ਘਾਤੀ ਵੰਡ ਅਕਸਰ ਕਿਸੇ ਖਾਸ ਘਟਨਾ ਦੇ ਵਾਪਰਨ ਤੱਕ ਦੇ ਸਮੇਂ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਭੂਚਾਲ ਦੇ ਵਾਪਰਨ ਤੱਕ ਦਾ ਸਮਾਂ (ਹੁਣ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ) ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਵੰਡ ਰੱਖਦਾ ਹੈ। ਹੋਰ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਲੰਬੀ-ਦੂਰੀ ਦੇ ਵਪਾਰਕ ਟੈਲੀਫੋਨ ਕਾਲਾਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ (ਮਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ), ਅਤੇ ਕਾਰ ਬੈਟਰੀ ਦੇ ਕੰਮ ਕਰਨ ਦਾ ਸਮਾਂ (ਮਹੀਨਿਆਂ ਵਿੱਚ) ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। ਇਹ ਵੀ ਦਿਖਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਤੁਹਾਡੀ ਜੇਬ ਜਾਂ ਪਰਸ ਵਿੱਚ ਪੈਸੇ ਦੇ ਬਦਲਾਅ ਦਾ ਮੁੱਲ ਲਗਭਗ ਘਾਤੀ ਵੰਡ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਘਾਤੀ ਬੇਤਰਤੀਬ ਵੇਰੀਏਬਲ ਲਈ ਮੁੱਲ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਵਾਪਰਦੇ ਹਨ। ਵੱਡੇ ਮੁੱਲ ਘੱਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਛੋਟੇ ਮੁੱਲ ਵਧੇਰੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਸੁਪਰਮਾਰਕੀਟ ਦੀ ਇੱਕ ਯਾਤਰਾ ਵਿੱਚ ਗਾਹਕਾਂ ਦੁਆਰਾ ਖਰਚੀ ਗਈ ਪੈਸੇ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਘਾਤੀ ਵੰਡ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਘੱਟ ਪੈਸੇ ਖਰਚਣ ਵਾਲੇ ਲੋਕ ਵਧੇਰੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਵੱਧ ਪੈਸੇ ਖਰਚਣ ਵਾਲੇ ਲੋਕ ਘੱਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਘਾਤੀ ਵੰਡਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਉਤਪਾਦ ਭਰੋਸੇਯੋਗਤਾ, ਜਾਂ ਉਤਪਾਦ ਦੇ ਕੰਮ ਕਰਨ ਦੇ ਸਮੇਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦੀ ਗਣਨਾ ਵਿੱਚ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.7
ਮੰਨ ਲਓ X = ਸਮਾਂ (ਮਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ) ਜੋ ਇੱਕ ਡਾਕ ਕਰਮਚਾਰੀ ਆਪਣੇ ਗਾਹਕ ਨਾਲ ਬਿਤਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਸਮਾਂ ਚਾਰ ਮਿੰਟ ਦੇ ਔਸਤ ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਘਾਤੀ ਵੰਡ ਰੱਖਣ ਲਈ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
X ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਬੇਤਰਤੀਬ ਵੇਰੀਏਬਲ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਸਮਾਂ ਮਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ μ = 4 ਮਿੰਟ। ਕੋਈ ਵੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਤੁਹਾਨੂੰ m, ਘਾਟ ਪੈਰਾਮੀਟਰ, ਪਤਾ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
m= 1 μ m= 1 μ। ਇਸ ਲਈ, m= 1 4 =0.25। m= 1 4 =0.25।
ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਨ, σ, ਔਸਤ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ। μ = σ
ਵੰਡ ਨੋਟੇਸ਼ਨ X ~ Exp(m) ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, X ~ Exp(0.25)।
ਸੰਭਾਵਨਾ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = me-mx ਹੈ। ਸੰਖਿਆ e = 2.71828182846... ਇਹ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਜੋ ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ ਅਕਸਰ ਵਰਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਵਿਗਿਆਨਕ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰਾਂ ਵਿੱਚ "ex" ਕੁੰਜੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ x ਲਈ ਇੱਕ ਦਾਖਲ ਕਰਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ e ਦਾ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਕਰੇਗਾ।
ਵਕਰ ਹੈ
f(x) = 0.25e–0.25x ਜਿੱਥੇ x ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਜ਼ੀਰੋ ਹੈ ਅਤੇ m = 0.25।
