1. ਸਿਖਲਾਈ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
2. ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
3. ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਪਛਾਣੋਗੇ।
4. ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਗੁਣਨਖੰਡ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
5. ਸਿਫ਼ਰ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਗੁਣਨਤਾਵਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
6. ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
7. ਡਿਗਰੀ ਅਤੇ ਮੋੜਵੇਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਨੂੰ ਸਮਝੋ।
8. ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
9. ਮੱਧਵਰਤੀ ਮੁੱਲ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
10. 2006 ਤੋਂ 2013 ਤੱਕ ਇੱਕ ਕਾਲਪਨਿਕ ਕੇਬਲ ਕੰਪਨੀ ਲਈ ਮਿਲੀਅਨ ਡਾਲਰਾਂ ਵਿੱਚ ਮਾਲੀਆ ਟੇਬਲ 1 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
11. ਕਤਾਰ: ਸਾਲ | 2006 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013
12. ਕਤਾਰ: ਮਾਲੀਆ | 52.4 | 52.8 | 51.2 | 49.5 | 48.6 | 48.6 | 48.7 | 47.1
13. ਮਾਲੀਆ ਨੂੰ ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ
14. ਜਿੱਥੇ R R ਮਿਲੀਅਨ ਡਾਲਰਾਂ ਵਿੱਚ ਮਾਲੀਆ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ t t ਸਾਲ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ t=6 t=6 2006 ਦੇ ਅਨੁਸਾਰੀ ਹੈ। ਕਿਹੜੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ 'ਤੇ ਕੰਪਨੀ ਦਾ ਮਾਲੀਆ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ? ਕਿਹੜੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ 'ਤੇ ਕੰਪਨੀ ਦਾ ਮਾਲੀਆ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ? ਇਹਨਾਂ ਪ੍ਰਸ਼ਨਾਂ, ਕਈ ਹੋਰਾਂ ਦੇ ਨਾਲ, ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਕੇ ਜਵਾਬ ਦਿੱਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਵਰਗਾਕਾਰਾਂ ਦੇ ਸਥਾਨਕ ਵਿਵਹਾਰ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰ ਚੁੱਕੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਕਿ ਬਹੁਪਦਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਮਾਮਲਾ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਬਹੁਪਦਾਂ ਦੇ ਸਥਾਨਕ ਵਿਵਹਾਰ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰਾਂਗੇ।
15. ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਪਛਾਣਨਾ
16. ਡਿਗਰੀ 2 ਜਾਂ ਵੱਧ ਦੇ ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਤਿੱਖੇ ਕੋਨੇ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ; ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਇਹਨਾਂ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵੀ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਟੁੱਟ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ। ਕੋਈ ਟੁੱਟ ਨਾ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਵਕਰਾਂ ਨੂੰ ਨਿਰੰਤਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 1 ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਜੋ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਬਹੁਪਦ ਨਹੀਂ ਹੈ।
17. ਉਦਾਹਰਨ 1
18. ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਪਛਾਣਨਾ
19. ਚਿੱਤਰ 2 ਵਿੱਚ ਕਿਹੜੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ?
20. ਹੱਲ
21. f f ਅਤੇ h h ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਹਨ। ਉਹ ਨਿਰਵਿਘਨ ਅਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹਨ।
22. g g ਅਤੇ k k ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਉਹਨਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਹਨ ਜੋ ਬਹੁਪਦ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਫੰਕਸ਼ਨ g g ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਤਿੱਖਾ ਕੋਨਾ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ k k ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨਿਰੰਤਰ ਨਹੀਂ ਹੈ।
Q&A
23. ਕੀ ਸਾਰੇ ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਸਾਰੇ ਅਸਲ ਨੰਬਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ?
24. ਹਾਂ। ਕੋਈ ਵੀ ਅਸਲ ਨੰਬਰ ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਇੱਕ ਵੈਧ ਇਨਪੁਟ ਹੈ।
Using Factoring to Find Zeros of Polynomial Functions
Recall that if f f is a polynomial function, the values of x x for which f( x )=0 f( x )=0 are called zeros of f. f. If the equation of the polynomial function can be factored, we can set each factor equal to zero and solve for the zeros.
We can use this method to find x- x- intercepts because at the x- x- intercepts we find the input values when the output value is zero. For general polynomials, this can be a challenging prospect. While quadratics can be solved using the relatively simple quadratic formula, the corresponding formulas for cubic and fourth-degree polynomials are not simple enough to remember, and formulas do not exist for general higher-degree polynomials. Consequently, we will limit ourselves to three cases in this section:
The polynomial can be factored using known methods: greatest common factor and trinomial factoring.
The polynomial is given in factored form.
Technology is used to determine the intercepts.
How To
Given a polynomial function f, f, find the x-intercepts by factoring.
Set f( x )=0. f( x )=0.
If the polynomial function is not given in factored form: Factor out any common monomial factors. Factor any factorable binomials or trinomials.
Set each factor equal to zero and solve to find the x- x- intercepts.
Example 2
Finding the x-Intercepts of a Polynomial Function by Factoring
Find the x-intercepts of f(x)= x 6 −3 x 4 +2 x 2 . f(x)= x 6 −3 x 4 +2 x 2 .
Solution
We can attempt to factor this polynomial to find solutions for f( x )=0. f( x )=0.
This gives us five x- x- intercepts: (0,0),(1,0),(−1,0),( 2 ,0), (0,0),(1,0),(−1,0),( 2 ,0), and (− 2 ,0). (− 2 ,0). See Figure 3. We can see that this is an even function.
Example 3
Finding the x-Intercepts of a Polynomial Function by Factoring
Find the x- x- intercepts of f(x)= x 3 −5 x 2 −x+5. f(x)= x 3 −5 x 2 −x+5.
Solution
Find solutions for f(x)=0 f(x)=0 by factoring.
There are three x- x- intercepts: (−1,0),(1,0), (−1,0),(1,0), and ( 5,0 ). ( 5,0 ). See Figure 4.
