ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿੱਚ ਛਾਂਦਿਆ ਹੋਇਆ ਖੇਤਰ x ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਖੇਤਰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਖੇਤਰ ਅੰਤਿਮ ਪ੍ਰੀਖਿਆ 'ਤੇ ਇੱਕ ਖਾਸ ਗ੍ਰੇਡ ਤੋਂ ਘੱਟ ਅੰਕ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੀ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤਤਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਖੇਤਰ ਸੰਭਾਵਨਾ P(X < x) ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। P(X < x) ਸੰਭਾਵਨਾ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਨ ਜਾਂ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਨਾਰਮਲ ਟੇਬਲ, ਕੰਪਿਊਟਰ ਅਤੇ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਖੇਤਰ ਫਿਰ P(X > x) = 1 – P(X < x) ਹੈ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ, P(X < x) = x ਰਾਹੀਂ ਖੜ੍ਹੀ ਲਾਈਨ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਖੇਤਰ ਹੈ। P(X < x) = 1 – P(X < x) = x ਰਾਹੀਂ ਖੜ੍ਹੀ ਲਾਈਨ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਖੇਤਰ ਹੈ। ਨਿਰੰਤਰ ਵੰਡਾਂ ਲਈ P(X < x) P(X ≤ x) ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ ਅਤੇ P(X > x) P(X ≥ x) ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ।
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਉਪਰੋਕਤ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਅੰਤਿਮ ਪ੍ਰੀਖਿਆ 'ਤੇ 75 ਤੋਂ ਘੱਟ ਅੰਕ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੀ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤਤਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ 0.39 ਹੈ। ਇਹ ਇਹ ਵੀ ਦਰਸਾਏਗਾ ਕਿ 75 ਤੋਂ ਵੱਧ ਅੰਕ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੀ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤਤਾ 1 ਘਟਾਓ 0.39 ਜਾਂ 0.61 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੀ।
ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ
ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਤਕਨਾਲੋਜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। TI-83+ ਅਤੇ TI-84 ਕੈਲਕੂਲੇਟਰਾਂ ਲਈ ਲੋੜ ਅਨੁਸਾਰ ਹਦਾਇਤਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ।
NOTE
ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਤਕਨਾਲੋਜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਅਨੁਬੰਧ H ਟੇਬਲਾਂ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸੰਭਾਵਨਾ ਟੇਬਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਟੇਬਲਾਂ ਵਿੱਚ ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਕਰਨੀ ਹੈ, ਇਸ ਬਾਰੇ ਹਦਾਇਤਾਂ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ।
ਸੰਭਾਵਨਾ ਨੂੰ ਆਮ ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਸੰਭਾਵਨਾ ਲੱਭਣ ਲਈ, z-ਸਕੋਰ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ ਅਤੇ z-ਕਾਲਮ ਦੇ ਹੇਠਾਂ z-ਟੇਬਲ ਵਿੱਚ z-ਸਕੋਰ ਨੂੰ ਦੇਖੋ। ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ z-ਟੇਬਲ z ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਆਮ ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਹੋਰ ਮੀਨ ਤੋਂ z ਖੇਤਰ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਵਰਤੀ ਗਈ ਵਿਧੀ ਟੇਬਲ 'ਤੇ ਦਰਸਾਈ ਜਾਵੇਗੀ।
ਅਸੀਂ z-ਟੇਬਲ 'ਤੇ ਚਰਚਾ ਕਰਾਂਗੇ ਜੋ z ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਆਮ ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਵਾਰ ਜਦੋਂ ਤੁਸੀਂ z-ਸਕੋਰ ਲੱਭ ਲੈਂਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਸੰਬੰਧਿਤ ਖੇਤਰ ਲੱਭੋ। ਇਹ z-ਸਕੋਰ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਆਮ ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰ ਹੋਵੇਗਾ। ਇਸ ਖੇਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ z-ਸਕੋਰ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਖੇਤਰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਜਾਂ 1 ਜਾਂ ਆਮ ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਕੁੱਲ ਖੇਤਰ ਤੋਂ ਘਟਾ ਕੇ। ਇਹਨਾਂ ਖੇਤਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਦੋ z-ਸਕੋਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਖੇਤਰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਵੀ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.7
ਜੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਖੇਤਰ 0.0228 ਹੈ, ਤਾਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਖੇਤਰ 1 – 0.0228 = 0.9772 ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 6.7
ਜੇ x ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਖੇਤਰ 0.012 ਹੈ, ਤਾਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਖੇਤਰ ਕੀ ਹੈ?
