ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਸੀਮਾ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਨੂੰ ਸਮਝੋਗੇ।
ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸੀਮਾ ਲੱਭੋ।
ਟੇਬਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸੀਮਾ ਲੱਭੋ।
ਸਹਿਜੇ ਹੀ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸੀਮਾ ਕੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਕਾਰ ਸਿਰਫ਼ ਇੰਨੀ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਤੋਂ ਵੱਧ ਨਹੀਂ। ਇੱਕ ਕੂੜੇਦਾਨ 33 ਗੈਲਨ ਰੱਖ ਸਕਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਤੋਂ ਵੱਧ ਨਹੀਂ। ਮਾਪੀ ਗਈ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਲਈ ਸੀਮਾਵਾਂ ਹੋਣਾ ਕੁਦਰਤੀ ਹੈ। ਮਿਸਾਲ ਵਜੋਂ, ਔਰਤ ਦੀ ਉਚਾਈ ਦੀ ਸੀਮਾ ਕੀ ਹੈ? ਰਿਕਾਰਡ 'ਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਲੰਮੀ ਔਰਤ ਚੀਨ ਦੀ ਜਿਨਲਿਆਨ ਜ਼ੇਂਗ ਸੀ, ਜੋ 8 ਫੁੱਟ 1 ਇੰਚ ਸੀ। ਕੀ ਇਹ ਔਰਤਾਂ ਦੀ ਉਚਾਈ ਦੀ ਸੀਮਾ ਹੈ ਜਿਸ ਤੱਕ ਉਹ ਵੱਧ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ? ਸ਼ਾਇਦ ਨਹੀਂ, ਪਰ ਸੰਭਾਵਤ ਤੌਰ 'ਤੇ ਇੱਕ ਸੀਮਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਇੰਚਾਂ ਵਿੱਚ ਵਰਣਨ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕੀਏ ਕਿ ਇਹ ਕੀ ਹੈ।
ਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਕਹਿਣਾ ਹੋਵੇ ਤਾਂ, ਉਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜਿਸਦਾ ਇਨਪੁਟ ਇੱਕ ਔਰਤ ਹੈ ਅਤੇ ਜਿਸਦਾ ਆਊਟਪੁਟ ਇੰਚਾਂ ਵਿੱਚ ਮਾਪੀ ਗਈ ਉਚਾਈ ਹੈ, ਉਸਦੀ ਇੱਕ ਸੀਮਾ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨ ਲਈ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ ਪਹੁੰਚਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਾਂਗੇ।
ਸੀਮਾ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਨੂੰ ਸਮਝਣਾ
ਅਸੀਂ ਦੇਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਕਿਵੇਂ ਇੱਕ ਲੜੀ ਦੀ ਸੀਮਾ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਇੱਕ ਮੁੱਲ ਜਿਸ ਵੱਲ ਲੜੀ ਦੇ ਪਦ ਵੱਧਦੇ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਪਦਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਵਧਦੀ ਹੈ। ਮਿਸਾਲ ਵਜੋਂ, ਲੜੀ ਦੇ ਪਦ
0 ਦੇ ਨੇੜੇ ਅਤੇ ਨੇੜੇ ਆਉਂਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ ਲੜੀ ਇੱਕ ਕਿਸਮ ਦਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਪਰ ਉਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜੋ ਲੜੀ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਵੀ ਸੀਮਾਵਾਂ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਇੱਕ ਖਾਸ ਮੁੱਲ ਦੇ ਨੇੜੇ ਆਉਂਦੇ ਹਨ। ਜੇਕਰ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=L ਦੀ ਸੀਮਾ L ਹੈ, ਤਾਂ ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ ਇਨਪੁਟ x, a ਦੇ ਨੇੜੇ ਆਉਂਦਾ ਹੈ, ਆਊਟਪੁਟ y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ L ਦੇ ਨੇੜੇ ਆਉਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਆਊਟਪੁਟ L "ਪਹੁੰਚਦਾ" ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 1 ਸੀਮਾ ਦੀ ਗਣਿਤਿਕ ਧਾਰਨਾ ਦਾ ਇੱਕ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟਾਂਤ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ x, a ਦੇ ਨੇੜੇ ਆਉਂਦਾ ਹੈ, ਆਊਟਪੁਟ ਮੁੱਲ f(x), L ਦੇ ਨੇੜੇ ਆਉਂਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 1: ਆਊਟਪੁਟ (y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ) L ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਇਨਪੁਟ (x-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ) a ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਸੀਮਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ
ਇਹ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿ ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ x, x=a ਦੇ ਖੱਬੇ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਤੋਂ a ਦੇ ਨੇੜੇ ਆਉਂਦਾ ਹੈ, ਆਊਟਪੁਟ ਮੁੱਲ L ਦੇ ਨੇੜੇ ਆਉਂਦਾ ਹੈ।
ਫੰਕਸ਼ਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ
ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਫੈਕਟਰ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ x 7 ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ, ਨਹੀਂ ਤਾਂ ਅਸੀਂ 0 ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰ ਰਹੇ ਹੋਵਾਂਗੇ, ਇਸ ਲਈ 7 ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਵੇਲੇ ਨਾ ਬਦਲਣ ਤੋਂ ਬਚਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸਰਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਵੀ ਉਹੀ ਸ਼ਰਤ, x≠7, ਲਗਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਚਿੱਤਰ 2 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਅਨੁਸਾਰ ਗ੍ਰਾਫੀਕਲੀ ਦਰਸਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਚਿੱਤਰ 2: ਕਿਉਂਕਿ 7 ਨੂੰ ਇਨਪੁਟ ਵਜੋਂ ਮਨਜ਼ੂਰ ਨਹੀਂ ਹੈ, x=7 'ਤੇ ਕੋਈ ਬਿੰਦੂ ਨਹੀਂ ਹੈ।
x=7 'ਤੇ ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, x=7 ਦੇ ਨੇੜੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਦੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਤੋਂ ਬਿਲਕੁਲ ਵੱਖਰਾ ਹੈ। ਨੋਟੇਸ਼ਨ
ਇਹ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿ ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ ਇਨਪੁਟ x, ਖੱਬੇ ਜਾਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਤੋਂ 7 ਦੇ ਨੇੜੇ ਆਉਂਦਾ ਹੈ, ਆਊਟਪੁਟ 8 ਦੇ ਨੇੜੇ ਆਉਂਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਇਨਪੁਟ 7 ਦੇ ਕਾਫ਼ੀ ਨੇੜੇ ਹੈ ਤਾਂ ਆਊਟਪੁਟ 8 ਦੇ ਜਿੰਨਾ ਨੇੜੇ ਅਸੀਂ ਚਾਹੀਏ, ਨੇੜੇ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।
