ਮਿਆਰੀ ਆਮ ਵੰਡ ਇੱਕ ਕਿਸਮ ਦੀ ਆਮ ਵੰਡ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਮੱਧਮਾਨ 0 ਅਤੇ ਮਿਆਰੀ ਵਿਚਲਨ 1 ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਮਿਆਰੀ ਸਕੋਰਾਂ ਦੀ ਵੰਡ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ z-ਸਕੋਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਕੱਚੇ ਸਕੋਰਾਂ (ਅਸਲ ਡਾਟਾ ਮੁੱਲ) ਦੇ ਉਲਟ। ਇੱਕ z-ਸਕੋਰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਸਕੋਰ ਮੱਧਮਾਨ ਤੋਂ ਕਿੰਨੇ ਮਿਆਰੀ ਵਿਚਲਨ ਉੱਪਰ ਜਾਂ ਹੇਠਾਂ ਹੈ। z-ਸਕੋਰ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਡਾਟਾ ਸੈੱਟਾਂ ਵਿੱਚ, ਵੱਖ-ਵੱਖ ਮੱਧਮਾਨਾਂ ਅਤੇ ਮਿਆਰੀ ਵਿਚਲਨਾਂ ਵਾਲੇ ਸਕੋਰਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। ਸੇਬਾਂ ਅਤੇ ਸੰਤਰਿਆਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰਨਾ ਅਰਥਹੀਣ ਹੋਵੇਗਾ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਵੱਖ-ਵੱਖ ਮੱਧਮਾਨਾਂ ਅਤੇ ਮਿਆਰੀ ਵਿਚਲਨਾਂ ਵਾਲੇ ਦੋ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਨਮੂਨਿਆਂ ਦੇ ਸਕੋਰਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰਨਾ ਅਰਥਹੀਣ ਹੈ। ਮਿਆਰੀ ਆਮ ਵੰਡ ਦੇ Z-ਟੇਬਲ ਵਿੱਚ z-ਸਕੋਰ ਦੇਖੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਜੋ ਇੱਕ ਸਕੋਰ ਅਤੇ ਮੱਧਮਾਨ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ, ਦੋ ਸਕੋਰਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ, ਜਾਂ ਇੱਕ ਸਕੋਰ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਜਾਂ ਹੇਠਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਲੱਭਿਆ ਜਾ ਸਕੇ। ਮਿਆਰੀ ਆਮ ਵੰਡ ਸਾਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਸਕੋਰਾਂ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਟੇਬਲ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦੀ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਡਾਟਾ ਸੈੱਟਾਂ ਲਈ, ਭਾਵੇਂ ਮੱਧਮਾਨ ਜਾਂ ਮਿਆਰੀ ਵਿਚਲਨ ਕੁਝ ਵੀ ਹੋਵੇ, ਆਮ ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ।
ਇੱਕ z-ਸਕੋਰ ਦੀ ਗਣਨਾ z = x−μ σ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਸਕੋਰ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨੂੰ ਅਲਜਬਰਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅਤੇ x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਕੇ ਲੱਭਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ σ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ 'ਤੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ: (z)(σ) = x−μ। ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਵਿੱਚ μ ਜੋੜਨ 'ਤੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ: μ + (z)(σ) = x।
ਮੰਨ ਲਓ ਸਾਡੇ ਕੋਲ 5 ਦੇ ਮੱਧਮਾਨ ਅਤੇ 2 ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਵਿਚਲਨ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਡਾਟਾ ਸੈੱਟ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 11 ਦਾ ਸਕੋਰ ਮੱਧਮਾਨ ਤੋਂ ਕਿੰਨੇ ਮਿਆਰੀ ਵਿਚਲਨ ਉੱਪਰ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਜਵਾਬ (ਜਾਂ z-ਸਕੋਰ) ਨੂੰ ਲਿਖ ਕੇ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
ਜਾਂ
ਅਸੀਂ z ਲਈ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਅਸੀਂ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਹੈ ਕਿ 11 ਦਾ ਸਕੋਰ 5 ਦੇ ਮੱਧਮਾਨ ਤੋਂ 3 ਮਿਆਰੀ ਵਿਚਲਨ ਉੱਪਰ ਹੈ।
ਮਿਆਰੀ ਆਮ ਵੰਡ ਦੇ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਵੰਡ ਨੂੰ Z ~ N(0, 1) ਲਿਖ ਕੇ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਆਮ ਵੰਡ ਦਾ ਮੱਧਮਾਨ 0 ਅਤੇ ਮਿਆਰੀ ਵਿਚਲਨ 1 ਹੈ। ਇਹ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਸਿਰਫ਼ ਇਹ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਮਿਆਰੀ ਆਮ ਵੰਡ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਰਹੀ ਹੈ।
