ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਮਕਸਦ
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਦੋ-ਪਦੀ ਥਿਊਰਮ ਲਾਗੂ ਕਰੋ।
ਦੋ ਪਦਾਂ ਵਾਲੇ ਬਹੁਪਦੀ ਨੂੰ ਦੋ-ਪਦੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਅਤੇ ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਘਾਤਾਂ ਤੱਕ ਵਧਾਉਣਾ ਸਿੱਖ ਚੁੱਕੇ ਹਾਂ, ਪਰ ਇੱਕ ਦੋ-ਪਦੀ ਨੂੰ ਉੱਚ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਉਣਾ ਥਕਾਊ ਅਤੇ ਸਮਾਂ ਲੈਣ ਵਾਲਾ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸ਼ਾਰਟਕੱਟ ਬਾਰੇ ਚਰਚਾ ਕਰਾਂਗੇ ਜੋ ਸਾਨੂੰ (x+y)n (x+y)n ਨੂੰ ਦੋ-ਪਦੀ ਨੂੰ n ਵਾਰ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਲੱਭਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦੇਵੇਗਾ।
ਦੋ-ਪਦੀ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ
ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸੰਯੋਜਨਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ। (x+y)n (x+y)n ਲੱਭਣ ਦੇ ਸ਼ਾਰਟਕੱਟ ਵਿੱਚ, ਸਾਨੂੰ ਦੋ-ਪਦੀ ਦੇ ਵਿਸਤਾਰ ਵਿੱਚ ਆਉਣ ਵਾਲੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਸੰਯੋਜਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇਗੀ। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ C(n,r), C(n,r) ਦੀ ਬਜਾਏ (n r) (n r) ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਪਰ ਇਸਦੀ ਗਣਨਾ ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ
ਸੰਯੋਜਨ (n r) (n r) ਨੂੰ ਦੋ-ਪਦੀ ਗੁਣਾਂਕ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਦੋ-ਪਦੀ ਗੁਣਾਂਕ ਦੀ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ (5 2)=C(5,2)=10 ਹੈ। (5 2)=C(5,2)=10।
ਦੋ-ਪਦੀ ਗੁਣਾਂਕ
ਜੇਕਰ n n ਅਤੇ r r 0 ਤੋਂ ਵੱਡੇ ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਲਈ n≥r, n≥r, ਤਾਂ ਦੋ-ਪਦੀ ਗੁਣਾਂਕ ਹੈ
Q&A
ਕੀ ਦੋ-ਪਦੀ ਗੁਣਾਂਕ ਹਮੇਸ਼ਾ ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ?
ਹਾਂ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਸੰਯੋਜਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹਮੇਸ਼ਾ ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ, ਇੱਕ ਦੋ-ਪਦੀ ਗੁਣਾਂਕ ਹਮੇਸ਼ਾ ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੋਵੇਗਾ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਦੋ-ਪਦੀ ਗੁਣਾਂਕ ਲੱਭਣਾ
ਹਰੇਕ ਦੋ-ਪਦੀ ਗੁਣਾਂਕ ਲੱਭੋ।
ⓐ (5 3) (5 3)
ⓑ (9 2) (9 2)
ⓒ (9 7) (9 7)
ਹੱਲ
ਹਰੇਕ ਦੋ-ਪਦੀ ਗੁਣਾਂਕ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਤੁਸੀਂ ਆਪਣੇ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ 'ਤੇ nCr nCr ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ।
ⓐ (5 3)= 5! 3!(5−3)! = 5⋅4⋅3! 3!2! =10 (5 3)= 5! 3!(5−3)! = 5⋅4⋅3! 3!2! =10
ⓑ (9 2)= 9! 2!(9−2)! = 9⋅8⋅7! 2!7! =36 (9 2)= 9! 2!(9−2)! = 9⋅8⋅7! 2!7! =36
ⓒ (9 7)= 9! 7!(9−7)! = 9⋅8⋅7! 7!2! =36 (9 7)= 9! 7!(9−7)! = 9⋅8⋅7! 7!2! =36
