ਸਮਾਨ ਵੰਡ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੰਡ ਹੈ ਅਤੇ ਇਹਨਾਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਵਾਪਰਨ ਦੀ ਬਰਾਬਰ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਸਮਾਨ ਵੰਡ ਵਾਲੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਜਾਂ ਬਾਹਰ ਰੱਖਣ ਬਾਰੇ ਧਿਆਨ ਰੱਖੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.2
ਸਾਰਣੀ 5.1 ਵਿੱਚ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਡਾਟਾ 55 ਮੁਸਕਰਾਉਣ ਦੇ ਸਮੇਂ, ਸਕਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ, ਅੱਠ ਹਫ਼ਤਿਆਂ ਦੇ ਬੱਚੇ ਦਾ ਹੈ।
ਸਤਰ: 10.4 | 19.6 | 18.8 | 13.9 | 17.8 | 16.8 | 21.6 | 17.9 | 12.5 | 11.1 | 4.9
ਸਤਰ: 12.8 | 14.8 | 22.8 | 20.0 | 15.9 | 16.3 | 13.4 | 17.1 | 14.5 | 19.0 | 22.8
ਸਤਰ: 1.3 | 0.7 | 8.9 | 11.9 | 10.9 | 7.3 | 5.9 | 3.7 | 17.9 | 19.2 | 9.8
ਸਤਰ: 5.8 | 6.9 | 2.6 | 5.8 | 21.7 | 11.8 | 3.4 | 2.1 | 4.5 | 6.3 | 10.7
ਸਤਰ: 8.9 | 9.4 | 9.4 | 7.6 | 10.0 | 3.3 | 6.7 | 7.8 | 11.6 | 13.8 | 18.6
ਨਮੂਨਾ ਮੱਧਮਾਨ = 11.49 ਅਤੇ ਨਮੂਨਾ ਮਿਆਰੀ ਵਿਵਚਲਨ = 6.23 ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਇਹ ਮੰਨਾਂਗੇ ਕਿ ਮੁਸਕਰਾਉਣ ਦਾ ਸਮਾਂ, ਸਕਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ, ਜ਼ੀਰੋ ਅਤੇ 23 ਸਕਿੰਟਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਵੰਡ ਦਾ ਪਾਲਣ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਦੋਵੇਂ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਜ਼ੀਰੋ ਤੋਂ ਲੈ ਕੇ 23 ਸਕਿੰਟਾਂ ਤੱਕ ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਮੁਸਕਰਾਉਣ ਦਾ ਸਮਾਂ ਬਰਾਬਰ ਸੰਭਾਵਿਤ ਹੈ। ਜੋ ਹਿਸਟੋਗ੍ਰਾਮ ਨਮੂਨੇ ਤੋਂ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਉਹ ਇੱਕ ਅਨੁਭਵੀ ਵੰਡ ਹੈ ਜੋ ਸਿਧਾਂਤਕ ਸਮਾਨ ਵੰਡ ਨਾਲ ਨੇੜਿਓਂ ਮੇਲ ਖਾਂਦੀ ਹੈ।
ਮੰਨ ਲਓ X = ਲੰਬਾਈ, ਸਕਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ, ਅੱਠ ਹਫ਼ਤਿਆਂ ਦੇ ਬੱਚੇ ਦੀ ਮੁਸਕਰਾਹਟ ਦੀ।
ਸਮਾਨ ਵੰਡ ਲਈ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਹੈ
X ~ U(a, b) ਜਿੱਥੇ a = x ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਨੀਵਾਂ ਮੁੱਲ ਅਤੇ b = x ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਚਾ ਮੁੱਲ ਹੈ।
ਸੰਭਾਵਨਾ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = 1/(b−a) ਹੈ, ਜਦੋਂ a ≤ x ≤ b।
ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, X ~ U(0, 23) ਅਤੇ f(x) = 1/(23−0) ਹੈ, ਜਦੋਂ 0 ≤ X ≤ 23।
ਸਿਧਾਂਤਕ ਮੱਧਮਾਨ ਅਤੇ ਮਿਆਰੀ ਵਿਵਚਲਨ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਹਨ
ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਲਈ, ਸਿਧਾਂਤਕ ਮੱਧਮਾਨ ਅਤੇ ਮਿਆਰੀ ਵਿਵਚਲਨ ਹਨ
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਸਿਧਾਂਤਕ ਮੱਧਮਾਨ ਅਤੇ ਮਿਆਰੀ ਵਿਵਚਲਨ ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਨਮੂਨਾ ਮੱਧਮਾਨ ਅਤੇ ਮਿਆਰੀ ਵਿਵਚਲਨ ਦੇ ਨੇੜੇ ਹਨ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 5.2
