਏਰੀਅਲ ਪਹਿਲਾ ਸਥਾਨ ਜਿੱਤਦੀ ਹੈ ਤਾਂ ਤੈਰਾਕਾਂ ਦੇ ਸਥਾਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੇ 56 ਤਰੀਕੇ ਲੱਭਣ ਲਈ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
1. ਤਸਵੀਰ ਵਿੱਚ ਹਰ ਥਾਂ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ ਲਾਈਨਾਂ ਖਿੱਚੋ। ਪਹਿਲੀ ਥਾਂ ਲਈ 9 ਵਿਕਲਪ ਹਨ, ਫਿਰ ਦੂਜੀ ਲਈ 8, ਤੀਜੀ ਲਈ 7, ਚੌਥੀ ਲਈ 6, ਅਤੇ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਆਖਰੀ ਥਾਂ ਲਈ ਸਿਰਫ 1 ਵਿਅਕਤੀ ਬਾਕੀ ਨਾ ਰਹਿ ਜਾਵੇ। ਤੈਰਾਕਾਂ ਦੇ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ ਖੜ੍ਹੇ ਹੋਣ ਲਈ 362,880 ਸੰਭਵ ਕ੍ਰਮ ਹਨ।
2. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
3. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਭਾਗ c ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪਾਇਆ ਕਿ 9 ਲੋਕਾਂ ਦੇ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ ਖੜ੍ਹੇ ਹੋਣ ਦੇ 9! ਤਰੀਕੇ ਸਨ। n ਵੱਖ-ਵੱਖ ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਹਮੇਸ਼ਾ n! ਦੁਆਰਾ ਪਾਈ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। n!
4. ਪੰਜ ਜੀਆਂ ਦਾ ਇੱਕ ਪਰਿਵਾਰ ਤਸਵੀਰਾਂ ਖਿਚਵਾ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਗੁਣਾ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
5. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
6. ਪਰਿਵਾਰ ਤਸਵੀਰ ਲਈ ਕਿੰਨੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ ਖੜ੍ਹਾ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ?
7. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
8. ਫੋਟੋਗ੍ਰਾਫਰ 3 ਪਰਿਵਾਰਕ ਮੈਂਬਰਾਂ ਨੂੰ ਕਿੰਨੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ ਖੜ੍ਹਾ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ?
9. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5
10. ਪਰਿਵਾਰ ਤਸਵੀਰ ਲਈ ਕਿੰਨੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ ਖੜ੍ਹਾ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੇ ਮਾਪਿਆਂ ਨੂੰ ਹਰ ਸਿਰੇ 'ਤੇ ਖੜ੍ਹੇ ਹੋਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ?
11. ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ n ਵੱਖ-ਵੱਖ ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਲੱਭਣਾ
12. ਕੁਝ ਕ੍ਰਮ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਲਈ, ਗੁਣਾ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਅਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਖੁਸ਼ਕਿਸਮਤੀ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨਾਲ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਫਾਰਮੂਲਾ ਸਿੱਖਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਆਓ ਕ੍ਰਮਾਂ ਲਈ ਦੋ ਆਮ ਸੰਕੇਤਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖੀਏ। ਜੇਕਰ ਸਾਡੇ ਕੋਲ n ਵਸਤੂਆਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਹੈ ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਸਮੂਹ ਵਿੱਚੋਂ r ਵਸਤੂਆਂ ਨੂੰ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਚੁਣਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ P(n,r) ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ। P(n,r)। ਇਸਨੂੰ ਲਿਖਣ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ n P r ਹੈ, n P r, ਇੱਕ ਸੰਕੇਤ ਜੋ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਕੰਪਿਊਟਰਾਂ ਅਤੇ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰਾਂ 'ਤੇ ਦੇਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। P(n,r) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, P(n,r), ਅਸੀਂ ਸਾਰੀਆਂ n ਵਸਤੂਆਂ ਨੂੰ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ ਖੜ੍ਹੇ ਕਰਨ ਦੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ, n! ਲੱਭ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ (n−r)! (n−r)! ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ (n−r) (n−r) ਚੀਜ਼ਾਂ ਨੂੰ ਰੱਦ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਅਸੀਂ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਖੜ੍ਹਾ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ।