Z-ਸਕੋਰ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਪਹਿਲਾਂ ਦੱਸਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਜੇਕਰ X ਇੱਕ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵੰਡਿਆ ਗਿਆ ਰੈਂਡਮ ਵੇਰੀਏਬਲ ਹੈ ਅਤੇ X ~ N(μ, σ), ਤਾਂ z-ਸਕੋਰ ਹੈ
z-ਸਕੋਰ ਤੁਹਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਮੁੱਲ x, ਮੱਧਮਾਨ μ ਤੋਂ ਕਿੰਨੇ ਮਿਆਰੀ ਵਿਚਲਨ ਉੱਪਰ, ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ, ਜਾਂ ਹੇਠਾਂ, ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਹੈ। x ਦੇ ਮੁੱਲ ਜੋ ਮੱਧਮਾਨ ਤੋਂ ਵੱਡੇ ਹਨ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ z-ਸਕੋਰ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ x ਦੇ ਮੁੱਲ ਜੋ ਮੱਧਮਾਨ ਤੋਂ ਛੋਟੇ ਹਨ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ z-ਸਕੋਰ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਜੇਕਰ x ਮੱਧਮਾਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਤਾਂ x ਦਾ z-ਸਕੋਰ ਜ਼ੀਰੋ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਜਦੋਂ ਕਿਸੇ ਆਮ ਵੰਡ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮੱਧਮਾਨ ਅਤੇ ਮਿਆਰੀ ਵਿਚਲਨ ਦੇ ਨਾਲ, ਲਈ x-ਮੁੱਲ ਦਾ z-ਸਕੋਰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਆਮ ਵੰਡ ਲਈ ਉਪਰੋਕਤ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦਿੱਤਾ ਜਾਵੇਗਾ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.1
ਮੰਨ ਲਓ X ~ N(5, 6)। ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ X ਇੱਕ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵੰਡਿਆ ਗਿਆ ਰੈਂਡਮ ਵੇਰੀਏਬਲ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਮੱਧਮਾਨ μ = 5 ਅਤੇ ਮਿਆਰੀ ਵਿਚਲਨ σ = 6 ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ x = 17। ਫਿਰ,
ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ x = 17, ਮੱਧਮਾਨ μ = 5 ਤੋਂ ਦੋ ਮਿਆਰੀ ਵਿਚਲਨ (2σ) ਉੱਪਰ, ਜਾਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਹੈ।
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ 5 + (2)(6) = 17। ਪੈਟਰਨ ਹੈ μ + zσ = x।
ਹੁਣ ਮੰਨ ਲਓ x = 1। ਫਿਰ, z = x–μ σ = 1–5 6 = –0.67, ਦੋ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕੀਤਾ ਗਿਆ।
ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ x = 1, ਮੱਧਮਾਨ μ = 5 ਤੋਂ 0.67 ਮਿਆਰੀ ਵਿਚਲਨ (–0.67σ) ਹੇਠਾਂ ਜਾਂ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਹੈ। ਇਹ z-ਸਕੋਰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ x = 1, ਮੱਧਮਾਨ 5 ਤੋਂ 1 ਮਿਆਰੀ ਵਿਚਲਨ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੇਠਾਂ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸਕੋਰ ਮੱਧਮਾਨ ਤੋਂ ਬਹੁਤ ਦੂਰ ਹੇਠਾਂ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਸੰਖੇਪ ਵਿੱਚ, ਜਦੋਂ z ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, x μ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਜਾਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਜਦੋਂ z ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, x μ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਜਾਂ ਹੇਠਾਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜਾਂ, ਜਦੋਂ z ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, x μ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਜਦੋਂ z ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, x μ ਤੋਂ ਛੋਟਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। z ਦਾ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸਕੋਰ ਮੱਧਮਾਨ ਤੋਂ ਕਿੰਨੀ ਦੂਰ ਹੈ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 6.1
x ਦਾ z-ਸਕੋਰ ਕੀ ਹੈ, ਜਦੋਂ x = 1 ਅਤੇ X ~ N(12, 3)?
