ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਸ਼ਕਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਸ਼ਕਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਅਤੇ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਗੁਣਾਂਕ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਚਿੱਤਰ 1: (ਸਿਹਰਾ: ਜੇਸਨ ਬੇ, ਫਲਿੱਕਰ)
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਪੰਛੀਆਂ ਦੀ ਇੱਕ ਖਾਸ ਪ੍ਰਜਾਤੀ ਇੱਕ ਛੋਟੇ ਟਾਪੂ 'ਤੇ ਪਲਦੀ ਹੈ। ਪਿਛਲੇ ਕੁਝ ਸਾਲਾਂ ਦੌਰਾਨ ਇਸਦੀ ਆਬਾਦੀ ਸਾਰਣੀ 1 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਗਈ ਹੈ।
ਸਤਰ: ਸਾਲ | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013
ਸਤਰ: ਪੰਛੀ ਆਬਾਦੀ | 800 | 897 | 992 | 1,083 | 1,169
ਆਬਾਦੀ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਫੰਕਸ਼ਨ P(t)=−0.3 t 3 +97t+800, P(t)=−0.3 t 3 +97t+800 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲਗਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ P(t) P(t) 2009 ਤੋਂ t t ਸਾਲ ਬਾਅਦ ਟਾਪੂ 'ਤੇ ਪੰਛੀਆਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਮਾਡਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਅਧਿਕਤਮ ਪੰਛੀ ਆਬਾਦੀ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਇਹ ਕਦੋਂ ਵਾਪਰੇਗਾ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਮਾਡਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਇਹ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਵੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਪੰਛੀ ਆਬਾਦੀ ਟਾਪੂ ਤੋਂ ਕਦੋਂ ਅਲੋਪ ਹੋ ਜਾਵੇਗੀ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਾਂਗੇ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਅਸੀਂ ਇਸ ਕਿਸਮ ਦੇ ਬਦਲਾਵਾਂ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣ ਅਤੇ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਕਰਨ ਲਈ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਸ਼ਕਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ
ਪੰਛੀਆਂ ਦੀ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਬਿਹਤਰ ਢੰਗ ਨਾਲ ਸਮਝਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਖਾਸ ਕਿਸਮ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਸਮਝਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਸ਼ਕਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਟਰਮ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ, ਇੱਕ ਗੁਣਾਂਕ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੀ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਤੱਕ ਘਾਤ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। (ਇੱਕ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਏ ਗਏ ਵੇਰੀਏਬਲ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਗੁਣਾਂਕ ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।)
ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ, ਖੇਤਰ ਜਾਂ ਆਇਤਨ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਅਰਧ ਵਿਆਸ r r ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਖੇਤਰ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ
ਅਤੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ r r ਵਾਲੇ ਗੋਲੇ ਦੇ ਆਇਤਨ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ
ਇਹ ਦੋਵੇਂ ਸ਼ਕਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀਆਂ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ ਉਹ ਇੱਕ ਗੁਣਾਂਕ, π π ਜਾਂ 4 3 π, 4 3 π, ਨੂੰ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ r r ਦੀ ਇੱਕ ਘਾਤ ਤੱਕ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਬਣਦੇ ਹਨ।
ਸ਼ਕਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ
ਇੱਕ ਸ਼ਕਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ k k ਅਤੇ p p ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ, ਅਤੇ k k ਨੂੰ ਗੁਣਾਂਕ ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
Q&A
ਕੀ f(x)= 2 x f(x)= 2 x ਇੱਕ ਸ਼ਕਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ?
ਨਹੀਂ। ਇੱਕ ਸ਼ਕਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਅਧਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅਧਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਘਾਤ ਅੰਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਨਾ ਕਿ ਸ਼ਕਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਸ਼ਕਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਹੜੇ ਸ਼ਕਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ?
f(x)=1 Constant function f(x)=x Identity function f(x)= x 2 Quadratic function f(x)= x 3 Cubic function f(x)= 1 x Reciprocal function f(x)= 1 x 2 Reciprocal squared function f(x)= x Square root function f(x)= x 3 Cube root function f(x)=1 Constant function f(x)=x Identity function f(x)= x 2 Quadratic function f(x)= x 3 Cubic function f(x)= 1 x Reciprocal function f(x)= 1 x 2 Reciprocal squared function f(x)= x Square root function f(x)= x 3 Cube root function
Solution
All of the listed functions are power functions.
