1. ਇੱਕ ਦੋ-ਨਾਮਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਦੀਆਂ ਤਿੰਨ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਹਨ:
2. ਨਿਰਧਾਰਤ ਗਿਣਤੀ ਵਿੱਚ ਪਰਖਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਪਰਖਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਪ੍ਰਯੋਗ ਦੀਆਂ ਦੁਹਰਾਈਆਂ ਵਜੋਂ ਸੋਚੋ। ਅੱਖਰ 'n' ਪਰਖਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
3. ਹਰ ਪਰਖ ਲਈ ਕੇਵਲ ਦੋ ਸੰਭਵ ਨਤੀਜੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਸਫਲਤਾ ਅਤੇ ਅਸਫਲਤਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜਿਸ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਅਸੀਂ ਮਾਪ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਉਸਨੂੰ ਸਫਲਤਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਦੂਜੇ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਅਸਫਲਤਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅੱਖਰ 'p' ਇੱਕ ਪਰਖ 'ਤੇ ਸਫਲਤਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਅੱਖਰ 'q' ਇੱਕ ਪਰਖ 'ਤੇ ਅਸਫਲਤਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। p + q = 1।
੧. ਐਨ (n) ਪਰਖਾਂ ਸੁਤੰਤਰ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀਆਂ ਹਾਲਤਾਂ ਵਿੱਚ ਦੁਹਰਾਈਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਕਿਉਂਕਿ ਐਨ (n) ਪਰਖਾਂ ਸੁਤੰਤਰ ਹਨ, ਇੱਕ ਪਰਖ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਦੂਜੀ ਪਰਖ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਦੀ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ। ਇਸਨੂੰ ਕਹਿਣ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਹਰੇਕ ਵਿਅਕਤੀਗਤ ਪਰਖ ਲਈ, ਸਫਲਤਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ, ਪੀ (p), ਅਤੇ ਅਸਫਲਤਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ, ਕਿਊ (q), ਇੱਕੋ ਜਿਹੀ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ। ਆਓ ਆਪਾਂ ਇੱਕ ਦੋਪਦੀ ਪ੍ਰਯੋਗ (binomial experiment) ਦੀਆਂ ਕਈ ਮਿਸਾਲਾਂ ਵੇਖੀਏ। ਮਿਸਾਲ ੧: ਇੱਕ ਨਿਰਪੱਖ ਸਿੱਕਾ ਇੱਕ ਵਾਰ ਉਛਾਲੋ ਅਤੇ ਨਤੀਜਾ ਦਰਜ ਕਰੋ। ਇਹ ਇੱਕ ਦੋਪਦੀ ਪ੍ਰਯੋਗ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਤਿੰਨੋਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਪਰਖਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਐਨ (n) = ੧ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਪਰਖ ਦੇ ਸਿਰਫ ਦੋ ਨਤੀਜੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਇੱਕ ਛਿੱਕਾ (head) ਜਾਂ ਇੱਕ ਪਟ (tail)। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਛਿੱਕਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਮਾਪ ਰਹੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਛਿੱਕੇ ਨੂੰ ਸਫਲਤਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇੱਕ ਨਿਰਪੱਖ ਸਿੱਕੇ ਲਈ, ਛਿੱਕਾ ਜਾਂ ਪਟ ਆਉਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੋਵੇਂ ੦.੫ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਪੀ (p) = ਕਿਊ (q) = ੦.੫। ਪੀ (p) ਅਤੇ ਕਿਊ (q) ਦੋਵੇਂ ਪਰਖ ਤੋਂ ਪਰਖ ਤੱਕ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਰਹਿੰਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਪ੍ਰਯੋਗ ਨੂੰ ਬਰਨੌਲੀ ਪਰਖ (Bernoulli trial) ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਨਾਮ ਜੈਕਬ ਬਰਨੌਲੀ (Jacob Bernoulli) ਦੇ ਨਾਮ 'ਤੇ ਰੱਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿਸਨੇ ੧੬੦੦ ਦੇ ਦਹਾਕੇ ਦੇ ਅਖੀਰ ਵਿੱਚ ਅਜਿਹੀਆਂ ਪਰਖਾਂ ਦਾ ਵਿਸਥਾਰਪੂਰਵਕ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ ਸੀ। ਕੋਈ ਵੀ ਪ੍ਰਯੋਗ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਦੂਜੀ ਅਤੇ ਤੀਜੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਹੋਵੇ ਅਤੇ ਜਿੱਥੇ ਐਨ (n) = ੧ ਹੋਵੇ, ਉਸਨੂੰ ਬਰਨੌਲੀ ਪਰਖ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਦੋਪਦੀ ਪ੍ਰਯੋਗ ਉਦੋਂ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਜਾਂ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਬਰਨੌਲੀ ਪਰਖਾਂ ਵਿੱਚ ਸਫਲਤਾਵਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਮਿਸਾਲ ੨: ਬਹੁ-ਵਿਕਲਪੀ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਦਾ ਬੇਤਰਤੀਬੇ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਓ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਏ, ਬੀ, ਸੀ ਅਤੇ ਡੀ ਚਾਰ ਵਿਕਲਪ ਹਨ। ਇਹ ਇੱਕ ਦੋਪਦੀ ਪ੍ਰਯੋਗ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਤਿੰਨੋਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਪਰਖਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਐਨ (n) = ੧ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਪਰਖ ਦੇ ਸਿਰਫ ਦੋ ਨਤੀਜੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਸਹੀ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣਾ ਜਾਂ ਗਲਤ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣਾ। ਅਸੀਂ ਸਹੀ ਅੰਦਾਜ਼ੇ ਨੂੰ ਸਫਲਤਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇੱਕ ਬੇਤਰਤੀਬੇ ਅੰਦਾਜ਼ੇ ਲਈ (ਤੁਹਾਨੂੰ ਬਿਲਕੁਲ ਕੋਈ ਪਤਾ ਨਹੀਂ ਹੈ), ਸਹੀ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ੧/੪ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਚਾਰ ਵਿਕਲਪ ਹਨ ਅਤੇ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਵਿਕਲਪ ਸਹੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਪੀ (p) = ੧/੪ ਅਤੇ ਕਿਊ (q) = ੧ - ਪੀ (p) = ੧ - ੧/੪ = ੩/੪। ਪੀ (p) ਅਤੇ ਕਿਊ (q) ਦੋਵੇਂ ਪਰਖ ਤੋਂ ਪਰਖ ਤੱਕ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਰਹਿੰਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਪ੍ਰਯੋਗ ਇੱਕ ਬਰਨੌਲੀ ਪਰਖ ਵੀ ਹੈ। ਇਹ ਦੂਜੀ ਅਤੇ ਤੀਜੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਅਤੇ ਐਨ (n) = ੧ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਮਿਸਾਲ ੩: ਇੱਕ ਨਿਰਪੱਖ ਸਿੱਕਾ ਪੰਜ ਵਾਰ ਉਛਾਲੋ ਅਤੇ ਨਤੀਜਾ ਦਰਜ ਕਰੋ। ਇਹ ਇੱਕ ਦੋਪਦੀ ਪ੍ਰਯੋਗ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਤਿੰਨੋਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਪਰਖਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਐਨ (n) = ੫ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਪਰਖ ਦੇ ਸਿਰਫ ਦੋ ਨਤੀਜੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਛਿੱਕਾ ਜਾਂ ਪਟ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਛਿੱਕੇ ਨੂੰ ਸਫਲਤਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੀਏ, ਤਾਂ ਪੀ (p) = ਕਿਊ (q) = ੦.੫। ਪੀ (p) ਅਤੇ ਕਿਊ (q) ਦੋਵੇਂ ਹਰੇਕ ਪਰਖ ਲਈ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਰਹਿੰਦੇ ਹਨ। ਕਿਉਂਕਿ ਐਨ (n) = ੫ ਹੈ, ਇਹ ਪ੍ਰਯੋਗ ਬਰਨੌਲੀ ਪਰਖ ਨਹੀਂ ਹੈ ਭਾਵੇਂ ਇਹ ਦੂਜੀ ਅਤੇ ਤੀਜੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਮਿਸਾਲ ੪: ਇੱਕ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਵਿੱਚ ੧੦ ਬਹੁ-ਵਿਕਲਪੀ ਪ੍ਰਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਬੇਤਰਤੀਬੇ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਓ। ਹਰੇਕ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਏ, ਬੀ, ਸੀ ਅਤੇ ਡੀ ਚਾਰ ਵਿਕਲਪ ਹਨ। ਇਹ ਇੱਕ ਦੋਪਦੀ ਪ੍ਰਯੋਗ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਤਿੰਨੋਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਪਰਖਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਐਨ (n) = ੧੦ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਪਰਖ ਦੇ ਸਿਰਫ ਦੋ ਨਤੀਜੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਸਹੀ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣਾ ਜਾਂ ਗਲਤ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣਾ। ਅਸੀਂ ਸਹੀ ਅੰਦਾਜ਼ੇ ਨੂੰ ਸਫਲਤਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਮਿਸਾਲ ੨ ਵਿੱਚ ਸਮਝਾਇਆ ਹੈ, ਪੀ (p) = ੧/੪ ਅਤੇ ਕਿਊ (q) = ੧ - ਪੀ (p) = ੧ - ੧/੪ = ੩/੪। ਪੀ (p) ਅਤੇ ਕਿਊ (q) ਦੋਵੇਂ ਹਰੇਕ ਅੰਦਾਜ਼ੇ ਲਈ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਰਹਿੰਦੇ ਹਨ। ਕਿਉਂਕਿ ਐਨ (n) = ੧੦ ਹੈ, ਇਹ ਪ੍ਰਯੋਗ ਬਰਨੌਲੀ ਪਰਖ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਅਗਲੇ ਦੋ ਪ੍ਰਯੋਗ ਦੋਪਦੀ ਪ੍ਰਯੋਗ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਮਿਸਾਲ ੫: ਪੰਜ ਲਾਲ ਗੇਂਦਾਂ ਅਤੇ ਪੰਜ ਨੀਲੀਆਂ ਗੇਂਦਾਂ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਜਾਰ ਵਿੱਚੋਂ ਬਿਨਾਂ ਬਦਲੇ ਦੋ ਗੇਂਦਾਂ ਬੇਤਰਤੀਬੇ ਚੁਣੋ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲੀ ਗੇਂਦ ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਚੁਣੀ ਹੋਈ ਗੇਂਦ ਨੂੰ ਜਾਰ ਵਿੱਚ ਵਾਪਸ ਰੱਖੇ ਬਿਨਾਂ, ਅਸੀਂ ਦੂਜੀ ਗੇਂਦ ਚੁਣਾਂਗੇ। ਇਹ ਇੱਕ ਦੋਪਦੀ ਪ੍ਰਯੋਗ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਤੀਜੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਪੂਰੀ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ। ਪਰਖਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਐਨ (n) = ੨ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਪਰਖ ਦੇ ਸਿਰਫ ਦੋ ਨਤੀਜੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਇੱਕ ਲਾਲ ਗੇਂਦ ਜਾਂ ਇੱਕ ਨੀਲੀ ਗੇਂਦ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਲਾਲ ਗੇਂਦ ਚੁਣਨ ਨੂੰ ਸਫਲਤਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੀਏ, ਤਾਂ ਨੀਲੀ ਗੇਂਦ ਚੁਣਨਾ ਇੱਕ ਅਸਫਲਤਾ ਹੈ। ਪਹਿਲੀ ਗੇਂਦ ਲਾਲ ਆਉਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ੫/੧੦ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ੧੦ ਗੇਂਦਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਪੰਜ ਲਾਲ ਗੇਂਦਾਂ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਪੀ (p) = ੫/੧੦ ਅਤੇ ਕਿਊ (q) = ੧ - ਪੀ (p) = ੧ - ੫/੧੦ = ੫/੧੦। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਦੂਜੀ ਪਰਖ ਲਈ ਪੀ (p) ਅਤੇ ਕਿਊ (q) ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਨਹੀਂ ਰਹਿੰਦੇ। ਜੇਕਰ ਪਹਿਲੀ ਚੁਣੀ ਹੋਈ ਗੇਂਦ ਲਾਲ ਹੈ, ਤਾਂ ਦੂਜੀ ਗੇਂਦ ਲਾਲ ਆਉਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ੪/੯ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਨੌਂ ਗੇਂਦਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਸਿਰਫ ਚਾਰ ਲਾਲ ਗੇਂਦਾਂ ਹਨ। ਪਰ ਜੇਕਰ ਪਹਿਲੀ ਚੁਣੀ ਹੋਈ ਗੇਂਦ ਨੀਲੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਦੂਜੀ ਗੇਂਦ ਲਾਲ ਆਉਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ੫/੯ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਨੌਂ ਗੇਂਦਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਅਜੇ ਵੀ ਪੰਜ ਲਾਲ ਗੇਂਦਾਂ ਹਨ। ਮਿਸਾਲ ੬: ਇੱਕ ਨਿਰਪੱਖ ਸਿੱਕਾ ਉਦੋਂ ਤੱਕ ਉਛਾਲੋ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਛਿੱਕਾ ਨਾ ਆ ਜਾਵੇ। ਇਹ ਇੱਕ ਦੋਪਦੀ ਪ੍ਰਯੋਗ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਪਹਿਲੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਪੂਰੀ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ। ਪਰਖਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਐਨ (n) ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਐਨ (n) ੧ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਪਹਿਲੇ ਉਛਾਲ ਤੋਂ ਹੀ ਛਿੱਕਾ ਆ ਜਾਵੇ। ਐਨ (n) ੨ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਪਹਿਲਾ ਉਛਾਲ ਪਟ ਹੋਵੇ ਅਤੇ ਦੂਜਾ ਉਛਾਲ ਛਿੱਕਾ ਹੋਵੇ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅੱਗੇ ਵੀ। ਦੋਪਦੀ ਅਤੇ ਗੈਰ-ਦੋਪਦੀ ਪ੍ਰਯੋਗਾਂ ਦੀਆਂ ਹੋਰ ਮਿਸਾਲਾਂ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾਣਗੀਆਂ।
੨. ਇੱਕ ਦੋਪਦੀ ਪ੍ਰਯੋਗ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਇੱਕ ਦੋਪਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੰਡ (binomial probability distribution) ਵਿੱਚ ਫਿੱਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਰੈਂਡਮ ਵੇਰੀਏਬਲ ਐਕਸ (X) = ਐਨ (n) ਸੁਤੰਤਰ ਪਰਖਾਂ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਾਪਤ ਸਫਲਤਾਵਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ।
ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੰਡ ਦੇ ਮੱਧਮਾਨ μ, ਵੇਰੀਅੰਸ σ², ਅਤੇ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੇਵੀਏਸ਼ਨ σ ਦੀ ਗਣਨਾ ਲਈ ਸ਼ਾਰਟਕੱਟ ਫਾਰਮੂਲੇ ਹਨ। ਫਾਰਮੂਲੇ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੀ ਉਤਪਤੀ ਇਸ ਪੁਸਤਕ ਵਿੱਚ ਚਰਚਾ ਨਹੀਂ ਕੀਤੀ ਜਾਵੇਗੀ।
ਇੱਥੇ n ਅਜ਼ਮਾਇਸ਼ਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, p ਸਫਲਤਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ, ਅਤੇ q ਅਸਫਲਤਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.8
ਏਬੀਸੀ ਹਾਈ ਸਕੂਲ ਵਿਖੇ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੈਸਟਰ ਲਈ ਇੱਕ ਐਲੀਮੈਂਟਰੀ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਕੋਰਸ ਤੋਂ ਵਾਪਸ ਲੈਣ ਦੀ ਦਰ 30 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੈਸਟਰ ਲਈ, 70 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਪੂਰੇ ਸਮੈਸਟਰ ਲਈ ਕਲਾਸ ਵਿੱਚ ਰਹਿੰਦੇ ਹਨ। ਰੈਂਡਮ ਵੇਰੀਏਬਲ X = ਰੈਂਡਮਲੀ ਚੁਣੇ ਗਏ ਐਲੀਮੈਂਟਰੀ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਕਲਾਸ ਤੋਂ ਵਾਪਸ ਲੈਣ ਵਾਲੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਵਾਪਸ ਲੈਣ ਵਾਲੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਮਾਪ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਇੱਕ ਸਫਲਤਾ ਨੂੰ ਇੱਕ ਵਿਅਕਤੀ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਜਿਸਨੇ ਵਾਪਸ ਲਿਆ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 4.8
ਰਾਜ ਸਿਹਤ ਬੋਰਡ ਸਕੂਲੀ ਦੁਪਹਿਰ ਦੇ ਖਾਣੇ ਵਿੱਚ ਉਪਲਬਧ ਫਲਾਂ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਬਾਰੇ ਚਿੰਤਤ ਹੈ। ਰਾਜ ਦੇ 48 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਸਕੂਲ ਹਰ ਰੋਜ਼ ਆਪਣੇ ਦੁਪਹਿਰ ਦੇ ਖਾਣੇ ਵਿੱਚ ਫਲ ਪੇਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ 52 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਸਫਲਤਾ ਕੀ ਹੋਵੇਗੀ?
ਉਦਾਹਰਨ 4.9
ਮੰਨ ਲਓ ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਖੇਡ ਖੇਡਦੇ ਹੋ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਤੁਸੀਂ ਸਿਰਫ ਜਿੱਤ ਜਾਂ ਹਾਰ ਸਕਦੇ ਹੋ। ਕਿਸੇ ਵੀ ਖੇਡ ਨੂੰ ਜਿੱਤਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ 55 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਹੈ, ਅਤੇ ਹਾਰਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ 45 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਹੈ। ਤੁਹਾਡੇ ਦੁਆਰਾ ਖੇਡੀ ਗਈ ਹਰ ਖੇਡ ਸੁਤੰਤਰ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਖੇਡ 20 ਵਾਰ ਖੇਡਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਉਸ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਿਖੋ ਕਿ ਤੁਸੀਂ 20 ਵਿੱਚੋਂ 15 ਵਾਰ ਜਿੱਤਦੇ ਹੋ। ਇੱਥੇ, ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਜਿੱਤਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਵਜੋਂ X ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ X 0, 1, 2, 3, . . ., 20 ਦੇ ਮੁੱਲ ਲੈਂਦਾ ਹੈ। ਸਫਲਤਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ p = 0.55 ਹੈ। ਅਸਫਲਤਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ q = .45 ਹੈ। ਅਜ਼ਮਾਇਸ਼ਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ n = 20 ਹੈ। ਸੰਭਾਵਨਾ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਨੂੰ ਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ P(x = 15) ਵਜੋਂ ਦੱਸਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਹਾਰਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਵਜੋਂ X ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਸਫਲਤਾ ਨੂੰ ਹਾਰ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇੱਕ ਅਸਫਲਤਾ ਨੂੰ ਜਿੱਤ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਫਲਤਾ ਜ਼ਰੂਰੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਇੱਕ ਚੰਗੇ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਹ ਸਿਰਫ਼ ਉਹ ਨਤੀਜਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਤੁਸੀਂ ਮਾਪ ਰਹੇ ਹੋ। X ਅਜੇ ਵੀ 0, 1, 2, 3, . . ., 20 ਦੇ ਮੁੱਲ ਲੈਂਦਾ ਹੈ। ਸਫਲਤਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ p=.45 ਹੈ। ਅਸਫਲਤਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ q=.55 ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 4.9