ਉਦਾਹਰਨ 6.2
ਕੁਝ ਡਾਕਟਰ ਮੰਨਦੇ ਹਨ ਕਿ ਇੱਕ ਵਿਅਕਤੀ ਇੱਕ ਮਹੀਨੇ ਵਿੱਚ ਔਸਤਨ ਪੰਜ ਪੌਂਡ ਗੁਆ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਆਪਣੀ ਚਰਬੀ ਦੀ ਖਪਤ ਘਟਾ ਕੇ ਅਤੇ ਲਗਾਤਾਰ ਕਸਰਤ ਕਰਕੇ। ਮੰਨ ਲਓ ਭਾਰ ਘਟਾਉਣਾ ਇੱਕ ਆਮ ਵੰਡ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ X = ਇੱਕ ਮਹੀਨੇ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵਿਅਕਤੀ ਦੁਆਰਾ ਗੁਆਏ ਗਏ ਭਾਰ ਦੀ ਮਾਤਰਾ, ਪੌਂਡ ਵਿੱਚ। ਦੋ ਪੌਂਡ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਵਿਚਲਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। X ~ N(5, 2)। ਖਾਲੀ ਥਾਵਾਂ ਭਰੋ।
ਸਮੱਸਿਆ
a. ਮੰਨ ਲਓ ਇੱਕ ਵਿਅਕਤੀ ਨੇ ਇੱਕ ਮਹੀਨੇ ਵਿੱਚ 10 ਪੌਂਡ ਗੁਆਏ। ਜਦੋਂ x = 10 ਪੌਂਡ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ z-ਸਕੋਰ z = 2.5 (ਪ੍ਰਮਾਣਿਤ ਕਰੋ) ਹੈ। ਇਹ z-ਸਕੋਰ ਤੁਹਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ x = 10 ਮੱਧਮਾਨ _____ (ਮੱਧਮਾਨ ਕੀ ਹੈ?) ਤੋਂ ________ (ਸੱਜੇ ਜਾਂ ਖੱਬੇ) ________ ਮਿਆਰੀ ਵਿਚਲਨ ਹੈ।
ਹੱਲ
ਇਹ ζ-ਸਕੋਰ ਤੁਹਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ x = 10, ਪੰਜ ਦੇ ਮੱਧਮਾਨ ਤੋਂ 2.5 ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੇਵੀਏਸ਼ਨ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਹੈ।
ਸਮੱਸਿਆ
a. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਵਿਅਕਤੀ ਨੇ ਤਿੰਨ ਪੌਂਡ ਵਜ਼ਨ ਵਧਾਇਆ, ਜੋ ਕਿ ਨੈਗੇਟਿਵ ਵਜ਼ਨ ਘਾਟਾ ਹੈ। ਫਿਰ ζ = _________। ਇਹ ζ-ਸਕੋਰ ਤੁਹਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ x = –3 _________ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੇਵੀਏਸ਼ਨ _________ (ਸੱਜੇ ਜਾਂ ਖੱਬੇ) ਮੱਧਮਾਨ ਤੋਂ ਹੈ।
ਹੱਲ
b. ζ = –4। ਇਹ ζ-ਸਕੋਰ ਤੁਹਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ x = –3, ਮੱਧਮਾਨ ਤੋਂ ਚਾਰ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੇਵੀਏਸ਼ਨ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਹੈ।
ਸਮੱਸਿਆ
c. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਰੈਂਡਮ ਵੇਰੀਏਬਲ X ਅਤੇ Y ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਨਾਰਮਲ ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਸ਼ਨ ਰੱਖਦੇ ਹਨ: X ~ N(5, 6) ਅਤੇ Y ~ N(2, 1)। ਜੇਕਰ x = 17 ਹੈ, ਤਾਂ ζ = 2। ਇਹ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਜੇਕਰ y = 4 ਹੈ, ਤਾਂ ζ ਕੀ ਹੈ?
