Learning Objectives
In this section, you will:
Find the limit of a sum, a difference, and a product.
Find the limit of a polynomial.
Find the limit of a power or a root.
Find the limit of a quotient.
Consider the rational function
The function can be factored as follows:
Does this mean the function f f is the same as the function g(x)=x+1? g(x)=x+1?
The answer is no. Function f f does not have x=7 x=7 in its domain, but g g does. Graphically, we observe there is a hole in the graph of f( x ) f( x ) at x=7, x=7, as shown in Figure 1 and no such hole in the graph of g( x ), g( x ), as shown in Figure 2.
Figure 1: The graph of function f f contains a break at underline x=7 x=7 end underline and is therefore not continuous at x=7. x=7.
Figure 2: The graph of function g g is continuous.
So, do these two different functions also have different limits as x x approaches 7?
Not necessarily. Remember, in determining a limit of a function as x x approaches a, a, what matters is whether the output approaches a real number as we get close to x=a. x=a. The existence of a limit does not depend on what happens when x x equals a. a.
Look again at Figure 1 and Figure 2. Notice that in both graphs, as x x approaches 7, the output values approach 8. This means
Remember that when determining a limit, the concern is what occurs near x=a, x=a, not at x=a. x=a. In this section, we will use a variety of methods, such as rewriting functions by factoring, to evaluate the limit. These methods will give us formal verification for what we formerly accomplished by intuition.
Finding the Limit of a Sum, a Difference, and a Product
Graphing a function or exploring a table of values to determine a limit can be cumbersome and time-consuming. When possible, it is more efficient to use the properties of limits, which is a collection of theorems for finding limits.
Knowing the properties of limits allows us to compute limits directly. We can add, subtract, multiply, and divide the limits of functions as if we were performing the operations on the functions themselves to find the limit of the result. Similarly, we can find the limit of a function raised to a power by raising the limit to that power. We can also find the limit of the root of a function by taking the root of the limit. Using these operations on limits, we can find the limits of more complex functions by finding the limits of their simpler component functions.
Properties of Limits
Let a,k,A, a,k,A, and B B represent real numbers, and f f and g g be functions, such that lim x→a f(x)=A lim x→a f(x)=A and lim x→a g(x)=B. lim x→a g(x)=B. For limits that exist and are finite, the properties of limits are summarized in Table 1
row: Constant, k | lim x→a k=k lim x→a k=k
row: Constant times a function | lim x→a [ k⋅f(x) ]=k lim x→a f(x)=kA lim x→a [ k⋅f(x) ]=k lim x→a f(x)=kA
row: Sum of functions | lim x→a [ f(x)+g(x) ]= lim x→a f(x)+ lim x→a g(x)=A+B lim x→a [ f(x)+g(x) ]= lim x→a f(x)+ lim x→a g(x)=A+B
row: Difference of functions | lim x→a [ f(x)−g(x) ]= lim x→a f(x)− lim x→a g(x)=A−B lim x→a [ f(x)−g(x) ]= lim x→a f(x)− lim x→a g(x)=A−B
row: Product of functions | lim x→a [ f(x)⋅g(x) ]= lim x→a f(x)⋅ lim x→a g(x)=A⋅B lim x→a [ f(x)⋅g(x) ]= lim x→a f(x)⋅ lim x→a g(x)=A⋅B
row: Quotient of functions | lim x→a f(x) g(x) = lim x→a f(x) lim x→a g(x) = A B ,B≠0 lim x→a f(x) g(x) = lim x→a f(x) lim x→a g(x) = A B ,B≠0
row: Function raised to an exponent | lim x→a [f(x)] n = [ lim x→a f(x) ] n = A n , lim x→a [f(x)] n = [ lim x→a f(x) ] n = A n , where n n is a positive integer
row: nth root of a function, where n is a positive integer | lim x→a f(x) n = lim x→a [ f(x) ] n = A n lim x→a f(x) n = lim x→a [ f(x) ] n = A n
row: Polynomial function | lim x→a p(x)=p(a) lim x→a p(x)=p(a)
Example 1
Evaluating the Limit of a Function Algebraically
Evaluate lim x→3 ( 2x+5 ). lim x→3 ( 2x+5 ).
Solution
Try It #1
Evaluate the following limit: lim x→−12 ( −2x+2 ). lim x→−12 ( −2x+2 ).
Finding the Limit of a Polynomial
Not all functions or their limits involve simple addition, subtraction, or multiplication. Some may include polynomials. Recall that a polynomial is an expression consisting of the sum of two or more terms, each of which consists of a constant and a variable raised to a nonnegative integral power. To find the limit of a polynomial function, we can find the limits of the individual terms of the function, and then add them together. Also, the limit of a polynomial function as x x approaches a a is equivalent to simply evaluating the function for a a.
How To
Given a function containing a polynomial, find its limit.
Use the properties of limits to break up the polynomial into individual terms.
Find the limits of the individual terms.
Add the limits together.
Alternatively, evaluate the function for a a.
Example 2
Evaluating the Limit of a Function Algebraically
Evaluate lim x→3 ( 5 x 2 ). lim x→3 ( 5 x 2 ).
Solution
1. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
2. lim x→4 ( x 3 −5) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। lim x→4 ( x 3 −5) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
3. ਉਦਾਹਰਨ 3
4. ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਦੀ ਸੀਮਾ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ
5. lim x→5 ( 2 x 3 −3x+1 ) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। lim x→5 ( 2 x 3 −3x+1 ) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
6. ਹੱਲ
7. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
8. ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਸੀਮਾ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ: lim x→−1 ( x 4 −4 x 3 +5 )। lim x→−1 ( x 4 −4 x 3 +5 )।
9. ਇੱਕ ਘਾਤ ਜਾਂ ਇੱਕ ਮੂਲ ਦੀ ਸੀਮਾ ਲੱਭਣਾ
10. ਜਦੋਂ ਸੀਮਾ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਘਾਤ ਜਾਂ ਇੱਕ ਮੂਲ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਇਸਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਹੋਰ ਗੁਣ ਦੀ ਲੋੜ ਪੈਂਦੀ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਫਲਨ ਦੀ ਸੀਮਾ ਦਾ ਵਰਗ, ਉਸ ਫਲਨ ਦੇ ਵਰਗ ਦੀ ਸੀਮਾ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ; ਉੱਚ ਘਾਤਾਂ ਲਈ ਵੀ ਇਹੀ ਸੱਚ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਕਿਸੇ ਫਲਨ ਦੀ ਸੀਮਾ ਦਾ ਵਰਗਮੂਲ, ਉਸ ਫਲਨ ਦੇ ਵਰਗਮੂਲ ਦੀ ਸੀਮਾ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ; ਉੱਚ ਮੂਲਾਂ ਲਈ ਵੀ ਇਹੀ ਸੱਚ ਹੈ।
11. ਉਦਾਹਰਨ 4
12. ਇੱਕ ਘਾਤ ਦੀ ਸੀਮਾ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ
13. lim x→2 ( 3x+1 ) 5 ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। lim x→2 ( 3x+1 ) 5 ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
14. ਹੱਲ
15. ਅਸੀਂ x, 2 ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਣ 'ਤੇ ਫਲਨ ਦੀ ਸੀਮਾ ਲਵਾਂਗੇ ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ 5ਵੀਂ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਵਾਂਗੇ।
16. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
17. ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਸੀਮਾ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ: lim x→−4 ( 10x+36 ) 3 । lim x→−4 ( 10x+36 ) 3 ।
Q&A
18. ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਸੀਮਾ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਨੂੰ ਸਿੱਧੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦੇ, ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ lim x→2 ( x 2 +6x+8 x−2 ) lim x→2 ( x 2 +6x+8 x−2 ) ਵਿੱਚ, ਕੀ ਅਸੀਂ ਅਜੇ ਵੀ x, a ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਣ 'ਤੇ ਫਲਨ ਦੀ ਸੀਮਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ?
