ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਗੁਣਨਫਲਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
ਜੋੜਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
ਚਿੱਤਰ 1: UCLA ਮਾਰਚਿੰਗ ਬੈਂਡ (ਸਿਹਰਾ: Eric Chan, Flickr)।
ਇੱਕ ਬੈਂਡ ਮੈਦਾਨ ਵਿੱਚ ਮਾਰਚ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਅਦਭੁਤ ਆਵਾਜ਼ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਭੀੜ ਨੂੰ ਉਤਸ਼ਾਹਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਉਹ ਆਵਾਜ਼ ਇੱਕ ਤਰੰਗ ਵਾਂਗ ਯਾਤਰਾ ਕਰਦੀ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮਝਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਚਿੱਤਰ 2 ਸੰਗੀਤਕ ਨੋਟ A ਲਈ ਇੱਕ ਧੁਨੀ ਤਰੰਗ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਪਛਾਣਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਾਂਗੇ ਜੋ ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਵਰਤਾਰਿਆਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਧੁਨੀ ਤਰੰਗਾਂ ਦੀ ਨੀਂਹ ਹਨ।
ਗੁਣਨਫਲਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਾਂ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨਾ
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਨ ਜਾਂ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਸਿੱਖ ਚੁੱਕੇ ਹਾਂ, ਪਰ ਕਈ ਵਾਰ ਸਾਨੂੰ ਕੋਸਾਈਨ ਅਤੇ ਸਾਈਨ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਪੈ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਗੁਣਨਫਲ-ਤੋਂ-ਜੋੜ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਾਂ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਆਓ ਪਹਿਲਾਂ ਕੋਸਾਈਨ ਪਛਾਣ ਦੀ ਅਤੇ ਫਿਰ ਸਾਈਨ ਪਛਾਣ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੀਏ।
ਕੋਸਾਈਨ ਲਈ ਗੁਣਨਫਲਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਾਂ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨਾ
ਅਸੀਂ ਕੋਸਾਈਨ ਲਈ ਜੋੜ ਅਤੇ ਅੰਤਰ ਪਛਾਣਾਂ ਤੋਂ ਗੁਣਨਫਲ-ਤੋਂ-ਜੋੜ ਫਾਰਮੂਲਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ:
ਫਿਰ, ਅਸੀਂ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰਨ ਲਈ 2 2 ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇਸਨੂੰ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ।
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕੋਣਾਂ ਨੂੰ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਗੁਣਨਫਲ-ਤੋਂ-ਜੋੜ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਲਿਖਣਾ
ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ: 2cos( 7x 2 )cos 3x 2 . 2cos( 7x 2 )cos 3x 2 .
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਅਸੀਂ ਫਿਰ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕੋਣਾਂ ਨੂੰ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਸਰਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਜੋੜ ਜਾਂ ਅੰਤਰ ਵਜੋਂ ਲਿਖਣ ਲਈ ਗੁਣਨਫਲ-ਤੋਂ-ਜੋੜ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ: cos( 2θ )cos( 4θ ). cos( 2θ )cos( 4θ ).
ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨਾ
ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਸਾਈਨ ਦੇ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ ਦੇ ਸੂਤਰਾਂ ਤੋਂ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਲਈ ਗੁਣਨਫਲ-ਤੋਂ-ਜੋੜ ਸੂਤਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਾਂਗੇ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ ਦੀਆਂ ਪਛਾਣਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ:
ਫਿਰ, ਅਸੀਂ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰਨ ਲਈ 2 ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਉਦਾਹਰਨ 2
ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ ਸਾਈਨ ਜਾਂ ਕੋਸਾਈਨ ਵਾਲੇ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਲਿਖਣਾ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ ਸਾਈਨ ਜਾਂ ਕੋਸਾਈਨ ਵਾਲੇ ਅਤੇ ਕੋਈ ਗੁਣਨਫਲ ਨਾ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ: sin( 4θ )cos( 2θ ). sin( 4θ )cos( 2θ ).
ਹੱਲ
ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਲਈ ਸੂਤਰ ਲਿਖੋ। ਫਿਰ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ ਅਤੇ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਲਿਖਣ ਲਈ ਗੁਣਨਫਲ-ਤੋਂ-ਜੋੜ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ: sin( x+y )cos( x−y ). sin( x+y )cos( x−y ).