ਹੱਲ
c. ζ = y−μ σ y−μ σ = 4−2 1 4−2 1 = 2, ਜਿੱਥੇ µ = 2 ਅਤੇ σ = 1।
y = 4 ਲਈ ζ-ਸਕੋਰ ζ = 2 ਹੈ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਚਾਰ, ਮੱਧਮਾਨ ਤੋਂ ζ = 2 ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੇਵੀਏਸ਼ਨ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, x = 17 ਅਤੇ y = 4 ਦੋਵੇਂ ਆਪਣੇ-ਆਪਣੇ ਮੱਧਮਾਨ ਤੋਂ ਦੋ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੇਵੀਏਸ਼ਨ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਹਨ।
ζ-ਸਕੋਰ ਸਾਨੂੰ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਪੈਮਾਨਿਆਂ 'ਤੇ ਡਾਟਾ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਇਜਾਜ਼ਤ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਸੰਕਲਪ ਨੂੰ ਬਿਹਤਰ ਢੰਗ ਨਾਲ ਸਮਝਣ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ X ~ N(5, 6) ਛੇ-ਹਫ਼ਤੇ ਦੀ ਮਿਆਦ ਵਿੱਚ ਵਜ਼ਨ ਵਧਾਉਣ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਲੋਕਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਲਈ ਵਜ਼ਨ ਵਾਧੇ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ Y ~ N(2, 1) ਦੂਜੇ ਸਮੂਹ ਲੋਕਾਂ ਲਈ ਉਸੇ ਵਜ਼ਨ ਵਾਧੇ ਨੂੰ ਮਾਪਦਾ ਹੈ। ਨੈਗੇਟਿਵ ਵਜ਼ਨ ਵਾਧਾ ਵਜ਼ਨ ਘਾਟਾ ਹੋਵੇਗਾ। ਕਿਉਂਕਿ x = 17 ਅਤੇ y = 4 ਦੋਵੇਂ ਆਪਣੇ ਮੱਧਮਾਨ ਤੋਂ ਦੋ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੇਵੀਏਸ਼ਨ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਹਨ, ਉਹ ਆਪਣੇ ਮੱਧਮਾਨ ਦੇ ਮੁਕਾਬਲੇ ਸਮਾਨ, ਮਿਆਰੀ ਵਜ਼ਨ ਵਾਧੇ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 6.2
ਖਾਲੀ ਥਾਵਾਂ ਭਰੋ।
ਜੇਰੋਮ ਪ੍ਰਤੀ ਗੇਮ ਔਸਤਨ 16 ਅੰਕ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੇਵੀਏਸ਼ਨ ਚਾਰ ਅੰਕ ਹੈ। X ~ N(16, 4)। ਮੰਨ ਲਓ ਜੇਰੋਮ ਇੱਕ ਗੇਮ ਵਿੱਚ 10 ਅੰਕ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ x = 10 ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ζ-ਸਕੋਰ –1.5 ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਸਕੋਰ ਤੁਹਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ x = 10, ਮੱਧਮਾਨ ______ ਤੋਂ ______ (ਸੱਜੇ ਜਾਂ ਖੱਬੇ) ______ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੇਵੀਏਸ਼ਨ ਹੈ (ਮੱਧਮਾਨ ਕੀ ਹੈ?)।
ਐਂਪੀਰੀਕਲ ਰੂਲ ਜੇਕਰ X ਇੱਕ ਰੈਂਡਮ ਵੇਰੀਏਬਲ ਹੈ ਅਤੇ ਮੱਧਮਾਨ µ ਅਤੇ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੇਵੀਏਸ਼ਨ σ ਦੇ ਨਾਲ ਇੱਕ ਨਾਰਮਲ ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਸ਼ਨ ਰੱਖਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਐਂਪੀਰੀਕਲ ਰੂਲ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਨੁਸਾਰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ:
ਲਗਭਗ 68 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ x ਮੁੱਲ ਮੱਧਮਾਨ µ ਦੇ –1σ ਅਤੇ +1σ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ (ਮੱਧਮਾਨ ਤੋਂ ਇੱਕ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੇਵੀਏਸ਼ਨ ਦੇ ਅੰਦਰ)।
ਲਗਭਗ 95 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ x ਮੁੱਲ ਮੱਧਮਾਨ µ ਦੇ –2σ ਅਤੇ +2σ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ (ਮੱਧਮਾਨ ਤੋਂ ਦੋ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੇਵੀਏਸ਼ਨ ਦੇ ਅੰਦਰ)।
