1. ਕਿਉਂਕਿ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਸੰਪਰਕ ਨਹੀਂ, ਸਗੋਂ ਕ੍ਰਮ ਹੈ, ਅਰਥਾਤ, ਉਹਨਾਂ ਇਕਾਈਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਕੁਝ ਨਹੀਂ, ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, 2 ਜਾਂ 3 ਵਿੱਚ ਉਹਨਾਂ ਵਿਚਕਾਰ, ਕੋਈ ਪੁੱਛ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕੀ ਇਹ 1-ਆਪ ਹੀ ਦਾ ਪਿਛਾ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ ਜਾਂ ਨਹੀਂ, ਅਤੇ ਕੀ, ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਪਿਛਾ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚੋਂ, 2 ਜਾਂ 2 ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਵੀ ਇਕਾਈ ਪਹਿਲਾਂ ਹੈ।
2. ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਮੁਸ਼ਕਿਲਾਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਬਾਅਦ ਆਉਣ ਵਾਲੀਆਂ ਚੀਜ਼ਾਂ ਦੇ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਪੈਦਾ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ - ਰੇਖਾ, ਤਲ, ਅਤੇ ਘਣ। ਕਿਉਂਕਿ ਕੁਝ ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ 'ਵੱਡੇ ਅਤੇ ਛੋਟੇ' ਦੀਆਂ ਜਾਤੀਆਂ ਤੋਂ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ; ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਰੇਖਾਵਾਂ 'ਲੰਬੇ ਅਤੇ ਛੋਟੇ' ਤੋਂ, ਤਲ 'ਚੌੜੇ ਅਤੇ ਤੰਗ' ਤੋਂ, ਪੁੰਜ 'ਡੂੰਘੇ ਅਤੇ ਛੋਟੇ' ਤੋਂ; ਜੋ ਕਿ 'ਵੱਡੇ ਅਤੇ ਛੋਟੇ' ਦੀਆਂ ਜਾਤੀਆਂ ਹਨ। ਅਤੇ ਅਜਿਹੀਆਂ ਚੀਜ਼ਾਂ ਦਾ ਉਤਪੰਨ ਸਿਧਾਂਤ ਜੋ 1 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਵੱਖ-ਵੱਖ ਚਿੰਤਕ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਵਰਣਨ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਅਤੇ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚ ਵੀ ਅਸੰਭਵਤਾਵਾਂ, ਕਲਪਨਾਵਾਂ, ਅਤੇ ਸਾਰੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੇ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ ਅਣਗਿਣਤ ਦੇਖੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਕਿਉਂਕਿ (i) ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕਲ ਵਰਗ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਤੋਂ ਕੱਟੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਇਹਨਾਂ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਵਿੱਚ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸ਼ਾਮਲ ਨਾ ਹੋਣ ਕਿ 'ਚੌੜਾ ਅਤੇ ਤੰਗ' ਵੀ 'ਲੰਬਾ ਅਤੇ ਛੋਟਾ' ਹੋਵੇ (ਪਰ ਜੇਕਰ ਇਹ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਤਲ ਰੇਖਾ ਹੋਵੇਗਾ ਅਤੇ ਘਣ ਤਲ; ਫਿਰ, ਕੋਣ ਅਤੇ ਆਕਾਰ ਅਤੇ ਅਜਿਹੀਆਂ ਚੀਜ਼ਾਂ ਕਿਵੇਂ ਸਮਝਾਈਆਂ ਜਾਣਗੀਆਂ?)। ਅਤੇ (ii) ਉਹੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ; ਕਿਉਂਕਿ 'ਲੰਬਾ ਅਤੇ ਛੋਟਾ', ਆਦਿ, ਮਾਤਰਾ ਦੇ ਗੁਣ ਹਨ, ਪਰ ਮਾਤਰਾ ਇਹਨਾਂ ਤੋਂ ਨਹੀਂ ਬਣਦੀ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਰੇਖਾ 'ਸਿੱਧੀ ਅਤੇ ਵਕਰ' ਤੋਂ ਨਹੀਂ ਬਣਦੀ, ਜਾਂ ਘਣ 'ਨਿਰਵਿਘਨ ਅਤੇ ਖੁਰਦਰਾ' ਤੋਂ ਨਹੀਂ ਬਣਦੇ।