The constant and identity functions are power functions because they can be written as f(x)= x 0 f(x)= x 0 and f(x)= x 1 f(x)= x 1 respectively.
The quadratic and cubic functions are power functions with whole number powers f(x)= x 2 f(x)= x 2 and f(x)= x 3 . f(x)= x 3 .
The reciprocal and reciprocal squared functions are power functions with negative whole number powers because they can be written as f(x)= x −1 f(x)= x −1 and f(x)= x −2 . f(x)= x −2 .
The square and cube root functions are power functions with fractional powers because they can be written as f(x)= x 1/2 f(x)= x 1/2 or f(x)= x 1/3 . f(x)= x 1/3 .
Try It #1
Which functions are power functions?
f(x)=2 x 2 ⋅4 x 3 g(x)=− x 5 +5 x 3 −4x h(x)= 2 x 5 −1 3 x 2 +4 f(x)=2 x 2 ⋅4 x 3 g(x)=− x 5 +5 x 3 −4x h(x)= 2 x 5 −1 3 x 2 +4
Identifying End Behavior of Power Functions
Figure 2 shows the graphs of f(x)= x 2 ,g(x)= x 4 f(x)= x 2 ,g(x)= x 4 and andh(x)= x 6 , andh(x)= x 6 , which are all power functions with even, positive integer powers. Notice that these graphs have similar shapes, very much like that of the quadratic function in the toolkit. However, as the power increases, the graphs flatten somewhat near the origin and become steeper away from the origin.
Figure 2: Even-power functions
To describe the behavior as numbers become larger and larger, we use the idea of infinity. We use the symbol ∞ ∞ for positive infinity and −∞ −∞ for negative infinity. When we say that “ x x approaches infinity,” which can be symbolically written as x→∞, x→∞, we are describing a behavior; we are saying that x x is increasing without bound.
With the even-power function, as the input increases or decreases without bound, the output values become very large, positive numbers. Equivalently, we could describe this behavior by saying that as x x approaches positive or negative infinity, the f( x ) f( x ) values increase without bound. In symbolic form, we could write
Figure 3 shows the graphs of f(x)= x 3 ,g(x)= x 5 ,andh(x)= x 7 , f(x)= x 3 ,g(x)= x 5 ,andh(x)= x 7 , which are all power functions with odd, whole-number powers. Notice that these graphs look similar to the cubic function in the toolkit. Again, as the power increases, the graphs flatten near the origin and become steeper away from the origin.
Figure 3: Odd-power function
These examples illustrate that functions of the form f( x )= x n f( x )= x n reveal symmetry of one kind or another. First, in Figure 2 we see that even functions of the form f( x )= x n , n even, f( x )= x n , n even, are symmetric about the y- y- axis. In Figure 3 we see that odd functions of the form f( x )= x n , n odd, f( x )= x n , n odd, are symmetric about the origin.
For these odd power functions, as x x approaches negative infinity, f( x ) f( x ) decreases without bound. As x x approaches positive infinity, f( x ) f( x ) increases without bound. In symbolic form we write
The behavior of the graph of a function as the input values get very small ( x→−∞ x→−∞ ) and get very large ( x→∞ x→∞ ) is referred to as the end behavior of the function. We can use words or symbols to describe end behavior.
Figure 4 shows the end behavior of power functions in the form f(x)=k x n f(x)=k x n where n n is a non-negative integer depending on the power and the constant.
How To
Given a power function f(x)=k x n f(x)=k x n where n n is a positive integer, identify the end behavior.
Determine whether the power is even or odd.
1. ਸਥਿਰਾਂਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ ਜਾਂ ਨਕਾਰਾਤਮਕ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
2. ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨ ਲਈ ਚਿੱਤਰ 4 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
3. ਉਦਾਹਰਨ 2
4. ਘਾਤ ਫਲਨ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਦੀ ਪਛਾਣ
5. f(x) = x^8 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ। f(x) = x^8।
6. ਹੱਲ
7. ਗੁਣਾਂਕ 1 (ਸਕਾਰਾਤਮਕ) ਹੈ ਅਤੇ ਘਾਤ ਫਲਨ ਦਾ ਘਾਤ 8 (ਇੱਕ ਸਮ ਸੰਖਿਆ) ਹੈ। ਜਿਵੇਂ x ∞ ਵੱਲ ਵਧਦਾ ਹੈ, ਨਤੀਜਾ (f(x) ਦਾ ਮੁੱਲ) ਬੇਅੰਤ ਵੱਧਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ x→∞, f(x)→∞ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ। ਜਿਵੇਂ x −∞ ਵੱਲ ਵਧਦਾ ਹੈ, ਨਤੀਜਾ ਬੇਅੰਤ ਵੱਧਦਾ ਹੈ। ਪ੍ਰਤੀਕਾਤਮਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ x→−∞, f(x)→∞ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਫਲਨ ਨੂੰ ਚਿੱਤਰ 5 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਅਨੁਸਾਰ ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
8. ਉਦਾਹਰਨ 3
9. ਘਾਤ ਫਲਨ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਦੀ ਪਛਾਣ।
10. f(x) = -x^9 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ। f(x) = -x^9।
11. ਹੱਲ
12. ਘਾਤ ਫਲਨ ਦਾ ਘਾਤ 9 (ਇੱਕ ਅਸਮ ਸੰਖਿਆ) ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਗੁਣਾਂਕ -1 ਹੈ (ਨਕਾਰਾਤਮਕ), ਗ੍ਰਾਫ f(x) = x^9 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 6 ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜਿਵੇਂ x ∞ ਵੱਲ ਵਧਦਾ ਹੈ, ਨਤੀਜਾ ਬੇਅੰਤ ਘਟਦਾ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ x −∞ ਵੱਲ ਵਧਦਾ ਹੈ, ਨਤੀਜਾ ਬੇਅੰਤ ਵੱਧਦਾ ਹੈ। ਪ੍ਰਤੀਕਾਤਮਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਲਿਖਾਂਗੇ
13. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
14. ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਯੂਟਿਲਿਟੀ 'ਤੇ ਟੇਬਲ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਆਪਣੇ ਕੰਮ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
15. ਕਤਾਰ: x | f(x)
16. ਕਤਾਰ: –10 | 1,000,000,000
17. ਕਤਾਰ: –5 | 1,953,125
18. ਕਤਾਰ: 0 | 0
19. ਕਤਾਰ: 5 | –1,953,125
20. ਕਤਾਰ: 10 | –1,000,000,000
21. ਅਸੀਂ ਟੇਬਲ 2 ਤੋਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ, ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ x ਲਈ ਬਹੁਤ ਛੋਟੇ ਮੁੱਲ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਨਤੀਜਾ ਬਹੁਤ ਵੱਡਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ x ਲਈ ਬਹੁਤ ਵੱਡੇ ਮੁੱਲ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਨਤੀਜਾ ਬਹੁਤ ਛੋਟਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਜਿਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਇੱਕ ਬਹੁਤ ਵੱਡਾ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਮੁੱਲ ਹੈ)।
22. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
23. f(x) = -5x^4 ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਦਾ ਸ਼ਬਦਾਂ ਅਤੇ ਪ੍ਰਤੀਕਾਂ ਵਿੱਚ ਵਰਣਨ ਕਰੋ। f(x) = -5x^4।
24. ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ
ਮੈਕਸੀਕੋ ਦੀ ਖਾੜੀ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਤੇਲ ਪਾਈਪਲਾਈਨ ਫਟ ਗਈ ਹੈ, ਜਿਸ ਕਾਰਨ ਇੱਕ ਗੋਲਾਕਾਰ ਆਕਾਰ ਦਾ ਤੇਲ ਫੈਲ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਤੇਲ ਦੇ ਫੈਲਾਅ ਦਾ ਰੇਡੀਅਸ (ਤ੍ਰਿਜਾ) ਇਸ ਸਮੇਂ 24 ਮੀਲ ਹੈ, ਪਰ ਇਹ ਹਰ ਹਫ਼ਤੇ 8 ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਹਫ਼ਤਾ ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਤੇਲ ਦੇ ਫੈਲਾਅ ਦੁਆਰਾ ਕਵਰ ਕੀਤੇ ਗਏ ਖੇਤਰਫਲ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਫੈਲਾਅ ਦਾ ਰੇਡੀਅਸ $r$ ਬੀਤ ਚੁੱਕੇ ਹਫ਼ਤਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ $w$ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਸਬੰਧ ਰੇਖੀ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ $A$ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨਾਲ ਜੋੜ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਇਹਨਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਨਾਲ ਹਫ਼ਤਿਆਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਖੇਤਰਫਲ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਮਿਲਦਾ ਹੈ।
ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਨਾਲ ਫਾਰਮੂਲਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਇਹ ਫਾਰਮੂਲਾ ਇੱਕ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ। ਇੱਕ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ਼ ਜ਼ੀਰੋ ਜਾਂ ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਪਦਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸੀਮਤ ਜੋੜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰ ਇੱਕ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ, ਜਿਸਨੂੰ ਪਦ ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੀ ਗੈਰ-ਨੈਗੇਟਿਵ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਸ਼ਕਤੀ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ
ਮੰਨ ਲਓ $n$ ਇੱਕ ਗੈਰ-ਨੈਗੇਟਿਵ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ। ਇੱਕ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:
ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਆਮ ਰੂਪ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਹਰ $a_i$ ਇੱਕ ਗੁਣਾਂਕ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਪਰ $a_n \neq 0$। ਹਰ ਗੁਣਨਫਲ $a_i x^i$ ਇੱਕ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇੱਕ ਪਦ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ
ਹੇਠ ਲਿਖਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਹੜੇ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ?
ਹੱਲ
ਪਹਿਲੇ ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀਆਂ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ $f(x)= a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots+ a_2 x^2 + a_1 x+ a_0$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਸ਼ਕਤੀਆਂ ਗੈਰ-ਨੈਗੇਟਿਵ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹਨ ਅਤੇ ਗੁਣਾਂਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ।
$f(x)$ ਨੂੰ $f(x)=6x^4+4$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
$g(x)$ ਨੂੰ $g(x)=−x^3+4x$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
$h(x)$ ਨੂੰ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਇੱਕ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਅਤੇ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਗੁਣਾਂਕ ਦੀ ਪਛਾਣ
ਇੱਕ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਰੂਪ ਕਾਰਨ, ਅਸੀਂ ਪਦਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਅਤੇ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੀ ਸ਼ਕਤੀ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਭਿੰਨਤਾ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਹਾਲਾਂਕਿ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਪਦਾਂ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਕਾਰਜ ਕਰਨ ਲਈ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ਕਤੀ ਦੇ ਘਟਦੇ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ, ਜਾਂ ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਸ਼ਕਤੀ ਹੈ ਜੋ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਵਿੱਚ ਵਾਪਰਦੀ ਹੈ; ਜੇਕਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ ਤਾਂ ਇਹ ਪਹਿਲੇ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੀ ਸ਼ਕਤੀ ਹੈ। ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਪਦ ਉਹ ਪਦ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਸ਼ਕਤੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਾਂ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਡਿਗਰੀ ਵਾਲਾ ਪਦ। ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਗੁਣਾਂਕ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਪਦ ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ ਹੈ।
ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਸ਼ਬਦਾਵਲੀ
ਅਸੀਂ ਅਕਸਰ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲਾਂ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਮੁੜ-ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸ਼ਕਤੀਆਂ ਘਟਦੀਆਂ ਹੋਣ।
ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਇੱਕ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ, ਡਿਗਰੀ ਅਤੇ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਗੁਣਾਂਕ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ $x$ ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਸ਼ਕਤੀ ਲੱਭੋ।
Identify the term containing the highest power of x x to find the leading term.
Identify the coefficient of the leading term.
Example 5
Identifying the Degree and Leading Coefficient of a Polynomial Function
Identify the degree, leading term, and leading coefficient of the following polynomial functions.
Solution
For the function f( x ), f( x ), the highest power of x x is 3, so the degree is 3. The leading term is the term containing that degree, −4 x 3 . −4 x 3 . The leading coefficient is the coefficient of that term, −4. −4.
For the function g( t ), g( t ), the highest power of t t is 5, 5, so the degree is 5. 5. The leading term is the term containing that degree, 5 t 5 . 5 t 5 . The leading coefficient is the coefficient of that term, 5. 5.
For the function h( p ), h( p ), the highest power of p p is 3, 3, so the degree is 3. 3. The leading term is the term containing that degree, −p 3 ; −p 3 ; the leading coefficient is the coefficient of that term, −1. −1.
Try It #3
Identify the degree, leading term, and leading coefficient of the polynomial f(x)=4 x 2 − x 6 +2x−6. f(x)=4 x 2 − x 6 +2x−6.
Identifying End Behavior of Polynomial Functions
Knowing the degree of a polynomial function is useful in helping us predict its end behavior. To determine its end behavior, look at the leading term of the polynomial function. Because the power of the leading term is the highest, that term will grow significantly faster than the other terms as x x gets very large or very small, so its behavior will dominate the graph. For any polynomial, the end behavior of the polynomial will match the end behavior of the term of highest degree. See Table 3.
row: Polynomial Function | Leading Term | Graph of Polynomial Function
row: f(x)=5 x 4 +2 x 3 −x−4 f(x)=5 x 4 +2 x 3 −x−4 | 5 x 4 5 x 4
row: f(x)=−2 x 6 − x 5 +3 x 4 + x 3 f(x)=−2 x 6 − x 5 +3 x 4 + x 3 | −2 x 6 −2 x 6
row: f(x)=3 x 5 −4 x 4 +2 x 2 +1 f(x)=3 x 5 −4 x 4 +2 x 2 +1 | 3 x 5 3 x 5
row: f(x)=−6 x 3 +7 x 2 +3x+1 f(x)=−6 x 3 +7 x 2 +3x+1 | −6 x 3 −6 x 3
Example 6
Identifying End Behavior and Degree of a Polynomial Function
Describe the end behavior and determine a possible degree of the polynomial function in Figure 7.
Solution
As the input values x x get very large, the output values f(x) f(x) increase without bound. As the input values x x get very small, the output values f(x) f(x) decrease without bound. We can describe the end behavior symbolically by writing
In words, we could say that as x x values approach infinity, the function values approach infinity, and as x x values approach negative infinity, the function values approach negative infinity.
We can tell this graph has the shape of an odd degree power function that has not been reflected, so the degree of the polynomial creating this graph must be odd and the leading coefficient must be positive.
Try It #4
Describe the end behavior, and determine a possible degree of the polynomial function in Figure 8.
Example 7
Identifying End Behavior and Degree of a Polynomial Function
Given the function f(x)=−3 x 2 (x−1)(x+4), f(x)=−3 x 2 (x−1)(x+4), express the function as a polynomial in general form, and determine the leading term, degree, and end behavior of the function.
Solution
Obtain the general form by expanding the given expression for f( x ). f( x ).
The general form is f( x )=−3 x 4 −9 x 3 +12 x 2 . f( x )=−3 x 4 −9 x 3 +12 x 2 . The leading term is −3 x 4 ; −3 x 4 ; therefore, the degree of the polynomial is 4. The degree is even (4) and the leading coefficient is negative (–3), so the end behavior is
Try It #5
Given the function f(x)=0.2(x−2)(x+1)(x−5), f(x)=0.2(x−2)(x+1)(x−5), express the function as a polynomial in general form and determine the leading term, degree, and end behavior of the function.
Identifying Local Behavior of Polynomial Functions
In addition to the end behavior of polynomial functions, we are also interested in what happens in the “middle” of the function. In particular, we are interested in locations where graph behavior changes. A turning point is a point at which the function values change from increasing to decreasing or decreasing to increasing.