ਲਗਭਗ 99.7 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ x ਮੁੱਲ ਮੱਧਮਾਨ µ ਦੇ –3σ ਅਤੇ +3σ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ (ਮੱਧਮਾਨ ਤੋਂ ਤਿੰਨ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੇਵੀਏਸ਼ਨ ਦੇ ਅੰਦਰ)। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਲਗਭਗ ਸਾਰੇ x ਮੁੱਲ ਮੱਧਮਾਨ ਤੋਂ ਤਿੰਨ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੇਵੀਏਸ਼ਨ ਦੇ ਅੰਦਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
+1σ ਅਤੇ –1σ ਲਈ ζ-ਸਕੋਰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ +1 ਅਤੇ –1 ਹਨ।
+2σ ਅਤੇ –2σ ਲਈ ζ-ਸਕੋਰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ +2 ਅਤੇ –2 ਹਨ।
+3σ ਅਤੇ –3σ ਲਈ ζ-ਸਕੋਰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ +3 ਅਤੇ –3 ਹਨ।
ਇਸ ਲਈ, ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਲਗਭਗ 68 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਮੁੱਲ –1 ਅਤੇ 1 ਦੇ ζ-ਸਕੋਰ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਲਗਭਗ 95% ਮੁੱਲ –2 ਅਤੇ 2 ਦੇ ζ-ਸਕੋਰ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਲਗਭਗ 99.7 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਮੁੱਲ -3 ਅਤੇ 3 ਦੇ ζ-ਸਕੋਰ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਤੱਥਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਹਰੇਕ ਪੋਜ਼ੀਟਿਵ ζ-ਸਕੋਰ ਲਈ ζ-ਟੇਬਲ ਵਿੱਚ ਮੱਧਮਾਨ ਤੋਂ ζ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਦੇਖ ਕੇ ਅਤੇ 2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ।
ਐਂਪੀਰੀਕਲ ਰੂਲ ਨੂੰ 68–95–99.7 ਰੂਲ ਵਜੋਂ ਵੀ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
1. ਮਿਸਾਲ 6.3
2. 2009 ਤੋਂ 2010 ਤੱਕ ਚਿਲੀ ਦੇ 15 ਤੋਂ 18 ਸਾਲ ਦੇ ਮੁੰਡਿਆਂ ਦੀ ਔਸਤ ਉਚਾਈ 170 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਸੀ ਜਿਸਦਾ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੇਵੀਏਸ਼ਨ 6.28 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਸੀ। ਮੁੰਡਿਆਂ ਦੀਆਂ ਉਚਾਈਆਂ ਆਮ ਵੰਡ (normal distribution) ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ। ਮੰਨ ਲਓ X = 2009–2010 ਵਿੱਚ ਚਿਲੀ ਦੇ 15 ਤੋਂ 18 ਸਾਲ ਦੇ ਮੁੰਡੇ ਦੀ ਉਚਾਈ। ਤਾਂ X ~ N(170, 6.28)।
3. ਸਮੱਸਿਆ
4. ਏ. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ 2009–2010 ਵਿੱਚ ਚਿਲੀ ਦਾ 15 ਤੋਂ 18 ਸਾਲ ਦਾ ਮੁੰਡਾ 168 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਉੱਚਾ ਸੀ। ਜਦੋਂ x = 168 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਹੋਵੇ ਤਾਂ z-ਸਕੋਰ z = ______ ਹੈ। ਇਹ z-ਸਕੋਰ ਤੁਹਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ x = 168, ਔਸਤ _____ (ਔਸਤ ਕੀ ਹੈ?) ਤੋਂ ________ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੇਵੀਏਸ਼ਨ ________ (ਸੱਜੇ ਜਾਂ ਖੱਬੇ) ਪਾਸੇ ਹੈ।
5. ਹੱਲ
6. ਏ. –0.32, 0.32, ਖੱਬੇ, 170
7. ਸਮੱਸਿਆ
8. ਬੀ. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ 2009–2010 ਵਿੱਚ ਚਿਲੀ ਦੇ 15 ਤੋਂ 18 ਸਾਲ ਦੇ ਮੁੰਡੇ ਦੀ ਉਚਾਈ ਦਾ z-ਸਕੋਰ z = 1.27 ਹੈ। ਮੁੰਡੇ ਦੀ ਉਚਾਈ ਕੀ ਹੈ? z-ਸਕੋਰ (z = 1.27) ਤੁਹਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਮੁੰਡੇ ਦੀ ਉਚਾਈ ਔਸਤ ਤੋਂ __________ (ਸੱਜੇ ਜਾਂ ਖੱਬੇ) ਪਾਸੇ ________ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੇਵੀਏਸ਼ਨ ਹੈ।