x=7 'ਤੇ ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ? ਜਦੋਂ x=7, ਕੋਈ ਸੰਬੰਧਿਤ ਆਊਟਪੁਟ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ
ਇਹ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿ 7 ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਇਹ ਦਰਸਾ ਦਿੱਤਾ ਸੀ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਿਆ ਸੀ
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਸੀਮਾ ਮੌਜੂਦ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ ਭਾਵੇਂ f(x), x=a 'ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਨਾ ਹੋਵੇ। ਸਾਡੇ ਬਾਅਦ ਦੇ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਕੰਮ x=a ਦੇ ਨੇੜੇ ਆਉਣ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ ਹੋਵੇਗਾ, ਭਾਵੇਂ x=a 'ਤੇ ਆਊਟਪੁਟ ਮੌਜੂਦ ਨਾ ਹੋਵੇ।
ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਸੀਮਾ
ਕਿ ਕੋਈ ਮਾਤਰਾ L, ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਦੀ ਸੀਮਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ x, a ਦੇ ਨੇੜੇ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੇਕਰ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ x ਦੇ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ a ਦੇ ਨੇੜੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ (ਪਰ a ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ), f(x) ਦੇ ਸੰਗਤ ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲ L ਦੇ ਨੇੜੇ ਆਉਂਦੇ ਹਨ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਸੀਮਾ ਦਾ ਮੁੱਲ a 'ਤੇ f(x) ਦੇ ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। a ਅਤੇ L ਦੋਵੇਂ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹੋਣੀਆਂ ਚਾਹੀਦੀਆਂ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਸੀਮਾ ਨੂੰ ਸਮਝਣਾ
ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਸੀਮਾ ਲਈ, a, f(x), ਅਤੇ L ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਸੀਮਾ ਦੇ ਸੰਕੇਤ ਨੂੰ ਪਛਾਣਦੇ ਹਾਂ। ਜੇ ਸੀਮਾ ਮੌਜੂਦ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ x, a ਦੇ ਨੇੜੇ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ
ਸਾਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ a=2, f(x)=3x+5, ਅਤੇ L=11।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ y=3x+5 ਇੱਕ ਲਾਈਨ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਵਿਘਨ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ 2 ਦੇ ਨੇੜੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲ 11 ਦੇ ਨੇੜੇ ਆ ਜਾਣਗੇ। ਇਸਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ lim x→2 (3x+5)=11 ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਜਿਵੇਂ x, 2 ਦੇ ਨੇੜੇ ਜਾਂਦਾ ਹੈ (ਪਰ ਬਿਲਕੁਲ 2 ਨਹੀਂ ਹੈ), ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=3x+5 ਦਾ ਆਉਟਪੁਟ 3(2)+5, ਜਾਂ 11, ਜੋ ਕਿ ਸੀਮਾ L ਹੈ, ਦੇ ਨੇੜੇ ਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ x ਦੇ ਮੁੱਲ 2 ਦੇ ਕਾਫ਼ੀ ਨੇੜੇ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ ਪਰ x=2 'ਤੇ ਨਹੀਂ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਸੀਮਾ ਲਈ, a, f(x), ਅਤੇ L ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ।
ਖੱਬੇ-ਹੱਥ ਸੀਮਾ ਅਤੇ ਸੱਜੇ-ਹੱਥ ਸੀਮਾ ਨੂੰ ਸਮਝਣਾ
ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਇਨਪੁਟ ਤੱਕ ਕਿਸੇ ਮੁੱਲ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਤੋਂ ਪਹੁੰਚ ਸਕਦੇ ਹਾਂ—ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਜਾਂ ਸੱਜੇ ਤੋਂ। ਚਿੱਤਰ 3 ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਪਹਿਲਾਂ ਦੱਸਿਆ ਗਿਆ ਹੈ ਅਤੇ ਚਿੱਤਰ 2 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
"ਖੱਬੇ ਤੋਂ" ਵਜੋਂ ਵਰਣਿਤ ਮੁੱਲ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ 7 ਤੋਂ ਘੱਟ ਹਨ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਮੁੱਲ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦਿਖਾਈ ਦੇਣਗੇ। ਚਿੱਤਰ 3 ਵਿੱਚ ਖੱਬੇ ਤੋਂ 7 ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਵਾਲੇ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ 6.9, 6.99, ਅਤੇ 6.999 ਹਨ। ਸੰਗਤ ਆਉਟਪੁਟ 7.9, 7.99, ਅਤੇ 7.999 ਹਨ। ਇਹ ਮੁੱਲ 8 ਦੇ ਨੇੜੇ ਆ ਰਹੇ ਹਨ। ਜਦੋਂ x ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ ਤਾਂ f(x) ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਸੀਮਾ ਨੂੰ ਖੱਬੇ-ਹੱਥ ਸੀਮਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ, 8, f(x)=x+1, x≠7 ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਖੱਬੇ-ਹੱਥ ਸੀਮਾ ਹੈ ਜਦੋਂ x, 7 ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ।