We are also interested in the intercepts. As with all functions, the y-intercept is the point at which the graph intersects the vertical axis. The point corresponds to the coordinate pair in which the input value is zero. Because a polynomial is a function, only one output value corresponds to each input value so there can be only one y-intercept (0, a 0 ). (0, a 0 ). The x-intercepts occur at the input values that correspond to an output value of zero. It is possible to have more than one x-intercept. See Figure 9.
Intercepts and Turning Points of Polynomial Functions
A turning point of a graph is a point at which the graph changes direction from increasing to decreasing or decreasing to increasing. The y-intercept is the point at which the function has an input value of zero. The x- x- intercepts are the points at which the output value is zero.
How To
Given a polynomial function, determine the intercepts.
Determine the y-intercept by setting x=0 x=0 and finding the corresponding output value.
Determine the x- x- intercepts by solving for the input values that yield an output value of zero.
Example 8
Determining the Intercepts of a Polynomial Function
Given the polynomial function f(x)=(x−2)(x+1)(x−4), f(x)=(x−2)(x+1)(x−4), written in factored form for your convenience, determine the y- y- and x- x- intercepts.
Solution
The y-intercept occurs when the input is zero so substitute 0 for x. x.
The y-intercept is (0, 8).
The x-intercepts occur when the output is zero.
The x- x- intercepts are (2,0),(–1,0), (2,0),(–1,0), and (4,0). (4,0).
We can see these intercepts on the graph of the function shown in Figure 10.
Example 9
Determining the Intercepts of a Polynomial Function with Factoring
Given the polynomial function f(x)= x 4 −4 x 2 −45, f(x)= x 4 −4 x 2 −45, determine the y- y- and x- x- intercepts.
Solution
The y-intercept occurs when the input is zero.
The y-intercept is (0,−45). (0,−45).
The x-intercepts occur when the output is zero. To determine when the output is zero, we will need to factor the polynomial.
The x-intercepts are (3,0) (3,0) and (–3,0). (–3,0).
We can see these intercepts on the graph of the function shown in Figure 11. We can see that the function is even because f( x )=f( −x ). f( x )=f( −x ).
Try It #6
Given the polynomial function f(x)=2 x 3 −6 x 2 −20x, f(x)=2 x 3 −6 x 2 −20x, determine the y- y- and x- x- intercepts.
Comparing Smooth and Continuous Graphs
The degree of a polynomial function helps us to determine the number of x- x- intercepts and the number of turning points. A polynomial function of nth nth degree is the product of n n factors, so it will have at most n n roots or zeros, or x- x- intercepts. The graph of the polynomial function of degree n n must have at most n–1 n–1 turning points. This means the graph has at most one fewer turning point than the degree of the polynomial or one fewer than the number of factors.
A continuous function has no breaks in its graph: the graph can be drawn without lifting the pen from the paper. A smooth curve is a graph that has no sharp corners. The turning points of a smooth graph must always occur at rounded curves. The graphs of polynomial functions are both continuous and smooth.
Intercepts and Turning Points of Polynomials
A polynomial of degree n n will have, at most, n n x-intercepts and n−1 n−1 turning points.
Example 10
Determining the Number of Intercepts and Turning Points of a Polynomial
Without graphing the function, determine the local behavior of the function by finding the maximum number of x- x- intercepts and turning points for f(x)=−3 x 10 +4 x 7 − x 4 +2 x 3 . f(x)=−3 x 10 +4 x 7 − x 4 +2 x 3 .
Solution
The polynomial has a degree of 10, 10, so there are at most 10 10 xx-intercepts and at most 10−1=9 10−1=9 turning points.
Try It #7
Without graphing the function, determine the maximum number of x- x- intercepts and turning points for f(x)=108−13 x 9 −8 x 4 +14 x 12 +2 x 3 f(x)=108−13 x 9 −8 x 4 +14 x 12 +2 x 3
Example 11
Drawing Conclusions about a Polynomial Function from the Graph
What can we conclude about the polynomial represented by the graph shown in Figure 12 based on its intercepts and turning points?