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਭਾਗ (b) ਅਤੇ (c) ਲਈ ਇੱਕੋ ਨਤੀਜਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਭਾਗਾਂ ਦੇ ਹੱਲ ਨੂੰ ਨੇੜੇ ਤੋਂ ਦੇਖਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਦੇਖੋਗੇ ਕਿ ਤੁਹਾਨੂੰ ਹਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕੋ ਦੋ ਫੈਕਟੋਰੀਅਲ ਮਿਲਦੇ ਹਨ, ਪਰ ਕ੍ਰਮ ਉਲਟਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਸੰਯੋਜਨਾਂ ਨਾਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
1. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
2. ਹਰੇਕ ਦੋਪਦੀ ਗੁਣਾਂਕ ਲੱਭੋ।
3. ⓐ ( 7 3 ) ( 7 3 )
4. ⓑ ( 11 4 ) ( 11 4 )
5. ਦੋਪਦੀ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ
6. ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ (x+y) n (x+y) n ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਖੋਲ੍ਹਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਨਤੀਜਾ ਦੋਪਦੀ ਵਿਸਥਾਰ ਅਖਵਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਵਿੱਚ ਦੋਪਦੀ ਗੁਣਾਂਕ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ (x+y) 52 , (x+y) 52 ਨੂੰ ਖੋਲ੍ਹਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ (x+y) (x+y) ਨੂੰ ਬਵੰਜਾ ਵਾਰ ਗੁਣਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਵਿੱਚ ਘੰਟੇ ਲੱਗ ਸਕਦੇ ਹਨ! ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਕੁਝ ਸਧਾਰਨ ਦੋਪਦੀ ਵਿਸਥਾਰਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੀਏ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਅਜਿਹੇ ਪੈਟਰਨ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਵਧੇਰੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਦੋਪਦੀ ਵਿਸਥਾਰਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇੱਕ ਸ਼ਾਰਟਕੱਟ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਣਗੇ।
7. ਪਹਿਲਾਂ, ਆਓ ਘਾਤਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੀਏ। ਹਰੇਕ ਅਗਲੇ ਪਦ ਨਾਲ, x x ਦੀ ਘਾਤ ਘਟਦੀ ਹੈ ਅਤੇ y y ਦੀ ਘਾਤ ਵਧਦੀ ਹੈ। ਦੋਹਾਂ ਘਾਤਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹਰੇਕ ਪਦ ਲਈ n n ਹੈ।
8. ਅੱਗੇ, ਆਓ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੀਏ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਗੁਣਾਂਕ ਇੱਕ ਸਮਮਿਤੀ ਪੈਟਰਨ ਵਿੱਚ ਵਧਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਫਿਰ ਘਟਦੇ ਹਨ। ਗੁਣਾਂਕ ਇੱਕ ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੇ ਹਨ:
9. ਇਹ ਪੈਟਰਨ ਸਾਨੂੰ ਦੋਪਦੀ ਪ੍ਰਮੇਯ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਜਿਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋਪਦੀ ਨੂੰ ਖੋਲ੍ਹਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
10. ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਣ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਹੈ, ਆਮ ਰੂਪ, x+y, x+y, ਦੀ ਦੋਪਦੀ ਦੇ ਵਿਸਥਾਰ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨਾ, ਲਗਾਤਾਰ ਘਾਤਾਂ 1, 2, 3, ਅਤੇ 4 ਤੱਕ।
11. ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਦੋਪਦੀ (x+y) 5 ? (x+y) 5 ? ਦੇ ਅਗਲੇ ਵਿਸਥਾਰ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹੋ?