ਇੱਕ ਟ੍ਰੇਨਰ ਇੱਕ ਡੌਲਫਿਨ ਨੂੰ ਟ੍ਰਿਕਸ ਸਿਖਾ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਡੌਲਫਿਨ ਦੁਆਰਾ ਟ੍ਰਿਕ ਨੂੰ ਸਫਲਤਾਪੂਰਵਕ ਕਰਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ 35 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਹੈ, ਅਤੇ ਡੌਲਫਿਨ ਦੁਆਰਾ ਟ੍ਰਿਕ ਨੂੰ ਸਫਲਤਾਪੂਰਵਕ ਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ 65 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਹੈ। 20 ਕੋਸ਼ਿਸ਼ਾਂ ਵਿੱਚੋਂ, ਤੁਸੀਂ ਡੌਲਫਿਨ ਦੁਆਰਾ 12 ਵਾਰ ਸਫਲ ਹੋਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹੋ। ਸੰਭਾਵਨਾ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਨੂੰ ਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਦੱਸੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.10
ਸਮੱਸਿਆ
ਇੱਕ ਨਿਰਪੱਖ ਸਿੱਕਾ 15 ਵਾਰ ਉਛਾਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਹਰ ਉਛਾਲ ਸੁਤੰਤਰ ਹੈ। 10 ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੈੱਡ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕੀ ਹੈ? X = ਨਿਰਪੱਖ ਸਿੱਕੇ ਦੇ 15 ਉਛਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਹੈੱਡਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ। X 0, 1, 2, 3, . . ., 15 ਦੇ ਮੁੱਲ ਲੈਂਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਸਿੱਕਾ ਨਿਰਪੱਖ ਹੈ, p = .5 ਅਤੇ q = .5 ਹੈ। ਅਜ਼ਮਾਇਸ਼ਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ n = 15 ਹੈ। ਸੰਭਾਵਨਾ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਨੂੰ ਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਦੱਸੋ।
ਹੱਲ
P(x > 10)
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 4.10
ਇੱਕ ਨਿਰਪੱਖ, ਛੇ-ਪਾਸੇ ਵਾਲਾ ਪਾਸਾ 10 ਵਾਰ ਘੁਮਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਹਰ ਘੁਮਾਓ ਸੁਤੰਤਰ ਹੈ। ਤੁਸੀਂ ਤਿੰਨ ਤੋਂ ਵੱਧ ਵਾਰ ਇੱਕ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹੋ। ਸੰਭਾਵਨਾ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਨੂੰ ਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਦੱਸੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.11
ਲਗਭਗ 70 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਸਟੈਟਿਸਟਿਕਸ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਆਪਣਾ ਹੋਮਵਰਕ ਸਮੇਂ 'ਤੇ ਕਰਦੇ ਹਨ ਤਾਂ ਜੋ ਇਸਨੂੰ ਇਕੱਠਾ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ ਅਤੇ ਗ੍ਰੇਡ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ। ਹਰ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਸੁਤੰਤਰ ਤੌਰ 'ਤੇ ਹੋਮਵਰਕ ਕਰਦਾ ਹੈ। 50 ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਟੈਟਿਸਟਿਕਸ ਕਲਾਸ ਵਿੱਚ, ਘੱਟੋ-ਘੱਟ 40 ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੁਆਰਾ ਸਮੇਂ 'ਤੇ ਆਪਣਾ ਹੋਮਵਰਕ ਕਰਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕੀ ਹੈ? ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਨੂੰ ਬੇਤਰਤੀਬ ਢੰਗ ਨਾਲ ਚੁਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਸਮੱਸਿਆ
a. ਇਹ ਇੱਕ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਸਮੱਸਿਆ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਸਫਲਤਾ ਜਾਂ ________ ਹੈ, ਅਜ਼ਮਾਇਸ਼ਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, ਅਤੇ ਹਰ ਅਜ਼ਮਾਇਸ਼ ਲਈ ਸਫਲਤਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ .70 ਹੈ।
ਹੱਲ
a. ਅਸਫਲਤਾ
ਸਮੱਸਿਆ
b. ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਵਿੱਚ ਰੁਚੀ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਸਮੇਂ ਸਿਰ ਆਪਣਾ ਹੋਮਵਰਕ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ X ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ?
ਹੱਲ
b. X = ਉਹਨਾਂ ਅੰਕੜਾ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਜੋ ਸਮੇਂ ਸਿਰ ਆਪਣਾ ਹੋਮਵਰਕ ਕਰਦੇ ਹਨ
ਸਮੱਸਿਆ
c. x ਕਿਹੜੀਆਂ ਕੀਮਤਾਂ ਧਾਰਨ ਕਰਦਾ ਹੈ?
ਹੱਲ
c. 0, 1, 2, . . ., 50
ਸਮੱਸਿਆ
d. ਅਸਫਲਤਾ, ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ ਕੀ ਹੈ?
ਹੱਲ
d. ਅਸਫਲਤਾ ਨੂੰ ਇੱਕ ਅਜਿਹੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਜੋ ਸਮੇਂ ਸਿਰ ਆਪਣਾ ਹੋਮਵਰਕ ਪੂਰਾ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ।
ਸਫਲਤਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ p = .70 ਹੈ। ਯਤਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ n = 50 ਹੈ।
ਸਮੱਸਿਆ
e. ਜੇਕਰ p + q = 1 ਹੈ, ਤਾਂ q ਕੀ ਹੈ?
ਹੱਲ
e. q = .30
ਸਮੱਸਿਆ
f. ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਸ਼ਬਦ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪ੍ਰਸ਼ਨ P(x ____ 40) ਲਈ ਕਿਸ ਕਿਸਮ ਦੀ ਅਸਮਾਨਤਾ ਵਜੋਂ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰਦੇ ਹਨ?