"ਸੱਜੇ ਤੋਂ" ਵਜੋਂ ਵਰਣਿਤ ਮੁੱਲ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ 7 ਤੋਂ ਵੱਧ ਹਨ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਮੁੱਲ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦਿਖਾਈ ਦੇਣਗੇ। ਚਿੱਤਰ 3 ਵਿੱਚ ਸੱਜੇ ਤੋਂ 7 ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਵਾਲੇ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ 7.1, 7.01, ਅਤੇ 7.001 ਹਨ। ਸੰਗਤ ਆਉਟਪੁਟ 8.1, 8.01, ਅਤੇ 8.001 ਹਨ। ਇਹ ਮੁੱਲ 8 ਦੇ ਨੇੜੇ ਆ ਰਹੇ ਹਨ। ਜਦੋਂ x ਸੱਜੇ ਤੋਂ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ ਤਾਂ f(x) ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਸੀਮਾ ਨੂੰ ਸੱਜੇ-ਹੱਥ ਸੀਮਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ, 8, f(x)=x+1, x≠7 ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਸੱਜੇ-ਹੱਥ ਸੀਮਾ ਵੀ ਹੈ ਜਦੋਂ x, 7 ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 3 ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ 7 ਦੇ 0.1 ਦੇ ਅੰਤਰ ਦੇ ਅੰਦਰ ਇਨਪੁਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ 8 ਤੋਂ 0.1 ਦੇ ਅੰਤਰ ਦੇ ਅੰਦਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਆਉਟਪੁਟ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਸਾਨੂੰ 7.9<f(x)<8.1 ਦੇ ਅੰਤਰ ਦੇ ਅੰਦਰ ਇੱਕ ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲ ਪੈਦਾ ਕਰਨ ਲਈ 6.9<x<7.1 ਦੇ ਅੰਤਰ ਦੇ ਅੰਦਰ ਇੱਕ ਇਨਪੁਟ x ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਅਸੀਂ 7 ਦੇ ਨੇੜੇ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਚੋਣ ਕਰਕੇ f(x) ਦੇ ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਲਗਾਤਾਰ 8 ਦੇ ਨੇੜੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਦਰਅਸਲ, ਅਸੀਂ ਢੁਕਵੇਂ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਚੋਣ ਕਰਕੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਅੰਤਰ ਦੇ ਅੰਦਰ ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਚਿੱਤਰ 4 ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਖੱਬੇ- ਅਤੇ ਸੱਜੇ-ਹੱਥ ਸੀਮਾ ਦਾ ਇੱਕ ਦ੍ਰਿਸ਼ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ। f(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਆਉਟਪੁਟ L=8 ਦੇ ਅਨੰਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਨੇੜੇ ਆ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ x ਖੱਬੇ ਤੋਂ 7 ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਜਿਵੇਂ ਕਿ x ਸੱਜੇ ਤੋਂ 7 ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ।
ਖੱਬੇ-ਹੱਥ ਸੀਮਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ
ਸੱਜੇ-ਹੱਥ ਸੀਮਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ
ਚਿੱਤਰ 4: ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਖੱਬੇ- ਅਤੇ ਸੱਜੇ-ਹੱਥ ਸੀਮਾ ਇੱਕੋ ਹਨ।
ਖੱਬੇ- ਅਤੇ ਸੱਜੇ-ਹੱਥ ਸੀਮਾ
ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਦਾ ਖੱਬੇ ਪਾਸਿਓਂ x, a ਵੱਲ ਪਹੁੰਚਣ 'ਤੇ ਲਿਮਿਟ L ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:
f(x) ਦੇ ਮੁੱਲ ਅਸੀਂ ਜਿੰਨੀ ਮਰਜ਼ੀ ਨੇੜੇ L ਦੇ ਲਿਆ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ x ਦੇ ਅਜਿਹੇ ਮੁੱਲ ਲਈਏ ਜੋ a ਦੇ ਕਾਫ਼ੀ ਨੇੜੇ ਹੋਣ ਅਤੇ x<a ਅਤੇ x≠a ਹੋਵੇ।
ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਦਾ ਸੱਜੇ ਪਾਸਿਓਂ x, a ਵੱਲ ਪਹੁੰਚਣ 'ਤੇ ਲਿਮਿਟ L ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:
f(x) ਦੇ ਮੁੱਲ ਅਸੀਂ ਜਿੰਨੀ ਮਰਜ਼ੀ ਨੇੜੇ L ਦੇ ਲਿਆ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ x ਦੇ ਅਜਿਹੇ ਮੁੱਲ ਲਈਏ ਜੋ a ਦੇ ਕਾਫ਼ੀ ਨੇੜੇ ਹੋਣ ਪਰ a ਤੋਂ ਵੱਡੇ ਹੋਣ। a ਅਤੇ L ਦੋਵੇਂ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ।
ਦੋ-ਪਾਸੜ ਲਿਮਿਟਾਂ ਨੂੰ ਸਮਝਣਾ
ਪਿਛਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, x, a ਵੱਲ ਪਹੁੰਚਣ 'ਤੇ ਖੱਬੀ ਅਤੇ ਸੱਜੀ ਲਿਮਿਟ ਬਰਾਬਰ ਹਨ। ਜੇਕਰ ਖੱਬੀ ਅਤੇ ਸੱਜੀ ਲਿਮਿਟ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਦੀ x, a ਵੱਲ ਪਹੁੰਚਣ 'ਤੇ ਦੋ-ਪਾਸੜ ਲਿਮਿਟ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਦੋ-ਪਾਸੜ ਲਿਮਿਟ ਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ ਲਿਮਿਟ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ। ਜੇਕਰ ਖੱਬੀ ਲਿਮਿਟ ਸੱਜੀ ਲਿਮਿਟ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਨਾ ਹੋਵੇ, ਜਾਂ ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਇੱਕ ਮੌਜੂਦ ਨਾ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਲਿਮਿਟ ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਹੈ।
x, a ਵੱਲ ਪਹੁੰਚਣ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਦੋ-ਪਾਸੜ ਲਿਮਿਟ
ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਦੀ x, a ਵੱਲ ਪਹੁੰਚਣ 'ਤੇ ਲਿਮਿਟ L ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਭਾਵ,
ਜੇਕਰ ਅਤੇ ਸਿਰਫ਼ ਜੇਕਰ
ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਦੀ x, a ਵੱਲ ਪਹੁੰਚਣ 'ਤੇ ਖੱਬੀ ਲਿਮਿਟ, ਉਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ x, a ਵੱਲ ਪਹੁੰਚਣ 'ਤੇ ਸੱਜੀ ਲਿਮਿਟ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਜਿਹੀ ਲਿਮਿਟ ਮੌਜੂਦ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਦੋ-ਪਾਸੜ ਲਿਮਿਟ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ। ਨਹੀਂ ਤਾਂ, ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਲਿਮਿਟ ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲਿਮਿਟ ਲੱਭਣਾ
ਇਹ ਦੇਖਣ ਲਈ ਕਿ ਕੀ ਲਿਮਿਟ ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜਦੋਂ x, a ਵੱਲ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਜਦੋਂ x, x=a ਦੇ ਬਹੁਤ ਨੇੜੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 5 ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ a ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ।
ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿ ਕੀ ਖੱਬੀ ਲਿਮਿਟ ਮੌਜੂਦ ਹੈ, ਅਸੀਂ x=a ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਵਾਲੀ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀ ਸ਼ਾਖਾ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ, ਪਰ x=a ਦੇ ਨੇੜੇ। ਇੱਥੇ x<a ਹੈ। ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਆਊਟਪੁੱਟ ਕਿਸੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ L ਦੇ ਨੇੜੇ ਜਾ ਰਹੇ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਖੱਬੀ ਲਿਮਿਟ ਮੌਜੂਦ ਹੈ।
ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿ ਕੀ ਸੱਜੀ ਲਿਮਿਟ ਮੌਜੂਦ ਹੈ, x=a ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਵਾਲੀ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀ ਸ਼ਾਖਾ ਨੂੰ ਦੇਖੋ, ਪਰ x=a ਦੇ ਨੇੜੇ। ਇੱਥੇ x>a ਹੈ। ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਆਊਟਪੁੱਟ ਕਿਸੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ L ਦੇ ਨੇੜੇ ਜਾ ਰਹੇ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਸੱਜੀ ਲਿਮਿਟ ਮੌਜੂਦ ਹੈ।
ਜੇਕਰ ਖੱਬੀ ਅਤੇ ਸੱਜੀ ਲਿਮਿਟ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀਆਂ ਹੋਣ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 5 ਵਿੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਦੋ-ਪਾਸੜ ਲਿਮਿਟ ਹੈ। ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ "ਲਿਮਿਟ" ਦਾ ਜ਼ਿਕਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਡਾ ਮਤਲਬ ਦੋ-ਪਾਸੜ ਲਿਮਿਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ-ਪਾਸੜ ਲਿਮਿਟ ਨਾ ਕਹੀਏ।
ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਲਈ ਇੱਕ ਆਊਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਦੋਂ ਇਨਪੁੱਟ ਮੁੱਲ x, a ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਬਿੰਦੂ ਦਾ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਜੋੜਾ (a, f(a)) ਹੋਵੇਗਾ। ਜੇਕਰ ਅਜਿਹਾ ਬਿੰਦੂ ਮੌਜੂਦ ਹੈ, ਤਾਂ f(a) ਦਾ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਬਿੰਦੂ ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 5 ਵਿੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ f(a) ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਲਈ, ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲਿਮਿਟਾਂ ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ ਜਦੋਂ x, a ਵੱਲ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ।
ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿ ਕੀ ਖੱਬੀ ਲਿਮਿਟ ਮੌਜੂਦ ਹੈ, ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿ ਕੀ ਸੱਜੀ ਲਿਮਿਟ ਮੌਜੂਦ ਹੈ, ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਜੇਕਰ ਦੋ ਇੱਕ-ਪਾਸੜ ਲਿਮਿਟਾਂ ਮੌਜੂਦ ਹਨ ਅਤੇ ਬਰਾਬਰ ਹਨ, ਤਾਂ ਦੋ-ਪਾਸੜ ਲਿਮਿਟ ਹੁੰਦੀ ਹੈ—ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ "ਲਿਮਿਟ" ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ।
ਜੇਕਰ x=a 'ਤੇ ਕੋਈ ਬਿੰਦੂ ਹੈ, ਤਾਂ f(a) ਸੰਬੰਧਿਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੁੱਲ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 2
ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲਿਮਿਟ ਲੱਭਣਾ
1. Figure 6 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਲਈ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਲਿਮਟ ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ। lim x→ 2 − f(x) lim x→ 2 + f(x) lim x→2 f(x) f(2) Figure 6
2. Figure 7 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਲਈ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਲਿਮਟ ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ। lim x→ 2 − f(x) lim x→ 2 + f(x) lim x→2 f(x) f(2) Figure 7
3. ਹੱਲ
4. Figure 6 ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹੋਏ: lim x→ 2 − f(x)=8; ਜਦੋਂ x<2, ਪਰ 2 ਦੇ ਬਹੁਤ ਨੇੜੇ ਹੈ, ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ y=8 ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਨ। lim x→ 2 + f(x)=3; ਜਦੋਂ x>2, ਪਰ 2 ਦੇ ਬਹੁਤ ਨੇੜੇ ਹੈ, ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ y=3 ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਨ। lim x→2 f(x) ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ lim x→2 − f(x)≠ lim x→2 + f(x); ਖੱਬੇ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਲਿਮਟ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹਨ। f(2)=3 ਕਿਉਂਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਿੰਦੂ (2, f(2)) ਜਾਂ (2,3) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ।
5. Figure 7 ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹੋਏ: lim x→2 − f(x)=8; ਜਦੋਂ x<2 ਪਰ 2 ਦੇ ਬਹੁਤ ਨੇੜੇ ਹੈ, ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ y=8 ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਨ। lim x→2 + f(x)=8; ਜਦੋਂ x>2 ਪਰ 2 ਦੇ ਬਹੁਤ ਨੇੜੇ ਹੈ, ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ y=8 ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਨ। lim x→2 f(x)=8 ਕਿਉਂਕਿ lim x→2 − f(x)= lim x→2 + f(x)=8; ਖੱਬੇ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਲਿਮਟ ਬਰਾਬਰ ਹਨ। f(2)=4 ਕਿਉਂਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਿੰਦੂ (2, f(2)) ਜਾਂ (2,4) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ।
6. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
7. Figure 8 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ y=f(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਲਿਮਟ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ।
