ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਓਗੇ।
ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਜਾਂ ਸਥਿਰ ਹੈ।
ਢਲਾਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਪੁਆਇੰਟ-ਢਲਾਨ ਰੂਪ ਲਿਖੋ।
ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਿਖੋ ਅਤੇ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
ਚਿੱਤਰ 1: ਸ਼ੰਘਾਈ ਮੈਗਲੇਵ ਟ੍ਰੇਨ (ਸਿਹਰਾ: “kanegen”/Flickr)
ਬਾਂਸ ਦੇ ਪੌਦੇ ਦੇ ਵਾਧੇ ਵਾਂਗ, ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਲਗਾਤਾਰ ਤਬਦੀਲੀ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਦੁਨੀਆ ਦੀ ਪਹਿਲੀ ਵਪਾਰਕ ਮੈਗਲੇਵ ਟ੍ਰੇਨ, ਸ਼ੰਘਾਈ ਮੈਗਲੇਵ ਟ੍ਰੇਨ (ਚਿੱਤਰ 1) 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਇਹ ਯਾਤਰੀਆਂ ਨੂੰ ਸਿਰਫ ਅੱਠ ਮਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਹਵਾਈ ਅੱਡੇ ਤੋਂ ਸਬਵੇ ਸਟੇਸ਼ਨ ਤੱਕ 30-ਕਿਲੋਮੀਟਰ ਦੀ ਯਾਤਰਾ ਲਈ ਆਰਾਮ ਨਾਲ ਲੈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।2
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਮੈਗਲੇਵ ਟ੍ਰੇਨ ਇੱਕ ਲੰਬੀ ਦੂਰੀ ਦੀ ਯਾਤਰਾ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ ਕਿ ਟ੍ਰੇਨ ਸਟੇਸ਼ਨ ਤੋਂ 250 ਮੀਟਰ ਦੂਰ ਹੋਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਕੁਝ ਸਮੇਂ ਲਈ ਪ੍ਰਤੀ ਸਕਿੰਟ 83 ਮੀਟਰ ਦੀ ਸਥਿਰ ਰਫ਼ਤਾਰ ਬਣਾਈ ਰੱਖਦੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਸਮੇਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਸਟੇਸ਼ਨ ਤੋਂ ਟ੍ਰੇਨ ਦੀ ਦੂਰੀ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਿਵੇਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ? ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਉਦੇਸ਼ ਲਈ ਉਪਯੋਗੀ ਇੱਕ ਕਿਸਮ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਾਂਗੇ, ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਅਸਲ-ਸੰਸਾਰ ਦੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਲਈ ਕਰਾਂਗੇ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਦਿੱਤੇ ਸਮੇਂ 'ਤੇ ਸਟੇਸ਼ਨ ਤੋਂ ਟ੍ਰੇਨ ਦੀ ਦੂਰੀ।
ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣਾ
ਟ੍ਰੇਨ ਦੀ ਗਤੀ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਸਥਿਰ ਹੈ, ਭਾਵ, ਡਿਗਰੀ 1 ਦਾ ਇੱਕ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ। ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਦੇ ਕਈ ਤਰੀਕੇ ਹਨ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸ਼ਬਦ ਰੂਪ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੋਟੇਸ਼ਨ, ਟੇਬੂਲਰ ਰੂਪ, ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ ਰੂਪ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਟ੍ਰੇਨ ਦੀ ਗਤੀ ਨੂੰ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਵਰਣਨ ਕਰਾਂਗੇ।
ਸ਼ਬਦ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣਾ
ਆਓ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੀਏ। ਅਸੀਂ ਹੁਣੇ ਵਿਚਾਰੀ ਗਈ ਟ੍ਰੇਨ ਸਮੱਸਿਆ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਸੰਬੰਧ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਸ਼ਬਦ ਵਾਕ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਟ੍ਰੇਨ ਦੀ ਸਟੇਸ਼ਨ ਤੋਂ ਦੂਰੀ, ਸਥਿਰ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ ਚੱਲਣ ਦੇ ਸਮੇਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਸਟੇਸ਼ਨ ਤੋਂ ਇਸਦੀ ਅਸਲ ਦੂਰੀ ਜਦੋਂ ਇਹ ਸਥਿਰ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ ਚੱਲਣਾ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋਇਆ ਸੀ।
ਰਫ਼ਤਾਰ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਹੈ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਇੱਕ ਮਾਪ ਹੈ ਕਿ ਨਿਰਭਰ ਵੇਰੀਏਬਲ ਸੁਤੰਤਰ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੀ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਬਦਲਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਸਥਿਰ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਹਰੇਕ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਲਈ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ ਹੀ ਸਮਾਂ (ਇਨਪੁਟ) 1 ਸਕਿੰਟ ਵਧਦਾ ਹੈ, ਸੰਬੰਧਿਤ ਦੂਰੀ (ਆਉਟਪੁਟ) 83 ਮੀਟਰ ਵਧਦੀ ਹੈ। ਟ੍ਰੇਨ ਨੇ ਸਟੇਸ਼ਨ ਤੋਂ 250 ਮੀਟਰ ਦੀ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਇਸ ਸਥਿਰ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ ਚੱਲਣਾ ਸ਼ੁਰੂ ਕੀਤਾ।
ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣਾ
ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਪਹੁੰਚ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦੇ ਢਲਾਨ-ਅੰਤਰਖੰਡ ਰੂਪ ਵਜੋਂ ਜਾਣੇ ਜਾਂਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੀ ਗਈ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ x ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਹੈ, m ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਹੈ, ਅਤੇ b ਨਿਰਭਰ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ ਹੈ।
ਟ੍ਰੇਨ ਦੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਨੋਟੇਸ਼ਨ D(t) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਕੁੱਲ ਦੂਰੀ D ਸਮੇਂ t ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਦਰ, m, ਪ੍ਰਤੀ ਸਕਿੰਟ 83 ਮੀਟਰ ਹੈ। ਨਿਰਭਰ ਵੇਰੀਏਬਲ b ਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ ਸਟੇਸ਼ਨ ਤੋਂ ਅਸਲ ਦੂਰੀ, 250 ਮੀਟਰ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਟ੍ਰੇਨ ਦੀ ਗਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਆਮ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਟੇਬੂਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣਾ
ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਦਾ ਤੀਜਾ ਤਰੀਕਾ ਇੱਕ ਟੇਬਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਦੁਆਰਾ ਹੈ। ਸਟੇਸ਼ਨ ਤੋਂ ਦੂਰੀ ਅਤੇ ਸਮੇਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸੰਬੰਧ ਚਿੱਤਰ 2 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਟੇਬਲ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ ਹਰ 1 ਸਕਿੰਟ ਦੇ ਵਾਧੇ ਲਈ ਦੂਰੀ 83 ਮੀਟਰ ਬਦਲਦੀ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 2: ਫੰਕਸ਼ਨ D ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲਾ ਟੇਬੂਲਰ ਰੂਪ ਚੁਣੇ ਹੋਏ ਇਨਪੁਟ ਅਤੇ ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ
Q&A
ਕੀ ਪਿਛਲੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਇਨਪੁਟ ਕੋਈ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ?
ਨਹੀਂ। ਇਨਪੁਟ ਸਮੇਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਜਦੋਂ ਕਿ ਗੈਰ-ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਅਤੇ ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਸੰਭਵ ਹਨ, ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਸੰਭਵ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਇਨਪੁਟ ਵਿੱਚ ਗੈਰ-ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ।
Representing a Linear Function in Graphical Form
Another way to represent linear functions is visually, using a graph. We can use the function relationship from above, D(t)=83t+250, D(t)=83t+250, to draw a graph, represented in Figure 3. Notice the graph is a line. When we plot a linear function, the graph is always a line.
The rate of change, which is constant, determines the slant, or slope of the line. The point at which the input value is zero is the vertical intercept, or y-intercept, of the line. We can see from the graph in Figure 3 that the y-intercept in the train example we just saw is (0,250) (0,250) and represents the distance of the train from the station when it began moving at a constant speed.
Figure 3: The graph of D(t)=83t+250. D(t)=83t+250. Graphs of linear functions are lines because the rate of change is constant.
Notice that the graph of the train example is restricted, but this is not always the case. Consider the graph of the line f( x )=2 x +1. f( x )=2 x +1. Ask yourself what numbers can be input to the function, that is, what is the domain of the function? The domain is comprised of all real numbers because any number may be doubled, and then have one added to the product.
Linear Function
A linear function is a function whose graph is a line. Linear functions can be written in the slope-intercept form of a line
where b b is the initial or starting value of the function (when input, x=0 x=0 ), and m m is the constant rate of change, or slope of the function. The y-intercept is at (0,b). (0,b).
Example 1
Using a Linear Function to Find the Pressure on a Diver
The pressure, P, P, in pounds per square inch (PSI) on the diver in Figure 4 depends upon her depth below the water surface, d, d, in feet. This relationship may be modeled by the equation, P(d)=0.434d+14.696. P(d)=0.434d+14.696. Restate this function in words.
Figure 4: (credit: Ilse Reijs and Jan-Noud Hutten)
Solution
To restate the function in words, we need to describe each part of the equation. The pressure as a function of depth equals four hundred thirty-four thousandths times depth plus fourteen and six hundred ninety-six thousandths.
Analysis
The initial value, 14.696, is the pressure in PSI on the diver at a depth of 0 feet, which is the surface of the water. The rate of change, or slope, is 0.434 PSI per foot. This tells us that the pressure on the diver increases 0.434 PSI for each foot her depth increases.
Determining whether a Linear Function Is Increasing, Decreasing, or Constant
The linear functions we used in the two previous examples increased over time, but not every linear function does. A linear function may be increasing, decreasing, or constant. For an increasing function, as with the train example, the output values increase as the input values increase. The graph of an increasing function has a positive slope. A line with a positive slope slants upward from left to right as in Figure 5(a). For a decreasing function, the slope is negative. The output values decrease as the input values increase. A line with a negative slope slants downward from left to right as in Figure 5(b). If the function is constant, the output values are the same for all input values so the slope is zero. A line with a slope of zero is horizontal as in Figure 5(c).
Increasing and Decreasing Functions
The slope determines if the function is an increasing linear function, a decreasing linear function, or a constant function.
f(x)=mx+b is an increasing function if m>0. f(x)=mx+b is an increasing function if m>0.
f(x)=mx+b is an decreasing function if m<0. f(x)=mx+b is an decreasing function if m<0.
f(x)=mx+b is a constant function if m=0. f(x)=mx+b is a constant function if m=0.
Example 2
ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਵਧਣ, ਘਟਣ ਜਾਂ ਸਥਿਰ ਹੋਣ ਦਾ ਫੈਸਲਾ ਕਰਨਾ
2010 ਦੇ ਦਹਾਕੇ ਦੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਅਧਿਐਨਾਂ ਨੇ ਦਰਸਾਇਆ ਕਿ ਕਿਸ਼ੋਰ ਦਿਨ ਵਿੱਚ ਲਗਭਗ 60 ਟੈਕਸਟ ਭੇਜਦੇ ਸਨ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਵਧੇਰੇ ਹਾਲੀਆ ਅੰਕੜੇ ਸਾਰੇ ਉਪਭੋਗਤਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਜ਼ਿਆਦਾ ਮੈਸੇਜਿੰਗ ਦਰਾਂ ਦਾ ਸੰਕੇਤ ਦਿੰਦੇ ਹਨ, ਖਾਸ ਕਰਕੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਐਪਸ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨਾਲ ਲੋਕ ਸੰਚਾਰ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖਦੇ ਹੋਏ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਹਰੇਕ ਦ੍ਰਿਸ਼ ਲਈ, ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਅਤੇ ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ। ਫਿਰ, ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਜਾਂ ਸਥਿਰ ਹੈ।
ⓐ ਇੱਕ ਕਿਸ਼ੋਰ ਦੁਆਰਾ ਭੇਜੇ ਗਏ ਟੈਕਸਟਾਂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਗਿਣਤੀ ਨੂੰ ਦਿਨਾਂ ਦੇ ਸਮੇਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਨਪੁਟ ਦਿਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਆਉਟਪੁਟ ਭੇਜੇ ਗਏ ਟੈਕਸਟਾਂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਗਿਣਤੀ ਹੈ।
ⓑ ਇੱਕ ਵਿਅਕਤੀ ਕੋਲ ਆਪਣੇ ਡਾਟਾ ਪਲਾਨ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀ ਮਹੀਨਾ 500 ਟੈਕਸਟਾਂ ਦੀ ਸੀਮਾ ਹੈ। ਇਨਪੁਟ ਦਿਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਆਉਟਪੁਟ ਮਹੀਨੇ ਲਈ ਬਾਕੀ ਟੈਕਸਟਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ।
ⓒ ਇੱਕ ਵਿਅਕਤੀ ਕੋਲ ਪ੍ਰਤੀ ਮਹੀਨਾ $50 ਦੀ ਲਾਗਤ ਲਈ ਆਪਣੇ ਡਾਟਾ ਪਲਾਨ ਵਿੱਚ ਟੈਕਸਟਾਂ ਦੀ ਅਸੀਮਤ ਗਿਣਤੀ ਹੈ। ਇਨਪੁਟ ਦਿਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਆਉਟਪੁਟ ਹਰ ਮਹੀਨੇ ਟੈਕਸਟਿੰਗ ਦੀ ਕੁੱਲ ਲਾਗਤ ਹੈ।
ਹੱਲ
ਹਰੇਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰੋ।
ⓐ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ f(x)=60x ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ x ਦਿਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ। ਢਲਾਨ, 60, ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ ਇਸ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਇਹ ਸਮਝਦਾਰ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਹਰ ਦਿਨ ਟੈਕਸਟਾਂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਗਿਣਤੀ ਵਧਦੀ ਹੈ।