Example 4
ਬਹੁਪਦ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ y- ਅਤੇ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭਣਾ
g(x)= (x−2) 2 (2x+3) ਦੇ y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਅਤੇ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭੋ। g(x)= (x−2) 2 (2x+3) ਦੇ y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਅਤੇ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ g( 0 ) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਕੇ ਲੱਭਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। g( 0 ) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਕੇ ਲੱਭਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਇਸ ਲਈ y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (0,12) ਹੈ। (0,12) ਹੈ।
x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ g( x )=0 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਕੇ ਲੱਭੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ। g( x )=0 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਕੇ ਲੱਭੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ।
ਇਸ ਲਈ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (2,0) ਅਤੇ (−3/2,0) ਹਨ। (−3/2,0) ਹਨ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਅਸੀਂ ਹਮੇਸ਼ਾ ਇਹ ਜਾਂਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਾਡੇ ਜਵਾਬ ਵਾਜਬ ਹਨ ਜਾਂ ਨਹੀਂ, ਇਸ ਬਹੁਪਦ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਕੇ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 5 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਬਹੁਪਦ ਦੇ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭਣਾ
h(x)= x 3 +4 x 2 +x−6 ਦੇ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭੋ। h(x)= x 3 +4 x 2 +x−6 ਦੇ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਇਹ ਬਹੁਪਦ ਗੁਣਨਖੰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਇਸਦੇ ਕੋਈ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਅਤੇ ਪਹਿਲਾਂ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀਆਂ ਤਕਨੀਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇਸਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਕਰਨਾ ਸੰਭਵ ਨਹੀਂ ਜਾਪਦਾ। ਖੁਸ਼ਕਿਸਮਤੀ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭਣ ਲਈ ਤਕਨਾਲੋਜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖੋ ਕਿ ਕੁਝ ਮੁੱਲ ਹੱਥੀਂ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਨੂੰ ਮੁਸ਼ਕਲ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਉਪਯੋਗਤਾਵਾਂ ਦਾ ਲਾਭ ਲੈ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹੋਏ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 6 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਇਹ ਲੱਗਦਾ ਹੈ ਕਿ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ x=−3,−2, ਅਤੇ 1 'ਤੇ ਹਨ। x=−3,−2, ਅਤੇ 1 'ਤੇ ਹਨ।
ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ x ਲਈ ਬਦਲ ਕੇ ਅਤੇ ਇਹ ਤਸਦੀਕ ਕਰਕੇ ਜਾਂਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
ਕਿਉਂਕਿ h(x)= x 3 +4 x 2 +x−6, h(x)= x 3 +4 x 2 +x−6, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ:
ਹਰੇਕ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਇੱਕ ਸਿਫਰ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਸਿਫਰ ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਬਹੁਪਦ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
f(x)= x 4 −19 x 2 +30x ਦੇ y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਅਤੇ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭੋ। f(x)= x 4 −19 x 2 +30x ਦੇ y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਅਤੇ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭੋ।
ਸਿਫਰਾਂ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਗੁਣਨਤਾਵਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ
ਗ੍ਰਾਫ ਵੱਖ-ਵੱਖ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ 'ਤੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਵਿਵਹਾਰ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਕਦੇ-ਕਦੇ, ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਅੰਤਰ-ਖੰਡ 'ਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਪਾਰ ਕਰੇਗਾ। ਹੋਰ ਸਮਿਆਂ 'ਤੇ, ਗ੍ਰਾਫ ਖਿਤਿਜੀ ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਛੂਹੇਗਾ ਅਤੇ ਉਛਾਲ ਮਾਰੇਗਾ।
ਮੰਨ ਲਓ, ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਚਿੱਤਰ 7 ਵਿੱਚ ਦੇਖੋ ਕਿ ਹਰੇਕ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਵਿਵਹਾਰ ਵੱਖਰਾ ਹੈ। x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਵਿਵਹਾਰ ਵੱਖਰਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 7: ਸਿਫ਼ਰ ਦੀ ਗੁਣਤਾ (multiplicity) ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਕੇ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (x-intercept) ਵਿਖੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਵਿਹਾਰ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨਾ।
x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ −3, ਸਮੀਕਰਨ (x+3)=0 ਦਾ ਹੱਲ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ਼ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ 'ਤੇ x=−3 ਵਿਖੇ ਸਿੱਧਾ ਲੰਘਦਾ ਹੈ। ਗੁਣਕ ਰੇਖੀ (ਇੱਕ ਡਿਗਰੀ ਦਾ) ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਨੇੜੇ ਵਿਹਾਰ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਵਰਗਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ—ਇਹ ਸਿੱਧਾ ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਸਿਫ਼ਰ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿਉਂਕਿ ਸਿਫ਼ਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ।
x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ 2, ਸਮੀਕਰਨ (x−2)^2 =0 ਦਾ ਦੁਹਰਾਇਆ ਗਿਆ ਹੱਲ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ਼ ਅੰਤਰ-ਖੰਡ 'ਤੇ ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਛੂੰਹਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਬਦਲਦਾ ਹੈ। ਗੁਣਕ ਦੋਘਾਤੀ (ਡਿਗਰੀ 2) ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਨੇੜੇ ਵਿਹਾਰ ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਵਰਗਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ—ਇਹ ਅੰਤਰ-ਖੰਡ 'ਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਉਛਲਦਾ ਹੈ।
ਗੁਣਕ ਦੁਹਰਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਭਾਵ, ਗੁਣਕ (x−2) ਦੋ ਵਾਰ ਆਉਂਦਾ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਬਹੁਪਦੀ (polynomial) ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਗੁਣਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਗੁਣਕ ਕਿੰਨੀ ਵਾਰ ਆਉਂਦਾ ਹੈ, ਇਸਨੂੰ ਗੁਣਤਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਸਿਫ਼ਰ, x=2, ਦੀ ਗੁਣਤਾ 2 ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਗੁਣਕ (x−2) ਦੋ ਵਾਰ ਆਉਂਦਾ ਹੈ।