ਉਦਾਹਰਨ 6.8
ਇੱਕ ਅੰਕੜਾ ਕਲਾਸ ਵਿੱਚ ਅੰਤਿਮ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਦੇ ਅੰਕ 63 ਦੇ ਮੀਨ ਅਤੇ ਪੰਜ ਦੇ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੇਵੀਏਸ਼ਨ ਨਾਲ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵੰਡੇ ਗਏ ਸਨ।
ਸਮੱਸਿਆ
a. ਸੰਭਾਵਨਾ ਪਤਾ ਕਰੋ ਕਿ ਬੇਤਰਤੀਬੇ ਚੁਣੇ ਗਏ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਨੇ ਪ੍ਰੀਖਿਆ 'ਤੇ 65 ਤੋਂ ਵੱਧ ਅੰਕ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੇ।
ਹੱਲ
a. ਮੰਨ ਲਓ X = ਅੰਤਿਮ ਪ੍ਰੀਖਿਆ 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਕੋਰ। X ~ N(63, 5), ਜਿੱਥੇ μ = 63 ਅਤੇ σ = 5।
ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
z-ਸਕੋਰ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ:
z-ਟੇਬਲ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ z ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਖੇਤਰ 0.6554 ਹੈ। ਇਸ ਖੇਤਰ ਨੂੰ 1 ਤੋਂ ਘਟਾਉਣ 'ਤੇ 0.3446 ਮਿਲਦਾ ਹੈ।
ਫਿਰ, P(x > 65) ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਕਿਸੇ ਵੀ ਬੇਤਰਤੀਬੇ ਚੁਣੇ ਗਏ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਦੇ 65 ਤੋਂ ਵੱਧ ਅੰਕ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ 0.3446 ਹੈ।
TI-83, 83+, 84, 84+ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
2.DIST. ਦਬਾਉਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, 2:normalcdf ਦਬਾਓ।
2. ਹਦਾਇਤਾਂ ਦਾ ਸਿੰਟੈਕਸ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੈ:
2. normalcdf(ਹੇਠਲੀ ਕੀਮਤ, ਉੱਪਰਲੀ ਕੀਮਤ, ਮੱਧਮਾਨ, ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਾਰ) ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਲਈ: normalcdf(65,1E99,63,5) = 0.3446। ਤੁਸੀਂ 1E99 (= 10^99) 1 ਦਬਾ ਕੇ, EE ਕੀ—ਇੱਕ ਦੂਜੀ ਕੀ—ਅਤੇ ਫਿਰ 99 ਦਬਾ ਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹੋ। ਜਾਂ, ਤੁਸੀਂ 10^99 ਵੀ ਦਰਜ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ। ਸੰਖਿਆ 10^99 ਆਮ ਵਕਰ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਬਹੁਤ ਦੂਰ ਹੈ। ਅਸੀਂ 65 ਅਤੇ 10^99 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦੇ ਖੇਤਰ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਕੁਝ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਖੇਤਰ ਦੀ ਹੇਠਲੀ ਸੰਖਿਆ –1E99 (= –10^99) ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਸੰਖਿਆ –10^99 ਆਮ ਵਕਰ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਬਹੁਤ ਦੂਰ ਹੈ। ਅਸੀਂ 99 ਦੇ ਘਾਤ ਦੀ ਚੋਣ ਕੀਤੀ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਇੰਨੀ ਵੱਡੀ ਸੰਖਿਆ ਪੈਦਾ ਕਰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਵਾਜਬ ਤੌਰ 'ਤੇ ਉਮੀਦ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਸਾਰੀਆਂ ਕੀਮਤਾਂ ਇਸ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੋਣਗੀਆਂ। ਇਹ ਇੱਕ ਮਨਮਾਨੀ ਕੀਮਤ ਹੈ ਅਤੇ ਸਾਡੇ ਉਦੇਸ਼ ਲਈ ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕੰਮ ਕਰਦੀ ਹੈ।
4. ਇਤਿਹਾਸਕ ਨੋਟ
5. TI ਸੰਭਾਵਨਾ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਇੱਕ z-ਸਕੋਰ ਅਤੇ ਫਿਰ z-ਸਕੋਰ ਤੋਂ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਤਕਨਾਲੋਜੀ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, z-ਸਕੋਰ ਇੱਕ ਮਿਆਰੀ ਆਮ ਸੰਭਾਵਨਾ ਸਾਰਣੀ, ਜਿਸਨੂੰ Z-ਸਾਰਣੀ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਵਿੱਚ ਦੇਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਸੀ—ਸੰਭਾਵਨਾ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸ਼ਾਮਲ ਗਣਿਤ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹੈ। ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, z-ਸਕੋਰ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਖੇਤਰ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਮਿਆਰੀ ਆਮ ਸਾਰਣੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸੀ। ਤੁਸੀਂ z-ਸਕੋਰ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹੋ ਅਤੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹੋ। ਸੰਭਾਵਨਾ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਖੇਤਰ ਹੈ।
6. ਸਮੱਸਿਆ
7. ਬੀ. ਇਸ ਗੱਲ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪਤਾ ਕਰੋ ਕਿ ਬੇਤਰਤੀਬ ਢੰਗ ਨਾਲ ਚੁਣਿਆ ਗਿਆ ਵਿਦਿਆਰਥੀ 85 ਤੋਂ ਘੱਟ ਅੰਕ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦਾ ਹੈ।
8. ਹੱਲ
9. ਬੀ. ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
10. ਫਿਰ P(x < 85) ਪਤਾ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਸ਼ੇਡ ਕਰੋ।