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਡਾਟਾ 35 ਵੱਖ-ਵੱਖ ਚਾਰਟਰ ਫਿਸ਼ਿੰਗ ਕਿਸ਼ਤੀਆਂ 'ਤੇ ਯਾਤਰੀਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ। ਨਮੂਨਾ ਮੱਧਮਾਨ = 7.9 ਅਤੇ ਨਮੂਨਾ ਮਿਆਰੀ ਵਿਵਚਲਨ = 4.33 ਹੈ। ਡਾਟਾ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਵੰਡ ਦਾ ਪਾਲਣ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਜ਼ੀਰੋ ਅਤੇ 14 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਅਤੇ ਸ਼ਾਮਲ ਸਾਰੇ ਮੁੱਲ ਬਰਾਬਰ ਸੰਭਾਵਿਤ ਹਨ। a ਅਤੇ b ਦੇ ਮੁੱਲ ਦੱਸੋ। ਵੰਡ ਨੂੰ ਸਹੀ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ, ਅਤੇ ਸਿਧਾਂਤਕ ਮੱਧਮਾਨ ਅਤੇ ਮਿਆਰੀ ਵਿਵਚਲਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: 1 | 12 | 4 | 10 | 4 | 14 | 11
ਸਤਰ: 7 | 11 | 4 | 13 | 2 | 4 | 6
ਸਤਰ: 3 | 10 | 0 | 12 | 6 | 9 | 10
ਸਤਰ: 5 | 13 | 4 | 10 | 14 | 12 | 11
row: 6 | 10 | 11 | 0 | 11 | 13 | 2
Example 5.3
Problem
a. Refer to Example 5.2. What is the probability that a randomly chosen eight-week-old baby smiles between two and 18 seconds?
Solution
P(2 < x < 18) = (base)(height) = (18 – 2)( 1 23 ) ( 1 23 ) = 16 23 16 23
Problem
b. Find the 90th percentile for an eight-week-old baby's smiling time.
Solution
b. Ninety percent of the smiling times fall below the 90th percentile, k, so P(x < k) = 0.90.
Problem
c. Find the probability that a random eight-week-old baby smiles more than 12 seconds knowing that the baby smiles more than eight seconds.
Solution
c. This probability question is a conditional. You are asked to find the probability that an eight-week-old baby smiles more than 12 seconds when you already know the baby has smiled for more than eight seconds.
Find P(x > 12|x > 8) There are two ways to do the problem. For the first way, use the fact that this is a conditional and changes the sample space. The graph illustrates the new sample space. You already know the baby smiled more than eight seconds.
for 8 < x < 23
Write a new f(x): f(x) = 1 23 − 8 1 23 − 8 = 1 15 1 15 for 8 < x < 23.
P(x > 12|x > 8) = (23 − 12)( 1 15 ) ( 1 15 ) = 11 15 11 15
For the second way, use the conditional formula from Probability Topics with the original distribution.
P(A|B) = P(A AND B) P(B) P(A AND B) P(B)
For this problem, A is (x > 12) and B is (x > 8).
So, P(x > 12|x > 8) = (x>12 AND x>8) P(x>8) = P(x>12) P(x>8) = 11 23 15 23 = 11 15 (x>12 AND x>8) P(x>8) = P(x>12) P(x>8) = 11 23 15 23 = 11 15
Try It 5.3
A distribution is given as X ~ U(0, 20). What is P(2 < x < 18)? Find the 90th percentile.