12. ਚਿੱਤਰ 1 ਦੇਖੋ, ਜੋ ਹੇਠ ਲਿਖਿਆਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ:
13. (x+y) n . (x+y) n ਦੇ ਵਿਸਥਾਰ ਵਿੱਚ n+1 n+1 ਪਦ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
14. ਹਰੇਕ ਪਦ ਦੀ ਡਿਗਰੀ (ਜਾਂ ਘਾਤਾਂ ਦਾ ਜੋੜ) n. n ਹੈ।
15. x x ਉੱਤੇ ਘਾਤਾਂ n n ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ 0 ਤੱਕ ਘਟਦੀਆਂ ਹਨ।
16. y y ਉੱਤੇ ਘਾਤਾਂ 0 ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ n. n ਤੱਕ ਵਧਦੀਆਂ ਹਨ।
17. ਗੁਣਾਂਕ ਸਮਮਿਤੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
18. (x+y) 5 , (x+y) 5 ਦੇ ਵਿਸਥਾਰ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ n=5, n=5, ਇਸ ਲਈ, 5+1 = 6 ਪਦ ਹੋਣਗੇ। ਹਰੇਕ ਪਦ ਦੀ ਸੰਯੁਕਤ ਡਿਗਰੀ 5 ਹੈ। x x ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਲਈ ਉਤਰਦੇ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ, ਪੈਟਰਨ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਨੁਸਾਰ ਹੈ:
19. x 5 , x 5 ਪੇਸ਼ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਹਰੇਕ ਅਗਲੇ ਪਦ ਲਈ x x ਉੱਤੇ ਘਾਤ ਨੂੰ 1 ਤੱਕ ਘਟਾਓ ਜਦੋਂ ਤੱਕ x 0 =1 x 0 =1 ਪ੍ਰਾਪਤ ਨਾ ਹੋ ਜਾਵੇ।
20. y 0 =1, y 0 =1 ਪੇਸ਼ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਫਿਰ y y ਉੱਤੇ ਘਾਤ ਨੂੰ 1 ਤੱਕ ਵਧਾਓ ਜਦੋਂ ਤੱਕ y 5 y 5 ਪ੍ਰਾਪਤ ਨਾ ਹੋ ਜਾਵੇ। x 5 , x 4 y, x 3 y 2 , x 2 y 3 ,x y 4 , y 5 x 5 , x 4 y, x 3 y 2 , x 2 y 3 ,x y 4 , y 5
21. ਅਗਲਾ ਵਿਸਥਾਰ ਹੋਵੇਗਾ
22. ਪਰ ਉਹ ਗੁਣਾਂਕ ਕਿੱਥੋਂ ਆਉਂਦੇ ਹਨ? ਦੋਪਦੀ ਗੁਣਾਂਕ ਸਮਮਿਤੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਐਰੇ ਵਿੱਚ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸਨੂੰ ਪਾਸਕਲ ਦਾ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਚਿੱਤਰ 2 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਪਾਸਕਲ ਨੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦਾ ਆਵਿਸ਼ਕਾਰ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਸੀ। ਇਸਦੇ ਅੰਤਰੀਵ ਸਿਧਾਂਤਾਂ ਨੂੰ ਦੂਜੀ ਸਦੀ ਈਸਾ ਪੂਰਵ ਵਿੱਚ ਭਾਰਤੀ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ (ਅਤੇ ਕਵੀ) ਪਿੰਗਲਾ ਦੁਆਰਾ 1500 ਸਾਲਾਂ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸਮੇਂ ਤੋਂ ਵਿਕਸਤ ਅਤੇ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਸੀ। ਏਸ਼ੀਆ ਅਤੇ ਯੂਰਪ ਵਿੱਚ ਹੋਰਾਂ ਨੇ ਇਹਨਾਂ ਸੰਕਲਪਾਂ 'ਤੇ ਕੰਮ ਕੀਤਾ, ਅਤੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਪਹਿਲੀ ਵਾਰ ਇਸਦੇ ਗ੍ਰਾਫਿਕਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਓਮਰ ਖਯਾਮ, ਇੱਕ ਈਰਾਨੀ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਅਤੇ ਖਗੋਲ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ, ਜਿਸਦੇ ਨਾਮ 'ਤੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦਾ ਨਾਮ ਈਰਾਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਫਰਾਂਸੀਸੀ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਬਲੇਜ਼ ਪਾਸਕਲ ਨੇ ਇਸਨੂੰ ਦੁਬਾਰਾ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ਿਤ ਕਰਕੇ ਇਸਨੂੰ ਪ੍ਰਸਿੱਧ ਕੀਤਾ ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਈ ਸੰਭਾਵਨਾ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ।