11. ਕੰਪਿਊਟਰ ਜਾਂ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, P(x < 85) = 1 ਪਤਾ ਕਰੋ।
12. normalcdf(0,85,63,5) = 1 (ਇੱਕ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕੀਤਾ ਗਿਆ)
13. ਇੱਕ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਦੇ 85 ਤੋਂ ਘੱਟ ਅੰਕ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਲਗਭਗ ਇੱਕ, ਜਾਂ 100 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਹੈ।
14. ਸਮੱਸਿਆ
15. ਸੀ. 90ਵੀਂ ਪਰਸੈਂਟਾਈਲ ਪਤਾ ਕਰੋ, —ਯਾਨੀ, ਉਹ ਅੰਕ k ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿਸਦੇ ਹੇਠਾਂ 90 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਅੰਕ ਹੋਣ ਅਤੇ ਜਿਸਦੇ ਉੱਪਰ 10 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਅੰਕ ਹੋਣ।
16. ਹੱਲ
17. ਸੀ. 90ਵੀਂ ਪਰਸੈਂਟਾਈਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਹਰ ਸਮੱਸਿਆ ਜਾਂ ਸਮੱਸਿਆ ਦੇ ਹਿੱਸੇ ਲਈ, ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। x-ਧੁਰਾ ਬਣਾਓ। 90ਵੀਂ ਪਰਸੈਂਟਾਈਲ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰੀ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਸ਼ੇਡ ਕਰੋ। ਇਸ ਵਾਰ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਅੰਕ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹਾਂ ਜੋ ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਖੇਤਰ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰੀ ਹੈ।
18. ਮੰਨ ਲਓ k = 90ਵੀਂ ਪਰਸੈਂਟਾਈਲ। ਵੇਰੀਏਬਲ k x-ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ। P(x < k) ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਖੇਤਰ ਹੈ। 90ਵੀਂ ਪਰਸੈਂਟਾਈਲ k ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਦੇ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਉਹਨਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਦੀ ਹੈ ਜੋ k ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਜਾਂ ਘੱਟ ਹਨ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਵਿੱਚ ਜੋ k ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਜਾਂ ਵੱਧ ਹਨ। ਨੱਬੇ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਦੇ ਅੰਕ k ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਜਾਂ ਘੱਟ ਹਨ, ਅਤੇ ਦਸ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਬਰਾਬਰ ਜਾਂ ਵੱਧ ਹਨ। ਵੇਰੀਏਬਲ k ਨੂੰ ਅਕਸਰ ਇੱਕ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਵੈਲਿਊ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
19. ਅਸੀਂ ਮੱਧਮਾਨ, ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਾਰ, ਅਤੇ ਆਮ ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ। ਸਾਨੂੰ 0.9 ਦੇ ਖੇਤਰ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰੀ z-ਸਕੋਰ ਪਤਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਅਤੇ ਫਿਰ ਇਸਨੂੰ ਮੱਧਮਾਨ ਅਤੇ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਾਰ ਨਾਲ, ਸਾਡੇ z-ਸਕੋਰ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣਾ ਹੈ। z-ਸਾਰਣੀ z-ਸਕੋਰ ਲਗਭਗ 1.28 ਦਿਖਾਉਂਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ z (ਵੱਡਾ ਹਿੱਸਾ) ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਆਮ ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਲਗਭਗ 0.9 ਦੇ ਖੇਤਰ ਲਈ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
20. ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ 5 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ 'ਤੇ
21. ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਵਿੱਚ 63 ਜੋੜਨ 'ਤੇ
22. ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸਾਡਾ ਅੰਕ, k, 69.4 ਹੈ।
23. 90ਵੀਂ ਪਰਸੈਂਟਾਈਲ 69.4 ਹੈ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ 90 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਦੇ ਅੰਕ 69.4 ਜਾਂ ਇਸ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹਨ ਅਤੇ 10 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ 69.4 ਜਾਂ ਇਸ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹਨ। ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ 'ਤੇ ਇਹ ਜਵਾਬ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਗਲਾ ਕਦਮ ਚੁੱਕੋ:
24. TI-83, 83+, 84, 84+ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ
invNorm in 2nd DISTR. invNorm(area to the left, mean, standard deviation) For this problem, invNorm(0.90,63,5) = 69.4
Problem
d. Find the 70th percentile, —that is, find the score k such that 70 percent of scores are below k and 30 percent of the scores are above k.
