Learning Objectives
In this section, you will:
Solve systems of three equations in three variables.
Identify inconsistent systems of equations containing three variables.
Express the solution of a system of dependent equations containing three variables.
Figure 1: (credit: “Elembis,” Wikimedia Commons)
Jordi received an inheritance of $12,000 that he divided into three parts and invested in three ways: in a money-market fund paying 3% annual interest; in municipal bonds paying 4% annual interest; and in mutual funds paying 7% annual interest. Jordi invested $4,000 more in mutual funds than in municipal bonds. He earned $670 in interest the first year. How much did Jordi invest in each type of fund?
Understanding the correct approach to setting up problems such as this one makes finding a solution a matter of following a pattern. We will solve this and similar problems involving three equations and three variables in this section. Doing so uses similar techniques as those used to solve systems of two equations in two variables. However, finding solutions to systems of three equations requires a bit more organization and a touch of visualization.
Solving Systems of Three Equations in Three Variables
In order to solve systems of equations in three variables, known as three-by-three systems, the primary tool we will be using is called Gaussian elimination, named after the prolific German mathematician Karl Friedrich Gauss. While there is no definitive order in which operations are to be performed, there are specific guidelines as to what type of moves can be made. We may number the equations to keep track of the steps we apply. The goal is to eliminate one variable at a time to achieve upper triangular form, the ideal form for a three-by-three system because it allows for straightforward back-substitution to find a solution ( x,y,z ), ( x,y,z ), which we call an ordered triple. A system in upper triangular form looks like the following:
The third equation can be solved for z, z, and then we back-substitute to find y y and x. x. To write the system in upper triangular form, we can perform the following operations:
Interchange the order of any two equations.
Multiply both sides of an equation by a nonzero constant.
Add a nonzero multiple of one equation to another equation.
The solution set to a three-by-three system is an ordered triple { ( x,y,z ) }. { ( x,y,z ) }. Graphically, the ordered triple defines the point that is the intersection of three planes in space. You can visualize such an intersection by imagining any corner in a rectangular room. A corner is defined by three planes: two adjoining walls and the floor (or ceiling). Any point where two walls and the floor meet represents the intersection of three planes.
Number of Possible Solutions
Figure 2 and Figure 3 illustrate possible solution scenarios for three-by-three systems.
Systems that have a single solution are those which, after elimination, result in a solution set consisting of an ordered triple { ( x,y,z ) }. { ( x,y,z ) }. Graphically, the ordered triple defines a point that is the intersection of three planes in space.
Systems that have an infinite number of solutions are those which, after elimination, result in an expression that is always true, such as 0=0. 0=0. Graphically, an infinite number of solutions represents a line or coincident plane that serves as the intersection of three planes in space.
Systems that have no solution are those that, after elimination, result in a statement that is a contradiction, such as 3=0. 3=0. Graphically, a system with no solution is represented by three planes with no point in common.
Figure 2: (a)Three planes intersect at a single point, representing a three-by-three system with a single solution. (b) Three planes intersect in a line, representing a three-by-three system with infinite solutions.
Figure 3: All three figures represent three-by-three systems with no solution. (a) The three planes intersect with each other, but not at a common point. (b) Two of the planes are parallel and intersect with the third plane, but not with each other. (c) All three planes are parallel, so there is no point of intersection.