23. ਪਾਸਕਲ ਦਾ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ 1 ਲਿਖ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਹੇਠਾਂ ਵਾਲੀ ਕਤਾਰ, ਕਤਾਰ 2, ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੋ 1 ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ। ਤੀਜੀ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ, ਕਤਾਰਾਂ ਦੇ ਸਿਰਿਆਂ ਨੂੰ 1's ਨਾਲ ਫਲੈਂਕ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਮੱਧ ਸੰਖਿਆ, 2, ਲੱਭਣ ਲਈ 1+1 1+1 ਜੋੜੋ। nਵੀਂ nਵੀਂ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ, ਕਤਾਰ ਦੇ ਸਿਰਿਆਂ ਨੂੰ 1's ਨਾਲ ਫਲੈਂਕ ਕਰੋ। ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਤੱਤ ਇਸਦੇ ਉੱਪਰਲੇ ਦੋ ਤੱਤਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
24. ਪਾਸਕਲ ਦੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਅਤੇ ਦੋਪਦੀ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਦੇਖਣ ਲਈ, ਆਓ ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੋਪਦੀਆਂ ਦੇ ਵਿਸਥਾਰ ਨੂੰ ਦੁਬਾਰਾ ਦੇਖੀਏ।
ਦੋ-ਪਦੀ ਪ੍ਰਮੇਯ
ਦੋ-ਪਦੀ ਪ੍ਰਮੇਯ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਸੂਤਰ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋ-ਪਦੀ ਨੂੰ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਦੋ-ਪਦੀ ਨੂੰ ਵਿਸਤਾਰਿਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
ਘਾਤ ਅਨੁਸਾਰ n ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਦੋ-ਪਦੀ ਪ੍ਰਮੇਯ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ k=0 ਤੋਂ k=n ਤੱਕ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 2
ਦੋ-ਪਦੀ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ
ਵਿਸਤਾਰਿਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
ⓐ (x+y) 5
ⓑ ( 3x−y ) 4
ਹੱਲ
ⓐ n=5 ਵਿੱਚ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ। k=0 ਤੋਂ k=5 ਤੱਕ ਦੇ ਪਦਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਸਰਲ ਕਰੋ। (x+y) 5 =( 5 0 ) x 5 y 0 +( 5 1 ) x 4 y 1 +( 5 2 ) x 3 y 2 +( 5 3 ) x 2 y 3 +( 5 4 ) x 1 y 4 +( 5 5 ) x 0 y 5 (x+y) 5 = x 5 +5 x 4 y+10 x 3 y 2 +10 x 2 y 3 +5x y 4 + y 5
ⓑ n=4 ਵਿੱਚ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ। k=0 ਤੋਂ k=4 ਤੱਕ ਦੇ ਪਦਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ 3x, x ਦੁਆਰਾ ਕਬਜ਼ੇ ਵਾਲੀ ਥਾਂ 'ਤੇ ਹੈ ਅਤੇ –y, y ਦੁਆਰਾ ਕਬਜ਼ੇ ਵਾਲੀ ਥਾਂ 'ਤੇ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ। ਸਰਲ ਕਰੋ। (3x−y) 4 =( 4 0 ) (3x) 4 (−y) 0 +( 4 1 ) (3x) 3 (−y) 1 +( 4 2 ) (3x) 2 (−y) 2 +( 4 3 ) (3x) 1 (−y) 3 +( 4 4 ) (3x) 0 (−y) 4 (3x−y) 4 =81 x 4 −108 x 3 y+54 x 2 y 2 −12x y 3 + y 4
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਭਾਗ b ਵਿੱਚ ਬਦਲਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਨੋਟ ਕਰੋ। ਇਹ ਇਸ ਲਈ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ (−y) ਨੂੰ ਵਿਸ਼ਮ ਘਾਤਾਂ ਤੱਕ ਵਧਾਉਣ 'ਤੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਪਰ (−y) ਨੂੰ ਸਮ ਘਾਤਾਂ ਤੱਕ ਵਧਾਉਣ 'ਤੇ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਉਦੋਂ ਵਾਪਰੇਗਾ ਜਦੋਂ ਵੀ ਦੋ-ਪਦੀ ਵਿੱਚ ਘਟਾਓ ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ ਹੋਵੇਗਾ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
ਵਿਸਤਾਰਿਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