x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ −1, ਗੁਣਕ (x+1)^3 =0 ਦਾ ਦੁਹਰਾਇਆ ਗਿਆ ਹੱਲ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ਼ ਅੰਤਰ-ਖੰਡ 'ਤੇ ਧੁਰੇ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਪਹਿਲਾਂ ਥੋੜ੍ਹਾ ਜਿਹਾ ਸਮਤਲ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਗੁਣਕ ਤਿੰਨਘਾਤੀ (ਡਿਗਰੀ 3) ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਨੇੜੇ ਵਿਹਾਰ ਇੱਕ ਤਿੰਨਘਾਤੀ ਵਰਗਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ—ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਨੇੜੇ ਉਹੀ S-ਆਕਾਰ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਟੂਲਕਿੱਟ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=x^3 ਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਗੁਣੀ ਸਿਫ਼ਰ, ਜਾਂ ਗੁਣਤਾ 3 ਵਾਲਾ ਸਿਫ਼ਰ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ।
ਸਮ ਗੁਣਤਾਵਾਂ ਵਾਲੇ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਲਈ, ਗ੍ਰਾਫ਼ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਛੂੰਹਦੇ ਹਨ ਜਾਂ ਸਪਰਸ਼ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਵਿਸ਼ਮ ਗੁਣਤਾਵਾਂ ਵਾਲੇ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਲਈ, ਗ੍ਰਾਫ਼ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਪਾਰ ਕਰਦੇ ਹਨ ਜਾਂ ਕੱਟਦੇ ਹਨ। ਗੁਣਤਾ 1, 2, ਅਤੇ 3 ਵਾਲੇ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਦੇ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਲਈ ਚਿੱਤਰ 8 ਦੇਖੋ।
ਉੱਚ ਸਮ ਘਾਤਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ 4, 6, ਅਤੇ 8, ਲਈ, ਗ੍ਰਾਫ਼ ਅਜੇ ਵੀ ਖਿਤਿਜੀ ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਛੂੰਹੇਗਾ ਅਤੇ ਉਛਲੇਗਾ, ਪਰ, ਹਰੇਕ ਵਧਦੀ ਸਮ ਘਾਤ ਲਈ, ਗ੍ਰਾਫ਼ x-ਧੁਰੇ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਅਤੇ ਛੱਡਣ ਵੇਲੇ ਵਧੇਰੇ ਸਮਤਲ ਦਿਖਾਈ ਦੇਵੇਗਾ।
ਉੱਚ ਵਿਸ਼ਮ ਘਾਤਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ 5, 7, ਅਤੇ 9, ਲਈ, ਗ੍ਰਾਫ਼ ਅਜੇ ਵੀ ਖਿਤਿਜੀ ਧੁਰੇ ਵਿੱਚੋਂ ਪਾਰ ਕਰੇਗਾ, ਪਰ ਹਰੇਕ ਵਧਦੀ ਵਿਸ਼ਮ ਘਾਤ ਲਈ, ਗ੍ਰਾਫ਼ x-ਧੁਰੇ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਅਤੇ ਛੱਡਣ ਵੇਲੇ ਵਧੇਰੇ ਸਮਤਲ ਦਿਖਾਈ ਦੇਵੇਗਾ।
x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ 'ਤੇ ਬਹੁਪਦੀਆਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ ਵਿਹਾਰ
ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਬਹੁਪਦੀ ਵਿੱਚ (x−h)^p ਰੂਪ ਦਾ ਗੁਣਕ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ x=h ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਨੇੜੇ ਵਿਹਾਰ ਘਾਤ p ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ x=h, p ਗੁਣਤਾ ਵਾਲਾ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ।
ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਸਮ ਗੁਣਤਾਵਾਂ ਵਾਲੇ ਸਿਫ਼ਰਾਂ 'ਤੇ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਛੂੰਹੇਗਾ। ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿਸ਼ਮ ਗੁਣਤਾਵਾਂ ਵਾਲੇ ਸਿਫ਼ਰਾਂ 'ਤੇ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਪਾਰ ਕਰੇਗਾ।
ਗੁਣਤਾਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਡਿਗਰੀ n ਵਾਲੇ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਗੁਣਤਾਵਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਜੇਕਰ ਗ੍ਰਾਫ਼ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਪਾਰ ਕਰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਅੰਤਰ-ਖੰਡ 'ਤੇ ਲਗਭਗ ਰੇਖੀ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ।
ਜੇਕਰ ਗ੍ਰਾਫ਼ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਛੂੰਹਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਉਛਲਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਸਮ ਗੁਣਤਾ ਵਾਲਾ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ।
ਜੇਕਰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਸਿਫ਼ਰ 'ਤੇ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਪਾਰ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਵਿਸ਼ਮ ਗੁਣਤਾ ਵਾਲਾ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ।
ਗੁਣਤਾਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ≤n ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 6
ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਗੁਣਤਾਵਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ
ਚਿੱਤਰ 9 ਵਿੱਚ ਡਿਗਰੀ 6 ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਭਾਵੀ ਗੁਣਤਾਵਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਡਿਗਰੀ n ਹੈ। ਗੁਣਤਾਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ n ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਪਹਿਲਾ ਸਿਫ਼ਰ x=−3 'ਤੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ਼ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਛੂੰਹਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸਿਫ਼ਰ ਦੀ ਗੁਣਤਾ ਸਮ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ। −3 ਸਿਫ਼ਰ ਦੀ ਗੁਣਤਾ 2 ਹੈ।
ਅਗਲਾ ਸਿਫ਼ਰ x=−1 'ਤੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ। x=−1। ਗ੍ਰਾਫ਼ ਇਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਲਗਭਗ ਰੇਖੀ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਗੁਣਨਖੰਡ 1 ਦਾ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ।
ਆਖਰੀ ਸਿਫ਼ਰ x=4 'ਤੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ। x=4। ਗ੍ਰਾਫ਼ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸਿਫ਼ਰ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਜ਼ਰੂਰ ਇੱਕ ਟਾਂਕ ਸੰਖਿਆ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਗੁਣਨਖੰਡ ਸੰਭਵ ਤੌਰ 'ਤੇ 3 ਹੈ ਅਤੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਸੰਭਵ ਤੌਰ 'ਤੇ 6 ਹੈ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ #2
ਚਿੱਤਰ 10 ਵਿੱਚ ਡਿਗਰੀ 9 ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਸਿੱਖ ਚੁੱਕੇ ਹਾਂ, ਫਾਰਮ ਦੇ ਇੱਕ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਵਿਵਹਾਰ
ਜਾਂ ਤਾਂ ਅੰਤ ਵਿੱਚ ਵਧੇਗਾ ਜਾਂ ਘਟੇਗਾ ਜਿਵੇਂ ਕਿ x ਬੇਅੰਤ ਤੱਕ ਵਧਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਜਾਂ ਤਾਂ ਵਧੇਗਾ ਜਾਂ ਘਟੇਗਾ ਜਿਵੇਂ ਕਿ x ਬੇਅੰਤ ਤੱਕ ਘਟਦਾ ਹੈ। ਅਜਿਹਾ ਇਸ ਲਈ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਬਹੁਤ ਵੱਡੇ ਇਨਪੁਟਸ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ 100 ਜਾਂ 1,000, ਲਈ, ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਪਦ ਆਉਟਪੁੱਟ ਦੇ ਆਕਾਰ 'ਤੇ ਹਾਵੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਬਹੁਤ ਛੋਟੇ ਇਨਪੁਟਸ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ –100 ਜਾਂ –1,000, ਲਈ ਵੀ ਇਹੀ ਸੱਚ ਹੈ।
ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇਸ ਵਿਵਹਾਰ ਨੂੰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਬਾਰੇ ਚਰਚਾ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਦੱਸਿਆ ਸੀ, ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਪਦ, a n x n , ਇੱਕ ਸਮ ਪਾਵਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ x ਬੇਅੰਤ ਤੱਕ ਵਧਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਘਟਦਾ ਹੈ, f(x) ਬੇਅੰਤ ਤੱਕ ਵਧਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਪਦ ਇੱਕ ਟਾਂਕ ਪਾਵਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ x ਬੇਅੰਤ ਤੱਕ ਘਟਦਾ ਹੈ, f(x) ਵੀ ਬੇਅੰਤ ਤੱਕ ਘਟਦਾ ਹੈ; ਜਿਵੇਂ ਕਿ x ਬੇਅੰਤ ਤੱਕ ਵਧਦਾ ਹੈ, f(x) ਵੀ ਬੇਅੰਤ ਤੱਕ ਵਧਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਪਦ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਬਦਲ ਦੇਵੇਗਾ। ਚਿੱਤਰ 11 ਸਾਰੇ ਚਾਰ ਮਾਮਲਿਆਂ ਦਾ ਸਾਰ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਡਿਗਰੀ ਅਤੇ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਨੂੰ ਸਮਝਣਾ
ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਥਾਨਕ ਵਿਵਹਾਰ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਧਣ ਤੋਂ ਘਟਣ (ਉੱਪਰ ਜਾਣ ਤੋਂ ਹੇਠਾਂ ਜਾਣ) ਜਾਂ ਘਟਣ ਤੋਂ ਵਧਣ (ਹੇਠਾਂ ਜਾਣ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਜਾਣ) ਵਿੱਚ ਬਦਲਦਾ ਹੈ। ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= x 4 − x 3 −4 x 2 +4x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਚਿੱਤਰ 12 ਵਿੱਚ ਦੇਖੋ। ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂ ਹਨ।
ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਇੱਕ 4ਵੀਂ ਡਿਗਰੀ ਦਾ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਵਿੱਚ 3 ਮੋੜ ਬਿੰਦੂ ਹਨ। ਇੱਕ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸੰਖਿਆ ਹਮੇਸ਼ਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਤੋਂ ਇੱਕ ਘੱਟ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਮੋੜ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ
ਇੱਕ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਧਣ ਤੋਂ ਘਟਣ (ਉੱਪਰ ਜਾਣ ਤੋਂ ਹੇਠਾਂ ਜਾਣ) ਜਾਂ ਘਟਣ ਤੋਂ ਵਧਣ (ਹੇਠਾਂ ਜਾਣ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਜਾਣ) ਵਿੱਚ ਬਦਲਦਾ ਹੈ।
ਡਿਗਰੀ n ਦਾ ਇੱਕ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਵਿੱਚ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ n−1 ਮੋੜ ਬਿੰਦੂ ਹੋਣਗੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 7
ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸੰਖਿਆ ਲੱਭਣਾ
ਹਰੇਕ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸੰਖਿਆ ਲੱਭੋ।
ⓐ f(x)=− x 3 +4 x 5 −3 x 2 +1
ⓑ f(x)=− ( x−1 ) 2 ( 1+2 x 2 )
ਹੱਲ
ⓐ f(x)=−x + 3 4 x 5 −3 x 2 +1 ਪਹਿਲਾਂ, ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਘਟਦੇ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ: f(x)=4 x 5 − x 3 −3 x 2 +1 ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ। ਇਹ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਡਿਗਰੀ 5 ਦਾ ਹੈ। ਮੋੜ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸੰਖਿਆ 5−1=4 ਹੈ।
ⓑ f(x)=− ( x−1 ) 2 ( 1+2 x 2 )
ਪਹਿਲਾਂ, ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਪਦ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਜੇਕਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੁੰਦਾ।
ਫਿਰ, ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ। ਇਹ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਡਿਗਰੀ 4 ਦਾ ਹੈ।
ਮੋੜ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਅਧਿਕਤਮ ਗਿਣਤੀ 4−1=3 ਹੈ। 4−1=3।
ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
ਅਸੀਂ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ, ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਅਤੇ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂਆਂ ਬਾਰੇ ਜੋ ਸਿੱਖਿਆ ਹੈ, ਉਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਆਓ ਇਸ ਸਭ ਨੂੰ ਇਕੱਠਾ ਕਰੀਏ ਅਤੇ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੇ ਕਦਮਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖੀਏ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ (intercepts) ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
ਸਮਰੂਪਤਾ (symmetry) ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਸਮ ਫੰਕਸ਼ਨ (even function) ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਦਾ ਗ੍ਰਾਫ y-y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਬਾਰੇ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਭਾਵ, f( −x )=f( x )। f( −x )=f( x )। ਜੇਕਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ਮ ਫੰਕਸ਼ਨ (odd function) ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ (origin) ਦੇ ਬਾਰੇ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਭਾਵ, f( −x )=−f( x )। f( −x )=−f( x )।
x-x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ 'ਤੇ ਬਹੁਪਦੀ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸਿਫਰਾਂ (zeros) ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ (multiplicities) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਮੁੱਖ ਪਦ (leading term) ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਕੇ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ (end behavior) ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਅਤੇ ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ 'ਤੇ ਵਿਵਹਾਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਓ ਕਿ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਬਹੁਪਦੀ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਤੋਂ ਇੱਕ ਘੱਟ ਤੋਂ ਵੱਧ ਨਾ ਹੋਵੇ।
ਵਿਕਲਪਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਲਈ ਤਕਨਾਲੋਜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 8
ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
f(x)=−2 (x+3) 2 (x−5) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। f(x)=−2 (x+3) 2 (x−5)।
ਹੱਲ
ਇਸ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਦੋ x-x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਹਨ। x=−3, x=−3 'ਤੇ, ਗੁਣਨਖੰਡ ਵਰਗ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਗੁਣਨਖੰਡ ਦੀ ਗਿਣਤੀ 2 ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ ਇਸ x-x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ 'ਤੇ ਉਛਾਲ (bounce) ਕਰੇਗਾ। x=5, x=5 'ਤੇ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਗੁਣਨਖੰਡ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਇੱਕ ਹੈ, ਜੋ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ ਇਸ ਅੰਤਰ-ਖੰਡ 'ਤੇ ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਪਾਰ (cross) ਕਰੇਗਾ।
y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ f(0) ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਕੇ ਪਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। f(0)।
y-y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (0,90) ਹੈ। (0,90)।
ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜੇਕਰ ਇਸ ਬਹੁਪਦੀ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ, ਤਾਂ ਮੁੱਖ ਪਦ −2 x 3 , −2 x 3 ਹੁੰਦਾ, ਇਸ ਲਈ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਇੱਕ ਲੰਬਵਤ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਤ ਘਣ (vertically reflected cubic) ਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਆਉਟਪੁੱਟ ਵਧਦੇ ਇਨਪੁੱਟ ਦੇ ਨਾਲ ਘਟਦੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਘਟਦੇ ਇਨਪੁੱਟ ਦੇ ਨਾਲ ਵਧਦੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਚਿੱਤਰ 13 ਦੇਖੋ।
ਇਸ ਨੂੰ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ:
ਜਿਵੇਂ x→−∞ x→−∞, ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)→∞, f(x)→∞, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ ਦੂਜੇ ਚਤੁਰਭਾਗ (second quadrant) ਵਿੱਚ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ x-x-ਧੁਰੇ ਵੱਲ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ।
ਕਿਉਂਕਿ f( −x )=−2 ( −x+3 ) 2 ( −x–5 ) f( −x )=−2 ( −x+3 ) 2 ( −x–5 ) f( x ) ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹੈ, f( x ), ਗ੍ਰਾਫ ਕੋਈ ਸਮਰੂਪਤਾ ਨਹੀਂ ਦਿਖਾਉਂਦਾ।
( −3,0 ), ( −3,0 ) 'ਤੇ, ਗ੍ਰਾਫ x-x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਉਛਾਲ ਮਾਰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਵਧਣਾ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ( 0,90 ), ( 0,90 ) 'ਤੇ, ਗ੍ਰਾਫ y-y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ 'ਤੇ y-y-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਪਾਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 14 ਦੇਖੋ।
ਕਿਤੇ ਇਸ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਮੁੜਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਖਿਤਿਜੀ ਧੁਰੇ ਵੱਲ ਘਟਣਾ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਗ੍ਰਾਫ ਅਗਲੇ ਇੰਟਰਸੈਕਟ (5,0) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ। (5,0)। ਚਿੱਤਰ 15 ਦੇਖੋ।
ਜਿਵੇਂ ਕਿ x→∞, ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)→−∞, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ ਘਟਦਾ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਚੌਥੇ ਚਤੁਰਭੁਜ ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ ਬੰਦ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਟੈਕਨੋਲੋਜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 16 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ ਤਸਦੀਕ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਗ੍ਰਾਫ ਸਾਡੇ ਚਿੱਤਰ 15 ਵਿੱਚਲੇ ਸਕੈਚ ਵਰਗਾ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 16: ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=−2 (x+3) 2 (x−5) ਦਾ ਪੂਰਾ ਗ੍ਰਾਫ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
f(x)= 1 4 x (x−1) 4 (x+3) 3 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਮੱਧਵਰਤੀ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ
ਕੁਝ ਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਤੇ ਦੋ ਬਿੰਦੂ ਜਾਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਪਰ ਜ਼ੀਰੋ ਨਹੀਂ। ਜੇਕਰ ਉਹ ਦੋ ਬਿੰਦੂ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਉਲਟ ਪਾਸੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਜ਼ੀਰੋ ਹੈ। ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ f 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਜਿਸਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਨਿਰਵਿਘਨ ਅਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ। ਮੱਧਵਰਤੀ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ f ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਦੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ a ਅਤੇ b ਲਈ, ਜੇਕਰ a<b ਅਤੇ f(a)≠f(b), ਤਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ f, f(a) ਅਤੇ f(b) ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹਰ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਗ੍ਰਹਿਣ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਨੂੰ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੇਸ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਵਿੱਚ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੈ। ਜੇਕਰ x=a 'ਤੇ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਉੱਪਰ ਪਿਆ ਹੈ ਅਤੇ x=b 'ਤੇ ਇੱਕ ਹੋਰ ਬਿੰਦੂ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਪਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ x=a ਅਤੇ x=b ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਤੀਜਾ ਬਿੰਦੂ ਜ਼ਰੂਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਗ੍ਰਾਫ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ (c, f(c)) ਕਹੋ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਸਾਨੂੰ ਯਕੀਨ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਹੱਲ c ਹੈ ਜਿੱਥੇ f(c)=0।
ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਮੱਧਵਰਤੀ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਮੇਯ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਮੁੱਲ ਤੋਂ ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਮੁੱਲ ਵਿੱਚ ਬਦਲਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਕੱਟਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 17 ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ a ਅਤੇ b ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਜ਼ੀਰੋ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 17: ਇੱਕ ਜ਼ੀਰੋ ਦੇ ਮੌਜੂਦ ਹੋਣ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਮੱਧਵਰਤੀ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ।
ਮੱਧਵਰਤੀ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਮੰਨ ਲਓ f ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ [a, b] ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਬੋਲਜ਼ਾਨੋ ਦਾ ਪ੍ਰਮੇਯ (ਮੱਧਵਰਤੀ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦਾ ਇੱਕ ਸਿੱਟਾ) ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ f(a) ਅਤੇ f(b) ਦੇ ਉਲਟ ਚਿੰਨ੍ਹ ਹਨ, ਤਾਂ a ਅਤੇ b ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਮੁੱਲ c ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ f(c)=0।
ਉਦਾਹਰਨ 9
ਮੱਧਵਰਤੀ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= x 3 −5 x 2 +3x+6 ਕੋਲ x=1 ਅਤੇ x=4 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਦੋ ਅਸਲ ਜ਼ੀਰੋ ਹਨ।
ਹੱਲ
ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਵਜੋਂ, ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਮੁੱਲਾਂ x=1,2,3, ਅਤੇ 4 'ਤੇ f(x) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਸਾਰਣੀ 2 ਦੇਖੋ।
ਸਾਰਣੀ: x | 1 | 2 | 3 | 4
ਸਾਰਣੀ: f(x) | 5 | 0 | –3 | 2
ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਜ਼ੀਰੋ x=2 'ਤੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਨਾਲ ਹੀ, ਕਿਉਂਕਿ f(3) ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ ਅਤੇ f(4) ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਮੱਧਵਰਤੀ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੁਆਰਾ, 3 ਅਤੇ 4 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਅਸਲ ਜ਼ੀਰੋ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਇਆ ਹੈ ਕਿ x=1 ਅਤੇ x=4 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਦੋ ਅਸਲ ਜ਼ੀਰੋ ਹਨ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 18 ਵਿੱਚ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਤੇ ਇਹ ਵੀ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ x=1 ਅਤੇ x=4 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦੋ ਅਸਲ ਜ਼ੀਰੋ ਹਨ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
ਇਹ ਦਰਸਾਓ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=7 x 5 −9 x 4 − x 2 ਦਾ x=1 ਅਤੇ x=2 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਅਸਲ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ।
ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਲਿਖਣਾ
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਲੱਭਣੇ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਲਿਖਣ ਲਈ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਉਂਕਿ ਫੈਕਟਰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਰੱਖੇਗਾ ਜਿੱਥੇ ਹਰੇਕ ਫੈਕਟਰ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੋ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਸੈੱਟ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘੇਗਾ ਜਿਸ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਫੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸੈੱਟ ਪੇਸ਼ ਕੀਤਾ ਜਾਵੇਗਾ।
ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਦਾ ਫੈਕਟਰਡ ਰੂਪ
ਜੇਕਰ ਡਿਗਰੀ p ਦਾ ਇੱਕ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਜੋ ਸਖ਼ਤੀ ਨਾਲ ਰੇਖੀ ਫੈਕਟਰਾਂ ਵਿੱਚ ਫੈਕਟਰ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਦੇ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਇੰਟਰਸੈਪਟ x= x 1 , x 2 ,…, x n 'ਤੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਨੂੰ ਫੈਕਟਰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ: f(x)=a (x− x 1 ) p 1 (x− x 2 ) p 2 ⋯ (x− x n ) p n ਜਿੱਥੇ ਹਰੇਕ ਫੈਕਟਰ 'ਤੇ ਘਾਤ p i ਨੂੰ ਸੰਬੰਧਿਤ ਇੰਟਰਸੈਪਟ 'ਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਖਿੱਚਣ ਵਾਲਾ ਫੈਕਟਰ a ਨੂੰ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ।
ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਦੇ ਫੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਹਰੇਕ ਫੈਕਟਰ ਦੀ ਗੁਣਨਖੰਡਤਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟਾਂ 'ਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
ਪਿਛਲੇ ਪੜਾਅ ਵਿੱਚ ਲੱਭੇ ਗਏ ਸਾਰੇ ਫੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਡਿਗਰੀ ਦੇ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਨੂੰ ਲੱਭੋ।
ਖਿੱਚਣ ਵਾਲੇ ਫੈਕਟਰ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ਼ 'ਤੇ ਕੋਈ ਹੋਰ ਬਿੰਦੂ (y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਸਭ ਤੋਂ ਆਸਾਨ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 10
ਗ੍ਰਾਫ਼ ਤੋਂ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖਣਾ
ਚਿੱਤਰ 19 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ।
ਹੱਲ
ਇਸ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਤਿੰਨ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਹਨ: x=−3, 2, ਅਤੇ 5। y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ (0,−2) 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ। x=−3 ਅਤੇ x=5 'ਤੇ, ਗ੍ਰਾਫ਼ ਅਕਸ਼ਾਂਸ਼ ਦੇ ਨਾਲ ਰੇਖੀ ਢੰਗ ਨਾਲ ਲੰਘਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਦੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਫੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਰੇਖੀ ਹੋਣ ਦਾ ਸੁਝਾਅ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। x=2 'ਤੇ, ਗ੍ਰਾਫ਼ ਇੰਟਰਸੈਪਟ 'ਤੇ ਉਛਲਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਦੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਫੈਕਟਰ ਦੇ ਦੂਜੇ ਡਿਗਰੀ (ਕਵਾਡ੍ਰੈਟਿਕ) ਹੋਣ ਦਾ ਸੁਝਾਅ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇਕੱਠੇ, ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਦਿੰਦਾ ਹੈ
ਖਿੱਚਣ ਵਾਲੇ ਫੈਕਟਰ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ 'ਤੇ ਇੱਕ ਹੋਰ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ a ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ (0,–2) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
ਗ੍ਰਾਫ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= 1 30 (x+3) (x−2) 2 (x−5) ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5
ਚਿੱਤਰ 20 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ।
ਸਥਾਨਕ ਅਤੇ ਗਲੋਬਲ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਕਵਾਡ੍ਰੈਟਿਕਸ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਵਰਟੈਕਸ ਲੱਭ ਕੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਲੱਭਣ ਦੇ ਯੋਗ ਸੀ। ਆਮ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਲਈ, ਇਹਨਾਂ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ ਕੈਲਕੂਲਸ ਤੋਂ ਵਧੇਰੇ ਉੱਨਤ ਤਕਨੀਕਾਂ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ ਸੰਭਵ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇੱਥੋਂ ਤੱਕ ਕਿ ਉਦੋਂ ਵੀ, ਇਹ ਲੱਭਣਾ ਕਿ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਾ ਕਿੱਥੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ, ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਚੁਣੌਤੀਪੂਰਨ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਫਿਲਹਾਲ, ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਤਿਆਰ ਕਰਨ ਲਈ ਤਕਨਾਲੋਜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਸਥਾਨਾਂ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਵਾਂਗੇ।
ਹਰੇਕ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਜਾਂ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਕਈ ਵਾਰ, ਇੱਕ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂ ਪੂਰੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਚਾ ਜਾਂ ਸਭ ਤੋਂ ਨੀਵਾਂ ਬਿੰਦੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂ ਇੱਕ ਗਲੋਬਲ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਇੱਕ ਗਲੋਬਲ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਨਿਰਪੇਖ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਅਤੇ ਨਿਰਪੇਖ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਮੁੱਲਾਂ ਵਜੋਂ ਵੀ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਸਥਾਨਕ ਅਤੇ ਗਲੋਬਲ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਾ
1. ਕਿਸੇ ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ x=a ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ, ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਚੇ ਜਾਂ ਸਭ ਤੋਂ ਨੀਵੇਂ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਣ ਵਾਲਾ ਮੁੱਲ, x=a 'ਤੇ ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਸਥਾਨਕ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ (ਜਿਸਨੂੰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ) ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ a 'ਤੇ ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੈ, ਤਾਂ a ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ x ਲਈ f(a)≥f(x) ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ a 'ਤੇ ਸਥਾਨਕ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੈ, ਤਾਂ a ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ x ਲਈ f(a)≤f(x) ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
2. ਕੋਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਚਾ ਜਾਂ ਸਭ ਤੋਂ ਨੀਵਾਂ ਬਿੰਦੂ ਗਲੋਬਲ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਗਲੋਬਲ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ a 'ਤੇ ਗਲੋਬਲ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਰੇ x ਲਈ f(a)≥f(x) ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ a 'ਤੇ ਗਲੋਬਲ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਰੇ x ਲਈ f(a)≤f(x) ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
3. ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 21 ਵਿੱਚ ਸਥਾਨਕ ਅਤੇ ਗਲੋਬਲ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਾ ਵਿਚਕਾਰ ਅੰਤਰ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
Q&A
4. ਕੀ ਸਾਰੇ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗਲੋਬਲ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਜਾਂ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੁੰਦਾ ਹੈ?