13. ਆਓ ਦੇਖੀਏ ਕਿ ਇਹ ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਉਦਾਹਰਨ ਨਾਲ ਕਿਵੇਂ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਛੇ ਲੋਕਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਕਲੱਬ ਦੀ ਕਲਪਨਾ ਕਰੋ। ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਪ੍ਰਧਾਨ, ਇੱਕ ਉਪ-ਪ੍ਰਧਾਨ ਅਤੇ ਇੱਕ ਖਜ਼ਾਨਚੀ ਚੁਣਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਛੇ ਲੋਕਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਧਾਨ ਚੁਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਬਾਕੀ ਪੰਜ ਲੋਕਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਈ ਵੀ ਉਪ-ਪ੍ਰਧਾਨ ਚੁਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਬਾਕੀ ਚਾਰ ਲੋਕਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਈ ਵੀ ਖਜ਼ਾਨਚੀ ਚੁਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਜਿੰਨੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਉਹ 6×5×4=120 ਹੈ। 6×5×4=120। ਫੈਕਟੋਰੀਅਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਸਾਨੂੰ ਉਹੀ ਨਤੀਜਾ ਮਿਲਦਾ ਹੈ।
14. 6 ਮੈਂਬਰਾਂ ਵਾਲੀ ਕਲੱਬ ਵਿੱਚੋਂ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ 3 ਅਧਿਕਾਰੀਆਂ ਦੀ ਚੋਣ ਕਰਨ ਦੇ 120 ਤਰੀਕੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ 6 ਵਿੱਚੋਂ 3 ਲਏ ਗਏ ਕ੍ਰਮਾਂ ਵਜੋਂ ਸੰਦਰਭਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਆਮ ਫਾਰਮੂਲਾ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
15. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਸਾਰੀਆਂ n ਵਸਤੂਆਂ ਨੂੰ ਚੁਣ ਰਹੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਰੱਖ ਰਹੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਫਾਰਮੂਲਾ ਅਜੇ ਵੀ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਉਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ (n−n)! (n−n)! ਜਾਂ 0!, 0!, ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਕਿਹਾ ਸੀ ਕਿ 1 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰ ਰਹੇ ਹੋਵਾਂਗੇ। ਇਸ ਲਈ n ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ n ਸਮੇਂ ਕ੍ਰਮਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ n! 1 n! 1 ਜਾਂ ਸਿਰਫ਼ n! ਹੈ। n!
16. n ਵੱਖ-ਵੱਖ ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮਾਂ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਾ
17. n ਵੱਖ-ਵੱਖ ਵਸਤੂਆਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ, ਸਮੂਹ ਵਿੱਚੋਂ r ਵਸਤੂਆਂ ਨੂੰ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਚੁਣਨ ਦੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ
18. ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ
19. ਇੱਕ ਸ਼ਬਦ ਸਮੱਸਿਆ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਸੰਭਵ ਕ੍ਰਮਾਂ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰੋ।
20. ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਤੋਂ n ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
21. ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਤੋਂ r ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
22. ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮੁੱਲਾਂ ਨਾਲ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ n ਅਤੇ r ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
23. ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰੋ।
24. ਉਦਾਹਰਨ 4
ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕ੍ਰਮ-ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭਣਾ
ਇੱਕ ਪ੍ਰੋਫੈਸਰ 12 ਪ੍ਰਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਟੈਸਟ ਬੈਂਕ ਵਿੱਚੋਂ 9 ਪ੍ਰਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਤਿਆਰ ਕਰ ਰਹੀ ਹੈ। ਉਹ ਪ੍ਰਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਕਿੰਨੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਚੁਣ ਅਤੇ ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰ ਸਕਦੀ ਹੈ?
ਹੱਲ
ਕ੍ਰਮ-ਪਰਿਵਰਤਨ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ n=12 ਅਤੇ r=9 ਨੂੰ ਬਦਲੋ ਅਤੇ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਪ੍ਰਸ਼ਨਾਂ ਦੇ 79,833,600 ਸੰਭਵ ਕ੍ਰਮ-ਪਰਿਵਰਤਨ ਹਨ!
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਅਸੀਂ ਕ੍ਰਮ-ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇੱਕ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਵੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਲਈ, ਅਸੀਂ 12 ਦਰਜ ਕਰਾਂਗੇ, n P r ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਬਾਵਾਂਗੇ, 9 ਦਰਜ ਕਰਾਂਗੇ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਬਰਾਬਰ ਦਾ ਨਿਸ਼ਾਨ ਦਬਾਵਾਂਗੇ। n P r ਫੰਕਸ਼ਨ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕਮਾਂਡਾਂ ਦੇ ਨਾਲ MATH ਮੀਨੂ ਦੇ ਅਧੀਨ ਸਥਿਤ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।
Q&A
ਕੀ ਅਸੀਂ ਉਦਾਹਰਨ 4 ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਸੀ?
ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਉਸੇ ਉੱਤਰ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ 12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4 ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਸੀ।
ਇੱਕ ਨਾਟਕ ਵਿੱਚ 7 ਅਭਿਨੇਤਾਵਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਕਾਸਟ ਹੈ ਜੋ ਆਪਣੇ ਪਰਦੇ ਦੇ ਸੱਦੇ ਲਈ ਤਿਆਰੀ ਕਰ ਰਹੇ ਹਨ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕ੍ਰਮ-ਪਰਿਵਰਤਨ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #6
7 ਅਭਿਨੇਤਾ ਕਿੰਨੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਲਾਈਨ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਨ?
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #7
7 ਅਭਿਨੇਤਾਵਾਂ ਵਿੱਚੋਂ 5 ਨੂੰ ਲਾਈਨ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕਿੰਨੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਚੁਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ?
ਸੰਯੋਜਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭਣ ਲਈ ਸੂਤਰ
ਹੁਣ ਤੱਕ, ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਿਆ ਹੈ ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਵਸਤੂਆਂ ਨੂੰ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ਲਈ ਕਹਿੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਵਿੱਚੋਂ ਕੁਝ ਵਸਤੂਆਂ ਦੀ ਚੋਣ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਪਰ ਸਾਨੂੰ ਕ੍ਰਮ ਦੀ ਪਰਵਾਹ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਵਸਤੂਆਂ ਦੀ ਚੋਣ ਕਰ ਰਹੇ ਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਕ੍ਰਮ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ, ਅਸੀਂ ਸੰਯੋਜਨਾਂ ਨਾਲ ਨਜਿੱਠ ਰਹੇ ਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। n ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਵਿੱਚੋਂ r ਵਸਤੂਆਂ ਦੀ ਚੋਣ ਜਿੱਥੇ ਕ੍ਰਮ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ, ਨੂੰ C(n,r) ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਕ੍ਰਮ-ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਵਾਂਗ ਹੀ, C(n,r) ਨੂੰ n C r ਵਜੋਂ ਵੀ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਆਮ ਸੂਤਰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਇੱਕ ਪਿਛਲੀ ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ ਕੰਧ 'ਤੇ ਲਗਾਉਣ ਲਈ 4 ਸੰਭਵ ਪੇਂਟਿੰਗਾਂ ਵਿੱਚੋਂ 3 ਦੀ ਚੋਣ ਕਰਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ। ਅਸੀਂ ਪਾਇਆ ਕਿ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ 4 ਪੇਂਟਿੰਗਾਂ ਵਿੱਚੋਂ 3 ਦੀ ਚੋਣ ਕਰਨ ਦੇ 24 ਤਰੀਕੇ ਸਨ। ਪਰ ਕੀ ਹੋਵੇ ਜੇ ਸਾਨੂੰ ਕ੍ਰਮ ਦੀ ਪਰਵਾਹ ਨਾ ਹੋਵੇ? ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਛੋਟੀ ਗਿਣਤੀ ਦੀ ਉਮੀਦ ਕਰਾਂਗੇ ਕਿਉਂਕਿ ਪੇਂਟਿੰਗਾਂ 1, 2, 3 ਦੀ ਚੋਣ ਕਰਨਾ ਪੇਂਟਿੰਗਾਂ 2, 3, 1 ਦੀ ਚੋਣ ਕਰਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇਗਾ। 4 ਪੇਂਟਿੰਗਾਂ ਵਿੱਚੋਂ 3 ਦੀ ਚੋਣ ਕਰਨ ਦੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਪੇਂਟਿੰਗਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਦੀ ਪਰਵਾਹ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ, ਕ੍ਰਮ-ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨੂੰ 3 ਪੇਂਟਿੰਗਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨਾਲ ਵੰਡੋ। 3 ਪੇਂਟਿੰਗਾਂ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਬਣਾਉਣ ਦੇ 3!=3·2·1=6 ਤਰੀਕੇ ਹਨ। 4 ਪੇਂਟਿੰਗਾਂ ਵਿੱਚੋਂ 3 ਦੀ ਚੋਣ ਕਰਨ ਦੇ 24/6, ਜਾਂ 4 ਤਰੀਕੇ ਹਨ। ਇਹ ਗਿਣਤੀ ਸਮਝਦਾਰ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਹਰ ਵਾਰ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ 3 ਪੇਂਟਿੰਗਾਂ ਦੀ ਚੋਣ ਕਰ ਰਹੇ ਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ 1 ਪੇਂਟਿੰਗ ਦੀ ਚੋਣ ਨਹੀਂ ਕਰ ਰਹੇ ਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। 4 ਪੇਂਟਿੰਗਾਂ ਹਨ ਜੋ ਅਸੀਂ ਚੁਣਨ ਤੋਂ ਇਨਕਾਰ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਇਸ ਲਈ 4 ਪੇਂਟਿੰਗਾਂ ਵਿੱਚੋਂ 3 ਦੀ ਚੋਣ ਕਰਨ ਦੇ 4 ਤਰੀਕੇ ਹਨ।
n ਵੱਖਰੀਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਸੰਯੋਜਨਾਂ ਲਈ ਸੂਤਰ
n ਵੱਖਰੀਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ, ਸਮੂਹ ਵਿੱਚੋਂ r ਵਸਤੂਆਂ ਦੀ ਚੋਣ ਕਰਨ ਦੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਵਿਕਲਪਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ, ਸੰਯੋਜਨਾਂ ਦੀ ਸੰਭਵ ਗਿਣਤੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਤੋਂ n ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਤੋਂ r ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮੁੱਲਾਂ ਨਾਲ n ਅਤੇ r ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
1. ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰੋ।
2. ਉਦਾਹਰਨ 5
3. ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸੰਯੋਜਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭਣਾ
4. ਇੱਕ ਫਾਸਟ ਫੂਡ ਰੈਸਟੋਰੈਂਟ ਪੰਜ ਸਾਈਡ ਡਿਸ਼ ਵਿਕਲਪ ਪੇਸ਼ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਤੁਹਾਡੇ ਭੋਜਨ ਵਿੱਚ ਦੋ ਸਾਈਡ ਡਿਸ਼ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ।
5. ⓐਤੁਸੀਂ ਆਪਣੀਆਂ ਸਾਈਡ ਡਿਸ਼ਾਂ ਦੀ ਚੋਣ ਕਿਵੇਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ?
6. ⓑਤੁਸੀਂ 3 ਸਾਈਡ ਡਿਸ਼ਾਂ ਦੀ ਚੋਣ ਕਿਵੇਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ?
7. ਹੱਲ
8. ⓐਅਸੀਂ 5 ਵਿਕਲਪਾਂ ਵਿੱਚੋਂ 2 ਸਾਈਡ ਡਿਸ਼ਾਂ ਦੀ ਚੋਣ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। C(5,2)= 5! 2!(5−2)! =10
9. ⓑਅਸੀਂ 5 ਵਿਕਲਪਾਂ ਵਿੱਚੋਂ 3 ਸਾਈਡ ਡਿਸ਼ਾਂ ਦੀ ਚੋਣ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। C(5,3)= 5! 3!(5−3)! =10
10. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
11. ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵੀ ਸੰਯੋਜਨਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। 5 ਦਰਜ ਕਰੋ, ਫਿਰ n C r ਦਬਾਓ, 3 ਦਰਜ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਬਰਾਬਰ ਦਾ ਨਿਸ਼ਾਨ ਦਬਾਓ। n C r ਫੰਕਸ਼ਨ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕਮਾਂਡਾਂ ਦੇ ਨਾਲ MATH ਮੀਨੂ ਦੇ ਅਧੀਨ ਸਥਿਤ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।
Q&A
12. ਕੀ ਇਹ ਇੱਕ ਸੰਯੋਗ ਹੈ ਕਿ ਉਦਾਹਰਨ 5 ਦੇ ਭਾਗ (a) ਅਤੇ (b) ਦੇ ਜਵਾਬ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹਨ?
13. ਨਹੀਂ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ n ਵਸਤੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ r ਵਸਤੂਆਂ ਦੀ ਚੋਣ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ (n–r) ਵਸਤੂਆਂ ਦੀ ਚੋਣ ਨਹੀਂ ਕਰ ਰਹੇ ਹੁੰਦੇ। ਇਸ ਲਈ, C(n,r)=C(n,n–r)।
14. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #8
15. ਇੱਕ ਆਈਸ ਕ੍ਰੀਮ ਦੀ ਦੁਕਾਨ 10 ਆਈਸ ਕ੍ਰੀਮ ਦੇ ਫਲੇਵਰ ਪੇਸ਼ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਬਨਾਣਾ ਸਪਲਿਟ ਲਈ 3 ਫਲੇਵਰ ਚੁਣਨ ਦੇ ਕਿੰਨੇ ਤਰੀਕੇ ਹਨ?
16. ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਦੇ ਉਪ-ਸਮੂਹਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭਣਾ
17. ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ ਸੰਯੋਜਨ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕੀਤਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਬਿਲਕੁਲ r ਵਸਤੂਆਂ ਦੀ ਚੋਣ ਕੀਤੀ ਹੈ। ਕੁਝ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਹਰ ਸੰਭਵ ਗਿਣਤੀ ਦੀਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਦੀ ਚੋਣ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਇੱਕ ਪੀਜ਼ਾ ਰੈਸਟੋਰੈਂਟ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਜੋ 5 ਟੌਪਿੰਗਜ਼ ਪੇਸ਼ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਵੀ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਟੌਪਿੰਗਜ਼ ਦਾ ਆਰਡਰ ਦਿੱਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਕਿੰਨੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਪੀਜ਼ਾ ਸੰਭਵ ਹਨ?