ⓐ (x−y) 5
ⓑ (2x+5y) 3
ਦੋ-ਪਦੀ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਇਕੱਲਾ ਪਦ ਲੱਭਣਾ
(x+2y) 16 ਵਰਗੀ ਉੱਚ ਘਾਤ ਵਾਲੀ ਦੋ-ਪਦੀ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਨਾ ਇੱਕ ਲੰਮੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਕਈ ਵਾਰ ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ ਦੋ-ਪਦੀ ਵਿਸਤਾਰ ਦੇ ਇੱਕ ਖਾਸ ਪਦ ਵਿੱਚ ਦਿਲਚਸਪੀ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ। ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਇਕੱਲਾ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਪਦ ਲੱਭਣ ਲਈ ਦੋ-ਪਦੀ ਦਾ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਨਹੀਂ ਹੈ।
1. (x+y) 5 . (x+y) 5 ਦੇ ਵਿਸਤਾਰ ਵਿੱਚ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਦੇ ਪੈਟਰਨ ਨੂੰ ਨੋਟ ਕਰੋ।
2. ਦੂਜਾ ਪਦ ( 5 1 ) x 4 y ਹੈ। ਤੀਜਾ ਪਦ ( 5 2 ) x 3 y 2 ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਆਮ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
3. ਦੋਪਦੀ ਵਿਸਤਾਰ ਦਾ (r+1)ਵਾਂ ਪਦ
4. (x+y) n (x+y) n ਦੇ ਦੋਪਦੀ ਵਿਸਤਾਰ ਦਾ (r+1)ਵਾਂ (r+1)ਵਾਂ ਪਦ ਹੈ:
5. ਕਿਵੇਂ
6. ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਦੋਪਦੀ ਲਈ, ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵਿਸਤਾਰ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਇੱਕ ਖਾਸ ਪਦ ਲਿਖੋ।
7. ਘਾਤ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ n n ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
8. (r+1) (r+1) ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
9. r r ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
10. ਦੋਪਦੀ ਵਿਸਤਾਰ ਦੇ (r+1)ਵੇਂ (r+1)ਵੇਂ ਪਦ ਲਈ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ r r ਬਦਲੋ।
11. ਉਦਾਹਰਨ 3
12. ਦੋਪਦੀ ਵਿਸਤਾਰ ਦਾ ਇੱਕ ਦਿੱਤਾ ਪਦ ਲਿਖਣਾ
13. (x+2y) 16 (x+2y) 16 ਦਾ ਦਸਵਾਂ ਪਦ, ਦੋਪਦੀ ਨੂੰ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵਿਸਤਾਰ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਲੱਭੋ।
14. ਹੱਲ
15. ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਦਸਵਾਂ ਪਦ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹਾਂ, r+1=10, r+1=10, ਅਸੀਂ ਆਪਣੀਆਂ ਗਣਨਾਵਾਂ ਵਿੱਚ r=9 r=9 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
16. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #3
17. (3x−y) 9 (3x−y) 9 ਦਾ ਛੇਵਾਂ ਪਦ, ਦੋਪਦੀ ਨੂੰ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵਿਸਤਾਰ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਲੱਭੋ।
18. ਮੀਡੀਆ
19. ਦੋਪਦੀ ਵਿਸਤਾਰ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਸਿੱਖਿਆ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
20. ਦੋਪਦੀ ਥਿਊਰਮ
21. ਦੋਪਦੀ ਥਿਊਰਮ ਉਦਾਹਰਨ
22. ਸ਼ਬਦਕ
23. ਦੋਪਦੀ ਗੁਣਾਂਕ ਕੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਗਣਨਾ ਕਿਵੇਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ?
24. ਦੋਪਦੀ ਗੁਣਾਂਕ ਦੋਪਦੀ ਵਿਸਤਾਰ ਵਿੱਚ ਕੀ ਭੂਮਿਕਾ ਨਿਭਾਉਂਦੇ ਹਨ? ਕੀ ਉਹ ਕਿਸੇ ਕਿਸਮ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਤੱਕ ਸੀਮਿਤ ਹਨ?
ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਥਿਊਰਮ ਕੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਕੀ ਉਪਯੋਗ ਹੈ?
ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਦੋਂ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੁੰਦੀ ਹੈ? ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਗੁਣਾਂਕ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
( 6 2 )
( 5 3 )
( 7 4 )
( 9 7 )
( 10 9 )
( 25 11 )
( 17 6 )
( 200 199 )
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰਨ ਲਈ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
(4a−b) 3
(5a+2) 3
(3a+2b) 3
(2x+3y) 4
(4x+2y) 5
(3x−2y) 4
(4x−3y) 5
( 1 x +3y ) 5
( x −1 +2 y −1 ) 4
( x − y ) 5
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਤਿੰਨ ਪਦ ਲਿਖਣ ਲਈ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
(a+b) 17
(x−1) 18
(a−2b) 15
(x−2y) 8
(3a+b) 20
(2a+4b) 7
( x 3 − y ) 8
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦੋਪਦੀ ਦਾ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵਿਸਤਾਰ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ, ਹਰੇਕ ਦੋਪਦੀ ਦੇ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਪਦ ਨੂੰ ਲੱਭੋ।
(2x−3y) 4 ਦਾ ਚੌਥਾ ਪਦ
(3x−2y) 5 ਦਾ ਚੌਥਾ ਪਦ
(6x−3y) 7 ਦਾ ਤੀਜਾ ਪਦ
(7+5y) 14 ਦਾ ਅੱਠਵਾਂ ਪਦ
(a+b) 11 ਦਾ ਸੱਤਵਾਂ ਪਦ
(x−y) 7 ਦਾ ਪੰਜਵਾਂ ਪਦ
(x−1) 12 ਦਾ ਦਸਵਾਂ ਪਦ
(a−3 b 2 ) 11 ਦਾ ਨੌਵਾਂ ਪਦ
( x 3 − 1 2 ) 10 ਦਾ ਚੌਥਾ ਪਦ
( y 2 + 2 x ) 9 ਦਾ ਅੱਠਵਾਂ ਪਦ
ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦੋਪਦੀ f(x)= (x+3) 4 ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਨ ਲਈ ਦੋਪਦੀ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਫਿਰ ਹਰੇਕ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਜੋੜ ਨੂੰ ਇੱਕੋ ਅਕਸਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਉੱਤੇ ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। f(x)= (x+3) 4 .
f 1 (x), f 1 (x) ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ, ਤਾਂ ਜੋ f 1 (x) f 1 (x) ਵਿਸਤਾਰ ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਹੋਵੇ।
f 2 (x), f 2 (x) ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ, ਤਾਂ ਜੋ f 2 (x) f 2 (x) ਵਿਸਤਾਰ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਦੋ ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੋਵੇ।
f 3 (x), f 3 (x) ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ, ਤਾਂ ਜੋ f 3 (x) f 3 (x) ਵਿਸਤਾਰ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਤਿੰਨ ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੋਵੇ।
f 4 (x), f 4 (x) ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ, ਤਾਂ ਜੋ f 4 (x) f 4 (x) ਵਿਸਤਾਰ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਚਾਰ ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੋਵੇ।
1. ਪੰਜਵੇਂ ਪਦਾਂ ਦੇ ਵਿਸਤਾਰ ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਬਰਾਬਰ f 5 (x) f 5 (x) ਨੂੰ ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
2. ਵਿਸਤਾਰ
3. (5x+3y) n , (5x+3y) n ਦੇ ਵਿਸਤਾਰ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਪਦ ( n k ) a n–k b k ( n k ) a n–k b k ਰੂਪ ਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ k k ਲਗਾਤਾਰ 0,1,2,...,n ਮੁੱਲ ਲੈਂਦਾ ਹੈ। 0,1,2,...,n। ਜੇਕਰ ( n k )=( 7 2 ), ( n k )=( 7 2 ), ਤਾਂ ਸੰਬੰਧਿਤ ਪਦ ਕਿਹੜਾ ਹੈ?
4. ( a+b ) n , ( a+b ) n ਦੇ ਵਿਸਤਾਰ ਵਿੱਚ, a n−k b k a n−k b k ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ ਕਿਸ ਹੋਰ ਪਦ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ?
5. (x+b) 40 . (x+b) 40 ਦੇ ਵਿਸਤਾਰ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। kਵੇਂ kਵੇਂ ਪਦ ਵਿੱਚ b b ਦਾ ਘਾਤ ਅੰਕ ਕੀ ਹੈ?
6. ( n k−1 )+( n k ) ( n k−1 )+( n k ) ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਉੱਤਰ ਨੂੰ ( n k ). ( n k ) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਦੋਪਦੀ ਗੁਣਾਂਕ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ। ਇਸਨੂੰ ਸਿੱਧ ਕਰੋ। ਸੰਕੇਤ: ਇਸ ਤੱਥ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਕਿ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਪੂਰਨ ਅੰਕ p, p, ਜਿਸ ਲਈ p≥1,p!=p(p−1)! ਹੈ। p≥1,p!=p(p−1)!।
7. ਕਿਹੜੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਦੋਪਦੀ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੁਆਰਾ ਵਿਸਤਾਰ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ? ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
8. ( x 2 −2x+1) ( x 2 −2x+1)
9. ( a +4 a −5) 8 ( a +4 a −5) 8
10. ( x 3 +2 y 2 −z) 5 ( x 3 +2 y 2 −z) 5
11. (3 x 2 − 2 y 3 ) 12 (3 x 2 − 2 y 3 ) 12