19. ਹਾਂ। ਕੁਝ ਫਲਨਾਂ ਨੂੰ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੁਬਾਰਾ ਵਿਵਸਥਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਕੋਈ ਫਲਨ ਦੇ ਸਰਲ ਕੀਤੇ ਸਮਾਨ ਰੂਪ ਦੀ ਸੀਮਾ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕੇ।
20. ਇੱਕ ਭਾਗਫਲ ਦੀ ਸੀਮਾ ਲੱਭਣਾ
21. ਇੱਕ ਭਾਗਫਲ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤੇ ਗਏ ਫਲਨ ਦੀ ਸੀਮਾ ਲੱਭਣਾ ਵਧੇਰੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਸਾਨੂੰ ਅਕਸਰ ਸੀਮਾ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਫਲਨ ਨੂੰ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣ ਦੀ ਲੋੜ ਪੈਂਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਹਰ, ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਸੀਮਾ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਨੂੰ ਸਿੱਧੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ 0 ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਸਾਨੂੰ ਭਾਗਫਲ ਨੂੰ ਇੱਕ ਵੱਖਰੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਪਹੁੰਚ ਭਾਗਫਲ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣਾ ਅਤੇ ਸਰਲ ਕਰਨਾ ਹੈ।
22. ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ
23. ਭਾਗਫਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਫਲਨ ਦੀ ਸੀਮਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਇਸਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
24. ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਕਰੋ।
ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕਾਂ ਨੂੰ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਵਿੱਚ ਵੰਡ ਕੇ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਨਤੀਜੇ ਵਾਲੀ ਹੱਦ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਸਹੀ ਡੋਮੇਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਯਾਦ ਰੱਖੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਦੁਆਰਾ ਭਾਗਫਲ ਦੀ ਹੱਦ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
lim x→2 ( x 2 −6x+8 x−2 ) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਜਿੱਥੇ ਸੰਭਵ ਹੋਵੇ, ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ, ਅਤੇ ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਫਲਨ ਦੀ ਹੱਦ ਦਾ ਸਿੱਧਾ ਮੁੱਲ ਨਹੀਂ ਪਤਾ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ, ਤਾਂ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਰੂਪ ਸਰਲ ਹੋ ਕੇ ਅਜਿਹੇ ਨਤੀਜੇ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਸਕਦੇ ਹਨ ਜਿਸਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਨੋਟ ਕਰੋ, ਫਲਨ
ਫਲਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਹੱਦ ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਭਾਵੇਂ ਫਲਨ x = 2 'ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਨਾ ਹੋਵੇ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5
ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਹੱਦ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ: lim x→7 ( x 2 −11x+28 7−x )।
ਉਦਾਹਰਨ 6
ਲਘੁੱਤਮ ਸਾਂਝਾ ਭਾਜ (LCD) ਲੱਭ ਕੇ ਭਾਗਫਲ ਦੀ ਹੱਦ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
lim x→5 ( 1 x − 1 5 x−5 ) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਅੰਸ਼ ਵਿੱਚ ਦੋਨਾਂ ਪਦਾਂ ਦੇ ਹਰ ਲਈ LCD ਲੱਭੋ, ਅਤੇ ਦੋਨਾਂ ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ LCD ਨੂੰ ਹਰ ਵਜੋਂ ਬਦਲੋ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਜਦੋਂ ਕਿਸੇ ਪਰਿਮੇਯ ਫਲਨ ਦੀ ਹੱਦ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੇ ਹੋ ਜਿਸਦੇ ਅੰਸ਼ ਜਾਂ ਹਰ ਵਿੱਚ ਪਦ ਜੋੜੇ ਜਾਂ ਘਟਾਏ ਗਏ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ ਜੋੜੇ ਜਾਂ ਘਟਾਏ ਗਏ ਪਦਾਂ ਦੇ ਸਾਂਝੇ ਹਰ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ ਹੈ; ਫਿਰ, ਦੋਨਾਂ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਉਸ ਹਰ ਨਾਲ ਬਦਲੋ, ਜਾਂ ਲਘੁੱਤਮ ਸਾਂਝੇ ਹਰ ਨਾਲ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਪਰਿਮੇਯ ਫਲਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ। ਫਿਰ ਚੈੱਕ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਨਤੀਜੇ ਵਾਲੇ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕ ਹਨ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #6
lim x→−5 ( 1 5 + 1 x 10+2x ) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਸੀਮਾ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਰੂਟ ਸ਼ਾਮਲ ਹੋਵੇ, ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਨ ਕਰਨ ਲਈ, ਸੰਯੁਗਮ (conjugate) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਜੇਕਰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਭਾਗ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ( 0 0 ) ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਿੱਧੇ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਨ ਕਰੋ।
ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਦੋ ਭਾਗਾਂ ਦੇ ਜੋੜ (ਜਾਂ ਘਟਾਓ) ਨੂੰ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਸਾਂਝੇ ਹਰ (LCD) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕੋ ਭਾਗ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
ਜੇਕਰ ਅੰਸ਼ ਵਿੱਚ ਰੂਟ ਸ਼ਾਮਲ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਅੰਸ਼ ਦਾ ਪਰਿਮਾਣਨ ਕਰੋ; ਅੰਸ਼ ਦੇ ਸੰਯੁਗਮ ਨਾਲ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ a± b a± b ਸੰਯੁਗਮ ਹਨ।
ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਪ੍ਰਾਪਤ ਸੀਮਾ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਨ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 7
ਸੰਯੁਗਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਰੂਟ ਵਾਲੀ ਸੀਮਾ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਨ ਕਰਨਾ
lim x→0 ( 25−x −5 x ) ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਨ ਕਰੋ। lim x→0 ( 25−x −5 x )
ਹੱਲ
lim x→0 ( 25−x −5 x )= lim x→0 ( ( 25−x −5 ) x ⋅ ( 25−x +5 ) ( 25−x +5 ) ) ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਸੰਯੁਗਮ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। = lim x→0 ( ( 25−x )−25 x( 25−x +5 ) ) ਗੁਣਾ ਕਰੋ: ( 25−x −5 )⋅( 25−x +5 )=( 25−x )−25। = lim x→0 ( −x x( 25−x +5 ) ) ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ। = lim x→0 ( − x x ( 25−x +5 ) ) −x x =−1 ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ। = −1 25−0 +5 ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਨ ਕਰੋ। = −1 5+5 =− 1 10 lim x→0 ( 25−x −5 x )= lim x→0 ( ( 25−x −5 ) x ⋅ ( 25−x +5 ) ( 25−x +5 ) ) ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਸੰਯੁਗਮ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। = lim x→0 ( ( 25−x )−25 x( 25−x +5 ) ) ਗੁਣਾ ਕਰੋ: ( 25−x −5 )⋅( 25−x +5 )=( 25−x )−25। = lim x→0 ( −x x( 25−x +5 ) ) ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ। = lim x→0 ( − x x ( 25−x +5 ) ) −x x =−1 ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ। = −1 25−0 +5 ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਨ ਕਰੋ। = −1 5+5 =− 1 10
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਜਦੋਂ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਸੀਮਾ ਦਾ ਨਿਰਧਾਰਨ ਕਰਦੇ ਹੋ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਦੋ ਪਦਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਰੂਟ ਹੋਵੇ ਜਿੱਥੇ ਅਸੀਂ ਸਿੱਧੇ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਨ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦੇ, ਤਾਂ ਪਦਾਂ ਦੇ ਸੰਯੁਗਮ ਨਾਲ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਬਾਰੇ ਸੋਚੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #7
ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਸੀਮਾ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਨ ਕਰੋ: lim h→0 ( 16−h −4 h )। lim h→0 ( 16−h −4 h )
ਉਦਾਹਰਨ 8
ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਦੁਆਰਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਭਾਗ ਦੀ ਸੀਮਾ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਨ ਕਰਨਾ
lim x→4 ( 4−x x −2 ) ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਨ ਕਰੋ। lim x→4 ( 4−x x −2 )
ਹੱਲ
lim x→4 ( 4−x x −2 )= lim x→4 ( (2+ x )(2− x ) x −2 ) ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰੋ। = lim x→4 ( (2+ x ) (2− x ) − (2− x ) ) ਹਰ ਵਿੱਚੋਂ −1 ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਕੱਢੋ। ਸਰਲ ਕਰੋ। = lim x→4 −(2+ x ) ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਨ ਕਰੋ। =−(2+ 4 ) =−4 lim x→4 ( 4−x x −2 )= lim x→4 ( (2+ x )(2− x ) x −2 ) ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰੋ। = lim x→4 ( (2+ x ) (2− x ) − (2− x ) ) ਹਰ ਵਿੱਚੋਂ −1 ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਕੱਢੋ। ਸਰਲ ਕਰੋ। = lim x→4 −(2+ x ) ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਨ ਕਰੋ। =−(2+ 4 ) =−4
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਸੰਯੁਗਮ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਨਾਲ ਅੰਸ਼ ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਹੋ ਜਾਵੇਗਾ; ਇਸ ਦੀ ਬਜਾਏ ਅੰਸ਼ ਵਿੱਚ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੀ ਭਾਲ ਕਰੋ। ਚਾਰ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਅੰਸ਼ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇ
ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #8
1. ਸੀਮਾ ਦਾ ਮੂਲ-ਮੰਤਰ: lim x→3 ( x−3 x − 3 ). lim x→3 ( x−3 x − 3 ).
2. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
3. ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲਾਂ ਵਾਲੇ ਭਾਗਫਲ ਦੀ ਸੀਮਾ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
4. ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਉਣ ਜਾਂ LCD ਲੱਭਣ ਦਾ ਯਤਨ ਕਰੋ।
5. ਜੇ ਸੀਮਾ ਨਹੀਂ ਲੱਭੀ ਜਾ ਸਕਦੀ, ਤਾਂ ਇਨਪੁਟ ਦੇ ਨੇੜੇ ਅਤੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਤੋਂ ਕੁਝ ਮੁੱਲ ਚੁਣੋ ਜਿੱਥੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ।
6. ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਤੋਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਸਬੂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
7. ਉਦਾਹਰਨ 9
8. ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲਾਂ ਵਾਲੇ ਭਾਗਫਲ ਦੀ ਸੀਮਾ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ
9. lim x→7 | x−7 | x−7 ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ। lim x→7 | x−7 | x−7 ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
10. ਹੱਲ
11. ਫੰਕਸ਼ਨ x=7, x=7 'ਤੇ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ 7 ਦੇ ਨੇੜੇ ਖੱਬੇ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸਿਓਂ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰਾਂਗੇ।
12. ਖੱਬੇ-ਪਾਸੇ ਦੀ ਸੀਮਾ: | 6.9−7 | 6.9−7 = | 6.99−7 | 6.99−7 = | 6.999−7 | 6.999−7 =−1 | 6.9−7 | 6.9−7 = | 6.99−7 | 6.99−7 = | 6.999−7 | 6.999−7 =−1
13. ਸੱਜੇ-ਪਾਸੇ ਦੀ ਸੀਮਾ: | 7.1−7 | 7.1−7 = | 7.01−7 | 7.01−7 = | 7.001−7 | 7.001−7 =1 | 7.1−7 | 7.1−7 = | 7.01−7 | 7.01−7 = | 7.001−7 | 7.001−7 =1
14. ਕਿਉਂਕਿ ਖੱਬੇ- ਅਤੇ ਸੱਜੇ-ਪਾਸੇ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਕੋਈ ਸੀਮਾ ਨਹੀਂ ਹੈ।
15. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #9
16. lim x→ 6 + 6−x | x−6 | ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ। lim x→ 6 + 6−x | x−6 | ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
17. ਮੀਡੀਆ
18. ਸੀਮਾਵਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਸਿੱਖਿਆ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
19. ਇੱਕ ਸੀਮਾ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣਾਤਮਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਨਿਰਧਾਰਨ ਕਰੋ
20. ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ
21. ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f f ਦੀ ਕਿਸਮ ਦਾ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਦਿਓ ਜਿਸਦੀ ਸੀਮਾ, ਜਦੋਂ x x, a, ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ, f( a ) ਹੈ। f( a ) ਹੈ।
22. ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਤਰਕਹੀਣ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਸੀਮਾ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸਿੱਧੀ ਬਦਲਵੀਂ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ x x, a, ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਨਤੀਜਾ f( a )= 0 0, f( a )= 0 0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਕੀ ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ f f ਦੀ ਸੀਮਾ ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਹੈ?