ⓑ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ f(x)=500−60x ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ x ਦਿਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਢਲਾਨ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ ਇਸ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਇਹ ਸਮਝਦਾਰ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਹਰ ਦਿਨ ਬਾਕੀ ਟੈਕਸਟਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਘਟਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ x ਦਿਨਾਂ ਬਾਅਦ ਡਾਟਾ ਪਲਾਨ ਵਿੱਚ ਬਾਕੀ ਟੈਕਸਟਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ⓒ ਲਾਗਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ f(x)=50 ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਦਿਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਕੁੱਲ ਲਾਗਤ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਨਹੀਂ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਢਲਾਨ 0 ਹੈ ਇਸ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਥਿਰ ਹੈ।
ਢਲਾਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਅਤੇ ਵਿਆਖਿਆ
ਹੁਣ ਤੱਕ ਅਸੀਂ ਜੋ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਦੇਖੀਆਂ ਹਨ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਸਾਨੂੰ ਢਲਾਨ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸੀ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਸਾਨੂੰ ਅਕਸਰ ਇਨਪੁਟ ਅਤੇ ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ ਢਲਾਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਨਪੁਟ, x₁ ਅਤੇ x₂, ਅਤੇ ਆਉਟਪੁਟ, y₁ ਅਤੇ y₂ ਦੇ ਦੋ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ — ਜਿਸਨੂੰ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਸਮੂਹ, (x₁, y₁) ਅਤੇ (x₂, y₂) ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ — ਅਸੀਂ ਢਲਾਨ m, ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਗਣਨਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਜਿੱਥੇ Δy ਲੰਬਕਾਰੀ ਵਿਸਥਾਪਨ ਹੈ ਅਤੇ Δx ਖਿਤਿਜੀ ਵਿਸਥਾਪਨ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਫੰਕਸ਼ਨ f, y₁=f(x₁) ਅਤੇ y₂=f(x₂) ਲਈ ਆਉਟਪੁਟ y₁ ਅਤੇ y₂ ਦੇ ਦੋ ਸੰਗਤ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਨੋਟ ਕਰੋ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਬਰਾਬਰ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਚਿੱਤਰ 6 ਬਿੰਦੂਆਂ, (x₁, y₁) ਅਤੇ (x₂, y₂) ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਲਾਈਨ ਦੀ ਢਲਾਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਿਵੇਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਇਹ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਢਲਾਨ ਤਿੱਖਾਪਨ ਨੂੰ ਮਾਪਦੀ ਹੈ। ਢਲਾਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਜਿੰਨਾ ਜ਼ਿਆਦਾ ਹੋਵੇਗਾ, ਲਾਈਨ ਓਨੀ ਹੀ ਤਿੱਖੀ ਹੋਵੇਗੀ।
ਚਿੱਤਰ 6: ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਢਲਾਨ ਦੀ ਗਣਨਾ y ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਨੂੰ x ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਨਾਲ ਵੰਡ ਕੇ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਗੱਲ ਦਾ ਕੋਈ ਫਰਕ ਨਹੀਂ ਪੈਂਦਾ ਕਿ ਕਿਹੜਾ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ (x₂, y₂) ਅਤੇ ਕਿਹੜਾ (x₁, y₁) ਵਜੋਂ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿੰਨਾ ਚਿਰ ਹਰੇਕ ਗਣਨਾ ਇੱਕੋ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਜੋੜੀ ਤੋਂ ਤੱਤਾਂ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
Q&A
ਕੀ ਢਲਾਨ ਲਈ ਇਕਾਈਆਂ ਹਮੇਸ਼ਾ ਇਨਪੁਟ ਇਕਾਈਆਂ ਲਈ ਆਉਟਪੁਟ ਇਕਾਈਆਂ ਇਨਪੁਟ ਇਕਾਈਆਂ ਲਈ ਆਉਟਪੁਟ ਇਕਾਈਆਂ ਹਨ?
ਹਾਂ। ਇਕਾਈਆਂ ਨੂੰ ਇਨਪੁਟ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀ ਇਕਾਈ ਤਬਦੀਲੀ ਲਈ ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲ ਦੀ ਤਬਦੀਲੀ ਵਜੋਂ ਸੋਚੋ। ਢਲਾਨ ਦੀ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਜਾਂ ਡਾਲਰ ਪ੍ਰਤੀ ਦਿਨ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਕਾਈਆਂ ਇਨਪੁਟ ਲਈ ਇਕਾਈਆਂ ਪ੍ਰਤੀ ਆਉਟਪੁਟ ਲਈ ਇਕਾਈਆਂ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਵਜੋਂ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦੀਆਂ ਹਨ।
ਢਲਾਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ
ਢਲਾਨ, ਜਾਂ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ, ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ mm ਦੀ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਨੁਸਾਰ ਗਣਨਾ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ:
ਜਿੱਥੇ x₁ ਅਤੇ x₂ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਹਨ, y₁ ਅਤੇ y₂ ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲ ਹਨ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਤੋਂ ਦੋ ਬਿੰਦੂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ, ਢਲਾਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
ਆਉਟਪੁਟ ਅਤੇ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਇਕਾਈਆਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਅਤੇ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
ਢਲਾਨ ਨੂੰ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਤੀ ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਵਜੋਂ ਸਮਝੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਢਲਾਨ ਲੱਭਣਾ
ਜੇਕਰ f(x) ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਅਤੇ (3,−2) ਅਤੇ (8,1) ਰੇਖਾ ਉੱਤੇ ਬਿੰਦੂ ਹਨ, ਤਾਂ ਢਲਾਨ ਲੱਭੋ। ਕੀ ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਜਾਂ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ?
ਹੱਲ
ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਜੋੜੇ (3,−2) ਅਤੇ (8,1) ਹਨ। ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਆਉਟਪੁਟ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਨੂੰ ਇਨਪੁਟ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਅਸੀਂ ਢਲਾਨ ਨੂੰ m=0.6 ਵਜੋਂ ਵੀ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ m>0।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਪਹਿਲਾਂ ਨੋਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਲਿਖਣ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਕੋਈ ਮਾਇਨੇ ਨਹੀਂ ਰੱਖਦਾ, ਜਿੰਨਾ ਚਿਰ ਪਹਿਲਾ ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲ, ਜਾਂ y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ, ਪਹਿਲੇ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ, ਜਾਂ x-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ, ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
ਜੇਕਰ f(x) ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਅਤੇ (2,3) ਅਤੇ (0,4) ਰੇਖਾ ਉੱਤੇ ਬਿੰਦੂ ਹਨ, ਤਾਂ ਢਲਾਨ ਲੱਭੋ। ਕੀ ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਜਾਂ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ?
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਤੋਂ ਆਬਾਦੀ ਪਰਿਵਰਤਨ ਲੱਭਣਾ
2008 ਅਤੇ 2012 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸ਼ਹਿਰ ਦੀ ਆਬਾਦੀ 23,400 ਤੋਂ ਵਧ ਕੇ 27,800 ਹੋ ਗਈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਮੰਨ ਲਈਏ ਕਿ 2008 ਤੋਂ 2012 ਤੱਕ ਤਬਦੀਲੀ ਸਥਿਰ ਸੀ, ਤਾਂ ਪ੍ਰਤੀ ਸਾਲ ਆਬਾਦੀ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਆਬਾਦੀ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਨੂੰ ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਨਾਲ ਜੋੜਦੀ ਹੈ। ਚਾਰ ਸਾਲਾਂ ਦੇ ਸਮੇਂ ਦੌਰਾਨ ਆਬਾਦੀ 27,800−23,400=4,400 ਲੋਕਾਂ ਦੁਆਰਾ ਵਧੀ। ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਲੋਕਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਨੂੰ ਸਾਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰੋ।
ਇਸ ਲਈ ਆਬਾਦੀ ਪ੍ਰਤੀ ਸਾਲ 1,100 ਲੋਕਾਂ ਦੁਆਰਾ ਵਧੀ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਿਆ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ ਆਬਾਦੀ ਵਧੀ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਉਮੀਦ ਕਰਾਂਗੇ ਕਿ ਢਲਾਨ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋਵੇਗੀ। ਇਹ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਢਲਾਨ ਜੋ ਅਸੀਂ ਗਿਣਿਆ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਵਾਜਬ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
ਇੱਕ ਛੋਟੇ ਕਸਬੇ ਦੀ ਆਬਾਦੀ 2009 ਅਤੇ 2012 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ 1,442 ਤੋਂ ਵਧ ਕੇ 1,868 ਹੋ ਗਈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਮੰਨ ਲਈਏ ਕਿ 2009 ਤੋਂ 2012 ਤੱਕ ਤਬਦੀਲੀ ਸਥਿਰ ਸੀ, ਤਾਂ ਪ੍ਰਤੀ ਸਾਲ ਆਬਾਦੀ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਲੱਭੋ।
ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਪੁਆਇੰਟ-ਸਲੋਪ ਰੂਪ ਲਿਖਣਾ
ਹੁਣ ਤੱਕ, ਅਸੀਂ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਸਲੋਪ-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਰੂਪ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਇੱਥੇ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਿਖਣ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਸਿੱਖਾਂਗੇ, ਪੁਆਇੰਟ-ਸਲੋਪ ਰੂਪ।
ਪੁਆਇੰਟ-ਸਲੋਪ ਰੂਪ ਢਲਾਨ ਫਾਰਮੂਲੇ ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਇਹ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖੋ ਕਿ ਢਲਾਨ-ਅੰਤਰਖੰਡ ਰੂਪ ਅਤੇ ਬਿੰਦੂ-ਢਲਾਨ ਰੂਪ ਇੱਕੋ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਬੁਨਿਆਦੀ ਅਲਜਬਰਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਰੂਪ ਤੋਂ ਦੂਜੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸਾਨੂੰ ਬਿੰਦੂ-ਢਲਾਨ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, y−4=− 1 2 ( x−6 ) y−4=− 1 2 ( x−6 )। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਢਲਾਨ-ਅੰਤਰਖੰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸ ਲਈ, ਇੱਕੋ ਰੇਖਾ ਦਾ ਢਲਾਨ-ਅੰਤਰਖੰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ y=− 1 2 x+7. y=− 1 2 x+7. ਵਜੋਂ ਵਰਣਨ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਬਿੰਦੂ-ਢਲਾਨ ਰੂਪ
ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਬਿੰਦੂ-ਢਲਾਨ ਰੂਪ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ m m ਢਲਾਨ ਹੈ, x 1 ਅਤੇ y 1 x 1 ਅਤੇ y 1 ਇੱਕ ਖਾਸ ਬਿੰਦੂ ਦੇ x- ਅਤੇ y- x- ਅਤੇ y- ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਹਨ ਜਿਸ ਵਿੱਚੋਂ ਰੇਖਾ ਲੰਘਦੀ ਹੈ।
ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਢਲਾਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣਾ
ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਨ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਬਿੰਦੂ-ਢਲਾਨ ਰੂਪ ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ ਉਪਯੋਗੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਿਆ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਨ 2 ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ ਬਿੰਦੂ ( 4,1 ). ( 4,1 ). ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ m=2 m=2 ਹੈ ਅਤੇ x 1 =4 x 1 =4 ਅਤੇ y 1 =1. y 1 =1. ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਆਮ ਬਿੰਦੂ-ਢਲਾਨ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਢਲਾਨ-ਅੰਤਰਖੰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਅਲਜਬਰਾ ਤਕਨੀਕਾਂ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਦੋਵੇਂ ਸਮੀਕਰਨ, y−1=2( x−4 ) y−1=2( x−4 ) ਅਤੇ y=2x–7, y=2x–7, ਇੱਕੋ ਰੇਖਾ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਚਿੱਤਰ 7 ਦੇਖੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਢਲਾਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣਾ
3 ਦੀ ਢਲਾਨ ਵਾਲੀ ਅਤੇ ਬਿੰਦੂ ( 6,–1 ). ( 6,–1 ). ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਬਿੰਦੂ-ਢਲਾਨ ਰੂਪ ਲਿਖੋ। ਫਿਰ ਇਸਨੂੰ ਢਲਾਨ-ਅੰਤਰਖੰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ।
ਹੱਲ
ਆਓ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਤੋਂ ਪਤਾ ਕਰੀਏ ਕਿ ਅਸੀਂ ਕੀ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ। ਢਲਾਨ 3 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ m=3.m=3. ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਵੀ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ x1=6x1=6 ਅਤੇ y1 =−1. y1 =−1. ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ। ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਆਮ ਬਿੰਦੂ-ਢਲਾਨ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਢਲਾਨ-ਅੰਤਰਖੰਡ ਰੂਪ ਲੱਭਣ ਲਈ ਅਲਜਬਰਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
–2 –2 ਦੀ ਢਲਾਨ ਵਾਲੀ ਅਤੇ ਬਿੰਦੂ ( –2,2 ). ( –2,2 ). ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਬਿੰਦੂ-ਢਲਾਨ ਰੂਪ ਲਿਖੋ। ਫਿਰ ਇਸਨੂੰ ਢਲਾਨ-ਅੰਤਰਖੰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ।
ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣਾ
ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਬਿੰਦੂ-ਢਲਾਨ ਰੂਪ ਵੀ ਉਪਯੋਗੀ ਹੈ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਕੋਈ ਦੋ ਬਿੰਦੂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸ ਵਿੱਚੋਂ ਰੇਖਾ ਲੰਘਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਬਿੰਦੂਆਂ ( 0,1 ) ( 0,1 ) ਅਤੇ ( 3,2 ). ( 3,2 ). ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਢਲਾਨ ਲੱਭਣ ਲਈ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਲੱਭੀ ਗਈ ਢਲਾਨ ਅਤੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਰੇਖਾ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਸਾਡੇ ਬਿੰਦੂ ਵਜੋਂ (0, 1) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੀਏ।
ਪਹਿਲਾਂ ਵਾਂਗ, ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਢਲਾਨ-ਅੰਤਰਖੰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣ ਲਈ ਅਲਜਬਰਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਦੋਵੇਂ ਸਮੀਕਰਨ ਚਿੱਤਰ 8 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਗਈ ਰੇਖਾ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦੇ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 6
ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣਾ
(5, 1) ਅਤੇ (8, 7) ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦਾ ਬਿੰਦੂ-ਢਲਾਨ ਰੂਪ ਲਿਖੋ। ਫਿਰ ਇਸਨੂੰ ਢਲਾਨ-ਅੰਤਰਖੰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ।
ਹੱਲ
ਆਓ ਢਲਾਨ ਲੱਭਣ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੀਏ।
ਇਸ ਲਈ m=2। m=2। ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਢਲਾਨ ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਨੂੰ ਆਮ ਬਿੰਦੂ-ਢਲਾਨ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਕੋਈ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਚੁਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਪਰ ਅਸੀਂ (5,1) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ। (5,1)।
ਰੇਖਾ ਦਾ ਬਿੰਦੂ-ਢਲਾਨ ਸਮੀਕਰਨ y 2 –1=2( x 2 –5) ਹੈ। y 2 –1=2( x 2 –5)। ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਢਲਾਨ-ਅੰਤਰਖੰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਅਲਜਬਰਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਰੇਖਾ ਦਾ ਢਲਾਨ-ਅੰਤਰਖੰਡ ਸਮੀਕਰਨ y=2x–9 ਹੈ। y=2x–9।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
(-1,3) (-1,3) ਅਤੇ (0,0) (0,0) ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦਾ ਬਿੰਦੂ-ਢਲਾਨ ਰੂਪ ਲਿਖੋ। ਫਿਰ ਇਸਨੂੰ ਢਲਾਨ-ਅੰਤਰਖੰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ।
ਰੇਖੀ ਫਲਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣਾ ਅਤੇ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰਨਾ
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਰੇਖੀ ਫਲਨਾਂ ਲਈ ਢਲਾਨ-ਅੰਤਰਖੰਡ ਰੂਪ ਅਤੇ ਬਿੰਦੂ-ਢਲਾਨ ਰੂਪ ਦੋਵਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖ ਲਏ ਹਨ, ਅਸੀਂ ਚੁਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਾਨੂੰ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ ਕਿਹੜੀ ਵਿਧੀ ਵਰਤਣੀ ਹੈ। ਉਹ ਜਾਣਕਾਰੀ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ, ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਇੱਕ ਢਲਾਨ, ਦੋ ਬਿੰਦੂ, ਆਦਿ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 9 ਵਿੱਚ ਫਲਨ ff ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਦੇਖੋ।
ਸਾਨੂੰ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਨ ਨਹੀਂ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਪਰ ਅਸੀਂ ਢਲਾਨ ਲੱਭਣ ਲਈ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਕੋਈ ਵੀ ਦੋ ਬਿੰਦੂ ਚੁਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਆਓ ( 0,7 ) ( 0,7 ) ਅਤੇ ( 4,4 ) ( 4,4 ) ਚੁਣੀਏ। ਅਸੀਂ ਢਲਾਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਢਲਾਨ ਅਤੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਨੂੰ ਬਿੰਦੂ-ਢਲਾਨ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਜੇ ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਢਲਾਨ-ਅੰਤਰਖੰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਲੱਭਾਂਗੇ
ਜੇ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਬਿੰਦੂ-ਢਲਾਨ ਰੂਪ ਲਿਖੇ ਬਿਨਾਂ ਢਲਾਨ-ਅੰਤਰਖੰਡ ਰੂਪ ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਹ ਪਛਾਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜਦੋਂ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ 7 ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਰੇਖਾ y-ਐਕਸਿਸ ਨੂੰ ਕੱਟਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, b=7। b=7। ਹੁਣ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ bb ਅਤੇ ਢਲਾਨ mm ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ mm ਅਤੇ bb ਨੂੰ ਰੇਖਾ ਦੇ ਢਲਾਨ-ਅੰਤਰਖੰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸ ਲਈ ਫਲਨ f(x)=− 3 4 x+7 ਹੈ, f(x)=− 3 4 x+7, ਅਤੇ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ y=− 3 4 x+7 ਹੋਵੇਗੀ। y=− 3 4 x+7।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਰੇਖੀ ਫਲਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ, ਫਲਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।
ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਦੋ ਬਿੰਦੂ ਪਛਾਣੋ।
ਢਲਾਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
y-ਅੰਤਰਖੰਡ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨ ਲਈ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਗਤ ਨਿਰੀਖਣ ਦੁਆਰਾ ਰੇਖਾ y-ਐਕਸਿਸ ਨੂੰ ਕਿੱਥੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਰੇਖਾ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਢਲਾਨ-ਅੰਤਰਖੰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਢਲਾਨ ਅਤੇ y-ਅੰਤਰਖੰਡ ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 7
ਰੇਖੀ ਫਲਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣਾ
ਚਿੱਤਰ 10 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ff ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫਲਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।
ਹੱਲ
ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ (0,2) ਅਤੇ (−2,−4)। ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਢਲਾਣ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕਰੋ।
ਢਲਾਣ ਅਤੇ ਬਿੰਦੂ-ਢਲਾਣ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਢਲਾਣ-ਅੰਤਰਖੰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣ ਲਈ ਅਲਜਬਰਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਇਹ ਸਮਝ ਆਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 11 ਤੋਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਰੇਖਾ y-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਬਿੰਦੂ (0,2) 'ਤੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ y-ਅੰਤਰਖੰਡ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ b=2 ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 8
ਰੇਖੀ ਲਾਗਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣਾ
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਬੇਨ ਇੱਕ ਕੰਪਨੀ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਉਸਨੂੰ ਦਫ਼ਤਰ ਦੇ ਕਿਰਾਏ ਸਮੇਤ, ਪ੍ਰਤੀ ਮਹੀਨਾ $1,250 ਦਾ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਖਰਚਾ ਆਉਂਦਾ ਹੈ। ਉਸਦੇ ਉਤਪਾਦਨ ਖਰਚੇ ਪ੍ਰਤੀ ਵਸਤੂ $37.50 ਹਨ। ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ C ਲਿਖੋ ਜਿੱਥੇ C(x) ਦਿੱਤੇ ਮਹੀਨੇ ਵਿੱਚ ਪੈਦਾ ਹੋਈਆਂ x ਵਸਤੂਆਂ ਲਈ ਲਾਗਤ ਹੈ।
ਹੱਲ
ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਲਾਗਤ ਹਰ ਮਹੀਨੇ ਮੌਜੂਦ ਹੈ, $1,250। ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਲਾਗਤਾਂ ਵਿੱਚ ਹਰ ਵਸਤੂ ਦੇ ਉਤਪਾਦਨ ਦੀ ਲਾਗਤ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਬੇਨ ਲਈ $37.50 ਹੈ। ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਲਾਗਤ, ਜਿਸਨੂੰ ਸੀਮਾਂਤ ਲਾਗਤ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, 37.5 ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਬੇਨ ਦੁਆਰਾ ਝੱਲੀ ਗਈ ਲਾਗਤ ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਲਾਗਤਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ C(x) = 1250 + 37.5x ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਜੇ ਬੇਨ ਇੱਕ ਮਹੀਨੇ ਵਿੱਚ 100 ਵਸਤੂਆਂ ਦਾ ਉਤਪਾਦਨ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਸਦੀ ਮਹੀਨਾਵਾਰ ਲਾਗਤ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ
ਇਸ ਲਈ ਉਸਦੀ ਮਹੀਨਾਵਾਰ ਲਾਗਤ $5,000 ਹੋਵੇਗੀ।
ਉਦਾਹਰਨ 9
ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣਾ
ਜੇ f ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ f(3) = -2 ਅਤੇ f(8) = 1 ਹੈ, ਤਾਂ ਢਲਾਣ-ਅੰਤਰਖੰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਅਸੀਂ ਫਿਰ ਢਲਾਣ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਢਲਾਣ ਅਤੇ ਬਿੰਦੂ-ਢਲਾਣ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਢਲਾਣ-ਅੰਤਰਖੰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣ ਲਈ ਅਲਜਬਰਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5
ਜੇ f(x) ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ f(2) = –11 ਅਤੇ f(4) = –25 ਹੈ, ਤਾਂ ਢਲਾਣ-ਅੰਤਰਖੰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
ਸੰਸਾਰਿਕ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਦਾ ਰੇਖੀ ਫਲਨਾਂ ਨਾਲ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਣਾ
ਸੰਸਾਰ ਵਿੱਚ, ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਹਮੇਸ਼ਾ ਸਪਸ਼ਟ ਤੌਰ 'ਤੇ ਇੱਕ ਫਲਨ ਜਾਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਰਾਹੀਂ ਦਰਸਾਈਆਂ ਨਹੀਂ ਜਾਂਦੀਆਂ। ਖੁਸ਼ਕਿਸਮਤੀ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫਲਨ ਵਜੋਂ ਦਰਸਾ ਕੇ ਅਤੇ ਫਿਰ ਫਲਨ ਦੇ ਭਾਗਾਂ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰਕੇ ਸਮੱਸਿਆ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਜਿੰਨਾ ਚਿਰ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫਲਨ ਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ ਅਤੇ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਪਤਾ ਹੈ, ਜਾਂ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਪਤਾ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਕਈ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਕਿਸਮਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਸਾਰਿਕ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫਲਨ ff ਅਤੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ ਅਤੇ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ, f(c) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ ਅਤੇ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ (ਢਲਾਨ) ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ f(x)=mx+b ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
x=c 'ਤੇ ਫਲਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 10
ਸੰਗੀਤ ਸੰਗ੍ਰਹਿ ਵਿੱਚ ਗੀਤਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫਲਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਮਾਰਕਸ ਕੋਲ ਇਸ ਵੇਲੇ ਆਪਣੇ ਸੰਗੀਤ ਸੰਗ੍ਰਹਿ ਵਿੱਚ 200 ਗੀਤ ਹਨ। ਹਰ ਮਹੀਨੇ, ਉਹ 15 ਨਵੇਂ ਗੀਤ ਜੋੜਦਾ ਹੈ। ਸਮੇਂ, t, ਮਹੀਨਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਫਲਨ ਵਜੋਂ, ਉਸਦੇ ਸੰਗ੍ਰਹਿ ਵਿੱਚ ਗੀਤਾਂ, N, ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ। ਇੱਕ ਸਾਲ ਵਿੱਚ ਉਸ ਕੋਲ ਕਿੰਨੇ ਗੀਤ ਹੋਣਗੇ?
ਹੱਲ
ਇਸ ਫਲਨ ਲਈ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ 200 ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਉਸ ਕੋਲ ਇਸ ਵੇਲੇ 200 ਗੀਤ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ N(0)=200, ਜਿਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ b=200।
ਗੀਤਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਪ੍ਰਤੀ ਮਹੀਨਾ 15 ਗੀਤਾਂ ਨਾਲ ਵਧਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ 15 ਗੀਤ ਪ੍ਰਤੀ ਮਹੀਨਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ m=15। ਅਸੀਂ ਢਲਾਨ-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ ਅਤੇ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਨੂੰ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਅਸੀਂ ਫਾਰਮੂਲਾ N(t)=15t+200 ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਫਿਰ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 1 ਸਾਲ (12 ਮਹੀਨਿਆਂ) ਵਿੱਚ ਮਾਰਕਸ ਕੋਲ ਕਿੰਨੇ ਗੀਤ ਹੋਣਗੇ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ t=12 'ਤੇ ਫਲਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਮਾਰਕਸ ਕੋਲ 12 ਮਹੀਨਿਆਂ ਵਿੱਚ 380 ਗੀਤ ਹੋਣਗੇ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ N ਇੱਕ ਵੱਧ ਰਹੀ ਰੇਖੀ ਫਲਨ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ ਇਨਪੁਟ (ਮਹੀਨਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ) ਵਧਦਾ ਹੈ, ਆਉਟਪੁਟ (ਗੀਤਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ) ਵੀ ਵਧਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 11
ਤਨਖਾਹ ਪਲੱਸ ਕਮਿਸ਼ਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫਲਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਬੀਮਾ ਵਿਕਰੇਤਾ ਵਜੋਂ ਕੰਮ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਇਲਿਆ ਇੱਕ ਬੇਸ ਤਨਖਾਹ ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਹਰੇਕ ਨਵੀਂ ਪਾਲਿਸੀ 'ਤੇ ਕਮਿਸ਼ਨ ਕਮਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਇਲਿਆ ਦੀ ਹਫਤਾਵਾਰੀ ਆਮਦਨ, I, ਹਫਤੇ ਦੌਰਾਨ ਉਸ ਦੁਆਰਾ ਵੇਚੀਆਂ ਗਈਆਂ ਨਵੀਆਂ ਪਾਲਿਸੀਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ, n, 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਪਿਛਲੇ ਹਫਤੇ ਉਸਨੇ 3 ਨਵੀਆਂ ਪਾਲਿਸੀਆਂ ਵੇਚੀਆਂ, ਅਤੇ ਹਫਤੇ ਲਈ $760 ਕਮਾਏ। ਇਸ ਤੋਂ ਪਿਛਲੇ ਹਫਤੇ, ਉਸਨੇ 5 ਨਵੀਆਂ ਪਾਲਿਸੀਆਂ ਵੇਚੀਆਂ ਅਤੇ $920 ਕਮਾਏ। I(n) ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ, ਅਤੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਭਾਗਾਂ ਦਾ ਅਰਥ ਦੱਸੋ।
ਹੱਲ
ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਸਾਨੂੰ ਦੋ ਇਨਪੁਟ-ਆਉਟਪੁਟ ਜੋੜੇ ਦਿੰਦੀ ਹੈ: (3,760) ਅਤੇ (5,920)। ਅਸੀਂ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਲੱਭ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਇਕਾਈਆਂ ਦਾ ਧਿਆਨ ਰੱਖਣਾ ਸਾਨੂੰ ਇਸ ਮਾਤਰਾ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਪਾਲਿਸੀਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਵਿੱਚ 2 ਦੇ ਵਾਧੇ 'ਤੇ ਆਮਦਨ ਵਿੱਚ $160 ਦਾ ਵਾਧਾ ਹੋਇਆ, ਇਸ ਲਈ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਪ੍ਰਤੀ ਪਾਲਿਸੀ $80 ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਇਲਿਆ ਹਫਤੇ ਦੌਰਾਨ ਵੇਚੀ ਗਈ ਹਰੇਕ ਪਾਲਿਸੀ ਲਈ $80 ਕਮਿਸ਼ਨ ਕਮਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਤਦ ਅਸੀਂ ਮੁੱਢਲੀ ਕੀਮਤ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
bb ਦਾ ਮੁੱਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ ਇਲਿਆ ਦੀ ਆਮਦਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ n=0, ਜਾਂ ਜਦੋਂ ਕੋਈ ਨਵੀਂ ਪਾਲਿਸੀ ਨਹੀਂ ਵਿਕਦੀ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਹਫ਼ਤੇ ਲਈ ਇਲਿਆ ਦੀ ਬੇਸ ਤਨਖਾਹ ਵਜੋਂ ਸਮਝ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਕਿ ਵਿਕੀਆਂ ਪਾਲਸੀਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਨਹੀਂ ਕਰਦੀ।
ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਅੰਤਿਮ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਸਾਡੀ ਅੰਤਿਮ ਵਿਆਖਿਆ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਇਲਿਆ ਦੀ ਬੇਸ ਤਨਖਾਹ $520 ਪ੍ਰਤੀ ਹਫ਼ਤਾ ਹੈ ਅਤੇ ਉਹ ਹਰ ਵਿਕੀ ਪਾਲਸੀ ਲਈ ਵਾਧੂ $80 ਕਮਿਸ਼ਨ ਕਮਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 12
ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣ ਲਈ ਟੇਬੂਲਰ ਰੂਪ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਟੇਬਲ 1, ਹਫ਼ਤਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਆਬਾਦੀ ਵਿੱਚ ਚੂਹਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ। ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣ ਲਈ ਟੇਬਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: w, ਹਫ਼ਤਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ | 0 | 2 | 4 | 6
ਸਤਰ: P(w), ਚੂਹਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ | 1000 | 1080 | 1160 | 1240
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਟੇਬਲ ਤੋਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਚੂਹਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲਈ ਮੁੱਢਲਾ ਮੁੱਲ 1000 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ b=1000।
m ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਬਜਾਏ, ਅਸੀਂ ਟੇਬਲ ਨੂੰ ਦੇਖ ਕੇ ਦੱਸ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜਦੋਂ 2 ਹਫ਼ਤੇ ਬੀਤਦੇ ਹਨ ਤਾਂ ਆਬਾਦੀ 80 ਵੱਧ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ 80 ਚੂਹੇ ਪ੍ਰਤੀ 2 ਹਫ਼ਤੇ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ 40 ਚੂਹੇ ਪ੍ਰਤੀ ਹਫ਼ਤੇ ਤੱਕ ਸਰਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਟੇਬਲ ਤੋਂ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਨੂੰ ਨਾ ਦੇਖਿਆ ਹੁੰਦਾ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਅਜੇ ਵੀ ਟੇਬਲ ਤੋਂ ਕੋਈ ਵੀ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਢਲਾਣ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਸੀ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, (2,1080) ਅਤੇ (6,1240) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ
Q&A
ਕੀ ਮੁੱਢਲਾ ਮੁੱਲ ਹਮੇਸ਼ਾ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਟੇਬਲ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਟੇਬਲ 1 ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ?
ਨਹੀਂ। ਕਦੇ-ਕਦੇ ਮੁੱਢਲਾ ਮੁੱਲ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਟੇਬਲ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਕਦੇ-ਕਦੇ ਨਹੀਂ। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ 0 ਦਾ ਇਨਪੁਟ ਦੇਖਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਮੁੱਢਲਾ ਮੁੱਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਆਉਟਪੁਟ ਹੋਵੇਗਾ। ਜੇਕਰ ਮੁੱਢਲਾ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਦਾਨ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਟੇਬਲ 'ਤੇ ਕੋਈ ਵੀ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ 0 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਢਲਾਣ ਲੱਭੋ, ਇੱਕ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਜੋੜਾ ਅਤੇ ਢਲਾਣ ਨੂੰ f(x)=mx+b ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ, ਅਤੇ b ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #6
ਇੱਕ ਨਵੇਂ ਪੌਦੇ ਦੇ ਭੋਜਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਨੌਜਵਾਨ ਦਰੱਖਤ 'ਤੇ ਇਸਦੇ ਕੱਦ 'ਤੇ ਪ੍ਰਭਾਵ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਲਈ ਪੇਸ਼ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ। ਟੇਬਲ 2, ਜਦੋਂ ਮਾਪ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋਏ, ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਦੇ ਮਹੀਨਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਪੈਰਾਂ ਵਿੱਚ, ਦਰੱਖਤ ਦੇ ਕੱਦ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ, H(x), ਲਿਖੋ, ਜਿੱਥੇ x ਪ੍ਰਯੋਗ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਦੇ ਮਹੀਨਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ।
ਸਤਰ: x | 0 | 2 | 4 | 8 | 12
ਸਤਰ: H(x) | 12.5 | 13.5 | 14.5 | 16.5 | 18.5
ਮੀਡੀਆ
ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਹਦਾਇਤਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਸ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ
ਮੌਖਿਕ
ਟੈਰੀ ਇੱਕ ਖੜੀ ਪਹਾੜੀ ਤੋਂ ਸਕੀਇੰਗ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਟੈਰੀ ਦੀ ਉਚਾਈ, E(t), ਪੈਰਾਂ ਵਿੱਚ, E(t)=3000−70t ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਟੈਰੀ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਉਚਾਈ ਅਤੇ ਇਹ ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਕਿਵੇਂ ਬਦਲ ਰਹੀ ਹੈ, ਇਸਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਪੂਰਾ ਵਾਕ ਲਿਖੋ।
ਮਾਰੀਆ ਇੱਕ ਪਹਾੜ ਚੜ੍ਹ ਰਹੀ ਹੈ। $t$ ਮਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਮਾਰੀਆ ਦੀ ਉਚਾਈ, $E(t)$, ਫੁੱਟਾਂ ਵਿੱਚ $E(t)=1200+40t$ ਹੈ। ਮਾਰੀਆ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਉਚਾਈ ਅਤੇ ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਇਸ ਵਿੱਚ ਕਿਵੇਂ ਬਦਲਾਅ ਆ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਇਸ ਬਾਰੇ ਇੱਕ ਪੂਰਾ ਵਾਕ ਲਿਖੋ।
ਜੈਸਿਕਾ ਇੱਕ ਦੋਸਤ ਦੇ ਘਰ ਤੋਂ ਘਰ ਤੱਕ ਤੁਰ ਰਹੀ ਹੈ। 2 ਮਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਉਹ ਘਰ ਤੋਂ 1.4 ਮੀਲ ਦੂਰ ਹੈ। ਛੱਡਣ ਤੋਂ ਬਾਰਾਂ ਮਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ, ਉਹ ਘਰ ਤੋਂ 0.9 ਮੀਲ ਦੂਰ ਹੈ। ਉਸਦੀ ਰਫਤਾਰ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਮੀਲਾਂ ਵਿੱਚ ਕੀ ਹੈ?
ਸੋਨੀਆ ਇਸ ਸਮੇਂ ਘਰ ਤੋਂ 10 ਮੀਲ ਦੂਰ ਹੈ ਅਤੇ 2 ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਦੀ ਰਫਤਾਰ ਨਾਲ ਦੂਰ ਜਾ ਰਹੀ ਹੈ। $t$ ਘੰਟਿਆਂ ਬਾਅਦ ਉਸਦੀ ਘਰ ਤੋਂ ਦੂਰੀ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।
ਇੱਕ ਕਿਸ਼ਤੀ ਮਰੀਨਾ ਤੋਂ 100 ਮੀਲ ਦੂਰ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ 10 ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਦੀ ਰਫਤਾਰ ਨਾਲ ਸਿੱਧੇ ਇਸ ਵੱਲ ਆ ਰਹੀ ਹੈ। $t$ ਘੰਟਿਆਂ ਬਾਅਦ ਮਰੀਨਾ ਤੋਂ ਕਿਸ਼ਤੀ ਦੀ ਦੂਰੀ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।
ਟਿਮੀ $40 ਨਾਲ ਮੇਲੇ ਵਿੱਚ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਹਰ ਸਵਾਰੀ ਦੀ ਕੀਮਤ $2 ਹੈ। $n$ ਸਵਾਰੀਆਂ ਦੀ ਸਵਾਰੀ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਉਸ ਕੋਲ ਕਿੰਨੇ ਪੈਸੇ ਬਚਣਗੇ?
ਬੀਜਗਣਿਤ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਵਕਰ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
$y = \frac{1}{4}x + 6$
$y = 3x - 5$
$y = 3x^2 - 2$
$3x + 5y = 15$
$3x^2 + 5y = 15$
$3x + 5y^2 = 15$
$-2x^2 + 3y^2 = 6$
$-\frac{x-3}{5} = 2y$
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਹਰੇਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਜਾਂ ਘੱਟ ਰਿਹਾ ਹੈ।
$f(x) = 4x + 3$
$g(x) = 5x + 6$
$a(x) = 5 - 2x$
$b(x) = 8 - 3x$
$h(x) = -2x + 4$
$k(x) = -4x + 1$
$j(x) = \frac{1}{2}x - 3$
$p(x) = \frac{1}{4}x - 5$
n(x)=−13x−2n(x)=−13x−2
m(x)=−38x+3m(x)=−38x+3
For the following exercises, find the slope of the line that passes through the two given points.
