ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਖਿਤਿਜੀ ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ।
x-ਧੁਰੇ ਅਤੇ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ।
ਇਸਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੋਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਮ, ਵਿਖਮ, ਜਾਂ ਦੋਵੇਂ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਸੰਕੁਚਨ ਅਤੇ ਖਿੱਚਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ।
ਰੂਪਾਂਤਰਣਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ।
ਚਿੱਤਰ 1: (ਸਿਹਰਾ: "ਮਿਸਕੋ"/ਫਲਿੱਕਰ)
ਅਸੀਂ ਸਾਰੇ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਸ਼ੀਸ਼ਾ ਸਾਨੂੰ ਆਪਣਾ ਅਤੇ ਸਾਡੇ ਪਿੱਛੇ ਜੋ ਕੁਝ ਵੀ ਹੈ, ਉਸਦੀ ਸਹੀ ਤਸਵੀਰ ਦੇਖਣ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਸ਼ੀਸ਼ੇ ਨੂੰ ਝੁਕਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਡੀਆਂ ਦੇਖੀਆਂ ਗਈਆਂ ਤਸਵੀਰਾਂ ਖਿਤਿਜੀ ਜਾਂ ਲੰਬਕਾਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ। ਪਰ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਲਚਕਦਾਰ ਸ਼ੀਸ਼ੇ ਨੂੰ ਮੋੜਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ? ਇੱਕ ਕਾਰਨੀਵਲ ਫਨਹਾਊਸ ਸ਼ੀਸ਼ੇ ਵਾਂਗ, ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਆਪਣੀ ਵਿਗਾੜੀ ਹੋਈ ਤਸਵੀਰ ਪੇਸ਼ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਖਿਤਿਜੀ ਜਾਂ ਲੰਬਕਾਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਖਿੱਚੀ ਜਾਂ ਸੰਕੁਚਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਸਾਰ ਵਿੱਚ ਵਸਤੂਆਂ ਜਾਂ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆਵਾਂ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ ਗਣਿਤਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਵਿਗਾੜ ਜਾਂ ਰੂਪਾਂਤਰਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਕਈ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੇ ਰੂਪਾਂਤਰਣਾਂ 'ਤੇ ਇੱਕ ਨਜ਼ਰ ਮਾਰਾਂਗੇ।
ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਸ਼ਿਫਟਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨਾ
ਅਕਸਰ ਜਦੋਂ ਕੋਈ ਸਮੱਸਿਆ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਸ਼ਬਦਾਂ, ਟੇਬਲਾਂ, ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਅਤੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਗਣਿਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦ੍ਰਿਸ਼ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇੱਕ ਵਿਧੀ ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਉਹ ਹੈ ਟੂਲਕਿੱਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਬੁਨਿਆਦੀ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਨੂੰ ਅਨੁਕੂਲ ਬਣਾਉਣਾ ਤਾਂ ਜੋ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਦ੍ਰਿਸ਼ ਲਈ ਨਵੇਂ ਮਾਡਲ ਬਣਾਏ ਜਾ ਸਕਣ। ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਲਈ ਢੁਕਵੇਂ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਦੇ ਵਿਵਸਥਿਤ ਤਰੀਕੇ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਅਸੀਂ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ।
ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨਾ
ਰੂਪਾਂਤਰਣ ਦੀ ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਕਿਸਮ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਪੂਰੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਉੱਪਰ, ਹੇਠਾਂ, ਸੱਜੇ ਜਾਂ ਖੱਬੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਨਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸਭ ਤੋਂ ਸਧਾਰਨ ਸ਼ਿਫਟ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟ ਹੈ, ਜੋ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਉੱਪਰ ਜਾਂ ਹੇਠਾਂ ਲੈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਸ ਰੂਪਾਂਤਰਣ ਵਿੱਚ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਜਾਂ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਜੋੜਨਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇਨਪੁਟ ਦੀ ਪਰਵਾਹ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕੋ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ g(x)=f(x)+k ਲਈ, g(x)=f(x)+k, ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਨੂੰ k ਇਕਾਈਆਂ ਲੰਬਕਾਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸ਼ਿਫਟ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ ਚਿੱਤਰ 2 ਦੇਖੋ।
ਚਿੱਤਰ 2: ਘਣ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=x³ ਦਾ k=1 ਦੁਆਰਾ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟ। f(x)=x³।
ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਨੂੰ ਕਲਪਨਾ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਤੁਹਾਡੀ ਮਦਦ ਕਰਨ ਲਈ, ਇਹ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਕਿ y=f(x)। ਇਸ ਲਈ, f(x)+k y+k ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। y ਦੇ ਹਰ ਇਕਾਈ ਨੂੰ y+k ਨਾਲ ਬਦਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ y-ਮੁੱਲ k ਦੇ ਮੁੱਲ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ ਵਧਦਾ ਜਾਂ ਘਟਦਾ ਹੈ। ਨਤੀਜਾ ਉੱਪਰ ਜਾਂ ਹੇਠਾਂ ਸ਼ਿਫਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟ
ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ, ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ g(x)=f(x)+k, ਜਿੱਥੇ k ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹੈ, ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਦਾ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟ ਹੈ। ਸਾਰੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ k ਇਕਾਈਆਂ ਦੁਆਰਾ ਬਦਲਦੇ ਹਨ। ਜੇ k ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਪਰ ਸ਼ਿਫਟ ਹੋ ਜਾਵੇਗਾ। ਜੇ k ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ ਹੇਠਾਂ ਸ਼ਿਫਟ ਹੋ ਜਾਵੇਗਾ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਜੋੜਨਾ
ਇੱਕ ਹਰੀ ਇਮਾਰਤ ਵਿੱਚ ਤਾਪਮਾਨ ਨੂੰ ਨਿਯਮਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਛੱਤ ਦੇ ਨੇੜੇ ਹਵਾ ਦੇ ਪ੍ਰਵਾਹ ਦੇ ਵੈਂਟ ਦਿਨ ਭਰ ਖੁੱਲ੍ਹਦੇ ਅਤੇ ਬੰਦ ਹੁੰਦੇ ਰਹਿੰਦੇ ਹਨ। ਚਿੱਤਰ 3 ਦਿਨ ਭਰ ਘੰਟਿਆਂ ਬਾਅਦ ਰਾਤ ਦੇ ਮੱਧ ਤੋਂ, t, ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਵੈਂਟਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ V (ਵਰਗ ਫੁੱਟ ਵਿੱਚ) ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਗਰਮੀਆਂ ਦੌਰਾਨ, ਸਹੂਲਤ ਪ੍ਰਬੰਧਕ ਦਿਨ ਅਤੇ ਰਾਤ ਦੌਰਾਨ 20 ਵਰਗ ਫੁੱਟ ਤੱਕ ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਵੈਂਟਾਂ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਵਧਾ ਕੇ ਤਾਪਮਾਨ ਨੂੰ ਬਿਹਤਰ ਢੰਗ ਨਾਲ ਨਿਯਮਤ ਕਰਨ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰਨ ਦਾ ਫੈਸਲਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਨਵੇਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਹਰੇਕ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਵਿੱਚ 20 ਜੋੜ ਕੇ ਇਸ ਨਵੇਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸਦਾ ਪ੍ਰਭਾਵ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਲੰਬਕਾਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਉੱਪਰ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਨਾ ਹੋਵੇਗਾ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 4 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 4 ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਲਈ, ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ 20 ਵਧ ਗਿਆ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਨਵੇਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ S(t) ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
ਇਹ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦੀ ਹੈ ਕਿ, t ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਮੁੱਲ ਲਈ, S(t) ਨੂੰ ਉਸੇ ਇਨਪੁਟ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ V ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਕੇ ਅਤੇ ਫਿਰ ਨਤੀਜੇ ਵਿੱਚ 20 ਜੋੜ ਕੇ ਪਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਹ S ਨੂੰ ਫੰਕਸ਼ਨ V ਦਾ ਇੱਕ ਰੂਪਾਂਤਰਣ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ 20 ਇਕਾਈਆਂ ਉੱਪਰ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ, ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟ ਨਾਲ, ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਉਹੀ ਰਹਿੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਸਿਰਫ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਬਦਲਦੇ ਹਨ। ਟੇਬਲ 1 ਦੇਖੋ।
1. ਕਤਾਰ: t t | 0 | 8 | 10 | 17 | 19 | 24
2. ਕਤਾਰ: V(t) V(t) | 0 | 0 | 220 | 220 | 0 | 0
3. ਕਤਾਰ: S( t ) S( t ) | 20 | 20 | 240 | 240 | 20 | 20
4. ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ
5. ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਟੇਬੂਲਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ, ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਨਵੀਂ ਕਤਾਰ ਬਣਾਓ।
6. ਆਉਟਪੁੱਟ ਕਤਾਰ ਜਾਂ ਕਾਲਮ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
7. ਸ਼ਿਫਟ ਦੇ ਮਾਪ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
8. ਹਰੇਕ ਆਉਟਪੁੱਟ ਸੈੱਲ ਵਿੱਚ ਮੁੱਲ ਵਿੱਚ ਸ਼ਿਫਟ ਜੋੜੋ। ਉੱਪਰ ਲਈ ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਮੁੱਲ ਜਾਂ ਹੇਠਾਂ ਲਈ ਇੱਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਮੁੱਲ ਜੋੜੋ।
9. ਉਦਾਹਰਨ 2
10. ਟੇਬੂਲਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਲੰਬਕਾਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਨਾ
11. ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f( x ) f( x ) ਟੇਬਲ 2 ਵਿੱਚ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ g(x)=f(x)−3 ਲਈ ਇੱਕ ਟੇਬਲ ਬਣਾਓ। g(x)=f(x)−3।
12. ਕਤਾਰ: x x | 2 | 4 | 6 | 8
