7.1 ਚਿੱਤਰ: ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਲੋਕਾਂ ਕੋਲ ਮੌਜੂਦ ਨਕਦ ਦੀ ਵੰਡ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹੋ, ਕੇਂਦਰੀ ਸੀਮਾ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅਤੇ ਇਹ ਮੰਨ ਕੇ ਕਿ ਤੁਹਾਡਾ ਨਮੂਨਾ ਕਾਫ਼ੀ ਵੱਡਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਪਾਓਗੇ ਕਿ ਵੰਡ ਆਮ ਅਤੇ ਘੰਟੀ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦੀ ਹੈ। (ਸਿਹਰਾ: ਜੌਨ ਲੋਡਰ)
ਅਧਿਆਇ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ, ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਕੰਮ ਕਰਨ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ:
ਕੇਂਦਰੀ ਸੀਮਾ ਥਿਊਰਮ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਪਛਾਣਨਾ
ਨਿਰੰਤਰ ਸ਼ਬਦ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਵੰਡਾਂ ਅਨੁਸਾਰ ਵਰਗੀਕ੍ਰਿਤ ਕਰਨਾ
ਮਾਧਾਂ ਲਈ ਕੇਂਦਰੀ ਸੀਮਾ ਥਿਊਰਮ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ ਅਤੇ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰਨਾ
ਜੋੜਾਂ ਲਈ ਕੇਂਦਰੀ ਸੀਮਾ ਥਿਊਰਮ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ ਅਤੇ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰਨਾ
ਅਸੀਂ ਮਾਧਾਂ ਬਾਰੇ ਇੰਨੇ ਚਿੰਤਤ ਕਿਉਂ ਹਾਂ? ਦੋ ਕਾਰਨ ਇਹ ਹਨ ਕਿ ਉਹ ਸਾਨੂੰ ਤੁਲਨਾ ਲਈ ਇੱਕ ਮੱਧਮ ਮਾਰਗ ਦਿੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨਾ ਆਸਾਨ ਹੈ। ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ ਮਾਧਾਂ ਅਤੇ ਕੇਂਦਰੀ ਸੀਮਾ ਥਿਊਰਮ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰੋਗੇ।
ਕੇਂਦਰੀ ਸੀਮਾ ਥਿਊਰਮ (CLT) ਸਾਰੇ ਅੰਕੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਸਭ ਤੋਂ ਸ਼ਕਤੀਸ਼ਾਲੀ ਅਤੇ ਉਪਯੋਗੀ ਵਿਚਾਰਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਹੈ। ਥਿਊਰਮ ਦੇ ਦੋ ਵਿਕਲਪਿਕ ਰੂਪ ਹਨ, ਅਤੇ ਦੋਵੇਂ ਵਿਕਲਪ ਇੱਕ ਜਾਣੇ-ਪਛਾਣੇ ਮਾਧ, μ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਜਾਣੇ-ਪਛਾਣੇ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਨ, σ ਵਾਲੀ ਆਬਾਦੀ ਤੋਂ ਇੱਕ ਸੀਮਤ ਨਮੂਨਾ ਆਕਾਰ n ਕੱਢਣ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹਨ। ਪਹਿਲਾ ਵਿਕਲਪ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਕਾਫ਼ੀ ਵੱਡੇ n ਦੇ ਨਮੂਨੇ ਇਕੱਠੇ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਹਰੇਕ ਨਮੂਨੇ ਦੇ ਮਾਧ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਮਾਧਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਹਿਸਟੋਗ੍ਰਾਮ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਨਤੀਜੇ ਹਿਸਟੋਗ੍ਰਾਮ ਵਿੱਚ ਲਗਭਗ ਆਮ ਘੰਟੀ ਦਾ ਆਕਾਰ ਹੋਣ ਦੀ ਪ੍ਰਵਿਰਤੀ ਹੋਵੇਗੀ। ਦੂਜਾ ਵਿਕਲਪ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਦੁਬਾਰਾ ਕਾਫ਼ੀ ਵੱਡੇ n ਦੇ ਨਮੂਨੇ ਇਕੱਠੇ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਹਰੇਕ ਨਮੂਨੇ ਦਾ ਜੋੜ ਗਿਣਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਇੱਕ ਹਿਸਟੋਗ੍ਰਾਮ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਨਤੀਜੇ ਹਿਸਟੋਗ੍ਰਾਮ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਆਮ ਘੰਟੀ ਦਾ ਆਕਾਰ ਹੋਣ ਦੀ ਪ੍ਰਵਿਰਤੀ ਹੋਵੇਗੀ। ਨਮੂਨਾ ਮਾਧਾਂ ਲਈ ਕੇਂਦਰੀ ਸੀਮਾ ਥਿਊਰਮ ਅੰਕੜਿਆਂ ਦੀ ਦੁਨੀਆ ਵਿੱਚ ਵਧੇਰੇ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਪਰ ਇਹ ਨੋਟ ਕਰਨਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਕਿ ਹਰੇਕ ਨਮੂਨੇ ਦੇ ਜੋੜ ਨੂੰ ਲੈ ਕੇ ਅਤੇ ਜੋੜਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨਾ ਵੀ ਇੱਕ ਆਮ ਹਿਸਟੋਗ੍ਰਾਮ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਦੇਵੇਗਾ। ਅਜਿਹੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਹਨ ਜਿੱਥੇ ਕੋਈ ਵਿਅਕਤੀ ਨਮੂਨੇ ਦੇ ਮਾਧ ਦੇ ਵਿਰੋਧ ਵਿੱਚ, ਨਮੂਨੇ ਦੇ ਜੋੜ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਇਸ ਗੱਲ ਦਾ ਕੋਈ ਫ਼ਰਕ ਨਹੀਂ ਪੈਂਦਾ ਕਿ ਅਸਲ ਆਬਾਦੀ ਦੀ ਵੰਡ ਕੀ ਹੈ, ਜਾਂ ਤੁਹਾਨੂੰ ਇਸਨੂੰ ਜਾਣਨ ਦੀ ਲੋੜ ਵੀ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ। ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਤੱਥ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਨਮੂਨਾ ਮਾਧਾਂ ਅਤੇ ਜੋੜਾਂ ਦੀਆਂ ਵੰਡਾਂ ਆਮ ਵੰਡ ਦਾ ਪਾਲਣ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ।
ਨਮੂਨੇ ਦਾ ਆਕਾਰ, n, ਜੋ ਕਿ ਕਾਫ਼ੀ ਵੱਡਾ ਹੋਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦਾ ਹੈ, ਉਸ ਅਸਲ ਆਬਾਦੀ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਤੋਂ ਨਮੂਨੇ ਲਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ (ਨਮੂਨਾ ਆਕਾਰ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ 30 ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਡਾਟਾ ਇੱਕ ਆਮ ਵੰਡ ਤੋਂ ਆਉਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ)। ਜੇਕਰ ਅਸਲ ਆਬਾਦੀ ਆਮ ਤੋਂ ਦੂਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਮੂਨਾ ਮਾਧਾਂ ਜਾਂ ਜੋੜਾਂ ਦੇ ਆਮ ਹੋਣ ਲਈ ਵਧੇਰੇ ਨਿਰੀਖਣਾਂ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਨਮੂਨਾ ਬਦਲੀ ਨਾਲ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਸਹਿਯੋਗੀ ਕਸਰਤ
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਤੁਹਾਡੇ ਵਿੱਚੋਂ ਅੱਠ ਇੱਕ ਨਿਰਪੱਖ ਪਾਸਾ ਦਸ ਵਾਰ ਘੁਮਾਉਂਦੇ ਹਨ, ਤੁਹਾਡੇ ਵਿੱਚੋਂ ਸੱਤ ਦੋ ਨਿਰਪੱਖ ਪਾਸੇ ਦਸ ਵਾਰ ਘੁਮਾਉਂਦੇ ਹਨ, ਤੁਹਾਡੇ ਵਿੱਚੋਂ ਨੌਂ ਪੰਜ ਨਿਰਪੱਖ ਪਾਸੇ ਦਸ ਵਾਰ ਘੁਮਾਉਂਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਤੁਹਾਡੇ ਵਿੱਚੋਂ 11 ਦਸ ਨਿਰਪੱਖ ਪਾਸੇ ਦਸ ਵਾਰ ਘੁਮਾਉਂਦੇ ਹਨ।
ਹਰੇਕ ਵਾਰ ਜਦੋਂ ਕੋਈ ਵਿਅਕਤੀ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਪਾਸਾ ਘੁਮਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਹ ਦਿਖਾਈ ਦੇਣ ਵਾਲੇ ਚਿਹਰਿਆਂ ਦਾ ਨਮੂਨਾ ਮਾਧ ਗਿਣਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਇੱਕ ਵਿਅਕਤੀ ਪੰਜ ਨਿਰਪੱਖ ਪਾਸੇ ਘੁਮਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇੱਕ ਵਾਰ ਵਿੱਚ 2, 2, 3, 4, ਅਤੇ 6 ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਮਾਧ 2 + 2 + 3 + 4 + 6 5 2 + 2 + 3 + 4 + 6 5 = 3.4 ਹੈ। 3.4 ਇੱਕ ਮਾਧ ਹੈ ਜਦੋਂ ਪੰਜ ਨਿਰਪੱਖ ਪਾਸੇ ਘੁਮਾਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਇਹੋ ਵਿਅਕਤੀ ਪੰਜ ਪਾਸੇ ਹੋਰ ਨੌਂ ਵਾਰ ਘੁਮਾਏਗਾ ਅਤੇ ਦਸ ਮਾਧਾਂ ਦੇ ਕੁੱਲ ਲਈ ਨੌਂ ਹੋਰ ਮਾਧਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੇਗਾ।