3. (ਇਹਨਾਂ ਸਾਰੀਆਂ ਵਿਚਾਰਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮੁਸ਼ਕਿਲ ਸਾਂਝੀ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ-ਜਨਸ-ਦੀ-ਜਾਤੀ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਵਾਪਰਦੀ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਕੋਈ ਸਰਵ-ਵਿਆਪਕਾਂ ਨੂੰ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਅਰਥਾਤ, ਕੀ ਇਹ ਜਾਨਵਰ-ਆਪ ਹੀ ਹੈ ਜਾਂ ਜਾਨਵਰ-ਆਪ ਹੀ ਤੋਂ ਕੁਝ ਹੋਰ ਹੈ ਜੋ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਜਾਨਵਰ ਵਿੱਚ ਹੈ। ਸੱਚ ਹੈ, ਜੇਕਰ ਸਰਵ-ਵਿਆਪਕ ਸੰਵੇਦਨਸ਼ੀਲ ਚੀਜ਼ਾਂ ਤੋਂ ਵੱਖ ਕਰਨ ਯੋਗ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਕੋਈ ਮੁਸ਼ਕਿਲ ਪੇਸ਼ ਨਹੀਂ ਕਰੇਗਾ; ਪਰ ਜੇਕਰ 1 ਅਤੇ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵੱਖ ਕਰਨ ਯੋਗ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਉਹ ਜੋ ਇਹਨਾਂ ਵਿਚਾਰਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਦੇ ਹਨ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਮੁਸ਼ਕਿਲ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਆਸਾਨ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਜੇਕਰ ਕੋਈ 'ਆਸਾਨ ਨਹੀਂ' ਸ਼ਬਦਾਂ ਨੂੰ ਅਸੰਭਵ ਤੇ ਲਾਗੂ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ 2 ਵਿੱਚ ਏਕਤਾ, ਜਾਂ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਵਿੱਚ, ਸਮਝਦੇ ਹਾਂ, ਕੀ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਚੀਜ਼-ਆਪ ਹੀ ਸਮਝਦੇ ਹਾਂ ਜਾਂ ਕੁਝ ਹੋਰ?)।
4. ਕੁਝ, ਫਿਰ, ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੇ ਪਦਾਰਥ ਤੋਂ ਸਥਾਨਿਕ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਪੈਦਾ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਦੂਸਰੇ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ - ਅਤੇ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਉਹਨਾਂ ਦੁਆਰਾ 1 ਨਹੀਂ, ਸਗੋਂ 1 ਵਰਗਾ ਕੁਝ ਸਮਝਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ - ਅਤੇ ਹੋਰ ਪਦਾਰਥਾਂ ਤੋਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਬਹੁਤਾਤ, ਪਰ ਇਸਦੇ ਨਾਲ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀ ਨਹੀਂ; ਜਿਸਦੇ ਸਿਧਾਂਤਾਂ ਬਾਰੇ ਕੋਈ ਘੱਟ ਮੁਸ਼ਕਿਲਾਂ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀਆਂ। ਕਿਉਂਕਿ ਜੇਕਰ ਪਦਾਰਥ ਇੱਕ ਹੈ, ਤਾਂ ਰੇਖਾ ਅਤੇ ਤਲ - ਅਤੇ ਘਣ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹੋਣਗੇ; ਕਿਉਂਕਿ ਇੱਕੋ ਤੱਤਾਂ ਤੋਂ ਇੱਕੋ ਅਤੇ ਇੱਕੋ ਚੀਜ਼ ਆਵੇਗੀ। ਪਰ ਜੇਕਰ ਪਦਾਰਥ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹਨ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਲਈ ਹੈ ਅਤੇ ਦੂਜਾ ਤਲ ਲਈ ਅਤੇ ਤੀਜਾ ਘਣ ਲਈ, ਤਾਂ ਉਹ ਜਾਂ ਤਾਂ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ ਜਾਂ ਨਹੀਂ, ਤਾਂ ਜੋ ਇੱਕੋ ਨਤੀਜੇ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਆਉਣਗੇ; ਕਿਉਂਕਿ ਜਾਂ ਤਾਂ ਤਲ ਵਿੱਚ ਰੇਖਾ ਨਹੀਂ ਹੋਵੇਗੀ ਜਾਂ ਇਹ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਹੋਵੇਗੀ।
5. ਫਿਰ, ਸੰਖਿਆ ਇੱਕ ਅਤੇ ਬਹੁਤਾਤ ਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਬਣ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਬਾਰੇ ਉਹ ਕੋਈ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ; ਪਰ ਭਾਵੇਂ ਉਹ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਵੀ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨ, ਉਹੀ ਇਤਰਾਜ਼ ਉੱਠਦੇ ਹਨ ਜੋ ਉਹਨਾਂ ਦਾ ਸਾਹਮਣਾ ਕਰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਇੱਕ ਅਤੇ ਅਨੰਤ ਦੁਆਈ ਤੋਂ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਕਿਉਂਕਿ ਇੱਕ ਵਿਚਾਰ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਸਰਵ-ਵਿਆਪਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਕਹੇ ਗਏ ਬਹੁਤਾਤ ਤੋਂ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਨਾ ਕਿ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਬਹੁਤਾਤ ਤੋਂ; ਅਤੇ ਦੂਜਾ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਬਹੁਤਾਤ ਤੋਂ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਪਹਿਲਾ; ਕਿਉਂਕਿ 2 ਨੂੰ 'ਪਹਿਲੀ ਬਹੁਤਾਤ' ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਲਗਭਗ ਕੋਈ ਅੰਤਰ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਪਰ ਉਹੀ ਮੁਸ਼ਕਿਲਾਂ ਆਉਣਗੀਆਂ - ਕੀ ਇਹ ਮਿਸ਼ਰਣ ਹੈ ਜਾਂ ਸਥਿਤੀ ਜਾਂ ਮਿਲਾਪ ਜਾਂ ਉਤਪਤੀ? ਅਤੇ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ। ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਧ ਕੋਈ ਇਹ ਸਵਾਲ ਪੁੱਛ ਸਕਦਾ ਹੈ 'ਜੇਕਰ ਹਰੇਕ ਇਕਾਈ ਇੱਕ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਕਿੱਥੋਂ ਆਉਂਦੀ ਹੈ?' ਯਕੀਨਨ ਹਰੇਕ 1-ਆਪ ਹੀ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਇਹ 1-ਆਪ ਹੀ ਅਤੇ ਬਹੁਤਾਤ, ਜਾਂ ਬਹੁਤਾਤ ਦਾ ਇੱਕ ਹਿੱਸਾ ਤੋਂ ਆਉਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਕਹਿਣਾ ਕਿ ਇਕਾਈ ਇੱਕ ਬਹੁਤਾਤ ਹੈ, ਅਸੰਭਵ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਅਵਿਭਾਜਿਤ ਹੈ; ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਬਹੁਤਾਤ ਦੇ ਇੱਕ ਹਿੱਸੇ ਤੋਂ ਪੈਦਾ ਕਰਨਾ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਹੋਰ ਇਤਰਾਜ਼ਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦਾ ਹੈ; ਕਿਉਂਕਿ (a) ਹਰੇਕ ਹਿੱਸਾ ਅਵਿਭਾਜਿਤ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ (ਜਾਂ ਇਹ ਇੱਕ ਬਹੁਤਾਤ ਹੋਵੇਗਾ ਅਤੇ ਇਕਾਈ ਵਿਭਾਜਿਤ ਹੋਵੇਗੀ) ਅਤੇ ਤੱਤ ਇੱਕ ਅਤੇ ਬਹੁਤਾਤ ਨਹੀਂ ਹੋਣਗੇ; ਕਿਉਂਕਿ ਇਕੱਲੀਆਂ ਇਕਾਈਆਂ ਬਹੁਤਾਤ ਅਤੇ ਇੱਕ ਤੋਂ ਨਹੀਂ ਆਉਂਦੀਆਂ। ਦੁਬਾਰਾ, (ਧਾਰਕ ਇਸ ਵਿਚਾਰ ਦਾ ਕੋਈ ਹੋਰ ਸੰਖਿਆ ਪੂਰਵ-ਅਨੁਮਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ; ਕਿਉਂਕਿ ਉਸਦੀ ਅਵਿਭਾਜਿਤ ਇਕਾਈਆਂ ਦੀ ਬਹੁਤਾਤ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ। ਦੁਬਾਰਾ, ਇਸ ਸਿਧਾਂਤ ਨੂੰ ਵੀ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਪੁੱਛਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕੀ ਸੰਖਿਆ ਅਨੰਤ ਹੈ ਜਾਂ ਸੀਮਤ। ਕਿਉਂਕਿ ਪਹਿਲਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਜਾਪਦਾ ਹੈ, ਇੱਕ ਬਹੁਤਾਤ ਸੀ ਜੋ ਆਪਣੇ ਆਪ ਵਿੱਚ ਸੀਮਤ ਸੀ, ਜਿਸ ਤੋਂ ਅਤੇ ਇੱਕ ਤੋਂ ਸੀਮਤ ਇਕਾਈਆਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਆਉਂਦੀ ਹੈ। ਅਤੇ ਇੱਕ ਹੋਰ ਬਹੁਤਾਤ ਹੈ ਜੋ ਬਹੁਤਾਤ-ਆਪ ਹੀ ਅਤੇ ਅਨੰਤ ਬਹੁਤਾਤ ਹੈ; ਤਾਂ, ਇੱਕ ਕਿਹੜੀ ਕਿਸਮ ਦੀ ਬਹੁਤਾਤ ਹੈ, ਜੋ ਇੱਕ ਨਾਲ ਸਹਿਯੋਗ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਤੱਤ ਹੈ? ਕੋਈ ਬਿੰਦੂ ਬਾਰੇ ਵੀ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪੁੱਛ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਅਰਥਾਤ, ਉਹ ਤੱਤ ਜਿਸ ਤੋਂ ਉਹ ਸਥਾਨਿਕ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਯਕੀਨਨ ਇੱਕ ਅਤੇ ਕੇਵਲ ਬਿੰਦੂ ਨਹੀਂ ਹੈ; ਕਿਸੇ ਵੀ ਹਾਲਤ ਵਿੱਚ, ਫਿਰ, ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਕਹਿਣ ਦਿਓ ਕਿ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ ਕਿਸ ਤੋਂ ਬਣਿਆ ਹੈ। ਯਕੀਨਨ ਕੁਝ ਦੂਰੀ + ਬਿੰਦੂ-ਆਪ ਹੀ ਤੋਂ ਨਹੀਂ। ਨਾ ਹੀ ਦੁਬਾਰਾ ਇੱਕ ਦੂਰੀ ਦੇ ਅਵਿਭਾਜਿਤ ਹਿੱਸੇ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਉਹ ਤੱਤ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਤੋਂ ਇਕਾਈਆਂ ਬਣੀਆਂ ਕਹੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ, ਬਹੁਤਾਤ ਦੇ ਅਵਿਭਾਜਿਤ ਹਿੱਸੇ ਹਨ; ਕਿਉਂਕਿ ਸੰਖਿਆ ਅਵਿਭਾਜਿਤਾਂ ਤੋਂ ਬਣੀ ਹੈ, ਪਰ ਸਥਾਨਿਕ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਨਹੀਂ।
ਇਹ ਸਾਰੀਆਂ ਇਤਰਾਜ਼, ਅਤੇ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਹੋਰ, ਇਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ ਕਿ ਸੰਖਿਆ ਅਤੇ ਸਥਾਨਿਕ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਵਸਤੂਆਂ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ। ਫਿਰ, ਵੱਖ-ਵੱਖ ਸੰਸਕਰਣਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਬਾਰੇ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ ਇਸ ਗੱਲ ਦਾ ਸੰਕੇਤ ਹੈ ਕਿ ਸਿਧਾਂਤਾਂ ਵਿੱਚ ਉਲਝਣ ਦਾ ਕਾਰਨ ਖੁਦ ਕਥਿਤ ਤੱਥਾਂ ਦੀ ਗਲਤੀ ਹੈ। ਜਿਹੜੇ ਲੋਕ ਗਣਿਤ ਦੀਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਨੂੰ ਹੀ ਸੰਵੇਦਨਸ਼ੀਲ ਚੀਜ਼ਾਂ ਤੋਂ ਵੱਖਰਾ ਮੌਜੂਦ ਮੰਨਦੇ ਹਨ, ਉਹਨਾਂ ਨੇ ਰੂਪਾਂ (Forms) ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਕਾਲਪਨਿਕਤਾ ਬਾਰੇ ਮੁਸ਼ਕਲ ਦੇਖ ਕੇ, ਆਦਰਸ਼ ਸੰਖਿਆ (ideal number) ਨੂੰ ਛੱਡ ਦਿੱਤਾ ਅਤੇ ਗਣਿਤਿਕ ਸੰਖਿਆ (mathematical number) ਨੂੰ ਸਥਾਪਿਤ ਕੀਤਾ। ਪਰ ਜਿਹੜੇ ਲੋਕ ਰੂਪਾਂ ਨੂੰ ਉਸੇ ਸਮੇਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵੀ ਬਣਾਉਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਸਨ, ਪਰ ਇਹ ਨਹੀਂ ਦੇਖ ਸਕੇ ਕਿ ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਇਹਨਾਂ ਸਿਧਾਂਤਾਂ ਨੂੰ ਮੰਨ ਲਵੇ, ਤਾਂ ਗਣਿਤਿਕ ਸੰਖਿਆ ਆਦਰਸ਼ ਸੰਖਿਆ ਤੋਂ ਵੱਖਰੀ ਕਿਵੇਂ ਮੌਜੂਦ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਉਹਨਾਂ ਨੇ ਆਦਰਸ਼ ਅਤੇ ਗਣਿਤਿਕ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਬਣਾ ਦਿੱਤਾ - ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਕਿਉਂਕਿ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਗਣਿਤਿਕ ਸੰਖਿਆ ਨਸ਼ਟ ਹੋ ਗਈ ਹੈ; ਕਿਉਂਕਿ ਉਹ ਗਣਿਤ ਦੀਆਂ ਨਹੀਂ, ਸਗੋਂ ਆਪਣੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਧਾਰਨਾਵਾਂ ਦੱਸਦੇ ਹਨ। ਅਤੇ ਜਿਸਨੇ ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਇਹ ਮੰਨਿਆ ਕਿ ਰੂਪ ਮੌਜੂਦ ਹਨ ਅਤੇ ਰੂਪ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ ਅਤੇ ਗਣਿਤ ਦੀਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਮੌਜੂਦ ਹਨ, ਉਸਨੇ ਕੁਦਰਤੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਦੋਵਾਂ ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰ ਦਿੱਤਾ। ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਪਤਾ ਲੱਗਦਾ ਹੈ ਕਿ ਉਹ ਸਾਰੇ ਕੁਝ ਹੱਦ ਤੱਕ ਸਹੀ ਹਨ, ਪਰ ਸਮੁੱਚੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸਹੀ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਅਤੇ ਉਹ ਖੁਦ ਇਸ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਕਿਉਂਕਿ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਬਿਆਨ ਸਹਿਮਤ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ ਪਰ ਟਕਰਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਕਾਰਨ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਧਾਰਨਾਵਾਂ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਝੂਠੇ ਹਨ। ਅਤੇ ਐਪੀਚਾਰਮਸ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ, ਮਾੜੀ ਸਮੱਗਰੀ ਤੋਂ ਚੰਗਾ ਮਾਮਲਾ ਬਣਾਉਣਾ ਔਖਾ ਹੈ: 'ਜਿਵੇਂ ਹੀ ਇਹ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਇਹ ਗਲਤ ਦੇਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।'