13. ਕਤਾਰ: f(x) f(x) | 1 | 3 | 7 | 11
14. ਹੱਲ
15. ਫਾਰਮੂਲਾ g(x)=f(x)−3 g(x)=f(x)−3 ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ f ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲਾਂ ਵਿੱਚੋਂ 3 ਘਟਾ ਕੇ g ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। f. ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ:
16. ਹਰੇਕ f( x ) f( x ) ਮੁੱਲ ਵਿੱਚੋਂ 3 ਘਟਾ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਟੇਬਲ 3 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਅਨੁਸਾਰ g( x ) g( x ) ਲਈ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਟੇਬਲ ਪੂਰਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
17. ਕਤਾਰ: x x | 2 | 4 | 6 | 8
18. ਕਤਾਰ: f(x) f(x) | 1 | 3 | 7 | 11
19. ਕਤਾਰ: g(x) g(x) | −2 | 0 | 4 | 8
20. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
21. ਪਿਛਲੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟ ਵਾਂਗ, ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਨਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਉਹੀ ਰਹਿੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਸਿਰਫ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਬਦਲਦੇ ਹਨ।
22. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #1
23. ਫੰਕਸ਼ਨ h(t)=−4.9 t 2 +30t h(t)=−4.9 t 2 +30t t ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਸੁੱਟੀ ਗਈ ਗੇਂਦ ਦੀ ਉਚਾਈ h h (ਮੀਟਰਾਂ ਵਿੱਚ) ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਗੇਂਦ ਨੂੰ 10-ਮੀਟਰ ਦੀ ਇਮਾਰਤ ਦੀ ਚੋਟੀ ਤੋਂ ਸੁੱਟਿਆ ਗਿਆ ਸੀ। ਇਸ ਨਵੇਂ ਉਚਾਈ ਫੰਕਸ਼ਨ b(t) b(t) ਨੂੰ h(t) h(t) ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਫਿਰ b(t) b(t) ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲੱਭੋ।
24. ਹਰੀਜੱਟਲ ਸ਼ਿਫਟਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨਾ
ਅਸੀਂ ਹੁਣੇ ਵੇਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਵਰਟੀਕਲ ਸ਼ਿਫਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ, ਜਾਂ ਬਾਹਰ, ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਤਬਦੀਲੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਵੇਖਾਂਗੇ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਇਨਪੁੱਟ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀਆਂ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਅੰਦਰ, ਇਸਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਅਤੇ ਅਰਥ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਬਦਲਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਨਪੁੱਟ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸ਼ਿਫਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਖੱਬੇ ਜਾਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਇੱਕ ਮੂਵਮੈਂਟ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਦਿੰਦੀ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਸ਼ਿਫਟ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 5 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 5: ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= x 3 ਦਾ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਸ਼ਿਫਟ। f(x)= x 3। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ (x+1)(x+1) ਦਾ ਮਤਲਬ h=-1 ਹੈ, ਜੋ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ, ਯਾਨੀ x ਦੇ ਨੈਗੇਟਿਵ ਮੁੱਲਾਂ ਵੱਲ, ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ f(x)= x 2, ਤਾਂ g(x)= (x−2) 2 ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਵਰਗ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹਰੇਕ ਇਨਪੁੱਟ ਨੂੰ 2 ਘਟਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਨਤੀਜਾ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ 2 ਯੂਨਿਟ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਸ਼ਿਫਟ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ f ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮਾਨ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਪਿਛਲੇ ਇਨਪੁੱਟ ਨੂੰ 2 ਯੂਨਿਟ ਵਧਾਉਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੋਵੇਗੀ।
ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਸ਼ਿਫਟ
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ g( x )=f( x−h ), ਜਿੱਥੇ h ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹੈ, ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦਾ ਇੱਕ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਸ਼ਿਫਟ ਹੈ। ਜੇਕਰ h ਪਾਜ਼ੀਟਿਵ ਹੈ, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਸ਼ਿਫਟ ਹੋ ਜਾਵੇਗਾ। ਜੇਕਰ h ਨੈਗੇਟਿਵ ਹੈ, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਸ਼ਿਫਟ ਹੋ ਜਾਵੇਗਾ।
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਇਨਪੁੱਟ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਜੋੜਨਾ
ਚਿੱਤਰ 3 ਤੋਂ ਸਾਡੇ ਬਿਲਡਿੰਗ ਏਅਰਫਲੋ ਉਦਾਹਰਨ 'ਤੇ ਵਾਪਸ ਆਉਂਦੇ ਹੋਏ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਪਤਝੜ ਵਿੱਚ ਸੁਵਿਧਾ ਪ੍ਰਬੰਧਕ ਫੈਸਲਾ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਸਲ ਵੈਂਟਿੰਗ ਯੋਜਨਾ ਬਹੁਤ ਦੇਰ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਪੂਰੇ ਵੈਂਟਿੰਗ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਨੂੰ 2 ਘੰਟੇ ਪਹਿਲਾਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਨਵੇਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ V( t ) ਨੂੰ ਅਸਲ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਅਤੇ F( t ) ਨੂੰ ਸੰਸ਼ੋਧਿਤ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਵਜੋਂ ਸੈੱਟ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਨਵੇਂ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ, ਹਰ ਸਮੇਂ, ਏਅਰਫਲੋ ਉਹੀ ਹੈ ਜੋ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ V 2 ਘੰਟੇ ਬਾਅਦ ਸੀ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ V ਵਿੱਚ, ਏਅਰਫਲੋ ਸਵੇਰੇ 8 ਵਜੇ ਬਦਲਣਾ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ F ਲਈ, ਏਅਰਫਲੋ ਸਵੇਰੇ 6 ਵਜੇ ਬਦਲਣਾ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਤੁਲਨਾਤਮਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੁੱਲ V(8)=F(6) ਹਨ। ਚਿੱਤਰ 6 ਦੇਖੋ। ਇਹ ਵੀ ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਵੈਂਟ ਪਹਿਲਾਂ ਸਵੇਰੇ 10 ਵਜੇ 220 ft 2 ਤੱਕ ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਸਨ, ਅਸਲ ਯੋਜਨਾ ਦੇ ਅਧੀਨ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਨਵੀਂ ਯੋਜਨਾ ਦੇ ਅਧੀਨ ਵੈਂਟ ਸਵੇਰੇ 8 ਵਜੇ 220 ft 2 ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ V(10)=F(8)।
ਦੋਵਾਂ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਵੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ, ਕਿਉਂਕਿ F( t ) 2 ਘੰਟੇ ਪਹਿਲਾਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, h=−2। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਉਹੀ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਉਦੋਂ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਨ ਜਦੋਂ F(t)=V(t−( −2 ))=V( t+2 )।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ V(t+2) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਨ ਦਾ ਪ੍ਰਭਾਵ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਜਾਂ “ਅੰਦਰੂਨੀ ਤਬਦੀਲੀਆਂ” ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ (ਇਨਪੁੱਟ) ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ ਨਾ ਕਿ ਰੇਂਜ ਨੂੰ ਅਤੇ ਅਕਸਰ ਉਲਟ ਲੱਗਦੀਆਂ ਹਨ। ਨਵਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ F( t ) V( t ) ਦੇ ਸਮਾਨ ਆਉਟਪੁੱਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਉਹਨਾਂ ਆਉਟਪੁੱਟਾਂ ਨੂੰ V( t ) ਦੇ ਮੁਕਾਬਲੇ 2 ਘੰਟੇ ਪਹਿਲਾਂ ਦੇ ਇਨਪੁੱਟਾਂ ਨਾਲ ਮੇਲ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, F ਲਈ ਸੰਬੰਧਿਤ ਆਉਟਪੁੱਟ ਲੱਭਣ ਲਈ ਸਾਨੂੰ V ਦੇ ਇਨਪੁੱਟ ਵਿੱਚ 2 ਘੰਟੇ ਜੋੜਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ: F(t)=V(t+2)।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਇੱਕ ਟੇਬੂਲਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇੱਕ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਸ਼ਿਫਟ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਨਵੀਂ ਕਤਾਰ ਬਣਾਓ।
ਇਨਪੁੱਟ ਕਤਾਰ ਜਾਂ ਕਾਲਮ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਸ਼ਿਫਟ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਹਰੇਕ ਇਨਪੁੱਟ ਸੈੱਲ ਵਿੱਚ ਮੁੱਲ ਵਿੱਚ ਸ਼ਿਫਟ ਜੋੜੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਇੱਕ ਟੇਬੂਲਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲੀ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਨਾ
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਟੇਬਲ 4 ਵਿੱਚ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ g(x)=f(x−3) ਲਈ ਇੱਕ ਟੇਬਲ ਬਣਾਓ।
ਕਤਾਰ: x | 2 | 4 | 6 | 8
ਪੰਗਤੀ: f(x) f(x) | 1 | 3 | 7 | 11
ਹੱਲ
ਫਾਰਮੂਲਾ g(x)=f(x−3) g(x)=f(x−3) ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ g ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ f ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹਨ ਜਦੋਂ ਇਨਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਅਸਲ ਮੁੱਲ ਤੋਂ 3 ਘੱਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ f(2)=1. f(2)=1. ਫੰਕਸ਼ਨ g ਤੋਂ ਸਮਾਨ ਆਉਟਪੁੱਟ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, g, ਸਾਨੂੰ 3 ਵੱਡਾ ਇਨਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਚਾਹੀਦਾ ਹੋਵੇਗਾ। ਅਸੀਂ g(x) g(x) ਲਈ 3 ਵੱਡਾ ਇਨਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿਉਂਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ 3 ਘਟਾਉਂਦਾ ਹੈ। f.
ਅਸੀਂ ਟੇਬਲ 5 ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਹੋਰ ਮੁੱਲਾਂ ਨਾਲ ਜਾਰੀ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ।
ਪੰਗਤੀ: x x | 5 | 7 | 9 | 11
ਪੰਗਤੀ: x−3 x−3 | 2 | 4 | 6 | 8
ਪੰਗਤੀ: f(x−3) f(x−3) | 1 | 3 | 7 | 11
ਪੰਗਤੀ: g(x) g(x) | 1 | 3 | 7 | 11
ਨਤੀਜਾ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ g(x) g(x) ਨੂੰ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ 3 ਯੂਨਿਟ ਖਿਸਕਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ g(x) g(x) ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ f(x) f(x) ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਸਮਾਨ ਰਹਿੰਦੇ ਹਨ, ਪਰ ਸੰਬੰਧਿਤ ਇਨਪੁੱਟ ਮੁੱਲ, x, x, ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ 3 ਯੂਨਿਟ ਖਿਸਕ ਗਏ ਹਨ। ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ, 2, 5 ਤੱਕ ਖਿਸਕ ਗਿਆ, 4, 7 ਤੱਕ, 6, 9 ਤੱਕ, ਅਤੇ 8, 11 ਤੱਕ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਚਿੱਤਰ 7 ਦੋਵੇਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ ਵਿੱਚ ਖਿਤਿਜੀ ਖਿਸਕਾਅ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਟੂਲਕਿੱਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਖਿਤਿਜੀ ਖਿਸਕਾਅ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨਾ
ਚਿੱਤਰ 8 ਟੂਲਕਿੱਟ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= x 2 f(x)= x 2 ਦਾ ਰੂਪਾਂਤਰਣ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਨਵੇਂ ਫੰਕਸ਼ਨ g(x) g(x) ਨੂੰ f(x) f(x) ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਫਿਰ g(x) g(x) ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ f(x)= x 2 f(x)= x 2 ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ, ਪਰ x-ਮੁੱਲ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ 2 ਯੂਨਿਟ ਖਿਸਕ ਗਏ ਹਨ। ਵਰਟੈਕਸ (0,0) 'ਤੇ ਹੁੰਦਾ ਸੀ, ਪਰ ਹੁਣ ਵਰਟੈਕਸ (2,0) 'ਤੇ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ ਬੇਸਿਕ ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜੋ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ 2 ਯੂਨਿਟ ਖਿਸਕਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਸਾਨੂੰ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ y=0 y=0 ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ x=2 x=2 ਮੁੱਲ ਇਨਪੁੱਟ ਕਰਨਾ ਪੈਂਦਾ ਹੈ; ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ 2 ਯੂਨਿਟਾਂ ਦੇ ਖਿਸਕਾਅ ਕਾਰਨ x-ਮੁੱਲ 2 ਯੂਨਿਟ ਵੱਡੇ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਫਿਰ f(x−2) f(x−2) ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਕੇ g(x) g(x) ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖਣ ਲਈ f(x) f(x) ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿ ਖਿਸਕਾਅ +2 +2 ਹੈ ਜਾਂ −2 −2, ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਇੱਕ ਸੰਦਰਭ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਲਈ, ਵਰਟੈਕਸ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਦੇਖਣਾ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਹੈ। ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ, f(0)=0. f(0)=0. ਸਾਡੇ ਖਿਸਕੇ ਹੋਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ, g(2)=0. g(2)=0. ਫੰਕਸ਼ਨ f ਤੋਂ 0 ਦਾ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, f, ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਫੈਸਲਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਕਿ g(2)=f(x−2)=f(0)=0. g(2)=f(x−2)=f(0)=0 ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿਹੜਾ ਪਲੱਸ ਜਾਂ ਮਾਈਨਸ ਚਿੰਨ੍ਹ ਕੰਮ ਕਰੇਗਾ। ਇਸ ਨੂੰ ਕੰਮ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਆਪਣੇ ਇਨਪੁੱਟ ਮੁੱਲਾਂ ਤੋਂ 2 ਯੂਨਿਟ ਘਟਾਉਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੋਵੇਗੀ।
ਉਦਾਹਰਨ 6
ਖਿਤਿਜੀ ਬਨਾਮ ਲੰਬਕਾਰੀ ਖਿਸਕਾਅ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰਨਾ
ਫੰਕਸ਼ਨ G(m) G(m) m m ਮੀਲ ਚਲਾਉਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੇ ਗੈਸ ਦੇ ਗੈਲਨ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। G(m)+10 G(m)+10 ਅਤੇ G(m+10) G(m+10) ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
G(m)+10 G(m)+10 ਨੂੰ ਆਉਟਪੁੱਟ, ਗੈਲਨ, ਵਿੱਚ 10 ਜੋੜਨ ਵਜੋਂ ਵਿਆਖਿਆ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇਹ m m ਮੀਲ ਚਲਾਉਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੀ ਗੈਸ ਹੈ, ਨਾਲ ਹੀ 10 ਗੈਲਨ ਗੈਸ ਹੋਰ। ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਖਿਸਕਾਅ ਦਰਸਾਏਗਾ।
G(m+10) G(m+10) ਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਇਨਪੁਟ ਵਿੱਚ 10 ਮੀਲ ਜੋੜਨਾ। ਇਸ ਲਈ ਇਹ m m ਮੀਲ ਤੋਂ 10 ਮੀਲ ਵੱਧ ਚੱਲਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੇ ਗੈਸ ਦੇ ਗੈਲਨਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਸ਼ਿਫਟ ਦਾ ਸੰਕੇਤ ਦੇਵੇਗਾ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ #2
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= x , f(x)= x , ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) f(x) ਅਤੇ ਪਰਿਵਰਤਨ g(x)=f(x+2) g(x)=f(x+2) ਨੂੰ ਇੱਕੋ ਧੁਰਿਆਂ 'ਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ। ਕੀ ਇਹ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਜਾਂ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟ ਹੈ? ਗ੍ਰਾਫ ਕਿਸ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਅਤੇ ਕਿੰਨੀਆਂ ਇਕਾਈਆਂ ਦੁਆਰਾ ਸ਼ਿਫਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ?
ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਸ਼ਿਫਟਾਂ ਦਾ ਸੁਮੇਲ
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਦੋ ਪਰਿਵਰਤਨ ਹਨ, ਅਸੀਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਜੋੜ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟ ਬਾਹਰੀ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਹਨ ਜੋ ਆਉਟਪੁੱਟ ( y- y- ) ਧੁਰੇ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਉੱਪਰ ਜਾਂ ਹੇਠਾਂ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ। ਖਿਤਿਜੀ ਸ਼ਿਫਟ ਅੰਦਰੂਨੀ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਹਨ ਜੋ ਇਨਪੁਟ ( x- x- ) ਧੁਰੇ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਖੱਬੇ ਜਾਂ ਸੱਜੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ। ਦੋਵਾਂ ਕਿਸਮਾਂ ਦੀਆਂ ਸ਼ਿਫਟਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਨਾਲ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਉੱਪਰ ਜਾਂ ਹੇਠਾਂ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਜਾਂ ਖੱਬੇ ਸ਼ਿਫਟ ਹੋਵੇਗਾ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਸ਼ਿਫਟ ਦੋਵਾਂ ਦੇ ਨਾਲ, ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਓ।
ਫਾਰਮੂਲੇ ਤੋਂ ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਸ਼ਿਫਟਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟ ਆਉਟਪੁੱਟ ਵਿੱਚ ਜੋੜੇ ਗਏ ਇੱਕ ਸਥਿਰਾਂਕ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਸਥਿਰਾਂਕ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਉੱਪਰ ਅਤੇ ਇੱਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸਥਿਰਾਂਕ ਲਈ ਹੇਠਾਂ ਲੈ ਜਾਓ।
ਖਿਤਿਜੀ ਸ਼ਿਫਟ ਇਨਪੁਟ ਵਿੱਚ ਜੋੜੇ ਗਏ ਇੱਕ ਸਥਿਰਾਂਕ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਸਥਿਰਾਂਕ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਖੱਬੇ ਅਤੇ ਇੱਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸਥਿਰਾਂਕ ਲਈ ਸੱਜੇ ਲੈ ਜਾਓ।
ਕਿਸੇ ਵੀ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਸ਼ਿਫਟਾਂ ਲਾਗੂ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 7
ਸੰਯੁਕਤ ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਸ਼ਿਫਟਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ f(x)=| x |, f(x)=| x |, h(x)=f(x+1)−3. h(x)=f(x+1)−3 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਸਕੈਚ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਫੰਕਸ਼ਨ f ਸਾਡਾ ਟੂਲਕਿੱਟ ਐਬਸੋਲਿਊਟ ਵੈਲਿਊ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਸ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ V ਆਕਾਰ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਬਿੰਦੂ ਮੂਲ 'ਤੇ ਹੈ। h ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ f ਨੂੰ ਦੋ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਪਰਿਵਰਤਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ: f(x+1) f(x+1) ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਅੰਦਰ ਇੱਕ ਤਬਦੀਲੀ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ 1 ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਸ਼ਿਫਟ ਦਿੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ f(x+1)−3 f(x+1)−3 ਵਿੱਚ 3 ਦੁਆਰਾ ਘਟਾਉ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਬਾਹਰ ਇੱਕ ਤਬਦੀਲੀ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ 3 ਹੇਠਾਂ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਪਰਿਵਰਤਨ ਚਿੱਤਰ 9 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਆਓ f(x)=| x |. f(x)=| x | ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦਾ ਪਾਲਣ ਕਰੀਏ।
