ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਨੁਕਤਿਆਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ-ਵਟਾਂਦਰਾ ਕਰ ਚੁੱਕੇ ਹਾਂ, ਇਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਸੰਬੰਧੀ ਨਤੀਜਿਆਂ 'ਤੇ ਮੁੜ ਵਿਚਾਰ ਕਰਨਾ ਉਚਿਤ ਹੈ ਜੋ ਉਹਨਾਂ ਲੋਕਾਂ ਦਾ ਸਾਹਮਣਾ ਕਰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ ਕਿ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਵੱਖਰੇ ਪਦਾਰਥ ਅਤੇ ਪਹਿਲੇ ਕਾਰਨ ਹਨ। ਜੇਕਰ ਸੰਖਿਆ ਇੱਕ ਹੋਂਦ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਪਦਾਰਥ ਸੰਖਿਆ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕੁਝ ਹੋਰ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਕੁਝ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਇਹ ਨਤੀਜਾ ਨਿਕਲਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜਾਂ ਤਾਂ (1) ਇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪਹਿਲਾ ਅਤੇ ਇੱਕ ਦੂਜਾ ਹੈ, ਹਰ ਇੱਕ ਜਾਤੀ ਵਿੱਚ ਵੱਖਰਾ ਹੈ - ਅਤੇ ਜਾਂ ਤਾਂ (a) ਇਹ ਇਕਾਈਆਂ 'ਤੇ ਬਿਨਾਂ ਕਿਸੇ ਅਪਵਾਦ ਦੇ ਸੱਚ ਹੈ, ਅਤੇ ਕੋਈ ਵੀ ਇਕਾਈ ਕਿਸੇ ਵੀ ਇਕਾਈ ਨਾਲ ਅਸੰਗਤ ਹੈ, ਜਾਂ (b) ਉਹ ਸਾਰੀਆਂ ਬਿਨਾਂ ਕਿਸੇ ਅਪਵਾਦ ਦੇ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਹਨ, ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਈ ਵੀ ਕਿਸੇ ਨਾਲ ਵੀ ਸੰਗਤ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਉਹ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ ਕਿ ਗਣਿਤਿਕ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਮਾਮਲਾ ਹੈ; ਕਿਉਂਕਿ ਗਣਿਤਿਕ ਸੰਖਿਆ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਵੀ ਇਕਾਈ ਦੂਜੀ ਤੋਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵੱਖਰੀ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਜਾਂ (c) ਕੁਝ ਇਕਾਈਆਂ ਸੰਗਤ ਹੋਣੀਆਂ ਚਾਹੀਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਕੁਝ ਨਹੀਂ; ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ 2, 1 ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਪਹਿਲਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਫਿਰ 3 ਆਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਫਿਰ ਸੰਖਿਆ ਲੜੀ ਦੇ ਬਾਕੀ, ਅਤੇ ਹਰ ਸੰਖਿਆ ਵਿੱਚ ਇਕਾਈਆਂ ਸੰਗਤ ਹਨ, ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਪਹਿਲੇ 2 ਵਿੱਚ ਇਕਾਈਆਂ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਨਾਲ ਸੰਗਤ ਹਨ, ਅਤੇ ਪਹਿਲੇ 3 ਵਿੱਚ ਇਕਾਈਆਂ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਨਾਲ ਸੰਗਤ ਹਨ, ਅਤੇ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੋਰ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨਾਲ; ਪਰ '2-ਆਪੇ' ਦੀਆਂ ਇਕਾਈਆਂ '3-ਆਪੇ' ਦੀਆਂ ਇਕਾਈਆਂ ਨਾਲ ਅਸੰਗਤ ਹਨ; ਅਤੇ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੋਰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ। ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਜਦੋਂ ਕਿ ਗਣਿਤਿਕ ਸੰਖਿਆ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਗਿਣੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ - 1 ਤੋਂ ਬਾਅਦ, 2 (ਜੋ ਪਿਛਲੇ 1 ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਇੱਕ ਹੋਰ 1 ਦਾ ਬਣਿਆ ਹੈ), ਅਤੇ 3 ਜੋ ਇਹਨਾਂ ਦੋਵਾਂ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਇੱਕ ਹੋਰ 1 ਦਾ ਬਣਿਆ ਹੈ), ਅਤੇ ਹੋਰ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਆਦਰਸ਼ ਸੰਖਿਆ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਗਿਣੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ - 1 ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਇੱਕ ਵੱਖਰਾ 2 ਜੋ ਪਹਿਲੇ 1 ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ, ਅਤੇ ਇੱਕ 3 ਜੋ 2 ਅਤੇ ਸੰਖਿਆ ਲੜੀ ਦੇ ਬਾਕੀ ਹਿੱਸੇ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ, ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ। ਜਾਂ (2) ਇੱਕ ਕਿਸਮ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਪਹਿਲੀ ਨਾਮਿਤ ਸੰਖਿਆ ਵਰਗੀ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ, ਇੱਕ ਉਹ ਵਰਗੀ ਜਿਸ ਬਾਰੇ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਗੱਲ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਜੋ ਅਸੀਂ ਆਖਰੀ ਨਾਮ ਦਿੱਤਾ ਹੈ ਉਹ ਤੀਜੀ ਕਿਸਮ ਦਾ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਦੁਬਾਰਾ, ਇਹਨਾਂ ਕਿਸਮਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਜਾਂ ਤਾਂ ਵਸਤੂਆਂ ਤੋਂ ਵੱਖਰੀਆਂ ਹੋਣੀਆਂ ਚਾਹੀਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਾਂ ਵੱਖਰੀਆਂ ਨਹੀਂ ਪਰ ਸੰਵੇਦਨਸ਼ੀਲ ਵਸਤੂਆਂ ਵਿੱਚ (ਹਾਲਾਂਕਿ ਉਸ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਨਹੀਂ ਜਿਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਵਿਚਾਰਿਆ ਸੀ, ਉਸ ਅਰਥ ਵਿੱਚ ਕਿ ਸੰਵੇਦਨਸ਼ੀਲ ਵਸਤੂਆਂ ਉਹਨਾਂ ਵਿੱਚ ਮੌਜੂਦ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਤੋਂ ਬਣੀਆਂ ਹਨ) - ਜਾਂ ਤਾਂ ਇੱਕ ਕਿਸਮ ਅਤੇ ਦੂਜੀ ਨਹੀਂ, ਜਾਂ ਉਹ ਸਾਰੀਆਂ।
ਇਹ ਜ਼ਰੂਰੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਮੌਜੂਦ ਹੋਣ ਦੇ ਸਿਰਫ ਤਰੀਕੇ ਹਨ। ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਜੋ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ ਕਿ 1 ਸਾਰੀਆਂ ਚੀਜ਼ਾਂ ਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤ, ਪਦਾਰਥ ਅਤੇ ਤੱਤ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ ਕਿ ਸੰਖਿਆ 1 ਅਤੇ ਕੁਝ ਹੋਰ ਤੋਂ ਬਣਦੀ ਹੈ, ਲਗਭਗ ਹਰ ਇੱਕ ਨੇ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਵਰਣਨ ਇਹਨਾਂ ਤਰੀਕਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਵਿੱਚ ਕੀਤਾ ਹੈ; ਸਿਰਫ ਕੋਈ ਵੀ ਇਹ ਨਹੀਂ ਕਿਹਾ ਕਿ ਸਾਰੀਆਂ ਇਕਾਈਆਂ ਅਸੰਗਤ ਹਨ। ਅਤੇ ਇਹ ਕਾਫ਼ੀ ਵਾਜਬ ਢੰਗ ਨਾਲ ਹੋਇਆ ਹੈ; ਕਿਉਂਕਿ ਜ਼ਿਕਰ ਕੀਤੇ ਗਏ ਤਰੀਕਿਆਂ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕੋਈ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ। ਕੁਝ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ ਕਿ ਦੋਵੇਂ ਕਿਸਮਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਮੌਜੂਦ ਹਨ, ਉਹ ਜੋ ਪਹਿਲਾਂ ਅਤੇ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਹੈ ਉਹ ਵਿਚਾਰਾਂ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ, ਅਤੇ ਗਣਿਤਿਕ ਸੰਖਿਆ ਵਿਚਾਰਾਂ ਅਤੇ ਸੰਵੇਦਨਸ਼ੀਲ ਚੀਜ਼ਾਂ ਤੋਂ ਵੱਖਰੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਦੋਵੇਂ ਸੰਵੇਦਨਸ਼ੀਲ ਚੀਜ਼ਾਂ ਤੋਂ ਵੱਖਰੇ ਹਨ; ਅਤੇ ਹੋਰ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ ਕਿ ਸਿਰਫ ਗਣਿਤਿਕ ਸੰਖਿਆ ਮੌਜੂਦ ਹੈ, ਹਕੀਕਤਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਪਹਿਲੀ ਵਜੋਂ, ਸੰਵੇਦਨਸ਼ੀਲ ਚੀਜ਼ਾਂ ਤੋਂ ਵੱਖਰੀ। ਅਤੇ ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਵੀ, ਇੱਕ ਕਿਸਮ ਦੀ ਸੰਖਿਆ - ਗਣਿਤਿਕ - ਵਿੱਚ ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਕਰਦੇ ਹਨ; ਸਿਰਫ ਉਹ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ ਕਿ ਇਹ ਵੱਖਰੀ ਨਹੀਂ ਹੈ ਪਰ ਸੰਵੇਦਨਸ਼ੀਲ ਪਦਾਰਥ ਇਸ ਤੋਂ ਬਣਦੇ ਹਨ। ਕਿਉਂਕਿ ਉਹ ਸਾਰੇ ਬ੍ਰਹਿਮੰਡ ਨੂੰ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਤੋਂ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ - ਸਿਰਫ ਅਮੂਰਤ ਇਕਾਈਆਂ ਤੋਂ ਬਣੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨਹੀਂ; ਉਹ ਮੰਨਦੇ ਹਨ ਕਿ ਇਕਾਈਆਂ ਦਾ ਸਥਾਨਿਕ ਮਾਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਪਰ ਪਹਿਲਾ 1 ਕਿਵੇਂ ਬਣਾਇਆ ਗਿਆ ਸੀ ਤਾਂ ਜੋ ਉਸਦਾ ਮਾਪ ਹੋਵੇ, ਉਹ ਕਹਿਣ ਵਿੱਚ ਅਸਮਰੱਥ ਜਾਪਦੇ ਹਨ।
ਇੱਕ ਹੋਰ ਚਿੰਤਕ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸੰਖਿਆ ਦੀ ਪਹਿਲੀ ਕਿਸਮ, ਰੂਪਾਂ ਦੀ, ਇਕੱਲੀ ਮੌਜੂਦ ਹੈ, ਅਤੇ ਕੁਝ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ ਕਿ ਗਣਿਤਿਕ ਸੰਖਿਆ ਇਸ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ।
ਰੇਖਾਵਾਂ, ਤਲ ਅਤੇ ਠੋਸਾਂ ਦਾ ਮਾਮਲਾ ਵੀ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਕੁਝ ਸੋਚਦੇ ਹਨ ਕਿ ਜੋ ਗਣਿਤ ਦੇ ਵਸਤੂ ਹਨ ਉਹਨਾਂ ਤੋਂ ਵੱਖਰੇ ਹਨ ਜੋ ਵਿਚਾਰਾਂ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਆਉਂਦੇ ਹਨ; ਅਤੇ ਜੋ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨੂੰ ਵੱਖਰੇ ਢੰਗ ਨਾਲ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਦੇ ਹਨ ਉਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੁਝ ਗਣਿਤ ਦੀਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਅਤੇ ਗਣਿਤਿਕ ਢੰਗ ਨਾਲ ਬੋਲਦੇ ਹਨ - ਭਾਵ, ਉਹ ਜੋ ਵਿਚਾਰਾਂ ਨੂੰ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨਹੀਂ ਬਣਾਉਂਦੇ ਜਾਂ ਇਹ ਨਹੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਕਿ ਵਿਚਾਰ ਮੌਜੂਦ ਹਨ; ਅਤੇ ਹੋਰ ਗਣਿਤ ਦੀਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਬਾਰੇ ਬੋਲਦੇ ਹਨ, ਪਰ ਗਣਿਤਿਕ ਢੰਗ ਨਾਲ ਨਹੀਂ; ਕਿਉਂਕਿ ਉਹ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ ਕਿ ਨਾ ਤਾਂ ਹਰ ਸਥਾਨਿਕ ਮਾਪ ਮਾਪਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਨਾ ਹੀ ਕੋਈ ਦੋ ਇਕਾਈਆਂ ਬੇਤਰਤੀਬੇ ਲਈਆਂ ਗਈਆਂ 2 ਬਣਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਜਿਹੜੇ ਸਾਰੇ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ ਕਿ 1 ਚੀਜ਼ਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਤੱਤ ਅਤੇ ਸਿਧਾਂਤ ਹੈ, ਉਹ ਮੰਨਦੇ ਹਨ ਕਿ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਅਮੂਰਤ ਇਕਾਈਆਂ ਤੋਂ ਬਣੀਆਂ ਹਨ, ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨਾਂ ਨੂੰ ਛੱਡ ਕੇ; ਪਰ ਉਹ ਮੰਨਦੇ ਹਨ ਕਿ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਮਾਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਪਹਿਲਾਂ ਕਿਹਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਕਥਨ ਤੋਂ ਇਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ, ਫਿਰ, ਕਿੰਨੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ ਕਿ ਸਾਰੇ ਤਰੀਕੇ ਦੱਸੇ ਗਏ ਹਨ; ਅਤੇ ਇਹ ਸਾਰੇ ਵਿਚਾਰ ਅਸੰਭਵ ਹਨ, ਪਰ ਕੁਝ ਸ਼ਾਇਦ ਦੂਜਿਆਂ ਨਾਲੋਂ ਜ਼ਿਆਦਾ।