23. ਜਦੋਂ x x, c, ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ f( x ) ਦੀ ਸੀਮਾ ਦਾ ਮਤਲਬ ਕੀ ਹੈ, ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ?
24. ਬੀਜਗਣਿਤ
For the following exercises, evaluate the limits algebraically.
lim x→0 ( 3 ) lim x→0 ( 3 )
lim x→2 ( −5x x 2 −1 ) lim x→2 ( −5x x 2 −1 )
lim x→2 ( x 2 −5x+6 x+2 ) lim x→2 ( x 2 −5x+6 x+2 )
lim x→3 ( x 2 −9 x−3 ) lim x→3 ( x 2 −9 x−3 )
lim x→−1 ( x 2 −2x−3 x+1 ) lim x→−1 ( x 2 −2x−3 x+1 )
lim x→ 3 2 ( 6 x 2 −17x+12 2x−3 ) lim x→ 3 2 ( 6 x 2 −17x+12 2x−3 )
lim x→− 7 2 ( 8 x 2 +18x−35 2x+7 ) lim x→− 7 2 ( 8 x 2 +18x−35 2x+7 )
lim x→3 ( x 2 −9 x 2 −5x+6 ) lim x→3 ( x 2 −9 x 2 −5x+6 )
lim x→−3 ( −7 x 4 −21 x 3 −12 x 4 +108 x 2 ) lim x→−3 ( −7 x 4 −21 x 3 −12 x 4 +108 x 2 )
lim x→3 ( x 2 +2x−3 x−3 ) lim x→3 ( x 2 +2x−3 x−3 )
lim h→0 ( ( 3+h ) 3 −27 h ) lim h→0 ( ( 3+h ) 3 −27 h )
lim h→0 ( ( 2−h ) 3 −8 h ) lim h→0 ( ( 2−h ) 3 −8 h )
lim h→0 ( ( h+3 ) 2 −9 h ) lim h→0 ( ( h+3 ) 2 −9 h )
lim h→0 ( 5−h − 5 h ) lim h→0 ( 5−h − 5 h )
lim x→0 ( 3−x − 3 x ) lim x→0 ( 3−x − 3 x )
lim x→9 ( x 2 −81 3− x ) lim x→9 ( x 2 −81 3− x )
lim x→1 ( x − x 2 1− x ) lim x→1 ( x − x 2 1− x )
lim x→0 ( x 1+2x −1 ) lim x→0 ( x 1+2x −1 )
lim x→ 1 2 ( x 2 − 1 4 2x−1 ) lim x→ 1 2 ( x 2 − 1 4 2x−1 )
lim x→4 ( x 3 −64 x 2 −16 ) lim x→4 ( x 3 −64 x 2 −16 )
lim x→ 2 − ( |x−2| x−2 ) lim x→ 2 − ( |x−2| x−2 )
lim x→ 2 + ( | x−2 | x−2 ) lim x→ 2 + ( | x−2 | x−2 )
lim x→2 ( | x−2 | x−2 ) lim x→2 ( | x−2 | x−2 )
lim x→ 4 − ( | x−4 | 4−x ) lim x→ 4 − ( | x−4 | 4−x )
lim x→ 4 + ( | x−4 | 4−x ) lim x→ 4 + ( | x−4 | 4−x )
lim x→4 ( | x−4 | 4−x ) lim x→4 ( | x−4 | 4−x )
lim x→2 ( −8+6x− x 2 x−2 ) lim x→2 ( −8+6x− x 2 x−2 )
For the following exercise, use the given information to evaluate the limits: lim x→c f(x)=3, lim x→c f(x)=3, lim x→c g( x )=5 lim x→c g( x )=5.
lim x→c [ 2f(x)+ g(x) ] lim x→c [ 2f(x)+ g(x) ]
lim x→c [ 3f(x)+ g(x) ] lim x→c [ 3f(x)+ g(x) ]
lim x→c f(x) g(x) lim x→c f(x) g(x)
For the following exercises, evaluate the following limits.
lim x→2 cos( πx ) lim x→2 cos( πx )
lim x→2 sin( πx ) lim x→2 sin( πx )
lim x→2 sin( π x ) lim x→2 sin( π x )
f(x)={ 2 x 2 +2x+1, x≤0 x−3, x>0 ; lim x→ 0 + f(x) f(x)={ 2 x 2 +2x+1, x≤0 x−3, x>0 ; lim x→ 0 + f(x)
f(x)={ 2 x 2 +2x+1, x≤0 x−3, x>0 ; lim x→ 0 − f(x) f(x)={ 2 x 2 +2x+1, x≤0 x−3, x>0 ; lim x→ 0 − f(x)
f(x)={ 2 x 2 +2x+1, x≤0 x−3, x>0 ; lim x→0 f(x) f(x)={ 2 x 2 +2x+1, x≤0 x−3, x>0 ; lim x→0 f(x)
lim x→4 x+5 −3 x−4 lim x→4 x+5 −3 x−4
lim x→ 2 + (2x−[x]) lim x→ 2 + (2x−[x])
lim x→2 x+7 −3 x 2 −x−2 lim x→2 x+7 −3 x 2 −x−2
lim x→ 3 + x 2 x 2 −9 lim x→ 3 + x 2 x 2 −9
For the following exercises, find the average rate of change f(x+h)−f(x) h . f(x+h)−f(x) h .
f(x)=x+1 f(x)=x+1
f(x)=2 x 2 −1 f(x)=2 x 2 −1
f(x)= x 2 +3x+4 f(x)= x 2 +3x+4
f(x)= x 2 +4x−100 f(x)= x 2 +4x−100
f(x)=3 x 2 +1
f(x)=cos(x)
f(x)=2 x 3 −4x
f(x)= 1 x
f(x)= 1 x 2
f(x)= x
ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ
ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ ਜੋ ਚਿੱਤਰ 3 ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ ਜੋ ਚਿੱਤਰ 4 ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਚਿੱਤਰ 5 ਦਾ ਹਵਾਲਾ ਦਿਓ।
ਜਿਵੇਂ ਕਿ x 0 ਵੱਲ ਵਧਦਾ ਹੈ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਸੱਜੀ-ਹੱਥ ਸੀਮਾ ਕੀ ਹੈ?
ਜਿਵੇਂ ਕਿ x 0 ਵੱਲ ਵਧਦਾ ਹੈ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਖੱਬੀ-ਹੱਥ ਸੀਮਾ ਕੀ ਹੈ?
ਵਾਸਤਵਿਕ-ਸੰਸਾਰ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ
ਸਥਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ s(t)=−16 t 2 +144t ਪ੍ਰੋਜੈਕਟਾਈਲ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਸਮੇਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਅੰਤਰਾਲ [ 1,2 ] ਉੱਤੇ ਔਸਤ ਵੇਗ (ਔਸਤ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦਰ) ਲੱਭੋ।
ਇੱਕ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟਾਈਲ ਦੀ ਉਚਾਈ s(t)=−64 t 2 +192t ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ। t=1 ਸਕਿੰਟ ਤੋਂ t=1.5 ਸਕਿੰਟ ਤੱਕ ਉਚਾਈ ਦੀ ਔਸਤ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦਰ ਲੱਭੋ।
4.25% ਵਿਆਜ 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਮਿਸ਼ਰਿਤ t ਸਾਲਾਂ ਬਾਅਦ ਇੱਕ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ ਪੈਸੇ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਫਾਰਮੂਲਾ A= A 0 e 0.0425t ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ A 0 ਨਿਵੇਸ਼ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਰਕਮ ਹੈ। t=1 ਸਾਲ ਤੋਂ t=2 ਸਾਲ ਤੱਕ ਖਾਤੇ ਦੇ ਬਕਾਏ ਦੀ ਔਸਤ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦਰ ਲੱਭੋ ਜੇਕਰ ਨਿਵੇਸ਼ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਰਕਮ $1,000.00 ਹੈ।