ਸਾਈਨ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲਾਂ ਨੂੰ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨਾ
ਸਾਈਨ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨਾ ਵੀ ਕੋਸਾਈਨ ਲਈ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ ਦੀਆਂ ਪਛਾਣਾਂ ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਦੋ ਕੋਸਾਈਨ ਸੂਤਰਾਂ ਨੂੰ ਘਟਾਵਾਂਗੇ:
ਫਿਰ, ਅਸੀਂ ਸਾਈਨ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰਨ ਲਈ 2 ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅਸੀਂ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਸਾਈਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਾਂ ਹੋਰ ਗੁਣਨਫਲ-ਤੋਂ-ਜੋੜ ਸੂਤਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਗੁਣਨਫਲ-ਤੋਂ-ਜੋੜ ਸੂਤਰ
ਗੁਣਨਫਲ-ਤੋਂ-ਜੋੜ ਸੂਤਰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਨੁਸਾਰ ਹਨ:
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਜੋੜ ਜਾਂ ਘਟਾਓ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ
cos(3θ)cos(5θ) cos(3θ)cos(5θ) ਨੂੰ ਜੋੜ ਜਾਂ ਘਟਾਓ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
ਹੱਲ
ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਕੋਸਾਈਨ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਸੰਬੰਧਿਤ ਸੂਤਰ ਲਿਖ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕੋਣਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਸਰਲ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
cos 11π 12 cos π 12 . cos 11π 12 cos π 12 . ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਗੁਣਨਫਲ-ਤੋਂ-ਜੋੜ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਜੋੜਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਨਫਲਾਂ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨਾ
ਕੁਝ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਲਈ ਉਸੇ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਦੇ ਉਲਟ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੋ ਅਸੀਂ ਹੁਣੇ ਵਰਤੀ ਹੈ। ਜੋੜ-ਤੋਂ-ਗੁਣਨਫਲ ਸੂਤਰ ਸਾਨੂੰ ਸਾਈਨ ਜਾਂ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਜੋੜਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਸੂਤਰਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਨਫਲ-ਤੋਂ-ਜੋੜ ਪਛਾਣਾਂ ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਕੁਝ ਬਦਲਾਵਾਂ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਸਾਈਨ ਲਈ ਜੋੜ-ਤੋਂ-ਗੁਣਨਫਲ ਪਛਾਣ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਮੰਨ ਲਓ α = (u+v)/2 ਅਤੇ β = (u−v)/2।
ਫਿਰ,
ਇਸ ਲਈ, ਗੁਣਨਫਲ-ਤੋਂ-ਜੋੜ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ α ਅਤੇ β ਨੂੰ ਬਦਲਵੇਂ ਪ੍ਰਗਟਾਵਾਂ ਨਾਲ ਬਦਲ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਹੋਰ ਜੋੜ-ਤੋਂ-ਗੁਣਨਫਲ ਪਛਾਣਾਂ ਵੀ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ।
ਜੋੜ-ਤੋਂ-ਗੁਣਨਫਲ ਸੂਤਰ
ਜੋੜ-ਤੋਂ-ਗੁਣਨਫਲ ਸੂਤਰ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਨੁਸਾਰ ਹਨ:
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਸਾਈਨ ਦੇ ਅੰਤਰ ਨੂੰ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਲਿਖਣਾ
ਸਾਈਨ ਦੇ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅੰਤਰ ਪ੍ਰਗਟਾਅ ਨੂੰ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ: sin(4θ) − sin(2θ)।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਸਾਈਨ ਦੇ ਅੰਤਰ ਲਈ ਸੂਤਰ ਲਿਖ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ, ਅਤੇ ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
ਜੋੜ ਨੂੰ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਲਿਖਣ ਲਈ ਜੋੜ-ਤੋਂ-ਗੁਣਨਫਲ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ: sin(3θ) + sin(θ)।
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਜੋੜ-ਤੋਂ-ਗੁਣਨਫਲ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ
cos(15°) − cos(75°) ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਅੰਤਰ ਲਈ ਸੂਤਰ ਲਿਖ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕੋਣਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਸਰਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 6
ਇੱਕ ਪਛਾਣ ਸਾਬਤ ਕਰਨਾ
ਪਛਾਣ ਸਾਬਤ ਕਰੋ:
ਹੱਲ
We will start with the left side, the more complicated side of the equation, and rewrite the expression until it matches the right side.
Analysis
Recall that verifying trigonometric identities has its own set of rules. The procedures for solving an equation are not the same as the procedures for verifying an identity. When we prove an identity, we pick one side to work on and make substitutions until that side is transformed into the other side.
Example 7
Verifying the Identity Using Double-Angle Formulas and Reciprocal Identities
Verify the identity csc 2 θ−2= cos(2θ) sin 2 θ . csc 2 θ−2= cos(2θ) sin 2 θ .