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, f(5) = 0.25e(−0.25)(5) = 0.072। ਇਸ ਗੱਲ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕਿ ਡਾਕ ਕਰਮਚਾਰੀ ਗਾਹਕਾਂ ਨਾਲ ਪੰਜ ਮਿੰਟ ਬਿਤਾਉਂਦਾ ਹੈ, 0.072 ਹੈ।
ਗ੍ਰਾਫ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਘਟਦਾ ਹੋਇਆ ਵਕਰ ਹੈ। ਜਦੋਂ x = 0,
f(x) = 0.25e(−0.25)(0) = (0.25)(1) = 0.25 = m। y-ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ m ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 5.7
ਵਿਆਹ ਦੀ ਵਰ੍ਹੇਗੰਢ ਦੇ ਕਾਰਡਾਂ ਲਈ ਪਤੀ-ਪਤਨੀ ਦੁਆਰਾ ਖਰੀਦਦਾਰੀ ਕਰਨ ਦਾ ਸਮਾਂ ਅੱਠ ਮਿੰਟ ਦੇ ਔਸਤ ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਘਾਤੀ ਵੰਡ ਦੁਆਰਾ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਵੰਡ ਲਿਖੋ, ਸੰਭਾਵਨਾ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੱਸੋ, ਅਤੇ ਵੰਡ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.8
ਸਮੱਸਿਆ
a. ਉਦਾਹਰਨ 5.7 ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਇਸ ਗੱਲ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪਤਾ ਕਰੋ ਕਿ ਇੱਕ ਕਰਮਚਾਰੀ ਬੇਤਰਤੀਬ ਢੰਗ ਨਾਲ ਚੁਣੇ ਗਏ ਗਾਹਕ ਨਾਲ ਚਾਰ ਤੋਂ ਪੰਜ ਮਿੰਟ ਬਿਤਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਹੱਲ
a. P(4 < x < 5) ਪਤਾ ਕਰੋ। ਸੰਚਤ ਵੰਡ ਫੰਕਸ਼ਨ (CDF) ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਖੇਤਰ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
NOTE
ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਗਣਨਾਵਾਂ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ 'ਤੇ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ।
ਡਾਕੀ ਕਰਮਚਾਰੀ ਦੁਆਰਾ ਬੇਤਰਤੀਬੇ ਚੁਣੇ ਗਏ ਗਾਹਕ ਨਾਲ ਚਾਰ ਤੋਂ ਪੰਜ ਮਿੰਟ ਬਿਤਾਉਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ P(4 < x < 5) = P(x < 5) – P(x < 4) = 0.7135 − 0.6321 = 0.0814 ਹੈ।
TI-83, 83+, 84, 84+ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ
ਹੋਮ ਸਕ੍ਰੀਨ 'ਤੇ, (1 – e^(–0.25*5))–(1–e^(–0.25*4)) ਦਰਜ ਕਰੋ ਜਾਂ e^(–0.25*4) – e^(–0.25*5) ਦਰਜ ਕਰੋ।
ਸਮੱਸਿਆ
ਅ. ਸਾਰੇ ਗਾਹਕਾਂ ਦਾ ਅੱਧਾ ਹਿੱਸਾ ਕਿੰਨੀ ਦੇਰ ਵਿੱਚ ਪੂਰਾ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ? (50ਵੇਂ ਪਰਸੈਂਟਾਈਲ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ)।
ਹੱਲ
ਅ. 50ਵੇਂ ਪਰਸੈਂਟਾਈਲ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
P(x < k) = 0.50, k = 2.8 ਮਿੰਟ (ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਜਾਂ ਕੰਪਿਊਟਰ)
ਸਾਰੇ ਗਾਹਕਾਂ ਦਾ ਅੱਧਾ ਹਿੱਸਾ 2.8 ਮਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਪੂਰਾ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਤੁਸੀਂ ਗਣਨਾ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ:
ਇਸ ਲਈ, 0.50 = 1 − e−0.25k ਅਤੇ e−0.25k = 1 − 0.50 = 0.5।
ਪ੍ਰਾਕਿਰਤਿਕ ਲਾਗ ਲਓ: ln(e–0.25k) = ln(0.50)। ਇਸ ਲਈ, –0.25k = ln(0.50)।
k ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ: k= ln(0.50) -0.25 =2.8 k= ln(0.50) -0.25 =2.8 ਮਿੰਟ। ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਪਰਸੈਂਟਾਈਲ k ਲਈ ਗਣਨਾ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਦੋ ਨੋਟ ਦੇਖੋ।
ਨੋਟ
ਪਰਸੈਂਟਾਈਲ k ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ k= ln(1−AreaToTheLeft) −m k= ln(1−AreaToTheLeft) −m ਹੈ ਜਿੱਥੇ ln ਪ੍ਰਾਕਿਰਤਿਕ ਲਾਗ ਹੈ।
TI-83, 83+, 84, 84+ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ
ਹੋਮ ਸਕ੍ਰੀਨ 'ਤੇ, ln(1 – 0.50)/–0.25 ਦਰਜ ਕਰੋ। ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਲਈ (-) ਬਟਨ ਦਬਾਓ।
ਸਮੱਸਿਆ
ੲ. ਕਿਹੜਾ ਵੱਡਾ ਹੈ, ਮੱਧਮਾਨ (mean) ਜਾਂ ਮੱਧਿਕਾ (median)?