Example 1
Determining Whether an Ordered Triple Is a Solution to a System
1. ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਤ੍ਰੈਅ ( 3,−2,1 ) ( 3,−2,1 ) ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਹੱਲ ਹੈ।
2. ਹੱਲ
3. ਅਸੀਂ x,y, x,y, ਅਤੇ z. z. ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਤ੍ਰੈਅ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਕੇ ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਾਂਗੇ।
4. x+y+z=2 (3)+(−2)+(1)=2 ਸੱਚ 6x−4y+5z=31 6(3)−4(−2)+5(1)=31 18+8+5=31 ਸੱਚ 5x+2y+2z=13 5(3)+2(−2)+2(1)=13 15−4+2=13 ਸੱਚ x+y+z=2 (3)+(−2)+(1)=2 ਸੱਚ 6x−4y+5z=31 6(3)−4(−2)+5(1)=31 18+8+5=31 ਸੱਚ 5x+2y+2z=13 5(3)+2(−2)+2(1)=13 15−4+2=13 ਸੱਚ
5. ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਤ੍ਰੈਅ ( 3,−2,1 ) ( 3,−2,1 ) ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਹੱਲ ਹੈ।
6. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
7. ਤਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ, ਤਿੰਨ ਅਣਜਾਣਾਂ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
8. ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਚੁਣੋ ਅਤੇ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
9. ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਹੋਰ ਜੋੜੀ ਚੁਣੋ ਅਤੇ ਉਸੇ ਵੇਰੀਏਬਲ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
10. ਤੁਸੀਂ ਦੋ ਅਣਜਾਣਾਂ ਵਿੱਚ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਬਣਾਈ ਹੈ। ਨਤੀਜੇ ਦੋ-ਬਾਈ-ਦੋ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
11. ਮੌਜੂਦਾ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਨੂੰ ਅਸਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਵਿੱਚ ਵਾਪਸ ਬਦਲੋ ਅਤੇ ਗੁੰਮ ਹੋਏ ਵੇਰੀਏਬਲ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
12. ਉਦਾਹਰਨ 2
13. ਤਿੰਨ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਖਾਤਮੇ ਦੁਆਰਾ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
14. ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਹੱਲ ਲੱਭੋ:
15. ਹੱਲ
16. ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਲਈ ਕਈ ਵਿਕਲਪ ਹੋਣਗੇ, ਪਰ ਇੱਥੇ ਸਭ ਤੋਂ ਸਪੱਸ਼ਟ ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ ਸਮੀਕਰਨਾਂ (1) ਅਤੇ (2) ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ x x ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨਾ ਹੈ।
17. ਦੂਜਾ ਕਦਮ ਸਮੀਕਰਨ (1) ਨੂੰ −2 −2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ (3) ਵਿੱਚ ਜੋੜਨਾ ਹੈ। ਇਹ ਦੋ ਕਦਮ x x ਵੇਰੀਏਬਲ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰ ਦੇਣਗੇ।
18. ਸਮੀਕਰਨਾਂ (4) ਅਤੇ (5) ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੋ ਨਵੇਂ ਦੋ-ਬਾਈ-ਦੋ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਬਣਾਈ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ z z ਲਈ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
19. ਹਰੇਕ ਨਵੀਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਚੁਣ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਉੱਪਰ ਤਿਕੋਣੀ ਰੂਪ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
20. ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ z=2 z=2 ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ (4) ਵਿੱਚ ਵਾਪਸ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ y y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
21. ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ z=2 z=2 ਅਤੇ y=−1 y=−1 ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ (1) ਵਿੱਚ ਵਾਪਸ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ x x ਲਈ ਹੱਲ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰੇਗਾ।
22. ਹੱਲ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਤ੍ਰੈਅ ( 1,−1,2 ) ( 1,−1,2 ) ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 4 ਦੇਖੋ।
23. ਉਦਾਹਰਨ 3
24. ਤਿੰਨ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
1. ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਸ਼ੁਰੂ ਵਿੱਚ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ, ਜੋਰਡੀ ਨੇ ਆਪਣੀ $12,000 ਦੀ ਵਿਰਾਸਤ ਤਿੰਨ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਫੰਡਾਂ ਵਿੱਚ ਨਿਵੇਸ਼ ਕੀਤੀ: ਕੁਝ ਪੈਸੇ ਇੱਕ ਮਨੀ-ਮਾਰਕੀਟ ਫੰਡ ਵਿੱਚ ਜੋ ਸਾਲਾਨਾ 3% ਵਿਆਜ ਦਿੰਦਾ ਹੈ; ਕੁਝ ਮਿਊਂਸਪਲ ਬਾਂਡਾਂ ਵਿੱਚ ਜੋ ਸਾਲਾਨਾ 4% ਦਿੰਦੇ ਹਨ; ਅਤੇ ਬਾਕੀ ਮਿਊਚਲ ਫੰਡਾਂ ਵਿੱਚ ਜੋ ਸਾਲਾਨਾ 7% ਦਿੰਦੇ ਹਨ। ਜੋਰਡੀ ਨੇ ਮਿਊਂਸਪਲ ਬਾਂਡਾਂ ਨਾਲੋਂ $4,000 ਵੱਧ ਮਿਊਚਲ ਫੰਡਾਂ ਵਿੱਚ ਨਿਵੇਸ਼ ਕੀਤਾ। ਇੱਕ ਸਾਲ ਵਿੱਚ ਕੁੱਲ ਵਿਆਜ $670 ਸੀ। ਉਸਨੇ ਹਰੇਕ ਕਿਸਮ ਦੇ ਫੰਡ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਕੀਤਾ?
