ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਵਿੱਚ ਰੇਖੀ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ ਜੋ ਵਰਗਾਕਾਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹਨ।
ਮੁਢਲੀਆਂ ਪਛਾਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਬਹੁ-ਕੋਣੀ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਸੱਜੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਚਿੱਤਰ 1: ਮਿਸਰ ਦੇ ਪਿਰਾਮਿਡ ਇੱਕ ਆਧੁਨਿਕ ਸ਼ਹਿਰ ਦੇ ਨੇੜੇ ਖੜ੍ਹੇ ਹਨ। (ਸਿਹਰਾ: ਓਇਸਿਨ ਮੁਲਵਿਹਿਲ)
ਥੇਲਿਸ ਆਫ਼ ਮਿਲੇਟਸ (ਲਗਭਗ 625–547 ਈਸਵੀ ਪੂਰਵ) ਨੂੰ ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਦਾ ਸੰਸਥਾਪਕ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਦੰਤਕਥਾ ਹੈ ਕਿ ਉਸਨੇ ਸਮਾਨ ਤ੍ਰਿਕੋਣਾਂ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੀਜ਼ਾ, ਮਿਸਰ ਦੇ ਮਹਾਨ ਪਿਰਾਮਿਡ ਦੀ ਉਚਾਈ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕੀਤੀ, ਜਿਸਨੂੰ ਉਸਨੇ ਆਪਣੀ ਛੜੀ ਦੇ ਪਰਛਾਵੇਂ ਨੂੰ ਮਾਪ ਕੇ ਵਿਕਸਿਤ ਕੀਤਾ ਸੀ। ਅਨੁਪਾਤਾਂ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ, ਇਸ ਸਿਧਾਂਤ ਦੇ ਕਈ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਉਪਯੋਗ ਹਨ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਫਰੈਕਟਲ ਜਿਓਮੈਟਰੀ, ਇੰਜੀਨੀਅਰਿੰਗ ਅਤੇ ਆਰਕੀਟੈਕਚਰ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। ਅਕਸਰ, ਉੱਚਾਈ ਦੇ ਕੋਣ ਅਤੇ ਗਿਰਾਵਟ ਦੇ ਕੋਣ ਸਮਾਨ ਤ੍ਰਿਕੋਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪਾਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।
ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਦੇ ਪਿਛਲੇ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਪਛਾਣਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਿਆ। ਪਛਾਣਾਂ ਚੱਲ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਦੇ ਸਾਰੇ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਸੱਚ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੇ ਦ੍ਰਿਸ਼ਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਪਿਰਾਮਿਡਾਂ ਦੇ ਮਾਪਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ।
ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਵਿੱਚ ਰੇਖੀ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਨਾਮ ਤੋਂ ਪਤਾ ਲੱਗਦਾ ਹੈ, ਉਹ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਬਹੁ-ਪਦ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਜਾਂ ਤਰਕਹੀਣ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੇ ਕਈ ਤਰੀਕਿਆਂ ਵਾਂਗ, ਸਿਰਫ ਚੱਲ ਦੇ ਖਾਸ ਮੁੱਲ ਹੀ ਹੱਲ ਹੋਣਗੇ, ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਹੱਲ ਹੋਵੇ ਤਾਂ। ਅਕਸਰ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਨਿਰਧਾਰਤ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਾਂਗੇ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਅਕਸਰ, ਸਾਨੂੰ ਸਾਰੇ ਸੰਭਾਵੀ ਹੱਲਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕਿਹਾ ਜਾਵੇਗਾ, ਅਤੇ ਕਿਉਂਕਿ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਆਵਰਤੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਹੱਲ ਹਰ ਅਵਧੀ ਦੇ ਅੰਦਰ ਦੁਹਰਾਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਅਨੰਤ ਹੱਲ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਤਰਕਹੀਣ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਾਂਗ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਹੱਲ ਨੂੰ ਵੈਧ ਮੰਨਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੋਵਾਂ ਦੀ ਅਵਧੀ 2π ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਹਰ 2π ਯੂਨਿਟਾਂ 'ਤੇ, y-ਮੁੱਲ ਦੁਹਰਾਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਜੇਕਰ ਸਾਨੂੰ ਸਾਰੇ ਸੰਭਾਵੀ ਹੱਲਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਹੱਲ ਵਿੱਚ 2πk ਜੋੜਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ k ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ। ਉਸ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਯਾਦ ਕਰੋ ਜੋ 2π ਦੀ ਅਵਧੀ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਸਾਰੇ ਸੰਭਾਵੀ ਹੱਲਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਫਾਰਮੈਟ ਦਿੰਦਾ ਹੈ:
ਹੋਰ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਸਾਰੇ ਸੰਭਾਵੀ ਹੱਲਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਸਮਾਨ ਨਿਯਮ ਹਨ। ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਬੀਜਗਣਿਤ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਵਾਂਗ ਹੀ ਤਕਨੀਕਾਂ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ, ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਇੱਕ ਵਾਕ ਵਾਂਗ ਪੜ੍ਹਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਜਾਣੇ-ਪਛਾਣੇ ਪੈਟਰਨਾਂ ਦੀ ਭਾਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਸਾਂਝੇ ਹਰ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਹੱਲ ਨੂੰ ਵਧੇਰੇ ਸਿੱਧੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕੁਝ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਚੱਲ ਨਾਲ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨਾਲ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਪਿਛਲੇ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ ਵਿਕਸਿਤ ਕੀਤੀਆਂ ਪਛਾਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦਾ ਵੀ ਫਾਇਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਸਮੀਕਰਨ cosθ= 1/2 ਲਈ ਸਾਰੇ ਸੰਭਾਵੀ ਸਹੀ ਹੱਲ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਯੂਨਿਟ ਚੱਕਰ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
ਇਹ [0, 2π] ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਹੱਲ ਹਨ। ਸਾਰੇ ਸੰਭਾਵੀ ਹੱਲ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ
ਜਿੱਥੇ k ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 2
ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਸਾਈਨ t = 1/2 ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਲਈ ਸਾਰੇ ਸੰਭਵ ਹੱਲ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
