Review Exercises
Simplifying and Verifying Trigonometric Identities
For the following exercises, find all solutions exactly that exist on the interval [ 0,2π ). [ 0,2π ).
csc 2 t=3 csc 2 t=3
cos 2 x= 1 4 cos 2 x= 1 4
2sinθ=−1 2sinθ=−1
tanxsinx+sin( −x )=0 tanxsinx+sin( −x )=0
9sinω−2=4 sin 2 ω 9sinω−2=4 sin 2 ω
1−2tan(ω)= tan 2 (ω) 1−2tan(ω)= tan 2 (ω)
For the following exercises, use basic identities to simplify the expression.
secxcosx+cosx− 1 secx secxcosx+cosx− 1 secx
sin 3 x+ cos 2 xsinx sin 3 x+ cos 2 xsinx
For the following exercises, determine if the given identities are equivalent.
sin 2 x+ sec 2 x−1= ( 1− cos 2 x )( 1+ cos 2 x ) cos 2 x sin 2 x+ sec 2 x−1= ( 1− cos 2 x )( 1+ cos 2 x ) cos 2 x
tan 3 x csc 2 x cot 2 xcosxsinx=1 tan 3 x csc 2 x cot 2 xcosxsinx=1
Sum and Difference Identities
For the following exercises, find the exact value.
tan( 7π 12 ) tan( 7π 12 )
cos( 25π 12 ) cos( 25π 12 )
sin( 70 ∘ )cos( 25 ∘ )−cos( 70 ∘ )sin( 25 ∘ ) sin( 70 ∘ )cos( 25 ∘ )−cos( 70 ∘ )sin( 25 ∘ )
cos( 83 ∘ )cos( 23 ∘ )+sin( 83 ∘ )sin( 23 ∘ ) cos( 83 ∘ )cos( 23 ∘ )+sin( 83 ∘ )sin( 23 ∘ )
For the following exercises, prove the identity.
cos( 4x )−cos( 3x )cosx= sin 2 x−4 cos 2 x sin 2 x cos( 4x )−cos( 3x )cosx= sin 2 x−4 cos 2 x sin 2 x
cos(3x)− cos 3 x=−cosx sin 2 x−sinxsin(2x) cos(3x)− cos 3 x=−cosx sin 2 x−sinxsin(2x)
For the following exercise, simplify the expression.
tan( 1 2 x )+tan( 1 8 x ) 1−tan( 1 8 x )tan( 1 2 x ) tan( 1 2 x )+tan( 1 8 x ) 1−tan( 1 8 x )tan( 1 2 x )
For the following exercises, find the exact value.
cos( sin −1 ( 0 )− cos −1 ( 1 2 ) ) cos( sin −1 ( 0 )− cos −1 ( 1 2 ) )
tan( sin −1 ( 0 )+ sin −1 ( 1 2 ) ) tan( sin −1 ( 0 )+ sin −1 ( 1 2 ) )
Double-Angle, Half-Angle, and Reduction Formulas
For the following exercises, find the exact value.
Find sin( 2θ ), cos( 2θ ), sin( 2θ ), cos( 2θ ), and tan( 2θ ) tan( 2θ ) given cosθ=− 1 3 cosθ=− 1 3 and θ θ is in the interval [ π 2 ,π ]. [ π 2 ,π ].
Find sin( 2θ ), cos( 2θ ), sin( 2θ ), cos( 2θ ), and tan( 2θ ) tan( 2θ ) given secθ=− 5 3 secθ=− 5 3 and θ θ is in the interval [ π 2 ,π ]. [ π 2 ,π ].
sin( 7π 8 ) sin( 7π 8 )
sec( 3π 8 ) sec( 3π 8 )
For the following exercises, use Figure 1 to find the desired quantities.
sin(2β),cos(2β),tan(2β),sin(2α),cos(2α), and tan(2α) sin(2β),cos(2β),tan(2β),sin(2α),cos(2α), and tan(2α)
sin( β 2 ),cos( β 2 ),tan( β 2 ),sin( α 2 ),cos( α 2 ), and tan( α 2 ) sin( β 2 ),cos( β 2 ),tan( β 2 ),sin( α 2 ),cos( α 2 ), and tan( α 2 )
For the following exercises, prove the identity.
