ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਔਸਤ ਦਰ ਲੱਭੋਗੇ।
ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋਗੇ ਕਿ ਕੋਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿੱਥੇ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਜਾਂ ਸਥਿਰ ਹੈ।
ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਅਤੇ ਸਥਾਨਕ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਲੱਭੋਗੇ।
ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਨਿਰਪੇਖ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਅਤੇ ਨਿਰਪੇਖ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਲੱਭੋਗੇ।
ਪਿਛਲੇ ਕਈ ਦਹਾਕਿਆਂ ਦੌਰਾਨ ਪੈਟਰੋਲ ਦੀਆਂ ਕੀਮਤਾਂ ਵਿੱਚ ਕਾਫੀ ਉਤਰਾਅ-ਚੜ੍ਹਾਅ ਆਇਆ ਹੈ। ਸਾਰਣੀ 15 ਵਿੱਚ ਸਾਲ 2005-2012 ਲਈ ਇੱਕ ਗੈਲਨ ਪੈਟਰੋਲ ਦੀ ਔਸਤ ਕੀਮਤ (ਡਾਲਰਾਂ ਵਿੱਚ) ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਪੈਟਰੋਲ ਦੀ ਕੀਮਤ ਨੂੰ ਸਾਲ ਦੇ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਮੰਨਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਸਾਲ: y | 2005 | 2006 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012
C(y) | 2.31 | 2.62 | 2.84 | 3.30 | 2.41 | 2.84 | 3.58 | 3.68
ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ 2005 ਅਤੇ 2012 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਪੈਟਰੋਲ ਦੀਆਂ ਕੀਮਤਾਂ ਵਿੱਚ ਆਏ ਬਦਲਾਅ ਵਿੱਚ ਦਿਲਚਸਪੀ ਰੱਖਦੇ ਹੁੰਦੇ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਗਣਨਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਸੀ ਕਿ ਪ੍ਰਤੀ ਗੈਲਨ ਕੀਮਤ $2.31 ਤੋਂ ਵਧ ਕੇ $3.68 ਹੋ ਗਈ ਸੀ, ਜੋ ਕਿ $1.37 ਦਾ ਵਾਧਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ ਇਹ ਦਿਲਚਸਪ ਹੈ, ਪ੍ਰਤੀ ਸਾਲ ਕੀਮਤ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਬਦਲਾਅ ਆਇਆ, ਇਸ ਵੱਲ ਧਿਆਨ ਦੇਣਾ ਵਧੇਰੇ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਅਜਿਹੇ ਬਦਲਾਵਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਾਂਗੇ।
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਔਸਤ ਦਰ ਲੱਭਣਾ
ਪ੍ਰਤੀ ਸਾਲ ਕੀਮਤ ਵਿੱਚ ਬਦਲਾਅ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਇੱਕ ਦਰ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਦੱਸਦੀ ਹੈ ਕਿ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮਾਤਰਾ ਇਨਪੁੱਟ ਮਾਤਰਾ ਵਿੱਚ ਬਦਲਾਅ ਦੇ ਮੁਕਾਬਲੇ ਕਿਵੇਂ ਬਦਲਦੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਾਰਣੀ 1 ਵਿੱਚ ਪੈਟਰੋਲ ਦੀ ਕੀਮਤ ਹਰ ਸਾਲ ਇੱਕੋ ਜਿੰਨੀ ਨਹੀਂ ਬਦਲੀ, ਇਸ ਲਈ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਸਥਿਰ ਨਹੀਂ ਸੀ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਡਾਟਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਸਮੇਂ ਦੀ ਮਿਆਦ ਦੌਰਾਨ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਔਸਤ ਦਰ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹੋਵਾਂਗੇ। ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਔਸਤ ਦਰ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਵਿੱਚ ਬਦਲਾਅ ਨੂੰ ਇਨਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਵਿੱਚ ਬਦਲਾਅ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਯੂਨਾਨੀ ਅੱਖਰ Δ (ਡੈਲਟਾ) ਕਿਸੇ ਮਾਤਰਾ ਵਿੱਚ ਬਦਲਾਅ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ; ਅਸੀਂ ਅਨੁਪਾਤ ਨੂੰ "ਡੈਲਟਾ-ਵਾਈ ਓਵਰ ਡੈਲਟਾ-ਐਕਸ" ਜਾਂ "ਵਾਈ ਵਿੱਚ ਬਦਲਾਅ ਨੂੰ ਐਕਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲਾਅ ਨਾਲ ਭਾਗ" ਪੜ੍ਹਦੇ ਹਾਂ। ਕਦੇ-ਕਦੇ ਅਸੀਂ Δy ਦੀ ਬਜਾਏ Δf ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਅਜੇ ਵੀ ਇਸਦੇ ਇਨਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਵਿੱਚ ਬਦਲਾਅ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਵਿੱਚ ਬਦਲਾਅ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਇਹ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਰਹੇ ਹਾਂ।
ਸਾਡੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, 2005 ਤੋਂ 2012 ਤੱਕ ਪੈਟਰੋਲ ਦੀ ਕੀਮਤ ਵਿੱਚ $1.37 ਦਾ ਵਾਧਾ ਹੋਇਆ। 7 ਸਾਲਾਂ ਦੌਰਾਨ, ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਔਸਤ ਦਰ ਸੀ
ਔਸਤਨ, ਪੈਟਰੋਲ ਦੀ ਕੀਮਤ ਹਰ ਸਾਲ ਲਗਭਗ 19.6¢ ਵਧੀ।
ਬਦਲਾਅ ਦੀਆਂ ਹੋਰ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ:
ਚੂਹਿਆਂ ਦੀ ਇੱਕ ਆਬਾਦੀ ਪ੍ਰਤੀ ਹਫ਼ਤੇ 40 ਚੂਹੇ ਵਧ ਰਹੀ ਹੈ
ਇੱਕ ਕਾਰ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ 68 ਮੀਲ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ ਯਾਤਰਾ ਕਰ ਰਹੀ ਹੈ (ਦੂਰੀ ਜੋ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਸਮਾਂ ਬੀਤਣ ਨਾਲ ਹਰ ਘੰਟੇ 68 ਮੀਲ ਬਦਲਦੀ ਹੈ)
ਇੱਕ ਕਾਰ ਪ੍ਰਤੀ ਗੈਲਨ 27 ਮੀਲ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ ਚੱਲ ਰਹੀ ਹੈ (ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਗਈ ਦੂਰੀ ਹਰ ਗੈਲਨ ਲਈ 27 ਮੀਲ ਬਦਲਦੀ ਹੈ)
ਵਧੇ ਹੋਏ ਵੋਲਟੇਜ ਦੇ ਹਰ ਵੋਲਟ ਲਈ 0.125 ਐਂਪੀਅਰ ਵਧਣ ਵਾਲਾ ਇਲੈਕਟ੍ਰੀਕਲ ਸਰਕਟ ਵਿੱਚ ਕਰੰਟ
ਕਾਲਜ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ ਪੈਸਿਆਂ ਦੀ ਰਕਮ ਪ੍ਰਤੀ ਤਿਮਾਹੀ $4,000 ਘੱਟ ਰਹੀ ਹੈ
ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ
ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਦੱਸਦੀ ਹੈ ਕਿ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮਾਤਰਾ ਇਨਪੁੱਟ ਮਾਤਰਾ ਵਿੱਚ ਬਦਲਾਅ ਦੇ ਮੁਕਾਬਲੇ ਕਿਵੇਂ ਬਦਲਦੀ ਹੈ। ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਦੀਆਂ ਇਕਾਈਆਂ "ਆਉਟਪੁੱਟ ਇਕਾਈਆਂ ਪ੍ਰਤੀ ਇਨਪੁੱਟ ਇਕਾਈਆਂ" ਹਨ।