9. ਹੱਲ
10. ਬੀ. 177.98 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ, 1.27, ਸੱਜੇ
11. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 6.3
12. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਸਵਾਲਾਂ ਦੇ ਜਵਾਬ ਦੇਣ ਲਈ ਮਿਸਾਲ 6.3 ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ:
13. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ 2009–2010 ਵਿੱਚ ਚਿਲੀ ਦਾ 15 ਤੋਂ 18 ਸਾਲ ਦਾ ਮੁੰਡਾ 176 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਉੱਚਾ ਸੀ। ਜਦੋਂ x = 176 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਹੋਵੇ ਤਾਂ z-ਸਕੋਰ z = _______ ਹੈ। ਇਹ z-ਸਕੋਰ ਤੁਹਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ x = 176 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ, ਔਸਤ _____ (ਔਸਤ ਕੀ ਹੈ?) ਤੋਂ ________ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੇਵੀਏਸ਼ਨ ________ (ਸੱਜੇ ਜਾਂ ਖੱਬੇ) ਪਾਸੇ ਹੈ।
14. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ 2009–2010 ਵਿੱਚ ਚਿਲੀ ਦੇ 15 ਤੋਂ 18 ਸਾਲ ਦੇ ਮੁੰਡੇ ਦੀ ਉਚਾਈ ਦਾ z-ਸਕੋਰ z = –2 ਹੈ। ਮੁੰਡੇ ਦੀ ਉਚਾਈ ਕੀ ਹੈ? z-ਸਕੋਰ (z = –2) ਤੁਹਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਮੁੰਡੇ ਦੀ ਉਚਾਈ ਔਸਤ ਤੋਂ __________ (ਸੱਜੇ ਜਾਂ ਖੱਬੇ) ਪਾਸੇ ________ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੇਵੀਏਸ਼ਨ ਹੈ।
15. ਮਿਸਾਲ 6.4
16. ਸਮੱਸਿਆ
17. 1984 ਤੋਂ 1985 ਤੱਕ, ਚਿਲੀ ਦੇ 15 ਤੋਂ 18 ਸਾਲ ਦੇ ਮੁੰਡਿਆਂ ਦੀ ਔਸਤ ਉਚਾਈ 172.36 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਸੀ, ਅਤੇ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੇਵੀਏਸ਼ਨ 6.34 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਸੀ। ਮੰਨ ਲਓ Y = 1984–1985 ਦੇ 15 ਤੋਂ 18 ਸਾਲ ਦੇ ਮੁੰਡਿਆਂ ਦੀ ਉਚਾਈ, ਅਤੇ y = ਇਸ ਸਮੂਹ ਦੇ ਇੱਕ ਮੁੰਡੇ ਦੀ ਉਚਾਈ। ਤਾਂ Y ~ N(172.36, 6.34)।
18. 2009–2010 ਵਿੱਚ ਚਿਲੀ ਦੇ 15 ਤੋਂ 18 ਸਾਲ ਦੇ ਮੁੰਡਿਆਂ ਦੀ ਔਸਤ ਉਚਾਈ 170 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਸੀ ਜਿਸਦਾ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੇਵੀਏਸ਼ਨ 6.28 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਸੀ। ਮੁੰਡਿਆਂ ਦੀਆਂ ਉਚਾਈਆਂ ਆਮ ਵੰਡ (normal distribution) ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ। ਮੰਨ ਲਓ X = 2009–2010 ਵਿੱਚ ਚਿਲੀ ਦੇ 15 ਤੋਂ 18 ਸਾਲ ਦੇ ਮੁੰਡੇ ਦੀ ਉਚਾਈ, ਅਤੇ x = ਇਸ ਸਮੂਹ ਦੇ ਇੱਕ ਮੁੰਡੇ ਦੀ ਉਚਾਈ। ਤਾਂ X ~ N(170, 6.28)।
19. x = 160.58 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਅਤੇ y = 162.85 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਲਈ z-ਸਕੋਰ ਲੱਭੋ। ਹਰੇਕ z-ਸਕੋਰ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ। ਤੁਸੀਂ x = 160.58 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਅਤੇ y = 162.85 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਬਾਰੇ ਕੀ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹੋ, ਜਦੋਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਬੰਧਿਤ ਔਸਤਾਂ ਅਤੇ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੇਵੀਏਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ?