Solution
For verifying this equation, we are bringing together several of the identities. We will use the double-angle formula and the reciprocal identities. We will work with the right side of the equation and rewrite it until it matches the left side.
Try It #5
Verify the identity tanθcotθ− cos 2 θ= sin 2 θ. tanθcotθ− cos 2 θ= sin 2 θ.
Media
Access these online resources for additional instruction and practice with the product-to-sum and sum-to-product identities.
Sum to Product Identities
Sum to Product and Product to Sum Identities
Verbal
Starting with the product to sum formula sinαcosβ= 1 2 [sin(α+β)+sin(α−β)], sinαcosβ= 1 2 [sin(α+β)+sin(α−β)], explain how to determine the formula for cosαsinβ. cosαsinβ.
Explain two different methods of calculating cos( 195° )cos( 105° ), cos( 195° )cos( 105° ), one of which uses the product to sum. Which method is easier?
Explain a situation where we would convert an equation from a sum to a product and give an example.
Explain a situation where we would convert an equation from a product to a sum, and give an example.
Algebraic
For the following exercises, rewrite the product as a sum or difference.
16sin(16x)sin(11x) 16sin(16x)sin(11x)
20cos( 36t )cos( 6t ) 20cos( 36t )cos( 6t )
2sin( 5x )cos( 3x ) 2sin( 5x )cos( 3x )
10cos( 5x )sin( 10x ) 10cos( 5x )sin( 10x )
sin( −x )sin( 5x ) sin( −x )sin( 5x )
sin( 3x )cos( 5x ) sin( 3x )cos( 5x )
For the following exercises, rewrite the sum or difference as a product.
cos( 6t )+cos( 4t ) cos( 6t )+cos( 4t )
sin( 3x )+sin( 7x ) sin( 3x )+sin( 7x )
cos( 7x )+cos( −7x ) cos( 7x )+cos( −7x )
sin( 3x )−sin( −3x ) sin( 3x )−sin( −3x )
cos( 3x )+cos( 9x ) cos( 3x )+cos( 9x )
sinh−sin( 3h ) sinh−sin( 3h )
For the following exercises, evaluate the product for the following using a sum or difference of two functions.
cos( 45° )cos( 15° ) cos( 45° )cos( 15° )
cos( 45° )sin( 15° ) cos( 45° )sin( 15° )
sin( −345° )sin( −15° ) sin( −345° )sin( −15° )
sin( 195° )cos( 15° ) sin( 195° )cos( 15° )
sin( −45° )sin( −15° ) sin( −45° )sin( −15° )
For the following exercises, evaluate the product using a sum or difference of two functions. Leave in terms of sine and cosine.
cos( 23° )sin( 17° ) cos( 23° )sin( 17° )
2sin( 100° )sin( 20° ) 2sin( 100° )sin( 20° )
2sin(−100°)sin(−20°) 2sin(−100°)sin(−20°)
sin( 213° )cos( 8° ) sin( 213° )cos( 8° )
2cos(56°)cos(47°) 2cos(56°)cos(47°)
For the following exercises, rewrite the sum as a product of two functions. Leave in terms of sine and cosine.
sin(76°)+sin(14°) sin(76°)+sin(14°)
ਕੋਸ(58°)−ਕੋਸ(12°)
ਸਾਈਨ(101°)−ਸਾਈਨ(32°)
ਕੋਸ(100°) + ਕੋਸ(200°)
ਸਾਈਨ(−1°) + ਸਾਈਨ(−2°)
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਪਛਾਣ ਨੂੰ ਸਿੱਧ ਕਰੋ।
ਕੋਸ(a+b) ਕੋਸ(a−b) = 1−ਟੈਨ(a)ਟੈਨ(b) / 1+ਟੈਨ(a)ਟੈਨ(b)
4ਸਾਈਨ(3x)ਕੋਸ(4x) = 2ਸਾਈਨ(7x) − 2ਸਾਈਨ(x)
6ਕੋਸ(8x)ਸਾਈਨ(2x)ਸਾਈਨ(−6x) = −3ਸਾਈਨ(10x)ਕੋਸੇਕ(6x) + 3
ਸਾਈਨ(x) + ਸਾਈਨ(3x) = 4ਸਾਈਨ(x)ਕੋਸ^2(x)