5. ਨਹੀਂ। ਸਿਰਫ਼ ਸਮ ਡਿਗਰੀ ਵਾਲੇ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਹੀ ਗਲੋਬਲ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਜਾਂ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, f(x)=x ਦਾ ਨਾ ਤਾਂ ਕੋਈ ਗਲੋਬਲ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੈ ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ ਕੋਈ ਗਲੋਬਲ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ।
6. ਉਦਾਹਰਨ 11
7. ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸਥਾਨਕ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
8. ਪਲਾਸਟਿਕ ਦੀ 14 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਬਾਈ 20 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਸ਼ੀਟ ਦੇ ਹਰੇਕ ਕੋਨੇ ਤੋਂ ਵਰਗ ਕੱਟ ਕੇ ਅਤੇ ਫਿਰ ਪਾਸੇ ਫੋਲਡ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਖੁੱਲ੍ਹੇ-ਤਲ ਵਾਲਾ ਬਾਕਸ ਬਣਾਉਣਾ ਹੈ। ਬਾਕਸ ਦੁਆਰਾ ਘੇਰੀ ਗਈ ਆਇਤਨ ਨੂੰ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿਹੜੇ ਆਕਾਰ ਦੇ ਵਰਗ ਕੱਟੇ ਜਾਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ, ਇਹ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
9. ਹੱਲ
10. ਅਸੀਂ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਕੱਟੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਵਰਗਾਂ ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਨੂੰ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ, w, ਨਾਲ ਲੇਬਲ ਕਰਕੇ, ਚਿੱਤਰ 22 ਵਰਗਾ ਇੱਕ ਚਿੱਤਰ ਬਣਾ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਾਂਗੇ।
11. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਹਰੇਕ ਸਿਰੇ ਤੋਂ ਇੱਕ ਵਰਗ ਕੱਟਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਇਹ ਬਾਕਸ ਦੇ ਤਲ ਲਈ (14−2w) ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਬਾਈ (20−2w) ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਦਾ ਆਇਤਾਕਾਰ ਛੱਡ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਬਾਕਸ w ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਉੱਚਾ ਹੋਵੇਗਾ। ਇਹ ਆਇਤਨ ਦਿੰਦਾ ਹੈ
12. ਨੋਟ ਕਰੋ, ਕਿਉਂਕਿ ਗੁਣਕ w, 20–2w ਅਤੇ 14–2w ਹਨ, ਤਿੰਨ ਜ਼ੀਰੋ ਕ੍ਰਮਵਾਰ 10, 7, ਅਤੇ 0 ਹਨ। ਕਿਉਂਕਿ 0 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਦੀ ਉਚਾਈ ਵਾਜਬ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ ਜ਼ੀਰੋ 10 ਅਤੇ 7 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟੀ ਭੁਜਾ 14 ਹੈ ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਦੋ ਵਰਗ ਕੱਟ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਇਸ ਲਈ w ਦੇ ਮੁੱਲ ਜ਼ੀਰੋ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ 7 ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ 0<w<7 ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਕਰਾਂਗੇ। ਇਸ ਵਾਜਬ ਡੋਮੇਨ 'ਤੇ V(w) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਸਕੈਚ ਕਰਨ ਲਈ ਤਕਨਾਲੋਜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਨੂੰ ਚਿੱਤਰ 23 ਵਰਗਾ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਲਈ ਵਾਜਬ ਮੁੱਲਾਂ—0 ਤੋਂ 7 ਤੱਕ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ—ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਆਇਤਨ ਲਈ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
13. ਇਸ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਆਪਣਾ ਧਿਆਨ ਸਿਰਫ ਵਾਜਬ ਡੋਮੇਨ, [0,7] 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਭਗ 340 ਘਣ ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਉਦੋਂ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਵਰਗ ਲਗਭਗ 2.75 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਪ੍ਰਤੀ ਪਾਸੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਅੰਦਾਜ਼ੇ ਨੂੰ ਬਿਹਤਰ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਉਪਲਬਧ ਹੋਣ 'ਤੇ ਆਪਣੀ ਤਕਨਾਲੋਜੀ ਦੀਆਂ ਉੱਨਤ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਾਂ ਚਿੱਤਰ 24 ਤਿਆਰ ਕਰਨ ਲਈ ਆਪਣੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਜ਼ੂਮ ਇਨ ਕਰਨ ਲਈ ਆਪਣੀ ਵਿੰਡੋ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
14. ਇਸ ਜ਼ੂਮ-ਇਨ ਦ੍ਰਿਸ਼ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਆਇਤਨ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਭਗ 339 ਘਣ ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਤੱਕ ਸੁਧਾਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਦੋਂ ਵਰਗ ਲਗਭਗ 2.7 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਪ੍ਰਤੀ ਪਾਸੇ ਮਾਪਦੇ ਹਨ।
15. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #6
16. ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=−0.2 (x−2)³ (x+1)² (x−4) ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ [−1,4] 'ਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਅਤੇ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਤਕਨਾਲੋਜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
17. ਮੀਡੀਆ
18. ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
19. ਇੰਟਰਮੀਡੀਏਟ ਵੈਲਿਊ ਥਿਊਰਮ
20. ਸ਼ਬਦਕ
21. ਕਿਸੇ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦੇ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਅਤੇ ਜ਼ੀਰੋ ਵਿੱਚ ਕੀ ਅੰਤਰ ਹੈ?
22. ਜੇਕਰ ਡਿਗਰੀ n ਵਾਲੇ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ n ਵੱਖ-ਵੱਖ ਜ਼ੀਰੋ ਹਨ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਾਰੇ ਕੀ ਜਾਣਦੇ ਹੋ?
23. ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਇੰਟਰਮੀਡੀਏਟ ਵੈਲਿਊ ਥਿਊਰਮ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਜ਼ੀਰੋ ਲੱਭਣ ਵਿੱਚ ਕਿਵੇਂ ਸਹਾਇਤਾ ਕਰ ਸਕਦੀ ਹੈ।
24. ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਦਾ ਫੈਕਟਰਡ ਰੂਪ ਇਸਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਕਿਵੇਂ ਮਦਦ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਬਹੁਪਦ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਕੇਵਲ ਛੂੰਹਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਫਿਰ ਦਿਸ਼ਾ ਬਦਲਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਬਹੁਪਦ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਰੂਪ ਬਾਰੇ ਕੀ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢ ਸਕਦੇ ਹਾਂ?
ਬੀਜਗਣਿਤ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ x- ਜਾਂ t-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਪਤਾ ਕਰੋ।
C( t )=2( t−4 )( t+1 )(t−6)
C( t )=3( t+2 )( t−3 )(t+5)
C( t )=4t ( t−2 ) 2 (t+1)
C( t )=2t( t−3 ) ( t+1 ) 2
C( t )=2 t 4 −8 t 3 +6 t 2
C( t )=4 t 4 +12 t 3 −40 t 2
f(x)= x 4 − x 2
f(x)= x 3 + x 2 −20x
f(x)= x 3 +6 x 2 −7x
f(x)= x 3 + x 2 −4x−4
f(x)= x 3 +2 x 2 −9x−18
f(x)=2 x 3 − x 2 −8x+4
