ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਕਾਰਜਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ।
ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਰਚਨਾ ਦੁਆਰਾ ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਬਣਾਓ।
ਸੰਯੁਕਤ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਸੰਯੁਕਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਲੱਭੋ।
ਇੱਕ ਸੰਯੁਕਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਸੰਯੁਕਤ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡੋ।
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਸਾਲ ਦੇ ਇੱਕ ਖਾਸ ਦਿਨ ਘਰ ਨੂੰ ਗਰਮ ਕਰਨ ਦੀ ਲਾਗਤ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਘਰ ਨੂੰ ਗਰਮ ਕਰਨ ਦੀ ਲਾਗਤ ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਔਸਤ ਤਾਪਮਾਨ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰੇਗੀ, ਅਤੇ ਬਦਲੇ ਵਿੱਚ, ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਔਸਤ ਤਾਪਮਾਨ ਸਾਲ ਦੇ ਖਾਸ ਦਿਨ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਦੋ ਸਬੰਧਾਂ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਹੈ: ਲਾਗਤ ਤਾਪਮਾਨ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਤਾਪਮਾਨ ਦਿਨ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਵਰਣਨਾਤਮਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਨੋਟ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਫੰਕਸ਼ਨ C( T ) ਘਰ ਨੂੰ T ਡਿਗਰੀ ਸੈਲਸੀਅਸ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਔਸਤ ਤਾਪਮਾਨ ਲਈ ਗਰਮ ਕਰਨ ਦੀ ਲਾਗਤ C ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ T( d ) ਸਾਲ ਦੇ ਦਿਨ d 'ਤੇ ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਔਸਤ ਤਾਪਮਾਨ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਵੀ ਦਿੱਤੇ ਦਿਨ ਲਈ, ਲਾਗਤ=C( T( d ) ) ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਲਾਗਤ ਤਾਪਮਾਨ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਬਦਲੇ ਵਿੱਚ ਸਾਲ ਦੇ ਦਿਨ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਤਾਪਮਾਨ T( d ) 'ਤੇ ਲਾਗਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸਾਲ ਦੇ 5ਵੇਂ ਦਿਨ ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਔਸਤ ਤਾਪਮਾਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ T( 5 ) ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ, ਅਸੀਂ ਉਸ ਤਾਪਮਾਨ 'ਤੇ ਲਾਗਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ C( T( 5 ) ) ਲਿਖਾਂਗੇ।
ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਸਬੰਧਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਜੋੜ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਰਚਨਾ ਕੀਤੀ ਹੈ, ਜੋ ਇਸ ਭਾਗ ਦਾ ਫੋਕਸ ਹੈ।
ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਕਾਰਜਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨਾ
ਫੰਕਸ਼ਨ ਰਚਨਾ ਮੌਜੂਦਾ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਦਾ ਇੱਕੋ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਹੈ। ਦੂਜਾ ਤਰੀਕਾ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ 'ਤੇ ਆਮ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਕਾਰਜਾਂ ਨੂੰ ਕਰਨਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਜੋੜ, ਘਟਾਓ, ਗੁਣਾ ਅਤੇ ਭਾਗ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਆਉਟਪੁੱਟ ਨਾਲ ਕਾਰਜ ਕਰਕੇ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਸਾਡੇ ਨਵੇਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸਾਨੂੰ ਸਾਲਾਂ ਦੀ ਮਿਆਦ ਵਿੱਚ ਪਤੀ ਅਤੇ ਪਤਨੀ ਦੀਆਂ ਵੱਖਰੀਆਂ ਸਾਲਾਨਾ ਆਮਦਨਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲੇ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਦੋ ਕਾਲਮ ਜੋੜਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਨਤੀਜਾ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਘਰੇਲੂ ਆਮਦਨ ਹੋਵੇਗੀ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਹਰ ਸਾਲ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਸਿਰਫ ਉਸ ਸਾਲ ਦੀ ਆਮਦਨ ਜੋੜ ਕੇ ਅਤੇ ਫਿਰ ਸਾਰਾ ਡਾਟਾ ਇੱਕ ਨਵੇਂ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ ਇਕੱਠਾ ਕਰਕੇ। ਜੇ w(y) ਪਤਨੀ ਦੀ ਆਮਦਨ ਹੈ ਅਤੇ h(y) ਸਾਲ y ਵਿੱਚ ਪਤੀ ਦੀ ਆਮਦਨ ਹੈ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ T ਨੂੰ ਕੁੱਲ ਆਮਦਨ ਦਰਸਾਉਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਜੇ ਇਹ ਹਰ ਸਾਲ ਸੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਸਾਲ ਦੇ ਸੰਦਰਭ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ 'ਤੇ ਧਿਆਨ ਕੇਂਦਰਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਇਸ ਜੋੜ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜੋੜੇ ਲਈ ਅੰਤਰ, ਗੁਣਨਫਲ, ਅਤੇ ਅਨੁਪਾਤ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਇਨਪੁਟ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ (ਜ਼ਰੂਰੀ ਨਹੀਂ ਕਿ ਸੰਖਿਆਵਾਂ) ਅਤੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਵੀ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ (ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਬੀਜਗਣਿਤ ਦੇ ਆਮ ਕਾਰਜ ਉਹਨਾਂ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੋ ਸਕਣ, ਅਤੇ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਇਕਾਈਆਂ ਹੋਣੀਆਂ ਚਾਹੀਦੀਆਂ ਹਨ ਜਾਂ ਕੋਈ ਇਕਾਈ ਨਹੀਂ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਜੋੜਦੇ ਅਤੇ ਘਟਾਉਂਦੇ ਹਾਂ)। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ, ਘਟਾਉਣ, ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਅਤੇ ਭਾਗ ਕਰਨ ਬਾਰੇ ਸੋਚ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ f( x ) ਅਤੇ g( x ) ਲਈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਆਉਟਪੁੱਟ ਹਨ, ਅਸੀਂ ਨਵੇਂ ਫੰਕਸ਼ਨ f+g,f−g,fg, ਅਤੇ f g ਨੂੰ ਸਬੰਧਾਂ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ 'ਤੇ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਕਾਰਜ ਕਰਨਾ
ਫੰਕਸ਼ਨ ( g−f )( x ) ਅਤੇ ( g f )( x ) ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਸਰਲ ਬਣਾਓ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ f( x )=x−1 ਅਤੇ g( x )= x 2 −1 ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਕੀ ਉਹ ਇੱਕੋ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ?