ਦੋ ਇਨਪੁੱਟ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਔਸਤ ਦਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੁੱਲਾਂ (ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲਾਂ) ਦੇ ਕੁੱਲ ਬਦਲਾਅ ਨੂੰ ਇਨਪੁੱਟ ਮੁੱਲਾਂ ਵਿੱਚ ਬਦਲਾਅ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਮੁੱਲ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ, ਦੋ ਮੁੱਲਾਂ x₁ ਅਤੇ x₂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਔਸਤ ਦਰ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
y₂ − y₁ = Δy ਦਾ ਅੰਤਰ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
x₂ − x₁ = Δx ਦਾ ਅੰਤਰ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
Δy / Δx ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਲੱਭੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਔਸਤ ਦਰ ਦੀ ਗਣਨਾ
ਸਾਰਣੀ 1 ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅੰਕੜਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, 2007 ਅਤੇ 2009 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਪੈਟਰੋਲ ਦੀ ਕੀਮਤ ਦੀ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਔਸਤ ਦਰ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
2007 ਵਿੱਚ, ਪੈਟਰੋਲ ਦੀ ਕੀਮਤ $2.84 ਸੀ। 2009 ਵਿੱਚ, ਕੀਮਤ $2.41 ਸੀ। ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਔਸਤ ਦਰ ਹੈ
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇੱਕ ਕਮੀ ਨੂੰ ਇੱਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਬਦਲਾਅ ਜਾਂ "ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਵਾਧਾ" ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਇਨਪੁਟ ਵਧਣ 'ਤੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਘੱਟ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਜਾਂ ਜਦੋਂ ਇਨਪੁਟ ਘੱਟਣ 'ਤੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਵਧ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
ਸਾਰਣੀ 1 ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅੰਕੜਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, 2005 ਅਤੇ 2010 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਔਸਤ ਦਰ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 2
ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਔਸਤ ਦਰ ਦੀ ਗਣਨਾ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ g(t) ਜੋ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 1 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਅੰਤਰਾਲ [-1, 2] 'ਤੇ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਔਸਤ ਦਰ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
t=-1 'ਤੇ, ਚਿੱਤਰ 2 g(-1)=4 ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ। t=2 'ਤੇ, ਗ੍ਰਾਫ g(2)=1 ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਖਿਤਿਜੀ ਬਦਲਾਅ Δt=3 ਲਾਲ ਤੀਰ ਦੁਆਰਾ, ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਬਦਲਾਅ Δg(t)=-3 ਤੁਰਕੀ ਦੇ ਤੀਰ ਦੁਆਰਾ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਆਉਟਪੁੱਟ -3 ਦੁਆਰਾ ਬਦਲਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਕਿ ਇਨਪੁਟ 3 ਦੁਆਰਾ ਬਦਲਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਔਸਤ ਦਰ ਮਿਲਦੀ ਹੈ
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਜੋ ਕ੍ਰਮ ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ ਉਹ ਬਹੁਤ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ। ਜੇਕਰ, ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ y₂ − y₁ / x₁ − x₂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਸਹੀ ਜਵਾਬ ਨਹੀਂ ਮਿਲੇਗਾ। ਫੈਸਲਾ ਕਰੋ ਕਿ ਕਿਹੜਾ ਬਿੰਦੂ 1 ਹੋਵੇਗਾ ਅਤੇ ਕਿਹੜਾ ਬਿੰਦੂ 2 ਹੋਵੇਗਾ, ਅਤੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਨੂੰ (x₁, y₁) ਅਤੇ (x₂, y₂) ਵਜੋਂ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਰੱਖੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਸਾਰਣੀ ਤੋਂ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਔਸਤ ਦਰ ਦੀ ਗਣਨਾ
1. ਦਸ ਮੀਲ ਦੂਰ ਰਹਿਣ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਦੋਸਤ ਨੂੰ ਚੁੱਕਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਅੰਨਾ ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਘਰ ਤੋਂ ਆਪਣੀ ਦੂਰੀ ਦਰਜ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਮੁੱਲ ਟੇਬਲ 2 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਹਨ। ਪਹਿਲੇ 6 ਘੰਟਿਆਂ ਦੌਰਾਨ ਉਸਦੀ ਔਸਤ ਗਤੀ ਪਤਾ ਕਰੋ।
2. ਕਤਾਰ: ਟੀ (ਘੰਟੇ) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7
3. ਕਤਾਰ: ਡੀ(ਟੀ) (ਮੀਲ) | 10 | 55 | 90 | 153 | 214 | 240 | 292 | 300
4. ਹੱਲ
5. ਇੱਥੇ, ਔਸਤ ਗਤੀ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਔਸਤ ਦਰ ਹੈ। ਉਸਨੇ 6 ਘੰਟਿਆਂ ਵਿੱਚ 282 ਮੀਲ ਦੀ ਯਾਤਰਾ ਕੀਤੀ, ਜਿਸਦੀ ਔਸਤ ਗਤੀ ਹੈ
6. ਔਸਤ ਗਤੀ 47 ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਹੈ।
7. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
8. ਕਿਉਂਕਿ ਗਤੀ ਸਥਿਰ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਔਸਤ ਗਤੀ ਚੁਣੇ ਗਏ ਅੰਤਰਾਲ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਅੰਤਰਾਲ [2,3] ਲਈ, ਔਸਤ ਗਤੀ 63 ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਹੈ।
9. ਉਦਾਹਰਨ 4
10. ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਔਸਤ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨਾ
11. ਅੰਤਰਾਲ [2,4] 'ਤੇ f(x) = x² - 1/x f(x) = x² - 1/x ਦੀ ਔਸਤ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ। [2,4]।
12. ਹੱਲ
13. ਅਸੀਂ ਅੰਤਰਾਲ ਦੇ ਹਰੇਕ ਅੰਤਮ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
14. ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਔਸਤ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
15. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #2
16. ਅੰਤਰਾਲ [1,9] 'ਤੇ f(x) = x - 2/x f(x) = x - 2/x ਦੀ ਔਸਤ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਪਤਾ ਕਰੋ। [1,9]।
17. ਉਦਾਹਰਨ 5
18. ਬਲ ਦੀ ਔਸਤ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਲੱਭਣਾ
19. ਦੋ ਚਾਰਜਡ ਕਣਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਸਟੈਟਿਕ ਬਲ F, ਨਿਊਟਨ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਕਣਾਂ d, ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਵਿੱਚ, ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਨਾਲ ਫਾਰਮੂਲਾ F(d) = 2/d² ਦੁਆਰਾ ਸਬੰਧਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। F(d) = 2/d²। ਜੇਕਰ ਕਣਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ 2 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਤੋਂ 6 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਤੱਕ ਵਧਾਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਤਾਂ ਬਲ ਦੀ ਔਸਤ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਪਤਾ ਕਰੋ।
20. ਹੱਲ
21. ਅਸੀਂ ਅੰਤਰਾਲ [2,6] 'ਤੇ F(d) = 2/d² F(d) = 2/d² ਦੀ ਔਸਤ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ। [2,6]।
22. ਔਸਤ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ -1/9 -1/9 ਨਿਊਟਨ ਪ੍ਰਤੀ ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਹੈ।
23. ਉਦਾਹਰਨ 6
24. ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਵਜੋਂ ਔਸਤ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਲੱਭਣਾ
g(t)=t^2+3t+1 ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ [0,a] ਉੱਤੇ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਔਸਤ ਦਰ ਲੱਭੋ। ਜਵਾਬ 'a' ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪਦ ਹੋਵੇਗਾ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਔਸਤ ਦਰ ਦੇ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਇਹ ਨਤੀਜਾ ਸਾਨੂੰ t=0 ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਬਿੰਦੂ t=a ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ 'a' ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਔਸਤ ਦਰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਅੰਤਰਾਲ [0,5] ਉੱਤੇ, ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਔਸਤ ਦਰ 5+3=8 ਹੋਵੇਗੀ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
f(x)=x^2+2x-8 ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ [5,a] ਉੱਤੇ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਔਸਤ ਦਰ ਲੱਭੋ।
ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਵਧਣ, ਘਟਣ ਜਾਂ ਸਥਿਰ ਹੋਣ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਵੇਂ ਬਦਲਦੇ ਹਨ, ਇਸਦੀ ਪੜਚੋਲ ਦੇ ਹਿੱਸੇ ਵਜੋਂ, ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਉੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਖਾਸ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਬਦਲ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਉਸ ਅੰਤਰਾਲ ਦੇ ਅੰਦਰ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਵਧਣ ਨਾਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਮੁੱਲ ਵਧਦੇ ਹਨ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਉਸ ਅੰਤਰਾਲ ਦੇ ਅੰਦਰ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਵਧਣ ਨਾਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਮੁੱਲ ਘਟਦੇ ਹਨ। ਵਧ ਰਹੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਔਸਤ ਦਰ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਘਟ ਰਹੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਔਸਤ ਦਰ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 3 ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਉੱਤੇ ਵਧਣ ਅਤੇ ਘਟਣ ਵਾਲੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਦੇ ਉਦਾਹਰਨ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 3: ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=x^3−12x ( −∞,−2 ) ∪ ( 2,∞ ) ਉੱਤੇ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਅਤੇ (−2,2) ਉੱਤੇ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ।
ਜਦੋਂ ਕਿ ਕੁਝ ਫੰਕਸ਼ਨ ਆਪਣੇ ਸਾਰੇ ਡੋਮੇਨ ਉੱਤੇ ਵਧ ਰਹੇ (ਜਾਂ ਘਟ ਰਹੇ) ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ। ਇਨਪੁਟ ਦਾ ਇੱਕ ਮੁੱਲ ਜਿੱਥੇ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਧਣ ਤੋਂ ਘਟਣ ਵੱਲ ਬਦਲਦਾ ਹੈ (ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਜਾਂਦੇ ਹਾਂ, ਭਾਵ, ਜਿਵੇਂ ਇਨਪੁਟ ਵੇਰੀਏਬਲ ਵਧਦਾ ਹੈ) ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ (local maximum) ਦਾ ਸਥਾਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਸ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕੋਲ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹਨ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਸ ਕੋਲ ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ (local maxima) ਹਨ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਇਨਪੁਟ ਦਾ ਇੱਕ ਮੁੱਲ ਜਿੱਥੇ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਘਟਣ ਤੋਂ ਵਧਣ ਵੱਲ ਬਦਲਦਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਇਨਪੁਟ ਵੇਰੀਏਬਲ ਵਧਦਾ ਹੈ, ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ (local minimum) ਦਾ ਸਥਾਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਸ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਸਥਾਨਕ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਬਹੁਵਚਨ ਰੂਪ "ਸਥਾਨਕ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ" (local minima) ਹੈ। ਇਕੱਠੇ, ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਅਤੇ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਨੂੰ ਸਥਾਨਕ ਅਤਿਅੰਤ (local extrema), ਜਾਂ ਸਥਾਨਕ ਅਤਿਅੰਤ ਮੁੱਲ (local extreme values) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। (ਇਕਵਚਨ ਰੂਪ "ਅਤਿਅੰਤ" (extremum) ਹੈ।) ਅਕਸਰ, ਸਥਾਨਕ ਸ਼ਬਦ ਨੂੰ ਸਬੰਧਤ (relative) ਸ਼ਬਦ ਨਾਲ ਬਦਲ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਪਾਠ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸਥਾਨਕ ਸ਼ਬਦ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ, ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਸੇ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਨਾ ਤਾਂ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਇਹ ਸਥਿਰ ਹੈ। ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤਿਅੰਤ (extrema) ਉੱਤੇ ਨਾ ਤਾਂ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਸਾਨੂੰ ਸਥਾਨਕ ਅਤਿਅੰਤ ਬਾਰੇ ਗੱਲ ਕਰਨੀ ਪੈਂਦੀ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਇੱਥੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੇ ਗਏ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਥਾਨਕ ਅਤਿਅੰਤ ਜ਼ਰੂਰੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਪੂਰੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟਾ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ।
ਚਿੱਤਰ 4 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ, ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ 16 ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ x=−2 ਉੱਤੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ। ਸਥਾਨਕ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ −16 ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ x=2 ਉੱਤੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ।
ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਅਤੇ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਨਿਰੀਖਣ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਇਹ ਪਤਾ ਲਗਾਇਆ ਜਾ ਸਕੇ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ ਕਿਸੇ ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਅੰਤਰਾਲ ਦੇ ਅੰਦਰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਆਪਣੇ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਚੇ ਅਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਨੀਵੇਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਕਦੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਰੋਲਰ ਕੋਸਟਰ ਦੀ ਚੋਟੀ ਵਾਂਗ, ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉੱਤੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਦੇ ਨੇੜੇ ਦੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨਾਲੋਂ ਉੱਚਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ ਸਥਾਨਕ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਉੱਤੇ ਗੁਆਂਢੀ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨਾਲੋਂ ਵੀ ਨੀਵਾਂ ਹੋਵੇਗਾ। ਚਿੱਤਰ 5 ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਵਿਚਾਰਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 5: ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਇਹ ਨਿਰੀਖਣ ਸਾਨੂੰ ਸਥਾਨਕ ਅਤਿਅੰਤ ਦੀ ਇੱਕ ਰਸਮੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।
ਸਥਾਨਕ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਅਤੇ ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਇੱਕ ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਵਧ ਰਿਹਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜੇਕਰ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਹਰ ਦੋ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ a ਅਤੇ b ਲਈ ਜਿੱਥੇ b>a, f(b)>f(a) ਹੋਵੇ।
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਇੱਕ ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਘਟ ਰਿਹਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜੇਕਰ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਹਰ ਦੋ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ a ਅਤੇ b ਲਈ ਜਿੱਥੇ b>a, f(b)<f(a) ਹੋਵੇ।
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਇੱਕ ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਅੰਤਰਾਲ (a,c) ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ b ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਰੱਖਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਹਰ ਬਿੰਦੂ x (ਜਿੱਥੇ x, b ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹੈ) ਲਈ f(b)≥f(x) ਹੋਵੇ। f ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ (a,c) ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ b ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਰੱਖਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਹਰ ਬਿੰਦੂ x (ਜਿੱਥੇ x, b ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹੈ) ਲਈ f(b)≤f(x) ਹੋਵੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 7
ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਤੇ ਵਧਣ ਅਤੇ ਘਟਣ ਵਾਲੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ
ਚਿੱਤਰ 6 ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ p(t) ਲਈ, ਉਹਨਾਂ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਉੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਧ ਰਿਹਾ ਜਾਪਦਾ ਹੈ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਸੇ ਵੀ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਸਥਿਰ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ ਉੱਥੇ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਇਹ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਜਾਣ 'ਤੇ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਝੁਕਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਉੱਥੇ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਇਹ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਜਾਣ 'ਤੇ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਝੁਕਦਾ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ t=1 ਤੋਂ t=3 ਤੱਕ ਅਤੇ t=4 ਤੋਂ ਅੱਗੇ ਵਧ ਰਿਹਾ ਜਾਪਦਾ ਹੈ।
1. ਅਸੀਂ ਅੰਤਰਾਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਕਹਾਂਗੇ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅੰਤਰਾਲ (1,3) ਅਤੇ ਅੰਤਰਾਲ (4,∞) ਉੱਤੇ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ।
2. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
3. ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ (ਅੰਤਰਾਲ ਜੋ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ t=1, t=3, ਅਤੇ t=4 ਉੱਤੇ ਨਾ ਤਾਂ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਇਹ ਬਿੰਦੂ ਸਥਾਨਕ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਾ (ਦੋ ਨਿਊਨਤਮ ਅਤੇ ਇੱਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ) ਹਨ।
4. ਉਦਾਹਰਨ 8
5. ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਸਥਾਨਕ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਾ ਲੱਭਣਾ
6. ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = 2x + x³ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। ਫਿਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਥਾਨਕ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਾ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਉੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ।
7. ਹੱਲ
8. ਟੈਕਨੋਲੋਜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਚਿੱਤਰ 7 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਦੇਣ ਵਾਲਾ ਹੈ। ਅਜਿਹਾ ਲਗਦਾ ਹੈ ਕਿ x=2 ਅਤੇ x=3 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਨੀਵਾਂ ਬਿੰਦੂ, ਜਾਂ ਸਥਾਨਕ ਨਿਊਨਤਮ, ਅਤੇ x=−3 ਅਤੇ x=−2 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਕਿਤੇ ਇੱਕ ਸ਼ੀਸ਼ੇ ਵਰਗਾ ਉੱਚਾ ਬਿੰਦੂ, ਜਾਂ ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ, ਹੈ।
9. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
10. ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਯੂਟਿਲਿਟੀਜ਼ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਅਤੇ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਦੇ ਸਥਾਨ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਚਿੱਤਰ 8 ਦੋ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਟੈਕਨੋਲੋਜੀ ਤੋਂ ਸਕ੍ਰੀਨ ਚਿੱਤਰ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਅਤੇ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਲਈ ਅਨੁਮਾਨ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਨ।
11. ਇਹਨਾਂ ਅਨੁਮਾਨਾਂ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਅੰਤਰਾਲ (−∞,−2.449) ਅਤੇ (2.449,∞) ਉੱਤੇ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਉਮੀਦ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਾ ਸਮਮਿਤੀ ਹੋਣਗੇ, ਦੋ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਟੈਕਨੋਲੋਜੀ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਅਨੁਮਾਨ ਐਲਗੋਰਿਦਮਾਂ ਦੇ ਕਾਰਨ ਚਾਰ ਦਸ਼ਮਲਵ ਤੱਕ ਹੀ ਸਹਿਮਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। (ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਾ ਦਾ ਸਹੀ ਸਥਾਨ ±√6, ±√6 ਹੈ, ਪਰ ਇਸਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।)
12. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #4
13. ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = x³ −6x² −15x+20 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ ਤਾਂ ਜੋ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਥਾਨਕ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਾ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਇਆ ਜਾ ਸਕੇ। ਇਹਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਉਹਨਾਂ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਰੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਉੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਅਤੇ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ।
14. ਉਦਾਹਰਨ 9
15. ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਅਤੇ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਲੱਭਣਾ
16. ਚਿੱਤਰ 9 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਗ੍ਰਾਫ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਲਈ, ਸਾਰੇ ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਅਤੇ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਲੱਭੋ।
17. ਹੱਲ
18. f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਨਿਰੀਖਣ ਕਰੋ। ਗ੍ਰਾਫ x=1 ਉੱਤੇ ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ x=1 ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਇੱਕ ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਚਾ ਬਿੰਦੂ ਹੈ। ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ x=1 ਉੱਤੇ y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ 2 ਹੈ।