ਤੁਹਾਡਾ ਇੰਸਟ੍ਰਕਟਰ ਕਈ ਲੋਕਾਂ ਨੂੰ ਪਾਸੇ ਵੰਡੇਗਾ। ਆਪਣੇ ਪਾਸੇ ਦਸ ਵਾਰ ਘੁਮਾਓ। ਹਰੇਕ ਰੋਲ ਲਈ, ਚਿਹਰਿਆਂ ਨੂੰ ਰਿਕਾਰਡ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਮਾਧ ਲੱਭੋ। ਨਜ਼ਦੀਕੀ 0.5 ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
ਤੁਹਾਡਾ ਇੰਸਟ੍ਰਕਟਰ (ਅਤੇ ਸੰਭਵ ਤੌਰ 'ਤੇ ਤੁਸੀਂ) ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ (ਇਹ ਇੱਕ ਹਿਸਟੋਗ੍ਰਾਮ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ) ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਲਈ, ਦੋ ਪਾਸਿਆਂ ਲਈ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ, ਪੰਜ ਪਾਸਿਆਂ ਲਈ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ, ਅਤੇ ਦਸ ਪਾਸਿਆਂ ਲਈ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਤਿਆਰ ਕਰੇਗਾ। ਕਿਉਂਕਿ ਜਦੋਂ ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਪਾਸਾ ਘੁਮਾਉਂਦੇ ਹੋ ਤਾਂ ਮਾਧ ਸਿਰਫ਼ ਪਾਸੇ ਦਾ ਚਿਹਰਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਹ ਵੰਡ ਕੀ ਲੱਗਦੀ ਹੈ?
ਦੋ ਪਾਸੇ ਵਰਤ ਕੇ ਮਾਧਾਂ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। ਕੀ ਨਮੂਨਾ ਮਾਧ ਕੋਈ ਕਿਸਮ ਦਾ ਪੈਟਰਨ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਨ?
ਪੰਜ ਪਾਸੇ ਵਰਤ ਕੇ ਮਾਧਾਂ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। ਕੀ ਤੁਹਾਨੂੰ ਕੋਈ ਪੈਟਰਨ ਉਭਰਦਾ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ?
ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਦਸ ਪਾਸੇ ਵਰਤ ਕੇ ਮਾਧਾਂ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। ਕੀ ਤੁਹਾਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਕੋਈ ਪੈਟਰਨ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ? ਜਿਵੇਂ ਤੁਸੀਂ ਪਾਸਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਵਧਾਉਂਦੇ ਹੋ ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਕੀ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢ ਸਕਦੇ ਹੋ?
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਇੱਕ ਤੋਂ ਦੋ ਤੋਂ ਪੰਜ ਤੋਂ ਦਸ ਤੱਕ ਘੁਮਾਏ ਗਏ ਪਾਸਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਵਧਦੀ ਹੈ, ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਹੋ ਰਿਹਾ ਹੈ:
ਨਮੂਨਾ ਮਾਧਾਂ ਦਾ ਮਾਧ ਲਗਭਗ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ।
ਨਮੂਨਾ ਮਾਧਾਂ ਦਾ ਫੈਲਾਅ (ਨਮੂਨਾ ਮਾਧਾਂ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਨ) ਘੱਟ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਗ੍ਰਾਫ ਵਧੇਰੇ ਤਿੱਖਾ ਅਤੇ ਪਤਲਾ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
1. ਤੁਸੀਂ ਹੁਣੇ ਹੀ ਕੇਂਦਰੀ ਸੀਮਾ ਪ੍ਰਮੇਯ (CLT) ਦਾ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਨ ਕੀਤਾ ਹੈ।
2. ਕੇਂਦਰੀ ਸੀਮਾ ਪ੍ਰਮੇਯ ਤੁਹਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜਿਵੇਂ ਤੁਸੀਂ ਪਾਸਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਵਧਾਉਂਦੇ ਹੋ, ਨਮੂਨਾ ਮਤਲਬ ਇੱਕ ਆਮ ਵੰਡ (ਨਮੂਨਾ ਵੰਡ) ਵੱਲ ਵਧਦੇ ਹਨ।