ਹੱਲ
ਆਮ ਰੂਪ ਲਿਖ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
ਨਹੀਂ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਨਹੀਂ ਹਨ।
ਨੋਟ: ( g f )( x ) ਲਈ, ਸ਼ਰਤ x≠1 ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਜਦੋਂ x=1 ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਹਰ 0 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
1. ( fg )( x ) ਅਤੇ ( f−g )( x ) ਦੇ ਫਲਨ (functions) ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਸਰਲ ਕਰੋ।
2. ਕੀ ਇਹ ਇੱਕੋ ਫਲਨ ਹਨ?
3. ਫਲਨਾਂ ਦੀ ਸੰਰਚਨਾ (Composition of Functions) ਦੁਆਰਾ ਇੱਕ ਫਲਨ ਬਣਾਉਣਾ
4. ਫਲਨਾਂ 'ਤੇ ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ ਕਿਰਿਆਵਾਂ ਕਰਨ ਨਾਲ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਨਵੇਂ ਫਲਨ ਵਿੱਚ ਜੋੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਅਸੀਂ ਫਲਨਾਂ ਦੀ ਸੰਰਚਨਾ ਦੁਆਰਾ ਵੀ ਫਲਨ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਸਾਲ ਦੇ ਦਿਨ ਤੋਂ ਹੀਟਿੰਗ ਲਾਗਤ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਸੀ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਫਲਨ ਬਣਾਇਆ ਜੋ ਇੱਕ ਦਿਨ ਨੂੰ ਇਨਪੁਟ ਵਜੋਂ ਲੈਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਆਉਟਪੁਟ ਵਜੋਂ ਲਾਗਤ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਫਲਨ ਦੇ ਆਉਟਪੁਟ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਦੇ ਇਨਪੁਟ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਨੂੰ ਫਲਨਾਂ ਦੀ ਸੰਰਚਨਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਫਲਨ ਨੂੰ ਸੰਯੁਕਤ ਫਲਨ (composite function) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਸੰਯੋਜਨ ਨੂੰ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ:
5. ਅਸੀਂ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਨੂੰ “f g ਨਾਲ x 'ਤੇ ਸੰਰਚਿਤ (composed with g at x)” ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਨੂੰ “f, g ਦੇ x (f of g of x)” ਪੜ੍ਹਦੇ ਹਾਂ। ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਇੱਕੋ ਗਣਿਤਿਕ ਅਰਥ ਰੱਖਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਬਰਾਬਰ ਹਨ। ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ ∘ ਸੰਰਚਨਾ ਆਪਰੇਟਰ (composition operator) ਕਹਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਆਪਰੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਮੁੱਖ ਤੌਰ 'ਤੇ ਉਦੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਖਾਸ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਦਾ ਹਵਾਲਾ ਦਿੱਤੇ ਬਿਨਾਂ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਸਬੰਧ ਨੂੰ ਜ਼ੋਰ ਦੇਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਸੰਰਚਨਾ ਇੱਕ ਦੋ-ਪੱਖੀ ਕਿਰਿਆ ਹੈ ਜੋ ਦੋ ਫਲਨਾਂ ਨੂੰ ਲੈਂਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਫਲਨ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਜੋੜ ਜਾਂ ਗੁਣਾ ਦੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲੈਂਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਇੱਕ ਨਵੀਂ ਸੰਖਿਆ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਫਲਨ ਸੰਰਚਨਾ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਨਾਲ ਗਲਤ ਨਾ ਸਮਝਣਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਉੱਪਰ ਸਿੱਖਿਆ ਹੈ, ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ f(g(x))≠f(x)g(x)।
6. ਸੰਯੁਕਤ ਫਲਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਨ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਕਿਰਿਆਵਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਨੂੰ ਸਮਝਣਾ ਵੀ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਸਭ ਤੋਂ ਅੰਦਰਲੇ ਬਰੈਕਟਾਂ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਕੇ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਬਾਹਰ ਵੱਲ ਕੰਮ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਬਰੈਕਟਾਂ ਨਾਲ ਆਮ ਪਰੰਪਰਾ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਉਪਰੋਕਤ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ, ਫਲਨ g ਪਹਿਲਾਂ ਇਨਪੁਟ x ਲੈਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਆਉਟਪੁਟ g(x) ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ ਫਲਨ f, g(x) ਨੂੰ ਇਨਪੁਟ ਵਜੋਂ ਲੈਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਆਉਟਪੁਟ f(g(x)) ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
7. ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, f∘g ਅਤੇ g∘f ਵੱਖਰੇ ਫਲਨ ਹਨ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ x ਲਈ f(g(x))≠g(f(x)) ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਦੇਖਾਂਗੇ ਕਿ ਕਈ ਵਾਰ ਦੋ ਫਲਨਾਂ ਨੂੰ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਖਾਸ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਹੀ ਸੰਰਚਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
8. ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ f(x)=x² ਅਤੇ g(x)=x+2, ਤਾਂ
9. ਪਰ
10. ਇਹ ਵਿਅੰਜਕ (expressions) ਸਾਰੇ x ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਦੋ ਫਲਨ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਇਹ ਅਪ੍ਰਸੰਗਿਕ ਹੈ ਕਿ ਵਿਅੰਜਕ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ x=−1/2 ਲਈ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
11. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਅੰਦਰਲੇ ਫਲਨ (ਪਹਿਲਾਂ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾਣ ਵਾਲਾ ਫਲਨ) ਦੀ ਰੇਂਜ ਬਾਹਰਲੇ ਫਲਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ (domain) ਦੇ ਅੰਦਰ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ। ਘੱਟ ਰਸਮੀ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਸੰਰਚਨਾ ਇਨਪੁਟ ਅਤੇ ਆਉਟਪੁਟ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਸਮਝਦਾਰੀ ਵਾਲੀ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ।
12. ਫਲਨਾਂ ਦੀ ਸੰਰਚਨਾ
13. ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਫਲਨ ਦੇ ਆਉਟਪੁਟ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਦੇ ਇਨਪੁਟ ਵਜੋਂ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਪੂਰੀ ਕਿਰਿਆ ਨੂੰ ਫਲਨਾਂ ਦੀ ਸੰਰਚਨਾ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਸੇ ਵੀ ਇਨਪੁਟ x ਅਤੇ ਫਲਨਾਂ f ਅਤੇ g ਲਈ, ਇਹ ਕਿਰਿਆ ਇੱਕ ਸੰਯੁਕਤ ਫਲਨ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ f∘g ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕਿ
14. ਸੰਯੁਕਤ ਫਲਨ f∘g ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਸਾਰੇ x ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ x, g ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਹੈ ਅਤੇ g(x), f ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਹੈ।
15. ਇਹ ਮਹਿਸੂਸ ਕਰਨਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਕਿ ਫਲਨਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ fg, ਫਲਨ ਸੰਰਚਨਾ f(g(x)) ਦੇ ਸਮਾਨ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ, ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, f(x)g(x)≠f(g(x))।
16. ਉਦਾਹਰਨ 2
17. ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ ਕਿ ਕੀ ਫਲਨਾਂ ਦੀ ਸੰਰਚਨਾ ਕਮਿਊਟੇਟਿਵ (Commutative) ਹੈ
18. ਪ੍ਰਦਾਨ ਕੀਤੇ ਗਏ ਫਲਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, f(g(x)) ਅਤੇ g(f(x)) ਲੱਭੋ। ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਫਲਨਾਂ ਦੀ ਸੰਰਚਨਾ ਕਮਿਊਟੇਟਿਵ ਹੈ।
19. ਹੱਲ
20. ਆਓ g(x) ਨੂੰ f(x) ਵਿੱਚ ਸਥਾਨਾਪੰਨ (substitute) ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੀਏ।
21. ਹੁਣ ਅਸੀਂ f(x) ਨੂੰ g(x) ਵਿੱਚ ਸਥਾਨਾਪੰਨ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
22. ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ g(f(x))≠f(g(x)), ਇਸ ਲਈ ਫਲਨ ਸੰਰਚਨਾ ਦੀ ਕਿਰਿਆ ਕਮਿਊਟੇਟਿਵ ਨਹੀਂ ਹੈ।
23. ਉਦਾਹਰਨ 3
24. ਸੰਯੁਕਤ ਫਲਨਾਂ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰਨਾ
The function c(s) c(s) gives the number of calories burned completing s s sit-ups, and s(t) s(t) gives the number of sit-ups a person can complete in t t minutes. Interpret c(s(3)). c(s(3)).
Solution
The inside expression in the composition is s(3). s(3). Because the input to the s-function is time, t=3 t=3 represents 3 minutes, and s(3) s(3) is the number of sit-ups completed in 3 minutes.
Using s(3) s(3) as the input to the function c(s) c(s) gives us the number of calories burned during the number of sit-ups that can be completed in 3 minutes, or simply the number of calories burned in 3 minutes (by doing sit-ups).
Example 4
Investigating the Order of Function Composition
Suppose f(x) f(x) gives miles that can be driven in x x hours and g(y) g(y) gives the gallons of gas used in driving y y miles. Which of these expressions is meaningful: f( g(y) ) f( g(y) ) or g( f(x) )? g( f(x) )?
Solution
The function y=f( x ) y=f( x ) is a function whose output is the number of miles driven corresponding to the number of hours driven.
The function g( y ) g( y ) is a function whose output is the number of gallons used corresponding to the number of miles driven. This means:
The expression g(y) g(y) takes miles as the input and a number of gallons as the output. The function f(x) f(x) requires a number of hours as the input. Trying to input a number of gallons does not make sense. The expression f( g(y) ) f( g(y) ) is meaningless.
The expression f(x) f(x) takes hours as input and a number of miles driven as the output. The function g(y) g(y) requires a number of miles as the input. Using f(x) f(x) (miles driven) as an input value for g(y), g(y), where gallons of gas depends on miles driven, does make sense. The expression g( f(x) ) g( f(x) ) makes sense, and will yield the number of gallons of gas used, g, g, driving a certain number of miles, f(x), f(x), in x x hours.
Q&A
Are there any situations where f(g(y)) f(g(y)) and g(f(x)) g(f(x)) would both be meaningful or useful expressions?
Yes. For many pure mathematical functions, both compositions make sense, even though they usually produce different new functions. In real-world problems, functions whose inputs and outputs have the same units also may give compositions that are meaningful in either order.
Try It #2
The gravitational force on a planet a distance r from the sun is given by the function G(r). G(r). The acceleration of a planet subjected to any force F F is given by the function a(F). a(F). Form a meaningful composition of these two functions, and explain what it means.
Evaluating Composite Functions
Once we compose a new function from two existing functions, we need to be able to evaluate it for any input in its domain. We will do this with specific numerical inputs for functions expressed as tables, graphs, and formulas and with variables as inputs to functions expressed as formulas. In each case, we evaluate the inner function using the starting input and then use the inner function’s output as the input for the outer function.
Evaluating Composite Functions Using Tables
When working with functions given as tables, we read input and output values from the table entries and always work from the inside to the outside. We evaluate the inside function first and then use the output of the inside function as the input to the outside function.
Example 5
Using a Table to Evaluate a Composite Function
Using Table 1, evaluate f(g(3)) f(g(3)) and g(f(3)). g(f(3)).
row: x x | f(x) f(x) | g(x) g(x)
row: 1 | 6 | 3
row: 2 | 8 | 5
row: 3 | 3 | 2
row: 4 | 1 | 7
Solution
To evaluate f(g(3)), f(g(3)), we start from the inside with the input value 3. We then evaluate the inside expression g(3) g(3) using the table that defines the function g: g: g(3)=2. g(3)=2. We can then use that result as the input to the function f, f, so g(3) g(3) is replaced by 2 and we get f(2). f(2). Then, using the table that defines the function f, f, we find that f(2)=8. f(2)=8.