19. ਗ੍ਰਾਫ x=−1 ਉੱਤੇ ਸਥਾਨਕ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ x=−1 ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਇੱਕ ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਸਭ ਤੋਂ ਨੀਵਾਂ ਬਿੰਦੂ ਹੈ। ਸਥਾਨਕ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ x=−1 ਉੱਤੇ y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ −2 ਹੈ।
20. ਟੂਲਕਿੱਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਵੱਧ ਰਹੇ ਜਾਂ ਘਟ ਰਹੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਲਈ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰਨਾ
21. ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਆਪਣੇ ਟੂਲਕਿੱਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ 'ਤੇ ਵਾਪਸ ਜਾਵਾਂਗੇ ਅਤੇ ਚਿੱਤਰ 10, ਚਿੱਤਰ 11, ਅਤੇ ਚਿੱਤਰ 12 ਵਿੱਚ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ ਵਿਵਹਾਰ ਦੀ ਚਰਚਾ ਕਰਾਂਗੇ।
22. ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਨਿਰਪੇਖ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਅਤੇ ਨਿਰਪੇਖ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਲੱਭੋ
23. ਇੱਕ ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਅੰਤਰਾਲ (ਸਥਾਨਕ ਤੌਰ 'ਤੇ) ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਇੱਕ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਚੇ ਅਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਨੀਵੇਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਅਤੇ ਡੋਮੇਨ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਚੇ ਅਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਨੀਵੇਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਵਿੱਚ ਅੰਤਰ ਹੈ। ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਚੇ ਅਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਨੀਵੇਂ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ (ਆਉਟਪੁੱਟ) ਨੂੰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਨਿਰਪੇਖ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਅਤੇ ਨਿਰਪੇਖ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
24. ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਨਿਰਪੇਖ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਅਤੇ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਉੱਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਚੇ ਅਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਨੀਵੇਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਨਿਰੀਖਣ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 13 ਦੇਖੋ।
ਹਰ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਕੋਈ ਨਿਰਪੇਖ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = x³ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ।
ਨਿਰਪੇਖ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਅਤੇ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ
ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦਾ x=c 'ਤੇ ਨਿਰਪੇਖ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ f(c) ਹੈ, ਜਿੱਥੇ f(c) ≥ f(x) ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ x ਲਈ ਹੈ।
ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦਾ x=d 'ਤੇ ਨਿਰਪੇਖ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲ f(d) ਹੈ, ਜਿੱਥੇ f(d) ≤ f(x) ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ x ਲਈ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 10
ਗ੍ਰਾਫ਼ ਤੋਂ ਨਿਰਪੇਖ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਅਤੇ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਲੱਭਣਾ
ਚਿੱਤਰ 14 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਲਈ, ਸਾਰੇ ਨਿਰਪੇਖ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਅਤੇ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਦੇਖੋ। ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੋ ਸਥਾਨਾਂ, x=−2 ਅਤੇ x=2 'ਤੇ ਇੱਕ ਨਿਰਪੇਖ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹਨਾਂ ਸਥਾਨਾਂ 'ਤੇ, ਗ੍ਰਾਫ਼ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ 'ਤੇ ਆਪਣਾ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਚਾ ਬਿੰਦੂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਨਿਰਪੇਖ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ x=−2 ਅਤੇ x=2 'ਤੇ y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ 16 ਹੈ।
ਗ੍ਰਾਫ਼ x=3 'ਤੇ ਇੱਕ ਨਿਰਪੇਖ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਡੋਮੇਨ 'ਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਹੇਠਲਾ ਬਿੰਦੂ ਹੈ। ਨਿਰਪੇਖ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲ x=3 'ਤੇ y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ −10 ਹੈ।
ਮੀਡੀਆ
ਬਦਲਾਅ ਦੀਆਂ ਦਰਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਸਿੱਖਿਆ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਸ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
ਔਸਤ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ
ਸ਼ਬਦਿਕ
ਕੀ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਔਸਤ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਸਥਿਰ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ?
ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਫੰਕਸ਼ਨ (a,b) 'ਤੇ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਅਤੇ (b,c) 'ਤੇ ਘੱਟ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਤਾਂ (a,c) 'ਤੇ f ਦੇ ਸਥਾਨਕ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮ ਬਾਰੇ ਕੀ ਕਿਹਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ?
ਨਿਰਪੇਖ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਅਤੇ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਸਥਾਨਕ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮ ਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਸਮਾਨ ਅਤੇ ਵੱਖਰੇ ਹਨ?
ਵਧਣ ਅਤੇ ਘਟਣ ਦੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਵਰਗ ਫੰਕਸ਼ਨ y=x² ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨਾਲ ਕਿਵੇਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ?
ਬੀਜਗਣਿਤ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ b ਜਾਂ h ਲਈ ਨਿਰਧਾਰਤ ਅੰਤਰਾਲ 'ਤੇ ਹਰੇਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਔਸਤ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਲੱਭੋ।
f(x) = 4x² − 7 [1,b] 'ਤੇ
g(x) = 2x² − 9 [4,b] 'ਤੇ
p(x) = 3x+4 [2,2+h] 'ਤੇ
k(x) = 4x−2 [3,3+h] 'ਤੇ
f( x )=2 x 2 +1 f( x )=2 x 2 +1 on [x,x+h] [x,x+h]
g( x )=3 x 2 −2 g( x )=3 x 2 −2 on [x,x+h] [x,x+h]
a( t )= 1 t+4 a( t )= 1 t+4 on [9,9+h] [9,9+h]
b( x )= 1 x+3 b( x )= 1 x+3 on [1,1+h] [1,1+h]
j( x )=3 x 3 j( x )=3 x 3 on [1,1+h] [1,1+h]
r( t )=4 t 3 r( t )=4 t 3 on [2,2+h] [2,2+h]
Find f( x+h )−f( x ) h f( x+h )−f( x ) h given f( x )=2 x 2 −3x f( x )=2 x 2 −3x on [x,x+h] [x,x+h]
Graphical
For the following exercises, consider the graph of f f shown in Figure 15.
Estimate the average rate of change from x=1 x=1 to x=4. x=4.
Estimate the average rate of change from x=2 x=2 to x=5. x=5.
For the following exercises, use the graph of each function to estimate the intervals on which the function is increasing or decreasing.
For the following exercises, consider the graph shown in Figure 16.
Estimate the intervals where the function is increasing or decreasing.
Estimate the point(s) at which the graph of f f has a local maximum or a local minimum.
For the following exercises, consider the graph in Figure 17.
If the complete graph of the function is shown, estimate the intervals where the function is increasing or decreasing.
If the complete graph of the function is shown, estimate the absolute maximum and absolute minimum.
Numeric
Table 3 gives the annual sales (in millions of dollars) of a product from 1998 to 2006. What was the average rate of change of annual sales (a) between 2001 and 2002, and (b) between 2001 and 2004?
row: Year | Sales (millions of dollars)
row: 1998 | 201
row: 1999 | 219
row: 2000 | 233
row: 2001 | 243
row: 2002 | 249
row: 2003 | 251
row: 2004 | 249
row: 2005 | 243
row: 2006 | 233
Table 4 gives the population of a town (in thousands) from 2000 to 2008. What was the average rate of change of population (a) between 2002 and 2004, and (b) between 2002 and 2006?
row: Year | Population (thousands)
row: 2000 | 87
row: 2001 | 84
row: 2002 | 83
row: 2003 | 80
row: 2004 | 77
row: 2005 | 76
row: 2006 | 78
row: 2007 | 81
row: 2008 | 85
For the following exercises, find the average rate of change of each function on the interval specified.