20. ਹੱਲ
21. x = 160.58 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਲਈ z-ਸਕੋਰ z = –1.5 ਹੈ। y = 162.85 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਲਈ z-ਸਕੋਰ z = –1.5 ਹੈ। ਦੋਵੇਂ x = 160.58 ਅਤੇ y = 162.85 ਆਪਣੀਆਂ ਸੰਬੰਧਿਤ ਔਸਤਾਂ ਤੋਂ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੇਵੀਏਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਸਮਾਨ ਗਿਣਤੀ ਤੋਂ ਅਤੇ ਸਮਾਨ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਵਿਭਿੰਨ ਹਨ।
22. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 6.4
23. 2012 ਵਿੱਚ, 1,664,479 ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਨੇ SAT ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਦਿੱਤੀ। SAT ਦੇ ਵੇਰਬਲ ਸੈਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਸਕੋਰਾਂ ਦੀ ਵੰਡ ਦੀ ਔਸਤ µ = 496 ਅਤੇ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੇਵੀਏਸ਼ਨ σ = 114 ਸੀ। ਮੰਨ ਲਓ X = 2012 ਵਿੱਚ SAT ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਦਾ ਵੇਰਬਲ ਸੈਕਸ਼ਨ ਸਕੋਰ। ਤਾਂ, X ~ N(496, 114)।
24. x1 = 325 ਅਤੇ x2 = 366.21 ਲਈ z-ਸਕੋਰ ਲੱਭੋ। ਹਰੇਕ z-ਸਕੋਰ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ। ਤੁਸੀਂ x1 = 325 ਅਤੇ x2 = 366.21 ਬਾਰੇ ਕੀ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹੋ, ਜਦੋਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਬੰਧਿਤ ਔਸਤਾਂ ਅਤੇ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੇਵੀਏਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ?
ਉਦਾਹਰਨ 6.5
ਮੰਨ ਲਓ x ਦਾ ਮਾਧਿਅਕ 50 ਅਤੇ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ 6 ਨਾਲ ਇੱਕ ਆਮ ਵੰਡ ਹੈ।
ਲਗਭਗ 68 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ x ਮੁੱਲ ਮਾਧਿਅਕ ਦੇ ਇੱਕ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ ਦੇ ਅੰਦਰ ਆਉਂਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਲਗਭਗ 68 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ x ਮੁੱਲ ਮਾਧਿਅਕ 50 ਦੇ –1σ = (–1)(6) = –6 ਅਤੇ 1σ = (1)(6) = 6 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਆਉਂਦੇ ਹਨ। ਮੁੱਲ 50 – 6 = 44 ਅਤੇ 50 + 6 = 56 ਮਾਧਿਅਕ 50 ਤੋਂ ਇੱਕ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ ਦੇ ਅੰਦਰ ਹਨ। 44 ਅਤੇ 56 ਲਈ z-ਸਕੋਰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ –1 ਅਤੇ +1 ਹਨ।
ਲਗਭਗ 95 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ x ਮੁੱਲ ਮਾਧਿਅਕ ਦੇ ਦੋ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਆਉਂਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਲਗਭਗ 95 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ x ਮੁੱਲ –2σ = (–2)(6) = –12 ਅਤੇ 2σ = (2)(6) = 12 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਆਉਂਦੇ ਹਨ। ਮੁੱਲ 50 – 12 = 38 ਅਤੇ 50 + 12 = 62 ਮਾਧਿਅਕ 50 ਤੋਂ ਦੋ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਹਨ। 38 ਅਤੇ 62 ਲਈ z-ਸਕੋਰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ –2 ਅਤੇ +2 ਹਨ।
ਲਗਭਗ 99.7 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ x ਮੁੱਲ ਮਾਧਿਅਕ ਦੇ ਤਿੰਨ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਆਉਂਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਲਗਭਗ 95 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ x ਮੁੱਲ –3σ = (–3)(6) = –18 ਅਤੇ 3σ = (3)(6) = 18 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਆਉਂਦੇ ਹਨ। ਮੁੱਲ 50 – 18 = 32 ਅਤੇ 50 + 18 = 68 ਮਾਧਿਅਕ 50 ਤੋਂ ਤਿੰਨ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਹਨ। 32 ਅਤੇ 68 ਲਈ z-ਸਕੋਰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ –3 ਅਤੇ +3 ਹਨ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 6.5
ਮੰਨ ਲਓ X ਦਾ ਮਾਧਿਅਕ 25 ਅਤੇ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ ਪੰਜ ਨਾਲ ਇੱਕ ਆਮ ਵੰਡ ਹੈ। x ਦੇ ਕਿਹੜੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ 68 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਮੁੱਲ ਆਉਂਦੇ ਹਨ?