To evaluate g(f(3)), g(f(3)), we first evaluate the inside expression f(3) f(3) using the first table: f(3)=3. f(3)=3. Then, using the table for g, g, we can evaluate
Table 2 shows the composite functions f∘g f∘g and g∘f g∘f as tables.
row: x x | g( x ) g( x ) | f( g( x ) ) f( g( x ) ) | f( x ) f( x ) | g( f( x ) ) g( f( x ) )
row: 3 | 2 | 8 | 3 | 2
Try It #3
Using Table 1, evaluate f(g(1)) f(g(1)) and g(f(4)). g(f(4)).
Evaluating Composite Functions Using Graphs
When we are given individual functions as graphs, the procedure for evaluating composite functions is similar to the process we use for evaluating tables. We read the input and output values, but this time, from the x- x- and y- y- axes of the graphs.
How To
Given a composite function and graphs of its individual functions, evaluate it using the information provided by the graphs.
Locate the given input to the inner function on the x- x- axis of its graph.
Read off the output of the inner function from the y- y- axis of its graph.
Locate the inner function output on the x- x- axis of the graph of the outer function.
Read the output of the outer function from the y- y- axis of its graph. This is the output of the composite function.
Example 6
Using a Graph to Evaluate a Composite Function
Using Figure 1, evaluate f(g(1)). f(g(1)).
Solution
f(g(1)) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਅੰਦਰੂਨੀ ਮੁੱਲ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਚਿੱਤਰ 2 ਦੇਖੋ।
g(1) ਦਾ ਮੁੱਲ, g(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪਤਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ x-ਧੁਰੇ ਉੱਤੇ 1 ਇਨਪੁਟ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਉਸ ਇਨਪੁਟ ਉੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ। ਇੱਥੇ, g(1)=3। ਅਸੀਂ ਇਸ ਮੁੱਲ ਨੂੰ f ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਇਨਪੁਟ ਵਜੋਂ ਵਰਤਦੇ ਹਾਂ।
ਅਸੀਂ ਫਿਰ f(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਦੇਖ ਕੇ ਸੰਯੁਕਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ x-ਧੁਰੇ ਉੱਤੇ 3 ਇਨਪੁਟ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਇਸ ਇਨਪੁਟ ਉੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲ ਪੜ੍ਹਦੇ ਹਾਂ। ਇੱਥੇ, f(3)=6, ਇਸ ਲਈ f(g(1))=6।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਚਿੱਤਰ 3 ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਤੋਂ ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲ ਤੱਕ ਦਾ ਮਾਰਗ ਲੱਭਣ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਨੂੰ ਤੀਰਾਂ ਨਾਲ ਕਿਵੇਂ ਚਿੰਨ੍ਹਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਪ੍ਰਯਾਸ ਕਰੋ #4
ਚਿੱਤਰ 1 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, g(f(2)) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸੰਯੁਕਤ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸੰਯੁਕਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਬਣਾਇਆ ਹੈ ਜਾਂ ਸਾਨੂੰ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ, ਤਾਂ ਅੰਦਰੋਂ ਬਾਹਰ ਕੰਮ ਕਰਨ ਦਾ ਨਿਯਮ ਉਹੀ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ। ਬਾਹਰੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਅੰਦਰੂਨੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਆਉਟਪੁਟ ਹੋਵੇਗਾ, ਜੋ ਕਿ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਮੁੱਲ, ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦਾ ਨਾਮ, ਜਾਂ ਇੱਕ ਵਧੇਰੇ ਜਟਿਲ ਸਮੀਕਰਨ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਹਾਲਾਂਕਿ ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਵਿਅਕਤੀਗਤ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਪਰ ਕਈ ਵਾਰ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਇਕੱਲਾ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲੱਭਣਾ ਮਦਦਗਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ f( g( x ) ) ਦੀ ਸੰਰਚਨਾ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਗਿਣ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਜਿਹਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਦੇ ਆਪਣੇ ਵਿਚਾਰ ਨੂੰ ਵਧਾਵਾਂਗੇ। ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ, ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ f(t)= t 2 −t ਵਰਗੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਬਰੈਕਟਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰਲੇ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ ਜਿੱਥੇ ਵੀ ਅਸੀਂ ਇਨਪੁਟ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ, ਉੱਥੇ ਬਦਲ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਇੱਕ ਸੰਯੁਕਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਜਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਆਏ ਆਉਟਪੁਟ ਨੂੰ ਬਾਹਰੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਇਨਪੁਟ ਵਜੋਂ ਵਰਤੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 7
ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਇਨਪੁਟ ਵਾਲੇ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਸੰਰਚਨਾ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ f(t)= t 2 −t ਅਤੇ h(x)=3x+2, f(h(1)) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ ਅੰਦਰੂਨੀ ਸਮੀਕਰਨ h(1) ਹੈ, ਅਸੀਂ 1 ਉੱਤੇ h(x) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਫਿਰ f(h(1))=f(5), ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ 5 ਦੇ ਇਨਪੁਟ ਉੱਤੇ f(t) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ ਇਨਪੁਟ ਵੇਰੀਏਬਲ t ਅਤੇ x ਨੂੰ ਜੋ ਵੀ ਨਾਮ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਨ, ਇਸ ਨਾਲ ਕੋਈ ਫਰਕ ਨਹੀਂ ਪੈਂਦਾ ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਖਾਸ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕੀਤਾ ਹੈ।
ਪ੍ਰਯਾਸ ਕਰੋ #5
ਦਿੱਤੇ ਗਏ f(t)= t 2 −t ਅਤੇ h(x)=3x+2,
ⓐ h(f(2)) h(f(2))
ⓑ h(f(−2)) h(f(−2))
ਸੰਯੁਕਤ ਫਲਨ ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਲੱਭਣਾ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ ਹੈ, ਸੰਯੁਕਤ ਫਲਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ f∘g ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ g ਦੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਅਤੇ f ਦੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਜਾਨਣਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਕਦੋਂ ਸੰਯੁਕਤ ਫਲਨ ਲਾਗੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਕਦੋਂ ਨਹੀਂ, ਅਰਥਾਤ, f∘g ਵਰਗੇ ਫਲਨ ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਜਾਨਣਾ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਵੱਖਰੇ ਤੌਰ 'ਤੇ f ਅਤੇ g ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਇਨਪੁਟ x ਲਈ ਸੰਯੁਕਤ ਫਲਨ ਨੂੰ f( g( x ) ) ਵਜੋਂ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਤੁਰੰਤ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ x, g ਦੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਦਾ ਇੱਕ ਮੈਂਬਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਸਮੀਕਰਨ ਅਰਥਪੂਰਨ ਹੋਵੇ, ਕਿਉਂਕਿ ਨਹੀਂ ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਅੰਦਰੂਨੀ ਫਲਨ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਨ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦੇ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ g( x ), f ਦੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਦਾ ਇੱਕ ਮੈਂਬਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਨਹੀਂ ਤਾਂ f( g( x ) ) ਵਿੱਚ ਦੂਜਾ ਫਲਨ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਨ ਪੂਰਾ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ, ਅਤੇ ਸਮੀਕਰਨ ਅਜੇ ਵੀ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ f∘g ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਸਿਰਫ਼ g ਦੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਵਿੱਚ ਉਹਨਾਂ ਇਨਪੁਟਾਂ ਦਾ ਬਣਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ g ਤੋਂ f ਦੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਆਉਟਪੁੱਟ ਪੈਦਾ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ g ਨਾਲ ਸੰਯੁਕਤ f ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਸਾਰੇ x ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ x, g ਦੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਵਿੱਚ ਹੈ ਅਤੇ g( x ), f ਦੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਵਿੱਚ ਹੈ।