ਹੱਲ
ੲ. ਭਾਗ ਅ ਤੋਂ, ਮੱਧਿਕਾ ਜਾਂ 50ਵਾਂ ਪਰਸੈਂਟਾਈਲ 2.8 ਮਿੰਟ ਹੈ। ਸਿਧਾਂਤਕ ਮੱਧਮਾਨ ਚਾਰ ਮਿੰਟ ਹੈ। ਮੱਧਮਾਨ ਵੱਡਾ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 5.8
ਯਾਤਰੀ ਆਪਣੇ ਹਵਾਈ ਟਿਕਟਾਂ ਦੀ ਖਰੀਦ ਕਿੰਨੇ ਦਿਨ ਪਹਿਲਾਂ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਇਸਨੂੰ ਔਸਤ ਸਮਾਂ 15 ਦਿਨਾਂ ਦੇ ਨਾਲ ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਵੰਡ (exponential distribution) ਦੁਆਰਾ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪਤਾ ਕਰੋ ਕਿ ਇੱਕ ਯਾਤਰੀ 10 ਦਿਨਾਂ ਤੋਂ ਘੱਟ ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ ਟਿਕਟ ਖਰੀਦੇਗਾ। ਅੱਧੇ ਯਾਤਰੀ ਕਿੰਨੇ ਦਿਨ ਉਡੀਕ ਕਰਦੇ ਹਨ?
ਸਹਿਯੋਗੀ ਕਸਰਤ
ਹਰੇਕ ਜਮਾਤ ਦੇ ਮੈਂਬਰ ਨੂੰ ਆਪਣੀ ਜੇਬ ਜਾਂ ਪਰਸ ਵਿੱਚ ਜੋ ਬਦਲਾਅ ਹੈ, ਉਸ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਕਰਨ ਦਿਓ। ਤੁਹਾਡਾ ਇੰਸਟ੍ਰਕਟਰ ਡਾਲਰਾਂ ਅਤੇ ਸੈਂਟਾਂ ਵਿੱਚ ਰਕਮਾਂ ਦਰਜ ਕਰੇਗਾ। ਜਮਾਤ ਦੁਆਰਾ ਲਏ ਗਏ ਡਾਟਾ ਦਾ ਇੱਕ ਹਿਸਟੋਗ੍ਰਾਮ ਬਣਾਓ। ਪੰਜ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਬਾਰਾਂ ਦੇ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ ਖਿੱਚੋ। ਗ੍ਰਾਫ ਲਗਭਗ ਘਾਤ ਅਨੁਸਾਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ ਔਸਤ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
X = ਤੁਹਾਡੀ ਜਮਾਤ ਦੇ ਇੱਕ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਦੀ ਜੇਬ ਜਾਂ ਪਰਸ ਵਿੱਚ ਮੌਜੂਦ ਪੈਸੇ ਦੀ ਰਕਮ ਹੈ।
X ਲਈ ਵੰਡ, ਔਸਤ, μ = _______ ਅਤੇ m = _______ ਦੇ ਨਾਲ ਲਗਭਗ ਘਾਤ ਅਨੁਸਾਰ ਹੈ। ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੇਵੀਏਸ਼ਨ, σ = ________।
ਢੁਕਵਾਂ ਘਾਤ ਅਨੁਸਾਰ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। ਤੁਹਾਨੂੰ x- ਅਤੇ y-ਧੁਰੇ, ਘਾਤ ਦਰ, ਅਤੇ ਔਸਤ ਨੂੰ ਲੇਬਲ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਉਸ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਸ਼ੇਡ ਕਰੋ ਜੋ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਦੀ ਜੇਬ ਜਾਂ ਪਰਸ ਵਿੱਚ $0.40 ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੈ। (P(x < 0.40) ਨੂੰ ਸ਼ੇਡ ਕਰੋ)।
ਉਦਾਹਰਨ 5.9
ਔਸਤਨ, ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਕੰਪਿਊਟਰ ਭਾਗ 10 ਸਾਲ ਚੱਲਦਾ ਹੈ। ਕੰਪਿਊਟਰ ਭਾਗ ਦੇ ਚੱਲਣ ਦੀ ਮਿਆਦ ਘਾਤ ਅਨੁਸਾਰ ਵੰਡੀ ਗਈ ਹੈ।
ਸਮੱਸਿਆ
a. ਇਸ ਗੱਲ ਦੀ ਕੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਕੰਪਿਊਟਰ ਭਾਗ ਸੱਤ ਸਾਲ ਤੋਂ ਵੱਧ ਚੱਲਦਾ ਹੈ?
ਹੱਲ
a. ਮੰਨ ਲਓ x = ਸਮਾਂ (ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ) ਜਿਸ ਦੌਰਾਨ ਇੱਕ ਕੰਪਿਊਟਰ ਭਾਗ ਚੱਲਦਾ ਹੈ।
P(x > 7) ਲੱਭੋ। ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਕਿਉਂਕਿ P(X < x) = 1 – e–mx ਹੈ, ਇਸ ਲਈ P(X > x) = 1 – (1 – e–mx) = e-mx। P(x > 7) = e(–0.1)(7) = 0.4966। ਇਸ ਗੱਲ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕਿ ਇੱਕ ਕੰਪਿਊਟਰ ਭਾਗ ਸੱਤ ਸਾਲ ਤੋਂ ਵੱਧ ਚੱਲਦਾ ਹੈ, 0.4966 ਹੈ।
TI-83, 83+, 84, 84+ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ
ਹੋਮ ਸਕ੍ਰੀਨ 'ਤੇ, e^(-.1*7) ਦਰਜ ਕਰੋ।
ਸਮੱਸਿਆ
b. ਔਸਤਨ, ਪੰਜ ਕੰਪਿਊਟਰ ਭਾਗ ਕਿੰਨਾ ਚਿਰ ਚੱਲਣਗੇ ਜੇਕਰ ਉਹ ਇੱਕ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਇੱਕ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ?
