ਮੁੱਖ ਸੰਕਲਪ
ਕਿਸੇ ਫਲਨ (function) ਦੀ ਸੀਮਾ (limit) ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੇਕਰ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਕਿਸੇ ਮੁੱਲ L ਵੱਲ ਵਧਦੇ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਕਿਸੇ ਮਾਤਰਾ a ਵੱਲ ਵਧਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਦੇਖੋ।
ਫਲਨ ਦੀ ਸੀਮਾ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸੰਖੇਪ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਰਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ lim x→a f(x)=L, ਜੋ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜਿਵੇਂ x, a ਵੱਲ ਵਧਦਾ ਹੈ, x=a ਦੇ ਖੱਬੇ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸਿਓਂ, ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ L ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਕਿਸੇ ਫਲਨ ਦੀ ਖੱਬੀ-ਹੱਥ ਸੀਮਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੇਕਰ f(x), L ਵੱਲ ਵਧਦਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ x, a ਵੱਲ ਵਧਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ x<a। ਕਿਸੇ ਫਲਨ ਦੀ ਸੱਜੀ-ਹੱਥ ਸੀਮਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੇਕਰ f(x), L ਵੱਲ ਵਧਦਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ x, a ਵੱਲ ਵਧਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ x>a।
ਦੋ-ਪਾਸੜ ਸੀਮਾ ਮੌਜੂਦ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੇਕਰ ਫਲਨ ਦੀ ਖੱਬੀ-ਹੱਥ ਸੀਮਾ ਅਤੇ ਸੱਜੀ-ਹੱਥ ਸੀਮਾ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀ ਹੋਵੇ। ਕਿਸੇ ਫਲਨ ਦੀ ਸੀਮਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੇਕਰ ਉਸਦੀ ਦੋ-ਪਾਸੜ ਸੀਮਾ ਹੋਵੇ।
ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਿਸੇ ਫਲਨ ਦੀ ਸੀਮਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟਮਾਨ ਤਰੀਕਾ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਜੇਕਰ ਫਲਨ ਦੀ ਸੀਮਾ x, a ਵੱਲ ਵਧਣ 'ਤੇ ਮੌਜੂਦ ਹੈ, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀਆਂ ਸ਼ਾਖਾਵਾਂ x=a ਦੇ ਨੇੜੇ ਖੱਬੇ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸਿਓਂ ਇੱਕੋ y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਵੱਲ ਵਧਣਗੀਆਂ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਦੇਖੋ।
ਕਿਸੇ ਫਲਨ ਦੀ ਸੀਮਾ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਸਾਰਣੀ ਵਿੱਚ ਦੋਵਾਂ ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ਤੋਂ a ਵੱਲ ਵਧਣ ਵਾਲੇ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਦਿਖਾਏ ਜਾਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ ਤਾਂ ਜੋ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਆਉਣ ਵਾਲੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ। ਜੇਕਰ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਕਿਸੇ ਸੰਖਿਆ ਵੱਲ ਵਧਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਫਲਨ ਦੀ ਸੀਮਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਦੇਖੋ।
ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਯੂਟਿਲਿਟੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਸੀਮਾ ਲੱਭਣ ਲਈ ਵੀ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਦੇਖੋ।
ਸੀਮਾਵਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਸੀਮਾਵਾਂ 'ਤੇ ਕਾਰਵਾਈਆਂ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਨਾ ਕਿ ਫਲਨਾਂ 'ਤੇ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਦੇਖੋ।
ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨ (polynomial function) ਦੀ ਸੀਮਾ ਵਿਅਕਤੀਗਤ ਪਦਾਂ (terms) ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਨੂੰ ਲੱਭ ਕੇ ਪਾਈ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 3 ਦੇਖੋ।
ਜਿਸ ਫਲਨ ਨੂੰ ਘਾਤ (power) ਤੱਕ ਵਧਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਉਸਦੀ ਸੀਮਾ ਫਲਨ ਦੀ ਸੀਮਾ ਦੇ ਉਸੇ ਘਾਤ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਹੋਰ ਵਿਧੀ ਸਿੱਧੀ ਸਥਾਪਨਾ (direct substitution) ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਦੇਖੋ।
ਫਲਨ ਦੇ ਮੂਲ (root) ਦੀ ਸੀਮਾ, ਫਲਨ ਦੀ ਸੀਮਾ ਦੇ ਸੰਗਤ ਮੂਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਭਾਗਫਲ (quotient) ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤੇ ਗਏ ਫਲਨ ਦੀ ਸੀਮਾ ਪਾਉਣ ਦਾ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਹੈ ਭਾਗਫਲ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਰੂਪ (factored form) ਵਿੱਚ ਲਿਖਣਾ ਅਤੇ ਸਰਲ ਕਰਨਾ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਦੇਖੋ।
ਜਟਿਲ ਭਿੰਨ (complex fraction) ਦੀ ਸੀਮਾ ਪਾਉਣ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਹੈ LCD (Least Common Denominator) ਲੱਭਣਾ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਦੇਖੋ।
ਮੂਲ ਵਾਲੇ ਫਲਨ ਵਾਲੀ ਸੀਮਾ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਸੰਯੁਗਮੀ (conjugate) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 7 ਦੇਖੋ।
ਭਾਗਫਲ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤੇ ਗਏ ਕੁਝ ਫਲਨਾਂ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਗੁਣਨਖੰਡਨ (factoring) ਦੁਆਰਾ ਪਾਈਆਂ ਜਾ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 8 ਦੇਖੋ।
ਸੰਪੂਰਨ ਮੁੱਲ (absolute values) ਵਾਲੇ ਭਾਗਫਲ ਦੀ ਸੀਮਾ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਸਬੂਤ (numeric evidence) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਟੁਕੜਿਆਂ (piecewise) ਵਿੱਚ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨਾ ਵੀ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 9 ਦੇਖੋ।
ਨਿਰੰਤਰ ਫਲਨ (continuous function) ਨੂੰ ਬਿਨਾਂ ਕਿਸੇ ਖਾਲੀ ਥਾਂ ਜਾਂ ਟੁੱਟਣ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਜਿਸ ਫਲਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿੱਚ ਖਾਲੀ ਥਾਂਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਉਹ ਇੱਕ ਅਨਿਰੰਤਰ ਫਲਨ (discontinuous function) ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਕੋਈ ਫਲਨ ਕਿਸੇ ਖਾਸ ਸੰਖਿਆ 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਤਿੰਨ ਸ਼ਰਤਾਂ ਪੂਰੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ: ਸ਼ਰਤ 1: f(a) ਮੌਜੂਦ ਹੈ। ਸ਼ਰਤ 2: lim x→a f(x), x=a 'ਤੇ ਮੌਜੂਦ ਹੈ। ਸ਼ਰਤ 3: lim x→a f(x)=f(a)।
ਜੇਕਰ ਖੱਬੀ-ਹੱਥ ਅਤੇ ਸੱਜੀ-ਹੱਥ ਸੀਮਾਵਾਂ ਵੱਖਰੀਆਂ ਹੋਣ, ਜਿਸ ਕਾਰਨ ਗ੍ਰਾਫ਼ "ਛਾਲ ਮਾਰਦਾ" ਹੈ, ਤਾਂ ਫਲਨ ਵਿੱਚ ਛਾਲ ਅਨਿਰੰਤਰਤਾ (jump discontinuity) ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਕਿਸੇ ਫਲਨ ਵਿੱਚ ਹਟਾਉਣਯੋਗ ਅਨਿਰੰਤਰਤਾ (removable discontinuity) ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੇਕਰ ਇਸਨੂੰ ਇਸਦੇ ਅਨਿਰੰਤਰ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਮੁੜ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਕੇ ਨਿਰੰਤਰ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਦੇਖੋ।
ਕੁਝ ਫਲਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨ, ਹਰ ਜਗ੍ਹਾ ਨਿਰੰਤਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਹੋਰ ਫਲਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਲਘੂਗਣਕ ਫਲਨ (logarithmic functions), ਆਪਣੇ ਡੋਮੇਨ (domain) 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 3 ਦੇਖੋ।