t ਦੇ ਸਾਰੇ ਸੰਭਵ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਹੱਲਾਂ ਵਿੱਚ 2π ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ ਤੋਂ ਪਰੇ ਕੋਣ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। ਚਿੱਤਰ 2 ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਹੱਲ π/6 ਅਤੇ 5π/6 ਹਨ। ਪਰ ਸਮੱਸਿਆ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਸਾਰੇ ਸੰਭਵ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਪੁੱਛ ਰਹੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਜਵਾਬ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ k ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਅਲਜਬਰਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਭਾਲ ਕਰੋ ਜੋ ਅਲਜਬਰਾ ਗੁਣ ਦਾ ਸੁਝਾਅ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਜਾਂ ਇੱਕ ਫੈਕਟਰਿੰਗ ਮੌਕਾ।
ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਵੇਰੀਏਬਲ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ x ਜਾਂ u ਨਾਲ ਬਦਲੋ।
ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੱਲ ਕਰੋ ਜਿਵੇਂ ਇੱਕ ਅਲਜਬਰਾ ਸਮੀਕਰਨ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾਵੇਗਾ।
ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟਾਵਿਆਂ ਵਿੱਚ ਵੇਰੀਏਬਲ ਲਈ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਵਾਪਸ ਬਦਲੋ।
ਕੋਣ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਰੇਖੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਹੀ ਢੰਗ ਨਾਲ ਹੱਲ ਕਰੋ: 2cosθ−3=−5,0≤θ<2π।
ਹੱਲ
ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਅਲਜਬਰਾ ਤਕਨੀਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
[0,2π) ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ 'ਤੇ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਹੀ ਢੰਗ ਨਾਲ ਹੱਲ ਕਰੋ: 2sinx+1=0।
ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਜਦੋਂ ਸਾਨੂੰ ਛੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਹੱਲ ਅਲਜਬਰਾ ਤਕਨੀਕਾਂ ਅਤੇ ਯੂਨਿਟ ਸਰਕਲ (ਚਿੱਤਰ 2 ਦੇਖੋ) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਜਦੋਂ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਹੋਰ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਕਈ ਵਿਚਾਰ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਪ੍ਰਾਇਮਰੀ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਉਲਟੇ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਅਲਜਬਰਾ ਪਰਿਪੇਖ ਤੋਂ ਦੇਖਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਉਲਟਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਿਖਾਂਗੇ, ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕੋਣਾਂ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਾਂਗੇ। ਨਾਲ ਹੀ, ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਸਾਈਨ ਜਾਂ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਤੋਂ ਥੋੜ੍ਹਾ ਵੱਖਰਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਪਹਿਲਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ, ਟੈਂਜੈਂਟ ਦਾ ਅੰਤਰਾਲ π ਹੈ, 2π ਨਹੀਂ। ਹੋਰ, ਟੈਂਜੈਂਟ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਸਾਰੇ ਅਸਲ ਨੰਬਰ ਹਨ ਜਿਸ ਵਿੱਚ π/2 ਦੇ ਵਿਸ਼ਮ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਗੁਣਾਂ ਨੂੰ ਛੱਡ ਕੇ, ਜਦੋਂ ਤੱਕ, ਬੇਸ਼ੱਕ, ਕੋਈ ਸਮੱਸਿਆ ਡੋਮੇਨ 'ਤੇ ਆਪਣੀਆਂ ਪਾਬੰਦੀਆਂ ਨਹੀਂ ਲਗਾਉਂਦੀ।
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਸਹੀ ਢੰਗ ਨਾਲ ਹੱਲ ਕਰੋ: 2 sin 2 θ−1=0,0≤θ<2π।
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਵੱਖ ਨਹੀਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ, ਅਸੀਂ ਵਰਗਮੂਲ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰਾਂਗੇ। ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ sinθ ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰਨ ਲਈ ਬੀਜਗਣਿਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ। sinθ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਕੋਣਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਵਾਂਗੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਕੋਸੀਕੈਂਟ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਬਿਲਕੁਲ ਹੱਲ ਕਰੋ: cscθ=−2,0≤θ<4π। cscθ=−2,0≤θ<4π।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ θ ਦੇ ਸਾਰੇ ਮੁੱਲ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸ ਲਈ 0≤θ<4π ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ cscθ=−2 ਹੈ। 0≤θ<4π।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ sinθ=− 1 2 , sinθ=− 1 2 , ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਸਾਰੇ ਚਾਰ ਹੱਲ ਤੀਜੇ ਅਤੇ ਚੌਥੇ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 6
ਟੈਂਜੈਂਟ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਬਿਲਕੁਲ ਹੱਲ ਕਰੋ: tan( θ− π 2 )=1,0≤θ<2π। tan( θ− π 2 )=1,0≤θ<2π।
ਹੱਲ
ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਪੀਰੀਅਡ π ਹੈ। π। [ 0,π ) ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ, [ 0,π ) ਅਤੇ π 4 ਦੇ ਕੋਣ ਉੱਤੇ, π 4 , ਟੈਂਜੈਂਟ ਦਾ ਮੁੱਲ 1 ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਅਸੀਂ ਜਿਸ ਕੋਣ ਨੂੰ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਉਹ ( θ− π 2 ) ਹੈ। ( θ− π 2 )। ਇਸ ਲਈ, ਜੇਕਰ tan( π 4 )=1, tan( π 4 )=1, ਤਾਂ
[ 0,2π ) ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ, [ 0,2π ) ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਦੋ ਹੱਲ ਹਨ:
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
tanx= 3 ਲਈ ਸਾਰੇ ਹੱਲ ਲੱਭੋ। tanx= 3।
ਉਦਾਹਰਨ 7
ਟੈਂਜੈਂਟ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਸਾਰੇ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ
ਸਮੀਕਰਨ 2( tanx+3 )=5+tanx,0≤x<2π ਦੇ ਸਾਰੇ ਬਿਲਕੁਲ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ। 2( tanx+3 )=5+tanx,0≤x<2π।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ ਬੀਜਗਣਿਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। tanx tanx ਐਕਸਪ੍ਰੈਸ਼ਨ ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਵੱਖ ਕਰੋ।
ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਉੱਤੇ ਦੋ ਕੋਣ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਟੈਂਜੈਂਟ ਮੁੱਲ −1 ਹੈ: θ= 3π 4 −1:θ= 3π 4 ਅਤੇ θ= 7π 4। θ= 7π 4।
ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ
ਸਾਰੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਬਿਲਕੁਲ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਸਾਨੂੰ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੋਣਾਂ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਕੋਣ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਪੈਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇਗੀ। ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਓ ਕਿ ਇਹ ਸਹੀ ਮੋਡ ਵਿੱਚ ਸੈੱਟ ਹੈ, ਜਾਂ ਤਾਂ ਡਿਗਰੀ ਜਾਂ ਰੇਡੀਅਨ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੱਸਿਆ ਦੇ ਮਾਪਦੰਡਾਂ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ।
8. ਉਦਾਹਰਨ 8
2. ਸਾਈਨ (Sine) ਵਾਲੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
3. ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨ sinθ=0.8, ਜਿੱਥੇ θ ਰੇਡੀਅਨ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
4. ਹੱਲ
5. ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਓ ਕਿ ਮੋਡ (mode) ਰੇਡੀਅਨ 'ਤੇ ਸੈੱਟ ਹੈ। θ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਉਲਟ ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ (inverse sine function) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰਾਂ 'ਤੇ, ਤੁਹਾਨੂੰ sin⁻¹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਲਿਆਉਣ ਲਈ 2ND ਬਟਨ ਅਤੇ ਫਿਰ SIN ਬਟਨ ਦਬਾਉਣ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇਗੀ। ਸਕ੍ਰੀਨ 'ਤੇ sin⁻¹( ਦਿਖਾਈ ਦੇਵੇਗਾ। ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਬਰੈਕਟਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਇਨਪੁਟ ਲਈ ਤਿਆਰ ਹੈ। ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਲਈ, ਅਸੀਂ sin⁻¹(0.8) ਦਾਖਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ENTER ਦਬਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਚਾਰ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ,
6. ਹੱਲ ਹੈ
7. ਡਿਗਰੀਆਂ ਵਿੱਚ ਕੋਣ ਦਾ ਮਾਪ ਹੈ
8. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
9. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਸਿਰਫ਼ ਚੌਥੇ ਭਾਗ I ਜਾਂ IV ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕੋਣ ਵਾਪਸ ਕਰੇਗਾ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਉਲਟ ਸਾਈਨ ਦੀ ਰੇਂਜ ਹੈ। ਦੂਜਾ ਕੋਣ π−θ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
10. ਉਦਾਹਰਨ 9
11. ਸੀਕੈਂਟ (Secant) ਵਾਲੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
12. ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨ secθ=−4 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ, ਆਪਣੇ ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਰੇਡੀਅਨ ਵਿੱਚ ਦਿਓ।
13. ਹੱਲ
14. ਅਸੀਂ ਕੁਝ ਅਲਜਬਰਾ (algebra) ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
15. ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਕਿ MODE ਰੇਡੀਅਨ ਵਿੱਚ ਹੈ। ਹੁਣ ਉਲਟ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ (inverse cosine function) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
16. ਕਿਉਂਕਿ π/2 ≈ 1.57 ਅਤੇ π ≈ 3.14, 1.8235 ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ θ ≈ 1.8235 ਚੌਥੇ ਭਾਗ II ਵਿੱਚ ਹੈ। ਕੋਸਾਈਨ ਚੌਥੇ ਭਾਗ III ਵਿੱਚ ਵੀ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਸਿਰਫ਼ ਚੌਥੇ ਭਾਗ I ਜਾਂ II ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕੋਣ ਵਾਪਸ ਕਰੇਗਾ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਉਲਟ ਕੋਸਾਈਨ ਦੀ ਰੇਂਜ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 2 ਦੇਖੋ।
17. ਇਸ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਚੌਥੇ ਭਾਗ III ਵਿੱਚ ਕੋਣ ਦਾ ਮਾਪ ਵੀ ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਚੌਥੇ ਭਾਗ III ਵਿੱਚ, ਸੰਦਰਭ ਕੋਣ (reference angle) θ' ≈ π − 1.8235 ≈ 1.3181 ਹੈ। ਚੌਥੇ ਭਾਗ III ਵਿੱਚ ਦੂਜਾ ਹੱਲ π + 1.3181 ≈ 4.4597 ਹੈ।
18. ਹੱਲ 1.8235 ± 2πk ਅਤੇ 4.4597 ± 2πk ਹਨ।
19. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
20. cosθ = −0.2 ਹੱਲ ਕਰੋ।
21. ਵਰਗਾਕਾਰ ਰੂਪ (Quadratic Form) ਵਿੱਚ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
22. ਇੱਕ ਵਰਗਾਕਾਰ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਵਧੇਰੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਇੱਕ ਵਾਰ ਫਿਰ, ਅਸੀਂ ਅਲਜਬਰਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਵਰਗਾਕਾਰ ਸਮੀਕਰਨ ਲਈ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਪੈਟਰਨ ਨੂੰ ਦੇਖੋ। ਕੀ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਜਾਂ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਹੈ? ਕਿਹੜਾ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਰਗਾਕਾਰ ਹੈ? ਜੇਕਰ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਪੇਸ਼ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਅਤੇ ਸ਼ਰਤਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਵਰਗਾਕਾਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਵਰਗਾਕਾਰ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਬਾਰੇ ਸੋਚੋ। ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ (variable) ਜਿਵੇਂ ਕਿ x ਜਾਂ u ਨਾਲ ਬਦਲੋ। ਜੇਕਰ ਬਦਲਣ ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨ ਇੱਕ ਵਰਗਾਕਾਰ ਸਮੀਕਰਨ ਵਰਗਾ ਲੱਗਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਗਾਕਾਰਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਉਹੀ ਤਰੀਕੇ ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