ਸੰਯੁਕਤ ਫਲਨ ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼
f( g( x ) ) ਸੰਯੁਕਤ ਫਲਨ ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼, g ਦੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਵਿੱਚ ਉਹਨਾਂ ਇਨਪੁਟਾਂ x ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਲਈ g( x ), f ਦੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਵਿੱਚ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਇੱਕ ਫਲਨ ਸੰਯੋਜਨ f(g(x)) ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇਸਦੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
g ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਲੱਭੋ।
f ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਲੱਭੋ।
g ਦੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਵਿੱਚ ਉਹਨਾਂ ਇਨਪੁਟਾਂ x ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਲਈ g( x ), f ਦੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਵਿੱਚ ਹੈ। ਅਰਥਾਤ, g ਦੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਤੋਂ ਉਹਨਾਂ ਇਨਪੁਟਾਂ x ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਰੱਖੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਲਈ g( x ), f ਦੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਨਤੀਜਾ ਸਮੂਹ f∘g ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 8
ਸੰਯੁਕਤ ਫਲਨ ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਲੱਭਣਾ
ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਲੱਭੋ
ਹੱਲ
g( x ) ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਸਾਰੇ ਅਸਲ ਨੰਬਰਾਂ ਦਾ ਬਣਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਸਿਵਾਏ x= 2/3 , ਕਿਉਂਕਿ ਉਹ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਸਾਨੂੰ 0 ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਨ ਦਾ ਕਾਰਨ ਬਣੇਗਾ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, f ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਸਾਰੇ ਅਸਲ ਨੰਬਰਾਂ ਦਾ ਬਣਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਸਿਵਾਏ 1 ਦੇ। ਇਸ ਲਈ ਸਾਨੂੰ g( x ) ਦੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਤੋਂ ਉਸ x ਦੇ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਰੱਖਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ g( x )=1।
ਇਸ ਲਈ f∘g ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਸਾਰੇ ਅਸਲ ਨੰਬਰਾਂ ਦਾ ਬਣਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਸਿਵਾਏ 2/3 ਅਤੇ 2 ਦੇ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ
ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਅੰਤਰਾਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
ਉਦਾਹਰਨ 9
ਕਰਨੀਆਂ ਵਾਲੇ ਸੰਯੁਕਤ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਲੱਭਣਾ
ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਲੱਭੋ
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਵਰਗਮੂਲ ਨਹੀਂ ਲੈ ਸਕਦੇ, g ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ( −∞,3 ] ਹੈ। ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਸੰਯੁਕਤ ਫਲਨ ਦੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
( f∘g )(x)= 3−x+2 , 3−x+2 ≥0, ਕਿਉਂਕਿ ਵਰਗਮੂਲ ਦਾ ਰੈਡੀਕੈਂਡ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਵਰਗਮੂਲ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, 3−x ≥0 , ਜਾਂ, 3−x ≥0, ਜੋ ਕਿ (-∞,3] ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਇਹ ਉਦਾਹਰਨ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਸੀਮਾ (ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਫੰਕਸ਼ਨ) ਦੀ ਜਾਣਕਾਰੀ ਇੱਕ ਸੰਯੁਕਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਵਿੱਚ ਵੀ ਮਦਦਗਾਰ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਇਹ ਵੀ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿ f∘g ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਅਜਿਹੇ ਮੁੱਲ ਰੱਖ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੋ f ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਭਾਵੇਂ ਉਹ g ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #6
ਡੋਮੇਨ ਪਤਾ ਕਰੋ
ਇੱਕ ਸੰਯੁਕਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਭਾਗ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਵਿਘਟਿਤ ਕਰਨਾ
ਕੁਝ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਵਿਘਟਿਤ ਕਰਨਾ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਦੋ ਸਰਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਰਚਨਾ ਵਜੋਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇੱਕ ਸੰਯੁਕਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਵਿਘਟਿਤ ਕਰਨ ਦੇ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਤਰੀਕੇ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਉਹ ਵਿਘਟਨ ਚੁਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਸਭ ਤੋਂ ਪ੍ਰਭਾਵਸ਼ਾਲੀ ਲੱਗਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 10
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਵਿਘਟਿਤ ਕਰਨਾ
f(x)= 5− x 2 ਨੂੰ ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਰਚਨਾ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨ, g ਅਤੇ h, ਲੱਭ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਜੋ f(x)=g(h(x)) ਹੋਵੇ। ਅਜਿਹਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ f(x) ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਅੰਦਰ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ। ਇੱਕ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵਜੋਂ, ਅਸੀਂ ਨੋਟ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨ 5− x 2 ਵਰਗਮੂਲ ਦੇ ਅੰਦਰ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਫਿਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵਿਘਟਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਦੁਬਾਰਾ ਜੋੜ ਕੇ ਆਪਣੇ ਜਵਾਬ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #7
f(x)= 4 3− 4+ x 2 ਨੂੰ ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਰਚਨਾ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
ਮੀਡੀਆ
ਸੰਯੁਕਤ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
ਸੰਯੁਕਤ ਫੰਕਸ਼ਨ
ਸੰਯੁਕਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ
ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸੰਯੁਕਤ ਫੰਕਸ਼ਨ
ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਵਿਘਟਿਤ ਕਰੋ
ਸੰਯੁਕਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੁੱਲ
ਮੌਖਿਕ
ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ, f g ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਕਿਵੇਂ ਲੱਭਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ?
ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ, f∘g ਦੀ ਰਚਨਾ ਕੀ ਹੈ?
If the order is reversed when composing two functions, can the result ever be the same as the answer in the original order of the composition? If yes, give an example. If no, explain why not.
How do you find the domain for the composition of two functions, f∘g? f∘g?
Algebraic
Given f(x)= x 2 +2x f(x)= x 2 +2x and g(x)=6− x 2 , g(x)=6− x 2 , find f+g,f−g,fg, f+g,f−g,fg, and f g . f g . Determine the domain for each function in interval notation.
Given f(x)=−3 x 2 +x f(x)=−3 x 2 +x and g(x)=5, g(x)=5, find f+g,f−g,fg, f+g,f−g,fg, and f g . f g . Determine the domain for each function in interval notation.
Given f(x)=2 x 2 +4x f(x)=2 x 2 +4x and g(x)= 1 2x , g(x)= 1 2x , find f+g,f−g,fg, f+g,f−g,fg, and f g . f g . Determine the domain for each function in interval notation.
Given f(x)= 1 x−4 f(x)= 1 x−4 and g(x)= 1 6−x , g(x)= 1 6−x , find f+g,f−g,fg, f+g,f−g,fg, and f g . f g . Determine the domain for each function in interval notation.
Given f(x)=3 x 2 f(x)=3 x 2 and g(x)= x−5 , g(x)= x−5 , find f+g,f−g,fg, f+g,f−g,fg, and f g . f g . Determine the domain for each function in interval notation.
Given f(x)= x f(x)= x and g(x)=|x−3|, g(x)=|x−3|, find g f . g f . Determine the domain of the function in interval notation.
Given f(x)=2 x 2 +1 f(x)=2 x 2 +1 and g(x)=3x−5, g(x)=3x−5, find the following:
ⓐ f(g(2)) f(g(2))
ⓑ f(g(x)) f(g(x))
ⓒ g(f(x)) g(f(x))
ⓓ ( g∘g )( x ) ( g∘g )( x )
ⓔ ( f∘f )( −2 ) ( f∘f )( −2 )
For the following exercises, use each pair of functions to find f( g( x ) ) f( g( x ) ) and g( f( x ) ). g( f( x ) ). Simplify your answers.
f(x)= x 2 +1,g(x)= x+2 f(x)= x 2 +1,g(x)= x+2
f(x)= x +2,g(x)= x 2 +3 f(x)= x +2,g(x)= x 2 +3
f(x)=| x |,g(x)=5x+1 f(x)=| x |,g(x)=5x+1
f(x)= x 3 ,g(x)= x+1 x 3 f(x)= x 3 ,g(x)= x+1 x 3
f(x)= 1 x−6 ,g(x)= 7 x +6 f(x)= 1 x−6 ,g(x)= 7 x +6
f(x)= 1 x−4 ,g(x)= 2 x +4 f(x)= 1 x−4 ,g(x)= 2 x +4
For the following exercises, use each set of functions to find f( g( h(x) ) ). f( g( h(x) ) ). Simplify your answers.
f(x)= x 4 +6, f(x)= x 4 +6, g(x)=x−6, g(x)=x−6, and h(x)= x h(x)= x
f(x)= x 2 +1, f(x)= x 2 +1, g(x)= 1 x , g(x)= 1 x , and h(x)=x+3 h(x)=x+3
Given f(x)= 1 x f(x)= 1 x and g(x)=x−3, g(x)=x−3, find the following:
ⓐ (f∘g)(x) (f∘g)(x)
ⓑ the domain of (f∘g)(x) (f∘g)(x) in interval notation
ⓒ (g∘f)(x) (g∘f)(x)
ⓓ the domain of (g∘f)(x) (g∘f)(x)
ⓔ ( f g )x ( f g )x
Given f(x)= 2−4x f(x)= 2−4x and g(x)=− 3 x , g(x)=− 3 x , find the following:
ⓐ (g∘f)(x) (g∘f)(x)
ⓑ the domain of (g∘f)(x) (g∘f)(x) in interval notation
Given the functions f(x)= 1−x x andg(x)= 1 1+ x 2 , f(x)= 1−x x andg(x)= 1 1+ x 2 , find the following:
ⓐ (g∘f)(x) (g∘f)(x)
ⓑ (g∘f)(2) (g∘f)(2)
Given functions p(x)= 1 x p(x)= 1 x and m(x)= x 2 −4, m(x)= x 2 −4, state the domain of each of the following functions using interval notation:
ⓐ p(x) m(x) p(x) m(x)
ⓑ p(m(x)) p(m(x))
ⓒ m(p(x)) m(p(x))
Given functions q(x)= 1 x q(x)= 1 x and h(x)= x 2 −9, h(x)= x 2 −9, state the domain of each of the following functions using interval notation.
ⓐ q(x) h(x) q(x) h(x)
ⓑ q( h(x) ) q( h(x) )
ⓒ h( q(x) ) h( q(x) )
For f(x)= 1 x f(x)= 1 x and g(x)= x−1 , g(x)= x−1 , write the domain of (f∘g)(x) (f∘g)(x) in interval notation.