Solution
The end behavior of the graph tells us this is the graph of an even-degree polynomial. See Figure 13.
The graph has 2 x- x- intercepts, suggesting a degree of 2 or greater, and 3 turning points, suggesting a degree of 4 or greater. Based on this, it would be reasonable to conclude that the degree is even and at least 4.
Try It #8
What can we conclude about the polynomial represented by the graph shown in Figure 14 based on its intercepts and turning points?
Example 12
Drawing Conclusions about a Polynomial Function from the Factors
Given the function f(x)=−4x( x+3 )( x−4 ), f(x)=−4x( x+3 )( x−4 ), determine the local behavior.
Solution
The y- y- intercept is found by evaluating f(0). f(0).
The y- y- intercept is (0,0). (0,0).
The x- x- intercepts are found by determining the zeros of the function.
The x- x- intercepts are (0,0),(–3,0), (0,0),(–3,0), and (4,0). (4,0).
The degree is 3 so the graph has at most 2 turning points.
Try It #9
Given the function f(x)=0.2(x−2)(x+1)(x−5), f(x)=0.2(x−2)(x+1)(x−5), determine the local behavior.
Media
Access these online resources for additional instruction and practice with power and polynomial functions.
Find Key Information about a Given Polynomial Function
End Behavior of a Polynomial Function
Turning Points and x- x- intercepts of Polynomial Functions
Least Possible Degree of a Polynomial Function
Verbal
Explain the difference between the coefficient of a power function and its degree.
If a polynomial function is in factored form, what would be a good first step in order to determine the degree of the function?
In general, explain the end behavior of a polynomial with odd degree if the leading coefficient is positive.
What is the relationship between the degree of a polynomial function and the maximum number of turning points in its graph?
What can we conclude if, in general, the graph of a polynomial function exhibits the following end behavior? As x→−∞,f(x)→−∞ x→−∞,f(x)→−∞ and as x→∞,f(x)→−∞. x→∞,f(x)→−∞.
Algebraic
For the following exercises, identify the function as a power function, a polynomial function, or neither.
f(x)= x 5 f(x)= x 5
f(x)= ( x 2 ) 3 f(x)= ( x 2 ) 3
f(x)=x− x 4 f(x)=x− x 4
f(x)= x 2 x 2 −1 f(x)= x 2 x 2 −1
f(x)=2x( x+2 ) ( x−1 ) 2 f(x)=2x( x+2 ) ( x−1 ) 2
f(x)= 3 x+1 f(x)= 3 x+1
For the following exercises, find the degree and leading coefficient for the given polynomial.
−3x 4 −3x 4
7−2 x 2 7−2 x 2
−2 x 2 −3 x 5 +x−6 −2 x 2 −3 x 5 +x−6
x( 4− x 2 )(2x+1) x( 4− x 2 )(2x+1)
x 2 ( 2x−3 ) 2 x 2 ( 2x−3 ) 2
For the following exercises, determine the end behavior of the functions.
f( x )= x 4 f( x )= x 4
f( x )= x 3 f( x )= x 3
f( x )=− x 4 f( x )=− x 4
f( x )=− x 9 f( x )=− x 9
f(x)=−2 x 4 −3 x 2 +x−1 f(x)=−2 x 4 −3 x 2 +x−1
f(x)=3 x 2 +x−2 f(x)=3 x 2 +x−2
f(x)= x 2 (2 x 3 −x+1) f(x)= x 2 (2 x 3 −x+1)
f(x)= (2−x) 7 f(x)= (2−x) 7
For the following exercises, find the intercepts of the functions.
f( t )=2( t−1 )( t+2 )(t−3) f( t )=2( t−1 )( t+2 )(t−3)
g( n )=−2( 3n−1 )(2n+1) g( n )=−2( 3n−1 )(2n+1)
f(x)= x 4 −16 f(x)= x 4 −16
f(x)= x 3 +27 f(x)= x 3 +27
f(x)=x( x 2 −2x−8 ) f(x)=x( x 2 −2x−8 )
f(x)=(x+3)(4 x 2 −1) f(x)=(x+3)(4 x 2 −1)
Graphical
For the following exercises, determine the least possible degree of the polynomial function shown.