2. ਹੱਲ
3. ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸਾਰੀ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਤਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਤਿੰਨ ਮੁੱਖ ਰਾਸ਼ੀਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਲਈ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
4. ਪਹਿਲਾ ਸਮੀਕਰਨ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਤਿੰਨ ਮੁੱਖ ਰਾਸ਼ੀਆਂ ਦਾ ਜੋੜ $12,000 ਹੈ।
5. ਅਸੀਂ ਦੂਜਾ ਸਮੀਕਰਨ ਇਸ ਜਾਣਕਾਰੀ ਅਨੁਸਾਰ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜੋਰਡੀ ਨੇ ਮਿਊਂਸਪਲ ਬਾਂਡਾਂ ਨਾਲੋਂ $4,000 ਵੱਧ ਮਿਊਚਲ ਫੰਡਾਂ ਵਿੱਚ ਨਿਵੇਸ਼ ਕੀਤਾ।
6. ਤੀਜਾ ਸਮੀਕਰਨ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਹਰੇਕ ਫੰਡ ਤੋਂ ਕੁੱਲ ਵਿਆਜ $670 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
7. ਫਿਰ, ਅਸੀਂ ਤਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਜੋਂ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ।
8. ਗਣਨਾ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਤੀਜੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ 100 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
9. ਕਦਮ 1. ਸਮੀਕਰਨ (2) ਅਤੇ ਸਮੀਕਰਨ (3) ਨੂੰ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ ਤਾਂ ਜੋ ਤਿੰਨ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਵਾਲੇ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨ ਇੱਕ ਲਾਈਨ ਵਿੱਚ ਆ ਜਾਣ।
10. ਕਦਮ 2. ਸਮੀਕਰਨ (1) ਨੂੰ −3 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ (2) ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ। ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਪੰਕਤੀ 2 ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
11. ਕਦਮ 3. ਸਮੀਕਰਨ (2) ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ (3) ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ (3) ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
12. ਕਦਮ 4. ਸਮੀਕਰਨ (3) ਵਿੱਚ z ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਉਸ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ (2) ਵਿੱਚ ਵਾਪਸ ਬਦਲੋ ਅਤੇ y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਫਿਰ, z ਅਤੇ y ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ (1) ਵਿੱਚ ਵਾਪਸ ਬਦਲੋ ਅਤੇ x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
13. ਜੋਰਡੀ ਨੇ ਮਨੀ-ਮਾਰਕੀਟ ਫੰਡ ਵਿੱਚ $2,000, ਮਿਊਂਸਪਲ ਬਾਂਡਾਂ ਵਿੱਚ $3,000, ਅਤੇ ਮਿਊਚਲ ਫੰਡਾਂ ਵਿੱਚ $7,000 ਦਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਕੀਤਾ।
14. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
15. ਤਿੰਨ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
16. ਤਿੰਨ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਵਾਲੀਆਂ ਅਸੰਗਤ ਸਮੀਕਰਨ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨਾ
17. ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਵਾਲੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨਾਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਸਾਨੂੰ ਤਿੰਨ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਵਾਲੀਆਂ ਇੱਕ ਅਸੰਗਤ ਸਮੀਕਰਨ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਸਾਹਮਣਾ ਕਰਨਾ ਪੈ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਇਸਦਾ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ ਜੋ ਤਿੰਨਾਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੋਵੇ। ਸਮੀਕਰਨ ਤਿੰਨ ਸਮਾਂਤਰ ਸਮਤਲਾਂ, ਦੋ ਸਮਾਂਤਰ ਸਮਤਲਾਂ ਅਤੇ ਇੱਕ ਕੱਟਣ ਵਾਲੇ ਸਮਤਲ, ਜਾਂ ਤਿੰਨ ਸਮਤਲ ਜੋ ਦੂਜਿਆਂ ਨੂੰ ਕੱਟਦੇ ਹਨ ਪਰ ਇੱਕੋ ਸਥਾਨ 'ਤੇ ਨਹੀਂ, ਨੂੰ ਦਰਸਾ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਖਾਤਮੇ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਇੱਕ ਝੂਠਾ ਬਿਆਨ ਦੇਵੇਗੀ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ 3=7 ਜਾਂ ਕੋਈ ਹੋਰ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ।
18. ਉਦਾਹਰਨ 4
19. ਤਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਅਸੰਗਤ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
20. ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
21. ਹੱਲ
22. x ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ (1) ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ (2) ਵਿੱਚ ਜੋੜ ਕੇ x ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
23. ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ (1) ਨੂੰ −5 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ (3) ਵਿੱਚ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ।
24. ਫਿਰ, ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ (4) ਨੂੰ 2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ (5) ਵਿੱਚ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ।