2cos( 2x ) sin( 2x ) =cotx−tanx 2cos( 2x ) sin( 2x ) =cotx−tanx
cotxcos(2x)=−sin(2x)+cotx cotxcos(2x)=−sin(2x)+cotx
For the following exercises, rewrite the expression with no powers.
cos 2 x sin 4 (2x) cos 2 x sin 4 (2x)
tan 2 x sin 3 x tan 2 x sin 3 x
Sum-to-Product and Product-to-Sum Formulas
For the following exercises, evaluate the product for the given expression using a sum or difference of two functions. Write the exact answer.
cos( π 3 )sin( π 4 ) cos( π 3 )sin( π 4 )
2sin( 2π 3 )sin( 5π 6 ) 2sin( 2π 3 )sin( 5π 6 )
2cos( π 5 )cos( π 3 ) 2cos( π 5 )cos( π 3 )
For the following exercises, evaluate the sum by using a product formula. Write the exact answer.
sin( π 12 )−sin( 7π 12 ) sin( π 12 )−sin( 7π 12 )
cos( 5π 12 )+cos( 7π 12 ) cos( 5π 12 )+cos( 7π 12 )
For the following exercises, change the functions from a product to a sum or a sum to a product.
sin(9x)cos(3x) sin(9x)cos(3x)
cos(7x)cos(12x) cos(7x)cos(12x)
sin(11x)+sin(2x) sin(11x)+sin(2x)
cos(6x)+cos(5x) cos(6x)+cos(5x)
Solving Trigonometric Equations
For the following exercises, find all exact solutions on the interval [ 0,2π ). [ 0,2π ).
tanx+1=0 tanx+1=0
2sin(2x)+ 2 =0 2sin(2x)+ 2 =0
For the following exercises, find all exact solutions on the interval [ 0,2π ). [ 0,2π ).
2 sin 2 x−sinx=0 2 sin 2 x−sinx=0
cos 2 x−cosx−1=0 cos 2 x−cosx−1=0
2 sin 2 x+5sinx+3=0 2 sin 2 x+5sinx+3=0
cosx−5sin( 2x )=0 cosx−5sin( 2x )=0
1 sec 2 x +2+ sin 2 x+4 cos 2 x=0 1 sec 2 x +2+ sin 2 x+4 cos 2 x=0
For the following exercises, simplify the equation algebraically as much as possible. Then use a calculator to find the solutions on the interval [0,2π). [0,2π). Round to four decimal places.
3 cot 2 x+cotx=1 3 cot 2 x+cotx=1
csc 2 x−3cscx−4=0 csc 2 x−3cscx−4=0
For the following exercises, graph each side of the equation to find the zeroes on the interval [0,2π). [0,2π).
20 cos 2 x+21cosx+1=0 20 cos 2 x+21cosx+1=0
ਸੈਕ^2 x - 2 ਸੈਕ x = 15
ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨਾਲ ਮਾਡਲਿੰਗ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸਾਰਣੀ ਵਿੱਚ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਇੱਕ ਸੰਭਾਵੀ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲੱਭੋ।
ਸਾਰਣੀ: x x | y y
ਸਾਰਣੀ: 0 0 | 1 1
ਸਾਰਣੀ: 1 1 | 6 6
ਸਾਰਣੀ: 2 2 | 11 11
ਸਾਰਣੀ: 3 3 | -6 -6
ਸਾਰਣੀ: 4 4 | -1 -1
ਸਾਰਣੀ: 5 5 | 6 6
ਸਾਰਣੀ: x x | y y
ਸਾਰਣੀ: 0 0 | -2 -2
ਸਾਰਣੀ: 1 1 | 1 1
ਸਾਰਣੀ: 2 2 | -2 -2
ਸਾਰਣੀ: 3 3 | -5 -5
ਸਾਰਣੀ: 4 4 | -2 -2
ਸਾਰਣੀ: 5 5 | 1 1
ਸਾਰਣੀ: x x | y y
ਸਾਰਣੀ: -3 -3 | 3+2√2 3+2√2
ਸਾਰਣੀ: -2 -2 | 3 3
ਸਾਰਣੀ: -1 -1 | 2-√2 2-√2
ਸਾਰਣੀ: 0 0 | 1 1
ਸਾਰਣੀ: 1 1 | 3-2√2 3-2√2
ਸਾਰਣੀ: 2 2 | -1 -1
3 3 | −1−2 2 −1−2 2
ਜਿਸ ਆਦਮੀ ਦੀ ਅੱਖ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ 6 ਫੁੱਟ ਉੱਚੀ ਹੈ, ਉਹ 15 ਫੁੱਟ ਲੰਬੀ ਖੜ੍ਹਵੀਂ ਪੌੜੀ ਦੇ ਹੇਠਲੇ ਸਿਰੇ ਤੋਂ 3 ਫੁੱਟ ਦੂਰ ਖੜ੍ਹਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਉਹ ਪੌੜੀ ਦੇ ਉੱਪਰਲੇ ਸਿਰੇ ਵੱਲ ਵੇਖਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਹ ਕਿੰਨੇ ਕੋਣ ਉੱਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਵੇਖ ਰਿਹਾ ਹੈ?
