ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਸਾਈਨੋਸੌਇਡਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ ਅਤੇ ਪੀਰੀਅਡ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋਗੇ।
ਸਾਈਨੋਸੌਇਡਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰੋਗੇ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓਗੇ।
ਪੀਰੀਅਡਿਕ ਵਿਵਹਾਰ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰੋਗੇ।
ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਮੋਸ਼ਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰੋਗੇ।
ਚਿੱਤਰ 1: ਘੜੀ ਦੇ ਹੱਥ ਪੀਰੀਅਡਿਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ: ਉਹ ਹਰ ਬਾਰਾਂ ਘੰਟਿਆਂ ਬਾਅਦ ਸਥਿਤੀਆਂ ਦੁਹਰਾਉਂਦੇ ਹਨ। (ਸਰੋਤ: “zoutedrop”/Flickr)
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸਾਲ ਦੌਰਾਨ ਨਿਊਯਾਰਕ ਸਿਟੀ ਵਿੱਚ ਔਸਤ ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਤਾਪਮਾਨ ਦਾ ਚਾਰਟ ਬਣਾਇਆ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਜਨਵਰੀ ਅਤੇ ਫਰਵਰੀ ਵਿੱਚ ਸਭ ਤੋਂ ਘੱਟ ਤਾਪਮਾਨ ਅਤੇ ਜੁਲਾਈ ਅਤੇ ਅਗਸਤ ਵਿੱਚ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਧ ਤਾਪਮਾਨ ਪਾਉਣ ਦੀ ਉਮੀਦ ਕਰਾਂਗੇ। ਇਹ ਜਾਣਿਆ-ਪਛਾਣਿਆ ਚੱਕਰ ਸਾਲ-ਦਰ-ਸਾਲ ਦੁਹਰਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਕਈ ਸਾਲਾਂ ਤੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਵਧਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਇਹ ਇੱਕ ਪੀਰੀਅਡਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਰਗਾ ਦਿਖਾਈ ਦੇਵੇਗਾ।
ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਹੋਰ ਕੁਦਰਤੀ ਘਟਨਾਵਾਂ ਵੀ ਪੀਰੀਅਡਿਕ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਚੰਦਰਮਾ ਦੇ ਪੜਾਵਾਂ ਦਾ ਪੀਰੀਅਡ ਲਗਭਗ 28 ਦਿਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਪੰਛੀ ਹਰ ਸਾਲ ਲਗਭਗ ਇੱਕੋ ਸਮੇਂ ਦੱਖਣ ਵੱਲ ਉੱਡਣਾ ਜਾਣਦੇ ਹਨ।
ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਪੀਰੀਅਡਿਕ ਵਿਵਹਾਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਮਾਡਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ? ਪਹਿਲਾਂ, ਸਾਨੂੰ ਡਾਟਾ ਇਕੱਠਾ ਕਰਨਾ ਅਤੇ ਰਿਕਾਰਡ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਇੱਕ ਦੇਖੀ ਗਈ ਪੈਟਰਨ ਵਰਗਾ ਲੱਗਦਾ ਹੈ। ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਭਰੋਸੇਯੋਗ ਮਾਡਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਜ਼ਰੂਰੀ ਬਦਲਾਅ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪੀਰੀਅਡਿਕ ਵਿਵਹਾਰ ਦੀਆਂ ਖਾਸ ਕਿਸਮਾਂ 'ਤੇ ਡੂੰਘੀ ਨਜ਼ਰ ਮਾਰਾਂਗੇ ਅਤੇ ਡਾਟਾ ਨੂੰ ਫਿੱਟ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਾਂਗੇ।
ਸਾਈਨੋਸੌਇਡਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ ਅਤੇ ਪੀਰੀਅਡ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ
ਕੋਈ ਵੀ ਗਤੀ ਜੋ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨੂੰ ਦੁਹਰਾਉਂਦੀ ਹੈ, ਪੀਰੀਅਡਿਕ ਗਤੀ ਮੰਨੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਸਾਈਨੋਸੌਇਡਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਸਾਈਨੋਸੌਇਡਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ ਮਿਡਲਾਈਨ ਤੋਂ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਤੱਕ, ਜਾਂ ਮਿਡਲਾਈਨ ਤੋਂ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਹੈ। ਮਿਡਲਾਈਨ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਹੈ। ਸਾਈਨੋਸੌਇਡਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮਿਡਲਾਈਨ ਦੇ ਉੱਪਰ ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਓਸੀਲੇਟ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਪੀਰੀਅਡਿਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਚੱਕਰਾਂ ਵਿੱਚ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਦੁਹਰਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਪੀਰੀਅਡ 2π ਹੈ। 2π। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, x ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਮੁੱਲ ਲਈ, x,
ਸਾਈਨੋਸੌਇਡਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਸਟੈਂਡਰਡ ਰੂਪ
ਇੱਕ ਸਾਈਨੋਸੌਇਡਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਆਮ ਰੂਪ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ
ਜਿੱਥੇ ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ=|A|,B ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ=|A|,B ਪੀਰੀਅਡ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਪੀਰੀਅਡ= 2π B ,C ਫੇਜ਼ ਸ਼ਿਫਟ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ C B C B ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਸ਼ਿਫਟ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ D D ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਪੇਰੈਂਟ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਵਰਟੀਕਲ ਸ਼ਿਫਟ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਮਾਡਲਾਂ ਨੂੰ ਕਈ ਵਾਰ y=asin( ωt±C )+D y=asin( ωt±C )+D ਜਾਂ y=acos( ωt±C )+D, y=acos( ωt±C )+D, ਅਤੇ ਪੀਰੀਅਡ 2π ω . 2π ω . ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਅੰਤਰ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਸਾਈਨ ਗ੍ਰਾਫ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਗ੍ਰਾਫ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੁਆਰਾ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਬਦਲਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਇਹ ਦਿਖਾਉਣਾ
y=sinx y=sinx ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਰੂਪਾਂਤਰਣ ਨੂੰ y=2sin( 4x− π 2 )+2. y=2sin( 4x− π 2 )+2. ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਓ।
ਹੱਲ
ਚਿੱਤਰ 2 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੀ ਲੜੀ ਅਤੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਤਬਦੀਲੀ ਚਿੱਤਰ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਬਦਲਦੀ ਹੈ, ਇਸ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।
ਚਿੱਤਰ 2: (a) y=sinx y=sinx ਦਾ ਬੁਨਿਆਦੀ ਗ੍ਰਾਫ (b) ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ ਨੂੰ 1 ਤੋਂ 2 ਤੱਕ ਬਦਲਣ ਨਾਲ y=2sinx. y=2sinx. ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਦਾ ਹੈ। (c) ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਪੀਰੀਅਡ B, B, ਦੇ ਮੁੱਲ ਨਾਲ ਬਦਲਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਪੀਰੀਅਡ= 2π B . ਪੀਰੀਅਡ= 2π B . ਇੱਥੇ ਸਾਡੇ ਕੋਲ B=4, B=4, ਹੈ, ਜੋ ਕਿ π 2 . π 2 . ਦੇ ਪੀਰੀਅਡ ਵਿੱਚ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ π 2 π 2 ਯੂਨਿਟਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪੂਰਾ ਚੱਕਰ ਪੂਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। (d) ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਸ਼ਿਫਟ ਨੂੰ C B , C B , ਜਾਂ π 2 4 = π 8 . π 2 4 = π 8 . ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। (e) ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ D ਦੇ ਮੁੱਲ ਦੁਆਰਾ ਵਰਟੀਕਲੀ ਸ਼ਿਫਟ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। D. ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ 2 ਯੂਨਿਟ ਉੱਪਰ ਸ਼ਿਫਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 2
ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ ਅਤੇ ਪੀਰੀਅਡ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ ਅਤੇ ਪੀਰੀਅਡ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ ਅਤੇ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
y=2sin( 1 4 x )
y=−3sin( 2x+ π 2 )
y=cosx+3
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਮਾਡਲਾਂ ਅਨੁਸਾਰ ਹੱਲ ਕਰਾਂਗੇ।
y=2sin( 1 4 x ) ਸਾਈਨ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ y=Asin( Bt+C )+D ਰੂਪ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ | A | ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ 2 ਹੈ। ਪੀਰੀਅਡ 2π B ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਪੀਰੀਅਡ 2π B = 2π 1 4 =8π ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 3 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇਖੋ। ਚਿੱਤਰ 3
y=−3sin( 2x+ π 2 ) ਸਾਈਨ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ y=Asin( Bt−C )+D ਰੂਪ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ | A | ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ | −3 |=3 ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ A ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਗ੍ਰਾਫ x-ਧੁਰੇ ਉੱਤੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਪੀਰੀਅਡ 2π B ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਪੀਰੀਅਡ 2π B = 2π 2 =π ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ C B = π 2 2 = π 4 ਇਕਾਈਆਂ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 4 ਦੇਖੋ। ਚਿੱਤਰ 4
y=cosx+3 ਕੋਸਾਈਨ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ y=Acos( Bt±C )+D ਰੂਪ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ | A | ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ 1 ਹੈ। ਪੀਰੀਅਡ 2π ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 5 ਦੇਖੋ। ਇਹ ਸਟੈਂਡਰਡ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜੋ ਤਿੰਨ ਇਕਾਈਆਂ ਉੱਪਰ ਸ਼ਿਫਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 5
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
ਫੰਕਸ਼ਨ y=3cos(3πx) ਦਾ ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ ਅਤੇ ਪੀਰੀਅਡ ਕੀ ਹੈ?
ਸਾਈਨੂਸੋਇਡਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਲੱਭਣਾ
ਸਾਈਨੂਸੋਇਡਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਪੰਜ ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ ਹੈ। ਇਹ ਬਿੰਦੂ ਪੀਰੀਅਡ ਦੇ 1 4 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਹੋਣਗੇ। ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਅਤੇ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣਗੇ। ਜੇ ਕੋਈ ਵਰਟੀਕਲ ਸ਼ਿਫਟ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਹ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟਾਂ ਨੂੰ ਵੀ ਦਰਸਾਉਣਗੇ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ y=cosθ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਪੀਰੀਅਡ 2π ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਅੰਤਰਾਲ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ।
θ=0 ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾ y-ਮੁੱਲ ਗਿਣਦੇ ਹਾਂ, ਅੰਤਰਾਲ π 2 ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਨੂੰ 0 ਵਿੱਚ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਦੂਜਾ y-ਮੁੱਲ ਗਿਣਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਫਿਰ ਪੰਜ ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲੱਗਣ ਤੱਕ π 2 ਨੂੰ ਵਾਰ-ਵਾਰ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ। ਆਖਰੀ ਮੁੱਲ ਪਹਿਲੇ ਮੁੱਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਗਣਨਾ ਇੱਕ ਪੂਰਾ ਪੀਰੀਅਡ ਕਵਰ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਟੇਬਲ 1 ਦੇ ਸਮਾਨ ਇੱਕ ਟੇਬਲ ਬਣਾ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਚਿੱਤਰ 6 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਤੇ ਸਪਸ਼ਟ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
θ | 0 | π 2 | π | 3π 2 | 2π
y=cosθ | 1 | 0 | −1 | 0 | 1
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਾਈਨੂਸੋਇਡਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ
ਫੰਕਸ਼ਨ y=−4cos( πx ) ਨੂੰ ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ, ਪੀਰੀਅਡ ਅਤੇ ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ |−4|=4 ਹੈ। ਪੀਰੀਅਡ 2π ω = 2π π =2 ਹੈ। (ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਕਈ ਵਾਰ B ਨੂੰ ω ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ।) ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਇੱਕ ਚੱਕਰ [ 0,2 ] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਪੀਰੀਅਡ ਨੂੰ 4 ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਟੇਬਲ 2 ਦੇ ਸਮਾਨ ਇੱਕ ਟੇਬਲ ਬਣਾਓ, x=0 ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ ਅਤੇ ਫਿਰ successively x ਵਿੱਚ 1 2 ਜੋੜੋ ਅਤੇ y ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ। ਚਿੱਤਰ 7 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇਖੋ।
x | 0 | 1 2 | 1 | 3 2 | 2
y=−4cos( πx ) | −4 | 0 | 4 | 0 | −4
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #2
2. ਐਪਲੀਟਿਊਡ, ਪੀਰੀਅਡ ਅਤੇ ਪੰਜ ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਫੰਕਸ਼ਨ y=3sin(3x) y=3sin(3x) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
3. ਪੀਰੀਅਡਿਕ ਵਿਵਹਾਰ ਦਾ ਮਾਡਲਿੰਗ
4. ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਇਹਨਾਂ ਵਿਚਾਰਾਂ ਨੂੰ ਪੀਰੀਅਡਿਕ ਵਿਵਹਾਰ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਕਰਾਂਗੇ।
5. ਉਦਾਹਰਨ 4
6. ਮਾਪਦੰਡਾਂ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਣਾ ਅਤੇ ਸਾਈਨੋਸੋਇਡਲ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣਾ
7. ਓਰੇਗਨ ਦੇ ਇੱਕ ਛੋਟੇ ਕਸਬੇ ਲਈ ਔਸਤ ਮਾਸਿਕ ਤਾਪਮਾਨ ਟੇਬਲ 3 ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ। y=Asin( Bt−C )+D y=Asin( Bt−C )+D ਰੂਪ ਦਾ ਇੱਕ ਸਾਈਨੋਸੋਇਡਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੱਭੋ ਜੋ ਡਾਟਾ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਹੋਵੇ (ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਦਸਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ) ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
8. ਕਤਾਰ: ਮਹੀਨਾ | ਤਾਪਮਾਨ, o F o F
9. ਕਤਾਰ: ਜਨਵਰੀ | 42.5
10. ਕਤਾਰ: ਫਰਵਰੀ | 44.5
11. ਕਤਾਰ: ਮਾਰਚ | 48.5
12. ਕਤਾਰ: ਅਪ੍ਰੈਲ | 52.5
13. ਕਤਾਰ: ਮਈ | 58
14. ਕਤਾਰ: ਜੂਨ | 63
15. ਕਤਾਰ: ਜੁਲਾਈ | 68.5
16. ਕਤਾਰ: ਅਗਸਤ | 69
17. ਕਤਾਰ: ਸਤੰਬਰ | 64.5
18. ਕਤਾਰ: ਅਕਤੂਬਰ | 55.5
19. ਕਤਾਰ: ਨਵੰਬਰ | 46.5
20. ਕਤਾਰ: ਦਸੰਬਰ | 43.5
21. ਹੱਲ
22. ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਐਪਲੀਟਿਊਡ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲੱਭਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
23. ਇਸ ਲਈ, ਐਪਲੀਟਿਊਡ ਹੈ
24. ਡਾਟਾ 12 ਮਹੀਨਿਆਂ ਦੀ ਮਿਆਦ ਨੂੰ ਕਵਰ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ 2π B =12 2π B =12 ਜੋ B= 2π 12 = π 6 ਦਿੰਦਾ ਹੈ। B= 2π 12 = π 6 .
1. ਉੱਚਾਈ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪਤਾ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
2. ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਉੱਚਾਈ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਹੈ
3. ਹੁਣ ਤੱਕ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਸਮੀਕਰਨ y=13.3sin( π 6 x−C )+55.8 ਹੈ।
4. ਖਿਤਿਜੀ ਤਬਦੀਲੀ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲੇ ਮਹੀਨੇ ਲਈ x ਅਤੇ y ਮੁੱਲ ਦਰਜ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ C ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
5. ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਸਮੀਕਰਨ y=13.3sin( π 6 x− 2π 3 )+55.8 ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 8 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇਖੋ।
6. ਉਦਾਹਰਨ 5
7. ਆਵਰਤੀ ਗਤੀ ਦਾ ਵਰਣਨ
8. ਯੂਨੀਅਨ ਸਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵੱਡੀ ਕੰਧ ਘੜੀ ਦੇ ਘੰਟੇ ਵਾਲੇ ਹੱਥ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 24 ਇੰਚ ਹੈ। ਦੁਪਹਿਰ ਨੂੰ, ਘੰਟੇ ਵਾਲੇ ਹੱਥ ਦਾ ਸਿਰਾ ਛੱਤ ਤੋਂ 30 ਇੰਚ ਦੂਰ ਹੈ। ਦੁਪਹਿਰ 3 ਵਜੇ, ਸਿਰਾ ਛੱਤ ਤੋਂ 54 ਇੰਚ ਦੂਰ ਹੈ, ਅਤੇ ਸ਼ਾਮ 6 ਵਜੇ, 78 ਇੰਚ। ਰਾਤ 9 ਵਜੇ, ਇਹ ਦੁਬਾਰਾ ਛੱਤ ਤੋਂ 54 ਇੰਚ ਦੂਰ ਹੈ, ਅਤੇ ਅੱਧੀ ਰਾਤ ਨੂੰ, ਘੰਟੇ ਵਾਲੇ ਹੱਥ ਦਾ ਸਿਰਾ ਆਪਣੀ ਅਸਲ ਸਥਿਤੀ ਛੱਤ ਤੋਂ 30 ਇੰਚ ਦੂਰ 'ਤੇ ਵਾਪਸ ਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। y ਨੂੰ ਦੁਪਹਿਰ ਤੋਂ x ਘੰਟੇ ਬਾਅਦ ਘੰਟੇ ਵਾਲੇ ਹੱਥ ਦੇ ਸਿਰੇ ਤੋਂ ਛੱਤ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਮੰਨੋ। ਘੜੀ ਦੀ ਗਤੀ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
9. ਹੱਲ
10. ਟੇਬਲ 4 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਅਨੁਸਾਰ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਬਣਾ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ।
11. ਕਤਾਰ: x | y | ਪਲਾਟ ਕਰਨ ਲਈ ਬਿੰਦੂ
12. ਕਤਾਰ: ਦੁਪਹਿਰ | 30 ਇੰਚ | ( 0,30 )
13. ਕਤਾਰ: ਦੁਪਹਿਰ 3 ਵਜੇ | 54 ਇੰਚ | ( 3,54 )
14. ਕਤਾਰ: ਸ਼ਾਮ 6 ਵਜੇ | 78 ਇੰਚ | ( 6,78 )
15. ਕਤਾਰ: ਰਾਤ 9 ਵਜੇ | 54 ਇੰਚ | ( 9,54 )
16. ਕਤਾਰ: ਅੱਧੀ ਰਾਤ | 30 ਇੰਚ | ( 12,30 )
17. ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਮਾਡਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ (amplitude) ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।
18. ਘੜੀ ਦਾ ਚੱਕਰ ਹਰ 12 ਘੰਟਿਆਂ ਬਾਅਦ ਦੁਹਰਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
19. ਉੱਚਾਈ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਹੈ
20. ਕੋਈ ਖਿਤਿਜੀ ਤਬਦੀਲੀ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ C=0। ਕਿਉਂਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ x=0 'ਤੇ y ਦੇ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਦੇ ਉਲਟ), ਅਸੀਂ A ਲਈ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਮੁੱਲ ਦੇ ਨਾਲ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ। y=Acos(Bx±C)+D ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ
21. ਚਿੱਤਰ 9 ਦੇਖੋ।
22. ਉਦਾਹਰਨ 6
23. ਜਵਾਰ-ਭਾਟੇ ਲਈ ਇੱਕ ਮਾਡਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ
24. ਇੱਕ ਛੋਟੇ ਬੀਚ ਟਾਊਨ ਵਿੱਚ ਜਵਾਰ ਦੀ ਉਚਾਈ ਇੱਕ ਸਮੁੰਦਰੀ ਕੰਢੇ ਦੇ ਨਾਲ ਮਾਪੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਪਾਣੀ ਦਾ ਪੱਧਰ ਘੱਟ ਜਵਾਰ 'ਤੇ 7 ਫੁੱਟ ਅਤੇ ਉੱਚ ਜਵਾਰ 'ਤੇ 15 ਫੁੱਟ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਘੁੰਮਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਖਾਸ ਦਿਨ, ਸਵੇਰ 6 ਵਜੇ ਘੱਟ ਜਵਾਰ ਆਇਆ ਅਤੇ ਦੁਪਹਿਰ ਨੂੰ ਉੱਚ ਜਵਾਰ ਆਇਆ। ਲਗਭਗ ਹਰ 12 ਘੰਟਿਆਂ ਬਾਅਦ, ਚੱਕਰ ਦੁਹਰਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਪਾਣੀ ਦੇ ਪੱਧਰਾਂ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਪਾਣੀ ਦਾ ਪੱਧਰ 7 ਫੁੱਟ ਤੋਂ 15 ਫੁੱਟ ਤੱਕ ਬਦਲਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
ਚੱਕਰ ਹਰ 12 ਘੰਟਿਆਂ ਬਾਅਦ ਦੁਹਰਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ; ਇਸ ਲਈ, B B ਹੈ
(15+7) 2 =11 ਦਾ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਨੁਵਾਦ ਹੈ। (15+7) 2 =11। ਕਿਉਂਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ t=0, t=0 'ਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ, ਜਿਸਦਾ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਮੁੱਲ A. A ਲਈ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 10 ਦੇਖੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
ਮਾਰਚ ਮਹੀਨੇ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸ਼ਹਿਰ ਦਾ ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਤਾਪਮਾਨ 24 °F 24 °F ਦੇ ਨਿਊਨਤਮ ਤੋਂ 40 °F 40 °F ਦੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਤੱਕ ਬਦਲਦਾ ਹੈ। ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਤਾਪਮਾਨ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸਾਈਨੋਸੋਇਡਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। ਤਾਪਮਾਨ ਦੇ 32 °F 32 °F ਦੇ ਜੰਮਣ ਬਿੰਦੂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਦੇ ਸਮੇਂ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਓ। t=0 t=0 ਦੁਪਹਿਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 7
ਆਵਰਤੀ ਵਿਵਹਾਰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ
ਔਸਤ ਵਿਅਕਤੀ ਦਾ ਬਲੱਡ ਪ੍ਰੈਸ਼ਰ ਫੰਕਸ਼ਨ f( t )=20sin( 160πt )+100, f( t )=20sin( 160πt )+100 ਦੁਆਰਾ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ f( t ) f( t ) ਸਮੇਂ t 'ਤੇ ਬਲੱਡ ਪ੍ਰੈਸ਼ਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, t, ਮਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਮਿਆਦ ਅਤੇ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ। ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਬਲੱਡ ਪ੍ਰੈਸ਼ਰ ਰੀਡਿੰਗ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਮਿਆਦ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ
ਬਲੱਡ ਪ੍ਰੈਸ਼ਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ, ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ਪ੍ਰਤੀ ਮਿੰਟ ਦਿਲ ਦੀਆਂ ਧੜਕਣਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ਮਿਆਦ ਦਾ ਉਲਟ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ
ਚਿੱਤਰ 11 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇਖੋ।
ਚਿੱਤਰ 11: ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਬਲੱਡ ਪ੍ਰੈਸ਼ਰ ਰੀਡਿੰਗ 120 80 (ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ) ਹੈ। 120 80 (ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ)।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
120 80 120 80 ਦਾ ਬਲੱਡ ਪ੍ਰੈਸ਼ਰ ਆਮ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉੱਪਰਲੀ ਸੰਖਿਆ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਸਿਸਟੋਲਿਕ ਰੀਡਿੰਗ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਦਿਲ ਦੇ ਸੰਕੁਚਨ ਵੇਲੇ ਧਮਨੀਆਂ ਵਿੱਚ ਦਬਾਅ ਨੂੰ ਮਾਪਦੀ ਹੈ। ਹੇਠਲੀ ਸੰਖਿਆ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਜਾਂ ਡਾਇਆਸਟੋਲਿਕ ਰੀਡਿੰਗ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਧਮਨੀਆਂ ਵਿੱਚ ਦਬਾਅ ਨੂੰ ਮਾਪਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਦਿਲ ਧੜਕਣਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਆਰਾਮ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਖੂਨ ਨਾਲ ਭਰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਆਮ ਬਲੱਡ ਪ੍ਰੈਸ਼ਰ ਨੂੰ 120 ਦੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਅਤੇ 80 ਦੇ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਦੇ ਨਾਲ ਇੱਕ ਆਵਰਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਗਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਮਾਡਲਿੰਗ
ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਗਤੀ ਆਵਰਤੀ ਗਤੀ ਦਾ ਇੱਕ ਰੂਪ ਹੈ, ਪਰ ਕੁਝ ਕਾਰਕ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਨਾ ਹੈ ਜੋ ਦੋਵਾਂ ਕਿਸਮਾਂ ਵਿੱਚ ਅੰਤਰ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਜਦੋਂ ਕਿ ਆਮ ਆਵਰਤੀ ਗਤੀ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਕੋਈ ਬਾਹਰੀ ਦਖਲਅੰਦਾਜ਼ੀ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ ਆਪਣੇ ਸਮੇਂ ਚੱਕਰ ਲਗਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ, ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਗਤੀ ਲਈ ਇੱਕ ਬਹਾਲੀ ਬਲ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਗਤੀ ਦੀਆਂ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਸਪਰਿੰਗ, ਗੁਰੂਤਾ ਬਲ ਅਤੇ ਚੁੰਬਕੀ ਬਲ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ।
ਸਧਾਰਨ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਗਤੀ
ਸਧਾਰਨ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਗਤੀ ਵਜੋਂ ਵਰਣਿਤ ਗਤੀ ਦੀ ਇੱਕ ਕਿਸਮ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਹਾਲੀ ਬਲ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਪਰ ਇਹ ਮੰਨਦਾ ਹੈ ਕਿ ਗਤੀ ਹਮੇਸ਼ਾ ਲਈ ਜਾਰੀ ਰਹੇਗੀ। ਇੱਕ ਸਪਰਿੰਗ 'ਤੇ ਲਟਕੀ ਹੋਈ ਇੱਕ ਭਾਰੀ ਵਸਤੂ ਦੀ ਕਲਪਨਾ ਕਰੋ, ਜਦੋਂ ਉਹ ਵਸਤੂ ਵਿਘਨਿਤ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਵਸਤੂ ਆਰਾਮ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਜਾਂ ਸੰਤੁਲਨ ਵਿੱਚ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਵਸਤੂ ਨੂੰ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਫਿਰ ਛੱਡਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਪਰਿੰਗ ਦਾ ਬਲ ਵਸਤੂ ਨੂੰ ਸੰਤੁਲਨ ਵੱਲ ਵਾਪਸ ਖਿੱਚਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਗਤੀ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਬਹਾਲੀ ਬਲ ਵਸਤੂ ਦੇ ਉਸਦੇ ਸੰਤੁਲਨ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਵਿਸਥਾਪਨ ਦੇ ਸਿੱਧੇ ਅਨੁਪਾਤੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ t=0, d=0। t=0, d=0।
ਸਧਾਰਨ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਗਤੀ
ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਧਾਰਨ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਗਤੀ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿਸਥਾਪਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ:
ਜਿੱਥੇ | a | | a | ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਹੈ, 2π ω 2π ω ਮਿਆਦ ਹੈ, ਅਤੇ ω 2π ω 2π ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ਹੈ, ਜਾਂ ਪ੍ਰਤੀ ਯੂਨਿਟ ਸਮੇਂ ਚੱਕਰਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ।
1. ਉਦਾਹਰਨ 8
2. ਵਿਸਥਾਪਨ, ਅਵਧੀ ਅਤੇ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ਲੱਭਣਾ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
3. ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ,
4. ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਵਿਸਥਾਪਨ ਲੱਭੋ।
5. ਇੱਕ ਕੰਪਨ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦਾ ਸਮਾਂ ਜਾਂ ਅਵਧੀ ਲੱਭੋ।
6. ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ਲੱਭੋ।
7. ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
8. ⓐ y=5sin( 3t )
9. ⓑ y=6cos( πt )
10. ⓒ y=5cos( π 2 t )
11. ਹੱਲ
12. ⓐ y=5sin( 3t ) ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਵਿਸਥਾਪਨ ਅਨੁਸਾਰੀ ਮਾਪ (| a |) ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ 5 ਹੈ। ਅਵਧੀ 2π ω = 2π 3 ਹੈ। ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ω 2π = 3 2π ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 12 ਦੇਖੋ। ਗ੍ਰਾਫ ਪੰਜ ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 12
13. ⓑ y=6cos( πt ) ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਵਿਸਥਾਪਨ 6 ਹੈ। ਅਵਧੀ 2π ω = 2π π =2 ਹੈ। ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ω 2π = π 2π = 1 2 ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 13 ਦੇਖੋ। ਚਿੱਤਰ 13
14. ⓒ y=5cos( π 2 )t ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਵਿਸਥਾਪਨ 5 ਹੈ। ਅਵਧੀ 2π ω = 2π π 2 =4 ਹੈ। ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ 1 4 ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 14 ਦੇਖੋ। ਚਿੱਤਰ 14
15. ਡੈਂਪਡ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਮੋਸ਼ਨ
16. ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਲੋਲਕ ਹਮੇਸ਼ਾ ਲਈ ਅੱਗੇ-ਪਿੱਛੇ ਨਹੀਂ ਝੂਲਦਾ, ਨਾ ਹੀ ਇੱਕ ਸਪਰਿੰਗ 'ਤੇ ਲੱਗੀ ਵਸਤੂ ਹਮੇਸ਼ਾ ਲਈ ਉੱਪਰ-ਥੱਲੇ ਉਛਲਦੀ ਹੈ। ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਲੋਲਕ ਝੂਲਣਾ ਬੰਦ ਕਰ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਵਸਤੂ ਉਛਲਣਾ ਬੰਦ ਕਰ ਦਿੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਦੋਵੇਂ ਸੰਤੁਲਨ ਵੱਲ ਪਰਤ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਉਹ ਆਵਰਤੀ ਗਤੀ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਊਰਜਾ-ਖਤਮ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਬਲ, ਜਾਂ ਡੈਂਪਿੰਗ ਕਾਰਕ, ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਡੈਂਪਡ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਮੋਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਰਗੜ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਡੈਂਪਿੰਗ ਕਾਰਕ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
17. ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ, ਚਲਦੀ ਵਸਤੂ 'ਤੇ ਡੈਂਪਿੰਗ ਕਾਰਕ ਦਾ ਹਿਸਾਬ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਇਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੁਝ ਕੈਲਕੂਲਸ-ਆਧਾਰਿਤ ਫਾਰਮੂਲੇ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਸਾਡੇ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਬੁਨਿਆਦੀ ਡੈਂਪਡ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਮੋਸ਼ਨ ਮਾਡਲਾਂ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
18. ਡੈਂਪਡ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਮੋਸ਼ਨ
19. ਡੈਂਪਡ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਮੋਸ਼ਨ ਵਿੱਚ, ਸਮਾਂ t 'ਤੇ ਇਸਦੀ ਆਰਾਮ ਸਥਿਤੀ ਤੋਂ ਇੱਕ ਕੰਪਨ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਵਸਤੂ ਦਾ ਵਿਸਥਾਪਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
20. ਜਿੱਥੇ c ਇੱਕ ਡੈਂਪਿੰਗ ਕਾਰਕ ਹੈ, | a | ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਵਿਸਥਾਪਨ ਹੈ ਅਤੇ 2π ω ਅਵਧੀ ਹੈ।
21. ਉਦਾਹਰਨ 9
22. ਡੈਂਪਡ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਮੋਸ਼ਨ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਣਾ
23. ਦੋ ਦ੍ਰਿਸ਼ਾਂ ਦੇ ਅਨੁਕੂਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਯੂਟਿਲਿਟੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ: ਦੋ ਪੁੰਜ-ਸਪਰਿੰਗ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ 0.5 ਚੱਕਰ ਪ੍ਰਤੀ ਸਕਿੰਟ ਦੀ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ 'ਤੇ ਡੈਂਪਡ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਮੋਸ਼ਨ ਦਾ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਨ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ। ਦੋਵਾਂ ਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਵਿਸਥਾਪਨ 10 cm ਹੈ। ਪਹਿਲੇ ਦਾ ਡੈਂਪਿੰਗ ਕਾਰਕ 0.5 ਹੈ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਦਾ ਡੈਂਪਿੰਗ ਕਾਰਕ 0.1 ਹੈ।
24. ਹੱਲ
ਸਮਾਂ t=0 'ਤੇ, ਵਿਸਥਾਪਨ 10 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਦਾ ਮਹੱਤਮ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਮੰਗ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੋਵਾਂ ਮਾਡਲਾਂ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੋਵੇਗਾ।
ਸਾਨੂੰ 0.5 ਚੱਕਰ ਪ੍ਰਤੀ ਸਕਿੰਟ ਦੀ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ f= ω 2π ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ,
ਪਹਿਲੀ ਸਪਰਿੰਗ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਡੈਂਪਿੰਗ ਫੈਕਟਰ c=0.5 ਹੈ। ਡੈਂਪਡ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਗਤੀ ਦੇ ਆਮ ਮਾਡਲ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਚਿੱਤਰ 15 ਪਹਿਲੀ ਸਪਰਿੰਗ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੀ ਗਤੀ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਦੂਜੀ ਸਪਰਿੰਗ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਡੈਂਪਿੰਗ ਫੈਕਟਰ c=0.1 ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ
ਚਿੱਤਰ 16 ਦੂਜੀ ਸਪਰਿੰਗ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੀ ਗਤੀ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਡੈਂਪਿੰਗ ਸਥਿਰਾਂਕ ਦੇ ਵੱਖੋ-ਵੱਖਰੇ ਪ੍ਰਭਾਵਾਂ ਨੂੰ ਨੋਟ ਕਰੋ। c=0.5 ਦੇ ਡੈਂਪਿੰਗ ਫੈਕਟਰ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਥਾਨਕ ਮਹੱਤਮ ਅਤੇ ਨਿਊਨਤਮ ਮੁੱਲ c=0.1 ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਾਲੋਂ ਬਹੁਤ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਘਟਦੇ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 10
ਡੈਂਪਡ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਗਤੀ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੱਭਣਾ
y=a e −ct cos( ωt ) ਰੂਪ ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ ਜੋ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ⓐ a=20,c=0.05,p=4
ⓑ a=2,c=1.5,f=3
ਹੱਲ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਪੀਰੀਅਡ 2π ω ਅਤੇ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ω 2π ਹੈ।
ⓐ y=20 e −0.05t cos( π 2 t )। ਚਿੱਤਰ 17 ਦੇਖੋ। ਚਿੱਤਰ 17
ⓑ y=2 e −1.5t cos( 6πt )। ਚਿੱਤਰ 18 ਦੇਖੋ। ਚਿੱਤਰ 18
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਸਮੀਕਰਨ ਡੈਂਪਡ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਗਤੀ ਮਾਡਲ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ: f( t )=5 e −6t cos( 4t ) ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਵਿਸਥਾਪਨ, ਡੈਂਪਿੰਗ ਸਥਿਰਾਂਕ, ਅਤੇ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ਲੱਭੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 11
ਡੈਂਪਡ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਗਤੀ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੱਭਣਾ
y=a e −ct sin( ωt ) ਰੂਪ ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ ਜੋ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ⓐ a=7,c=10,p= π 6
ⓑ a=0.3,c=0.2,f=20
ਹੱਲ
ω ω ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਜਾਣੇ-ਪਛਾਣੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
ⓐ ਕਿਉਂਕਿ ਅਵਧੀ 2π ω ਹੈ, 2π ω , ਸਾਡੇ ਕੋਲ π 6 = 2π ω ωπ=6(2π) ω=12 π 6 = 2π ω ωπ=6(2π) ω=12 ਹੈ। ਡੈਂਪਿੰਗ ਫੈਕਟਰ 10 ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਅਤੇ ਐਪਲੀਟਿਊਡ 7 ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਮਾਡਲ y=7 e −10t sin( 12t ) ਹੈ। y=7 e −10t sin( 12t )। ਚਿੱਤਰ 19 ਦੇਖੋ। ਚਿੱਤਰ 19
ⓑ ਕਿਉਂਕਿ ਫ੍ਰੀਕੁਐਂਸੀ ω 2π ਹੈ, ω 2π , ਸਾਡੇ ਕੋਲ 20= ω 2π 40π=ω 20= ω 2π 40π=ω ਹੈ। ਡੈਂਪਿੰਗ ਫੈਕਟਰ 0.2 0.2 ਅਤੇ ਐਪਲੀਟਿਊਡ 0.3 ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। 0.3। ਮਾਡਲ y=0.3 e −0.2t sin( 40πt ) ਹੈ। y=0.3 e −0.2t sin( 40πt )। ਚਿੱਤਰ 20 ਦੇਖੋ। ਚਿੱਤਰ 20
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਆਖਰੀ ਦੋ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਸਾਈਨੋਸੋਇਡਲ ਮਾਪਦੰਡਾਂ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸਾਈਨ ਜਾਂ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਵੇਂ ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ t=0, t=0 'ਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਵਿਸਥਾਪਨ 'ਤੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ t=0 'ਤੇ ਸੰਤੁਲਨ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। t=0। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਉਦਾਹਰਨ 10 ਤੋਂ ਸਮੀਕਰਨ y=20 e −0.05t cos( π 2 t ) y=20 e −0.05t cos( π 2 t ) 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜਦੋਂ t=0, y=20, t=0, y=20, ਜੋ ਕਿ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਐਪਲੀਟਿਊਡ ਹੈ। ਕੋਸਾਈਨ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ t=0 t=0 ਸੈੱਟ ਕਰਕੇ ਇਸਨੂੰ ਚੈੱਕ ਕਰੋ:
ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਨਾਲ
ਇਸ ਲਈ, ਕੋਸਾਈਨ ਸਹੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5
ਡੈਂਪਡ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਮੋਸ਼ਨ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ ਜਿਸ ਵਿੱਚ a=10,c=0.5, a=10,c=0.5, ਅਤੇ p=2 ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। p=2।
ਉਦਾਹਰਨ 12
ਸਪਰਿੰਗ ਦੇ ਔਸੀਲੇਸ਼ਨ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਣਾ
10 ਇੰਚ ਦੀ ਕੁਦਰਤੀ ਲੰਬਾਈ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਸਪਰਿੰਗ 5 ਇੰਚ ਤੱਕ ਸੰਕੁਚਿਤ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਛੱਡ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਹਰ 3 ਸਕਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵਾਰ ਔਸੀਲੇਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਐਪਲੀਟਿਊਡ ਹਰ ਸਕਿੰਟ 30% ਘੱਟ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ ਜੋ ਛੱਡਣ ਤੋਂ t t ਸਕਿੰਟ ਬਾਅਦ ਸਪਰਿੰਗ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਹੱਲ
ਐਪਲੀਟਿਊਡ 5 ਇੰਚ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਹਰ ਸਕਿੰਟ 30% ਘੱਟ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਸਪਰਿੰਗ ਸ਼ੁਰੂ ਵਿੱਚ ਸੰਕੁਚਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ A ਨੂੰ ਨੈਗੇਟਿਵ ਮੁੱਲ ਵਜੋਂ ਲਿਖਾਂਗੇ। ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਐਪਲੀਟਿਊਡ ਹਿੱਸੇ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
ਅਸੀਂ ( 1−0.30 ) t ( 1−0.30 ) t ਨੂੰ e ct e ct ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ:
ਹੁਣ ਆਓ ਅਵਧੀ 'ਤੇ ਧਿਆਨ ਦੇਈਏ। ਸਪਰਿੰਗ ਹਰ 3 ਸਕਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਆਪਣੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ, ਇਹ ਅਵਧੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਓਮੇਗਾ ਲੱਭਣ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
10 ਇੰਚ ਦੀ ਕੁਦਰਤੀ ਲੰਬਾਈ ਮਿਡਲਾਈਨ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ, ਕਿਉਂਕਿ ਸਪਰਿੰਗ ਆਪਣੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਵਿਸਥਾਪਨ 'ਤੇ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਇਹ ਹਿੱਸਾ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ
ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੋਵੇਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ। t t ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਸਪਰਿੰਗ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਦਾ ਸਾਡਾ ਮਾਡਲ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
ਚਿੱਤਰ 21 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇਖੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #6
ਇੱਕ ਸਪਰਿੰਗ 'ਤੇ ਲਟਕਾਏ ਗਏ ਪੁੰਜ ਨੂੰ ਇਸਦੀ ਆਰਾਮ ਵਾਲੀ ਸਥਿਤੀ ਤੋਂ 5 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਉੱਪਰ ਚੁੱਕਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਪੁੰਜ ਨੂੰ ਸਮਾਂ t=0 t=0 'ਤੇ ਛੱਡ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਔਸੀਲੇਟ ਹੋਣ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। 1 3 1 3 ਸਕਿੰਟ ਬਾਅਦ, ਇਹ ਦੇਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਪੁੰਜ ਆਪਣੀ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਚੀ ਸਥਿਤੀ 'ਤੇ ਵਾਪਸ ਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਆਰਾਮ ਵਾਲੀ ਸਥਿਤੀ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਇਸ ਗਤੀ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੱਭੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 13
ਡੈਂਪਿੰਗ ਕਾਂਸਟੈਂਟ c ਦਾ ਮੁੱਲ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮਾਪਦੰਡਾਂ ਅਨੁਸਾਰ ਲੱਭਣਾ
ਗਿਟਾਰ ਦੀ ਤਾਰ ਨੂੰ ਛੇੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ ਘੱਟਦੀ ਹੋਈ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਗਤੀ ਵਿੱਚ ਕੰਬਦੀ ਹੈ। ਤਾਰ ਨੂੰ ਖਿੱਚ ਕੇ ਇਸਦੀ ਆਮ ਸਥਿਤੀ ਤੋਂ 2 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਵਿਸਥਾਪਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। 3 ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ, ਤਾਰ ਦਾ ਵਿਸਥਾਪਨ 1 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਮਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਡੈਂਪਿੰਗ ਕੌਂਸਟੈਂਟ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਵਿਸਥਾਪਨ ਕਾਰਕ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਡੈਂਪਡ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਮੋਸ਼ਨ ਦੇ ਮਾਡਲ ਵਿੱਚ ਗੁਣਾਂਕ $a e^{-ct}$ ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਡੈਂਪਿੰਗ ਕੌਂਸਟੈਂਟ $e^{-ct}$ ਪਦ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ। ਇਹ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ 3 ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ, ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਇਸਦੇ ਅਸਲ ਮੁੱਲ ਦਾ ਅੱਧਾ ਮਾਪਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ
$c$ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਅਲਜਬਰਾ ਅਤੇ ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਫਿਰ ਲਘੂਗਣਕ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਡੈਂਪਿੰਗ ਕੌਂਸਟੈਂਟ $\frac{\ln(2)}{3}$ ਹੈ।
ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਮੋਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਸੀਮਾਬੱਧ ਵਕਰ
ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਮੋਸ਼ਨ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਸੀਮਾਬੱਧ ਵਕਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਘੇਰਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਬਦਲਦਾ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਇੱਕ ਪੀਰੀਅਡ ਦੇ ਅੰਦਰ ਕਈ ਵਾਰ ਵਧਦਾ ਅਤੇ ਘਟਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਇੱਕ ਹਿੱਸੇ ਤੋਂ ਸੀਮਾਬੱਧ ਵਕਰਾਂ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 14
ਓਸੀਲੇਟਿੰਗ ਕੋਸਾਈਨ ਵਕਰ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨਾ
ਫੰਕਸ਼ਨ $f(x) = \cos(2\pi x)\cos(16\pi x)$ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਤਿਆਰ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਗ੍ਰਾਫ ਦੋ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਜਾਵੇਗਾ। ਪਹਿਲਾ ਗ੍ਰਾਫ ਸਹੀ ਫੰਕਸ਼ਨ $f(x)$ (ਚਿੱਤਰ 22 ਦੇਖੋ) ਹੋਵੇਗਾ, ਅਤੇ ਦੂਜਾ ਗ੍ਰਾਫ ਸਹੀ ਫੰਕਸ਼ਨ $f(x)$ ਜਮ੍ਹਾਂ ਇੱਕ ਸੀਮਾਬੱਧ ਫੰਕਸ਼ਨ (ਚਿੱਤਰ 23 ਦੇਖੋ) ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ ਕਾਫ਼ੀ ਵੱਖਰੇ ਦਿਖਦੇ ਹਨ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
$y = \cos(2\pi x)$ ਅਤੇ $y = -\cos(2\pi x)$ ਵਕਰ ਸੀਮਾਬੱਧ ਵਕਰ ਹਨ: ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਉੱਪਰ ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਸੀਮਾਬੱਧ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਉੱਚ ਅਤੇ ਨੀਵੇਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਟਰੇਸ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਮੋਸ਼ਨ ਗ੍ਰਾਫ ਸੀਮਾਬੱਧ ਵਕਰਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਬੈਠਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਇੱਕ ਅਜਿਹੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਨਾ ਸਿਰਫ਼ ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਘਟਦਾ ਹੈ, ਸਗੋਂ ਇੱਕ ਪੀਰੀਅਡ ਦੇ ਅੰਦਰ ਕਈ ਵਾਰ ਵਧਦਾ ਅਤੇ ਘਟਦਾ ਵੀ ਹੈ।
ਮੀਡੀਆ
ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਫੈਰਿਸ ਵ੍ਹੀਲ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ
ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਤਾਪਮਾਨ ਅਤੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ
ਸਧਾਰਨ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਮੋਸ਼ਨ
ਮੌਖਿਕ
ਸਾਈਨੋਸੌਇਡਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਕਿਹੜੀਆਂ ਕਿਸਮਾਂ ਦੀਆਂ ਭੌਤਿਕ ਘਟਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸਭ ਤੋਂ ਵਧੀਆ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਇਸਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ। ਕਿਹੜੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹਨ?
ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਤਾਪਮਾਨ ਦੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਮਾਡਲ ਨੂੰ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕਿਹੜੀ ਜਾਣਕਾਰੀ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੈ? ਦੋ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਜਾਣਕਾਰੀ ਸੈੱਟਾਂ ਦੀਆਂ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਦਿਓ ਜੋ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨਾਲ ਮਾਡਲਿੰਗ ਨੂੰ ਸਮਰੱਥ ਬਣਾਉਣਗੀਆਂ।
ਜੇ ਅਸੀਂ ਸਾਲ ਦੌਰਾਨ ਇਕੱਠੀ ਹੋਈ ਬਾਰਸ਼ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਕੀ ਸਾਈਨੋਸੋਇਡਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਚੰਗਾ ਮਾਡਲ ਹੋਵੇਗਾ? ਕਿਉਂ ਜਾਂ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ?
ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਗਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਉੱਤੇ ਡੈਂਪਿੰਗ ਫੈਕਟਰ ਦੇ ਪ੍ਰਭਾਵ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
ਬੀਜਗਣਿਤ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਸਾਰਣੀ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਈ ਗਈ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸੰਭਾਵੀ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲੱਭੋ।
ਸਾਰਣੀ: x | y
ਸਾਰਣੀ: 0 | −4
ਸਾਰਣੀ: 3 | −1
ਸਾਰਣੀ: 6 | 2
ਸਾਰਣੀ: 9 | −1
ਸਾਰਣੀ: 12 | −4
ਸਾਰਣੀ: 15 | −1
ਸਾਰਣੀ: 18 | 2
ਸਾਰਣੀ: x | y
ਸਾਰਣੀ: 0 | 5
ਸਾਰਣੀ: 2 | 1
ਸਾਰਣੀ: 4 | −3
ਸਾਰਣੀ: 6 | 1
ਸਾਰਣੀ: 8 | 5
ਸਾਰਣੀ: 10 | 1
ਸਾਰਣੀ: 12 | −3
ਸਾਰਣੀ: x | y
ਸਾਰਣੀ: 0 | 2
ਸਾਰਣੀ: π/4 | 7
ਸਾਰਣੀ: π/2 | 2
3π 4 3π 4 | −3 −3
π π | 2 2
5π 4 5π 4 | 7 7
3π 2 3π 2 | 2 2
x x | y y
0 0 | 1 1
1 1 | −3 −3
2 2 | −7 −7
3 3 | −3 −3
4 4 | 1 1
5 5 | −3 −3
6 6 | −7 −7
x x | y y
0 0 | −2 −2
1 1 | 4 4
2 2 | 10 10
3 3 | 4 4
4 4 | −2 −2
5 5 | 4 4
6 6 | 10 10
x x | y y
0 0 | 5 5
1 1 | −3 −3
2 2 | 5 5
row: 3 3 | 13 13
row: 4 4 | 5 5
row: 5 5 | −3 −3
row: 6 6 | 5 5
row: x x | y y
row: −3 −3 | −1− 2 −1− 2
row: −2 −2 | −1 −1
row: −1 −1 | 1− 2 1− 2
row: 0 0 | 0 0
row: 1 1 | 2 −1 2 −1
row: 2 2 | 1 1
row: 3 3 | 2 +1 2 +1
row: x x | y y
row: −1 −1 | 3 −2 3 −2
row: 0 0 | 0 0
row: 1 1 | 2− 3 2− 3
row: 2 2 | 3 3 3 3
row: 3 3 | 1 1
row: 4 4 | 3 3
row: 5 5 | 2+ 3 2+ 3
Graphical
For the following exercises, graph the given function, and then find a possible physical process that the equation could model.
f(x)=−30cos( xπ 6 )−20 cos 2 ( xπ 6 )+80[0,12] f(x)=−30cos( xπ 6 )−20 cos 2 ( xπ 6 )+80[0,12]
f(x)=−18cos( xπ 12 )−5sin( xπ 12 )+100 f(x)=−18cos( xπ 12 )−5sin( xπ 12 )+100 on the interval [0,24] [0,24]
f(x)=10−sin( xπ 6 )+24tan( xπ 240 ) f(x)=10−sin( xπ 6 )+24tan( xπ 240 ) on the interval [0,80] [0,80]
Technology
For the following exercise, construct a function modeling behavior and use a calculator to find desired results.
A city’s average yearly rainfall is currently 20 inches and varies seasonally by 5 inches. Due to unforeseen circumstances, rainfall appears to be decreasing by 15% each year. How many years from now would we expect rainfall to initially reach 0 inches? Note, the model is invalid once it predicts negative rainfall, so choose the first point at which it goes below 0.
Real-World Applications
For the following exercises, construct a sinusoidal function with the provided information, and then solve the equation for the requested values.
Outside temperatures over the course of a day can be modeled as a sinusoidal function. Suppose the high temperature of 105°F 105°F occurs at 5PM and the average temperature for the day is 85°F. 85°F. Find the temperature, to the nearest degree, at 9AM.
Outside temperatures over the course of a day can be modeled as a sinusoidal function. Suppose the high temperature of 84°F 84°F occurs at 6PM and the average temperature for the day is 70°F. 70°F. Find the temperature, to the nearest degree, at 7AM.
Outside temperatures over the course of a day can be modeled as a sinusoidal function. Suppose the temperature varies between 47°F 47°F and 63°F 63°F during the day and the average daily temperature first occurs at 10 AM. How many hours after midnight does the temperature first reach 51°F? 51°F?
Outside temperatures over the course of a day can be modeled as a sinusoidal function. Suppose the temperature varies between 64°F 64°F and 86°F 86°F during the day and the average daily temperature first occurs at 12 AM. How many hours after midnight does the temperature first reach 70°F? 70°F?
A Ferris wheel is 20 meters in diameter and boarded from a platform that is 2 meters above the ground. The six o’clock position on the Ferris wheel is level with the loading platform. The wheel completes 1 full revolution in 6 minutes. How much of the ride, in minutes and seconds, is spent higher than 13 meters above the ground?
A Ferris wheel is 45 meters in diameter and boarded from a platform that is 1 meter above the ground. The six o’clock position on the Ferris wheel is level with the loading platform. The wheel completes 1 full revolution in 10 minutes. How many minutes of the ride are spent higher than 27 meters above the ground? Round to the nearest second
The sea ice area around the North Pole fluctuates between about 6 million square kilometers on September 1 to 14 million square kilometers on March 1. Assuming a sinusoidal fluctuation, when are there less than 9 million square kilometers of sea ice? Give your answer as a range of dates, to the nearest day.
The sea ice area around the South Pole fluctuates between about 18 million square kilometers in September to 3 million square kilometers in March. Assuming a sinusoidal fluctuation, when are there more than 15 million square kilometers of sea ice? Give your answer as a range of dates, to the nearest day.
During a 90-day monsoon season, daily rainfall can be modeled by sinusoidal functions. If the rainfall fluctuates between a low of 2 inches on day 10 and 12 inches on day 55, during what period is daily rainfall more than 10 inches?
During a 90-day monsoon season, daily rainfall can be modeled by sinusoidal functions. A low of 4 inches of rainfall was recorded on day 30, and overall the average daily rainfall was 8 inches. During what period was daily rainfall less than 5 inches?
In a certain region, monthly precipitation peaks at 8 inches on June 1 and falls to a low of 1 inch on December 1. Identify the periods when the region is under flood conditions (greater than 7 inches) and drought conditions (less than 2 inches). Give your answer in terms of the nearest day.
In a certain region, monthly precipitation peaks at 24 inches in September and falls to a low of 4 inches in March. Identify the periods when the region is under flood conditions (greater than 22 inches) and drought conditions (less than 5 inches). Give your answer in terms of the nearest day.
For the following exercises, find the amplitude, period, and frequency of the given function.
The displacement h(t) h(t) in centimeters of a mass suspended by a spring is modeled by the function h(t)=8sin(6πt), h(t)=8sin(6πt), where t t is measured in seconds. Find the amplitude, period, and frequency of this displacement.
The displacement h(t) h(t) in centimeters of a mass suspended by a spring is modeled by the function h(t)=11sin(12πt), h(t)=11sin(12πt), where t t is measured in seconds. Find the amplitude, period, and frequency of this displacement.
The displacement h(t) h(t) in centimeters of a mass suspended by a spring is modeled by the function h(t)=4cos( π 2 t ), h(t)=4cos( π 2 t ), where t t is measured in seconds. Find the amplitude, period, and frequency of this displacement.
For the following exercises, construct an equation that models the described behavior.
The displacement h(t), h(t), in centimeters, of a mass suspended by a spring is modeled by the function h(t)=−5cos( 60πt ), h(t)=−5cos( 60πt ), where t t is measured in seconds. Find the amplitude, period, and frequency of this displacement.
For the following exercises, construct an equation that models the described behavior.
A deer population oscillates 19 above and below average during the year, reaching the lowest value in January. The average population starts at 800 deer and increases by 160 each year. Find a function that models the population, P, P, in terms of months since January, t. t.
A rabbit population oscillates 15 above and below average during the year, reaching the lowest value in January. The average population starts at 650 rabbits and increases by 110 each year. Find a function that models the population, P, P, in terms of months since January, t. t.
A muskrat population oscillates 33 above and below average during the year, reaching the lowest value in January. The average population starts at 900 muskrats and increases by 7% each month. Find a function that models the population, P, P, in terms of months since January, t. t.
A fish population oscillates 40 above and below average during the year, reaching the lowest value in January. The average population starts at 800 fish and increases by 4% each month. Find a function that models the population, P, P, in terms of months since January, t. t.
A spring attached to the ceiling is pulled 10 cm down from equilibrium and released. The amplitude decreases by 15% each second. The spring oscillates 18 times each second. Find a function that models the distance, D, D, the end of the spring is from equilibrium in terms of seconds, t, t, since the spring was released.
A spring attached to the ceiling is pulled 7 cm down from equilibrium and released. The amplitude decreases by 11% each second. The spring oscillates 20 times each second. Find a function that models the distance, D, D, the end of the spring is from equilibrium in terms of seconds, t, t, since the spring was released.
A spring attached to the ceiling is pulled 17 cm down from equilibrium and released. After 3 seconds, the amplitude has decreased to 13 cm. The spring oscillates 14 times each second. Find a function that models the distance, D, D, the end of the spring is from equilibrium in terms of seconds, t, t, since the spring was released.
A spring attached to the ceiling is pulled 19 cm down from equilibrium and released. After 4 seconds, the amplitude has decreased to 14 cm. The spring oscillates 13 times each second. Find a function that models the distance, D, D, the end of the spring is from equilibrium in terms of seconds, t, t, since the spring was released.
For the following exercises, create a function modeling the described behavior. Then, calculate the desired result using a calculator.
A certain lake currently has an average trout population of 20,000. The population naturally oscillates above and below average by 2,000 every year. This year, the lake was opened to fishermen. If fishermen catch 3,000 fish every year, how long will it take for the lake to have no more trout?
Whitefish populations are currently at 500 in a lake. The population naturally oscillates above and below by 25 each year. If humans overfish, taking 4% of the population every year, in how many years will the lake first have fewer than 200 whitefish?
A spring attached to a ceiling is pulled down 11 cm from equilibrium and released. After 2 seconds, the amplitude has decreased to 6 cm. The spring oscillates 8 times each second. Find when the spring first comes between −0.1 −0.1 and 0.1 cm, 0.1 cm, effectively at rest.
A spring attached to a ceiling is pulled down 21 cm from equilibrium and released. After 6 seconds, the amplitude has decreased to 4 cm. The spring oscillates 20 times each second. Find when the spring first comes between −0.1 −0.1 and 0.1 cm, 0.1 cm, effectively at rest.
Two springs are pulled down from the ceiling and released at the same time. The first spring, which oscillates 8 times per second, was initially pulled down 32 cm from equilibrium, and the amplitude decreases by 50% each second. The second spring, oscillating 18 times per second, was initially pulled down 15 cm from equilibrium and after 4 seconds has an amplitude of 2 cm. Which spring comes to rest first, and at what time? Consider “rest” as an amplitude less than 0.1 cm. 0.1 cm.
Two springs are pulled down from the ceiling and released at the same time. The first spring, which oscillates 14 times per second, was initially pulled down 2 cm from equilibrium, and the amplitude decreases by 8% each second. The second spring, oscillating 22 times per second, was initially pulled down 10 cm from equilibrium and after 3 seconds has an amplitude of 2 cm. Which spring comes to rest first, and at what time? Consider “rest” as an amplitude less than 0.1 cm. 0.1 cm.
Extensions
ਇੱਕ ਜਹਾਜ਼ 1 ਘੰਟੇ ਲਈ 150 ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ ਉੱਤਰ ਤੋਂ 22° 22° ਪੂਰਬ ਵੱਲ ਉੱਡਦਾ ਹੈ, ਫਿਰ 1.5 ਘੰਟੇ ਲਈ 120 ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ ਉੱਡਦਾ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਵਾਰ ਉੱਤਰ ਤੋਂ 112° 112° ਪੂਰਬ ਵੱਲ। ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਕੁੱਲ ਦੂਰੀ ਅਤੇ ਪੂਰਬ ਤੋਂ ਉੱਤਰ ਵੱਲ ਉੱਡਿਆ ਸਿੱਧਾ ਕੋਣ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਜਹਾਜ਼ 2 ਘੰਟੇ ਲਈ 200 ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ 60° 60° ਦੇ ਬੇਅਰਿੰਗ 'ਤੇ ਉੱਡਦਾ ਹੈ, ਫਿਰ ਉਸੇ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ 1.5 ਘੰਟੇ ਲਈ ਉੱਡਦਾ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਵਾਰ 150° 150° ਦੇ ਬੇਅਰਿੰਗ 'ਤੇ। ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਦੂਰੀ ਅਤੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਬੇਅਰਿੰਗ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਸੰਕੇਤ: ਬੇਅਰਿੰਗ ਉੱਤਰ ਤੋਂ ਘੜੀ ਦੀ ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, y=a b x +csin( π 2 x ) y=a b x +csin( π 2 x ) ਰੂਪ ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੱਭੋ ਜੋ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਡਾਟਾ ਨੂੰ ਫਿੱਟ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਸਾਰਣੀ: x x | 0 | 1 | 2 | 3
ਸਾਰਣੀ: y y | 6 | 29 | 96 | 379
ਸਾਰਣੀ: x x | 0 | 1 | 2 | 3
ਸਾਰਣੀ: y y | 6 | 34 | 150 | 746
ਸਾਰਣੀ: x x | 0 | 1 | 2 | 3
ਸਾਰਣੀ: y y | 4 | 0 | 16 | -40
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, y=a b x cos( π 2 x )+c y=a b x cos( π 2 x )+c ਰੂਪ ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੱਭੋ ਜੋ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਡਾਟਾ ਨੂੰ ਫਿੱਟ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਸਾਰਣੀ: x x | 0 | 1 | 2 | 3
ਸਾਰਣੀ: y y | 11 | 3 | 1 | 3
ਸਾਰਣੀ: x x | 0 | 1 | 2 | 3
ਸਾਰਣੀ: y y | 4 | 1 | −11 | 1