ਅੰਤਿਮ ਸਮੀਕਰਨ 0=2 0=2 ਇੱਕ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਅਸੰਗਤ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ, ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਇਸ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ, ਹਰ ਤਲ ਦੂਜੇ ਦੋ ਤਲਾਂ ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਇੱਕੋ ਸਥਾਨ 'ਤੇ ਨਹੀਂ। ਇਸ ਲਈ, ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਅਸੰਗਤ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
ਤਿੰਨ ਵੇਰੀਏਬਲ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਤਿੰਨ ਵੇਰੀਏਬਲ ਵਾਲੇ ਨਿਰਭਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਹੱਲ ਨੂੰ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨਾ
ਅਸੀਂ ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲ ਵਾਲੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਕੇ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਨਿਰਭਰ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਗਿਣਤੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਤਿੰਨ ਵੇਰੀਏਬਲ ਵਾਲੀਆਂ ਨਿਰਭਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਲਈ ਵੀ ਇਹੀ ਸੱਚ ਹੈ। ਅਨੰਤ ਹੱਲ ਕਈ ਸਥਿਤੀਆਂ ਤੋਂ ਪੈਦਾ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਤਿੰਨ ਤਲ ਇੱਕੋ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਜੋ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਹੱਲ ਦੂਜੀਆਂ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਹੱਲ ਹੋਵੇਗਾ। ਸਾਰੀਆਂ ਤਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵੱਖਰੀਆਂ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ ਪਰ ਉਹ ਇੱਕ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਕੱਟਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਿਸਦੇ ਅਨੰਤ ਹੱਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਜਾਂ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਇੱਕੋ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਤੀਜੀ ਨੂੰ ਇੱਕ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਕੱਟ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਨਿਰਭਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਹੱਲ ਲੱਭਣਾ
ਤਿੰਨ ਵੇਰੀਏਬਲ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਹੱਲ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ (1) ਨੂੰ −2 −2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ (2) ਵਿੱਚ ਜੋੜ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਸਾਨੂੰ ਹੋਰ ਅੱਗੇ ਜਾਣ ਦੀ ਲੋੜ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਜੋ ਨਤੀਜਾ ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ ਉਹ ਇੱਕ ਪਛਾਣ ਹੈ, 0=0, 0=0, ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦੀ ਹੈ ਕਿ ਇਸ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਗਿਣਤੀ ਹੈ। ਇਸ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਦੇ ਹੋਰ ਤਰੀਕੇ ਵੀ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨ (3) ਨੂੰ −2, −2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ (1) ਵਿੱਚ ਜੋੜਨਾ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਉਪਰੋਕਤ ਵਾਂਗ ਹੀ ਕਦਮ ਚੁੱਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਉਹੀ ਨਤੀਜਾ, 0=0, 0=0, ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ।
ਜਦੋਂ ਕੋਈ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨਿਰਭਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਹੱਲਾਂ ਲਈ ਆਮ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਸਮੀਕਰਨਾਂ (1) ਅਤੇ (3) ਨੂੰ ਜੋੜਨ 'ਤੇ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਅਸੀਂ ਫਿਰ z. z ਲਈ ਨਤੀਜੇ ਵਾਲੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਅਸੀਂ z z ਲਈ ਆਮ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਵਿੱਚ ਵਾਪਸ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ y. y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸ ਲਈ ਆਮ ਹੱਲ ( x, 5 2 x, 3 2 x ) ਹੈ। ( x, 5 2 x, 3 2 x )। ਇਸ ਹੱਲ ਵਿੱਚ, x x ਕੋਈ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ। y y ਅਤੇ z z ਦੇ ਮੁੱਲ x ਲਈ ਚੁਣੇ ਗਏ ਮੁੱਲ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੇ ਹਨ। x।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 5 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਦੋ ਤਲ ਇੱਕੋ ਹਨ ਅਤੇ ਉਹ ਤੀਜੇ ਤਲ ਨੂੰ ਇੱਕ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਕੱਟਦੇ ਹਨ। ਹੱਲ ਸੈੱਟ ਅਨੰਤ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਕੱਟਣ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦੇ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂ ਤਿੰਨਾਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਨਗੇ।
Q&A
ਕੀ ਇੱਕ ਨਿਰਭਰ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਆਮ ਹੱਲ ਹਮੇਸ਼ਾ x? x ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ?
ਨਹੀਂ, ਤੁਸੀਂ ਆਮ ਹੱਲ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹੋ, ਪਰ ਇਸਨੂੰ x ਅਤੇ ਜੇ ਲੋੜ ਹੋਵੇ ਤਾਂ x x ਅਤੇ y. y ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣਾ ਆਮ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਮੀਡੀਆ
Access these online resources for additional instruction and practice with systems of equations in three variables.
Ex 1: System of Three Equations with Three Unknowns Using Elimination
Ex. 2: System of Three Equations with Three Unknowns Using Elimination
Verbal
Can a linear system of three equations have exactly two solutions? Explain why or why not
If a given ordered triple solves the system of equations, is that solution unique? If so, explain why. If not, give an example where it is not unique.
If a given ordered triple does not solve the system of equations, is there no solution? If so, explain why. If not, give an example.
Using the method of addition, is there only one way to solve the system?
Can you explain whether there can be only one method to solve a linear system of equations? If yes, give an example of such a system of equations. If not, explain why not.
Algebraic
For the following exercises, determine whether the ordered triple given is the solution to the system of equations.
2x−6y+6z=−12 x+4y+5z=−1 −x+2y+3z=−1 2x−6y+6z=−12 x+4y+5z=−1 −x+2y+3z=−1 and (0,1,−1) (0,1,−1)
6x−y+3z=6 3x+5y+2z=0 x+y=0 6x−y+3z=6 3x+5y+2z=0 x+y=0 and (3,−3,−5) (3,−3,−5)
6x−7y+z=2 −x−y+3z=4 2x+y−z=1 6x−7y+z=2 −x−y+3z=4 2x+y−z=1 and (4,2,−6) (4,2,−6)
x−y=0 x−z=5 x−y+z=−1 x−y=0 x−z=5 x−y+z=−1 and (4,4,−1) (4,4,−1)
-x−y+2z=3 5x+8y−3z=4 -x+3y−5z=−5 -x−y+2z=3 5x+8y−3z=4 -x+3y−5z=−5 and (4,1,−7) (4,1,−7)
For the following exercises, solve each system by elimination.
3x−4y+2z=−15 2x+4y+z=16 2x+3y+5z=20 3x−4y+2z=−15 2x+4y+z=16 2x+3y+5z=20
5x−2y+3z=20 2x−4y−3z=−9 x+6y−8z=21 5x−2y+3z=20 2x−4y−3z=−9 x+6y−8z=21
5x+2y+4z=9 −3x+2y+z=10 4x−3y+5z=−3 5x+2y+4z=9 −3x+2y+z=10 4x−3y+5z=−3
4x−3y+5z=31 −x+2y+4z=20 x+5y−2z=−29 4x−3y+5z=31 −x+2y+4z=20 x+5y−2z=−29
5x−2y+3z=4 −4x+6y−7z=−1 3x+2y−z=4 5x−2y+3z=4 −4x+6y−7z=−1 3x+2y−z=4
4x+6y+9z=0 −5x+2y−6z=3 7x−4y+3z=−3 4x+6y+9z=0 −5x+2y−6z=3 7x−4y+3z=−3
For the following exercises, solve each system by Gaussian elimination.