For the following exercises, find functions f(x) f(x) and g(x) g(x) so the given function can be expressed as h(x)=f( g(x) ). h(x)=f( g(x) ).
h(x)= (x+2) 2 h(x)= (x+2) 2
h(x)= (x−5) 3
h(x)= 3 x−5
h(x)= 4 (x+2) 2
h(x)=4+ x 3
h(x)= 1 2x−3 3
h(x)= 1 (3 x 2 −4) −3
h(x)= 3x−2 x+5 4
h(x)= ( 8+ x 3 8− x 3 ) 4
h(x)= 2x+6
h(x)= (5x−1) 3
h(x)= x−1 3
h(x)=| x 2 +7 |
h(x)= 1 (x−2) 3
h(x)= ( 1 2x−3 ) 2
h(x)= 2x−1 3x+4
ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਚਿੱਤਰ 4 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ f, f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਅਤੇ ਚਿੱਤਰ 5 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ g, g ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
f( g(3) )
f( g(1) )
g( f(1) )
g( f(0) )
f( f(5) )
f( f(4) )
g( g(2) )
g( g(0) ) g( g(0) )
For the following exercises, use graphs of f(x), f(x), shown in Figure 6, g(x), g(x), shown in Figure 7, and h(x), h(x), shown in Figure 8, to evaluate the expressions.
g( f( 1 ) ) g( f( 1 ) )
g( f( 2 ) ) g( f( 2 ) )
f( g( 4 ) ) f( g( 4 ) )
f( g( 1 ) ) f( g( 1 ) )
f( h( 2 ) ) f( h( 2 ) )
h( f( 2 ) ) h( f( 2 ) )
f( g( h( 4 ) ) ) f( g( h( 4 ) ) )
f( g( f( −2 ) ) ) f( g( f( −2 ) ) )
Numeric
For the following exercises, use the function values for f and g f and g shown in Table 3 to evaluate each expression.
row: x x | f(x) f(x) | g(x) g(x)
row: 0 | 7 | 9
row: 1 | 6 | 5
row: 2 | 5 | 6
row: 3 | 8 | 2
row: 4 | 4 | 1
row: 5 | 0 | 8
row: 6 | 2 | 7
row: 7 | 1 | 3
row: 8 | 9 | 4
row: 9 | 3 | 0
f( g( 8 ) ) f( g( 8 ) )
f( g( 5 ) ) f( g( 5 ) )
g( f( 5 ) ) g( f( 5 ) )
g( f( 3 ) ) g( f( 3 ) )
f( f( 4 ) ) f( f( 4 ) )
f( f( 1 ) ) f( f( 1 ) )
g( g( 2 ) ) g( g( 2 ) )
g( g( 6 ) ) g( g( 6 ) )
For the following exercises, use the function values for f and g f and g shown in Table 4 to evaluate the expressions.
row: xx | f(x) f(x) | g(x) g(x)
row: -3 | 11 | -8
row: -2 | 9 | -3
row: -1 | 7 | 0
row: 0 | 5 | 1
row: 1 | 3 | 0
row: 2 | 1 | -3
row: 3 | -1 | -8
(f∘g)(1) (f∘g)(1)
(f∘g)(2) (f∘g)(2)
(g∘f)(2) (g∘f)(2)
(g∘f)(3) (g∘f)(3)
(g∘g)(1) (g∘g)(1)
(f∘f)(3) (f∘f)(3)
For the following exercises, use each pair of functions to find f( g( 0 ) ) f( g( 0 ) ) and g( f(0) ). g( f(0) ).
f(x)=4x+8,g(x)=7− x 2 f(x)=4x+8,g(x)=7− x 2
f(x)=5x+7,g(x)=4−2x^2
f(x)=x+4,g(x)=12−x/3
f(x)=1/(x+2),g(x)=4x+3
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=2x^2+1 ਅਤੇ g(x)=3x+5 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸੰਕੇਤ ਅਨੁਸਾਰ ਕੰਪੋਜ਼ਿਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਾਂ ਲੱਭੋ।
f(g(2))
f(g(x))
g(f(-3))
(g∘g)(x)
ਵਿਸਥਾਰ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, f(x)=x^3+1 ਅਤੇ g(x)=(x-1)/3 ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
(f∘g)(x) ਅਤੇ (g∘f)(x) ਪਤਾ ਕਰੋ। ਦੋਹਾਂ ਜਵਾਬਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰੋ।
(f∘g)(2) ਅਤੇ (g∘f)(2) ਪਤਾ ਕਰੋ।
(g∘f)(x) ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਕੀ ਹੈ?
(f∘g)(x) ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਕੀ ਹੈ?
ਮੰਨ ਲਓ f(x)=1/x।
ⓐ (f∘f)(x) ਪਤਾ ਕਰੋ।
ⓑ ਕੀ (f∘f)(x) ਕਿਸੇ ਵੀ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਲਈ ਭਾਗ (a) ਦੇ ਜਵਾਬ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ? ਸਮਝਾਓ।
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, F(x)=(x+1)^5, f(x)=x^5, ਅਤੇ g(x)=x+1 ਮੰਨ ਲਓ।
ਸੱਚ ਜਾਂ ਝੂਠ: (g∘f)(x)=F(x)।
ਸੱਚ ਜਾਂ ਝੂਠ: (f∘g)(x)=F(x)।
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਜਦੋਂ f(x)=x^2+2 ਸਾਰੇ x≥0 ਲਈ ਅਤੇ g(x)=√x−2 ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਕੰਪੋਜ਼ੀਸ਼ਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
(f∘g)(6);(g∘f)(6)
(g∘f)(a);(f∘g)(a)
(f∘g)(11);(g∘f)(11)
1. ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਵਰਤੋਂਆਂ
2. ਫੰਕਸ਼ਨ D(p) D(p) ਕੀਮਤ p p ਹੋਣ 'ਤੇ ਮੰਗੀਆਂ ਜਾਣ ਵਾਲੀਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੱਸਦਾ ਹੈ। ਉਤਪਾਦਨ ਲਾਗਤ C(x) C(x) x x ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਉਤਪਾਦਨ ਦੀ ਲਾਗਤ ਹੈ। ਜੇ ਕੀਮਤ $6 ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਉਤਪਾਦਨ ਦੀ ਲਾਗਤ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਤੁਸੀਂ ਹੇਠ ਲਿਖਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਹੜਾ ਕਰੋਗੇ?