f( x )= x 2 f( x )= x 2 on [1,5] [1,5]
h( x )=5−2 x 2 h( x )=5−2 x 2 on [−2,4] [−2,4]
q( x )= x 3 q( x )= x 3 on [−4,2] [−4,2]
g( x )=3 x 3 −1 g( x )=3 x 3 −1 on [−3,3] [−3,3]
y= 1 x y= 1 x on [1, 3] [1, 3]
p( t )= ( t 2 −4 )( t+1 ) t 2 +3 p( t )= ( t 2 −4 )( t+1 ) t 2 +3 on [−3,1] [−3,1]
k( t )=6 t 2 + 4 t 3 [−1,3]
ਤਕਨਾਲੋਜੀ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਕਿਸੇ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਯੂਟਿਲਿਟੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹਰੇਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਥਾਨਕ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਾ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ ਜਿਨ੍ਹਾਂ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਅਤੇ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ।
f( x )= x 4 −4 x 3 +5
h( x )= x 5 +5 x 4 +10 x 3 +10 x 2 −1
g( t )=t t+3
k( t )=3 t 2 3 −t
m( x )= x 4 +2 x 3 −12 x 2 −10x+4
n( x )= x 4 −8 x 3 +18 x 2 −6x+2
ਵਿਸਤਾਰ
ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਚਿੱਤਰ 18 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਸਕ੍ਰੀਨ ਸ਼ਾਟ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ, ਬਿੰਦੂ (1.333,5.185) ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਹੜਾ ਹੈ?
ⓐ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ (ਲੋਕਲ) ਮੈਕਸਿਮਮ
ⓑ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਵਰਟੈਕਸ
ⓒ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਨਿਰਪੇਖ ਮੈਕਸਿਮਮ
ⓓ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਜ਼ੀਰੋ
ਮੰਨ ਲਓ f(x)= 1 x । ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਸੰਖਿਆ c ਲੱਭੋ ਜਿਸ ਲਈ ਅੰਤਰਾਲ (1,c) 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦੀ ਔਸਤ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦਰ − 1 4 ਹੋਵੇ।
ਮੰਨ ਲਓ f( x )= 1 x । ਅਜਿਹੀ ਸੰਖਿਆ b ਲੱਭੋ ਜਿਸ ਲਈ ਅੰਤਰਾਲ (2,b) 'ਤੇ f ਦੀ ਔਸਤ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦਰ − 1 10 ਹੋਵੇ।
ਰੀਅਲ-ਵਰਲਡ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ
ਯਾਤਰਾ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ 'ਤੇ, ਕਾਰ ਦੇ ਓਡੋਮੀਟਰ ਨੇ 21,395 ਪੜ੍ਹਿਆ। ਯਾਤਰਾ ਦੇ ਅੰਤ 'ਤੇ, 13.5 ਘੰਟੇ ਬਾਅਦ, ਓਡੋਮੀਟਰ ਨੇ 22,125 ਪੜ੍ਹਿਆ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਓਡੋਮੀਟਰ ਦਾ ਪੈਮਾਨਾ ਮੀਲਾਂ ਵਿੱਚ ਹੈ। ਇਸ ਯਾਤਰਾ ਦੌਰਾਨ ਕਾਰ ਦੀ ਔਸਤ ਗਤੀ ਕੀ ਸੀ?
ਇੱਕ ਕਾਰ ਦੇ ਡਰਾਈਵਰ ਨੇ ਗੈਸ ਟੈਂਕ ਭਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਗੈਸ ਸਟੇਸ਼ਨ 'ਤੇ ਰੁਕਿਆ। ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੇ ਆਪਣੀ ਘੜੀ ਵੱਲ ਦੇਖਿਆ, ਅਤੇ ਸਮਾਂ ਬਿਲਕੁਲ 3:40 ਸ਼ਾਮ ਦਾ ਸੀ। ਇਸ ਸਮੇਂ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੇ ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ ਗੈਸ ਪੰਪ ਕਰਨਾ ਸ਼ੁਰੂ ਕੀਤਾ। ਬਿਲਕੁਲ 3:44 'ਤੇ, ਟੈਂਕ ਭਰ ਗਿਆ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੇ ਦੇਖਿਆ ਕਿ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੇ 10.7 ਗੈਲਨ ਪੰਪ ਕੀਤੇ ਸਨ। ਗੈਸ ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ ਗੈਸੋਲੀਨ ਦੇ ਪ੍ਰਵਾਹ ਦੀ ਔਸਤ ਦਰ ਕੀ ਹੈ?
ਚੰਦਰਮਾ ਦੀ ਸਤ੍ਹਾ ਦੇ ਨੇੜੇ, ਇੱਕ ਵਸਤੂ ਜਿੰਨੀ ਦੂਰੀ ਡਿੱਗਦੀ ਹੈ, ਉਹ ਸਮੇਂ ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਇਹ d( t )=2.6667 t 2 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ t ਸਕਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਹੈ ਅਤੇ d( t ) ਫੁੱਟਾਂ ਵਿੱਚ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਵਸਤੂ ਕਿਸੇ ਖਾਸ ਉਚਾਈ ਤੋਂ ਸੁੱਟੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ t=1 ਤੋਂ t=2 ਤੱਕ ਵਸਤੂ ਦੇ ਔਸਤ ਵੇਗ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
ਚਿੱਤਰ 19 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ t ਦਿਨਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਰੇਡੀਓਐਕਟਿਵ ਪਦਾਰਥ ਦੇ ਸੜਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ t=5 ਤੋਂ t=15 ਤੱਕ ਔਸਤ ਸੜਨ ਦਰ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ।