ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੋ।
ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਸੀਮਤ ਕਰੋ।
ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਉਲਟ ਲੱਭੋ ਜਾਂ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਇੱਕ-ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਉਸੇ ਧੁਰਿਆਂ 'ਤੇ ਉਸਦੇ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਇੱਕ ਪ੍ਰਤਿਲੋਮਾਤਮਕ ਗਰਮੀ ਪੰਪ ਇੱਕ ਜਲਵਾਯੂ-ਨਿਯੰਤਰਣ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਯੰਤਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਏਅਰ ਕੰਡੀਸ਼ਨਰ ਅਤੇ ਇੱਕ ਹੀਟਰ ਹੈ। ਇੱਕ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਚਲਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਇਹ ਘਰ ਤੋਂ ਗਰਮੀ ਬਾਹਰ ਕੱਢਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਠੰਡਕ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕੇ। ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਚਲਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਇਹ ਇਮਾਰਤ ਵਿੱਚ ਬਾਹਰੋਂ ਗਰਮੀ ਕੱਢਦਾ ਹੈ, ਠੰਡੇ ਮੌਸਮ ਵਿੱਚ ਵੀ, ਹੀਟਿੰਗ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਨ ਲਈ। ਹੀਟਰ ਵਜੋਂ, ਇੱਕ ਗਰਮੀ ਪੰਪ ਰਵਾਇਤੀ ਬਿਜਲਈ ਪ੍ਰਤੀਰੋਧ ਹੀਟਿੰਗ ਨਾਲੋਂ ਕਈ ਗੁਣਾ ਵਧੇਰੇ ਕੁਸ਼ਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਜੇ ਕੁਝ ਭੌਤਿਕ ਮਸ਼ੀਨਾਂ ਦੋ ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਚੱਲ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਪੁੱਛ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੀ ਸਾਡੇ ਦੁਆਰਾ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤੇ ਗਏ ਕੁਝ ਫੰਕਸ਼ਨ "ਮਸ਼ੀਨਾਂ" ਵੀ ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਚੱਲ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ। ਚਿੱਤਰ 1 ਇਸ ਸਵਾਲ ਦਾ ਇੱਕ ਦ੍ਰਿਸ਼ਮਈ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਉਲਟ ਪ੍ਰਕਿਰਤੀ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਾਂਗੇ।
ਚਿੱਤਰ 1: ਕੀ ਕੋਈ ਫੰਕਸ਼ਨ "ਮਸ਼ੀਨ" ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਕੰਮ ਕਰ ਸਕਦੀ ਹੈ?
ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੋਣ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਨਾ
ਬੇਟੀ ਫੈਸ਼ਨ ਸ਼ੋਅ ਲਈ ਮਿਲਾਨ ਜਾ ਰਹੀ ਹੈ ਅਤੇ ਜਾਣਨਾ ਚਾਹੁੰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਤਾਪਮਾਨ ਕੀ ਹੋਵੇਗਾ। ਉਹ ਸੈਲਸੀਅਸ ਸਕੇਲ ਤੋਂ ਜਾਣੂ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਤਾਪਮਾਨ ਦੇ ਮਾਪਾਂ ਦੇ ਸਬੰਧ ਨੂੰ ਸਮਝਣ ਲਈ, ਬੇਟੀ 75 ਡਿਗਰੀ ਫਾਰਨਹੀਟ ਨੂੰ ਡਿਗਰੀ ਸੈਲਸੀਅਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣਾ ਚਾਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਰਤ ਕੇ
ਅਤੇ F F ਲਈ 75 ਨੂੰ ਬਦਲ ਕੇ ਗਣਨਾ ਕਰਦਾ ਹੈ
ਇਹ ਜਾਣਦੇ ਹੋਏ ਕਿ ਇੱਕ ਆਰਾਮਦਾਇਕ 75 ਡਿਗਰੀ ਫਾਰਨਹੀਟ ਲਗਭਗ 24 ਡਿਗਰੀ ਸੈਲਸੀਅਸ ਹੈ, ਬੇਟੀ ਮਿਲਾਨ ਲਈ ਚਿੱਤਰ 2 ਤੋਂ ਹਫ਼ਤੇ ਦੀ ਮੌਸਮ ਦੀ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਸਾਰੇ ਤਾਪਮਾਨਾਂ ਨੂੰ ਡਿਗਰੀ ਫਾਰਨਹੀਟ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣਾ ਚਾਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਪਹਿਲਾਂ, ਬੇਟੀ ਬਦਲਾਵਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਲਈ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਲੱਭੇ ਗਏ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਆਖ਼ਰਕਾਰ, ਉਹ ਆਪਣੀ ਅਲਜਬਰਾ ਜਾਣਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ C ਲਈ ਇੱਕ ਮੁੱਲ ਬਦਲਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ F ਲਈ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, 26 ਡਿਗਰੀ ਸੈਲਸੀਅਸ ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਲਈ, ਉਹ ਲਿਖ ਸਕਦੀ ਹੈ
ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇਸ ਵਿਕਲਪ 'ਤੇ ਕੁਝ ਪਲ ਵਿਚਾਰ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਉਹ ਮਹਿਸੂਸ ਕਰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਹਰੇਕ ਤਾਪਮਾਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਬਹੁਤ ਮੁਸ਼ਕਲ ਹੋਵੇਗਾ। ਉਹ ਮਹਿਸੂਸ ਕਰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਕਿਉਂਕਿ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ ਹੱਲ ਕਰਨ ਨਾਲੋਂ ਆਸਾਨ ਹੈ, ਇੱਕ ਵੱਖਰਾ ਫਾਰਮੂਲਾ ਹੋਣਾ ਬਹੁਤ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਹੋਵੇਗਾ, ਇੱਕ ਜੋ ਸੈਲਸੀਅਸ ਤਾਪਮਾਨ ਲੈਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਫਾਰਨਹੀਟ ਤਾਪਮਾਨ ਨੂੰ ਆਊਟਪੁੱਟ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਜਿਸ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਬੇਟੀ ਭਾਲ ਕਰ ਰਹੀ ਹੈ, ਉਹ ਇੱਕ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਵਿਚਾਰ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਲਈ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇਨਪੁੱਟ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਆਊਟਪੁੱਟ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਆਊਟਪੁੱਟ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇਨਪੁੱਟ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, f(x), ਅਸੀਂ ਇਸਦੇ ਉਲਟ ਨੂੰ f −1 (x), f −1 (x) ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸਨੂੰ "f "f ਦਾ ਉਲਟ x।" x।" ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉੱਪਰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ −1 −1 ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦਾ ਹਿੱਸਾ ਹੈ। ਇਹ ਕੋਈ ਘਾਤ ਨਹੀਂ ਹੈ; ਇਹ −1 −1 ਦੀ ਸ਼ਕਤੀ ਦਾ ਸੰਕੇਤ ਨਹੀਂ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, f −1 (x) f −1 (x) ਦਾ ਮਤਲਬ 1 f(x) 1 f(x) ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ 1 f(x) 1 f(x) f ਦਾ ਉਲਟ ਹੈ ਅਤੇ ਉਲਟ ਨਹੀਂ।
"ਘਾਤ-ਵਰਗਾ" ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕੰਪੋਜੀਸ਼ਨ ਅਤੇ ਗੁਣਾ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਸਮਾਨਤਾ ਤੋਂ ਆਉਂਦਾ ਹੈ: ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਸੰਖਿਆ a, a ਲਈ a −1 a=1 a −1 a=1 (1 ਗੁਣਾ ਲਈ ਪਛਾਣ ਤੱਤ ਹੈ), ਇਸ ਲਈ f −1 ∘f f −1 ∘f ਪਛਾਣ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਯਾਨੀ,
ਇਹ f ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ x x ਲਈ ਸੱਚ ਹੈ। f। ਅਨੌਪਚਾਰਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਨੂੰ "ਅਨਡੂ" ਕਰਦੇ ਹਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਜ਼ੀਰੋ ਦਾ ਕੋਈ ਉਲਟ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ, ਕੁਝ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਉਲਟ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ।
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, f(x), ਅਸੀਂ ਇਹ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੋਈ ਹੋਰ ਫੰਕਸ਼ਨ g(x) g(x) f(x) f(x) ਦਾ ਉਲਟ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ, ਇਹ ਜਾਂਚ ਕਰਕੇ ਕਿ ਕੀ g(f(x))=x g(f(x))=x ਅਤੇ f(g(x))=x f(g(x))=x ਦੋਵੇਂ ਸੱਚ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, y=4x y=4x ਅਤੇ y= 1 4 x y= 1 4 x ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ।
ਅਤੇ
ਫੰਕਸ਼ਨ y=4x y=4x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਕੁਝ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਜੋੜੇ (−2, −8), (0, 0), ਅਤੇ (2, 8) ਹਨ। ਫੰਕਸ਼ਨ y= 1 4 x y= 1 4 x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਕੁਝ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਜੋੜੇ (−8, −2), (0, 0), ਅਤੇ (8, 2) ਹਨ। ਜੇ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਹਰੇਕ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਜੋੜੇ ਦੇ ਇਨਪੁੱਟ ਅਤੇ ਆਊਟਪੁੱਟ ਨੂੰ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਬਦਲੇ ਹੋਏ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਜੋੜੇ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਦਿਖਾਈ ਦੇਣਗੇ।
ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ
For any one-to-one function f(x)=y, f(x)=y, a function f −1 ( x ) f −1 ( x ) is an inverse function of f f if f −1 (y)=x. f −1 (y)=x. This can also be written as f −1 (f(x))=x f −1 (f(x))=x for all x x in the domain of f. f. It also follows that f( f −1 (x))=x f( f −1 (x))=x for all x x in the domain of f −1 f −1 if f −1 f −1 is the inverse of f. f.
The notation f −1 f −1 is read “ f “ f inverse.” Like any other function, we can use any variable name as the input for f −1 , f −1 , so we will often write f −1 (x), f −1 (x), which we read as “f “f inverse of x.” x.” Keep in mind that
and not all functions have inverses.
Example 1
Identifying an Inverse Function for a Given Input-Output Pair
If for a particular one-to-one function f(2)=4 f(2)=4 and f(5)=12, f(5)=12, what are the corresponding input and output values for the inverse function?
Solution
The inverse function reverses the input and output quantities, so if
Alternatively, if we want to name the inverse function g, g, then g(4)=2 g(4)=2 and g(12)=5. g(12)=5.
Analysis
Notice that if we show the coordinate pairs in a table form, the input and output are clearly reversed. See Table 1.
row: ( x,f(x) ) ( x,f(x) ) | ( x,g(x) ) ( x,g(x) )
row: ( 2,4 ) ( 2,4 ) | ( 4,2 ) ( 4,2 )
row: ( 5,12 ) ( 5,12 ) | ( 12,5 ) ( 12,5 )
Try It #1
Given that h −1 (6)=2, h −1 (6)=2, what are the corresponding input and output values of the original function h? h?
How To
Given two functions f(x) f(x) and g(x), g(x), test whether the functions are inverses of each other.
Determine whether f(g(x))=x f(g(x))=x or g(f(x))=x. g(f(x))=x.
If both statements are true, then g= f −1 g= f −1 and f= g −1 . f= g −1 . If either statement is false, then both are false, and g≠ f −1 g≠ f −1 and f≠ g −1 . f≠ g −1 .
Example 2
Testing Inverse Relationships Algebraically
If f( x )= 1 x+2 f( x )= 1 x+2 and g( x )= 1 x −2, g( x )= 1 x −2, is g= f −1 ? g= f −1 ?
Solution
ਅਸੀਂ ਦੂਜੇ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਨੀ ਹੈ।
ਇਸ ਲਈ
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਉਲਟ ਕਾਰਜ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਕਾਰਜਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਉਲਟ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਹਨ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
ਜੇਕਰ f(x) = x³ - 4 ਅਤੇ g(x) = (x+4)⅓, ਤਾਂ ਕੀ g = f⁻¹ ਹੈ?
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਘਾਤ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਉਲਟ ਸਬੰਧਾਂ ਦਾ ਨਿਰਧਾਰਨ
ਜੇਕਰ f(x) = x³ (ਘਣ ਫੰਕਸ਼ਨ) ਅਤੇ g(x) = ⅓x, ਤਾਂ ਕੀ g = f⁻¹ ਹੈ?
ਹੱਲ
ਨਹੀਂ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਉਲਟ ਨਹੀਂ ਹਨ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਘਣ ਦਾ ਸਹੀ ਉਲਟ, ਬੇਸ਼ੱਕ, ਘਣ ਮੂਲ x⅓ ਹੈ, ਭਾਵ, ਇੱਕ-ਤਿਹਾਈ ਇੱਕ ਘਾਤ ਹੈ, ਗੁਣਕ ਨਹੀਂ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
ਜੇਕਰ f(x) = (x−1)³ ਅਤੇ g(x) = x³ + 1, ਤਾਂ ਕੀ g = f⁻¹ ਹੈ?
ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਲੱਭਣਾ
ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ f⁻¹ ਦੇ ਇਨਪੁੱਟ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ f ਦੀ ਰੇਂਜ f⁻¹ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਵੀ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਕਿਉਂਕਿ f ਦੇ ਇਨਪੁੱਟ f⁻¹ ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਹਨ, f ਦਾ ਡੋਮੇਨ f⁻¹ ਦੀ ਰੇਂਜ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 3 ਵਿੱਚ ਸਥਿਤੀ ਦੀ ਕਲਪਨਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਚਿੱਤਰ 3: ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਉਲਟ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ
ਜਦੋਂ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਕੋਈ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਬਣਾਉਣਾ ਸੰਭਵ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਸੀਮਤ ਡੋਮੇਨ 'ਤੇ ਨਵਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਰੱਖਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, f(x) = √x ਦਾ ਉਲਟ f⁻¹(x) = x² ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਇੱਕ ਵਰਗ ਇੱਕ ਵਰਗ ਮੂਲ ਨੂੰ "ਅਨਡੂ" ਕਰਦਾ ਹੈ; ਪਰ ਵਰਗ ਸਿਰਫ [0,∞) ਦੇ ਡੋਮੇਨ 'ਤੇ ਵਰਗ ਮੂਲ ਦਾ ਉਲਟ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ f(x) = √x ਦੀ ਰੇਂਜ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਪਾਸਿਓਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਵਰਗ (ਟੂਲਕਿੱਟ ਕੁਆਡ੍ਰੇਟਿਕ) ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = x² ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਕੇ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਉਲਟ ਬਣਾਉਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸਮੱਸਿਆ ਦਾ ਸਾਹਮਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਕਿਉਂਕਿ ਕੁਆਡ੍ਰੇਟਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਹਰ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਆਉਟਪੁੱਟ ਲਈ, ਦੋ ਸੰਬੰਧਿਤ ਇਨਪੁੱਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ (ਸਿਵਾਏ ਜਦੋਂ ਇਨਪੁੱਟ 0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ)। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਕੁਆਡ੍ਰੇਟਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਤੋਂ 9 ਦਾ ਆਉਟਪੁੱਟ ਇਨਪੁੱਟ 3 ਅਤੇ –3 ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ। ਪਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇੱਕ ਆਉਟਪੁੱਟ ਇਸਦੇ ਉਲਟ ਦਾ ਇੱਕ ਇਨਪੁੱਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ; ਜੇਕਰ ਇਹ ਉਲਟ ਇਨਪੁੱਟ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਲਟ ਆਉਟਪੁੱਟ (ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇਨਪੁੱਟ) ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ, ਤਾਂ "ਉਲਟ" ਬਿਲਕੁਲ ਵੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਹੀਂ ਹੈ! ਇਸਨੂੰ ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ ਕਹਿਣ ਲਈ, ਕੁਆਡ੍ਰੇਟਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਹੀਂ ਹੈ; ਇਹ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਲਾਈਨ ਟੈਸਟ ਵਿੱਚ ਅਸਫਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਸਦਾ ਕੋਈ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਉਲਟ ਹੋਣ ਲਈ, ਇਹ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਅਜੇ ਵੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਡੋਮੇਨ ਦੇ ਇੱਕ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸ 'ਤੇ ਇਹ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਵਰਗ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = x² ਦਾ ਇੱਕ ਸੀਮਤ ਸੰਸਕਰਣ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸਦਾ ਡੋਮੇਨ [0,∞) ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ (ਇਹ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਲਾਈਨ ਟੈਸਟ ਪਾਸ ਕਰਦਾ ਹੈ) ਅਤੇ ਜਿਸਦਾ ਉਲਟ (ਵਰਗ-ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ) ਹੈ।
ਜੇਕਰ f(x) = (x−1)² [1,∞) 'ਤੇ, ਤਾਂ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ f⁻¹(x) = √x + 1 ਹੈ।
f ਦਾ ਡੋਮੇਨ = f⁻¹ ਦੀ ਰੇਂਜ = [1,∞)।
f⁻¹ ਦਾ ਡੋਮੇਨ = f ਦੀ ਰੇਂਜ = [0,∞)।
Q&A
Is it possible for a function to have more than one inverse?
No. If two supposedly different functions, say, g g and h, h, both meet the definition of being inverses of another function f, f, then you can prove that g=h. g=h. We have just seen that some functions only have inverses if we restrict the domain of the original function. In these cases, there may be more than one way to restrict the domain, leading to different inverses. However, on any one domain, the original function still has only one unique inverse.
Domain and Range of Inverse Functions
The range of a function f(x) f(x) is the domain of the inverse function f −1 (x). f −1 (x).
The domain of f(x) f(x) is the range of f −1 (x). f −1 (x).
How To
Given a function, find the domain and range of its inverse.
If the function is one-to-one, write the range of the original function as the domain of the inverse, and write the domain of the original function as the range of the inverse.
If the domain of the original function needs to be restricted to make it one-to-one, then this restricted domain becomes the range of the inverse function.
Example 4
Finding the Inverses of Toolkit Functions
Identify which of the toolkit functions besides the quadratic function are not one-to-one, and find a restricted domain on which each function is one-to-one, if any. The toolkit functions are reviewed in Table 2. We restrict the domain in such a fashion that the function assumes all y-values exactly once.
row: Constant | Identity | Quadratic | Cubic | Reciprocal
row: f(x)=c f(x)=c | f(x)=x f(x)=x | f(x)= x 2 f(x)= x 2 | f(x)= x 3 f(x)= x 3 | f(x)= 1 x f(x)= 1 x
row: Reciprocal squared | Cube root | Square root | Absolute value
row: f(x)= 1 x 2 f(x)= 1 x 2 | f(x)= x 3 f(x)= x 3 | f(x)= x f(x)= x | f(x)=| x | f(x)=| x |
Solution
The constant function is not one-to-one, and there is no domain (except a single point) on which it could be one-to-one, so the constant function has no meaningful inverse.
The absolute value function can be restricted to the domain [ 0,∞ ), [ 0,∞ ), where it is equal to the identity function.
The reciprocal-squared function can be restricted to the domain ( 0,∞ ). ( 0,∞ ).
Analysis
We can see that these functions (if unrestricted) are not one-to-one by looking at their graphs, shown in Figure 4. They both would fail the horizontal line test. However, if a function is restricted to a certain domain so that it passes the horizontal line test, then in that restricted domain, it can have an inverse.
Figure 4: (a) Absolute value (b) Reciprocal squared
Try It #4
ਫੰਕਸ਼ਨ f f ਦਾ ਡੋਮੇਨ (1,∞) (1,∞) ਹੈ ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f f ਦਾ ਰੇਂਜ (−∞,−2) (−∞,−2) ਹੈ। ਇਨਵਰਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਇਨਵਰਸ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ ਅਤੇ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ
ਇੱਕ ਵਾਰ ਜਦੋਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਕਈ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਇਨਵਰਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇਨਪੁਟਸ 'ਤੇ ਇਸਦੇ ਇਨਵਰਸ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਾਂ ਇਨਵਰਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਟੇਬੂਲਰ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਇਨਵਰਸ ਕਰਨਾ
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਟੇਬਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇਨਵਰਸ ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਇਨਵਰਸ ਦਾ ਰੇਂਜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਰੇਂਜ ਇਨਵਰਸ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਨੂੰ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।
ਇਨਪੁਟਸ ਦੀ ਹਰੇਕ ਕਤਾਰ (ਜਾਂ ਕਾਲਮ) ਇਨਵਰਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਆਉਟਪੁਟਸ ਦੀ ਕਤਾਰ (ਜਾਂ ਕਾਲਮ) ਬਣ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਆਉਟਪੁਟਸ ਦੀ ਹਰੇਕ ਕਤਾਰ (ਜਾਂ ਕਾਲਮ) ਇਨਵਰਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਇਨਪੁਟਸ ਦੀ ਕਤਾਰ (ਜਾਂ ਕਾਲਮ) ਬਣ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਟੇਬੂਲਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਇਨਵਰਸ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰਨਾ
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f(t) f(t) ਟੇਬਲ 3 ਵਿੱਚ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਜੋ t t ਮਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਕਾਰ ਦੁਆਰਾ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਗਈ ਦੂਰੀ ਨੂੰ ਮੀਲਾਂ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। f −1 (70) f −1 (70) ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
ਕਤਾਰ: t (ਮਿੰਟ) t (ਮਿੰਟ) | 30 | 50 | 70 | 90
ਕਤਾਰ: f( t ) (ਮੀਲ) f( t ) (ਮੀਲ) | 20 | 40 | 60 | 70
ਹੱਲ
ਇਨਵਰਸ ਫੰਕਸ਼ਨ f f ਦੇ ਆਉਟਪੁਟ ਨੂੰ ਲੈਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ f f ਲਈ ਇੱਕ ਇਨਪੁਟ ਵਾਪਸ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ f −1 (70) f −1 (70) ਦੇ ਐਕਸਪ੍ਰੈਸ਼ਨ ਵਿੱਚ, 70 ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇੱਕ ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲ ਹੈ, ਜੋ 70 ਮੀਲਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇਨਵਰਸ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f f ਦਾ ਸੰਬੰਧਿਤ ਇਨਪੁਟ, 90 ਮਿੰਟ, ਵਾਪਸ ਕਰੇਗਾ, ਇਸ ਲਈ f −1 (70)=90। f −1 (70)=90। ਇਸਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਇਹ ਹੈ ਕਿ 70 ਮੀਲ ਦੀ ਯਾਤਰਾ ਕਰਨ ਲਈ 90 ਮਿੰਟ ਲੱਗੇ।
ਵਿਕਲਪਕ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਇਨਵਰਸ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਜੇਕਰ f(a)=b, f(a)=b, ਤਾਂ f −1 (b)=a। f −1 (b)=a। ਇਸ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਨੁਸਾਰ, ਜੇਕਰ ਸਾਨੂੰ f −1 (70)=a, f −1 (70)=a ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਮੁੱਲ a a ਦੀ ਭਾਲ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ f(a)=70। f(a)=70। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ t t ਦੀ ਭਾਲ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ f(t)=70, f(t)=70, ਜੋ ਕਿ t=90 ਹੈ। t=90।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5
ਟੇਬਲ 4 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, (a) f(60), f(60), ਅਤੇ (b) f −1 (60) ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ। f −1 (60)।
ਕਤਾਰ: t (ਮਿੰਟ) t (ਮਿੰਟ) | 30 | 50 | 60 | 70 | 90
ਕਤਾਰ: f( t ) (ਮੀਲ) f( t ) (ਮੀਲ) | 20 | 40 | 50 | 60 | 70
ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਇਨਵਰਸ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ
ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਦੇਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਹਰੀਜੋਂਟਲ ਐਕਸਟੈਂਟ ਨੂੰ ਦੇਖ ਕੇ ਪੜ੍ਹਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਵਰਟੀਕਲ ਐਕਸਟੈਂਟ ਨੂੰ ਦੇਖ ਕੇ ਇਨਵਰਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਇਨਵਰਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਹਰੀਜੋਂਟਲ ਐਕਸਟੈਂਟ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰੀ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਹਰੀਜੋਂਟਲ ਐਕਸਟੈਂਟ ਨੂੰ ਦੇਖ ਕੇ ਇਨਵਰਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਰੇਂਜ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਇਨਵਰਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਵਰਟੀਕਲ ਐਕਸਟੈਂਟ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਇਨਵਰਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਸਦੇ ਇਨਪੁਟ ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਡੋਮੇਨ ਦੇ ਅੰਦਰ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਕਿ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਵਰਟੀਕਲ ਐਕਸਿਸ ਦਾ ਸਾਰਾ ਜਾਂ ਹਿੱਸਾ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ, ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਇਸਦੇ ਇਨਵਰਸ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ y-ਐਕਸਿਸ 'ਤੇ ਲੋੜੀਂਦਾ ਇਨਪੁਟ ਲੱਭੋ।
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ x-ਐਕਸਿਸ ਤੋਂ ਇਨਵਰਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਆਉਟਪੁਟ ਪੜ੍ਹੋ।
6. ਮਿਸਾਲ 6
2. ਖਾਸ ਨੁਕਤਿਆਂ 'ਤੇ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਉਸਦੇ ਇਨਵਰਸ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨਾ
3. ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ g(x) ਚਿੱਤਰ 5 ਵਿੱਚ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। g(3) ਅਤੇ g<sup>-1</sup>(3) ਪਤਾ ਕਰੋ।
4. ਹੱਲ
5. g(3) ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ x-ਧੁਰੇ 'ਤੇ 3 ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ y-ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ। ਬਿੰਦੂ (3,1) ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ g(3)=1।
6. g<sup>-1</sup>(3) ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ, ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਨੁਸਾਰ g<sup>-1</sup>(3) ਦਾ ਮਤਲਬ x ਦਾ ਉਹ ਮੁੱਲ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ g(x)=3। ਲੰਬਕਾਰੀ ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ 3 ਦੀ ਭਾਲ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਬਿੰਦੂ (5,3) ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ g(5)=3, ਇਸ ਲਈ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਨੁਸਾਰ, g<sup>-1</sup>(3)=5। ਚਿੱਤਰ 6 ਦੇਖੋ।
7. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #6
8. ਚਿੱਤਰ 5 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, (a) g<sup>-1</sup>(1) ਪਤਾ ਕਰੋ, ਅਤੇ (b) g<sup>-1</sup>(4) ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ।
9. ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਇਨਵਰਸ ਲੱਭਣਾ
10. ਕਈ ਵਾਰ ਸਾਨੂੰ ਆਪਣੇ ਡੋਮੇਨ ਦੇ ਸਾਰੇ ਤੱਤਾਂ ਲਈ ਇੱਕ ਇਨਵਰਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਜਾਣਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੋਵੇਗੀ, ਨਾ ਕਿ ਸਿਰਫ਼ ਕੁਝ ਲਈ। ਜੇਕਰ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਜੋਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ—ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, x ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ y—ਅਸੀਂ ਅਕਸਰ y ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ x ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਕੇ ਇਨਵਰਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
11. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
12. ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਇਨਵਰਸ ਲੱਭੋ।
13. ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਓ ਕਿ f ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ।
14. x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
15. x ਅਤੇ y ਨੂੰ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
16. y ਨੂੰ f<sup>-1</sup>(x) ਨਾਲ ਬਦਲੋ। (ਵੱਖ-ਵੱਖ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ ਵੇਰੀਏਬਲ ਵੱਖਰੇ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਪਰ ਸਿਧਾਂਤ ਉਹੀ ਹੈ।)
17. ਮਿਸਾਲ 7
18. ਫਾਰਨਹੀਟ-ਤੋਂ-ਸੈਲਸੀਅਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇਨਵਰਟ ਕਰਨਾ
19. ਇਨਵਰਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲੱਭੋ ਜੋ ਸੈਲਸੀਅਸ ਤਾਪਮਾਨ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਫਾਰਨਹੀਟ ਤਾਪਮਾਨ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
20. ਹੱਲ
21. ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਹੱਲ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਇਨਵਰਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਉਜਾਗਰ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ
22. ਤਾਂ
23. ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪਰਿਵਰਤਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ h ਪੇਸ਼ ਕੀਤਾ ਕਿਉਂਕਿ ਇਨਪੁਟ ਅਤੇ ਆਉਟਪੁਟ ਵੇਰੀਏਬਲ ਵਰਣਨਾਤਮਕ ਹਨ, ਅਤੇ C<sup>-1</sup> ਲਿਖਣਾ ਉਲਝਣ ਵਾਲਾ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।
24. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #7
y = 1/3 (x−5) ਨੂੰ x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ
ਉਦਾਹਰਨ 8
ਇੱਕ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੱਭਣ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = 2√x−3 + 4 ਦਾ ਉਲਟ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਇਸ ਲਈ f⁻¹(y) = 2√(y−4) + 3 ਜਾਂ f⁻¹(x) = 2√(x−4) + 3।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
f ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਕ੍ਰਮਵਾਰ 3 ਅਤੇ 4 ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਰੱਖਦੇ ਹਨ। f ਅਤੇ f⁻¹ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਬਰਾਬਰ ਹਨ ਪਰ ਇੱਕੋ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਸਾਰਣੀ 5 ਬਣਾ ਕੇ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਸਾਰਣੀ: x | 1 | 2 | 5 | f⁻¹(y)
ਸਾਰਣੀ: f(x) | 3 | 2 | 5 | y
ਉਦਾਹਰਨ 9
ਕਰਨੀਆਂ ਨਾਲ ਉਲਟ ਲੱਭਣ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = 2 + √(x−4) ਦਾ ਉਲਟ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਇਸ ਲਈ f⁻¹(x) = (x−2)² + 4।
f ਦਾ ਡੋਮੇਨ [4,∞) ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ f ਦੀ ਰੇਂਜ [2,∞) ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ f⁻¹ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਵੀ [2,∞) ਹੈ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
f⁻¹(x) ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਜੋ ਫਾਰਮੂਲਾ ਮਿਲਿਆ ਹੈ, ਉਹ ਸਾਰੇ ਅਸਲ x ਲਈ ਵੈਧ ਜਾਪਦਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, f⁻¹ ਦਾ ਖੁਦ ਇੱਕ ਉਲਟ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ (ਜਿਵੇਂ ਕਿ, f), ਇਸ ਲਈ ਸਾਨੂੰ f⁻¹ ਨੂੰ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਬਣਾਉਣ ਲਈ f⁻¹ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ [2,∞) ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਕਰਨਾ ਪਵੇਗਾ। f⁻¹ ਦਾ ਇਹ ਡੋਮੇਨ ਬਿਲਕੁਲ f ਦੀ ਰੇਂਜ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #8
ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = 2 − √x ਦਾ ਉਲਟ ਕੀ ਹੈ? ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੋਵਾਂ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਦੱਸੋ।
ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਲੱਭਣਾ
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਉਲਟ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਉਲਟਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰਾਂਗੇ। ਆਓ ਵਰਗਾਤਮਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = x² 'ਤੇ ਵਾਪਸ ਚੱਲੀਏ, ਜਿਸਨੂੰ ਡੋਮੇਨ [0,∞) ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿਸ 'ਤੇ ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਚਿੱਤਰ 7 ਵਾਂਗ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੀਏ।
ਚਿੱਤਰ 7: ਵਰਗਾਤਮਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜਿਸਦਾ ਡੋਮੇਨ [0, ∞) ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਹੈ।
ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ [0,∞) ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਕਰਨ ਨਾਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ (ਇਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਤੌਰ 'ਤੇ ਹਰੀਜੰਟਲ ਲਾਈਨ ਟੈਸਟ ਪਾਸ ਕਰੇਗਾ), ਇਸ ਲਈ ਇਸ ਸੀਮਤ ਡੋਮੇਨ 'ਤੇ ਇਸਦਾ ਇੱਕ ਉਲਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਟੂਲਕਿੱਟ ਵਰਗ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਉਲਟਾ ਵਰਗ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਅਰਥਾਤ, f −1 (x)= x . f −1 (x)= x . ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ f f ਅਤੇ f −1 f −1 ਦੋਵਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਅਕਸਾਂ ਉੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੀਏ, ਤਾਂ ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, f ਅਤੇ f −1 ਦੋਵਾਂ ਲਈ ਇਨਪੁਟ ਵਜੋਂ x- x- ਅਕਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ? f ਅਤੇ f −1 ?
ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਵੱਖਰਾ ਸਬੰਧ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ: f −1 (x) f −1 (x) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ y=x, y=x, ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਪਛਾਣ ਰੇਖਾ ਕਹਾਂਗੇ, ਬਾਰੇ f(x) f(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਹੈ, ਜੋ ਚਿੱਤਰ 8 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 8: ਗੈਰ-ऋਣਾਤਮਕ ਡੋਮੇਨ ਉੱਤੇ ਵਰਗ ਅਤੇ ਵਰਗ-ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ
ਇਹ ਸਬੰਧ ਸਾਰੇ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਦੇਖਿਆ ਜਾਵੇਗਾ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਉਲਟਾ ਇਨਪੁਟ ਅਤੇ ਆਉਟਪੁਟ ਨੂੰ ਸਵੈਪ ਕਰਨ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਹੈ। ਇਹ ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਅਕਸਾਂ ਦੀ ਭੂਮਿਕਾ ਨੂੰ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 10
ਪਛਾਣ ਰੇਖਾ ਬਾਰੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਉਲਟਾ ਲੱਭਣਾ
ਚਿੱਤਰ 9 ਵਿੱਚ f(x) f(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, f −1 (x) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। f −1 (x) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਹੱਲ
ਇਹ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਉਲਟਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਸਕਾਂਗੇ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਪ੍ਰਤੱਖ ਡੋਮੇਨ ( 0,∞ ) ( 0,∞ ) ਅਤੇ ਰੇਂਜ ( −∞,∞ ), ( −∞,∞ ), ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਉਲਟਾ ਡੋਮੇਨ ( −∞,∞ ) ( −∞,∞ ) ਅਤੇ ਰੇਂਜ ( 0,∞ ) ( 0,∞ ) ਹੋਵੇਗਾ।
ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇਸ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ y=x, y=x ਰੇਖਾ ਉੱਤੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਬਿੰਦੂ ( 1,0 ) ( 1,0 ) ਬਿੰਦੂ ( 0,1 ) ( 0,1 ) ਉੱਤੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਬਿੰਦੂ ( 4,2 ) ( 4,2 ) ਬਿੰਦੂ ( 2,4 ) ( 2,4 ) ਉੱਤੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਮੂਲ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਸਮਾਨ ਅਕਸਾਂ ਉੱਤੇ ਉਲਟਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਨਾਲ ਚਿੱਤਰ 10 ਮਿਲਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 10: ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਉਲਟਾ, ਪਛਾਣ ਰੇਖਾ ਬਾਰੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #9
ਉਦਾਹਰਨ 8 ਤੋਂ f f ਅਤੇ f −1 f −1 ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
Q&A
ਕੀ ਕੋਈ ਅਜਿਹਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜੋ ਆਪਣੇ ਹੀ ਉਲਟੇ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇ?
ਹਾਂ। ਜੇਕਰ f= f −1 , f= f −1 , ਤਾਂ f( f( x ) )=x, f( f( x ) )=x, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਕਈ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਬਾਰੇ ਸੋਚ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਇਹ ਗੁਣ ਹੈ। ਪਛਾਣ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵਿਪਰੀਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵੀ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ
ਕੋਈ ਵੀ ਫੰਕਸ਼ਨ f( x )=c−x, f( x )=c−x, ਜਿੱਥੇ c c ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਹੈ, ਆਪਣੇ ਹੀ ਉਲਟੇ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
ਮੀਡੀਆ
ਉਲਟਾ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
ਉਲਟਾ ਫੰਕਸ਼ਨ
ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਉਲਟਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੁੱਲ
ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਸੀਮਤ ਕਰਨਾ ਅਤੇ ਉਲਟਾ ਲੱਭਣਾ
ਜ਼ੁਬਾਨੀ
ਵਰਣਨ ਕਰੋ ਕਿ ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ ਟੈਸਟ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਪ੍ਰਭਾਵਸ਼ਾਲੀ ਤਰੀਕਾ ਕਿਉਂ ਹੈ ਕਿ ਕੋਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ?
ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= x 2 f(x)= x 2 ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਉਲਟੇ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕਿਉਂ ਸੀਮਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ?
Can a function be its own inverse? Explain.
Are one-to-one functions either always increasing or always decreasing? Why or why not?
How do you find the inverse of a function algebraically?
Algebraic
Show that the function f(x)=a−x f(x)=a−x is its own inverse for all real numbers a. a.
For the following exercises, find f −1 (x) f −1 (x) for each function.
f(x)=x+3 f(x)=x+3
f(x)=x+5 f(x)=x+5
f(x)=2−x f(x)=2−x
f(x)=3−x f(x)=3−x
f(x)= x x+2 f(x)= x x+2
f(x)= 2x+3 5x+4 f(x)= 2x+3 5x+4
For the following exercises, find a domain on which each function f f is one-to-one and non-decreasing. Write the domain in interval notation. Then find the inverse of f f restricted to that domain.
f(x)= (x+7) 2 f(x)= (x+7) 2
f(x)= (x−6) 2 f(x)= (x−6) 2
f(x)= x 2 −5 f(x)= x 2 −5
Given f( x )= x 2+x f( x )= x 2+x and g(x)= 2x 1−x : g(x)= 2x 1−x :
ⓐ Find f(g(x)) f(g(x)) and g(f(x)). g(f(x)).
ⓑ What does the answer tell us about the relationship between f(x) f(x) and g(x)? g(x)?
For the following exercises, use function composition to verify that f(x) f(x) and g(x) g(x) are inverse functions.
f(x)= x−1 3 f(x)= x−1 3 and g(x)= x 3 +1 g(x)= x 3 +1
f(x)=−3x+5 f(x)=−3x+5 and g(x)= x−5 −3 g(x)= x−5 −3
Graphical
For the following exercises, use a graphing utility to determine whether each function is one-to-one.
f(x)= x f(x)= x
f(x)= 3x+1 3 f(x)= 3x+1 3
f(x)=−5x+1 f(x)=−5x+1
f(x)= x 3 −27 f(x)= x 3 −27
For the following exercises, determine whether the graph represents a one-to-one function.
For the following exercises, use the graph of f f shown in Figure 11.
Find f( 0 ). f( 0 ).
Solve f(x)=0. f(x)=0.
Find f −1 ( 0 ). f −1 ( 0 ).
Solve f −1 ( x )=0. f −1 ( x )=0.
For the following exercises, use the graph of the one-to-one function shown in Figure 12.
Sketch the graph of f −1 . f −1 .
Find f(6) and f −1 (2). f(6) and f −1 (2).
If the complete graph of f f is shown, find the domain of f. f.
If the complete graph of f f is shown, find the range of f. f.
Numeric
For the following exercises, evaluate or solve, assuming that the function f f is one-to-one.
If f(6)=7, f(6)=7, find f −1 (7). f −1 (7).
If f(3)=2, f(3)=2, find f −1 (2). f −1 (2).
If f −1 ( −4 )=−8, f −1 ( −4 )=−8, find f(−8). f(−8).
If f −1 ( −2 )=−1, f −1 ( −2 )=−1, find f(−1). f(−1).
For the following exercises, use the values listed in Table 6 to evaluate or solve.
row: x x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
row: f(x) f(x) | 8 | 0 | 7 | 4 | 2 | 6 | 5 | 3 | 9 | 1
Find f( 1 ). f( 1 ).
Solve f(x)=3. f(x)=3.
Find f −1 ( 0 ). f −1 ( 0 ).
Solve f −1 ( x )=7. f −1 ( x )=7.
Use the tabular representation of f f in Table 7 to create a table for f −1 ( x ). f −1 ( x ).
row: x x | 3 | 6 | 9 | 13 | 14
row: f(x) f(x) | 1 | 4 | 7 | 12 | 16
Technology
For the following exercises, find the inverse function. Then, graph the function and its inverse.
f(x)= 3 x−2 f(x)= 3 x−2
f(x)= x 3 −1 f(x)= x 3 −1
Find the inverse function of f(x)= 1 x−1 . f(x)= 1 x−1 . Use a graphing utility to find its domain and range. Write the domain and range in interval notation.
Real-World Applications
To convert from x x degrees Celsius to y y degrees Fahrenheit, we use the formula f(x)= 9 5 x+32. f(x)= 9 5 x+32. Find the inverse function, if it exists, and explain its meaning.
The circumference C C of a circle is a function of its radius given by C(r)=2πr. C(r)=2πr. Express the radius of a circle as a function of its circumference. Call this function r(C). r(C). Find r(36π) r(36π) and interpret its meaning.
A car travels at a constant speed of 50 miles per hour. The distance the car travels in miles is a function of time, t, t, in hours given by d(t)=50t. d(t)=50t. Find the inverse function by expressing the time of travel in terms of the distance traveled. Call this function t(d). t(d). Find t(180) t(180) and interpret its meaning.