Solution
d. Find the 70th percentile.
Draw a new graph and label it appropriately. k = 65.6
The 70th percentile is 65.6. This means that 70 percent of the test scores fall at or below 65.5 and 30 percent fall at or above.
invNorm(0.70,63,5) = 65.6
Try It 6.8
The golf scores for a school team were normally distributed with a mean of 68 and a standard deviation of three.
Find the probability that a randomly selected golfer scored less than 65.
Example 6.9
A personal computer is used for office work at home, research, communication, personal finances, education, entertainment, social networking, and a myriad of other things. Suppose that the average number of hours a household personal computer is used for entertainment is two hours per day. Assume the times for entertainment are normally distributed and the standard deviation for the times is half an hour.
Problem
a. Find the probability that a household personal computer is used for entertainment between 1.8 and 2.75 hours per day.
Solution
a. Let X = the amount of time, in hours, a household personal computer is used for entertainment. X ~ N(2, 0.5) where μ = 2 and σ = 0.5.
Find P(1.8 < x < 2.75).
First, calculate the z-scores for each x-value.
z= 1.8−2 0.5 = −0.2 0.5 =−0.40 z= 2.75−2 0.5 = 0.75 0.5 =1.5 z= 1.8−2 0.5 = −0.2 0.5 =−0.40 z= 2.75−2 0.5 = 0.75 0.5 =1.5
Now, use the Z-table to locate the area under the normal curve to the left of each of these z-scores.
The area to the left of the z-score of −0.40 is 0.3446. The area to the left of the z-score of 1.5 is 0.9332. The area between these scores will be the difference in the two areas, or 0.9332−0.3446 0.9332−0.3446, which equals 0.5886.
normalcdf(1.8,2.75,2,0.5) = 0.5886
The probability that a household personal computer is used between 1.8 and 2.75 hours per day for entertainment is 0.5886.
Problem
b. Find the maximum number of hours per day that the bottom quartile of households uses a personal computer for entertainment.
Solution
b. To find the maximum number of hours per day that the bottom quartile of households uses a personal computer for entertainment, find the 25th percentile, k, where P(x < k) = 0.25.
invNorm(0.25,2,0.5) = 1.66
We use invNorm because we are looking for the k-value.
The maximum number of hours per day that the bottom quartile of households uses a personal computer for entertainment is 1.66 hours.
Try It 6.9
The golf scores for a school team were normally distributed with a mean of 68 and a standard deviation of three. Find the probability that a golfer scored between 66 and 70.
Example 6.10
In the United States smartphone users between the ages of 13 and 55+ approximately follow a normal distribution with approximate mean and standard deviation of 36.9 years and 13.9 years, respectively.
Problem
a. Determine the probability that a random smartphone user in the age range 13 to 55+ is between 23 and 64.7 years old.
Solution
a. normalcdf(23,64.7,36.9,13.9) = 0.8186
The z-scores are calculated as
z= 23−36.9 13.9 = −13.9 13.9 =−1 z= 64.7−36.9 13.9 = 27.8 13.9 =2 z= 23−36.9 13.9 = −13.9 13.9 =−1 z= 64.7−36.9 13.9 = 27.8 13.9 =2
The Z-table shows the area to the left of a z-score with an absolute value of 1 to be 0.1587. It shows the area to the left of a z-score of 2 to be 0.9772. The difference in the two areas is 0.8185.
This is slightly different than the area given by the calculator, due to rounding.
Problem
b. Determine the probability that a randomly selected smartphone user in the age range 13 to 55+ is at most 50.8 years old.