8. limx→0-f(x)
9. limx→0+f(x)
10. limx→0f(x)
11. limx→2-f(x)
12. limx→2+f(x)
13. limx→2f(x)
14. limx→4-f(x)
15. limx→4+f(x)
16. limx→4f(x)
17. ਇੱਕ ਟੇਬਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲਿਮਟ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
18. ਇੱਕ ਟੇਬਲ ਬਣਾਉਣਾ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲਿਮਟ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਟੇਬਲ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸ ਵਿੱਚ x ਦੇ ਇਨਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਤੋਂ a ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਨ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੀ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਕਿਸੇ ਅਸਲ ਮੁੱਲ, ਲਿਮਟ L, ਦੇ ਨੇੜੇ ਅਤੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਨ।
19. ਆਓ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ:
20. ਟੇਬਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ x=5 ਦੇ ਨੇੜੇ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ 5 ਤੋਂ ਘੱਟ ਕੁਝ ਇਨਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਅਤੇ 5 ਤੋਂ ਵੱਧ ਕੁਝ ਮੁੱਲ ਵਰਤਦੇ ਹਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ Figure 9 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਟੇਬਲ ਦੇ ਮੁੱਲ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ ਕਿ ਜਦੋਂ x>5 ਪਰ 5 ਦੇ ਨੇੜੇ ਹੈ, ਤਾਂ ਸੰਗਤ ਆਉਟਪੁੱਟ 75 ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਜਦੋਂ x>5 ਪਰ 5 ਦੇ ਨੇੜੇ ਹੈ, ਤਾਂ ਸੰਗਤ ਆਉਟਪੁੱਟ ਵੀ 75 ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
21. ਕਿਉਂਕਿ
22. ਤਾਂ
23. ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ f(5) ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਹੈ।
24. ਕਿਵੇਂ
1. ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ f, f ਲਈ, ਇੱਕ ਟੇਬਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ x x ਦੇ a a ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਣ ਵਾਲੀ ਸੀਮਾ ਅਤੇ f(a), f(a) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜੇਕਰ ਇਹ ਮੌਜੂਦ ਹੈ।
2. ਕੁਝ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਚੁਣੋ ਜੋ ਖੱਬੇ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਤੋਂ a a ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਨ। ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਟੇਬਲ ਵਿੱਚ ਦਰਜ ਕਰੋ।
3. ਹਰੇਕ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਟੇਬਲ ਵਿੱਚ ਦਰਜ ਕਰੋ।
4. ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਟੇਬਲ ਦੇ ਮੁੱਲ ਖੱਬੇ-ਪਾਸੇ ਦੀ ਸੀਮਾ ਅਤੇ ਸੱਜੇ-ਪਾਸੇ ਦੀ ਸੀਮਾ ਦਾ ਸੰਕੇਤ ਦਿੰਦੇ ਹਨ।
5. ਜੇਕਰ ਖੱਬੇ-ਪਾਸੇ ਅਤੇ ਸੱਜੇ-ਪਾਸੇ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਮੌਜੂਦ ਹਨ ਅਤੇ ਬਰਾਬਰ ਹਨ, ਤਾਂ ਦੋ-ਪਾਸੇ ਵਾਲੀ ਸੀਮਾ ਮੌਜੂਦ ਹੈ।
6. f( a ) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ x x ਨੂੰ a a ਨਾਲ ਬਦਲੋ।
7. ਉਦਾਹਰਨ 3
8. ਟੇਬਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸੀਮਾ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
9. ਸੀਮਾ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ 'ਤੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਟੇਬਲ ਬਣਾ ਕੇ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਸੀਮਾ ਦਾ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ।
10. ਹੱਲ
11. ਅਸੀਂ ਸੀਮਾ ਦਾ ਮੁੱਲ, ਜੇਕਰ ਇਹ ਮੌਜੂਦ ਹੈ, ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ x=0 ਦੇ ਨੇੜੇ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਕੇ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ x=0 ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਸਿੱਧੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਨਹੀਂ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਕਿਉਂਕਿ ਨਤੀਜਾ 0 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਡਿਨੋਮੀਨੇਟਰ ਹੋਵੇਗਾ, ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੋਵੇਗਾ।
12. ਅਸੀਂ x=0 ਦੇ ਨੇੜੇ ਦੇ ਕਈ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਚੁਣ ਕੇ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਅੱਧੇ x=0 ਤੋਂ ਘੱਟ ਅਤੇ ਅੱਧੇ x=0 ਤੋਂ ਵੱਧ ਹਨ, ਚਿੱਤਰ 10 ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਸਾਨੂੰ ਰੇਡੀਅਨ ਮੋਡ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨੀ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਟੇਬਲ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਲਈ ਹਰੇਕ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
13. ਟੇਬਲ ਦੇ ਮੁੱਲ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ ਕਿ ਜਦੋਂ x<0 ਪਰ 0 ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸੰਗਤ ਆਉਟਪੁੱਟ 5/3 ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦੀ ਹੈ।
14. ਜਦੋਂ x>0 ਪਰ 0 ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸੰਗਤ ਆਉਟਪੁੱਟ ਵੀ 5/3 ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦੀ ਹੈ।
15. ਕਿਉਂਕਿ
16. ਤਾਂ
Q&A
17. ਕੀ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਯੂਟਿਲਿਟੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਆਪਣੇ ਜਵਾਬ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨਾ ਸੰਭਵ ਹੈ?
18. ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਇੱਕ ਟੇਬਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ f(x) = (x^3 - 125) / (x - 5) ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਸੀਮਾ 75 ਪਾਈ ਸੀ ਜਦੋਂ x, 5 ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ। ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 11 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਅਨੁਸਾਰ ਇੱਕ ਵਿਊਇੰਗ ਵਿੰਡੋ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ ਜਾਂਚ ਦਿਖਾਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀਆਂ ਦੋਵੇਂ ਸ਼ਾਖਾਵਾਂ 75 ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦੀਆਂ ਹਨ ਜਦੋਂ x, 5 ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ 'ਟਰੇਸ' ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। x=5 ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚ ਕੇ ਅਸੀਂ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸੰਗਤ ਆਉਟਪੁੱਟ ਨੂੰ 75 ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹੋਏ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
19. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #3
20. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਸੀਮਾ ਦਾ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ, ਇੱਕ ਟੇਬਲ ਬਣਾ ਕੇ:
Q&A
21. ਕੀ ਸੀਮਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦਾ ਕੋਈ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਦੂਜੇ ਨਾਲੋਂ ਬਿਹਤਰ ਹੈ?
22. ਨਹੀਂ। ਦੋਵਾਂ ਤਰੀਕਿਆਂ ਦੇ ਫਾਇਦੇ ਹਨ। ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਤੇਜ਼ ਨਿਰੀਖਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਟੇਬਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਉਦੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ ਯੂਟਿਲਿਟੀ ਉਪਲਬਧ ਨਾ ਹੋਵੇ, ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਨਿਰੀਖਣ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਅਣ-ਸਹਾਇਤਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਅੱਖ ਨਾਲ ਦੇਖੀ ਜਾ ਸਕਣ ਵਾਲੀ ਪ੍ਰੀਸੀਸ਼ਨ ਨਾਲੋਂ ਵਧੇਰੇ ਪ੍ਰੀਸੀਸ਼ਨ ਤੱਕ ਗਿਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
23. ਉਦਾਹਰਨ 4
24. ਸੀਮਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਯੂਟਿਲਿਟੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਉਪਯੋਗਤਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਾਲ, ਜੇਕਰ ਸੰਭਵ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀਆਂ ਖੱਬੇ- ਅਤੇ ਸੱਜੇ-ਹੱਥ ਸੀਮਾਵਾਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਜਦੋਂ x, x 0 ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਸੀਮਾ ਹੈ ਜਦੋਂ x, x 0 ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਨੂੰ ਦੱਸੋ। ਜੇਕਰ ਨਹੀਂ, ਤਾਂ ਚਰਚਾ ਕਰੋ ਕਿ ਸੀਮਾ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ x=0 ਦੇ ਨੇੜੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਉਪਯੋਗਤਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। x=0 ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਕੇਂਦਰਿਤ, ਅਸੀਂ ਦੋ ਵਿਊਇੰਗ ਵਿੰਡੋਜ਼ ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਦੂਜੀ ਪਹਿਲੀ ਨਾਲੋਂ x=0 ਦੇ ਨੇੜੇ ਜ਼ੂਮ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਨਤੀਜਾ [−2,2] ਬਾਈ [−3,3] ਲਈ ਚਿੱਤਰ 12 ਵਰਗਾ ਹੋਵੇਗਾ।
ਨਤੀਜਾ [−0.1,0.1] ਬਾਈ [−3,3] ਲਈ ਚਿੱਤਰ 13 ਵਰਗਾ ਹੋਵੇਗਾ।
ਚਿੱਤਰ 13: ਜ਼ੀਰੋ ਦੇ ਹੋਰ ਨੇੜੇ, ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸੀਮਾ ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਹੋਰ ਵੀ ਘੱਟ ਸਮਰੱਥ ਹਾਂ।
ਅਸੀਂ 0 ਦੇ ਜਿੰਨੇ ਨੇੜੇ ਜਾਂਦੇ ਹਾਂ, ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲਾਂ ਵਿੱਚ ਉਤਰਾਅ-ਚੜ੍ਹਾਅ ਓਨਾ ਹੀ ਜ਼ਿਆਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਵਿਵਹਾਰ ਨਹੀਂ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਖੱਬੇ-ਹੱਥ ਸੀਮਾ ਜਾਂ ਸੱਜੇ-ਹੱਥ ਸੀਮਾ ਹੋਵੇ। ਅਤੇ ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਖੱਬੇ-ਹੱਥ ਸੀਮਾ ਜਾਂ ਸੱਜੇ-ਹੱਥ ਸੀਮਾ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਤੌਰ 'ਤੇ ਕੋਈ ਸੀਮਾ ਨਹੀਂ ਹੈ ਜਦੋਂ x, x 0 ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਸੀਮਾ ਦਾ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ: lim x→0 ( sin( 2 x ) )।