23. ਉਦਾਹਰਨ 10
24. ਵਰਗਾਕਾਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
cos 2 θ+3cosθ−1=0,0≤θ<2π ਦਾ ਸਹੀ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ (substitution) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅਤੇ cos θ ਨੂੰ x ਨਾਲ ਬਦਲ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਗਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਆਸਾਨ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਜ਼ਰੂਰੀ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ cosθ=x। ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਫੈਕਟਰ (factor) ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫਾਰਮੂਲਾ x= −b± b 2 −4ac 2a ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
x ਨੂੰ cosθ ਨਾਲ ਬਦਲੋ ਅਤੇ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਸਿਰਫ਼ '+' ਨਿਸ਼ਾਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਇਹ ਇਸ ਲਈ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ θ= cos −1 ( −3− 13 2 ) ਨੂੰ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ 'ਤੇ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਗਲਤੀ ਮਿਲਦੀ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਨਵਰਸ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ [ −1,1 ] ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇੱਕ ਦੂਜਾ ਹੱਲ ਹੈ:
ਕੋਣ ਦਾ ਇਹ ਟਰਮੀਨਲ ਸਾਈਡ ਪਹਿਲੇ ਚੌਥਾਈ (quadrant I) ਵਿੱਚ ਪੈਂਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਕੋਸਾਈਨ ਚੌਥੇ ਚੌਥਾਈ (quadrant IV) ਵਿੱਚ ਵੀ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਦੂਜਾ ਹੱਲ ਹੈ
ਉਦਾਹਰਨ 11
ਫੈਕਟਰਿੰਗ ਦੁਆਰਾ ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਸਹੀ ਹੱਲ ਕਰੋ: 2 sin 2 θ−5sinθ+3=0,0≤θ≤2π।
ਹੱਲ
ਗਰੁੱਪਿੰਗ (grouping) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਇਸ ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਨੂੰ ਫੈਕਟਰ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜਾਂ ਤਾਂ ਅਸਲ ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ, sinθ=u, ਕਰੋ, ਜਾਂ ਇਸਨੂੰ ਕਲਪਨਾ ਕਰੋ, ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਫੈਕਟਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਹੁਣ ਹਰੇਕ ਫੈਕਟਰ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰੋ।
ਅੱਗੇ θ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ: sinθ≠ 3 2 , ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਰੇਂਜ [ −1,1 ] ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, sinθ=1, ਜਿਸ ਨਾਲ ਹੱਲ π 2 ਮਿਲਦਾ ਹੈ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਡੋਮੇਨ 'ਤੇ ਸਾਰੇ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨਾ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਓ ਕਿਉਂਕਿ ਕੁਝ ਫੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
sin 2 θ=2cosθ+2,0≤θ≤2π ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। [ਸੰਕੇਤ: ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਕਰੋ।]
ਉਦਾਹਰਨ 12
ਬੀਜਗਣਿਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਸਹੀ ਹੱਲ ਕਰੋ:
ਹੱਲ
ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਤੁਹਾਨੂੰ ਜਾਣੂ ਲੱਗਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਇੱਕ ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ sinθ=x। ਸਮੀਕਰਨ 2 x 2 +x=0 ਬਣ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਫੈਕਟਰਿੰਗ ਦੁਆਰਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਹਰੇਕ ਫੈਕਟਰ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰੋ।
ਫਿਰ, ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ x ਲਈ ਮੂਲ ਸਮੀਕਰਨ sinθ sinθ ਨੂੰ ਬਦਲੋ। x। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
0≤θ<2π 0≤θ<2π ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਹੱਲ 0, π, 7π/6, 11π/6 ਹਨ। 0, π, 7π/6, 11π/6।
ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਬਦਲਣਾ ਨਹੀਂ ਚਾਹੁੰਦੇ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰਨ ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖਣ ਦੇ ਉਸੇ ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਅਸੀਂ ਹੱਲਾਂ ਨੂੰ ਚਿੱਤਰ 3 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ 'ਤੇ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। 0≤θ<2π, 0≤θ<2π ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ 'ਤੇ, ਗ੍ਰਾਫ਼ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਚਾਰ ਵਾਰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ, ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਹੱਲਾਂ 'ਤੇ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਵਰਗਾਕਾਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨ, ਵਰਗਾਕਾਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਪਾਏ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਦੋ ਦੇ ਬਜਾਏ ਚਾਰ ਤੱਕ ਹੱਲ ਦੇ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਹੱਲ (ਕੋਣ) ਜੋ ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਸਾਈਨ ਮੁੱਲ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰੀ ਹੈ, ਦੋ ਕੋਣ ਪੈਦਾ ਕਰੇਗਾ ਜੋ ਉਸ ਮੁੱਲ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਦੇਣਗੇ।
ਅਸੀਂ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ 'ਤੇ ਵੀ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 2 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 13
ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਵਰਗਾਕਾਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਵਰਗਾਕਾਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਿਲਕੁਲ ਹੱਲ ਕਰੋ: 2 sin² θ - 3 sin θ + 1 = 0, 0 ≤ θ < 2π। 2 sin² θ - 3 sin θ + 1 = 0, 0 ≤ θ < 2π।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਸਮੂਹੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। θ ਦੇ ਹੱਲ ਮੁੱਲ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ 'ਤੇ ਪਾਏ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ:
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5
ਵਰਗਾਕਾਰ ਸਮੀਕਰਨ 2 cos² θ + cos θ = 0 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। 2 cos² θ + cos θ = 0।
ਮੂਲ ਪਛਾਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਜਦੋਂ ਕਿ ਅਲਜਬਰਾ ਕਈ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਮੂਲ ਪਛਾਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਵੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿਉਂਕਿ ਉਹ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਆਸਾਨ ਬਣਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਜੋ ਤਕਨੀਕਾਂ ਵਰਤਦੇ ਹਾਂ, ਉਹ ਪਛਾਣਾਂ ਨੂੰ ਸਿੱਧ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤੀਆਂ ਜਾਣ ਵਾਲੀਆਂ ਤਕਨੀਕਾਂ ਤੋਂ ਵੱਖਰੀਆਂ ਹਨ। ਅਲਜਬਰਾ ਦੇ ਬੁਨਿਆਦੀ ਨਿਯਮ ਇੱਥੇ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਇਸਦੇ ਉਲਟ ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ ਨਾਲ ਮੇਲਣ ਲਈ ਪਛਾਣ ਨੂੰ ਮੁੜ ਲਿਖਣ ਦੇ। ਅਗਲੀ ਉਦਾਹਰਣ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਦੋ ਪਛਾਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 14
ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਪਛਾਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ
0 ≤ x < 2π ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ 'ਤੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਬਿਲਕੁਲ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਪਛਾਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। 0 ≤ x < 2π।
ਹੱਲ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਖੱਬਾ ਪਾਸਾ ਕੋਸਾਈਨ ਲਈ ਅੰਤਰ ਫਾਰਮੂਲਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 2 ਵਿੱਚ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ cos x = √3/2 ਜਦੋਂ x = π/6, 11π/6। x = π/6, 11π/6।
ਉਦਾਹਰਨ 15
ਡਬਲ-ਐਂਗਲ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਡਬਲ-ਐਂਗਲ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਬਿਲਕੁਲ ਹੱਲ ਕਰੋ: cos(2θ) = cos θ। cos(2θ) = cos θ।
1. ਹੱਲ
2. ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਦੋਹਰੇ ਕੋਣ ਦੇ ਬਦਲ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟਾਵੇ ਦੀ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਤਿੰਨ ਚੋਣਾਂ ਹਨ। ਕਿਉਂਕਿ ਇੱਕ ਵਾਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਸਰਲ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ ਕੋਸਾਈਨ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਦੋਹਰੇ ਕੋਣ ਦੀ ਪਛਾਣ ਦੀ ਚੋਣ ਕਰਾਂਗੇ:
3. ਇਸ ਲਈ, ਜੇਕਰ cosθ=− 1 2 , ਤਾਂ θ= 2π 3 ±2πk ਅਤੇ θ= 4π 3 ±2πk; ਜੇਕਰ cosθ=1, ਤਾਂ θ=0±2πk।
4. ਉਦਾਹਰਨ 16
5. ਇੱਕ ਪਛਾਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
6. ਪਛਾਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਬਿਲਕੁਲ ਹੱਲ ਕਰੋ: 3cosθ+3=2 sin 2 θ,0≤θ<2π।
7. ਹੱਲ
8. ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਮੁੜ ਲਿਖੀਏ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
9. ਸਾਡੇ ਹੱਲ 2π 3 , 4π 3 ,π ਹਨ।
10. ਕਈ ਕੋਣਾਂ ਵਾਲੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
11. ਕਈ ਵਾਰ ਕਈ ਕੋਣਾਂ ਵਾਲੀਆਂ ਪਛਾਣਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ sin( 2x ) ਜਾਂ cos( 3x ) ਵਾਲੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਸੰਭਵ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਜਦੋਂ ਇਹਨਾਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਸਾਹਮਣਾ ਕਰਨਾ ਪੈਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ y=sin( 2x ) ਫੰਕਸ਼ਨ y=sinx ਦਾ 2 ਦੇ ਕਾਰਕ ਦੁਆਰਾ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਸੰਕੁਚਨ ਹੈ। 2π ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ y=sin( 2x ) ਦੇ ਦੋ ਚੱਕਰਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਦੋਂ ਕਿ y=sinx ਦਾ ਇੱਕ ਚੱਕਰ। ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਇਹ ਸੰਕੁਚਨ ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਸੋਚਣ ਲਈ ਪ੍ਰੇਰਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ sin( 2x )=0 ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਵਿੱਚ sinx=0 ਦੇ ਦੁੱਗਣੇ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਜਾਂ ਹੱਲ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਜਾਣਕਾਰੀ ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰੇਗੀ।
12. ਉਦਾਹਰਨ 17
13. ਇੱਕ ਕਈ ਕੋਣਾਂ ਵਾਲੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
14. ਬਿਲਕੁਲ ਹੱਲ ਕਰੋ: cos( 2x )= 1 2 [ 0,2π ) 'ਤੇ।
15. ਹੱਲ
16. ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਇੱਕ ਕੋਣ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਨਾਲ ਇੱਕ ਮਿਆਰੀ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ। ਜੇਕਰ cos( α )= 1 2 , ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ α ਚੌਥਾਈਆਂ I ਅਤੇ IV ਵਿੱਚ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਕਿ θ= cos −1 1 2 ਸਿਰਫ਼ ਚੌਥਾਈਆਂ I ਅਤੇ II ਵਿੱਚ ਹੱਲ ਦੇਵੇਗਾ, ਅਸੀਂ ਪਛਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ cosθ= 1 2 ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲ ਚੌਥਾਈਆਂ I ਅਤੇ IV ਵਿੱਚ ਹੋਣਗੇ।