Solution
b. normalcdf(–1099,50.8,36.9,13.9) = 0.8413
Problem
c. Find the 80th percentile of this distribution, and interpret it in a complete sentence.
Solution
c.
invNorm(0.80,36.9,13.9) = 48.6
The 80th percentile is 48.6 years.
80 percent of the smartphone users in the age range 13–55+ are 48.6 years old or less.
Try It 6.10
Use the information in Example 6.10 to answer the following questions:
Find the 30th percentile, and interpret it in a complete sentence.
What is the probability that the age of a randomly selected smartphone user in the range 13 to 55+ is less than 27 years old?
Example 6.11
In the United States the ages 13 to 55+ of smartphone users approximately follow a normal distribution with approximate mean and standard deviation of 36.9 years and 13.9 years, respectively. Using this information, answer the following questions. —Round answers to one decimal place.
Problem
a. Calculate the interquartile range (IQR).
Solution
a.
IQR = Q3 – Q1
Calculate Q3 = 75th percentile and Q1 = 25th percentile.
Recall that we can use invNorm to find the k-value. We can use this to find the quartile values.
invNorm(0.75,36.9,13.9) = Q3 = 46.2754
invNorm(0.25,36.9,13.9) = Q1 = 27.5246
IQR = Q3 – Q1 = 18.8
Problem
b. Forty percent of the ages that range from 13 to 55+ are at least what age?
Solution
b.
Find k where P(x ≥ k) = 0.40. At least translates to greater than or equal to.
0.40 = the area to the right
The area to the left = 1 – 0.40 = 0.60.
The area to the left of k = 0.60
invNorm(0.60,36.9,13.9) = 40.4215
k = 40.4.
Forty percent of the ages that range from 13 to 55+ are at least 40.4 years.
Try It 6.11
Two thousand students took an exam. The scores on the exam have an approximate normal distribution with a mean μ = 81 points and standard deviation σ = 15 points.
Calculate the first- and third-quartile scores for this exam.
The middle 50 percent of the exam scores are between what two values?
Example 6.12
A citrus farmer who grows mandarin oranges finds that the diameters of mandarin oranges harvested on his farm follow a normal distribution with a mean diameter of 5.85 cm and a standard deviation of 0.24 cm.
Problem
a. Find the probability that a randomly selected mandarin orange from this farm has a diameter larger than 6.0 cm. Sketch the graph.
Solution
a. normalcdf(6,10^99,5.85,0.24) = 0.2660
Problem
b. The middle 20 percent of mandarin oranges from this farm have diameters between ______ and ______.
Solution
b.
1 – 0.20 = 0.80. Outside of the middle 20 percent will be 80 percent of the values.
ਸਾਧਾਰਨ ਵੰਡ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀਆਂ ਪੂਛਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰ ਇੱਕ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ 0.40 ਹੈ।
k1, 40ਵੇਂ ਪਰਸੈਂਟਾਈਲ, ਅਤੇ k2, 60ਵੇਂ ਪਰਸੈਂਟਾਈਲ (0.40 + 0.20 = 0.60) ਲੱਭੋ। ਇਹ ਵੰਡ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ, ਵਿਚਕਾਰਲੇ 20 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਨੂੰ ਛੱਡ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
k1 = invNorm(0.40,5.85,0.24) = 5.79 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ
k2 = invNorm(0.60,5.85,0.24) = 5.91 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ
ਇਸ ਲਈ, ਸੰਤਰੇ ਦੇ ਦਰਮਿਆਨਲੇ 20 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਦਾ ਵਿਆਸ 5.79 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਅਤੇ 5.91 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੈ।
ਸਮੱਸਿਆ
c. ਸੰਤਰੇ ਦੇ ਵਿਆਸਾਂ ਦਾ 90ਵਾਂ ਪਰਸੈਂਟਾਈਲ ਲੱਭੋ, ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਵਾਕ ਵਿੱਚ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
c. 6.16, ਸੰਤਰੇ ਦੇ ਵਿਆਸ ਦਾ ਨੱਬੇ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ 6.16 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 6.12
ਉਦਾਹਰਨ 6.12 ਤੋਂ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਦਾ ਜਵਾਬ ਦਿਓ:
ਇਸ ਖੇਤ ਦੇ ਸੰਤਰੇ ਦਾ ਵਿਚਕਾਰਲਾ 45 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ______ ਅਤੇ ______ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੈ।
16ਵਾਂ ਪਰਸੈਂਟਾਈਲ ਲੱਭੋ, ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਵਾਕ ਵਿੱਚ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।