f(x)= x 6 −7 x 3 −8
f(x)=2 x 4 +6 x 2 −8
f(x)= x 3 −3 x 2 −x+3
f(x)= x 6 −2 x 4 −3 x 2
f(x)= x 6 −3 x 4 −4 x 2
f(x)= x 5 −5 x 3 +4x
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਇੰਟਰਮੀਡੀਏਟ ਵੈਲਿਊ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੋ ਕਿ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਹੁਪਦ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅੰਤਰਾਲ ਦੇ ਅੰਦਰ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ।
f(x)= x 3 −9x, x=−4 ਅਤੇ x=−2 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ।
f(x)= x 3 −9x, x=2 ਅਤੇ x=4 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ।
f(x)= x 5 −2x, x=1 ਅਤੇ x=2 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ।
f(x)=− x 4 +4, x=1 ਅਤੇ x=3 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ।
f(x)=−2 x 3 −x, x=–1 ਅਤੇ x=1 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ।
f(x)= x 3 −100x+2, x=0.01 ਅਤੇ x=0.1 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ।
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਸਿਫ਼ਰ ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਦੀ ਗੁਣਨਤਾ ਦੱਸੋ।
f(x)= ( x+2 ) 3 ( x−3 ) 2
f(x)= x 2 ( 2x+3 ) 5 ( x−4 ) 2
f(x)= x 3 ( x−1 ) 3 ( x+2 )
f(x)= x 2 ( x 2 +4x+4 )
f(x)= ( 2x+1 ) 3 ( 9 x 2 −6x+1 )
f(x)= ( 3x+2 ) 5 ( x 2 −10x+25 )
f(x)=x( 4 x 2 −12x+9 )( x 2 +8x+16 )
f(x)= x 6 − x 5 −2 x 4
f(x)=3 x 4 +6 x 3 +3 x 2
f(x)=4 x 5 −12 x 4 +9 x 3
f(x)=2 x 4 ( x 3 −4 x 2 +4x )
f(x)=4 x 4 ( 9 x 4 −12 x 3 +4 x 2 )
ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। x- ਅਤੇ y- ਇੰਟਰਸੈਪਟ, ਗੁਣਨਤਾ, ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਨੂੰ ਨੋਟ ਕਰੋ।
f( x )= ( x+3 ) 2 (x−2)
g( x )=( x+4 ) ( x−1 ) 2
h( x )= ( x−1 ) 3 ( x+3 ) 2
k( x )= ( x−3 ) 3 ( x−2 ) 2
m( x )=−2x( x−1 )(x+3)
n( x )=−3x( x+2 )(x−4)
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਡਿਗਰੀ ਦੇ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖਣ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਜ਼ੀਰੋ ਅਤੇ ਗੁਣਨਖੰਡਤਾ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਬਹੁਪਦੀ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਾਰੇ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।
ਡਿਗਰੀ 3। ਜ਼ੀਰੋ x=–2, x=–2, x=1, x=1, ਅਤੇ x=3। y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ (0,–4) 'ਤੇ।
ਡਿਗਰੀ 3। ਜ਼ੀਰੋ x=–5, x=–5, x=–2, x=–2, ਅਤੇ x=1। y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ (0,6) 'ਤੇ।
ਡਿਗਰੀ 5। ਗੁਣਨਖੰਡਤਾ 2 ਦੇ ਨਾਲ ਰੂਟ x=3 ਅਤੇ x=1, ਅਤੇ ਗੁਣਨਖੰਡਤਾ 1 ਦੇ ਨਾਲ ਇੱਕ ਰੂਟ x=–3। y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ (0,9) 'ਤੇ।
ਡਿਗਰੀ 4। ਗੁਣਨਖੰਡਤਾ 2 ਦੇ ਨਾਲ ਰੂਟ x=4, ਅਤੇ ਗੁਣਨਖੰਡਤਾ 1 ਦੇ ਨਾਲ ਰੂਟ x=1 ਅਤੇ x=–2। y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ (0,–3) 'ਤੇ।
ਡਿਗਰੀ 5। x=1 'ਤੇ ਦੋਹਰਾ ਜ਼ੀਰੋ, ਅਤੇ x=3 'ਤੇ ਤੀਹਰਾ ਜ਼ੀਰੋ। ਬਿੰਦੂ (2,15) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ।
ਡਿਗਰੀ 3। ਜ਼ੀਰੋ x=4, x=3, ਅਤੇ x=2। y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ (0,–24) 'ਤੇ।
ਡਿਗਰੀ 3। ਜ਼ੀਰੋ x=–3, x=–2 ਅਤੇ x=1। y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ (0,12) 'ਤੇ।
ਡਿਗਰੀ 5। ਗੁਣਨਖੰਡਤਾ 2 ਦੇ ਨਾਲ ਰੂਟ x=–3 ਅਤੇ x=2 ਅਤੇ ਗੁਣਨਖੰਡਤਾ 1 ਦੇ ਨਾਲ ਇੱਕ ਰੂਟ x=–2।
y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ (0,4) 'ਤੇ।
ਡਿਗਰੀ 4। ਗੁਣਨਖੰਡਤਾ 2 ਦੇ ਨਾਲ ਰੂਟ x=1/2 ਅਤੇ ਗੁਣਨਖੰਡਤਾ 1 ਦੇ ਨਾਲ ਰੂਟ x=6 ਅਤੇ x=–2।
y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ (0,18) 'ਤੇ।
x=–3 'ਤੇ ਦੋਹਰਾ ਜ਼ੀਰੋ ਅਤੇ x=0 'ਤੇ ਤੀਹਰਾ ਜ਼ੀਰੋ। ਬਿੰਦੂ (1,32) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ।
ਤਕਨਾਲੋਜੀ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਸਥਾਨਕ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਅਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਗਲੋਬਲ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਅਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
f(x)= x³ −x−1
f(x)=2 x³ −3x−1
f(x)= x⁴ +x
f(x)=− x⁴ +3x−2
f(x)= x⁴ − x³ +1
ਵਿਸਥਾਰ
1. ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਲਈ, ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਡਿਗਰੀ ਦਾ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਿਖੋ।
2. ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਵਰਤੋਂਵਾਂ
3. ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਉਸ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਲਿਖੋ ਜੋ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸਥਿਤੀ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ।
4. ਇੱਕ ਆਇਤ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 10 ਇਕਾਈਆਂ ਅਤੇ ਚੌੜਾਈ 8 ਇਕਾਈਆਂ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਕੋਨੇ ਵਿੱਚੋਂ x x ਗੁਣਾ x x ਇਕਾਈਆਂ ਦੇ ਵਰਗ ਕੱਟੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਬਕਸੇ ਨੂੰ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਪਾਸੇ ਉੱਪਰ ਮੋੜੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਬਕਸੇ ਦੇ ਆਇਤਨ ਨੂੰ x ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ। x.
5. ਪਿਛਲੀ ਸਮੱਸਿਆ ਦੇ ਉਸੇ ਆਇਤ ਉੱਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਹਰੇਕ ਕੋਨੇ ਵਿੱਚੋਂ 2x 2x ਗੁਣਾ 2x 2x ਇਕਾਈਆਂ ਦੇ ਵਰਗ ਕੱਟੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਬਕਸੇ ਦੇ ਆਇਤਨ ਨੂੰ x ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ। x.
6. ਇੱਕ ਵਰਗ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ 12 ਇਕਾਈਆਂ ਹਨ। ਹਰੇਕ ਕੋਨੇ ਵਿੱਚੋਂ x+1 x+1 ਗੁਣਾ x+1 x+1 ਇਕਾਈਆਂ ਦੇ ਵਰਗ ਕੱਟੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਬਕਸੇ ਨੂੰ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਪਾਸੇ ਉੱਪਰ ਮੋੜੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਬਕਸੇ ਦੇ ਆਇਤਨ ਨੂੰ x ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ। x.
7. ਇੱਕ ਸਿਲੰਡਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ x+2 x+2 ਇਕਾਈਆਂ ਹੈ ਅਤੇ ਉਚਾਈ 3 ਇਕਾਈਆਂ ਵੱਧ ਹੈ। ਸਿਲੰਡਰ ਦੇ ਆਇਤਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
8. ਇੱਕ ਸੱਜੇ ਚੱਕਰੀ ਕੋਨ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 3x+6 3x+6 ਹੈ ਅਤੇ ਉਚਾਈ 3 ਇਕਾਈਆਂ ਘੱਟ ਹੈ। ਕੋਨ ਦੇ ਆਇਤਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ। ਕੋਨ ਦਾ ਆਇਤਨ V= 1 3 π r 2 h V= 1 3 π r 2 h ਹੈ, ਜਿੱਥੇ r ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਹੈ ਅਤੇ h ਉਚਾਈ ਹੈ। h.