2(ਕੋਸ^3(x) − ਕੋਸ(x)ਸਾਈਨ^2(x)) = ਕੋਸ(3x) + ਕੋਸ(x)
2ਟੈਨ(x)ਕੋਸ(3x) = ਸੇਕ(x)(ਸਾਈਨ(4x) − ਸਾਈਨ(2x))
ਕੋਸ(a+b) + ਕੋਸ(a−b) = 2ਕੋਸ(a)ਕੋਸ(b)
ਅੰਕੀ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਜੋੜ ਨੂੰ ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ ਜਾਂ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ। ਆਪਣੇ ਜਵਾਬ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਿਓ। ਫਿਰ ਅੰਤਿਮ ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਅੰਕੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਚਾਰ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰਕੇ, ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਕੋਸ(58°) + ਕੋਸ(12°)
ਸਾਈਨ(2°) − ਸਾਈਨ(3°)
ਕੋਸ(44°) − ਕੋਸ(22°)
ਕੋਸ(176°)ਸਾਈਨ(9°)
ਸਾਈਨ(−14°)ਸਾਈਨ(85°)
ਤਕਨਾਲੋਜੀ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਇੱਕ ਸੱਚੀ ਪਛਾਣ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਇਹ ਇੱਕ ਪਛਾਣ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨਾਲ ਬਦਲੋ। ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ 'ਤੇ ਦੋਵਾਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਕੇ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੋ।
2ਸਾਈਨ(2x)ਸਾਈਨ(3x) = ਕੋਸ(x) − ਕੋਸ(5x)
(ਕੋਸ(10θ) + ਕੋਸ(6θ)) / (ਕੋਸ(6θ) − ਕੋਸ(10θ)) = ਕੋਟ(2θ)ਕੋਟ(8θ)
(ਸਾਈਨ(3x) − ਸਾਈਨ(5x)) / (ਕੋਸ(3x) + ਕੋਸ(5x)) = ਟੈਨ(x)
2cos(2x)cosx+sin(2x)sinx=2sinx 2cos(2x)cosx+sin(2x)sinx=2sinx
sin( 2x )+sin( 4x ) sin( 2x )−sin( 4x ) =−tan( 3x )cotx sin( 2x )+sin( 4x ) sin( 2x )−sin( 4x ) =−tan( 3x )cotx
For the following exercises, simplify the expression to one term, then graph the original function and your simplified version to verify they are identical.
sin( 9t )−sin( 3t ) cos( 9t )+cos( 3t ) sin( 9t )−sin( 3t ) cos( 9t )+cos( 3t )
2sin( 8x )cos( 6x )−sin( 2x ) 2sin( 8x )cos( 6x )−sin( 2x )
sin( 3x )−sinx sinx sin( 3x )−sinx sinx
cos( 5x )+cos( 3x ) sin( 5x )+sin( 3x ) cos( 5x )+cos( 3x ) sin( 5x )+sin( 3x )
sinxcos( 15x )−cosxsin( 15x ) sinxcos( 15x )−cosxsin( 15x )
Extensions
For the following exercises, prove the following sum-to-product formulas.
sinx−siny=2sin( x−y 2 )cos( x+y 2 ) sinx−siny=2sin( x−y 2 )cos( x+y 2 )
cosx+cosy=2cos( x+y 2 )cos( x−y 2 ) cosx+cosy=2cos( x+y 2 )cos( x−y 2 )
For the following exercises, prove the identity.
sin(6x)+sin(4x) sin(6x)−sin(4x) =tan(5x)cotx sin(6x)+sin(4x) sin(6x)−sin(4x) =tan(5x)cotx
cos(3x)+cosx cos(3x)−cosx =−cot(2x)cotx cos(3x)+cosx cos(3x)−cosx =−cot(2x)cotx
cos(6y)+cos(8y) sin(6y)−sin(4y) =cotycos(7y)sec(5y) cos(6y)+cos(8y) sin(6y)−sin(4y) =cotycos(7y)sec(5y)
cos( 2y )−cos( 4y ) sin( 2y )+sin( 4y ) =tany cos( 2y )−cos( 4y ) sin( 2y )+sin( 4y ) =tany
sin( 10x )−sin( 2x ) cos( 10x )+cos( 2x ) =tan( 4x ) sin( 10x )−sin( 2x ) cos( 10x )+cos( 2x ) =tan( 4x )
cosx−cos(3x)=4 sin 2 xcosx cosx−cos(3x)=4 sin 2 xcosx
(cos(2x)−cos(4x)) 2 + (sin(4x)+sin(2x)) 2 =4 sin 2 (3x) (cos(2x)−cos(4x)) 2 + (sin(4x)+sin(2x)) 2 =4 sin 2 (3x)
tan( π 4 −t )= 1−tant 1+tant tan( π 4 −t )= 1−tant 1+tant