18. ਇਸ ਸਵਾਲ ਦਾ ਜਵਾਬ ਦੇਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਟੌਪਿੰਗਜ਼ ਵਾਲੇ ਪੀਜ਼ਾ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਬਿਨਾਂ ਟੌਪਿੰਗਜ਼ ਵਾਲਾ ਪੀਜ਼ਾ ਆਰਡਰ ਕਰਨ ਦਾ C(5,0)=1 ਤਰੀਕਾ ਹੈ। ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਟੌਪਿੰਗ ਵਾਲਾ ਪੀਜ਼ਾ ਆਰਡਰ ਕਰਨ ਦੇ C(5,1)=5 ਤਰੀਕੇ ਹਨ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇਸ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਨੂੰ ਜਾਰੀ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
19. 32 ਸੰਭਵ ਪੀਜ਼ਾ ਹਨ। ਇਹ ਨਤੀਜਾ 2^5 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
20. ਸਾਨੂੰ ਚੋਣਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਕ੍ਰਮ ਨਾਲ ਪੇਸ਼ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। n ਵਸਤੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਲਈ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਦੋ ਚੋਣਾਂ ਹਨ: ਇਸਨੂੰ ਉਪ-ਸਮੂਹ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨਾ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ। ਇਸ ਲਈ ਪੂਰੇ ਉਪ-ਸਮੂਹ ਲਈ ਅਸੀਂ n ਚੋਣਾਂ ਕੀਤੀਆਂ ਹਨ, ਹਰੇਕ ਵਿੱਚ ਦੋ ਵਿਕਲਪ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ ਸੰਭਵ ਨਤੀਜੇ ਵਾਲੇ ਉਪ-ਸਮੂਹਾਂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਗਿਣਤੀ 2·2·2·…·2 ਹੈ, ਖਾਲੀ ਉਪ-ਸਮੂਹ ਤੋਂ ਲੈ ਕੇ, ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਉਦੋਂ ਮਿਲਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਹਰ ਵਾਰ "ਨਹੀਂ" ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ, ਅਸਲ ਸਮੂਹ ਤੱਕ, ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਉਦੋਂ ਮਿਲਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਹਰ ਵਾਰ "ਹਾਂ" ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ।
21. ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਦੇ ਉਪ-ਸਮੂਹਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਾ
22. n ਵੱਖ-ਵੱਖ ਵਸਤੂਆਂ ਵਾਲੇ ਸਮੂਹ ਵਿੱਚ 2^n ਉਪ-ਸਮੂਹ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
23. ਉਦਾਹਰਨ 6
24. ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਦੇ ਉਪ-ਸਮੂਹਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭਣਾ
ਇੱਕ ਰੈਸਟੋਰੈਂਟ ਵਿੱਚ ਬੇਕ ਕੀਤੇ ਆਲੂਆਂ ਲਈ ਬਟਰ, ਚੀਜ਼, ਚਾਈਵਜ਼ ਅਤੇ ਖੱਟੀ ਮਲਾਈ ਟੌਪਿੰਗ ਵਜੋਂ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਆਲੂ ਦਾ ਆਰਡਰ ਦੇਣ ਦੇ ਕਿੰਨੇ ਵੱਖਰੇ ਤਰੀਕੇ ਹਨ?
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ 4 ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਦੇ ਉਪ-ਸਮੂਹਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ n=4 ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
ਆਲੂ ਦਾ ਆਰਡਰ ਦੇਣ ਦੇ 16 ਸੰਭਵ ਤਰੀਕੇ ਹਨ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #9
ਵਿਆਹ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸੰਡੇ ਬਾਰ ਵਿੱਚ ਚੁਣਨ ਲਈ 6 ਟੌਪਿੰਗਜ਼ ਹਨ। ਕਿਸੇ ਵੀ ਗਿਣਤੀ ਵਿੱਚ ਟੌਪਿੰਗਜ਼ ਚੁਣੀਆਂ ਜਾ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ। ਕਿੰਨੇ ਵੱਖਰੇ ਸੰਡੇ ਸੰਭਵ ਹਨ?