ਹੱਲ
f. ਵੱਡਾ ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ (≥) ਸੰਭਾਵਨਾ ਪ੍ਰਸ਼ਨ P(x ≥ 40) ਹੈ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 4.11
ਸੱਠ-ਪੰਜ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਲੋਕ ਪਹਿਲੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਵਿੱਚ ਰਾਜ ਡਰਾਈਵਰਜ਼ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਪਾਸ ਕਰਦੇ ਹਨ। 50 ਵਿਅਕਤੀਆਂ ਦੇ ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੇ ਡਰਾਈਵਰਜ਼ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਦਿੱਤੀ ਹੈ, ਨੂੰ ਬੇਤਰਤੀਬ ਢੰਗ ਨਾਲ ਚੁਣਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਦੋ ਕਾਰਨ ਦੱਸੋ ਕਿ ਇਹ ਇੱਕ ਦੋਪਦੀ ਸਮੱਸਿਆ ਕਿਉਂ ਹੈ।
ਦੋਪਦੀ ਲਈ ਸੰਕੇਤ: B = ਦੋਪਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੰਡ ਫੰਕਸ਼ਨ
X ~ B(n, p)
ਇਸਨੂੰ X ਇੱਕ ਬੇਤਰਤੀਬ ਵੇਰੀਏਬਲ ਵਜੋਂ ਪੜ੍ਹੋ ਜਿਸਦਾ ਦੋਪਦੀ ਵੰਡ ਹੈ। ਮਾਪਦੰਡ n ਅਤੇ p ਹਨ: n = ਅਜ਼ਮਾਇਸ਼ਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ, p = ਹਰੇਕ ਅਜ਼ਮਾਇਸ਼ ਵਿੱਚ ਸਫਲਤਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.12
ਇਹ ਕਿਹਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ ਲਗਭਗ 41 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਬਾਲਗ ਕਾਮਿਆਂ ਕੋਲ ਹਾਈ ਸਕੂਲ ਡਿਪਲੋਮਾ ਹੈ ਪਰ ਕੋਈ ਹੋਰ ਸਿੱਖਿਆ ਪ੍ਰਾਪਤ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ। ਜੇਕਰ 20 ਬਾਲਗ ਕਾਮਿਆਂ ਨੂੰ ਬੇਤਰਤੀਬ ਢੰਗ ਨਾਲ ਚੁਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪਤਾ ਕਰੋ ਕਿ ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ 12 ਕੋਲ ਹਾਈ ਸਕੂਲ ਡਿਪਲੋਮਾ ਹੈ ਪਰ ਕੋਈ ਹੋਰ ਸਿੱਖਿਆ ਪ੍ਰਾਪਤ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ। ਤੁਸੀਂ ਕਿੰਨੇ ਬਾਲਗ ਕਾਮਿਆਂ ਤੋਂ ਹਾਈ ਸਕੂਲ ਡਿਪਲੋਮਾ ਹੋਣ ਦੀ ਉਮੀਦ ਕਰਦੇ ਹੋ ਪਰ ਕੋਈ ਹੋਰ ਸਿੱਖਿਆ ਪ੍ਰਾਪਤ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ?
ਮੰਨ ਲਓ X = ਉਹ ਕਾਮਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਕੋਲ ਹਾਈ ਸਕੂਲ ਡਿਪਲੋਮਾ ਹੈ ਪਰ ਕੋਈ ਹੋਰ ਸਿੱਖਿਆ ਪ੍ਰਾਪਤ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ।
X 0, 1, 2, . . ., 20 ਮੁੱਲ ਲੈਂਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ n = 20, p = .41, ਅਤੇ q = 1 – .41 = .59। X ~ B(20, .41)
P(x ≤ 12) ਪਤਾ ਕਰੋ। ਦੋਪਦੀ ਵੰਡ P(x) ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ P(x≤12) P(x≤12) ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਪਰ ਗਣਨਾ ਥਕਾਊ ਅਤੇ ਸਮਾਂ ਲੈਣ ਵਾਲੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਲੋਕ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਜਵਾਬ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ, ਸੌਫਟਵੇਅਰ, ਜਾਂ ਦੋਪਦੀ ਟੇਬਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਤੁਸੀਂ P(x≤12)=.9738 P(x≤12)=.9738 ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ। TI-83, 83+, 84, 84+ ਲਈ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ।
TI-83, 83+, 84, 84+ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
2nd DISTR ਵਿੱਚ ਜਾਓ। ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਲਈ ਸਿੰਟੈਕਸ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:
ਕਿਸੇ ਮੁੱਲ P(x=value) P(x=value) ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ: binompdf(n, p, number) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਇੱਥੇ binompdf ਦੋਪਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਇਹ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਕਿ ਦੋਪਦੀ ਬੇਤਰਤੀਬ ਵੇਰੀਏਬਲ ਇੱਕ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। n ਅਜ਼ਮਾਇਸ਼ਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ, p ਸਫਲਤਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਨੰਬਰ ਮੁੱਲ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਨੰਬਰ ਛੱਡ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ binompdf(n, p) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ, ਤਾਂ ਸਾਰੀਆਂ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ P( x=0 ),P( x=1 ),…,P( x=n ) P( x=0 ),P( x=1 ),…,P( x=n ) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕੀਤੀ ਜਾਵੇਗੀ। ਸੰਚਤ ਸੰਭਾਵਨਾ P(x≤value) P(x≤value) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ: binomcdf(n, p, number) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਇੱਥੇ binomcdf ਦੋਪਦੀ ਸੰਚਤ ਵੰਡ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਕਿਸਮ ਦੀ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਸੰਭਾਵਨਾ ਕਿ ਦੋਪਦੀ ਬੇਤਰਤੀਬ ਵੇਰੀਏਬਲ ਇੱਕ ਮੁੱਲ ਤੋਂ ਘੱਟ ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। n ਅਜ਼ਮਾਇਸ਼ਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ, p ਸਫਲਤਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਨੰਬਰ ਮੁੱਲ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਨੰਬਰ ਛੱਡ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਰੀਆਂ ਸੰਚਤ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ P( x≤0 ),P( x≤1 ),…,P( x≤n ) P( x≤0 ),P( x≤1 ),…,P( x≤n ) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕੀਤੀ ਜਾਵੇਗੀ। ਸੰਚਤ ਸੰਭਾਵਨਾ P(x≥value) P(x≥value) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ: 1 - binomcdf(n, p, number) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। n ਅਜ਼ਮਾਇਸ਼ਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ, p ਸਫਲਤਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਨੰਬਰ ਮੁੱਲ ਹੈ। TI ਕੈਲਕੂਲੇਟਰਾਂ ਕੋਲ ਇਹ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕੋਈ ਬਿਲਟ-ਇਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿ ਦੋਪਦੀ ਬੇਤਰਤੀਬ ਵੇਰੀਏਬਲ ਇੱਕ ਮੁੱਲ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਤੱਥ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ P( x>value )=1−P( x≤value ) P( x>value )=1−P( x≤value ) ਜਵਾਬ ਲੱਭਣ ਲਈ। ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਲਈ: 2nd DISTR ਵਿੱਚ ਜਾਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, binomcdf ਤੱਕ ਐਰੋ ਕਰੋ। ENTER ਦਬਾਓ। 20,.41,12) ਦਰਜ ਕਰੋ। ਨਤੀਜਾ P(x ≤ 12) = .9738 ਹੈ।
NOTE
ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ P(x = 12) ਪਤਾ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ pdf (binompdf) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ P(x > 12) ਪਤਾ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ 1 − binomcdf(20,.41,12) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਇਹ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕਿ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ 12 ਕਾਮਿਆਂ ਕੋਲ ਹਾਈ ਸਕੂਲ ਡਿਪਲੋਮਾ ਹੈ ਪਰ ਕੋਈ ਹੋਰ ਸਿੱਖਿਆ ਪ੍ਰਾਪਤ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ, .9738 ਹੈ।