ਬਿੰਦੂ (0,0) (0,0) ਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ 1 ਇਕਾਈ ਖੱਬੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਕੇ ਪਰਿਵਰਤਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ: (0,0)→(−1,0) (0,0)→(−1,0)
ਬਿੰਦੂ (−1,0) (−1,0) ਨੂੰ ਅੱਗੇ 3 ਇਕਾਈਆਂ ਹੇਠਾਂ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਕੇ ਪਰਿਵਰਤਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ: (−1,0)→(−1,−3) (−1,0)→(−1,−3)
ਚਿੱਤਰ 10 h. h ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ #3
ਦਿੱਤੇ ਗਏ f(x)=| x |, f(x)=| x |, h(x)=f(x−2)+4. h(x)=f(x−2)+4 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਸਕੈਚ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 8
ਸੰਯੁਕਤ ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਸ਼ਿਫਟਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨਾ
1. ਚਿੱਤਰ 11 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ, ਜੋ ਕਿ ਟੂਲਕਿਟ ਵਰਗਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਰੂਪਾਂਤਰਣ ਹੈ।
2. ਹੱਲ
3. ਟੂਲਕਿਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਸ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ 1 ਸੱਜੇ ਅਤੇ 2 ਉੱਪਰ ਖਿਸਕਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
4. ਵਰਗਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
5. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
6. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਸ ਰੂਪਾਂਤਰਣ ਨੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਨੂੰ ਬਦਲ ਦਿੱਤਾ ਹੈ। ਇਸ ਨਵੇਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਡੋਮੇਨ [1,∞) [1,∞) ਅਤੇ ਰੇਂਜ [2,∞) [2,∞) ਹੈ।
7. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
8. ਟੂਲਕਿਟ ਰੈਸੀਪ੍ਰੋਕਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f( x )= 1 x f( x )= 1 x ਦੇ ਰੂਪਾਂਤਰਣ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ ਜੋ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਇੱਕ ਯੂਨਿਟ ਸੱਜੇ ਅਤੇ ਇੱਕ ਯੂਨਿਟ ਉੱਪਰ ਖਿਸਕਾਉਂਦਾ ਹੈ।
9. ਧੁਰਿਆਂ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ
10. ਫੰਕਸ਼ਨ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਰੂਪਾਂਤਰਣ x- ਜਾਂ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਹੈ। ਇੱਕ ਵਰਟੀਕਲ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਪਾਰ ਵਰਟੀਕਲੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਇੱਕ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਪਾਰ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਚਿੱਤਰ 12 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਹਨ।
11. ਚਿੱਤਰ 12: ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਵਰਟੀਕਲ ਅਤੇ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ।
12. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਵਰਟੀਕਲ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜੋ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਅਧਾਰ ਜਾਂ ਮੂਲ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਸ਼ੀਸ਼ਾ ਚਿੱਤਰ ਹੈ। ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜੋ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਅਧਾਰ ਜਾਂ ਮੂਲ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਸ਼ੀਸ਼ਾ ਚਿੱਤਰ ਹੈ।
13. ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ
14. ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x), f(x) ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ g(x)=−f(x) g(x)=−f(x) ਫੰਕਸ਼ਨ f(x), f(x) ਦਾ ਇੱਕ ਵਰਟੀਕਲ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਕਈ ਵਾਰ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ (ਜਾਂ ਉੱਪਰ, ਜਾਂ ਰਾਹੀਂ) ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
15. ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x), f(x) ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ g(x)=f(−x) g(x)=f(−x) ਫੰਕਸ਼ਨ f(x), f(x) ਦਾ ਇੱਕ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਕਈ ਵਾਰ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
16. ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ
17. ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਵਰਟੀਕਲੀ ਅਤੇ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲੀ ਦੋਵੇਂ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕਰੋ।
18. ਵਰਟੀਕਲ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਲਈ ਸਾਰੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਨੂੰ –1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। ਨਵਾਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਮੂਲ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਹੈ।
19. ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਲਈ ਸਾਰੇ ਇਨਪੁੱਟ ਨੂੰ –1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। ਨਵਾਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਮੂਲ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਹੈ।
20. ਉਦਾਹਰਨ 9
21. ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲੀ ਅਤੇ ਵਰਟੀਕਲੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕਰਨਾ
22. s(t)= t s(t)= t ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ (a) ਵਰਟੀਕਲੀ ਅਤੇ (b) ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕਰੋ।
23. ਹੱਲ
24. ⓐ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਵਰਟੀਕਲੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕਰਨ ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਹਰੇਕ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਨੂੰ t-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਵੇਗਾ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 13 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 13 ਵਰਗਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਵਰਟੀਕਲ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਕਿਉਂਕਿ ਹਰੇਕ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਮੂਲ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਦਾ ਵਿਰੋਧੀ ਹੈ, ਅਸੀਂ V(t)=−s(t) ਜਾਂ V(t)=− t V(t)=−s(t) ਜਾਂ V(t)=− t ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਹ ਇੱਕ ਬਾਹਰੀ ਤਬਦੀਲੀ, ਜਾਂ ਵਰਟੀਕਲ ਸ਼ਿਫਟ ਹੈ, ਜੋ ਆਉਟਪੁੱਟ s(t) s(t) ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਚਿੰਨ੍ਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਬਾਹਰ ਹੈ।
ⓑ Reflecting horizontally means that each input value will be reflected over the vertical axis as shown in Figure 14. Figure 14 Horizontal reflection of the square root function Because each input value is the opposite of the original input value, we can write H(t)=s(−t) or H(t)= −t H(t)=s(−t) or H(t)= −t Notice that this is an inside change or horizontal change that affects the input values, so the negative sign is on the inside of the function. Note that these transformations can affect the domain and range of the functions. While the original square root function has domain [0,∞) [0,∞) and range [0,∞), [0,∞), the vertical reflection gives the V(t) V(t) function the range ( −∞,0 ] ( −∞,0 ] and the horizontal reflection gives the H(t) H(t) function the domain ( −∞,0 ]. ( −∞,0 ].
Try It #5
Reflect the graph of f(x)=|x−1| f(x)=|x−1| (a) vertically and (b) horizontally.
Example 10
Reflecting a Tabular Function Horizontally and Vertically
A function f(x) f(x) is given as Table 6. Create a table for the functions below.
ⓐ g(x)=−f(x) g(x)=−f(x)
ⓑ h(x)=f(−x) h(x)=f(−x)
row: x x | 2 | 4 | 6 | 8
row: f(x) f(x) | 1 | 3 | 7 | 11
Solution
ⓐ For g(x), g(x), the negative sign outside the function indicates a vertical reflection, so the x-values stay the same and each output value will be the opposite of the original output value. See Table 7. x x 2 4 6 8 g(x) g(x) –1 –3 –7 –11 Table 7
ⓑFor h(x), h(x), the negative sign inside the function indicates a horizontal reflection, so each input value will be the opposite of the original input value and the h(x) h(x) values stay the same as the f(x) f(x) values. See Table 8. x x −2 −4 −6 −8 h(x) h(x) 1 3 7 11 Table 8
Try It #6
A function f(x) f(x) is given as Table 9. Create a table for the functions below.
ⓐ g(x)=−f(x) g(x)=−f(x)
ⓑ h(x)=f(−x) h(x)=f(−x)
row: x x | −2 | 0 | 2 | 4
row: f(x) f(x) | 5 | 10 | 15 | 20
Example 11
Applying a Learning Model Equation
A common model for learning has an equation similar to k(t)=− 2 −t +1, k(t)=− 2 −t +1, where k k is the percentage of mastery that can be achieved after t t practice sessions. This is a transformation of the function f(t)= 2 t f(t)= 2 t shown in Figure 15. Sketch a graph of k(t). k(t).
Solution
This equation combines three transformations into one equation.
ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ: f(−t)= 2 −t f(−t)= 2 −t
ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ: −f(−t)=− 2 −t −f(−t)=− 2 −t
ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਖਿੱਚ: −f(−t)+1=− 2 −t +1 −f(−t)+1=− 2 −t +1
ਅਸੀਂ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ 'ਤੇ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਕਰਕੇ ਇਹਨਾਂ ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਆਓ ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਤਿੰਨ ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਪਾਲਣ ਕਰੀਏ। ਅਸੀਂ ਬਿੰਦੂ (0, 1) ਅਤੇ (1, 2) ਚੁਣਾਂਗੇ।
ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: (0, 1) (–1, 2)।
ਫਿਰ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: (0, −1) (-1, –2)।
ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਖਿੱਚ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: (0, 0) (-1, -1)।
ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ, (0,1) ਅਤੇ (1,2) ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ (0,0) ਅਤੇ (-1,-1) ਬਣ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।
ਚਿੱਤਰ 16 ਵਿੱਚ, ਪਹਿਲਾ ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਹੈ। ਦੂਜਾ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਹੈ। ਤੀਜਾ 1 ਯੂਨਿਟ ਉੱਪਰ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਖਿੱਚ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਹੈ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਸਿੱਖਣ ਲਈ ਇੱਕ ਮਾਡਲ ਵਜੋਂ, ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ t≥0, t≥0 ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਹੋਵੇਗਾ, ਜਿਸਦੀ ਅਨੁਸਾਰੀ ਰੇਂਜ [0,1) ਹੋਵੇਗੀ। [0,1)।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #7
ਟੂਲਕਿੱਟ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= x 2 , f(x)= x 2 ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ, g(x)=−f(x) g(x)=−f(x) ਅਤੇ h(x)=f(−x) h(x)=f(−x) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। ਇਹਨਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਕਿਸੇ ਵੀ ਹੈਰਾਨੀਜਨਕ ਵਿਵਹਾਰ ਨੂੰ ਨੋਟ ਕਰੋ।
ਸਮ ਅਤੇ ਵਿਸ਼ਮ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਨਿਰਧਾਰਨ
ਕੁਝ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਮਰੂਪਤਾ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਨ ਤਾਂ ਜੋ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਮੂਲ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਦੇਣ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਟੂਲਕਿੱਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ f(x)= x 2 f(x)= x 2 ਜਾਂ f(x)=| x | f(x)=| x | ਨੂੰ ਖਿਤਿਜੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕਰਨ ਨਾਲ ਮੂਲ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਮਿਲੇਗਾ। ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹਨਾਂ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਬਾਰੇ ਸਮਰੂਪ ਹਨ। ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਬਾਰੇ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਸਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਜੇਕਰ f(x)= x 3 f(x)= x 3 ਜਾਂ f(x)= 1 x f(x)= 1 x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਨੂੰ ਦੋਵੇਂ ਧੁਰਿਆਂ ਉੱਤੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ, ਤਾਂ ਨਤੀਜਾ ਮੂਲ ਗ੍ਰਾਫ ਹੁੰਦਾ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 17 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 17: (a) ਘਣ ਟੂਲਕਿੱਟ ਫੰਕਸ਼ਨ (b) ਘਣ ਟੂਲਕਿੱਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਖਿਤਿਜੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ (c) ਖਿਤਿਜੀ ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਮੂਲ ਘਣ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦੁਬਾਰਾ ਪੈਦਾ ਕਰਦੇ ਹਨ।
ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ ਗ੍ਰਾਫ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਬਾਰੇ ਸਮਰੂਪ ਹਨ। ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਬਾਰੇ ਸਮਰੂਪ ਗ੍ਰਾਫ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਵਿਸ਼ਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਨੋਟ: ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕੋਈ ਵੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਉਹ ਨਾ ਤਾਂ ਸਮ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ ਵਿਸ਼ਮ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, f(x)= 2 x f(x)= 2 x ਨਾ ਤਾਂ ਸਮ ਹੈ ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ ਵਿਸ਼ਮ। ਨਾਲ ਹੀ, ਇਕਲੌਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜੋ ਸਮ ਅਤੇ ਵਿਸ਼ਮ ਦੋਵੇਂ ਹੈ, ਉਹ ਸਥਿਰ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=0 ਹੈ। f(x)=0।
ਸਮ ਅਤੇ ਵਿਸ਼ਮ ਫੰਕਸ਼ਨ
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਸਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਹਰੇਕ ਇਨਪੁਟ x ਲਈ x
ਇੱਕ ਸਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਬਾਰੇ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਵਿਸ਼ਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਹਰੇਕ ਇਨਪੁਟ x ਲਈ x
ਇੱਕ ਵਿਸ਼ਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਬਾਰੇ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਾ ਦਿੱਤਾ ਹੋਣ 'ਤੇ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਮ, ਵਿਖਮ, ਜਾਂ ਦੋਵੇਂ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=f(−x) ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਇਹ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਸਮ ਹੈ।
ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=−f(−x) ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਇਹ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਵਿਖਮ ਹੈ।
ਜੇਕਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਸੇ ਵੀ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਨਾ ਤਾਂ ਸਮ ਹੈ ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ ਵਿਖਮ।
ਉਦਾਹਰਨ 12
ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਮ, ਵਿਖਮ, ਜਾਂ ਦੋਵੇਂ ਨਹੀਂ ਹੋਣ ਦਾ ਨਿਰਧਾਰਨ ਕਰਨਾ
ਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= x³ +2x ਸਮ, ਵਿਖਮ, ਜਾਂ ਦੋਵੇਂ ਨਹੀਂ ਹੈ?
ਹੱਲ
ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਦੇਖੇ ਬਿਨਾਂ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਾਂ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਲੱਭ ਕੇ ਅਤੇ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਕੇ ਕਿ ਕੀ ਉਹ ਸਾਨੂੰ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ 'ਤੇ ਵਾਪਸ ਲਿਆਉਂਦੇ ਹਨ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਮ ਹੈ ਜਾਂ ਵਿਖਮ। ਆਓ ਸਮ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਨਿਯਮ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੀਏ।
ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ 'ਤੇ ਵਾਪਸ ਨਹੀਂ ਲਿਆਉਂਦਾ, ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਮ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਵਿਖਮ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਨਿਯਮ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਕਿਉਂਕਿ −f(−x)=f(x), ਇਹ ਇੱਕ ਵਿਖਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਚਿੱਤਰ 18 ਵਿੱਚ f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਮਿਤੀ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ (x,y) ਲਈ, ਸੰਬੰਧਿਤ ਬਿੰਦੂ (−x,−y) ਵੀ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, (1,3) f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਹੈ, ਅਤੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਬਿੰਦੂ (−1,−3) ਵੀ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #8
ਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ f(s)= s⁴ +3s² +7 ਸਮ, ਵਿਖਮ, ਜਾਂ ਦੋਵੇਂ ਨਹੀਂ ਹੈ?
ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਨੂੰ ਖਿੱਚਣ ਅਤੇ ਸੰਕੋਚਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਇਨਪੁਟ ਜਾਂ ਆਉਟਪੁਟ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਜੋੜਨ ਨਾਲ ਅਕਸ਼ਾਂ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਬਦਲ ਗਈ, ਪਰ ਇਸਨੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਆਕਾਰ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ। ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਕਿਸੇ ਮਾਤਰਾ ਦੁਆਰਾ ਇਨਪੁਟ ਜਾਂ ਆਉਟਪੁਟ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦੇ ਪ੍ਰਭਾਵਾਂ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਅੰਦਰ (ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ) ਜਾਂ ਬਾਹਰ (ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲ) ਨੂੰ ਰੂਪਾਂਤਰਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਹਰ ਬਦਲਾਅ ਦਾ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਪ੍ਰਭਾਵ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫਿਕਲੀ ਦੇਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਲੰਬਕਾਰੀ ਖਿੱਚ ਅਤੇ ਸੰਕੋਚਨ
ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਸਥਿਰ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮਿਲਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਲੰਬਕਾਰੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂ ਸੰਕੁਚਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਸਥਿਰ 1 ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਖਿੱਚ ਮਿਲਦੀ ਹੈ; ਜੇਕਰ ਸਥਿਰ 0 ਅਤੇ 1 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸੰਕੋਚਨ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 19 ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਸਥਿਰ ਗੁਣਕ 2 ਅਤੇ 0.5 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਹੋਇਆ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਲੰਬਕਾਰੀ ਖਿੱਚ ਅਤੇ ਸੰਕੋਚਨ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 19: ਲੰਬਕਾਰੀ ਖਿੱਚ ਅਤੇ ਸੰਕੋਚਨ
ਲੰਬਕਾਰੀ ਖਿੱਚ ਅਤੇ ਸੰਕੋਚਨ
ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ g(x)=af(x), ਜਿੱਥੇ a ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਹੈ, ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਦੀ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਖਿੱਚ ਜਾਂ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸੰਕੋਚਨ ਹੈ।
ਜੇ a>1, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਵੇਗਾ।
ਜੇ 0<a<1, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਸੰਕੋਚਿਆ ਜਾਵੇਗਾ।
ਜੇ a<0, ਤਾਂ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਖਿੱਚ ਜਾਂ ਸੰਕੋਚ ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਦਾ ਸੁਮੇਲ ਹੋਵੇਗਾ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ, ਇਸਦੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਖਿੱਚ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
a ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਛਾਣੋ।
ਸਾਰੇ ਰੇਂਜ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ a ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਜੇ a>1, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ a ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੇ 0<a<1, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ a ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਸੰਕੋਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੇ a<0, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਜਾਂ ਤਾਂ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂ ਸੰਕੋਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਵੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 13
ਲੰਬਕਾਰੀ ਖਿੱਚ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣਾ
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ P(t) ਫਲਾਈ ਮੱਖੀਆਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ਼ ਚਿੱਤਰ 20 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਇੱਕ ਵਿਗਿਆਨੀ ਇਸ ਆਬਾਦੀ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਦੂਜੀ ਆਬਾਦੀ, Q, ਨਾਲ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਵਿਕਾਸ ਇੱਕੋ ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਦੁੱਗਣੀ ਵੱਡੀ ਹੈ। ਇਸ ਆਬਾਦੀ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਖਿੱਚੋ।
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ ਆਬਾਦੀ ਹਮੇਸ਼ਾ ਦੁੱਗਣੀ ਵੱਡੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਨਵੀਂ ਆਬਾਦੀ ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਹਮੇਸ਼ਾ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲਾਂ ਤੋਂ ਦੁੱਗਣੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਗ੍ਰਾਫਿਕਲੀ, ਇਹ ਚਿੱਤਰ 21 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਜੇ ਅਸੀਂ ਚਾਰ ਸੰਦਰਭ ਬਿੰਦੂਆਂ, (0, 1), (3, 3), (6, 2) ਅਤੇ (7, 0) ਨੂੰ ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਸਾਰੇ ਆਉਟਪੁੱਟਾਂ ਨੂੰ 2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਾਂਗੇ।
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ ਨਵੇਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਲਈ ਨਵੇਂ ਬਿੰਦੂ ਕਿੱਥੇ ਸਥਿਤ ਹੋਣਗੇ।
ਸੰਕੇਤਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਸਬੰਧ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਇਨਪੁੱਟ t ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ Q ਦਾ ਮੁੱਲ ਫੰਕਸ਼ਨ P ਦੇ ਮੁੱਲ ਤੋਂ ਦੁੱਗਣਾ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ਼ 'ਤੇ ਪ੍ਰਭਾਵ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਖਿੱਚ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ ਹਰ ਬਿੰਦੂ ਹਰੀਜੋਂਟਲ ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਆਪਣੀ ਦੂਰੀ ਦੁੱਗਣੀ ਕਰ ਲੈਂਦਾ ਹੈ। ਇਨਪੁੱਟ ਮੁੱਲ, t, ਉਹੀ ਰਹਿੰਦੇ ਹਨ ਜਦੋਂ ਕਿ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਪਹਿਲਾਂ ਨਾਲੋਂ ਦੁੱਗਣੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਇੱਕ ਟੇਬੂਲਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ ਕਿ ਪਰਿਵਰਤਨ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਖਿੱਚ ਜਾਂ ਸੰਕੋਚ ਹੈ, ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸੰਕੋਚ ਲਈ ਇੱਕ ਟੇਬਲ ਬਣਾਓ।
a ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਸਾਰੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ a ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 14
ਇੱਕ ਟੇਬੂਲਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸੰਕੋਚ ਲੱਭਣਾ
1. ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f f ਨੂੰ ਟੇਬਲ 10 ਵਜੋਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ g(x)= 1 2 f(x) ਲਈ ਇੱਕ ਟੇਬਲ ਬਣਾਓ।
2. ਕਤਾਰ: x | 2 | 4 | 6 | 8
3. ਕਤਾਰ: f(x) | 1 | 3 | 7 | 11
4. ਹੱਲ
5. ਫਾਰਮੂਲਾ g(x)= 1 2 f(x) ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ g g ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ, ਉਸੇ ਇਨਪੁਟਸ ਨਾਲ, f f ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਅੱਧੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ f(4)=3।
6. ਅਸੀਂ ਟੇਬਲ 11 ਤਿਆਰ ਕਰਨ ਲਈ ਹੋਰ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਵੀ ਇਹੀ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
7. ਕਤਾਰ: x | 2 | 4 | 6 | 8
8. ਕਤਾਰ: g(x) | 1 2 | 3 2 | 7 2 | 11 2
9. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
10. ਨਤੀਜਾ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ g(x) ਨੂੰ ਲੰਬਕਾਰੀ ਤੌਰ 'ਤੇ 1 2 ਦੇ ਕਾਰਕ ਨਾਲ ਸੰਕੁਚਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਅੱਧਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ ਅਸਲ ਉਚਾਈ ਦਾ ਅੱਧਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
11. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #9
12. ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f f ਨੂੰ ਟੇਬਲ 12 ਵਜੋਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ g(x)= 3 4 f(x) ਲਈ ਇੱਕ ਟੇਬਲ ਬਣਾਓ।
13. ਕਤਾਰ: x | 2 | 4 | 6 | 8
14. ਕਤਾਰ: f(x) | 12 | 16 | 20 | 0
15. ਉਦਾਹਰਨ 15
16. ਲੰਬਕਾਰੀ ਖਿੱਚ ਨੂੰ ਪਛਾਣਨਾ
17. ਚਿੱਤਰ 22 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਟੂਲਕਿੱਟ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= x 3 ਦਾ ਇੱਕ ਰੂਪਾਂਤਰ ਹੈ। ਇਸ ਨਵੇਂ ਫੰਕਸ਼ਨ g(x) ਨੂੰ f(x) ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਫਿਰ g(x) ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲੱਭੋ।
18. ਹੱਲ
19. ਲੰਬਕਾਰੀ ਖਿੱਚ ਜਾਂ ਸ਼ਿਫਟ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ, ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਇੱਕ ਅਜਿਹੇ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਭਾਲ ਕਰਨਾ ਮਦਦਗਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਮੁਕਾਬਲਤਨ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੋਵੇ। ਇਸ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਜਾਪਦਾ ਹੈ ਕਿ g(2)=2। ਉਸੇ ਇਨਪੁਟ 'ਤੇ ਬੇਸਿਕ ਕਿਊਬਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਾਲ, f(2)= 2 3 =8। ਇਸ ਦੇ ਅਧਾਰ 'ਤੇ, ਇਹ ਜਾਪਦਾ ਹੈ ਕਿ g ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ f ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟਾਂ ਦਾ 1 4 ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ g(2)= 1 4 f(2)। ਇਸ ਤੋਂ ਅਸੀਂ ਕਾਫ਼ੀ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਢੰਗ ਨਾਲ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ g(x)= 1 4 f(x)।
20. ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ g ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
21. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #10
22. ਉਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਉਦੋਂ ਮਿਲਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਆਈਡੈਂਟਿਟੀ ਟੂਲਕਿੱਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ 3 ਦੇ ਕਾਰਕ ਨਾਲ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਇਸਨੂੰ 2 ਇਕਾਈਆਂ ਹੇਠਾਂ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
23. ਖਿਤਿਜੀ ਖਿੱਚਾਂ ਅਤੇ ਸੰਕੁਚਨ
24. ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਅੰਦਰ ਤਬਦੀਲੀਆਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਇਨਪੁੱਟ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਸਥਿਰਾਂਕ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮਿਲਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂ ਸੰਕੁਚਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇ ਸਥਿਰਾਂਕ 0 ਅਤੇ 1 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਖਿੱਚ ਮਿਲਦੀ ਹੈ; ਜੇ ਸਥਿਰਾਂਕ 1 ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਸੰਕੁਚਨ ਮਿਲਦਾ ਹੈ।
1. ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਫੰਕਸ਼ਨ y=f(x) ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ y=f(bx) ਰੂਪ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਖਿੱਚ ਜਾਂ ਸੰਕੁਚਨ ਦਾ ਕਾਰਨ ਬਣਦਾ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ y=x² 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਚਿੱਤਰ 23 ਦੇਖੋ। ਫੰਕਸ਼ਨ y=x² ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ y=(0.5x)² ਗ੍ਰਾਫ 2 ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਖਿਤਿਜੀ ਖਿੱਚ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ y=x² ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ y=(2x)² ਗ੍ਰਾਫ 2 ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਖਿਤਿਜੀ ਸੰਕੁਚਨ ਹੈ।
2. ਖਿਤਿਜੀ ਖਿੱਚਾਂ ਅਤੇ ਸੰਕੁਚਨ
3. ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ g(x)=f(bx), ਜਿੱਥੇ b ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹੈ, f(x) ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਖਿੱਚ ਜਾਂ ਖਿਤਿਜੀ ਸੰਕੁਚਨ ਹੈ।
4. ਜੇਕਰ b>1, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ 1/b ਦੁਆਰਾ ਸੰਕੁਚਿਤ ਹੋ ਜਾਵੇਗਾ।
5. ਜੇਕਰ 0<b<1, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ 1/b ਦੁਆਰਾ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਵੇਗਾ।
6. ਜੇਕਰ b<0, ਤਾਂ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਖਿੱਚ ਜਾਂ ਸੰਕੁਚਨ ਦੇ ਨਾਲ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਦਾ ਸੁਮੇਲ ਹੋਵੇਗਾ।
7. ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ
8. ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਵਰਣਨ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੋਵੇ, ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਸੰਕੁਚਨ ਜਾਂ ਖਿੱਚ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਓ।
9. ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ।
10. ਸੰਕੁਚਨ ਲਈ b>1 ਜਾਂ ਖਿੱਚ ਲਈ 0<b<1 ਦੇ ਨਾਲ g(x)=f(bx) ਸੈੱਟ ਕਰੋ।
11. ਉਦਾਹਰਨ 16
12. ਖਿਤਿਜੀ ਸੰਕੁਚਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
13. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਵਿਗਿਆਨੀ ਫਲ ਮੱਖੀਆਂ ਦੀ ਇੱਕ ਆਬਾਦੀ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਆਬਾਦੀ ਨਾਲ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੈ ਜੋ ਆਪਣੀ ਜੀਵਨ-ਅਵਧੀ ਨੂੰ ਅਸਲ ਆਬਾਦੀ ਨਾਲੋਂ ਦੁੱਗਣੀ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਪੂਰੀ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਨਵੀਂ ਆਬਾਦੀ, R, 1 ਘੰਟੇ ਵਿੱਚ ਉਹੀ ਮਾਤਰਾ ਪੂਰੀ ਕਰੇਗੀ ਜੋ ਅਸਲ ਆਬਾਦੀ 2 ਘੰਟਿਆਂ ਵਿੱਚ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ 2 ਘੰਟਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਉਨੀ ਹੀ ਮਾਤਰਾ ਪੂਰੀ ਕਰੇਗੀ ਜਿੰਨੀ ਅਸਲ ਆਬਾਦੀ 4 ਘੰਟਿਆਂ ਵਿੱਚ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਆਬਾਦੀ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਸਕੈਚ ਕਰੋ।
14. ਹੱਲ
15. ਪ੍ਰਤੀਕਾਤਮਕ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
16. ਅਸਲ ਆਬਾਦੀ ਅਤੇ ਸੰਕੁਚਿਤ ਆਬਾਦੀ ਦੀ ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ ਤੁਲਨਾ ਲਈ ਚਿੱਤਰ 24 ਦੇਖੋ।
17. ਚਿੱਤਰ 24: (a) ਅਸਲ ਆਬਾਦੀ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ (b) ਸੰਕੁਚਿਤ ਆਬਾਦੀ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ
18. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
19. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਪ੍ਰਭਾਵ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਸੰਕੁਚਨ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਸਾਰੇ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਲੰਬਕਾਰੀ ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਆਪਣੇ ਅਸਲ ਦੂਰੀ ਦਾ ਅੱਧਾ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
20. ਉਦਾਹਰਨ 17
21. ਟੇਬੂਲਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਖਿਤਿਜੀ ਖਿੱਚ ਲੱਭਣਾ
22. ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਨੂੰ ਟੇਬਲ 13 ਵਜੋਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ g(x)=f(1/2 x) ਲਈ ਇੱਕ ਟੇਬਲ ਬਣਾਓ।
23. ਕਤਾਰ: x | 2 | 4 | 6 | 8
24. ਕਤਾਰ: f(x) | 1 | 3 | 7 | 11
1. ਹੱਲ
2. ਫਾਰਮੂਲਾ g(x)=f( 1 2 x ) ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ g ਦੇ ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦੇ ਅੱਧੇ ਆਕਾਰ ਦੇ ਇਨਪੁਟ 'ਤੇ ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹਨ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਸਾਡੇ ਕੋਲ g(2) ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਾਫ਼ੀ ਜਾਣਕਾਰੀ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ g(2)=f( 1 2 ⋅2 )=f(1), ਅਤੇ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਸਾਡੀ ਸਾਰਣੀ ਵਿੱਚ f(1) ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ। g ਲਈ ਸਾਡੇ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਦੁੱਗਣਾ ਵੱਡਾ ਹੋਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੋਵੇਗੀ ਤਾਂ ਜੋ f ਲਈ ਇਨਪੁਟ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੇ ਜਾ ਸਕਣ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਅਸੀਂ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ g(4) ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