n ਗੈਰ-ਵੱਖਰੀਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਪਰਮਿਊਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭਣਾ
ਅਸੀਂ ਪਰਮਿਊਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਸਾਰੀਆਂ ਸ਼ਾਮਲ ਵਸਤੂਆਂ ਵੱਖਰੀਆਂ ਸਨ। ਜੇਕਰ ਕੁਝ ਵਸਤੂਆਂ ਅਭੇਦ ਹੋਣ ਤਾਂ ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ? ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ 12 ਸਟਿੱਕਰਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸ਼ੀਟ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਸਾਰੇ ਸਟਿੱਕਰ ਵੱਖਰੇ ਹੁੰਦੇ, ਤਾਂ ਸਟਿੱਕਰਾਂ ਦਾ ਆਰਡਰ ਦੇਣ ਦੇ 12! ਤਰੀਕੇ ਹੁੰਦੇ। ਹਾਲਾਂਕਿ, 4 ਸਟਿੱਕਰ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਤਾਰੇ ਹਨ, ਅਤੇ 3 ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਚੰਦ ਹਨ। ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਰੀਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਵੱਖਰੀਆਂ ਨਹੀਂ ਹਨ, 12! ਪਰਮਿਊਟੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਈ ਡੁਪਲੀਕੇਟ ਹਨ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਲਈ ਆਮ ਫਾਰਮੂਲਾ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਸਾਨੂੰ 4 ਤਾਰਿਆਂ ਦਾ ਆਰਡਰ ਦੇਣ ਦੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਅਤੇ 3 ਚੰਦਾਂ ਦਾ ਆਰਡਰ ਦੇਣ ਦੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਸਟਿੱਕਰਾਂ ਦੇ ਵਿਲੱਖਣ ਪਰਮਿਊਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਪਤਾ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕੇ। ਤਾਰਿਆਂ ਦਾ ਆਰਡਰ ਦੇਣ ਦੇ 4! ਤਰੀਕੇ ਹਨ ਅਤੇ ਚੰਦ ਦਾ ਆਰਡਰ ਦੇਣ ਦੇ 3! ਤਰੀਕੇ ਹਨ।
ਸਟਿੱਕਰਾਂ ਦੀ ਸ਼ੀਟ ਦਾ ਆਰਡਰ ਦੇਣ ਦੇ 3,326,400 ਤਰੀਕੇ ਹਨ।
n ਗੈਰ-ਵੱਖਰੀਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਪਰਮਿਊਟੇਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਾ
ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਸਮੂਹ ਵਿੱਚ n ਤੱਤ ਹਨ ਅਤੇ r1 ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹਨ, r2 ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹਨ, r3 ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ rk ਤੱਕ, ਪਰਮਿਊਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਲੱਭੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ
ਉਦਾਹਰਨ 7
n ਗੈਰ-ਵੱਖਰੀਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਪਰਮਿਊਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭਣਾ
DISTINCT ਸ਼ਬਦ ਦੇ ਅੱਖਰਾਂ ਦੇ ਮੁੜ-ਵਿਵਸਥਾਪਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
8 ਅੱਖਰ ਹਨ। I ਅਤੇ T ਦੋਵੇਂ 2 ਵਾਰ ਦੁਹਰਾਏ ਗਏ ਹਨ। ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ n=8, r1=2, ਅਤੇ r2=2 ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
10,080 ਵਿਵਸਥਾਪਨ ਹਨ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #10
CARRIER ਸ਼ਬਦ ਦੇ ਅੱਖਰਾਂ ਦੇ ਮੁੜ-ਵਿਵਸਥਾਪਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭੋ।
ਮੀਡੀਆ
ਕੰਬੀਨੇਸ਼ਨਾਂ ਅਤੇ ਪਰਮਿਊਟੇਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਹਦਾਇਤਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
ਕੰਬੀਨੇਸ਼ਨਾਂ
ਪਰਮਿਊਟੇਸ਼ਨਾਂ
1. ਕਿਰਿਆਤਮਕ
2. ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਕੋਈ ਘਟਨਾ A ਵਾਪਰਨ ਦੇ n ਤਰੀਕੇ ਹਨ, ਘਟਨਾ B ਵਾਪਰਨ ਦੇ m ਤਰੀਕੇ ਹਨ, ਅਤੇ A ਅਤੇ B ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਮੇਲ ਨਹੀਂ ਖਾਂਦੇ।
3. ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਜੋੜ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਘਟਨਾ A ਜਾਂ B ਕਿੰਨੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਵਾਪਰ ਸਕਦੀ ਹੈ।
4. ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਗੁਣਾ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਘਟਨਾ A ਅਤੇ B ਕਿੰਨੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਵਾਪਰ ਸਕਦੀ ਹੈ।
5. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਸਵਾਲਾਂ ਦੇ ਜਵਾਬ ਦਿਓ।
6. ਜਦੋਂ ਦੋ ਵੱਖਰੀਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਕਿਵੇਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸੰਭਾਵਿਤ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਜੋੜ ਸਿਧਾਂਤ ਜਾਂ ਗੁਣਾ ਸਿਧਾਂਤ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ ਹੈ? ਕਿਹੜੇ ਸੰਯੋਜਕ ਕਿਹੜੇ ਕਾਰਜਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨੀ ਹੈ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਨ?