2x−y+3z=17 −5x+4y−2z=−46 2y+5z=−7 2x−y+3z=17 −5x+4y−2z=−46 2y+5z=−7
5x−6y+3z=50 −x+4y=10 2x−z=10 5x−6y+3z=50 −x+4y=10 2x−z=10
2x+3y−6z=1 −4x−6y+12z=−2 x+2y+5z=10 2x+3y−6z=1 −4x−6y+12z=−2 x+2y+5z=10
4x+6y−2z=8 6x+9y−3z=12 −2x−3y+z=−4 4x+6y−2z=8 6x+9y−3z=12 −2x−3y+z=−4
2x+3y−4z=5 −3x+2y+z=11 −x+5y+3z=4 2x+3y−4z=5 −3x+2y+z=11 −x+5y+3z=4
10x+2y−14z=8 −x−2y−4z=−1 −12x−6y+6z=−12 10x+2y−14z=8 −x−2y−4z=−1 −12x−6y+6z=−12
x+y+z=14 2y+3z=−14 −16y−24z=−112 x+y+z=14 2y+3z=−14 −16y−24z=−112
5x−3y+4z=−1 −4x+2y−3z=0 −x+5y+7z=−11 5x−3y+4z=−1 −4x+2y−3z=0 −x+5y+7z=−11
x+y+z=0 2x−y+3z=0 x−z=0 x+y+z=0 2x−y+3z=0 x−z=0
3x+2y−5z=6 5x−4y+3z=−12 4x+5y−2z=15 3x+2y−5z=6 5x−4y+3z=−12 4x+5y−2z=15
x+y+z=0 2x−y+3z=0 x−z=1 x+y+z=0 2x−y+3z=0 x−z=1
3x− 1 2 y−z=− 1 2 4x+z=3 −x+ 3 2 y= 5 2 3x− 1 2 y−z=− 1 2 4x+z=3 −x+ 3 2 y= 5 2
6x−5y+6z=38 1 5 x− 1 2 y+ 3 5 z=1 −4x− 3 2 y−z=−74 6x−5y+6z=38 1 5 x− 1 2 y+ 3 5 z=1 −4x− 3 2 y−z=−74
1 2 x− 1 5 y+ 2 5 z=− 13 10 1 4 x− 2 5 y− 1 5 z=− 7 20 − 1 2 x− 3 4 y− 1 2 z=− 5 4 1 2 x− 1 5 y+ 2 5 z=− 13 10 1 4 x− 2 5 y− 1 5 z=− 7 20 − 1 2 x− 3 4 y− 1 2 z=− 5 4
− 1 3 x− 1 2 y− 1 4 z= 3 4 − 1 2 x− 1 4 y− 1 2 z=2 − 1 4 x− 3 4 y− 1 2 z=− 1 2 − 1 3 x− 1 2 y− 1 4 z= 3 4 − 1 2 x− 1 4 y− 1 2 z=2 − 1 4 x− 3 4 y− 1 2 z=− 1 2
1 2 x− 1 4 y+ 3 4 z=0 1 4 x− 1 10 y+ 2 5 z=−2 1 8 x+ 1 5 y− 1 8 z=2 1 2 x− 1 4 y+ 3 4 z=0 1 4 x− 1 10 y+ 2 5 z=−2 1 8 x+ 1 5 y− 1 8 z=2
4 5 x− 7 8 y+ 1 2 z=1 − 4 5 x− 3 4 y+ 1 3 z=−8 − 2 5 x− 7 8 y+ 1 2 z=−5 4 5 x− 7 8 y+ 1 2 z=1 − 4 5 x− 3 4 y+ 1 3 z=−8 − 2 5 x− 7 8 y+ 1 2 z=−5
− 1 3 x− 1 8 y+ 1 6 z=− 4 3 − 2 3 x− 7 8 y+ 1 3 z=− 23 3 − 1 3 x− 5 8 y+ 5 6 z=0 − 1 3 x− 1 8 y+ 1 6 z=− 4 3 − 2 3 x− 7 8 y+ 1 3 z=− 23 3 − 1 3 x− 5 8 y+ 5 6 z=0
− 1 4 x− 5 4 y+ 5 2 z=−5 − 1 2 x− 5 3 y+ 5 4 z= 55 12 − 1 3 x− 1 3 y+ 1 3 z= 5 3 − 1 4 x− 5 4 y+ 5 2 z=−5 − 1 2 x− 5 3 y+ 5 4 z= 55 12 − 1 3 x− 1 3 y+ 1 3 z= 5 3
1 40 x+ 1 60 y+ 1 80 z= 1 100 − 1 2 x− 1 3 y− 1 4 z=− 1 5 3 8 x+ 3 12 y+ 3 16 z= 3 20 1 40 x+ 1 60 y+ 1 80 z= 1 100 − 1 2 x− 1 3 y− 1 4 z=− 1 5 3 8 x+ 3 12 y+ 3 16 z= 3 20
0.1x−0.2y+0.3z=2 0.5x−0.1y+0.4z=8 0.7x−0.2y+0.3z=8 0.1x−0.2y+0.3z=2 0.5x−0.1y+0.4z=8 0.7x−0.2y+0.3z=8
0.2x+0.1y−0.3z=0.2 0.8x+0.4y−1.2z=0.1 1.6x+0.8y−2.4z=0.2 0.2x+0.1y−0.3z=0.2 0.8x+0.4y−1.2z=0.1 1.6x+0.8y−2.4z=0.2
1.1x+0.7y−3.1z=−1.79 2.1x+0.5y−1.6z=−0.13 0.5x+0.4y−0.5z=−0.07 1.1x+0.7y−3.1z=−1.79 2.1x+0.5y−1.6z=−0.13 0.5x+0.4y−0.5z=−0.07
0.5x−0.5y+0.5z=10 0.2x−0.2y+0.2z=4 0.1x−0.1y+0.1z=2 0.5x−0.5y+0.5z=10 0.2x−0.2y+0.2z=4 0.1x−0.1y+0.1z=2
0.1x+0.2y+0.3z=0.37 0.1x−0.2y−0.3z=−0.27 0.5x−0.1y−0.3z=−0.03 0.1x+0.2y+0.3z=0.37 0.1x−0.2y−0.3z=−0.27 0.5x−0.1y−0.3z=−0.03
0.5x−0.5y−0.3z=0.13 0.4x−0.1y−0.3z=0.11 0.2x−0.8y−0.9z=−0.32 0.5x−0.5y−0.3z=0.13 0.4x−0.1y−0.3z=0.11 0.2x−0.8y−0.9z=−0.32