ਮੀਡੀਆ
ਸੀਮਾਵਾਂ ਲੱਭਣ ਵਿੱਚ ਵਾਧੂ ਹਦਾਇਤਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
ਸੀਮਾਵਾਂ ਦਾ ਜਾਣ-ਪਛਾਣ
ਸੀਮਾ ਦੀ ਰਸਮੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਮੌਖਿਕ
x=a 'ਤੇ ਮੁੱਲ ਅਤੇ a ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਣ ਵਾਲੀ ਸੀਮਾ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਅੰਤਰ ਦੱਸੋ।
ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਸੀਮਾ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ ਜਦੋਂ x, a ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ x, a ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ, ਖੱਬੇ-ਹੱਥ ਸੀਮਾ ਸੱਜੇ-ਹੱਥ ਸੀਮਾ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਚਿੱਤਰ 14 ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਫੰਕਸ਼ਨਲ ਮੁੱਲਾਂ ਅਤੇ ਸੀਮਾਵਾਂ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ।
lim x→− 2 − f(x)
lim x→− 2 + f(x)
lim x→−2 f(x)
f(−2)
lim x→ 1 − f(x)
lim x→ 1 + f(x)
ਅੰਤਿਮ ਸੀਮਾ x→1 f(x)
f(1)
ਅੰਤਿਮ ਸੀਮਾ x→ 4 − f(x)
ਅੰਤਿਮ ਸੀਮਾ x→ 4 + f(x)
ਅੰਤਿਮ ਸੀਮਾ x→4 f(x)
f(4)
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨਲ ਮੁੱਲਾਂ ਅਤੇ ਸੀਮਾਵਾਂ ਤੋਂ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਅੰਤਿਮ ਸੀਮਾ x→ 0 − f(x)=2, ਅੰਤਿਮ ਸੀਮਾ x→ 0 + f(x)=–3, ਅੰਤਿਮ ਸੀਮਾ x→2 f(x)=2, f(0)=4, f(2)=–1, f(–3) ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਅੰਤਿਮ ਸੀਮਾ x→ 2 − f(x)=0, ਅੰਤਿਮ ਸੀਮਾ x→ 2 + =–2, ਅੰਤਿਮ ਸੀਮਾ x→0 f(x)=3, f(2)=5, f(0)
ਅੰਤਿਮ ਸੀਮਾ x→ 2 − f(x)=2, ਅੰਤਿਮ ਸੀਮਾ x→ 2 + f(x)=−3, ਅੰਤਿਮ ਸੀਮਾ x→0 f(x)=5, f(0)=1, f(1)=0
ਅੰਤਿਮ ਸੀਮਾ x→ 3 − f(x)=0, ਅੰਤਿਮ ਸੀਮਾ x→ 3 + f(x)=5, ਅੰਤਿਮ ਸੀਮਾ x→5 f(x)=0, f(5)=4, f(3) ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਅੰਤਿਮ ਸੀਮਾ x→4 f(x)=6, ਅੰਤਿਮ ਸੀਮਾ x→ 6 + f(x)=−1, ਅੰਤਿਮ ਸੀਮਾ x→0 f(x)=5, f(4)=6, f(2)=6
ਅੰਤਿਮ ਸੀਮਾ x→−3 f(x)=2, ਅੰਤਿਮ ਸੀਮਾ x→ 1 + f(x)=−2, ਅੰਤਿਮ ਸੀਮਾ x→3 f(x)=–4, f(–3)=0, f(0)=0
ਅੰਤਿਮ ਸੀਮਾ x→π f(x)= π 2, ਅੰਤਿਮ ਸੀਮਾ x→–π f(x)= π 2, ਅੰਤਿਮ ਸੀਮਾ x→ 1 – f(x)=0, f(π)= 2, f(0) ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, x 0 ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਣ 'ਤੇ 5 ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਸੀਮਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
f(x)= ( 1+x ) 1 x
g(x)= ( 1+x ) 2 x
h(x)= ( 1+x ) 3 x
i(x)= ( 1+x ) 4 x
j(x)= ( 1+x ) 5 x
ਉੱਪਰਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ ਤੁਹਾਡੇ ਦੁਆਰਾ ਦੇਖੇ ਗਏ ਪੈਟਰਨ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ, f(x)= ( 1+x ) 6 x , g(x)= ( 1+x ) 7 x , ਅਤੇ h(x)= ( 1+x ) n x ਦੀ ਸੀਮਾ ਬਾਰੇ ਇੱਕ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ।
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, x a ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਣ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਖੱਬੀ ਅਤੇ ਸੱਜੀ-ਹੱਥ ਸੀਮਾਵਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ ਸਬੂਤ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਯੂਟਿਲਿਟੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ x a ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਣ 'ਤੇ ਸੀਮਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਨੂੰ ਦੱਸੋ। ਜੇ ਨਹੀਂ, ਤਾਂ ਚਰਚਾ ਕਰੋ ਕਿ ਸੀਮਾ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ ਹੈ।
(x)={ | x |−1, ਜੇਕਰ x≠1 x 3 , ਜੇਕਰ x=1 a=1
(x)={ 1 x+1 , ਜੇਕਰ x=−2 (x+1) 2 , ਜੇਕਰ x≠−2 a=−2
Numeric
For the following exercises, use numerical evidence to determine whether the limit exists at x=a. x=a. If not, describe the behavior of the graph of the function near x=a. x=a. Round answers to two decimal places.