ਪਰ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਬਾਰੇ, ਜੋ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਅਸੀਂ ਉਠਾਏ ਹਨ ਅਤੇ ਜੋ ਸਿੱਟੇ ਅਸੀਂ ਕੱਢੇ ਹਨ, ਉਹ ਕਾਫ਼ੀ ਹਨ (ਕਿਉਂਕਿ ਜਦੋਂ ਕਿ ਜਿਹੜਾ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਯਕੀਨ ਕਰ ਚੁੱਕਾ ਹੈ, ਉਹ ਲੰਬੀ ਚਰਚਾ ਦੁਆਰਾ ਹੋਰ ਯਕੀਨ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਇੱਕ ਜੋ ਅਜੇ ਯਕੀਨ ਨਹੀਂ ਕਰ ਚੁੱਕਾ ਹੈ, ਉਹ ਯਕੀਨ ਦੇ ਨੇੜੇ ਨਹੀਂ ਆਵੇਗਾ); ਪਹਿਲੇ ਸਿਧਾਂਤਾਂ ਅਤੇ ਪਹਿਲੇ ਕਾਰਨਾਂ ਅਤੇ ਤੱਤਾਂ ਬਾਰੇ, ਜਿਹੜੇ ਲੋਕ ਸਿਰਫ ਸੰਵੇਦਨਸ਼ੀਲ ਪਦਾਰਥਾਂ ਬਾਰੇ ਚਰਚਾ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਉਹਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤੇ ਗਏ ਵਿਚਾਰ ਸਾਡੇ ਕੁਦਰਤ ਬਾਰੇ ਲਿਖਤਾਂ ਵਿੱਚ ਅੰਸ਼ਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਦੱਸੇ ਗਏ ਹਨ, ਅਤੇ ਅੰਸ਼ਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਮੌਜੂਦਾ ਪੁੱਛ-ਗਿੱਛ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਨਹੀਂ ਹਨ; ਪਰ ਜਿਹੜੇ ਲੋਕ ਇਹ ਦਾਅਵਾ ਕਰਦੇ ਹਨ ਕਿ ਸੰਵੇਦਨਸ਼ੀਲ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਹੋਰ ਪਦਾਰਥ ਵੀ ਹਨ, ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਵਿਚਾਰਾਂ 'ਤੇ ਸਾਡੇ ਦੁਆਰਾ ਜ਼ਿਕਰ ਕੀਤੇ ਗਏ ਵਿਚਾਰਾਂ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਵਿਚਾਰ ਕੀਤਾ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ, ਕੁਝ ਲੋਕ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ ਕਿ ਵਿਚਾਰ (Ideas) ਅਤੇ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਅਜਿਹੇ ਪਦਾਰਥ ਹਨ, ਅਤੇ ਇਹਨਾਂ ਦੇ ਤੱਤ ਅਸਲ ਚੀਜ਼ਾਂ ਦੇ ਤੱਤ ਅਤੇ ਸਿਧਾਂਤ ਹਨ, ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਪੁੱਛ-ਗਿੱਛ ਕਰਨੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ ਕਿ ਉਹਨਾਂ ਬਾਰੇ ਉਹ ਕੀ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਕਿਸ ਅਰਥ ਵਿੱਚ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ।
ਜਿਹੜੇ ਲੋਕ ਸਿਰਫ ਸੰਖਿਆਵਾਂ, ਅਤੇ ਇਹ ਗਣਿਤਿਕ, ਨੂੰ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਉਹਨਾਂ 'ਤੇ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਵਿਚਾਰ ਕੀਤਾ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ; ਪਰ ਜਿਹੜੇ ਲੋਕ ਵਿਚਾਰਾਂ (Ideas) ਵਿੱਚ ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਸੋਚਣ ਦੇ ਤਰੀਕੇ ਅਤੇ ਜਿਸ ਮੁਸ਼ਕਲ ਵਿੱਚ ਉਹ ਫਸ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਉਸਦਾ ਇੱਕੋ ਸਮੇਂ ਸਰਵੇਖਣ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਉਹ ਇੱਕੋ ਸਮੇਂ ਵਿਚਾਰਾਂ ਨੂੰ ਸਰਵ ਵਿਆਪਕ (universal) ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਫਿਰ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਵੱਖਰੇ (separable) ਅਤੇ ਵਿਅਕਤੀਗਤ (individuals) ਵਜੋਂ ਪੇਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਕਿ ਇਹ ਸੰਭਵ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਇਸ ਬਾਰੇ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਦਲੀਲ ਦਿੱਤੀ ਜਾ ਚੁੱਕੀ ਹੈ। ਜਿਹੜੇ ਲੋਕ ਆਪਣੇ ਪਦਾਰਥਾਂ ਨੂੰ ਸਰਵ ਵਿਆਪਕ ਦੱਸਦੇ ਸਨ, ਉਹਨਾਂ ਨੇ ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਚੀਜ਼ ਵਿੱਚ ਜੋੜਿਆ, ਇਸ ਲਈ ਕਿਉਂਕਿ ਉਹਨਾਂ ਨੇ ਪਦਾਰਥਾਂ ਨੂੰ ਸੰਵੇਦਨਸ਼ੀਲ ਚੀਜ਼ਾਂ ਦੇ ਸਮਾਨ ਨਹੀਂ ਬਣਾਇਆ। ਉਹਨਾਂ ਨੇ ਸੋਚਿਆ ਕਿ ਸੰਵੇਦਨਸ਼ੀਲ ਸੰਸਾਰ ਵਿੱਚ ਵਿਅਕਤੀਗਤ ਚੀਜ਼ਾਂ ਇੱਕ ਅਵਸਥਾ ਵਿੱਚ ਸਨ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਈ ਵੀ ਨਹੀਂ ਰਹੀ, ਪਰ ਸਰਵ ਵਿਆਪਕ ਇਹਨਾਂ ਤੋਂ ਵੱਖਰਾ ਅਤੇ ਕੁਝ ਹੋਰ ਸੀ। ਅਤੇ ਸੁਕਰਾਤ ਨੇ ਇਸ ਸਿਧਾਂਤ ਨੂੰ ਪ੍ਰੇਰਿਤ ਕੀਤਾ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਆਪਣੀ ਪਿਛਲੀ ਚਰਚਾ ਵਿੱਚ ਕਿਹਾ ਸੀ, ਉਸਦੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਦੇ ਕਾਰਨ, ਪਰ ਉਸਨੇ ਸਰਵ ਵਿਆਪਕ ਨੂੰ ਵਿਅਕਤੀਗਤ ਤੋਂ ਵੱਖ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ; ਅਤੇ ਇਸ ਵਿੱਚ ਉਸਨੇ ਸਹੀ ਸੋਚਿਆ, ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਵੱਖ ਨਾ ਕਰਕੇ। ਇਹ ਨਤੀਜਿਆਂ ਤੋਂ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ; ਕਿਉਂਕਿ ਸਰਵ ਵਿਆਪਕ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ ਗਿਆਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨਾ ਸੰਭਵ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਪਰ ਵਿਛੋੜਾ ਹੀ ਉਹ ਕਾਰਨ ਹੈ ਜਿਸ ਨਾਲ ਵਿਚਾਰਾਂ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਇਤਰਾਜ਼ ਉੱਠਦੇ ਹਨ। ਉਸਦੇ ਉੱਤਰਾਧਿਕਾਰੀਆਂ ਨੇ, ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇਸਨੂੰ ਜ਼ਰੂਰੀ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ, ਜੇਕਰ ਸੰਵੇਦਨਸ਼ੀਲ ਅਤੇ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਪਦਾਰਥਾਂ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕੋਈ ਪਦਾਰਥ ਹੋਣੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਵੱਖਰਾ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਉਹਨਾਂ ਕੋਲ ਕੋਈ ਹੋਰ ਨਹੀਂ ਸੀ, ਪਰ ਇਹਨਾਂ ਸਰਵ ਵਿਆਪਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਕਹੇ ਗਏ ਪਦਾਰਥਾਂ ਨੂੰ ਵੱਖਰਾ ਮੌਜੂਦਗੀ ਦਿੱਤੀ, ਤਾਂ ਜੋ ਇਹ ਨਤੀਜਾ ਨਿਕਲਿਆ ਕਿ ਸਰਵ ਵਿਆਪਕ ਅਤੇ ਵਿਅਕਤੀਗਤ ਲਗਭਗ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀ ਚੀਜ਼ ਸਨ। ਇਹ ਆਪਣੇ ਆਪ ਵਿੱਚ, ਫਿਰ, ਸਾਡੇ ਦੁਆਰਾ ਜ਼ਿਕਰ ਕੀਤੇ ਗਏ ਵਿਚਾਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮੁਸ਼ਕਲ ਹੋਵੇਗੀ।