ਹੱਲ
b. ਔਸਤਨ, ਇੱਕ ਕੰਪਿਊਟਰ ਭਾਗ 10 ਸਾਲ ਚੱਲਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਪੰਜ ਕੰਪਿਊਟਰ ਭਾਗ, ਜੇਕਰ ਉਹ ਇੱਕ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਇੱਕ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਔਸਤਨ (5)(10) = 50 ਸਾਲ ਚੱਲਣਗੇ।
ਸਮੱਸਿਆ
c. ਕੰਪਿਊਟਰ ਦੇ ਕਿੰਨੇ ਫੀਸਦੀ ਭਾਗ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਕਿੰਨਾ ਚਿਰ ਚੱਲਦੇ ਹਨ?
ਹੱਲ
c. 80ਵੇਂ ਪਰਸੈਂਟਾਈਲ ਨੂੰ ਲੱਭੋ। ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। ਮੰਨ ਲਓ k = 80ਵਾਂ ਪਰਸੈਂਟਾਈਲ।
k ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ:
ਕੰਪਿਊਟਰ ਦੇ ਅੱਸੀ ਫੀਸਦੀ ਭਾਗ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ 16.1 ਸਾਲ ਚੱਲਦੇ ਹਨ।
TI-83, 83+, 84, 84+ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ
ਹੋਮ ਸਕ੍ਰੀਨ 'ਤੇ, ln(1–0.80) –0.1 ln(1–0.80) –0.1 ਦਰਜ ਕਰੋ।
ਸਮੱਸਿਆ
d. ਇਸ ਗੱਲ ਦੀ ਕੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਕੰਪਿਊਟਰ ਦਾ ਪੁਰਜ਼ਾ ਨੌਂ ਅਤੇ ਗਿਆਰਾਂ ਸਾਲਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਰਹੇ?
ਹੱਲ
d. P(9 < x < 11) ਪਤਾ ਕਰੋ। ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
P(9 < x < 11) = P(x < 11) – P(x < 9) = (1 – e(–0.1)(11)) – (1 – e(–0.1)(9)) = 0.6671 – 0.5934 = 0.0737। ਇਸ ਗੱਲ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕਿ ਇੱਕ ਕੰਪਿਊਟਰ ਦਾ ਪੁਰਜ਼ਾ ਨੌਂ ਅਤੇ ਗਿਆਰਾਂ ਸਾਲਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਰਹੇ, 0.0737 ਹੈ।
TI-83, 83+, 84, 84+ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ
ਹੋਮ ਸਕ੍ਰੀਨ 'ਤੇ, e^(–0.1*9) – e^(–0.1*11) ਦਰਜ ਕਰੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 5.9
ਔਸਤਨ, ਦੌੜਨ ਵਾਲੇ ਜੁੱਤੀਆਂ ਦੀ ਇੱਕ ਜੋੜੀ ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਵਰਤੋਂ ਨਾਲ 18 ਮਹੀਨੇ ਤੱਕ ਚੱਲ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਦੌੜਨ ਵਾਲੇ ਜੁੱਤੀਆਂ ਦੇ ਚੱਲਣ ਦਾ ਸਮਾਂ ਘਾਤਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਗੱਲ ਦੀ ਕੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ ਕਿ ਦੌੜਨ ਵਾਲੇ ਜੁੱਤੀਆਂ ਦੀ ਇੱਕ ਜੋੜੀ 15 ਮਹੀਨਿਆਂ ਤੋਂ ਵੱਧ ਚੱਲੇ? ਔਸਤਨ, ਜੇਕਰ ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾਵੇ ਤਾਂ ਦੌੜਨ ਵਾਲੇ ਜੁੱਤੀਆਂ ਦੀ ਛੇ ਜੋੜੀਆਂ ਕਿੰਨੀ ਦੇਰ ਤੱਕ ਚੱਲਣਗੀਆਂ? ਜੇਕਰ ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾਵੇ ਤਾਂ ਦੌੜਨ ਵਾਲੇ ਜੁੱਤੀਆਂ ਦਾ ਅੱਸੀ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਕਿੰਨੀ ਦੇਰ ਤੱਕ ਚੱਲਦਾ ਹੈ?