3. ਅਸੀਂ ਟੇਬਲ 14 ਪੈਦਾ ਕਰਨ ਲਈ ਦੂਜੇ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਵੀ ਅਜਿਹਾ ਹੀ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
4. ਕਤਾਰ: x | 4 | 8 | 12 | 16
5. ਕਤਾਰ: g(x) | 1 | 3 | 7 | 11
6. ਚਿੱਤਰ 25 ਇਹਨਾਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਸਮੂਹਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।
7. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
8. ਕਿਉਂਕਿ ਹਰੇਕ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਦੁੱਗਣਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਨਤੀਜਾ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ g(x) ਨੂੰ 2 ਦੇ ਗੁਣਕ ਦੁਆਰਾ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਖਿੱਚਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।
9. ਉਦਾਹਰਨ 18
10. ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਸੰਕੁਚਨ ਨੂੰ ਪਛਾਣਨਾ
11. ਫੰਕਸ਼ਨ g(x) ਨੂੰ ਚਿੱਤਰ 26 ਵਿੱਚ f(x) ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਕਰੋ।
12. ਹੱਲ
13. g(x) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ f(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਾਂਗ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸੰਕੁਚਿਤ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ f(x) (6,4) 'ਤੇ ਖਤਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ g(x) (2,4) 'ਤੇ ਖਤਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ x-ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ 1/3 ਦੁਆਰਾ ਸੰਕੁਚਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ 6(1/3)=2। ਅਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਨੋਟ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ g(2)=f(6) ਅਤੇ g(1)=f(3)। ਕਿਸੇ ਵੀ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਸਬੰਧ ਨੂੰ g(x)=f(3x) ਵਜੋਂ ਵਰਣਨ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ 1/3 ਦੁਆਰਾ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਸੰਕੁਚਨ ਹੈ।
14. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
15. ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਖਿਤਿਜੀ ਖਿੱਚ ਜਾਂ ਸੰਕੁਚਨ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦਾ ਗੁਣਕ ਖਿੱਚ ਜਾਂ ਸੰਕੁਚਨ ਦਾ ਉਲਟ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ 4 ਦੇ ਸਕੇਲ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਖਿੱਚਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਆਪਣੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ 1/4 ਦਾ ਗੁਣਕ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ: f(1/4 x)। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕੋ ਨਤੀਜਾ ਪੈਦਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਚਾਰ ਗੁਣਾ ਵੱਡਾ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਇਨਪੁਟ ਵੱਡਾ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਖਿਤਿਜੀ ਖਿੱਚ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
16. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #11
17. ਟੂਲਕਿੱਟ ਵਰਗਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ 3 ਦੇ ਗੁਣਕ ਦੁਆਰਾ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਖਿੱਚਿਆ ਗਿਆ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ।
18. ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਕ੍ਰਮ ਕਰਨਾ
19. ਜਦੋਂ ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਨਾ ਬਹੁਤ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, 3 ਦੁਆਰਾ ਲੰਬਕਾਰੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਨਾ ਅਤੇ ਫਿਰ 2 ਦੁਆਰਾ ਲੰਬਕਾਰੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਖਿੱਚਣਾ ਉਸੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਨਹੀਂ ਬਣਾਉਂਦਾ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਪਹਿਲਾਂ 2 ਦੁਆਰਾ ਲੰਬਕਾਰੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਖਿੱਚਣਾ ਅਤੇ ਫਿਰ 3 ਦੁਆਰਾ ਲੰਬਕਾਰੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਨਾ, ਕਿਉਂਕਿ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਸ਼ਿਫਟ ਦੋਵੇਂ ਖਿੱਚੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਸਿਰਫ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ।
20. ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ 2f(x)+3 ਵਰਗਾ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਕਿਹੜੀ ਪਰਿਵਰਤਨ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਨੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ? ਇੱਥੇ ਜਵਾਬ ਆਪਰੇਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਤੋਂ ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। f(x) ਦੇ ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ 2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਲੰਬਕਾਰੀ ਖਿੱਚ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਫਿਰ 3 ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਜੋੜ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਗੁਣਾ।
21. ਖਿਤਿਜੀ ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਨੂੰ ਸੋਚਣ ਲਈ ਥੋੜਾ ਹੋਰ ਮੁਸ਼ਕਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ g(x)=f(2x+3) ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ, ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਸੋਚਣਾ ਪੈਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ g ਦੇ ਇਨਪੁਟ f ਦੇ ਇਨਪੁਟਾਂ ਨਾਲ ਕਿਵੇਂ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹਨ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ f(7)=12 ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ। g ਲਈ ਕਿਹੜਾ ਇਨਪੁਟ ਉਸ ਆਉਟਪੁਟ ਨੂੰ ਪੈਦਾ ਕਰੇਗਾ? ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, x ਦਾ ਕਿਹੜਾ ਮੁੱਲ g(x)=f(2x+3)=12 ਦੀ ਆਗਿਆ ਦੇਵੇਗਾ? ਸਾਨੂੰ 2x+3=7 ਦੀ ਲੋੜ ਹੋਵੇਗੀ। x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ 3 ਘਟਾਵਾਂਗੇ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਸ਼ਿਫਟ ਹੋਵੇਗੀ, ਅਤੇ ਫਿਰ 2 ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਾਂਗੇ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਸੰਕੁਚਨ ਹੋਵੇਗਾ।
22. ਇਹ ਫਾਰਮੈਟ ਕੰਮ ਕਰਨ ਲਈ ਬਹੁਤ ਮੁਸ਼ਕਲ ਸਾਬਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਖਿੱਚਣਾ ਬਹੁਤ ਆਸਾਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਅੰਦਰ ਫੈਕਟਰਿੰਗ ਕਰਕੇ ਇਸ 'ਤੇ ਕੰਮ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
23. ਆਓ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਦੇਖੀਏ।
24. ਅਸੀਂ 2 ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਕੱਢ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ 2 ਇਕਾਈਆਂ ਦਾ ਖਿਤਿਜੀ ਝੁਕਾਅ ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਸੰਕੋਚਨ ਵਧੇਰੇ ਸਪੱਸ਼ਟ ਤੌਰ 'ਤੇ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਫੈਕਟਰਿੰਗ ਕਰਨਾ ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਖਿੱਚਣ ਅਤੇ ਫਿਰ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਝੁਕਾਉਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਰੂਪਾਂਤਰਣਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨਾ
ਜਦੋਂ af(x)+k ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੇ ਗਏ ਲੰਬਵਤ ਰੂਪਾਂਤਰਣਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਪਹਿਲਾਂ a ਦੁਆਰਾ ਲੰਬਵਤ ਤੌਰ 'ਤੇ ਖਿੱਚੋ ਅਤੇ ਫਿਰ k ਦੁਆਰਾ ਲੰਬਵਤ ਤੌਰ 'ਤੇ ਝੁਕਾਓ।
ਜਦੋਂ f(bx-h) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੇ ਗਏ ਖਿਤਿਜੀ ਰੂਪਾਂਤਰਣਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਪਹਿਲਾਂ h ਦੁਆਰਾ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਝੁਕਾਓ ਅਤੇ ਫਿਰ 1/b ਦੁਆਰਾ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਖਿੱਚੋ।
ਜਦੋਂ f(b(x-h)) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੇ ਗਏ ਖਿਤਿਜੀ ਰੂਪਾਂਤਰਣਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਪਹਿਲਾਂ 1/b ਦੁਆਰਾ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਖਿੱਚੋ ਅਤੇ ਫਿਰ h ਦੁਆਰਾ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਝੁਕਾਓ।
ਖਿਤਿਜੀ ਅਤੇ ਲੰਬਵਤ ਰੂਪਾਂਤਰਣ ਸੁਤੰਤਰ ਹਨ। ਇਸ ਨਾਲ ਕੋਈ ਫਰਕ ਨਹੀਂ ਪੈਂਦਾ ਕਿ ਖਿਤਿਜੀ ਜਾਂ ਲੰਬਵਤ ਰੂਪਾਂਤਰਣ ਪਹਿਲਾਂ ਕੀਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 19
ਡਾਟਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਤੀਹਰਾ ਰੂਪਾਂਤਰਣ ਲੱਭਣਾ
ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਲਈ ਟੇਬਲ 15 ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ, ਫੰਕਸ਼ਨ g(x)=2f(3x)+1 ਲਈ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਟੇਬਲ ਬਣਾਓ।
ਸਤਰ: x | 6 | 12 | 18 | 24
ਸਤਰ: f(x) | 10 | 14 | 15 | 17
ਹੱਲ
ਇਸ ਰੂਪਾਂਤਰਣ ਲਈ ਤਿੰਨ ਕਦਮ ਹਨ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਅੰਦਰੋਂ ਬਾਹਰ ਵੱਲ ਕੰਮ ਕਰਾਂਗੇ। ਖਿਤਿਜੀ ਰੂਪਾਂਤਰਣਾਂ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, f(3x) 1/3 ਦੁਆਰਾ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਸੰਕੋਚਨ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ x-ਮੁੱਲ ਨੂੰ 1/3 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਟੇਬਲ 16 ਦੇਖੋ।
ਸਤਰ: x | 2 | 4 | 6 | 8
ਸਤਰ: f(3x) | 10 | 14 | 15 | 17
ਹੁਣ ਲੰਬਵਤ ਰੂਪਾਂਤਰਣਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਲੰਬਵਤ ਖਿੱਚ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਆਊਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ 2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੇਗਾ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਪਿਛਲੇ ਰੂਪਾਂਤਰਣ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਟੇਬਲ 17 ਦੇਖੋ।
ਸਤਰ: x | 2 | 4 | 6 | 8
ਸਤਰ: 2f(3x) | 20 | 28 | 30 | 34
ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਲੰਬਵਤ ਝੁਕਾਅ ਲਾਗੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਸਾਰੇ ਆਊਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲਾਂ ਵਿੱਚ 1 ਜੋੜ ਦੇਵੇਗਾ। ਟੇਬਲ 18 ਦੇਖੋ।
ਸਤਰ: x | 2 | 4 | 6 | 8
ਸਤਰ: g(x)=2f(3x)+1 | 21 | 29 | 31 | 35
ਉਦਾਹਰਨ 20
ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਤੀਹਰਾ ਰੂਪਾਂਤਰਣ ਲੱਭਣਾ
ਚਿੱਤਰ 27 ਵਿੱਚ f(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ k(x)=f(1/2x+1)−3 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਸਕੈਚ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਸਰਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਆਓ ਪਹਿਲਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਅੰਦਰਲੇ ਹਿੱਸੇ ਨੂੰ ਫੈਕਟਰ ਕਰੀਏ।
ਅੰਦਰਲੇ ਹਿੱਸੇ ਨੂੰ ਫੈਕਟਰ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ 2 ਨਾਲ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਖਿੱਚ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਅੰਦਰਲੇ ਹਿੱਸੇ 'ਤੇ 1 2 1 2 ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ 0 ਦਾ ਦੁਗਣਾ ਅਜੇ ਵੀ 0 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਬਿੰਦੂ (0,2) (0,2) 'ਤੇ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਕਿ ਬਿੰਦੂ (2,0) (4,0) ਤੱਕ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਵੇਗਾ। ਚਿੱਤਰ 28 ਦੇਖੋ।
ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ x+2 ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਏ ਅਨੁਸਾਰ, 2 ਯੂਨਿਟ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। x+2। ਚਿੱਤਰ 29 ਦੇਖੋ।
ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਸਕੈਚ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਲਈ 3 ਯੂਨਿਟ ਹੇਠਾਂ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਬਾਹਰਲੇ ਹਿੱਸੇ 'ਤੇ −3 −3 ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 30 ਦੇਖੋ।
ਮੀਡੀਆ
ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਪਰਿਵਰਤਨ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਸ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
ਫੰਕਸ਼ਨ ਪਰਿਵਰਤਨ
ਜ਼ਬਾਨੀ
ਜਦੋਂ ਕਈ ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਖਿਤਿਜੀ ਸ਼ਿਫਟ ਨੂੰ ਵਰਟੀਕਲ ਸ਼ਿਫਟ ਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਦੱਸ ਸਕਦੇ ਹੋ?