Example 5.4
ਬੱਸ ਦੀ ਉਡੀਕ ਵਿੱਚ ਵਿਅਕਤੀ ਨੂੰ ਲੱਗਣ ਵਾਲੇ ਸਮੇਂ ਦੀ ਮਾਤਰਾ, ਮਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ, ਸ਼ੂਨ ਤੋਂ 15 ਮਿੰਟਾਂ ਤੱਕ, ਸਮਾਨ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੰਡੀ ਗਈ ਹੈ।
ਸਮੱਸਿਆ
a. ਇਸ ਗੱਲ ਦੀ ਕੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ ਕਿ ਕੋਈ ਵਿਅਕਤੀ 12.5 ਮਿੰਟਾਂ ਤੋਂ ਘੱਟ ਉਡੀਕ ਕਰਦਾ ਹੈ?
ਹੱਲ
a. ਮੰਨ ਲਓ X = ਬੱਸ ਦੀ ਉਡੀਕ ਵਿੱਚ ਵਿਅਕਤੀ ਨੂੰ ਲੱਗਣ ਵਾਲੇ ਮਿੰਟਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ। a = 0 ਅਤੇ b = 15। X ~ U(0, 15)। ਸੰਭਾਵਨਾ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਿਖੋ। f (x) = 1 15 − 0 = 1 15, 0 ≤ x ≤ 15 ਲਈ।
P (x < 12.5) ਪਤਾ ਕਰੋ। ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਇਸ ਗੱਲ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕਿ ਕੋਈ ਵਿਅਕਤੀ 12.5 ਮਿੰਟਾਂ ਤੋਂ ਘੱਟ ਉਡੀਕ ਕਰਦਾ ਹੈ, 0.8333 ਹੈ।
ਸਮੱਸਿਆ
b. ਔਸਤਨ, ਕਿਸੇ ਵਿਅਕਤੀ ਨੂੰ ਕਿੰਨੀ ਦੇਰ ਉਡੀਕ ਕਰਨੀ ਪੈਂਦੀ ਹੈ? ਮੀਨ, μ, ਅਤੇ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡਿਵੀਏਸ਼ਨ, σ, ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
b. μ = a + b 2 = 15 + 0 2 = 7.5। ਔਸਤਨ, ਕਿਸੇ ਵਿਅਕਤੀ ਨੂੰ 7.5 ਮਿੰਟ ਉਡੀਕ ਕਰਨੀ ਪੈਂਦੀ ਹੈ। σ = (b-a)2 12 = (15-0)2 12 = 4.3। ਸਟੈਂਡਰਡ ਡਿਵੀਏਸ਼ਨ 4.3 ਮਿੰਟ ਹੈ।
ਸਮੱਸਿਆ
c. 90% ਸਮੇਂ, ਕਿਸੇ ਵਿਅਕਤੀ ਨੂੰ ਬੱਸ ਦੀ ਉਡੀਕ ਵਿੱਚ ਲੱਗਣ ਵਾਲੇ ਮਿੰਟ ਕਿਸ ਮੁੱਲ ਤੋਂ ਹੇਠਾਂ ਰਹਿੰਦੇ ਹਨ?
ਹੱਲ
c. 90ਵੇਂ ਪਰਸੈਂਟਾਈਲ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ। ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। ਮੰਨ ਲਓ k = 90ਵਾਂ ਪਰਸੈਂਟਾਈਲ। P(x<k)=(base)(height)=(k−0)( 1 15 ) 0.90=( k )( 1 15 ) k=(0.90)(15)=13.5। k ਨੂੰ ਕਈ ਵਾਰ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਵੈਲਿਊ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। 90ਵਾਂ ਪਰਸੈਂਟਾਈਲ 13.5 ਮਿੰਟ ਹੈ। 90% ਸਮੇਂ, ਕਿਸੇ ਵਿਅਕਤੀ ਨੂੰ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ 13.5 ਮਿੰਟ ਉਡੀਕ ਕਰਨੀ ਪੈਂਦੀ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 5.4
2011 ਸੀਜ਼ਨ ਵਿੱਚ ਮੇਜਰ ਲੀਗ ਵਿੱਚ ਬੇਸਬਾਲ ਗੇਮਾਂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਮਿਆਦ 447 ਘੰਟੇ ਅਤੇ 521 ਘੰਟੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ, ਸਮਾਨ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੰਡੀ ਗਈ ਹੈ।
a ਅਤੇ b ਪਤਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਦੱਸੋ ਕਿ ਉਹ ਕੀ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ।
ਵੰਡ ਲਿਖੋ।
ਔਸਤ ਅਤੇ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡਿਵੀਏਸ਼ਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
2011 ਸੀਜ਼ਨ ਲਈ ਇੱਕ ਟੀਮ ਦੀਆਂ ਗੇਮਾਂ ਦੀ ਮਿਆਦ 480 ਅਤੇ 500 ਘੰਟਿਆਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੋਣ ਦੀ ਕੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ?