0.5x+0.2y−0.3z=1 0.4x−0.6y+0.7z=0.8 0.3x−0.1y−0.9z=0.6 0.5x+0.2y−0.3z=1 0.4x−0.6y+0.7z=0.8 0.3x−0.1y−0.9z=0.6
0.3x+0.3y+0.5z=0.6 0.4x+0.4y+0.4z=1.8 0.4x+0.2y+0.1z=1.6 0.3x+0.3y+0.5z=0.6 0.4x+0.4y+0.4z=1.8 0.4x+0.2y+0.1z=1.6
0.8x+0.8y+0.8z=2.4 0.3x−0.5y+0.2z=0 0.1x+0.2y+0.3z=0.6 0.8x+0.8y+0.8z=2.4 0.3x−0.5y+0.2z=0 0.1x+0.2y+0.3z=0.6
Extensions
For the following exercises, solve the system for x,y, x,y, and z. z.
x+y+z=3 x−1 2 + y−3 2 + z+1 2 =0 x−2 3 + y+4 3 + z−3 3 = 2 3 x+y+z=3 x−1 2 + y−3 2 + z+1 2 =0 x−2 3 + y+4 3 + z−3 3 = 2 3
5x−3y− z+1 2 = 1 2 6x+ y−9 2 +2z=−3 x+8 2 −4y+z=4 5x−3y− z+1 2 = 1 2 6x+ y−9 2 +2z=−3 x+8 2 −4y+z=4
x+4 7 − y−1 6 + z+2 3 =1 x−2 4 + y+1 8 − z+8 12 =0 x+6 3 − y+2 3 + z+4 2 =3 x+4 7 − y−1 6 + z+2 3 =1 x−2 4 + y+1 8 − z+8 12 =0 x+6 3 − y+2 3 + z+4 2 =3
x−3 6 + y+2 2 − z−3 3 =2 x+2 4 + y−5 2 + z+4 2 =1 x+6 2 − y−3 2 +z+1=9 x−3 6 + y+2 2 − z−3 3 =2 x+2 4 + y−5 2 + z+4 2 =1 x+6 2 − y−3 2 +z+1=9
x−1 3 + y+3 4 + z+2 6 =1 4x+3y−2z=11 0.02x+0.015y−0.01z=0.065 x−1 3 + y+3 4 + z+2 6 =1 4x+3y−2z=11 0.02x+0.015y−0.01z=0.065
Real-World Applications
Three even numbers sum up to 108. The smaller is half the larger and the middle number is 3 4 3 4 the larger. What are the three numbers?
Three numbers sum up to 147. The smallest number is half the middle number, which is half the largest number. What are the three numbers?
At a family reunion, there were only blood relatives, consisting of children, parents, and grandparents, in attendance. There were 400 people total. There were twice as many parents as grandparents, and 50 more children than parents. How many children, parents, and grandparents were in attendance?
An animal shelter has a total of 350 animals comprised of cats, dogs, and rabbits. If the number of rabbits is 5 less than one-half the number of cats, and there are 20 more cats than dogs, how many of each animal are at the shelter?
Your roommate, Shani, offered to buy groceries for you and your other roommate. The total bill was $82. She forgot to save the individual receipts but remembered that your groceries were $0.05 cheaper than half of her groceries, and that your other roommate’s groceries were $2.10 more than your groceries. How much was each of your share of the groceries?
Your roommate, John, offered to buy household supplies for you and your other roommate. You live near the border of three states, each of which has a different sales tax. The total amount of money spent was $100.75. Your supplies were bought with 5% tax, John’s with 8% tax, and your third roommate’s with 9% sales tax. The total amount of money spent without taxes is $93.50. If your supplies before tax were $1 more than half of what your third roommate’s supplies were before tax, how much did each of you spend? Give your answer both with and without taxes.