ਉਦਾਹਰਨ 6.6
ਸਮੱਸਿਆ
1984–1985 ਦੌਰਾਨ, ਚਿਲੀ ਦੇ 15 ਤੋਂ 18 ਸਾਲ ਦੇ ਮੁੰਡਿਆਂ ਦੀ ਔਸਤ ਉਚਾਈ 172.36 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਸੀ, ਅਤੇ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ 6.34 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਸੀ। ਮੰਨ ਲਓ Y = 1984–1985 ਵਿੱਚ 15 ਤੋਂ 18 ਸਾਲ ਦੇ ਮੁੰਡਿਆਂ ਦੀ ਉਚਾਈ। ਤਾਂ Y ~ N(172.36, 6.34)।
y ਦੇ ਲਗਭਗ 68 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਮੁੱਲ ਕਿਹੜੇ ਦੋ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਆਉਂਦੇ ਹਨ? ਇਹ ਮੁੱਲ ______________ ਹਨ। z-ਸਕੋਰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ______________ ਹਨ।
y ਦੇ ਲਗਭਗ 95 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਮੁੱਲ ਕਿਹੜੇ ਦੋ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਆਉਂਦੇ ਹਨ? ਇਹ ਮੁੱਲ ______________ ਹਨ। z-ਸਕੋਰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ______________ ਹਨ।
y ਦੇ ਲਗਭਗ 99.7 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਮੁੱਲ ਕਿਹੜੇ ਦੋ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਆਉਂਦੇ ਹਨ? ਇਹ ਮੁੱਲ ______________ ਹਨ। z-ਸਕੋਰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ______________ ਹਨ।
ਹੱਲ
ਲਗਭਗ 68 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਮੁੱਲ 166.02 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਅਤੇ 178.7 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਆਉਂਦੇ ਹਨ। z-ਸਕੋਰ –1 ਅਤੇ 1 ਹਨ।
ਲਗਭਗ 95 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਮੁੱਲ 159.68 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਅਤੇ 185.04 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਆਉਂਦੇ ਹਨ। z-ਸਕੋਰ –2 ਅਤੇ 2 ਹਨ।
ਲਗਭਗ 99.7 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਮੁੱਲ 153.34 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਅਤੇ 191.38 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਆਉਂਦੇ ਹਨ। z-ਸਕੋਰ –3 ਅਤੇ 3 ਹਨ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 6.6
ਕਾਲਜ ਪ੍ਰਵੇਸ਼ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਦੇ ਅੰਕ ਮਾਧਿਅਕ, µ = 52 ਅੰਕ ਅਤੇ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ, σ = 11 ਅੰਕ ਨਾਲ ਲਗਭਗ ਆਮ ਵੰਡ ਰੱਖਦੇ ਹਨ।
y ਦੇ ਲਗਭਗ 68 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਮੁੱਲ ਕਿਹੜੇ ਦੋ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਆਉਂਦੇ ਹਨ? ਇਹ ਮੁੱਲ ______________ ਹਨ। z-ਸਕੋਰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ______________ ਹਨ।
y ਦੇ ਲਗਭਗ 95 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਮੁੱਲ ਕਿਹੜੇ ਦੋ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਆਉਂਦੇ ਹਨ? ਇਹ ਮੁੱਲ ______________ ਹਨ। z-ਸਕੋਰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ______________ ਹਨ।
y ਦੇ ਲਗਭਗ 99.7 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਮੁੱਲ ਕਿਹੜੇ ਦੋ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਆਉਂਦੇ ਹਨ? ਇਹ ਮੁੱਲ ______________ ਹਨ। z-ਸਕੋਰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ______________ ਹਨ।