7. ਵਰਣਨ ਕਰੋ ਕਿ n ਵਸਤੂਆਂ ਦਾ ਪਰਮਿਊਟੇਸ਼ਨ n ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਵਿੱਚੋਂ r ਵਸਤੂਆਂ ਦੀ ਚੋਣ ਦੇ ਪਰਮਿਊਟੇਸ਼ਨ ਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਵੱਖਰਾ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਿਵੇਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਇਸਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰੋ।
8. n ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਵਿੱਚੋਂ r ਵਸਤੂਆਂ ਦੀ ਚੋਣ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਵਿਵਸਥਾ ਲਈ ਕੀ ਸ਼ਬਦ ਹੈ ਜਦੋਂ r ਵਸਤੂਆਂ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ? ਇਸ ਕਿਸਮ ਦੀ ਵਿਵਸਥਾ ਲਈ ਸੰਭਾਵਿਤ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦਾ ਫਾਰਮੂਲਾ ਕੀ ਹੈ?
9. ਸੰਖਿਆਤਮਕ
10. ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਜੋੜ ਸਿਧਾਂਤ ਜਾਂ ਗੁਣਾ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨੀ ਹੈ। ਫਿਰ ਗਣਨਾਵਾਂ ਕਰੋ।
11. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸਮੂਹ A={−5,−3,−1,2,3,4,5,6} ਹੈ। A ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਜਾਂ ਇੱਕ ਸਮ ਸੰਖਿਆ ਚੁਣਨ ਦੇ ਕਿੰਨੇ ਤਰੀਕੇ ਹਨ?
12. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸਮੂਹ B={−23,−16,−7,−2,20,36,48,72} ਹੈ। A ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਧਨਾਤਮਕ ਜਾਂ ਇੱਕ ਟਾਂਕ ਸੰਖਿਆ ਚੁਣਨ ਦੇ ਕਿੰਨੇ ਤਰੀਕੇ ਹਨ?
13. ਇੱਕ ਮਿਆਰੀ ਪੱਤੇ ਵਾਲੇ ਡੇਕ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਲਾਲ ਏਸ ਜਾਂ ਇੱਕ ਕਲੱਬ ਚੁਣਨ ਦੇ ਕਿੰਨੇ ਤਰੀਕੇ ਹਨ?
14. 5 ਹਰੇ ਰੰਗਾਂ, 4 ਨੀਲੇ ਰੰਗਾਂ, ਜਾਂ 7 ਪੀਲੇ ਰੰਗਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਰੰਗ ਚੁਣਨ ਦੇ ਕਿੰਨੇ ਤਰੀਕੇ ਹਨ?
15. ਸਿੱਕਿਆਂ ਦੇ ਇੱਕ ਜੋੜੇ ਨੂੰ ਉਛਾਲਣ ਤੋਂ ਕਿੰਨੇ ਨਤੀਜੇ ਸੰਭਵ ਹਨ?
16. ਇੱਕ ਸਿੱਕਾ ਉਛਾਲਣ ਅਤੇ 6-ਪਾਸੇ ਵਾਲੀ ਡਾਈ ਨੂੰ ਰੋਲ ਕਰਨ ਤੋਂ ਕਿੰਨੇ ਨਤੀਜੇ ਸੰਭਵ ਹਨ?
17. ਦੋ-ਅੱਖਰਾਂ ਵਾਲੀਆਂ ਕਿੰਨੀਆਂ ਸਟ੍ਰਿੰਗਾਂ—ਪਹਿਲਾ ਅੱਖਰ A ਤੋਂ ਅਤੇ ਦੂਜਾ ਅੱਖਰ B ਤੋਂ—ਸਮੂਹ A={b,c,d} ਅਤੇ B={a,e,i,o,u} ਤੋਂ ਬਣਾਈਆਂ ਜਾ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ?
18. ਜੇਕਰ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਦੁਹਰਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਤਾਂ 3 ਅੰਕਾਂ ਦੀ ਸਟ੍ਰਿੰਗ ਬਣਾਉਣ ਦੇ ਕਿੰਨੇ ਤਰੀਕੇ ਹਨ?