ਉਦਾਹਰਨ 5.10
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਫ਼ੋਨ ਕਾਲ ਦੀ ਲੰਬਾਈ, ਮਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ, 1/12 ਦੇ ਘਾਤਕ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਨਾਲ ਇੱਕ ਘਾਤਕ ਰੈਂਡਮ ਵੇਰੀਏਬਲ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਹੋਰ ਵਿਅਕਤੀ ਤੁਹਾਡੇ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਇੱਕ ਜਨਤਕ ਟੈਲੀਫ਼ੋਨ 'ਤੇ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸ ਗੱਲ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪਤਾ ਕਰੋ ਕਿ ਤੁਹਾਨੂੰ ਪੰਜ ਮਿੰਟਾਂ ਤੋਂ ਵੱਧ ਇੰਤਜ਼ਾਰ ਕਰਨਾ ਪਵੇਗਾ। ਮੰਨ ਲਓ X = ਫ਼ੋਨ ਕਾਲ ਦੀ ਲੰਬਾਈ, ਮਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ।
ਸਮੱਸਿਆ
m, μ, ਅਤੇ σ ਕੀ ਹਨ? ਇਸ ਗੱਲ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕਿ ਤੁਹਾਨੂੰ ਪੰਜ ਮਿੰਟਾਂ ਤੋਂ ਵੱਧ ਇੰਤਜ਼ਾਰ ਕਰਨਾ ਪਵੇਗਾ, _______ ਹੈ।
ਹੱਲ
m = 1/12
μ = 12
σ = 12
P(x > 5) = 0.6592
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 5.10
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਲੋਕ ਕੰਮ 'ਤੇ ਜਾਣ ਲਈ ਜੋ ਦੂਰੀ, ਮੀਲਾਂ ਵਿੱਚ, ਤੈਅ ਕਰਨ ਲਈ ਤਿਆਰ ਹਨ, ਉਹ 1/20 ਦੇ ਘਾਤਕ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਨਾਲ ਇੱਕ ਘਾਤਕ ਰੈਂਡਮ ਵੇਰੀਏਬਲ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ X = ਉਹ ਦੂਰੀ ਜੋ ਲੋਕ ਮੀਲਾਂ ਵਿੱਚ ਤੈਅ ਕਰਨ ਲਈ ਤਿਆਰ ਹਨ। m, μ, ਅਤੇ σ ਕੀ ਹਨ? ਇਸ ਗੱਲ ਦੀ ਕੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਵਿਅਕਤੀ 25 ਮੀਲਾਂ ਤੋਂ ਵੱਧ ਦੂਰੀ ਤੈਅ ਕਰਨ ਲਈ ਤਿਆਰ ਹੈ?
ਉਦਾਹਰਨ 5.11
ਘਟਨਾਵਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਇੰਤਜ਼ਾਰ ਕਰਨ ਦੇ ਸਮੇਂ ਨੂੰ ਅਕਸਰ ਘਾਤਕ ਵੰਡ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ 30 ਗਾਹਕ ਇੱਕ ਸਟੋਰ 'ਤੇ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਆਗਮਨ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦਾ ਸਮਾਂ ਘਾਤਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਮਸਲਾ
ਦੋ ਲਗਾਤਾਰ ਆਮਦਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਔਸਤਨ ਕਿੰਨੇ ਮਿੰਟ ਬੀਤਦੇ ਹਨ?
ਜਦੋਂ ਦੁਕਾਨ ਪਹਿਲੀ ਵਾਰ ਖੁੱਲ੍ਹਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਤਿੰਨ ਗਾਹਕਾਂ ਦੇ ਆਉਣ ਵਿੱਚ ਔਸਤਨ ਕਿੰਨਾ ਸਮਾਂ ਲੱਗਦਾ ਹੈ?
ਇੱਕ ਗਾਹਕ ਦੇ ਆਉਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਅਗਲੇ ਗਾਹਕ ਦੇ ਆਉਣ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮਿੰਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਸਮਾਂ ਲੱਗਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਗਾਹਕ ਦੇ ਆਉਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਅਗਲੇ ਗਾਹਕ ਦੇ ਆਉਣ ਵਿੱਚ ਪੰਜ ਮਿੰਟ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸਮਾਂ ਲੱਗਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਗ੍ਰਾਹਕ ਪਿਛਲੇ ਗ੍ਰਾਹਕ ਦੇ ਕਿੰਨੇ ਮਿੰਟਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਆਉਂਦੇ ਹਨ?
ਕੀ ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਲਈ ਘਾਤੀ ਵੰਡ (exponential distribution) ਵਾਜਬ ਹੈ?