2011 ਸੀਜ਼ਨ ਲਈ ਇੱਕ ਟੀਮ ਦੀਆਂ ਗੇਮਾਂ ਦੀ ਮਿਆਦ ਲਈ 65ਵਾਂ ਪਰਸੈਂਟਾਈਲ ਕੀ ਹੈ?
ਉਦਾਹਰਨ 5.5
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਨੌਂ ਸਾਲ ਦੇ ਬੱਚੇ ਨੂੰ ਡੋਨਟ ਖਾਣ ਵਿੱਚ 0.5 ਤੋਂ 4 ਮਿੰਟ ਲੱਗਦੇ ਹਨ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਦੋਵੇਂ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। ਮੰਨ ਲਓ X = ਇੱਕ ਨੌਂ ਸਾਲ ਦੇ ਬੱਚੇ ਨੂੰ ਡੋਨਟ ਖਾਣ ਵਿੱਚ ਲੱਗਣ ਵਾਲਾ ਸਮਾਂ, ਮਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ। ਫਿਰ X ~ U(0.5, 4)।
ਸਮੱਸਿਆ
a. ਇਸ ਗੱਲ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕਿ ਇੱਕ ਬੇਤਰਤੀਬੇ ਚੁਣਿਆ ਗਿਆ ਨੌਂ ਸਾਲਾਂ ਦਾ ਬੱਚਾ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਦੋ ਮਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਡੋਨਟ ਖਾਂਦਾ ਹੈ, _______ ਹੈ।
ਹੱਲ
a. 0.5714
ਸਮੱਸਿਆ
b. ਇਸ ਗੱਲ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪਤਾ ਕਰੋ ਕਿ ਇੱਕ ਵੱਖਰਾ ਨੌਂ ਸਾਲਾਂ ਦਾ ਬੱਚਾ ਦੋ ਮਿੰਟਾਂ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਡੋਨਟ ਖਾਂਦਾ ਹੈ, ਇਹ ਦਿੱਤਾ ਹੋਇਆ ਹੈ ਕਿ ਬੱਚਾ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ 1.5 ਮਿੰਟਾਂ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸਮੇਂ ਤੋਂ ਡੋਨਟ ਖਾ ਰਿਹਾ ਹੈ।
ਦੂਜਾ ਸਵਾਲ ਇੱਕ ਸ਼ਰਤੀਆ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ। ਤੁਹਾਨੂੰ ਇਸ ਗੱਲ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿਹਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਨੌਂ ਸਾਲਾਂ ਦਾ ਬੱਚਾ ਦੋ ਮਿੰਟਾਂ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਡੋਨਟ ਖਾਂਦਾ ਹੈ, ਇਹ ਦਿੱਤਾ ਹੋਇਆ ਹੈ ਕਿ ਬੱਚਾ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ 1.5 ਮਿੰਟਾਂ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸਮੇਂ ਤੋਂ ਡੋਨਟ ਖਾ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਦੋ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਹੱਲ ਕਰੋ (ਉਦਾਹਰਨ 5.3 ਦੇਖੋ)। ਤੁਹਾਨੂੰ ਨਮੂਨਾ ਸਪੇਸ ਨੂੰ ਘਟਾਉਣਾ ਪਵੇਗਾ। ਪਹਿਲਾ ਤਰੀਕਾ: ਕਿਉਂਕਿ ਤੁਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹੋ ਕਿ ਬੱਚਾ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ 1.5 ਮਿੰਟਾਂ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸਮੇਂ ਤੋਂ ਡੋਨਟ ਖਾ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਤੁਸੀਂ ਹੁਣ a = 0.5 ਮਿੰਟ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਨਹੀਂ ਕਰ ਰਹੇ ਹੋ। ਤੁਹਾਡਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ 1.5 ਮਿੰਟ ਹੈ।
ਇੱਕ ਨਵਾਂ f(x) ਲਿਖੋ:
P(x > 2|x > 1.5) ਪਤਾ ਕਰੋ। ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਹੱਲ
b. 4545
ਇਸ ਗੱਲ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕਿ ਇੱਕ ਨੌਂ ਸਾਲਾਂ ਦਾ ਬੱਚਾ ਦੋ ਮਿੰਟਾਂ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਡੋਨਟ ਖਾਂਦਾ ਹੈ, ਇਹ ਦਿੱਤਾ ਹੋਇਆ ਹੈ ਕਿ ਬੱਚਾ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ 1.5 ਮਿੰਟਾਂ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸਮੇਂ ਤੋਂ ਡੋਨਟ ਖਾ ਰਿਹਾ ਹੈ, 4545 ਹੈ।
ਦੂਜਾ ਤਰੀਕਾ: X ~ U(0.5, 4) ਲਈ ਅਸਲ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। ਸ਼ਰਤੀਆ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਰਤੋ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 5.5