f(x)= x 2 −4x 16− x 2 ;a=4 f(x)= x 2 −4x 16− x 2 ;a=4
f(x)= x 2 −x−6 x 2 −9 ;a=3 f(x)= x 2 −x−6 x 2 −9 ;a=3
f(x)= x 2 −6x−7 x 2 –7x ;a=7 f(x)= x 2 −6x−7 x 2 –7x ;a=7
f(x)= x 2 –1 x 2 –3x+2 ;a=1 f(x)= x 2 –1 x 2 –3x+2 ;a=1
f(x)= 1− x 2 x 2 −3x+2 ;a=1 f(x)= 1− x 2 x 2 −3x+2 ;a=1
f(x)= 10−10 x 2 x 2 −3x+2 ;a=1 f(x)= 10−10 x 2 x 2 −3x+2 ;a=1
f(x)= x 6 x 2 −5x−6 ;a= 3 2 f(x)= x 6 x 2 −5x−6 ;a= 3 2
f(x)= x 4 x 2 +4x+1 ;a=− 1 2 f(x)= x 4 x 2 +4x+1 ;a=− 1 2
f(x)= 2 x−4 ;a=4 f(x)= 2 x−4 ;a=4
For the following exercises, use a calculator to estimate the limit by preparing a table of values. If there is no limit, describe the behavior of the function as x x approaches the given value.
lim x→0 7tanx 3x lim x→0 7tanx 3x
lim x→4 x 2 x−4 lim x→4 x 2 x−4
lim x→0 2sinx 4tanx lim x→0 2sinx 4tanx
For the following exercises, use a graphing utility to find numerical or graphical evidence to determine the left and right-hand limits of the function given as x x approaches a. a. If the function has a limit as x x approaches a, a, state it. If not, discuss why there is no limit.
lim x→0 e e 1 x lim x→0 e e 1 x
lim x→0 e e − 1 x 2 lim x→0 e e − 1 x 2
lim x→0 | x | x lim x→0 | x | x
lim x→−1 | x+1 | x+1 lim x→−1 | x+1 | x+1
lim x→5 | x−5 | 5−x lim x→5 | x−5 | 5−x
lim x→−1 1 ( x+1 ) 2 lim x→−1 1 ( x+1 ) 2
lim x→1 1 ( x−1 ) 3 lim x→1 1 ( x−1 ) 3
lim x→0 5 1− e 2 x lim x→0 5 1− e 2 x
1. ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਅਤੇ ਵਿਪਰੀਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ ਸਬੂਤਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਸਮਾਨ ਦਿਖਦੇ ਹਨ: f(x)=| 1−x x | ਅਤੇ g(x)=| 1+x x | ਜਿਵੇਂ ਕਿ x ਸਿਫ਼ਰ ਵੱਲ ਵਧਦਾ ਹੈ। ਜੇ ਸੰਭਵ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਯੂਟਿਲਿਟੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਤਾਂ ਕਿ f(x) ਅਤੇ g(x) ਦੀਆਂ ਖੱਬੀ ਅਤੇ ਸੱਜੀ-ਹੱਥ ਸੀਮਾਵਾਂ ਪਤਾ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾ ਸਕਣ ਜਿਵੇਂ ਕਿ x ਸਿਫ਼ਰ ਵੱਲ ਵਧਦਾ ਹੈ। ਜੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਸਿਫ਼ਰ ਵੱਲ ਵਧਦੇ x ਲਈ ਕੋਈ ਸੀਮਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਨੂੰ ਦੱਸੋ। ਜੇ ਨਹੀਂ, ਤਾਂ ਚਰਚਾ ਕਰੋ ਕਿ ਸੀਮਾ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ ਹੈ।
2. ਵਿਸਤਾਰ
3. ਸਾਪੇਖਤਾ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਅਨੁਸਾਰ, ਇੱਕ ਕਣ ਦਾ ਪੁੰਜ m, ਉਸਦੇ ਵੇਗ v 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਹੈ
4. ਜਿੱਥੇ m o, ਕਣ ਦੇ ਰੁਕੇ ਹੋਣ ਵੇਲੇ ਪੁੰਜ ਹੈ ਅਤੇ c, ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਦੀ ਗਤੀ ਹੈ। v, c − ਵੱਲ ਵਧਣ 'ਤੇ ਪੁੰਜ, m, ਦੀ ਸੀਮਾ ਪਤਾ ਕਰੋ।
5. ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਦੀ ਗਤੀ, c, ਨੂੰ 1.0 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਮੰਨੋ। ਜੇ ਪੁੰਜ, m, 1 ਹੈ, ਤਾਂ m ਦਾ ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ v→c? ਟੇਬਲ 1 ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਇਸ ਬਾਰੇ ਇੱਕ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ ਕਿ ਜਿਵੇਂ v, 1.00 ਵੱਲ ਵਧਦਾ ਹੈ, ਪੁੰਜ ਕਿੰਨਾ ਹੈ।
6. ਕਤਾਰ: vv | mm
7. ਕਤਾਰ: 0.5 | 1.15
8. ਕਤਾਰ: 0.9 | 2.29
9. ਕਤਾਰ: 0.95 | 3.20
10. ਕਤਾਰ: 0.99 | 7.09
11. ਕਤਾਰ: 0.999 | 22.36
12. ਕਤਾਰ: 0.99999 | 223.61