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ (60 ਮਿੰਟ) 30 ਗਾਹਕਾਂ ਦੇ ਆਉਣ ਦੀ ਉਮੀਦ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਔਸਤਨ ਦੋ ਮਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਗਾਹਕ ਦੇ ਆਉਣ ਦੀ ਉਮੀਦ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਕਿਉਂਕਿ ਔਸਤਨ ਹਰ ਦੋ ਮਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਗਾਹਕ ਆਉਂਦਾ ਹੈ, ਤਿੰਨ ਗਾਹਕਾਂ ਦੇ ਆਉਣ ਵਿੱਚ ਔਸਤਨ ਛੇ ਮਿੰਟ ਲੱਗਣਗੇ।
ਮੰਨ ਲਓ X = ਆਮਦਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦਾ ਸਮਾਂ, ਮਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ। ਭਾਗ (a) ਅਨੁਸਾਰ, μ = 2, ਇਸ ਲਈ m = 1/2 = 0.5। ਇਸ ਲਈ, X ~ Exp(0.5)। ਸੰਚਤ ਵੰਡ ਫੰਕਸ਼ਨ P(X < x) = 1 – e^(–0.5)(x) ਹੈ। ਇਸ ਲਈ P(X < 1) = 1 – e^(–0.5)(1) ≈ 0.3935। TI-83, 83+, 84, 84+ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ 1 - e^(–0.5) ≈ 0.3935 ਚਿੱਤਰ 5.28
P(X > 5) = 1 – P(X < 5) = 1 – (1 – e^(–0.5)(5)) = e^(–2.5) ≈ 0.0821। ਚਿੱਤਰ 5.29 TI-83, 83+, 84, 84+ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ 1 - (1 - e^(– 0.50)(5)) ਜਾਂ e^(– 0.50)(5) 1 - (1 - e^(– 0.50)(5)) ਜਾਂ e^(– 0.50)(5)
ਅਸੀਂ x ਲਈ 0.70 = P(X < x) ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਸੰਚਤ ਵੰਡ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰਨ 'ਤੇ 0.70 = 1 – e^(–0.5x) ਮਿਲਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ e^(–0.5x) = 0.30। ਇਸਨੂੰ ਲਘੂਗਣਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ 'ਤੇ –0.5x = ln(0.30) ਮਿਲਦਾ ਹੈ, ਜਾਂ x = ln(0.30) / –0.5 ≈ 2.41 ਮਿੰਟ। ਇਸ ਲਈ, 70 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਗਾਹਕ ਪਿਛਲੇ ਗਾਹਕ ਦੇ 2.41 ਮਿੰਟਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਆਉਂਦੇ ਹਨ। ਤੁਸੀਂ 70ਵਾਂ ਪਰਸੈਂਟਾਈਲ k ਲੱਭ ਰਹੇ ਹੋ ਇਸ ਲਈ ਤੁਸੀਂ ਫਾਰਮੂਲਾ k = ln(1–Area_To_The_Left_Of_k) / (–m) ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹੋ k = ln(1–0.70) / (–0.5) ≈ 2.41 ਮਿੰਟ ਚਿੱਤਰ 5.30
ਇਹ ਮਾਡਲ ਮੰਨਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਗਾਹਕ ਆਉਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਵਾਜਬ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ ਕਿਉਂਕਿ ਲੋਕ ਸਮੂਹਾਂ ਵਿੱਚ ਖਰੀਦਦਾਰੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਇੱਕੋ ਸਮੇਂ ਕਈ ਗਾਹਕ ਆਉਂਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਇਹ ਵੀ ਮੰਨਦਾ ਹੈ ਕਿ ਗਾਹਕਾਂ ਦਾ ਪ੍ਰਵਾਹ ਦਿਨ ਭਰ ਨਹੀਂ ਬਦਲਦਾ, ਜੋ ਕਿ ਵੈਧ ਨਹੀਂ ਹੈ ਜੇਕਰ ਦਿਨ ਦੇ ਕੁਝ ਸਮੇਂ ਹੋਰ ਵਿਅਸਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਟਰਾਈ ਇਟ 5.11
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਹਾਈਵੇਅ ਦੇ ਇੱਕ ਖਾਸ ਹਿੱਸੇ 'ਤੇ, ਕਾਰਾਂ ਪੰਜ ਕਾਰਾਂ ਪ੍ਰਤੀ ਮਿੰਟ ਦੀ ਔਸਤ ਦਰ ਨਾਲ ਲੰਘਦੀਆਂ ਹਨ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਲਗਾਤਾਰ ਕਾਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਸਮੇਂ ਦੀ ਮਿਆਦ ਘਾਤੀ ਵੰਡ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੀ ਹੈ।
ਦੋ ਲਗਾਤਾਰ ਕਾਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਔਸਤਨ ਕਿੰਨੇ ਸਕਿੰਟ ਬੀਤਦੇ ਹਨ?
ਇੱਕ ਕਾਰ ਲੰਘਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਹੋਰ ਸੱਤ ਕਾਰਾਂ ਦੇ ਲੰਘਣ ਵਿੱਚ ਔਸਤਨ ਕਿੰਨਾ ਸਮਾਂ ਲੱਗੇਗਾ?