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਦੁਆਰਾ ਇੱਕ ਕਵਿਜ਼ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਲੱਗਣ ਵਾਲਾ ਸਮਾਂ ਛੇ ਅਤੇ 15 ਮਿੰਟਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ, ਸ਼ਾਮਲ, ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ X = ਸਮਾਂ, ਮਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ, ਜੋ ਇੱਕ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਨੂੰ ਕਵਿਜ਼ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਲੱਗਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ X ~ U(6, 15)।
ਇਸ ਗੱਲ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪਤਾ ਕਰੋ ਕਿ ਇੱਕ ਬੇਤਰਤੀਬੇ ਚੁਣੇ ਗਏ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਨੂੰ ਕਵਿਜ਼ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਲਈ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਅੱਠ ਮਿੰਟਾਂ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਫਿਰ ਇਸ ਗੱਲ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪਤਾ ਕਰੋ ਕਿ ਇੱਕ ਵੱਖਰੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਨੂੰ ਕਵਿਜ਼ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਲਈ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਅੱਠ ਮਿੰਟਾਂ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ, ਇਹ ਦਿੱਤਾ ਹੋਇਆ ਹੈ ਕਿ ਉਸਨੇ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਸੱਤ ਮਿੰਟਾਂ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸਮਾਂ ਲਿਆ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.6
ਏਸ ਹੀਟਿੰਗ ਅਤੇ ਏਅਰ ਕੰਡੀਸ਼ਨਿੰਗ ਸਰਵਿਸ ਨੂੰ ਪਤਾ ਲੱਗਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਮੁਰੰਮਤ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਨੂੰ ਫਰਨੇਸ ਨੂੰ ਠੀਕ ਕਰਨ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦਾ ਸਮਾਂ 1.5 ਅਤੇ ਚਾਰ ਘੰਟਿਆਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ x = ਫਰਨੇਸ ਨੂੰ ਠੀਕ ਕਰਨ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦਾ ਸਮਾਂ। ਫਿਰ x ~ U(1.5, 4)।
ਸਮੱਸਿਆ
ਇਸ ਗੱਲ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪਤਾ ਕਰੋ ਕਿ ਇੱਕ ਬੇਤਰਤੀਬੇ ਚੁਣੇ ਗਏ ਫਰਨੇਸ ਦੀ ਮੁਰੰਮਤ ਲਈ ਦੋ ਘੰਟਿਆਂ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸਮਾਂ ਲੱਗਦਾ ਹੈ।
ਇਸ ਗੱਲ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪਤਾ ਕਰੋ ਕਿ ਇੱਕ ਬੇਤਰਤੀਬੇ ਚੁਣੇ ਗਏ ਫਰਨੇਸ ਦੀ ਮੁਰੰਮਤ ਲਈ ਤਿੰਨ ਘੰਟਿਆਂ ਤੋਂ ਘੱਟ ਸਮਾਂ ਲੱਗਦਾ ਹੈ।
ਫਰਨੇਸ ਮੁਰੰਮਤ ਸਮੇਂ ਦਾ 30ਵਾਂ ਪਰਸੈਂਟਾਈਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਫਰਨੇਸ ਮੁਰੰਮਤ ਸਮੇਂ ਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਲੰਬੇ 25 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਲਈ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਕਿੰਨਾ ਸਮਾਂ ਲੱਗਦਾ ਹੈ? (ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ: ਸਭ ਤੋਂ ਲੰਬੇ 25 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਮੁਰੰਮਤ ਸਮੇਂ ਲਈ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਸਮਾਂ ਪਤਾ ਕਰੋ।) ਇਹ ਕਿਹੜਾ ਪਰਸੈਂਟਾਈਲ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ?