Three coworkers work for the same employer. Their jobs are warehouse manager, office manager, and truck driver. The sum of the annual salaries of the warehouse manager and office manager is $82,000. The office manager makes $4,000 more than the truck driver annually. The annual salaries of the warehouse manager and the truck driver total $78,000. What is the annual salary of each of the co-workers?
At a carnival, $2,914.25 in receipts were taken at the end of the day. The cost of a child’s ticket was $20.50, an adult ticket was $29.75, and a senior citizen ticket was $15.25. There were twice as many senior citizens as adults in attendance, and 20 more children than senior citizens. How many children, adult, and senior citizen tickets were sold?
A local band sells out for their concert. They sell all 1,175 tickets for a total purse of $28,112.50. The tickets were priced at $20 for student tickets, $22.50 for children, and $29 for adult tickets. If the band sold twice as many adult as children tickets, how many of each type was sold?
In a bag, a child has 325 coins worth $19.50. There were three types of coins: pennies, nickels, and dimes. If the bag contained the same number of nickels as dimes, how many of each type of coin was in the bag?
Last year, at Haven’s Pond Car Dealership, for a particular model of BMW, Jeep, and Toyota, one could purchase all three cars for a total of $140,000. This year, due to inflation, the same cars would cost $151,830. The cost of the BMW increased by 8%, the Jeep by 5%, and the Toyota by 12%. If the price of last year’s Jeep was $7,000 less than the price of last year’s BMW, what was the price of each of the three cars last year?
When his youngest child moved out, Deandre sold his home and made three investments using gains from the sale. He invested $80,500 into three accounts, one that paid 4% simple interest, one that paid 3 1 8 % 3 1 8 % simple interest, and one that paid 2 1 2 % 2 1 2 % simple interest. He earned $2,670 interest at the end of one year. If the amount of the money invested in the second account was four times the amount invested in the third account, how much was invested in each account?
You inherit one million dollars. You invest it all in three accounts for one year. The first account pays 3% compounded annually, the second account pays 4% compounded annually, and the third account pays 2% compounded annually. After one year, you earn $34,000 in interest. If you invest four times the money into the account that pays 3% compared to 2%, how much did you invest in each account?
An entrepreneur sells a portion of their business for one hundred thousand dollars and invests it all in three accounts for one year. The first account pays 4% compounded annually, the second account pays 3% compounded annually, and the third account pays 2% compounded annually. After one year, the entrepreneur earns $3,650 in interest. If they invested five times the money in the account that pays 4% compared to 3%, how much did they invest in each account?
The top three countries in oil consumption in a certain year are as follows: the United States, Japan, and China. In millions of barrels per day, the three top countries consumed 39.8% of the world’s consumed oil. The United States consumed 0.7% more than four times China’s consumption. The United States consumed 5% more than triple Japan’s consumption. What percent of the world oil consumption did the United States, Japan, and China consume?1
The top three countries in oil production in the same year are Saudi Arabia, the United States, and Russia. In millions of barrels per day, the top three countries produced 31.4% of the world’s produced oil. Saudi Arabia and the United States combined for 22.1% of the world’s production, and Saudi Arabia produced 2% more oil than Russia. What percent of the world oil production did Saudi Arabia, the United States, and Russia produce?2
The top three sources of oil imports for the United States in the same year were Saudi Arabia, Mexico, and Canada. The three top countries accounted for 47% of oil imports. The United States imported 1.8% more from Saudi Arabia than they did from Mexico, and 1.7% more from Saudi Arabia than they did from Canada. What percent of the United States oil imports were from these three countries?3
The top three oil producers in the United States in a certain year are the Gulf of Mexico, Texas, and Alaska. The three regions were responsible for 64% of the United States oil production. The Gulf of Mexico and Texas combined for 47% of oil production. Texas produced 3% more than Alaska. What percent of United States oil production came from these regions?4
At one time, in the United States, 398 species of animals were on the endangered species list. The top groups were mammals, birds, and fish, which comprised 55% of the endangered species. Birds accounted for 0.7% more than fish, and fish accounted for 1.5% more than mammals. What percent of the endangered species came from mammals, birds, and fish?
Meat consumption in the United States can be broken into three categories: red meat, poultry, and fish. If fish makes up 4% less than one-quarter of poultry consumption, and red meat consumption is 18.2% higher than poultry consumption, what are the percentages of meat consumption?5