ਇਸ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ ਕਿ ਇੱਕ ਕਾਰ ਲੰਘਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਅਗਲੀ ਕਾਰ ਅਗਲੇ 20 ਸਕਿੰਟਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਲੰਘ ਜਾਵੇਗੀ।
ਇਸ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ ਕਿ ਇੱਕ ਕਾਰ ਲੰਘਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਅਗਲੀ ਕਾਰ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਹੋਰ 15 ਸਕਿੰਟਾਂ ਤੱਕ ਨਹੀਂ ਲੰਘੇਗੀ।
ਘਾਤੀ ਵੰਡ ਦੀ ਸਮ੍ਰਿਤੀਹੀਣਤਾ
ਉਦਾਹਰਨ 5.7 ਵਿੱਚ ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਗਾਹਕਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਸਮੇਂ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਦੋ ਮਿੰਟਾਂ ਦੇ ਔਸਤ ਨਾਲ ਘਾਤੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵੰਡੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ (X ~ Exp(0.5))। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਆਖਰੀ ਗਾਹਕ ਦੇ ਆਉਣ ਤੋਂ ਪੰਜ ਮਿੰਟ ਬੀਤ ਚੁੱਕੇ ਹਨ। ਕਿਉਂਕਿ ਇੰਨਾ ਲੰਬਾ ਸਮਾਂ ਬੀਤ ਚੁੱਕਾ ਹੈ, ਅਗਲੇ ਮਿੰਟ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਗਾਹਕ ਦੇ ਆਉਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵਧੇਰੇ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ। ਘਾਤੀ ਵੰਡ ਨਾਲ, ਇਹ ਸਥਿਤੀ ਨਹੀਂ ਹੈ—ਅਗਲੇ ਗਾਹਕ ਲਈ ਉਡੀਕ ਕਰਨ ਦਾ ਵਾਧੂ ਸਮਾਂ ਇਸ ਗੱਲ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ ਕਿ ਆਖਰੀ ਗਾਹਕ ਤੋਂ ਕਿੰਨਾ ਸਮਾਂ ਬੀਤ ਚੁੱਕਾ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਸਮ੍ਰਿਤੀਹੀਣ ਗੁਣ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਸਮ੍ਰਿਤੀਹੀਣ ਗੁਣ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇ ਆਖਰੀ ਗਾਹਕ ਦੇ ਆਉਣ ਤੋਂ ਪੰਜ ਮਿੰਟ ਬੀਤ ਚੁੱਕੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਅਗਲੇ ਗਾਹਕ ਦੇ ਆਉਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਇੱਕ ਮਿੰਟ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸਮਾਂ ਬੀਤਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਉਪਰੋਕਤ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ r = 5 ਅਤੇ t = 1 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗਿਣੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਇਹ ਪਿਛਲੇ ਆਗਮਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਗਾਹਕ ਦੇ ਆਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਮਿੰਟ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਡੀਕ ਕਰਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
The exponential distribution is often used to model the longevity of an electrical or a mechanical device. In Example 5.9, the lifetime of a certain computer part has the exponential distribution with a mean of ten years (X ~ Exp(0.1)). The memoryless property says that knowledge of what has occurred in the past has no effect on future probabilities. In this case it means that an old part is not any more likely to break down at any particular time than a brand new part. In other words, the part stays as good as new until it suddenly breaks. For example, if the part has already lasted ten years, then the probability that it lasts another seven years is P(X > 17|X > 10) = P(X > 7) = 0.4966.
Example 5.12
Refer to Example 5.7 where the time a postal clerk spends with his or her customer has an exponential distribution with a mean of four minutes. Suppose a customer has spent four minutes with a postal clerk. What is the probability that he or she will spend at least an additional three minutes with the postal clerk?
The decay parameter of X is m = 1 4 1 4 = 0.25, so X ~ Exp(0.25).
The cumulative distribution function is P(X < x) = 1 – e–0.25x.
We want to find P(X > 7|X > 4). The memoryless property says that P(X > 7|X > 4) = P (X > 3), so we just need to find the probability that a customer spends more than three minutes with a postal clerk.
This is P(X > 3) = 1 – P (X < 3) = 1 – (1 – e–0.25⋅3) = e–0.75 ≈ 0.4724.
Using the TI-83, 83+, 84, 84+ Calculator
1–(1–e^(–0.25*3)) = e^(–0.25*3).
Try It 5.12
Suppose that the longevity of a light bulb is exponential with a mean lifetime of eight years. If a bulb has already lasted 12 years, find the probability that it will last a total of more than 19 years.
Relationship Between the Poisson and the Exponential Distribution
There is an interesting relationship between the exponential distribution and the Poisson distribution. Suppose that the time that elapses between two successive events follows the exponential distribution with a mean of μ units of time. Also assume that these times are independent, meaning that the time between events is not affected by the times between previous events. If these assumptions hold, then the number of events per unit time follows a Poisson distribution with mean λ = 1/μ. Recall from the chapter on Discrete Random Variables that if X has the Poisson distribution with mean λ, then P(X=k)= λ k e −λ k! P(X=k)= λ k e −λ k!. Conversely, if the number of events per unit time follows a Poisson distribution, then the amount of time between events follows the exponential distribution. (k! = k*(k–1*)(k–2)*(k–3)…3*2*1)
Using the TI-83, 83+, 84, 84+ Calculator
Suppose X has the Poisson distribution with mean λ. Compute P(X = k) by entering 2nd, VARS(DISTR), C: poissonpdf(λ, k). To compute P(X ≤ k), enter 2nd, VARS (DISTR), D:poissoncdf(λ, k).