17. ਇਸ ਲਈ, ਸੰਭਵ ਕੋਣ θ= π 3 ਅਤੇ θ= 5π 3 ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, 2x= π 3 ਜਾਂ 2x= 5π 3 , ਜਿਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ x= π 6 ਜਾਂ x= 5π 6 । ਕੀ ਇਹ ਸਮਝ ਆਉਂਦਾ ਹੈ? ਹਾਂ, ਕਿਉਂਕਿ cos( 2( π 6 ) )=cos( π 3 )= 1 2 ।
18. ਕੀ ਕੋਈ ਹੋਰ ਸੰਭਵ ਜਵਾਬ ਹਨ? ਆਓ ਆਪਣੇ ਪਹਿਲੇ ਕਦਮ 'ਤੇ ਵਾਪਸ ਚੱਲੀਏ।
19. ਚੌਥਾਈ I ਵਿੱਚ, 2x= π 3 , ਇਸ ਲਈ x= π 6 ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਨੋਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਆਓ ਚੱਕਰ ਦੁਆਲੇ ਦੁਬਾਰਾ ਘੁੰਮੀਏ:
20. ਇਸ ਲਈ x= 7π 6 ।
21. ਇੱਕ ਹੋਰ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਦਿੰਦਾ ਹੈ
22. x= 13π 6 >2π, ਇਸ ਲਈ x ਦਾ ਇਹ ਮੁੱਲ 2π ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਹ [ 0,2π ) 'ਤੇ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ।
23. ਚੌਥਾਈ IV ਵਿੱਚ, 2x= 5π 3 , ਇਸ ਲਈ x= 5π 6 ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਨੋਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਆਓ ਚੱਕਰ ਦੁਆਲੇ ਦੁਬਾਰਾ ਘੁੰਮੀਏ:
24. ਇਸ ਲਈ x= 11π 6 ।
ਇੱਕ ਹੋਰ ਚੱਕਰ ਲਿਆਉਣ ਨਾਲ
x = 17π/6 > 2π, x = 17π/6 > 2π, ਇਸ ਲਈ x ਦਾ ਇਹ ਮੁੱਲ 2π, 2π ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਹ [0, 2π) ਉੱਤੇ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ। [0, 2π)।
ਸਾਡੇ ਹੱਲ ਹਨ π/6, 5π/6, 7π/6, ਅਤੇ 11π/6। π/6, 5π/6, 7π/6, ਅਤੇ 11π/6। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਜਦੋਂ ਵੀ ਅਸੀਂ sin(nx) = c, sin(nx) = c ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਸਾਨੂੰ n ਵਾਰ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਣਾ ਪੈਂਦਾ ਹੈ।
ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਉਹਨਾਂ ਸਾਰੀਆਂ ਵਿਧੀਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਅਤੇ ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਥਿਊਰਮ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਜਾਣੀ-ਪਛਾਣੀ ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਥਿਊਰਮ, a² + b² = c², a² + b² = c² ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਸਥਿਤੀ ਦੇ ਅਨੁਕੂਲ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 18
ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਸਮੱਸਿਆ ਦੇ ਅਨੁਕੂਲ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਥਿਊਰਮ ਅਤੇ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਲੰਡਨ ਆਈ ਫੈਰਿਸ ਵ੍ਹੀਲ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਨੂੰ ਜ਼ਮੀਨ ਨਾਲ ਜੋੜਨ ਵਾਲੀਆਂ ਕੇਬਲਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਫੈਰਿਸ ਵ੍ਹੀਲ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ 69.5 ਮੀਟਰ ਉੱਪਰ ਹੈ, ਅਤੇ ਜ਼ਮੀਨ ਉੱਤੇ ਦੂਜਾ ਐਂਕਰ ਫੈਰਿਸ ਵ੍ਹੀਲ ਦੇ ਅਧਾਰ ਤੋਂ 23 ਮੀਟਰ ਦੂਰ ਹੈ। ਲਗਭਗ ਕੇਬਲ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਕਿੰਨੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਉਚਾਈ ਦਾ ਕੋਣ (ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ ਫੈਰਿਸ ਵ੍ਹੀਲ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਤੱਕ) ਕੀ ਹੈ? ਚਿੱਤਰ 4 ਦੇਖੋ।
ਹੱਲ
ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਥਿਊਰਮ ਨਾਲ ਕੇਬਲ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਉਚਾਈ ਦਾ ਕੋਣ θ, θ ਹੈ, ਜੋ ਜ਼ਮੀਨ ਉੱਤੇ ਦੂਜੇ ਐਂਕਰ ਅਤੇ ਵ੍ਹੀਲ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਵਾਲੀ ਕੇਬਲ ਦੁਆਰਾ ਬਣਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸਦੇ ਮਾਪ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਟੈਨਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਦੋ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
ਉਚਾਈ ਦਾ ਕੋਣ ਲਗਭਗ 71.7°, 71.7° ਹੈ, ਅਤੇ ਕੇਬਲ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 73.2 ਮੀਟਰ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 19
ਇੱਕ ਅਮੂਰਤ ਸਮੱਸਿਆ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
OSHA ਸੁਰੱਖਿਆ ਨਿਯਮਾਂ ਅਨੁਸਾਰ, ਸੀੜ੍ਹੀ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦੇ ਹਰ 4 ਫੁੱਟ ਲਈ ਸੀੜ੍ਹੀ ਦਾ ਅਧਾਰ ਕੰਧ ਤੋਂ 1 ਫੁੱਟ ਦੂਰ ਰੱਖਿਆ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਵੀ ਲੰਬਾਈ ਦੀ ਸੀੜ੍ਹੀ ਜ਼ਮੀਨ ਨਾਲ ਕਿੰਨਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਸੀੜ੍ਹੀ ਕੰਧ ਨੂੰ ਕਿੰਨੀ ਉਚਾਈ 'ਤੇ ਛੂੰਹਦੀ ਹੈ, ਇਹ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
ਹੱਲ
ਸੀੜ੍ਹੀ ਦੀ ਕਿਸੇ ਵੀ ਲੰਬਾਈ ਲਈ, ਅਧਾਰ ਨੂੰ ਕੰਧ ਤੋਂ ਸੀੜ੍ਹੀ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦੇ ਇੱਕ ਚੌਥਾਈ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਰੱਖਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਬਰਾਬਰ, ਜੇ ਸੀੜ੍ਹੀ ਦਾ ਅਧਾਰ ਕੰਧ ਤੋਂ "a" ਫੁੱਟ ਦੂਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਸੀੜ੍ਹੀ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 4a ਫੁੱਟ ਹੋਵੇਗੀ। ਚਿੱਤਰ 5 ਦੇਖੋ।
θ θ ਦੇ ਨਾਲ ਲੱਗਦੀ ਭੁਜਾ a ਹੈ ਅਤੇ ਕਰਨ 4a ਹੈ। 4a। ਇਸ ਲਈ,
ਸੀੜ੍ਹੀ ਦੀ ਉਚਾਈ ਜ਼ਮੀਨ ਨਾਲ 75.5°, 75.5° ਦਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਸੀੜ੍ਹੀ ਕੰਧ ਨੂੰ ਜਿਸ ਉਚਾਈ 'ਤੇ ਛੂੰਹਦੀ ਹੈ, ਉਹ ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪਤਾ ਲਗਾਈ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ:
ਇਸ ਲਈ, ਸੀੜ੍ਹੀ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ 15a 15a ਫੁੱਟ ਦੀ ਉਚਾਈ 'ਤੇ ਕੰਧ ਨੂੰ ਛੂੰਹਦੀ ਹੈ।
ਮੀਡੀਆ
ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਵਾਧੂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ I
Solving Trigonometric Equations II
Solving Trigonometric Equations III
Solving Trigonometric Equations IV
Solving Trigonometric Equations V
Solving Trigonometric Equations VI
Verbal
Will there always be solutions to trigonometric function equations? If not, describe an equation that would not have a solution. Explain why or why not.