X ~ B(20, .41) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਪਿਛਲੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੰਡ ਹਿਸਟੋਗ੍ਰਾਮ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਲੰਬਕਾਰੀ ਬਾਰਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਲੜੀ ਨਾਲ ਬਣਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਬਾਰ ਦਾ x-ਧੁਰਾ X = ਸਿਰਫ ਹਾਈ ਸਕੂਲ ਡਿਪਲੋਮਾ ਵਾਲੇ ਕਾਮਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦਾ ਮੁੱਲ ਹੈ, ਅਤੇ ਉਸ ਬਾਰ ਦੀ ਉਚਾਈ ਉਸ ਮੁੱਲ ਦੇ ਵਾਪਰਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ।
ਤੁਸੀਂ ਜਿੰਨੇ ਬਾਲਗ ਕਾਮਿਆਂ ਤੋਂ ਹਾਈ ਸਕੂਲ ਡਿਪਲੋਮਾ ਹੋਣ ਦੀ ਉਮੀਦ ਕਰਦੇ ਹੋ ਪਰ ਕੋਈ ਹੋਰ ਸਿੱਖਿਆ ਪ੍ਰਾਪਤ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ, ਉਹ ਮੀਨ, μ = np = (20)(.41) = 8.2 ਹੈ।
ਵੈਰੀਅੰਸ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਾ σ2 = npq ਹੈ। ਸਟੈਂਡਰਡ ਡਿਵੀਏਸ਼ਨ σ = npq npq ਹੈ। σ = ( 20 )( .41 )( .59 ) ( 20 )( .41 )( .59 ) = 2.20।
ਹੇਠਾਂ ਮੀਨ μ=8.2 μ=8.2 ਅਤੇ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡਿਵੀਏਸ਼ਨ σ=2.20 σ=2.20 ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ:
ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ 20 ਬਾਲਗ ਕਾਮਿਆਂ ਨੂੰ ਬੇਤਰਤੀਬ ਢੰਗ ਨਾਲ ਚੁਣਦੇ ਹੋ, ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਵਾਰ-ਵਾਰ ਕਰਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ 20 ਵਿੱਚੋਂ ਲਗਭਗ ਅੱਠ ਬਾਲਗ ਕਾਮਿਆਂ ਤੋਂ ਹਾਈ ਸਕੂਲ ਡਿਪਲੋਮਾ ਹੋਣ ਦੀ ਉਮੀਦ ਕਰਦੇ ਹੋ ਪਰ ਔਸਤਨ ਕੋਈ ਹੋਰ ਸਿੱਖਿਆ ਪ੍ਰਾਪਤ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ। ਅਤੇ ਤੁਸੀਂ ਉਮੀਦ ਕਰਦੇ ਹੋ ਕਿ ਇਹ ਔਸਤਨ ਲਗਭਗ ਦੋ ਕਾਮਿਆਂ ਤੱਕ ਵੱਖਰੀ ਹੋਵੇਗੀ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 4.12
ਲਗਭਗ 32 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਸਕੂਲ ਤੋਂ ਬਾਹਰ ਇੱਕ ਕਮਿਊਨਿਟੀ ਵਲੰਟੀਅਰ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਵਿੱਚ ਹਿੱਸਾ ਲੈਂਦੇ ਹਨ। ਜੇਕਰ 30 ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਨੂੰ ਬੇਤਰਤੀਬ ਢੰਗ ਨਾਲ ਚੁਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪਤਾ ਕਰੋ ਕਿ ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ 14 ਸਕੂਲ ਤੋਂ ਬਾਹਰ ਇੱਕ ਕਮਿਊਨਿਟੀ ਵਲੰਟੀਅਰ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਵਿੱਚ ਹਿੱਸਾ ਲੈਂਦੇ ਹਨ। ਜਵਾਬ ਲੱਭਣ ਲਈ TI-83+ ਜਾਂ TI-84 ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.13
ਸਮੱਸਿਆ
ਇੱਕ ਸਟੋਰ 560-ਪੰਨਿਆਂ ਦੀ ਕਲਾ ਸਪਲਾਈ ਕੈਟਾਲਾਗ ਜਾਰੀ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਅੱਠ ਪੰਨੇ ਦਸਤਖਤ ਕਲਾਕਾਰਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਮੰਨ ਲਓ ਅਸੀਂ 100 ਪੰਨਿਆਂ ਦਾ ਬੇਤਰਤੀਬ ਨਮੂਨਾ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ। ਮੰਨ ਲਓ X = ਦਸਤਖਤ ਕਲਾਕਾਰਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲੇ ਪੰਨਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ।
x ਕਿਹੜੇ ਮੁੱਲ ਲੈਂਦਾ ਹੈ?
ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੰਡ ਕੀ ਹੈ? ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਪਤਾ ਕਰੋ: ਦੋ ਪੰਨੇ ਦਸਤਖਤ ਕਲਾਕਾਰਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਛੇ ਪੰਨੇ ਦਸਤਖਤ ਕਲਾਕਾਰਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਤਿੰਨ ਤੋਂ ਵੱਧ ਪੰਨੇ ਦਸਤਖਤ ਕਲਾਕਾਰਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ
ਸੂਤਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, (i) ਔਸਤ ਅਤੇ (ii) ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
ਇਹ ਇੱਕ ਦੋਪਦੀ ਪ੍ਰਯੋਗ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਤਿੰਨੋਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਪੂਰੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਹਰ ਪੰਨਾ ਇੱਕ ਅਜ਼ਮਾਇਸ਼ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ 100 ਪੰਨਿਆਂ ਦਾ ਨਮੂਨਾ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ, ਅਜ਼ਮਾਇਸ਼ਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ n = 100 ਹੈ। ਹਰ ਪੰਨੇ ਲਈ, ਦੋ ਸੰਭਾਵਿਤ ਨਤੀਜੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਦਸਤਖਤ ਕਲਾਕਾਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਾਂ ਦਸਤਖਤ ਕਲਾਕਾਰ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ। ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਦਸਤਖਤ ਕਲਾਕਾਰਾਂ ਵਾਲੇ ਪੰਨਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਮਾਪ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਦਸਤਖਤ ਕਲਾਕਾਰਾਂ ਵਾਲੇ ਪੰਨੇ ਨੂੰ ਸਫਲਤਾ ਅਤੇ ਦਸਤਖਤ ਕਲਾਕਾਰਾਂ ਵਾਲੇ ਪੰਨੇ ਨੂੰ ਅਸਫਲਤਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। 560 ਪੰਨਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ 8 ਪੰਨੇ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਦਸਤਖਤ ਕਲਾਕਾਰ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ ਸਫਲਤਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ p = 8/560 ਅਤੇ ਅਸਫਲਤਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ q = 1−p = 1− 8/560 = 552/560 ਹੈ। p ਅਤੇ q ਦੋਵੇਂ ਹਰ ਪੰਨੇ ਲਈ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਰਹਿੰਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, X ਇੱਕ ਦੋਪਦੀ ਬੇਤਰਤੀਬ ਵੇਰੀਏਬਲ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ X~B(100, 8/560) ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਭਾਗ (i) ਤੋਂ (iii) ਦਾ ਜਵਾਬ ਦੇਣ ਲਈ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। P(x = 2) = binompdf(100, 8/560, 2) = .2466 P(x ≤ 6) = binomcdf(100, 8/560, 6) = .9994 P(x > 3) = 1 – P(x ≤ 3) = 1 – binomcdf(100, 8/560, 3) = 1 – .9443 = .0557
ਔਸਤ = np = (100)(8/560) = 800/560 ≈ 1.4286 ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਨ = npq = (100)(8/560)(552/560) ≈ 1.1867
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 4.13
ਇੱਕ ਪੋਲ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ, 60 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਅਮਰੀਕੀ ਬਾਲਗ ਬੱਚਤ ਨੂੰ ਖਰਚਣ ਨਾਲੋਂ ਤਰਜੀਹ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। ਮੰਨ ਲਓ X = 50 ਦੇ ਇੱਕ ਬੇਤਰਤੀਬ ਨਮੂਨੇ ਵਿੱਚੋਂ ਅਮਰੀਕੀ ਬਾਲਗਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਜੋ ਬੱਚਤ ਨੂੰ ਖਰਚਣ ਨਾਲੋਂ ਤਰਜੀਹ ਦਿੰਦੇ ਹਨ।
X ਲਈ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੰਡ ਕੀ ਹੈ?