ਔਸਤ ਅਤੇ ਮਿਆਰੀ ਵਿਵਲਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
Solution
a. To find f(x): f (x) = 1 4 − 1.5 1 4 − 1.5 = 1 2.5 1 2.5 so f(x) = 0.4
P(x > 2) = (base)(height) = (4 – 2)(0.4) = 0.8
Figure 5.18: Uniform distribution between 1.5 and four with shaded area between two and four representing the probability that the repair time x is greater than two
Solution
b. P(x < 3) = (base)(height) = (3 – 1.5)(0.4) = 0.6
The graph of the rectangle showing the entire distribution would remain the same. However the graph should be shaded between x = 1.5 and x = 3. Note that the shaded area starts at x = 1.5 rather than at x = 0. Because X ~ U(1.5, 4), x cannot be less than 1.5.
Figure 5.19: Uniform distribution between 1.5 and four with shaded area between 1.5 and three representing the probability that the repair time x is less than three
Solution
c.
Figure 5.20: Uniform distribution between 1.5 and 4 with an area of 0.30 shaded to the left, representing the shortest 30 percent of repair times.
P (x < k) = 0.30 P(x < k) = (base)(height) = (k – 1.5)(0.4) 0.3 = (k – 1.5) (0.4); Solve to find k: 0.75 = k – 1.5, obtained by dividing both sides by 0.4 k = 2.25 , obtained by adding 1.5 to both sides The 30th percentile of repair times is 2.25 hours. 30 percent of repair times are 2.5 hours or less.
Solution
d.
Figure 5.21: Uniform distribution between 1.5 and 4 with an area of 0.25 shaded to the right representing the longest 25 percent of repair times.
P(x > k) = 0.25 P(x > k) = (base)(height) = (4 – k)(0.4) 0.25 = (4 – k)(0.4); Solve for k: 0.625 = 4 − k, obtained by dividing both sides by 0.4 −3.375 = −k, obtained by subtracting four from both sides: k = 3.375 The longest 25 percent of furnace repairs take at least 3.375 hours (3.375 hours or longer). Note: Since 25 percent of repair times are 3.375 hours or longer, that means that 75 percent of repair times are 3.375 hours or less. 3.375 hours is the 75th percentile of furnace repair times.
Solution
e. μ= a+b 2 μ= a+b 2 and σ= (b−a) 2 12 σ= (b−a) 2 12 μ 1.5+4 2 2.75 μ1.5+4 22.75 hours and σ= (4–1.5) 2 12 =0.7217 σ= (4–1.5) 2 12 =0.7217 hours
Try It 5.6
The amount of time a service technician needs to change the oil in a car is uniformly distributed between 11 and 21 minutes. Let X = the time needed to change the oil on a car.
Write the random variable X in words. X = __________________.
Write the distribution.
Graph the distribution.
Find P (x > 19).
50ਵੇਂ ਪਰਸੈਂਟਾਈਲ ਨੂੰ ਲੱਭੋ।