ਪਿਛਲੀ ਕਸਰਤ ਵਾਲੀ ਪੌੜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਜੇਕਰ ਪੌੜੀ ਦੇ ਉੱਪਰ ਖੜ੍ਹਾ 6 ਫੁੱਟ ਲੰਬਾ ਉਸਾਰੀ ਮਜ਼ਦੂਰ ਹੇਠਾਂ ਖੜ੍ਹੇ ਆਦਮੀ ਦੇ ਪੈਰਾਂ ਵੱਲ ਵੇਖਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਹ ਖਿਤਿਜੀ ਤੋਂ ਕਿੰਨੇ ਕੋਣ ਉੱਤੇ ਵੇਖ ਰਿਹਾ ਹੈ?
ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਅਜਿਹੇ ਫਲਨ (functions) ਬਣਾਓ ਜੋ ਵਰਣਿਤ ਵਿਵਹਾਰ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ।
ਲੇਮਿੰਗਜ਼ ਦੀ ਇੱਕ ਆਬਾਦੀ ਮਾਰਚ ਵਿੱਚ 500 ਦੀ ਸਾਲਾਨਾ ਨਿਊਨਤਮ ਨਾਲ ਵੱਖਰੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਲੇਮਿੰਗਜ਼ ਦੀ ਔਸਤ ਸਾਲਾਨਾ ਆਬਾਦੀ 950 ਹੈ, ਤਾਂ t, ਮਹੀਨੇ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਆਬਾਦੀ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਫਲਨ ਲਿਖੋ।
ਮਾਰੂਥਲ ਵਿੱਚ ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਤਾਪਮਾਨ ਬਹੁਤ ਜ਼ਿਆਦਾ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਤਾਪਮਾਨ 90°F ਤੋਂ 30°F ਤੱਕ ਵੱਖਰਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਔਸਤ ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਤਾਪਮਾਨ ਪਹਿਲੀ ਵਾਰ ਸਵੇਰੇ 10 ਵਜੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸ ਵਿਵਹਾਰ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਫਲਨ ਲਿਖੋ।
ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ (amplitude), ਫ੍ਰੀਕੁਐਂਸੀ (frequency), ਅਤੇ ਪੀਰੀਅਡ (period) ਪਤਾ ਕਰੋ।
y=3cos(xπ)
y=−2sin(16xπ)
ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਵਰਣਿਤ ਵਿਵਹਾਰ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਬੇਨਤੀ ਕੀਤੇ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਝੀਲ ਫਰੈਸ਼ਵਾਟਰ ਵਿੱਚ ਕਾਰਪ ਦੀ ਇੱਕ ਹਮਲਾਵਰ ਪ੍ਰਜਾਤੀ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਸ਼ੁਰੂ ਵਿੱਚ ਝੀਲ ਵਿੱਚ 100 ਕਾਰਪ ਹਨ ਅਤੇ ਆਬਾਦੀ ਮੌਸਮੀ ਤੌਰ 'ਤੇ 20 ਮੱਛੀਆਂ ਨਾਲ ਵੱਖਰੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਸਾਲ 5 ਤੱਕ, 625 ਕਾਰਪ ਹਨ, ਤਾਂ t, ਹੁਣ ਤੋਂ ਸਾਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਕਾਰਪ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਫਲਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਝੀਲ ਫਰੈਸ਼ਵਾਟਰ ਦੀਆਂ ਮੂਲ ਮੱਛੀਆਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਔਸਤਨ 2500 ਮੱਛੀਆਂ ਹੈ, ਜੋ ਮੌਸਮੀ ਤੌਰ 'ਤੇ 100 ਮੱਛੀਆਂ ਨਾਲ ਵੱਖਰੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਹਮਲਾਵਰ ਕਾਰਪ ਤੋਂ ਸਰੋਤਾਂ ਲਈ ਮੁਕਾਬਲੇ ਕਾਰਨ, ਮੂਲ ਮੱਛੀਆਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਵਿੱਚ ਹਰ ਸਾਲ 5% ਦੀ ਕਮੀ ਦੀ ਉਮੀਦ ਹੈ। t, ਹੁਣ ਤੋਂ ਸਾਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਮੂਲ ਮੱਛੀਆਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਫਲਨ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਇਹ ਵੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕਾਰਪ ਨੂੰ ਮੂਲ ਮੱਛੀਆਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ 'ਤੇ ਕਬਜ਼ਾ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੇ ਸਾਲ ਲੱਗਣਗੇ।