(2,4)(2,4) and (4, 10)(4, 10)
(1, 5)(1, 5) and (4, 11)(4, 11)
(−1,4) (−1,4) and (5,2) (5,2)
(8,−2) (8,−2) and (4,6) (4,6)
(6,11)(6,11) and (−4,3) (−4,3)
For the following exercises, given each set of information, find a linear equation satisfying the conditions, if possible.
f(−5)=−4, f(−5)=−4, and f(5)=2 f(5)=2
f(−1)=4 f(−1)=4 and f(5)=1 f(5)=1
(2,4) (2,4) and (4,10) (4,10)
Passes through (1,5) (1,5) and (4,11) (4,11)
Passes through (−1, 4)(−1, 4) and (5, 2)(5, 2)
Passes through (−2, 8)(−2, 8) and (4, 6)(4, 6)
x intercept at (−2, 0)(−2, 0) and y intercept at (0,−3) (0,−3)
x intercept at (−5, 0)(−5, 0) and y intercept at (0, 4)(0, 4)
Graphical
For the following exercises, find the slope of the lines graphed.
For the following exercises, write an equation for the lines graphed.
Numeric
For the following exercises, which of the tables could represent a linear function? For each that could be linear, find a linear equation that models the data.
row: xx | 0 | 5 | 10 | 15
row: g(x)g(x) | 5 | –10 | –25 | –40
row: xx | 0 | 5 | 10 | 15
row: h(x)h(x) | 5 | 30 | 105 | 230
row: xx | 0 | 5 | 10 | 15
row: f(x)f(x) | –5 | 20 | 45 | 70
row: xx | 5 | 10 | 20 | 25
row: k(x)k(x) | 13 | 28 | 58 | 73
row: xx | 0 | 2 | 4 | 6
row: g(x)g(x) | 6 | –19 | –44 | –69
row: xx | 2 | 4 | 6 | 8
row: f(x)f(x) | –4 | 16 | 36 | 56
row: xx | 2 | 4 | 6 | 8
row: f(x)f(x) | –4 | 16 | 36 | 56
row: xx | 0 | 2 | 6 | 8
row: k(x)k(x) | 6 | 31 | 106 | 231
Technology
If ff is a linear function, f(0.1)=11.5, andf(0.4)=–5.9,f(0.1)=11.5, andf(0.4)=–5.9, find an equation for the function.
Graph the function ff on a domain of [ –10,10 ]:f(x)=0.02x−0.01.[ –10,10 ]:f(x)=0.02x−0.01. Enter the function in a graphing utility. For the viewing window, set the minimum value of xx to be −10−10 and the maximum value of xx to be 10.10.
Graph the function ff on a domain of [ –10,10 ]:fx)=2,500x+4,000[ –10,10 ]:fx)=2,500x+4,000
Table 3 shows the input, w, w, and output, k,k, for a linear function k.k. a. Fill in the missing values of the table. b. Write the linear function k,k, round to 3 decimal places.
row: w w | –10 | 5.5 | 67.5 | b
row: k k | 30 | –26 | a | –44
Table 4 shows the input, p,p, and output, q,q, for a linear function q.q. a. Fill in the missing values of the table. b. Write the linear function k.k.
row: p p | 0.5 | 0.8 | 12 | b
row: q q | 400 | 700 | a | 1,000,000
Graph the linear function ff on a domain of [ −10,10 ][ −10,10 ] for the function whose slope is 1818 and y-intercept is 31163116. Label the points for the input values of −10−10 and 10.10.
Graph the linear function ff on a domain of [ −0.1,0.1 ][ −0.1,0.1 ] for the function whose slope is 75 and y-intercept is −22.5−22.5. Label the points for the input values of −0.1−0.1 and 0.1.0.1.
Graph the linear function ff where f(x)=ax+bf(x)=ax+b on the same set of axes on a domain of [ −4,4 ][ −4,4 ] for the following values of aa and b.b.
a=2;b=3a=2;b=3
a=2;b=4a=2;b=4
a=2;b=–4a=2;b=–4
a=2;b=–5 a=2;b=–5
Extensions
Find the value of xx if a linear function goes through the following points and has the following slope: (x,2),(−4,6),m=3(x,2),(−4,6),m=3
Find the value of y if a linear function goes through the following points and has the following slope: (10,y),(25,100),m=−5(10,y),(25,100),m=−5
Find the equation of the line that passes through the following points: (a,b)(a,b) and ( a,b+1 ) ( a,b+1 )
Find the equation of the line that passes through the following points: (2a,b)(2a,b) and (a,b+1)(a,b+1)
Find the equation of the line that passes through the following points: (a,0)(a,0) and (c,d)(c,d)
Real-World Applications
At noon, a barista notices that they have $20 in their tip jar. If the barista makes an average of $0.50 from each customer, how much will they have in the tip jar if they serve nn more customers during the shift?
A gym membership with two personal training sessions costs $125, while gym membership with five personal training sessions costs $260. What is cost per session?
A clothing business finds there is a linear relationship between the number of shirts, n,n, it can sell and the price, p,p, it can charge per shirt. In particular, historical data shows that 1,000 shirts can be sold at a price of $30$30, while 3,000 shirts can be sold at a price of $22. Find a linear equation in the form p(n)=mn+bp(n)=mn+b that gives the price pp they can charge for nn shirts.
A phone company charges for service according to the formula: C(n)=24+0.1n,C(n)=24+0.1n, where nn is the number of minutes talked, and C(n)C(n) is the monthly charge, in dollars. Find and interpret the rate of change and initial value.
A farmer finds there is a linear relationship between the number of bean stalks, n,n, she plants and the yield, y,y, each plant produces. When she plants 30 stalks, each plant yields 30 oz of beans. When she plants 34 stalks, each plant produces 28 oz of beans. Find a linear relationship in the form y=mn+by=mn+b that gives the yield when nn stalks are planted.
A city’s population in the year 1960 was 287,500. In 1989 the population was 275,900. Compute the rate of growth of the population and make a statement about the population rate of change in people per year.
A town’s population has been growing linearly. In 2003, the population was 45,000, and the population has been growing by 1,700 people each year. Write an equation, P(t),P(t), for the population tt years after 2003.
Suppose that average annual income (in dollars) for the years 1990 through 1999 is given by the linear function: I(x)=1054x+23,286,I(x)=1054x+23,286, where xx is the number of years after 1990. Which of the following interprets the slope in the context of the problem?
As of 1990, average annual income was $23,286.
In the ten-year period from 1990–1999, average annual income increased by a total of $1,054.
Each year in the decade of the 1990s, average annual income increased by $1,054.
Average annual income rose to a level of $23,286 by the end of 1999.
When temperature is 0 degrees Celsius, the Fahrenheit temperature is 32. When the Celsius temperature is 100, the corresponding Fahrenheit temperature is 212. Express the Fahrenheit temperature as a linear function of C,C, the Celsius temperature, F(C).F(C).
Find the rate of change of Fahrenheit temperature for each unit change temperature of Celsius.
Find and interpret F(28).F(28).
Find and interpret F(–40). F(–40).