When solving a trigonometric equation involving more than one trig function, do we always want to try to rewrite the equation so it is expressed in terms of one trigonometric function? Why or why not?
When solving linear trig equations in terms of only sine or cosine, how do we know whether there will be solutions?
Algebraic
For the following exercises, find all solutions exactly on the interval 0≤θ<2π. 0≤θ<2π.
2sinθ=− 2 2sinθ=− 2
2sinθ= 3 2sinθ= 3
2cosθ=1 2cosθ=1
2cosθ=− 2 2cosθ=− 2
tanθ=−1 tanθ=−1
tanx=1 tanx=1
cotx+1=0 cotx+1=0
4 sin 2 x−2=0 4 sin 2 x−2=0
csc 2 x−4=0 csc 2 x−4=0
For the following exercises, solve exactly on [0,2π). [0,2π).
2cosθ= 2 2cosθ= 2
2cosθ=−1 2cosθ=−1
2sinθ=−1 2sinθ=−1
2sinθ=− 3 2sinθ=− 3
2sin( 3θ )=1 2sin( 3θ )=1
2sin( 2θ )= 3 2sin( 2θ )= 3
2cos( 3θ )=− 2 2cos( 3θ )=− 2
cos( 2θ )=− 3 2 cos( 2θ )=− 3 2
2sin( πθ )=1 2sin( πθ )=1
2cos( π 5 θ )= 3 2cos( π 5 θ )= 3
For the following exercises, find all exact solutions on [ 0,2π ). [ 0,2π ).
sec(x)sin(x)−2sin(x)=0 sec(x)sin(x)−2sin(x)=0
tan(x)−2sin(x)tan(x)=0 tan(x)−2sin(x)tan(x)=0
2 cos 2 t+cos( t )=1 2 cos 2 t+cos( t )=1
2 tan 2 (t)=3sec(t) 2 tan 2 (t)=3sec(t)
2sin(x)cos(x)−sin(x)+2cos(x)−1=0 2sin(x)cos(x)−sin(x)+2cos(x)−1=0
cos 2 θ= 1 2 cos 2 θ= 1 2
sec 2 x=1 sec 2 x=1
tan 2 ( x )=−1+2tan( −x ) tan 2 ( x )=−1+2tan( −x )
8 sin 2 (x)+6sin(x)+1=0 8 sin 2 (x)+6sin(x)+1=0
tan 5 (x)=tan(x) tan 5 (x)=tan(x)
For the following exercises, solve with the methods shown in this section exactly on the interval [0,2π). [0,2π).
sin(3x)cos(6x)−cos(3x)sin(6x)=−0.9 sin(3x)cos(6x)−cos(3x)sin(6x)=−0.9
sin(6x)cos(11x)−cos(6x)sin(11x)=−0.1 sin(6x)cos(11x)−cos(6x)sin(11x)=−0.1
cos( 2x )cosx+sin( 2x )sinx=1 cos( 2x )cosx+sin( 2x )sinx=1
6sin( 2t )+9sint=0 6sin( 2t )+9sint=0
9cos( 2θ )=9 cos 2 θ−4 9cos( 2θ )=9 cos 2 θ−4
sin( 2t )=cost sin( 2t )=cost
cos( 2t )=sint cos( 2t )=sint
cos(6x)−cos(3x)=0 cos(6x)−cos(3x)=0
For the following exercises, solve exactly on the interval [ 0,2π ). [ 0,2π ). Use the quadratic formula if the equations do not factor.
tan 2 x− 3 tanx=0 tan 2 x− 3 tanx=0
sin 2 x+sinx−2=0 sin 2 x+sinx−2=0
sin 2 x−2sinx−4=0 sin 2 x−2sinx−4=0
5 cos 2 x+3cosx−1=0 5 cos 2 x+3cosx−1=0
3 cos 2 x−2cosx−2=0 3 cos 2 x−2cosx−2=0
5 sin 2 x+2sinx−1=0 5 sin 2 x+2sinx−1=0
tan 2 x+5tanx−1=0 tan 2 x+5tanx−1=0
cot 2 x=−cotx cot 2 x=−cotx
− tan 2 x−tanx−2=0 − tan 2 x−tanx−2=0
For the following exercises, find exact solutions on the interval [0,2π). [0,2π). Look for opportunities to use trigonometric identities.