For the following exercises, determine whether the graph of the function provided is a graph of a polynomial function. If so, determine the number of turning points and the least possible degree for the function.
Numeric
For the following exercises, make a table to confirm the end behavior of the function.
f(x)=− x 3 f(x)=− x 3
f(x)= x 4 −5 x 2 f(x)= x 4 −5 x 2
f(x)= x 2 ( 1−x ) 2 f(x)= x 2 ( 1−x ) 2
f(x)=(x−1)(x−2)(3−x) f(x)=(x−1)(x−2)(3−x)
f(x)= x 5 10 − x 4 f(x)= x 5 10 − x 4
Technology
For the following exercises, graph the polynomial functions using a calculator. Based on the graph, determine the intercepts and the end behavior.
f(x)= x 3 (x−2) f(x)= x 3 (x−2)
f(x)=x(x−3)(x+3) f(x)=x(x−3)(x+3)
f(x)=x(14−2x)(10−2x) f(x)=x(14−2x)(10−2x)
f(x)=x(14−2x) (10−2x) 2 f(x)=x(14−2x) (10−2x) 2
f(x)= x 3 −16x f(x)= x 3 −16x
f(x)= x 3 −27 f(x)= x 3 −27
f(x)= x 4 −81 f(x)= x 4 −81
f(x)=− x 3 + x 2 +2x f(x)=− x 3 + x 2 +2x
f(x)= x 3 −2 x 2 −15x f(x)= x 3 −2 x 2 −15x
f(x)= x 3 −0.01x f(x)= x 3 −0.01x
Extensions
For the following exercises, use the information about the graph of a polynomial function to determine the function. Assume the leading coefficient is 1 or –1. There may be more than one correct answer.
The y- y- intercept is (0,−4). (0,−4). The x- x- intercepts are (−2,0),(2,0). (−2,0),(2,0). Degree is 2.
End behavior: asx→−∞ asx→−∞,f(x)→∞f(x)→∞,asx→∞,f(x)→∞. asx→∞,f(x)→∞.
The y- y- intercept is (0,9). (0,9). The x- x- intercepts are (−3,0),(3,0). (−3,0),(3,0). Degree is 2.
End behavior: asx→−∞ asx→−∞,f(x)→−∞f(x)→−∞,asx→∞asx→∞,f(x)→−∞. f(x)→−∞.
The y- y- intercept is (0,0). (0,0). The x- x- intercepts are (0,0),(2,0). (0,0),(2,0). Degree is 3.
End behavior: asx→−∞ asx→−∞,f(x)→−∞f(x)→−∞,asx→∞asx→∞,f(x)→∞. f(x)→∞.
The y- y- intercept is (0,1). (0,1). The x- x- intercept is (1,0). (1,0). Degree is 3.
End behavior: asx→−∞ asx→−∞,f(x)→∞f(x)→∞,asx→∞asx→∞,f(x)→−∞. f(x)→−∞.
The y- y- intercept is (0,1). (0,1). There is no x- x- intercept. Degree is 4.
End behavior: asx→−∞ asx→−∞,f(x)→∞f(x)→∞,asx→∞asx→∞,f(x)→∞. f(x)→∞.
Real-World Applications
For the following exercises, use the written statements to construct a polynomial function that represents the required information.
An oil slick is expanding as a circle. The radius of the circle is increasing at the rate of 20 meters per day. Express the area of the circle as a function of d, d, the number of days elapsed.
A cube has an edge of 3 feet. The edge is increasing at the rate of 2 feet per minute. Express the volume of the cube as a function of m, m, the number of minutes elapsed.
A rectangle has a length of 10 inches and a width of 6 inches. If the length is increased by x x inches and the width increased by twice that amount, express the area of the rectangle as a function of x. x.
An open box is to be constructed by cutting out square corners of x- x- inch sides from a piece of cardboard 8 inches by 8 inches and then folding up the sides. Express the volume of the box as a function of x. x.
A rectangle is twice as long as it is wide. Squares of side 2 feet are cut out from each corner. Then the sides are folded up to make an open box. Express the volume of the box as a function of the width ( x x ).