Review Exercises
Finding Limits: A Numerical and Graphical Approach
For the following exercises, use Figure 1.
lim x→ −1 + f(x) lim x→ −1 + f(x)
lim x→ −1 − f(x) lim x→ −1 − f(x)
lim x→−1 f(x) lim x→−1 f(x)
lim x→3 f(x) lim x→3 f(x)
At what values of x x is the function discontinuous? What condition of continuity is violated?
Using Table 1, estimate lim x→0 f(x). lim x→0 f(x).
row: xx | F(x) F(x)
row: −0.1 | 2.875
row: −0.01 | 2.92
row: −0.001 | 2.998
row: 0 | Undefined
row: 0.001 | 2.9987
row: 0.01 | 2.865
row: 0.1 | 2.78145
row: 0.15 | 2.678
For the following exercises, with the use of a graphing utility, use numerical or graphical evidence to determine the left- and right-hand limits of the function given as x x approaches a. a. If the function has limit as x x approaches a, a, state it. If not, discuss why there is no limit.
f(x)={ | x |−1, if x≠1 x 3 , if x=1 a=1 f(x)={ | x |−1, if x≠1 x 3 , if x=1 a=1
f(x)={ 1 x+1 , if x=−2 (x+1) 2 , if x≠−2 a=−2 f(x)={ 1 x+1 , if x=−2 (x+1) 2 , if x≠−2 a=−2
f(x)={ x+3 , if x<1 − x 3 , if x>1 a=1 f(x)={ x+3 , if x<1 − x 3 , if x>1 a=1
Finding Limits: Properties of Limits
For the following exercises, find the limits if lim x→c f( x )=−3 lim x→c f( x )=−3 and lim x→c g( x )=5. lim x→c g( x )=5.
lim x→c ( f(x)+g(x) ) lim x→c ( f(x)+g(x) )
lim x→c f(x) g(x) lim x→c f(x) g(x)
lim x→c ( f(x)⋅g(x) ) lim x→c ( f(x)⋅g(x) )
lim x→ 0 + f(x),f(x)={ 3 x 2 +2x+1 5x+3 x>0 x<0 lim x→ 0 + f(x),f(x)={ 3 x 2 +2x+1 5x+3 x>0 x<0
lim x→ 0 − f(x),f(x)={ 3 x 2 +2x+1 5x+3 x>0 x<0 lim x→ 0 − f(x),f(x)={ 3 x 2 +2x+1 5x+3 x>0 x<0
lim x→ 3 + ( 3x−[x] ) lim x→ 3 + ( 3x−[x] )
For the following exercises, evaluate the limits using algebraic techniques.
lim h→0 ( ( h+6 ) 2 −36 h ) lim h→0 ( ( h+6 ) 2 −36 h )
lim x→25 ( x 2 −625 x −5 ) lim x→25 ( x 2 −625 x −5 )
lim x→1 ( − x 2 −9x x ) lim x→1 ( − x 2 −9x x )
lim x→4 7− 12x+1 x−4 lim x→4 7− 12x+1 x−4
lim x→−3 ( 1 3 + 1 x 3+x ) lim x→−3 ( 1 3 + 1 x 3+x )
Continuity
For the following exercises, use numerical evidence to determine whether the limit exists at x=a. x=a. If not, describe the behavior of the graph of the function at x=a. x=a.
f(x)= −2 x−4 ;a=4 f(x)= −2 x−4 ;a=4
f(x)= −2 ( x−4 ) 2 ;a=4 f(x)= −2 ( x−4 ) 2 ;a=4
f(x)= −x x 2 −x−6 ;a=3 f(x)= −x x 2 −x−6 ;a=3
f(x)= 6 x 2 +23x+20 4 x 2 −25 ;a=− 5 2 f(x)= 6 x 2 +23x+20 4 x 2 −25 ;a=− 5 2
f(x)= x −3 9−x ;a=9 f(x)= x −3 9−x ;a=9
For the following exercises, determine where the given function f(x) f(x) is continuous. Where it is not continuous, state which conditions fail, and classify any discontinuities.
f(x)= x 2 −2x−15 f(x)= x 2 −2x−15
f(x)= x 2 −2x−15 x−5 f(x)= x 2 −2x−15 x−5
f(x)= x 2 −2x x 2 −4x+4 f(x)= x 2 −2x x 2 −4x+4
f(x)= x 3 −125 2 x 2 −12x+10 f(x)= x 3 −125 2 x 2 −12x+10
f(x)= x 2 − 1 x 2−x
f(x)= x+2 x 2 −3x−10
f(x)= x+2 x 3 +8
ਅਵਕਲਨ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਔਸਤ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦਰ ਲੱਭੋ f(x+h)−f(x) h . f(x+h)−f(x) h .
f(x)=3x+2
f(x)=5
f(x)= 1 x+1
f(x)=ln(x)
f(x)= e 2x
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਅਵਕਲਨ ਲੱਭੋ।
f(x)=4x−6
f(x)=5 x 2 −3x
ਸੰਕੇਤਿਤ x x ਮੁੱਲ 'ਤੇ f( x ) f( x ) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ। f(x)=− x 3 +4x f(x)=− x 3 +4x; x=2. x=2.
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਯੂਟਿਲਿਟੀ ਦੀ ਮਦਦ ਨਾਲ, ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਆਪਣੇ ਡੋਮੇਨ 'ਤੇ ਹਰ ਜਗ੍ਹਾ ਅਵਕਲਨੀਯ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਦੱਸੋ ਜਿੱਥੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਵਕਲਨੀਯ ਨਹੀਂ ਹੈ।
f(x)= x | x |
ਇਹ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਸੱਜੇ ਚੱਕਰੀ ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਆਇਤਨ V= 1 3 π r 2 h V= 1 3 π r 2 h ਹੈ ਅਤੇ ਇੱਕ ਦਿੱਤੇ ਸ਼ੰਕੂ ਦੀ ਉਚਾਈ 9 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ ਅਤੇ ਘੇਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਘੇਰਾ 2 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਹੈ ਤਾਂ ਘੇਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਆਇਤਨ ਦੀ ਤਤਕਾਲ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦਰ ਲੱਭੋ। π π ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਹੀ ਜਵਾਬ ਦਿਓ।