Example 5.13
At a police station in a large city, calls come in at an average rate of four calls per minute. Assume that the time that elapses from one call to the next has the exponential distribution. Take note that we are concerned only with the rate at which calls come in, and we are ignoring the time spent on the phone. We must also assume that the times spent between calls are independent. This means that a particularly long delay between two calls does not mean that there will be a shorter waiting period for the next call. We may then deduce that the total number of calls received during a time period has the Poisson distribution.
Problem
Find the average time between two successive calls.
Find the probability that after a call is received, the next call occurs in less than 10 seconds.
Find the probability that exactly five calls occur within a minute.
Find the probability that fewer than five calls occur within a minute.
Find the probability that more than 40 calls occur in an eight-minute period.
Solution
ਔਸਤਨ ਪ੍ਰਤੀ ਮਿੰਟ ਚਾਰ ਕਾਲਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ 15 ਸਕਿੰਟ, ਜਾਂ 15 60 15 60 = 0.25 ਮਿੰਟ, ਔਸਤਨ ਲਗਾਤਾਰ ਕਾਲਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਮੰਨ ਲਓ T = ਕਾਲਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਬੀਤਿਆ ਸਮਾਂ। ਭਾਗ a ਤੋਂ, μ = 0.25, ਇਸ ਲਈ m = 1 0.25 1 0.25 = 4। ਇਸ ਲਈ, T ~ Exp(4)। ਸੰਚਤ ਵੰਡ ਫੰਕਸ਼ਨ P(T < t) = 1 – e–4t ਹੈ। ਸੰਭਾਵਨਾ ਕਿ ਅਗਲੀ ਕਾਲ 10 ਸਕਿੰਟਾਂ (10 ਸਕਿੰਟ = 1/6 ਮਿੰਟ) ਤੋਂ ਘੱਟ ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੀ ਹੈ P( T < 1 6 )=1 – e (–4)( 1 6 ) ≈0.4866। P( T < 1 6 )=1 – e (–4)( 1 6 ) ≈0.4866। ਚਿੱਤਰ 5.32
ਮੰਨ ਲਓ X = ਪ੍ਰਤੀ ਮਿੰਟ ਕਾਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਪਹਿਲਾਂ ਦੱਸਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਪ੍ਰਤੀ ਮਿੰਟ ਕਾਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਪੋਆਸਨ ਵੰਡ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਮਤਲਬ ਚਾਰ ਕਾਲਾਂ ਪ੍ਰਤੀ ਮਿੰਟ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, X ~ Poisson(4), ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ P(X = 5) = 4 5 e −4 5! 4 5 e −4 5! ≈ 0.1563। (5! = (5)(4)(3)(2)(1)) TI-83, 83+, 84, 84+ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ poissonpdf(4, 5) = 0.1563 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ
ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖੋ ਕਿ X ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ P(X < 5) = P(X ≤ 4)। ਇਸ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) ਲੈ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਤਕਨਾਲੋਜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ P(X ≤ 4) = 0.6288। TI-83, 83+, 84, 84+ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ poisssoncdf(4, 4) = 0.6288 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ
ਮੰਨ ਲਓ Y = ਅੱਠ ਮਿੰਟਾਂ ਦੀ ਮਿਆਦ ਦੌਰਾਨ ਹੋਣ ਵਾਲੀਆਂ ਕਾਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ। ਕਿਉਂਕਿ ਪ੍ਰਤੀ ਮਿੰਟ ਔਸਤਨ ਚਾਰ ਕਾਲਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਹਰ ਅੱਠ ਮਿੰਟਾਂ ਦੀ ਮਿਆਦ ਦੌਰਾਨ ਔਸਤਨ (8)(4) = 32 ਕਾਲਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, Y ~ Poisson(32)। ਇਸ ਲਈ, P(Y > 40) = 1 – P(Y ≤ 40) = 1 – 0.9294 = 0.0706। TI-83, 83+, 84, 84+ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ 1 – poissoncdf(32, 40) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ। = 0.0706
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 5.13
ਇੱਕ ਛੋਟੇ ਸ਼ਹਿਰ ਵਿੱਚ, ਕਾਰ ਹਾਦਸਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਪ੍ਰਤੀ ਹਫ਼ਤੇ ਔਸਤਨ ਤਿੰਨ ਦੇ ਪੋਆਸਨ ਵੰਡ ਨਾਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਕਿਸੇ ਵੀ ਦਿੱਤੇ ਹਫ਼ਤੇ ਵਿੱਚ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਦੋ ਹਾਦਸੇ ਹੋਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
ਕੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ ਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋ ਹਾਦਸਿਆਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਦੋ ਹਫ਼ਤੇ ਹੋਣ?