ਜਦੋਂ ਕਈ ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਖਿਤਿਜੀ ਖਿੱਚ ਨੂੰ ਵਰਟੀਕਲ ਖਿੱਚ ਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਦੱਸ ਸਕਦੇ ਹੋ?
ਜਦੋਂ ਕਈ ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਖਿਤਿਜੀ ਸੰਕੁਚਨ ਨੂੰ ਵਰਟੀਕਲ ਸੰਕੁਚਨ ਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਦੱਸ ਸਕਦੇ ਹੋ?
ਜਦੋਂ ਕਈ ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਦੱਸ ਸਕਦੇ ਹੋ?
ਤੁਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ ਕੋਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿਸ਼ਮ ਹੈ ਜਾਂ ਸਮ?
ਬੀਜਗਣਿਤ
ਉਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ ਜਦੋਂ f(x)= x f(x)= x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ 1 ਯੂਨਿਟ ਉੱਪਰ ਅਤੇ 2 ਯੂਨਿਟ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਉਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ ਜਦੋਂ f(x)=| x | f(x)=| x | ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ 3 ਯੂਨਿਟ ਹੇਠਾਂ ਅਤੇ 1 ਯੂਨਿਟ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਉਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ ਜਦੋਂ f(x)= 1 x f(x)= 1 x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ 4 ਯੂਨਿਟ ਹੇਠਾਂ ਅਤੇ 3 ਯੂਨਿਟ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਉਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ ਜਦੋਂ f(x)= 1 x 2 f(x)= 1 x 2 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ 2 ਯੂਨਿਟ ਉੱਪਰ ਅਤੇ 4 ਯੂਨਿਟ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਵਰਣਨ ਕਰੋ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਪਰਿਵਰਤਨ ਕਿਵੇਂ ਹੈ। f.
y=f(x−49)
y=f(x+43)
y=f(x+3)
y=f(x−4)
y=f(x)+5
y=f(x)+8
y=f(x)−2
y=f(x)−7
y=f(x−2)+3
y=f(x+4)−1
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਹੜੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ 'ਤੇ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਅਤੇ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ।
f(x)=4 (x+1) 2 −5
g(x)=5 (x+3) 2 −2
a(x)= −x+4
k(x)=−3 x −1
ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, f(x)= 2 x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ, ਜੋ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 31 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ f(x) ਦੇ ਹਰੇਕ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
g(x)= 2 x +1
h(x)= 2 x −3
w(x)= 2 x−1
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਟੂਲਕਿੱਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਪਰਿਵਰਤਨ ਵਜੋਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
f(t)= (t+1) 2 −3
h(x)=|x−1|+4
k(x)= (x−2) 3 −1
m(t)=3+ t+2
ਸੰਖਿਆਤਮਕ
f,g, ਅਤੇ h ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਟੇਬੂਲਰ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ। g(x) ਅਤੇ h(x) ਨੂੰ f(x) ਦੇ ਪਰਿਵਰਤਨ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
row: x x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2
row: f(x) f(x) | −2 | −1 | −3 | 1 | 2
row: x x | −1 | 0 | 1 | 2 | 3
row: g(x) g(x) | −2 | −1 | −3 | 1 | 2
row: x x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2
row: h(x) h(x) | −1 | 0 | −2 | 2 | 3
Tabular representations for the functions f,g, f,g, and h h are given below. Write g(x) g(x) and h(x) h(x) as transformations of f(x). f(x).
row: x x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2
row: f(x) f(x) | −1 | −3 | 4 | 2 | 1
row: x x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1
row: g(x) g(x) | −1 | −3 | 4 | 2 | 1
row: x x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2
row: h(x) h(x) | −2 | −4 | 3 | 1 | 0
For the following exercises, write an equation for each graphed function by using transformations of the graphs of one of the toolkit functions.
For the following exercises, use the graphs of transformations of the square root function to find a formula for each of the functions.
For the following exercises, use the graphs of the transformed toolkit functions to write a formula for each of the resulting functions.
For the following exercises, determine whether the function is odd, even, or neither.
f(x)=3 x 4 f(x)=3 x 4
g(x)= x g(x)= x
h(x)= 1 x +3x h(x)= 1 x +3x
f(x)= (x−2) 2 f(x)= (x−2) 2
g(x)=2 x 4 g(x)=2 x 4
h(x)=2x− x 3 h(x)=2x− x 3
For the following exercises, describe how the graph of each function is a transformation of the graph of the original function f. f.
g(x)=−f(x) g(x)=−f(x)
g(x)=f(−x)
g(x)=4f(x)
g(x)=6f(x)
g(x)=f(5x)
g(x)=f(2x)
g(x)=f( 1 3 x )
g(x)=f( 1 5 x )
g(x)=3f( −x )
g(x)=−f(3x)
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ g g ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ ਜੋ ਕਿ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਟੂਲਕਿਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਤੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
f(x)=|x| f(x)=|x| ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਉੱਤੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ 1/4 ਦੇ ਕਾਰਕ ਦੁਆਰਾ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸੰਕੁਚਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
f(x)=√x f(x)=√x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਉੱਤੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ 2 ਦੇ ਕਾਰਕ ਦੁਆਰਾ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
f(x)=1/x² f(x)=1/x² ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ 1/3 ਦੇ ਕਾਰਕ ਦੁਆਰਾ ਲੰਬਵਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸੰਕੁਚਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਫਿਰ 2 ਇਕਾਈਆਂ ਖੱਬੇ ਅਤੇ 3 ਇਕਾਈਆਂ ਹੇਠਾਂ ਖਿਸਕਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
f(x)=1/x f(x)=1/x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ 8 ਦੇ ਕਾਰਕ ਦੁਆਰਾ ਲੰਬਵਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਫਿਰ 4 ਇਕਾਈਆਂ ਸੱਜੇ ਅਤੇ 2 ਇਕਾਈਆਂ ਉੱਪਰ ਖਿਸਕਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
f(x)=x² f(x)=x² ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ 1/2 ਦੇ ਕਾਰਕ ਦੁਆਰਾ ਲੰਬਵਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸੰਕੁਚਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਫਿਰ 5 ਇਕਾਈਆਂ ਸੱਜੇ ਅਤੇ 1 ਇਕਾਈ ਉੱਪਰ ਖਿਸਕਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
f(x)=x² f(x)=x² ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ 3 ਦੇ ਕਾਰਕ ਦੁਆਰਾ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਫਿਰ 4 ਇਕਾਈਆਂ ਖੱਬੇ ਅਤੇ 3 ਇਕਾਈਆਂ ਹੇਠਾਂ ਖਿਸਕਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਵਰਣਨ ਕਰੋ ਕਿ ਫਾਰਮੂਲਾ ਟੂਲਕਿਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇੱਕ ਰੂਪਾਂਤਰ ਕਿਵੇਂ ਹੈ। ਫਿਰ ਰੂਪਾਂਤਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
g(x)=4(x+1)²−5
g(x)=5(x+3)²−2
h(x)=−2|x−4|+3
k(x)=−3/√x−1
m(x)=1/2 x³
n(x)=1/3 |x−2|
p(x)=(1/3 x)³−3
q( x )= ( 1 4 x ) 3 +1
a(x)= −x+4
1. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਰੂਪਾਂਤਰਨਾਂ ਨੂੰ ਉਲੀਕਣ ਲਈ ਚਿੱਤਰ 32 ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
g(x) = f(x) - 2
g(x) = −f(x)
g(x)=f(x+1)
g(x) = f(x-2)