ਆਪਣੇ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਲੱਭੋ: ਨਮੂਨੇ ਵਿੱਚ 25 ਬਾਲਗਾਂ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਜੋ ਬੱਚਤ ਨੂੰ ਖਰਚਣ ਨਾਲੋਂ ਤਰਜੀਹ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। ਘੱਟੋ-ਘੱਟ 20 ਬਾਲਗਾਂ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਜੋ ਤਰਜੀਹ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। 30 ਤੋਂ ਵੱਧ ਬਾਲਗਾਂ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਜੋ ਤਰਜੀਹ ਦਿੰਦੇ ਹਨ।
ਸੂਤਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, X ਦਾ (i) ਔਸਤ ਅਤੇ (ii) ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.14
ਇੱਕ ਖਾਸ ਬਿਮਾਰੀ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰਨ ਦਾ ਜੀਵਨ ਕਾਲ ਜੋਖਮ ਲਗਭਗ 78 ਵਿੱਚੋਂ 1 (1.28 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ) ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਅਸੀਂ 200 ਲੋਕਾਂ ਦਾ ਬੇਤਰਤੀਬ ਨਮੂਨਾ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ। ਮੰਨ ਲਓ X = ਬਿਮਾਰੀ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਲੋਕਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ।
ਸਮੱਸਿਆ
X ਲਈ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੰਡ ਕੀ ਹੈ?
ਸੂਤਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, X ਦਾ (i) ਔਸਤ ਅਤੇ (ii) ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
ਆਪਣੇ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਬਿਮਾਰੀ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਅੱਠ ਲੋਕਾਂ ਤੱਕ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਲੱਭੋ।
ਕੀ ਪੰਜ ਜਾਂ ਛੇ ਲੋਕਾਂ ਦੇ ਬਿਮਾਰੀ ਵਿਕਸਿਤ ਹੋਣ ਦੀ ਜ਼ਿਆਦਾ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ? ਆਪਣੇ ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਜਾਇਜ਼ ਠਹਿਰਾਓ।
ਹੱਲ
ਇਹ ਇੱਕ ਦੋਪਦੀ ਪ੍ਰਯੋਗ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਤਿੰਨੋਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਪੂਰੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਹਰ ਵਿਅਕਤੀ ਇੱਕ ਅਜ਼ਮਾਇਸ਼ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ 200 ਲੋਕਾਂ ਦਾ ਨਮੂਨਾ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ, ਅਜ਼ਮਾਇਸ਼ਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ n = 200 ਹੈ। ਹਰ ਵਿਅਕਤੀ ਲਈ, ਦੋ ਸੰਭਾਵਿਤ ਨਤੀਜੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ: ਬਿਮਾਰੀ ਵਿਕਸਿਤ ਹੋਵੇਗੀ ਜਾਂ ਨਹੀਂ। ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਬਿਮਾਰੀ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਲੋਕਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਮਾਪ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਬਿਮਾਰੀ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਵਿਅਕਤੀ ਨੂੰ ਸਫਲਤਾ ਅਤੇ ਬਿਮਾਰੀ ਵਿਕਸਿਤ ਨਾ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਵਿਅਕਤੀ ਨੂੰ ਅਸਫਲਤਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਬਿਮਾਰੀ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰਨ ਦਾ ਜੋਖਮ 1.28 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਸਫਲਤਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ, p = 1.28 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ, .0128, ਅਤੇ ਅਸਫਲਤਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ, q = 1−p = 1−.0128 = .9872 ਹੈ। p ਅਤੇ q ਦੋਵੇਂ ਹਰ ਵਿਅਕਤੀ ਲਈ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਰਹਿੰਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, X ਇੱਕ ਦੋਪਦੀ ਬੇਤਰਤੀਬ ਵੇਰੀਏਬਲ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ X~B(200, .0128) ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਸ਼ਨ (c) ਅਤੇ (d) ਦਾ ਜਵਾਬ ਦੇਣ ਲਈ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਔਸਤ = np = 200(.0128) = 2.56 ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਨ = npq = (200)(0.128)(.9872) ≈ 1.5897
TI-83, 83+, 84 ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਉਦਾਹਰਨ 4.12 ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀਆਂ ਹਦਾਇਤਾਂ ਅਨੁਸਾਰ: P(x ≤ 8) = binomcdf(200, .0128, 8) = .9988
P(x = 5) = binompdf(200, .0128, 5) = .0707 P(x = 6) = binompdf(200, .0128, 6) = .0298 ਇਸ ਲਈ P(x = 5) > P(x = 6); ਪੰਜ ਲੋਕਾਂ ਦੇ ਬਿਮਾਰੀ ਵਿਕਸਿਤ ਹੋਣ ਦੀ ਛੇ ਲੋਕਾਂ ਨਾਲੋਂ ਜ਼ਿਆਦਾ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 4.14
2013 ਦੇ ਰੈਗੂਲਰ ਬਾਸਕਟਬਾਲ ਸੀਜ਼ਨ ਦੌਰਾਨ, ਇੱਕ ਖਿਡਾਰੀ ਕੋਲ ਲੀਗ ਵਿੱਚ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਧ ਫੀਲਡ ਗੋਲ ਕੰਪਲੀਸ਼ਨ ਰੇਟ ਸੀ। ਇਸ ਖਿਡਾਰੀ ਨੇ ਆਪਣੇ ਸ਼ਾਟਾਂ ਦੇ 61.3 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਨਾਲ ਸਕੋਰ ਕੀਤਾ। ਮੰਨ ਲਓ ਤੁਸੀਂ 2013 ਸੀਜ਼ਨ ਦੌਰਾਨ ਇਸ ਖਿਡਾਰੀ ਦੁਆਰਾ ਬਣਾਏ ਗਏ 80 ਸ਼ਾਟਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਬੇਤਰਤੀਬ ਨਮੂਨਾ ਚੁਣਦੇ ਹੋ। ਮੰਨ ਲਓ X = ਪੁਆਇੰਟਾਂ ਨਾਲ ਸਕੋਰ ਕੀਤੇ ਸ਼ਾਟਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ।