sin 2 x− cos 2 x−sinx=0 sin 2 x− cos 2 x−sinx=0
sin 2 x+ cos 2 x=0 sin 2 x+ cos 2 x=0
sin( 2x )−sinx=0 sin( 2x )−sinx=0
cos( 2x )−cosx=0 cos( 2x )−cosx=0
2tanx 2− sec 2 x − sin 2 x= cos 2 x 2tanx 2− sec 2 x − sin 2 x= cos 2 x
1−cos(2x)=1+cos(2x) 1−cos(2x)=1+cos(2x)
sec 2 x=7 sec 2 x=7
10sinxcosx=6cosx 10sinxcosx=6cosx
−3sint=15costsint −3sint=15costsint
4 cos 2 x−4=15cosx 4 cos 2 x−4=15cosx
8 sin 2 x+6sinx+1=0 8 sin 2 x+6sinx+1=0
8 cos 2 θ=3−2cosθ 8 cos 2 θ=3−2cosθ
6 cos 2 x+7sinx−8=0 6 cos 2 x+7sinx−8=0
12 sin 2 t+cost−6=0 12 sin 2 t+cost−6=0
tanx=3sinx tanx=3sinx
cos 3 t=cost cos 3 t=cost
Graphical
For the following exercises, algebraically determine all solutions of the trigonometric equation exactly, then verify the results by graphing the equation and finding the zeros. Use an interval of [0,2π)[0,2π).
6 sin 2 x−5sinx+1=0 6 sin 2 x−5sinx+1=0
8 cos 2 x−2cosx−1=0 8 cos 2 x−2cosx−1=0
100 tan 2 x+20tanx−3=0 100 tan 2 x+20tanx−3=0
2 cos 2 x−cosx+15=0 2 cos 2 x−cosx+15=0
20 sin 2 x−27sinx+7=0 20 sin 2 x−27sinx+7=0
2 tan 2 x+7tanx+6=0 2 tan 2 x+7tanx+6=0
130 tan 2 x+69tanx−130=0 130 tan 2 x+69tanx−130=0
Technology
For the following exercises, use a calculator to find all solutions to four decimal places.
sinx=0.27 sinx=0.27
sinx=−0.55 sinx=−0.55
tanx=−0.34 tanx=−0.34
cosx=0.71 cosx=0.71
For the following exercises, solve the equations algebraically, and then use a calculator to find the values on the interval [0,2π). [0,2π). Round to four decimal places.
tan 2 x+3tanx−3=0 tan 2 x+3tanx−3=0
6 tan 2 x+13tanx=−6 6 tan 2 x+13tanx=−6
tan 2 x−secx=1 tan 2 x−secx=1
sin 2 x−2 cos 2 x=0 sin 2 x−2 cos 2 x=0
2 tan 2 x+9tanx−6=0 2 tan 2 x+9tanx−6=0
4 sin 2 x+sin( 2x )secx−3=0 4 sin 2 x+sin( 2x )secx−3=0
Extensions
For the following exercises, find all solutions exactly to the equations on the interval [0,2π). [0,2π).
csc 2 x−3cscx−4=0 csc 2 x−3cscx−4=0
sin 2 x− cos 2 x−1=0 sin 2 x− cos 2 x−1=0
sin 2 x( 1− sin 2 x )+ cos 2 x( 1− sin 2 x )=0 sin 2 x( 1− sin 2 x )+ cos 2 x( 1− sin 2 x )=0
3 sec 2 x+2+ sin 2 x− tan 2 x+ cos 2 x=0 3 sec 2 x+2+ sin 2 x− tan 2 x+ cos 2 x=0
sin 2 x−1+2cos( 2x )− cos 2 x=1 sin 2 x−1+2cos( 2x )− cos 2 x=1
tan 2 x−1− sec 3 xcosx=0 tan 2 x−1− sec 3 xcosx=0
sin( 2x ) sec 2 x =0 sin( 2x ) sec 2 x =0
sin( 2x ) 2 csc 2 x =0 sin( 2x ) 2 csc 2 x =0
2 cos 2 x− sin 2 x−cosx−5=0 2 cos 2 x− sin 2 x−cosx−5=0
1 sec 2 x +2+ sin 2 x+4 cos 2 x=4 1 sec 2 x +2+ sin 2 x+4 cos 2 x=4
Real-World Applications
An airplane has only enough gas to fly to a city 200 miles northeast of its current location. If the pilot knows that the city is 25 miles north, how many degrees north of east should the airplane fly?
If a loading ramp is placed next to a truck, at a height of 4 feet, and the ramp is 15 feet long, what angle does the ramp make with the ground?
If a loading ramp is placed next to a truck, at a height of 2 feet, and the ramp is 20 feet long, what angle does the ramp make with the ground?
A woman is watching a launched rocket currently 11 miles in altitude. If she is standing 4 miles from the launch pad, at what angle is she looking up from horizontal?
An astronaut is in a launched rocket currently 15 miles in altitude. If a man is standing 2 miles from the launch pad, at what angle is she looking down at him from horizontal? (Hint: this is called the angle of depression.)
A woman is standing 8 meters away from a 10-meter tall building. At what angle is she looking to the top of the building?
A man is standing 10 meters away from a 6-meter tall building. Someone at the top of the building is looking down at him. At what angle is the person looking at him?
A 20-foot tall building has a shadow that is 55 feet long. What is the angle of elevation of the sun?
A 90-foot tall building has a shadow that is 2 feet long. What is the angle of elevation of the sun?
A spotlight on the ground 3 meters from a 2-meter tall man casts a 6 meter shadow on a wall 6 meters from the man. At what angle is the light?
A spotlight on the ground 3 feet from a 5-foot tall woman casts a 15-foot tall shadow on a wall 6 feet from the woman. At what angle is the light?
For the following exercises, find a solution to the word problem algebraically. Then use a calculator to verify the result. Round the answer to the nearest tenth of a degree.
A person does a handstand with his feet touching a wall and his hands 1.5 feet away from the wall. If the person is 6 feet tall, what angle do his feet make with the wall?
A person does a handstand with her feet touching a wall and her hands 3 feet away from the wall. If the person is 5 feet tall, what angle do her feet make with the wall?
A 23-foot ladder is positioned next to a house. If the ladder slips at 7 feet from the house when there is not enough traction, what angle should the ladder make with the ground to avoid slipping?