1. ਇੱਕ ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਾਲੇ ਫਲਨ (piecewise function) ਦੇ ਨਿਰੰਤਰ (continuous) ਹੋਣ ਲਈ, ਹਰ ਟੁਕੜਾ ਆਪਣੇ ਡੋਮੇਨ ਦੇ ਹਿੱਸੇ ਉੱਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਸਮੁੱਚਾ ਫਲਨ ਸੀਮਾਵਾਂ (boundaries) ਉੱਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 5 ਵੇਖੋ।
2. ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਵਾਲੀ ਛੇਦਕ ਰੇਖਾ (secant line) ਦੀ ਢਲਾਣ (slope) ਉਨ੍ਹਾਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਰਮਿਆਨ ਫਲਨ ਦੀ ਔਸਤ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦਰ (average rate of change) ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਵੇਖੋ।
3. ਅਵਕਲਜ (derivative), ਜਾਂ ਤਤਕਾਲੀ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦਰ (instantaneous rate of change), ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਫਲਨ ਦੇ ਵਕਰ (curve) ਦੀ ਢਲਾਣ ਦਾ ਮਾਪ ਹੈ, ਜਾਂ ਉਸ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਵਕਰ ਨੂੰ ਸਪਰਸ਼ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 2, ਉਦਾਹਰਨ 3, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 4 ਵੇਖੋ।
4. ਅੰਤਰ ਭਾਗਫਲ (difference quotient) ਤਤਕਾਲੀ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦਰ ਦੇ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ ਭਾਗਫਲ ਹੈ: f( a+h )−f( a ) h f( a+h )−f( a ) h
5. ਤਤਕਾਲੀ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਦੇ ਹੱਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਵੇਖੋ।
6. ਤਤਕਾਲੀ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦਰ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਫਲਨ ਦੀ ਢਲਾਣ ਦਾ ਨਿਰੀਖਣ ਕਰਕੇ, ਉਸ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਫਲਨ ਨੂੰ ਸਪਰਸ਼ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਖਿੱਚ ਕੇ ਪਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਵੇਖੋ।
7. ਤਤਕਾਲੀ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦਰਾਂ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 7 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 8 ਵੇਖੋ।
8. ਕੁਝ ਫਲਨ ਇੱਕ ਜਾਂ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਬਿੰਦੂਆਂ ਉੱਤੇ ਅਵਕਲਨੀਯ (differentiable) ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 9 ਵੇਖੋ।
9. ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦੇ ਬਿੰਦੂ-ਢਲਾਣ ਰੂਪ (point-slope form) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਸੇ ਫਲਨ ਦੇ ਵਕਰ ਨੂੰ ਸਪਰਸ਼ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 10 ਵੇਖੋ।
10. ਵੇਗ (velocity) ਸਮੇਂ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਪਰਿਵਰਤਨ ਹੈ। ਤਤਕਾਲੀ ਵੇਗ ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਪਲ ਉੱਤੇ ਵਸਤੂ ਦੇ ਵੇਗ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਔਸਤ ਵੇਗ ਸਮੇਂ ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਬਣਾਈ ਰੱਖੇ ਗਏ ਵੇਗ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦਾ ਹੈ।
11. ਅਵਕਲਜ (derivative) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਨਾਲ ਤਤਕਾਲੀ ਵੇਗ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨਾ ਸੰਭਵ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਭਾਵੇਂ ਕਿ ਕੋਈ ਬੀਤਿਆ ਹੋਇਆ ਸਮਾਂ ਨਾ ਹੋਵੇ। ਉਦਾਹਰਨ 11 ਵੇਖੋ।