3. ⓐ D( C(6) ) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। D( C(6) ).
4. ⓑ C( D(6) ) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। C( D(6) ).
5. ⓒ D( C(x) )=6 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। D( C(x) )=6.
6. ⓓ C( D(p) )=6 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। C( D(p) )=6.
7. ਫੰਕਸ਼ਨ A(d) A(d) ਮਰੀਜ਼ ਦੇ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ d d ਮਿਲੀਗ੍ਰਾਮ ਦਰਦ-ਨਿਵਾਰਕ ਦਵਾਈ ਹੋਣ 'ਤੇ 0 ਤੋਂ 10 ਦੇ ਪੈਮਾਨੇ 'ਤੇ ਦਰਦ ਦੇ ਪੱਧਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। t t ਮਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਮਰੀਜ਼ ਦੇ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ ਦਵਾਈ ਦੀ ਮਿਲੀਗ੍ਰਾਮ ਦੀ ਮਾਤਰਾ m(t) m(t) ਦੁਆਰਾ ਮਾਡਲ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਦਰਦ ਦੇ ਪੱਧਰ 4 'ਤੇ ਪਹੁੰਚਣ ਦਾ ਸਮਾਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਤੁਸੀਂ ਹੇਠ ਲਿਖਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਹੜਾ ਕਰੋਗੇ?
8. ⓐ A( m(4) ) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। A( m(4) ).
9. ⓑ m( A(4) ) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। m( A(4) ).
10. ⓒ A( m(t) )=4 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। A( m(t) )=4.
11. ⓓ m( A(d) )=4 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। m( A(d) )=4.
12. ਇੱਕ ਸਟੋਰ ਗਾਹਕਾਂ ਨੂੰ ਚੁਣੀਆਂ ਗਈਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਦੀ ਕੀਮਤ x x 'ਤੇ 30% ਛੋਟ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ, ਸਟੋਰ ਕੈਸ਼ ਰਜਿਸਟਰ 'ਤੇ ਵਾਧੂ 15% ਦੀ ਛੋਟ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਕੀਮਤ ਫੰਕਸ਼ਨ P(x) P(x) ਲਿਖੋ ਜੋ ਮੂਲ ਕੀਮਤ x x ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵਸਤੂ ਦੀ ਅੰਤਿਮ ਕੀਮਤ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। (ਸੰਕੇਤ: ਆਪਣਾ ਜਵਾਬ ਲੱਭਣ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕੰਪੋਜੀਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।)
13. ਇੱਕ ਬੂੰਦ ਝੀਲ 'ਤੇ ਡਿੱਗ ਕੇ ਇੱਕ ਗੋਲਾਕਾਰ ਲਹਿਰ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਸਮੇਂ (ਮਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ) ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਘੇਰਾ, ਇੰਚਾਂ ਵਿੱਚ, r(t)=25t+2 r(t)=25t+2 ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਵਧਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਮੇਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਲਹਿਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। t=2 t=2 'ਤੇ ਲਹਿਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
14. ਜੰਗਲ ਦੀ ਅੱਗ ਇੱਕ ਫੈਲਦੇ ਗੋਲਾਕਾਰ ਪੈਟਰਨ ਵਿੱਚ ਘਾਹ ਦੇ ਸੜੇ ਹੋਏ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਪਿੱਛੇ ਛੱਡ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਸੜ ਰਹੇ ਘਾਹ ਦੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਘੇਰਾ ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਫਾਰਮੂਲਾ r(t)=2t+1, r(t)=2t+1 ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਮੇਂ, t t (ਮਿੰਟਾਂ) ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਸੜੇ ਹੋਏ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
15. ਪਿਛਲੇ ਅਭਿਆਸ ਵਿੱਚ ਲੱਭੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ 5 ਮਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਕੁੱਲ ਸੜੇ ਹੋਏ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਲੱਭੋ।
16. ਇੱਕ ਗੋਲਾਕਾਰ ਗੁਬਾਰੇ ਦਾ ਘੇਰਾ r, r, ਇੰਚਾਂ ਵਿੱਚ, ਘਣਫਲ, V, V, ਨਾਲ r(V)= 3V 4π 3 r(V)= 3V 4π 3 ਦੁਆਰਾ ਸਬੰਧਤ ਹੈ। ਗੁਬਾਰੇ ਵਿੱਚ ਹਵਾ ਭਰੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ t t ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਘਣਫਲ V(t)=10+20t V(t)=10+20t ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
17. ⓐ ਸੰਯੁਕਤ ਫੰਕਸ਼ਨ r( V(t) ) r( V(t) ) ਪਤਾ ਕਰੋ।
18. ⓑ ਉਹ ਸਹੀ ਸਮਾਂ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਦੋਂ ਘੇਰਾ 10 ਇੰਚ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ।
19. ਇੱਕ ਰੈਫ੍ਰਿਜਰੇਟਿਡ ਭੋਜਨ ਉਤਪਾਦ ਵਿੱਚ ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਦੀ ਗਿਣਤੀ N(T)=23 T 2 −56T+1, N(T)=23 T 2 −56T+1, 3<T<33, 3<T<33 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ T T ਭੋਜਨ ਦਾ ਤਾਪਮਾਨ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਭੋਜਨ ਨੂੰ ਰੈਫ੍ਰਿਜਰੇਟਰ ਤੋਂ ਬਾਹਰ ਕੱਢਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਤਾਪਮਾਨ T(t)=5t+1.5, T(t)=5t+1.5 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ t t ਘੰਟਿਆਂ ਵਿੱਚ ਸਮਾਂ ਹੈ।
20. ⓐ ਸੰਯੁਕਤ ਫੰਕਸ਼ਨ N( T(t) ) N( T(t) ) ਪਤਾ ਕਰੋ।
21. ⓑ ਉਹ ਸਮਾਂ ਪਤਾ ਕਰੋ (ਦੋ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ) ਜਦੋਂ ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਦੀ ਗਿਣਤੀ 6752 ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੀ ਹੈ।