1. X ਦਾ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵਿਤਰਨ ਕੀ ਹੈ?
2. ਸੂਤਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, X ਦਾ (i) ਮੱਧਮਾਨ ਅਤੇ (ii) ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਨ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
3. ਇਸ ਖਿਡਾਰੀ ਦੇ ਇਨ੍ਹਾਂ ਸ਼ਾਟਾਂ ਵਿੱਚੋਂ 60 ਨਾਲ ਸਕੋਰ ਕਰਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਆਪਣੇ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
4. ਇਸ ਖਿਡਾਰੀ ਦੇ ਇਨ੍ਹਾਂ ਸ਼ਾਟਾਂ ਵਿੱਚੋਂ 50 ਤੋਂ ਵੱਧ ਨਾਲ ਸਕੋਰ ਕਰਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪਤਾ ਕਰੋ।
5. ਉਦਾਹਰਨ 4.15
6. ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਉਦਾਹਰਨ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ ਜੋ ਦੋਪਦੀ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਹ ਸੁਤੰਤਰਤਾ ਦੀ ਸ਼ਰਤ ਦੀ ਉਲੰਘਣਾ ਕਰਦੀ ਹੈ। ABC ਹਾਈ ਸਕੂਲ ਵਿੱਚ 10 ਸਟਾਫ ਮੈਂਬਰਾਂ ਅਤੇ ਛੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਤੋਂ ਬਣੀ ਇੱਕ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਸਲਾਹਕਾਰ ਕਮੇਟੀ ਹੈ। ਕਮੇਟੀ ਇੱਕ ਚੇਅਰਪਰਸਨ ਅਤੇ ਇੱਕ ਰਿਕਾਰਡਰ ਚੁਣਨਾ ਚਾਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਚੇਅਰਪਰਸਨ ਅਤੇ ਰਿਕਾਰਡਰ ਦੋਵੇਂ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਹੋਣ ਦੀ ਕੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ? ਸਾਰੇ ਕਮੇਟੀ ਮੈਂਬਰਾਂ ਦੇ ਨਾਮ ਇੱਕ ਡੱਬੇ ਵਿੱਚ ਪਾਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਦੋ ਨਾਮ ਬਿਨਾਂ ਬਦਲੀ ਦੇ ਖਿੱਚੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਪਹਿਲਾ ਨਾਮ ਖਿੱਚਿਆ ਗਿਆ ਚੇਅਰਪਰਸਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਦੂਜਾ ਨਾਮ ਰਿਕਾਰਡਰ। ਦੋ ਅਜ਼ਮਾਇਸ਼ਾਂ ਹਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਅਜ਼ਮਾਇਸ਼ਾਂ ਸੁਤੰਤਰ ਨਹੀਂ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ ਪਹਿਲੀ ਅਜ਼ਮਾਇਸ਼ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਦੂਜੀ ਅਜ਼ਮਾਇਸ਼ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਪਹਿਲੀ ਡਰਾਅ 'ਤੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ 6/16 ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ 16 ਮੈਂਬਰਾਂ (10 ਸਟਾਫ ਮੈਂਬਰ + ਛੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀ) ਵਿੱਚੋਂ ਛੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਹਨ। ਜੇ ਪਹਿਲੀ ਡਰਾਅ ਇੱਕ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਦੀ ਚੋਣ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਦੂਜੀ ਡਰਾਅ 'ਤੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ 5/15 ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ 15 ਮੈਂਬਰਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਸਿਰਫ ਪੰਜ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਹਨ। ਜੇ ਪਹਿਲੀ ਡਰਾਅ ਇੱਕ ਸਟਾਫ ਮੈਂਬਰ ਦੀ ਚੋਣ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਦੂਜੀ ਡਰਾਅ 'ਤੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ 6/15 ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ 15 ਮੈਂਬਰਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਅਜੇ ਵੀ ਛੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਹਨ। ਹਰੇਕ ਅਜ਼ਮਾਇਸ਼ ਲਈ ਇੱਕ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਦਾ ਨਾਮ ਖਿੱਚਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਬਦਲਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ, ਸੁਤੰਤਰਤਾ ਦੀ ਸ਼ਰਤ ਦੀ ਉਲੰਘਣਾ ਕਰਦੀ ਹੈ।
7. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 4.15
8. ਇੱਕ ਲਾਕਰੋਸ ਟੀਮ ਇੱਕ ਕਪਤਾਨ ਦੀ ਚੋਣ ਕਰ ਰਹੀ ਹੈ। ਸਾਰੇ ਸੀਨੀਅਰਾਂ ਦੇ ਨਾਮ ਇੱਕ ਟੋਪੀ ਵਿੱਚ ਪਾਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਪਹਿਲੇ ਤਿੰਨ ਜੋ ਖਿੱਚੇ ਜਾਣਗੇ ਉਹ ਕਪਤਾਨ ਹੋਣਗੇ। ਨਾਮ ਇੱਕ ਵਾਰ ਖਿੱਚੇ ਜਾਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਬਦਲੇ ਨਹੀਂ ਜਾਂਦੇ (ਇੱਕ ਵਿਅਕਤੀ ਦੋ ਕਪਤਾਨ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ)। ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਦੇਖਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹੋ ਕਿ ਕੀ ਕਪਤਾਨ ਇੱਕੋ ਸਥਿਤੀ 'ਤੇ ਖੇਡਦੇ ਹਨ। ਦੱਸੋ ਕਿ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਦੋਪਦੀ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਕਾਰਨ ਦੱਸੋ।