19. ਜੇਕਰ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਦੁਹਰਾਇਆ ਨਹੀਂ ਜਾ ਸਕਦਾ ਤਾਂ 3 ਅੰਕਾਂ ਦੀ ਸਟ੍ਰਿੰਗ ਬਣਾਉਣ ਦੇ ਕਿੰਨੇ ਤਰੀਕੇ ਹਨ?
20. ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਗਿਣੋ।
21. P(5,2)
22. P(8,4)
23. P(3,3)
24. P(9,6)
P(11,5) P(11,5)
C(8,5) C(8,5)
C(12,4) C(12,4)
C(26,3) C(26,3)
C(7,6) C(7,6)
C(10,3) C(10,3)
For the following exercises, find the number of subsets in each given set.
{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
{a,b,c,…,z} {a,b,c,…,z}
A set containing 5 distinct numbers, 4 distinct letters, and 3 distinct symbols
The set of even numbers from 2 to 28
The set of two-digit numbers between 1 and 100 containing the digit 0
For the following exercises, find the distinct number of arrangements.
The letters in the word “juggernaut”
The letters in the word “academia”
The letters in the word “academia” that begin and end in “a”
The symbols in the string #,#,#,@,@,$,$,$,%,%,%,%
The symbols in the string #,#,#,@,@,$,$,$,%,%,%,% that begin and end with “%”
Extensions
The set, S S consists of 900,000,000 900,000,000 whole numbers, each being the same number of digits long. How many digits long is a number from S? S? (Hint: use the fact that a whole number cannot start with the digit 0.)
The number of 5-element subsets from a set containing n n elements is equal to the number of 6-element subsets from the same set. What is the value of n? n? (Hint: the order in which the elements for the subsets are chosen is not important.)
Can C(n,r) C(n,r) ever equal P(n,r)? P(n,r)? Explain.
Suppose a set A A has 2,048 subsets. How many distinct objects are contained in A? A?
How many arrangements can be made from the letters of the word “mountains” if all the vowels must form a string?
Real-World Applications
A family consisting of 2 parents and 3 children is to pose for a picture with 2 family members in the front and 3 in the back.
ⓐHow many arrangements are possible with no restrictions?
ⓑHow many arrangements are possible if the parents must sit in the front?
ⓒHow many arrangements are possible if the parents must be next to each other?
A cell phone company offers 6 different voice packages and 8 different data packages. Of those, 3 packages include both voice and data. How many ways are there to choose either voice or data, but not both?
In horse racing, a “trifecta” occurs when a bettor wins by selecting the first three finishers in the exact order (1st place, 2nd place, and 3rd place). How many different trifectas are possible if there are 14 horses in a race?
A wholesale T-shirt company offers sizes small, medium, large, and extra-large in organic or non-organic cotton and colors white, black, gray, blue, and red. How many different T-shirts are there to choose from?
Hector wants to place billboard advertisements throughout the county for his new business. How many ways can Hector choose 15 neighborhoods to advertise in if there are 30 neighborhoods in the county?
An art store has 4 brands of paint pens in 12 different colors and 3 types of ink. How many paint pens are there to choose from?
How many ways can a committee of 3 freshmen and 4 juniors be formed from a group of 8 8 freshmen and 11 11 juniors?
How many ways can a baseball coach arrange the order of 9 batters if there are 15 players on the team?
A conductor needs 5 cellists and 5 violinists to play at a diplomatic event. To do this, he ranks the orchestra’s 10 cellists and 16 violinists in order of musical proficiency. What is the ratio of the total cellist rankings possible to the total violinist rankings possible?
A motorcycle shop has 10 choppers, 6 bobbers, and 5 café racers—different types of vintage motorcycles. How many ways can the shop choose 3 choppers, 5 bobbers, and 2 café racers for a weekend showcase?
A skateboard shop stocks 10 types of board decks, 3 types of trucks, and 4 types of wheels. How many different skateboards can be constructed?
Just-For-Kicks Sneaker Company offers an online customizing service. How many ways are there to design a custom pair of Just-For-Kicks sneakers if a customer can choose from a basic shoe up to 11 customizable options?
A car wash offers the following optional services to the basic wash: clear coat wax, triple foam polish, undercarriage wash, rust inhibitor, wheel brightener, air freshener, and interior shampoo. How many washes are possible if any number of options can be added to the basic wash?
Suni bought 20 plants to arrange along the border of her garden. How many distinct arrangements can she make if the plants are comprised of 6 tulips, 6 roses, and 8 daisies?
How many unique ways can a string of Christmas lights be arranged from 9 red, 10 green, 6 white, and 12 gold color bulbs?